高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 品味高考感悟考情课件 理
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答案：1
3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当 x＝θ 时，函数 f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则 cos θ＝________.
解析：f(x)＝sin x－2cos x＝
5（
5 5 sin
x－2
5
5 cos
x）＝
5
sin(x－φ)，其中
sin
φ＝
25，cos
φ＝
1 ，当 5
x＝θ
C．向左平移1π2个单位
D．向左平移π4个单位
解析：选 A 因为 y＝sin 3x＋cos 3x＝ 2cos3x－π4＝ 2
cos3x－1π2，所以将 y＝ 2cos 3x 的图象向右平移1π2个单位后可
得到 y＝ 2cos3x－π4的图象．
3．(2014·安徽高考)若将函数 f(x)＝sin 2x＋cos 2x 的图象
1．(2015·湖南高考)将函数 f(x)＝sin 2x 的图象向右平移
φ0<φ<π2个单位后得到函数 g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝
2 的 x1，x2，有|x1－x2|min＝π3，则 φ＝(
)
A.51π2
B.π3
C.π4
D.π6
解析：选 D 因为 g(x)＝sin 2(x－φ)＝sin(2x－2φ)，所以|f(x1) －g(x2)|＝|sin 2x1－sin (2x2－2φ)|＝2.因为－1≤sin 2x1≤1，－ 1≤sin(2x2－2φ)≤1，所以 sin 2x1 和 sin(2x2－2φ)的值中，一个 为 1，另一个为－1，不妨取 sin 2x1＝1，sin(2x2－2φ)＝－1，则 2x1＝2k1π＋π2，k1∈Z，2x2－2φ＝2k2π－π2，k2∈Z,2x1－2x2＋2φ ＝2(k1－k2)π＋π，(k1－k2)∈Z，得|x1－x2|＝k1－k2π＋π2－φ.
即 φ＝k2π＋38π，k∈Z，所以 φ 的最小正值为38π.
法二：f(x)＝ 2cos2x－π4，将函数 f(x)的图象向右平移 φ 个单位后所得图象对应的函数解析式为 y＝ 2cos2x－π4－2φ， 且该函数为偶函数，故 2φ＋π4＝kπ，k∈Z，即 φ＝k2π－π8，k∈ Z，所以 φ 的最小正值为38π.
∴原式＝ssiinnαα＋ －ππ55＝ssiinn
αcos αcos
π5＋cos αsin π5－cos αsin
π 5 π 5
tan ＝
tan
αα＋－ttaannππ55.又∵tan
α＝2tanπ5，∴原式＝22ttaannππ55＋－ttaannππ55＝3.
考点二：三角函数的图象与性质
4．(2015·浙江高考)函数 f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1 的最小 正周期是________，单调递减区间是____________．
解析：∵f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1＝1－c2os 2x＋12sin 2x＋ 1＝12sin 2x－12cos 2x＋32＝ 22sin2x－π4＋32，∴函数 f(x)的最小正 周期 T＝π.令π2＋2kπ≤2x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z， 解之可得函数 f(x)的单调递减区间为kπ＋38π，kπ＋78π(k∈Z)．
考点一：简单的三角恒等变换
1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设 α∈0，π2，β∈0，π2，且 tan
α＝1＋cossinβ β，则(
)
A．3α－β＝π2
B．2α－β＝π2
C．3α＋β＝π2
D．2α＋β＝π2
解析：选 B 由条件得csoins αα＝1＋cossinβ β，即 sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sinπ2－α，因为－π2<α－β<π2， 0<π2－α<π2，所以 α－β＝π2－α，所以 2α－β＝π2.
时，f(x)最大，
即 θ－φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，∴θ＝π2＋φ＋2kπ(k∈Z)时函数 f(x)取
得最大值，cos
θ＝cosπ2＋φ＋2kπ＝－sin
φ＝－2
5
5 .
答案：－2 5 5
4．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设 θ 为第二象限角，若 tanθ＋π4 ＝12，则 sin θ＋cos θ＝________.
＝
110，cos θ＝－
3 ，从而 10
sin
θ＋cos
θ＝－
2 ＝－ 10
10 5.
答案：－
10 5
5．(2015·重庆高考)若 tan α＝2tanπ5，则csoisnαα－－31π5π0＝(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选 C ∵cosα－31π0＝cosα＋π5－π2＝sinα＋π5，
向右平移 φ 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 φ 的最小正
值是( )
π A.8 解析：选 C
π
3π
3π
B.4
C. 8
D. 4
法一：f(x)＝ 2sin2x＋π4Leabharlann Baidu，将函数 f(x)的图
象向右平移 φ 个单位后所得图象对应的函数解析式为 y＝ 2
sin2x＋π4－2φ，由该函数为偶函数可知 2φ－π4＝kπ＋π2，k∈Z，
2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．
解析：f(x)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋ φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin(x＋φ－φ)＝sin x，因为 x∈R，所 以 f(x)的最大值为 1.
因为 0<φ<π2，所以 0<π2－φ<π2，故当 k1－k2＝0 时，|x1－x2|min ＝π2－φ＝π3，φ＝π6，故选 D.
2．(2014·浙江高考)为了得到函数 y＝sin 3x＋cos 3x 的图
象，可以将函数 y＝ 2cos 3x 的图象( )
A．向右平移1π2个单位
B．向右平移π4个单位
解析：法一：由 θ 在第二象限，且 tanθ＋π4＝12，因而 sinθ＋π4＝－ 55，因而 sin θ＋cos θ＝ 2sinθ＋π4＝－ 510.
法二：若将 tanθ＋π4＝12利用两角和的正切公式展开，则 t1a－n tθa＋n θ1＝12，求得 tan θ＝－13.又因为 θ 在第二象限，所以 sin θ
3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当 x＝θ 时，函数 f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则 cos θ＝________.
