2018届一轮复习人教A版古典概型 学案
2018届一轮复习人教A版古典构型 学案
专题57 古典概型1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2．古典概型的两个特点(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； (2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．3.如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝mn .4.古典概型的概率公式 P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数.高频考点一、 简单的古典概型的概率【例1】 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： (1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15的外部或圆上的概率.解 由题意，先后掷2次，向上的点数(x ，y )共有n ＝6×6＝36种等可能结果，为古典概型. (1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B ，则事件B 与“两数均为偶数”为对立事件，记为B .∵事件B 包含的基本事件数m ＝C 13C 13＝9.∴P (B )＝936＝14，则P (B )＝1－P (B )＝34， 因此，两数中至少有一个奇数的概率为34.【方法规律】计算古典概型的概率可分三步： (1)算出基本事件的总个数n ；(2)求出事件A 所包含的基本事件个数m ；(3)代入公式求出概率P .解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法.【变式探究】 (1)(2015·广东卷)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A.521 B.1021C.1121D.1 (2)(2016·江苏卷)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________.解析 (1)从袋中任取2个球共有C 215＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有C 110C 15＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为50105＝1021.(2)将一颗质地无均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有36种，其中点数之和不小于10的有(6，6)，(6，5)，(6，4)，(5，6)，(5，5)，(4，6)，共6种，故所求概率为1－636＝56. 答案 (1)B (2)56高频考点二 复杂的古典概型的概率【例2】某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率.(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100，因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为 1－1100＝99100. (2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A ，记“参赛女生有2人”为事件B ，“参赛女生有3人”为事件C .则P (B )＝C 23C 23C 46＝35，P (C )＝C 33C 13C 46＝15.由互斥事件的概率加法， 得P (A )＝P (B )＋P (C )＝35＋15＝45，故所求事件的概率为45.【方法规律】(1)求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解. (2)注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用.【变式探究】一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红球4个，编号分别为1，2，3，4，白球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同).(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率； (2)在取出的3个小球中，求小球编号最大值为4的概率.高频考点三 古典概型与统计的综合应用【例3】 从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知体重的平均值为________kg ；若要从体重在[60，70)，[70，80)，[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12个人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为________.解析 由频率分布直方图可知，体重在[40，50)内的男生人数为0.005×10×100＝5，同理，体重在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]内的人数分别为35，30，20，10，所以体重的平均值为45×5＋55×35＋65×30＋75×20＋85×10100＝64.5.利用分层抽样的方法选取12人，则从体重在[60，70)，[70，80)，[80，90]三组内选取的人数分别为12×3060＝6，12×2060＝4，12×1060＝2，则两人体重不在同一组内的概率为C 16C 16＋C 14C 18＋C 12C 110A 212＝23. 答案 64.5 23【方法规律】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点.概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决.【变式探究】 某车间共有12名工人，随机抽取6名作为样本，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.要从这6人中，随机选出2人参加一项技术比赛，选出的2人至少有1人为优秀工人的概率为( )A.815B.49C.35D.19解析 由已知得，样本均值为x ＝20＋60＋30＋（7＋9＋1＋5）6＝22，故优秀工人只有2人.故所求概率为P ＝C 26－C 24C 26＝915＝35，故选C. 答案 C1.(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825 D.925解析 甲被选中的概率为P ＝C 11C 14C 25＝410＝25.答案 B2.(2016·上海卷)某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________.解析 甲同学从四种水果中选两种，选法种数有C 24，乙同学的选法种数为C 24，则两同学的选法种数为C 24·C 24，两同学各自所选水果相同的选法种数为C 24，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为P ＝C 24C 24C 24＝16.答案 163.(2015·江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 解析 这两只球颜色相同的概率为16，故两只球颜色不同的概率为1－16＝56.答案 561.集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A.23B.12C.13D.16解析 从A ，B 中任意取一个数，共有C 12·C 13＝6种情形，两数和等于4的情形只有(2，2)，(3， 1)两种，∴P ＝26＝13.答案 C2.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是( ) A.310 