解析：f(x)＝sin x－2cos x＝
5（
5 5 sin
x－2
5
5 cos
x）＝
5
sin(x－φ)，其中
sin
φ＝
25，cos
φ＝
1 ，当 5
x＝θ
C．向左平移1π2个单位
D．向左平移π4个单位
解析：选 A 因为 y＝sin 3x＋cos 3x＝ 2cos3x－π4＝ 2
cos3x－1π2，所以将 y＝ 2cos 3x 的图象向右平移1π2个单位后可
得到 y＝ 2cos3x－π4的图象．
3．(2014·安徽高考)若将函数 f(x)＝sin 2x＋cos 2x 的图象
1．(2015·湖南高考)将函数 f(x)＝sin 2x 的图象向右平移
φ0<φ<π2个单位后得到函数 g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝
2 的 x1，x2，有|x1－x2|min＝π3，则 φ＝(
)
A.51π2
B.π3
C.π4
D.π6
解析：选 D 因为 g(x)＝sin 2(x－φ)＝sin(2x－2φ)，所以|f(x1) －g(x2)|＝|sin 2x1－sin (2x2－2φ)|＝2.因为－1≤sin 2x1≤1，－ 1≤sin(2x2－2φ)≤1，所以 sin 2x1 和 sin(2x2－2φ)的值中，一个 为 1，另一个为－1，不妨取 sin 2x1＝1，sin(2x2－2φ)＝－1，则 2x1＝2k1π＋π2，k1∈Z，2x2－2φ＝2k2π－π2，k2∈Z,2x1－2x2＋2φ ＝2(k1－k2)π＋π，(k1－k2)∈Z，得|x1－x2|＝k1－k2π＋π2－φ.
即 φ＝k2π＋38π，k∈Z，所以 φ 的最小正值为38π.
法二：f(x)＝ 2cos2x－π4，将函数 f(x)的图象向右平移 φ 个单位后所得图象对应的函数解析式为 y＝ 2cos2x－π4－2φ， 且该函数为偶函数，故 2φ＋π4＝kπ，k∈Z，即 φ＝k2π－π8，k∈ Z，所以 φ 的最小正值为38π.
∴原式＝ssiinnαα＋ －ππ55＝ssiinn
αcos αcos
π5＋cos αsin π5－cos αsin
π 5 π 5
tan ＝
tan
αα＋－ttaannππ55.又∵tan
α＝2tanπ5，∴原式＝22ttaannππ55＋－ttaannππ55＝3.
考点二：三角函数的图象与性质
4．(2015·浙江高考)函数 f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1 的最小 正周期是________，单调递减区间是____________．
解析：∵f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1＝1－c2os 2x＋12sin 2x＋ 1＝12sin 2x－12cos 2x＋32＝ 22sin2x－π4＋32，∴函数 f(x)的最小正 周期 T＝π.令π2＋2kπ≤2x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z， 解之可得函数 f(x)的单调递减区间为kπ＋38π，kπ＋78π(k∈Z)．
考点一：简单的三角恒等变换
1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设 α∈0，π2，β∈0，π2，且 tan
α＝1＋cossinβ β，则(
)
A．3α－β＝π2
B．2α－β＝π2
C．3α＋β＝π2
D．2α＋β＝π2
解析：选 B 由条件得csoins αα＝1＋cossinβ β，即 sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sinπ2－α，因为－π2<α－β<π2， 0<π2－α<π2，所以 α－β＝π2－α，所以 2α－β＝π2.
时，f(x)最大，
即 θ－φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，∴θ＝π2＋φ＋2kπ(k∈Z)时函数 f(x)取
得最大值，cos
θ＝cosπ2＋φ＋2kπ＝－sin
φ＝－2
5
5 .
答案：－2 5 5
4．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设 θ 为第二象限角，若 tanθ＋π4 ＝12，则 sin θ＋cos θ＝________.
＝
110，cos θ＝－
3 ，从而 10
sin
θ＋cos
θ＝－
2 ＝－ 10
10 5.
答案：－
10 5
5．(2015·重庆高考)若 tan α＝2tanπ5，则csoisnαα－－31π5π0＝(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选 C ∵cosα－31π0＝cosα＋π5－π2＝sinα＋π5，
向右平移 φ 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 φ 的最小正
值是( )
π A.8 解析：选 C
π
3π
3π
B.4
C. 8
D. 4
法一：f(x)＝ 2sin2x＋π4Leabharlann Baidu，将函数 f(x)的图
象向右平移 φ 个单位后所得图象对应的函数解析式为 y＝ 2
sin2x＋π4－2φ，由该函数为偶函数可知 2φ－π4＝kπ＋π2，k∈Z，
2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．
解析：f(x)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋ φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin(x＋φ－φ)＝sin x，因为 x∈R，所 以 f(x)的最大值为 1.
因为 0<φ<π2，所以 0<π2－φ<π2，故当 k1－k2＝0 时，|x1－x2|min ＝π2－φ＝π3，φ＝π6，故选 D.
2．(2014·浙江高考)为了得到函数 y＝sin 3x＋cos 3x 的图
象，可以将函数 y＝ 2cos 3x 的图象( )
A．向右平移1π2个单位
B．向右平移π4个单位
解析：法一：由 θ 在第二象限，且 tanθ＋π4＝12，因而 sinθ＋π4＝－ 55，因而 sin θ＋cos θ＝ 2sinθ＋π4＝－ 510.
法二：若将 tanθ＋π4＝12利用两角和的正切公式展开，则 t1a－n tθa＋n θ1＝12，求得 tan θ＝－13.又因为 θ 在第二象限，所以 sin θ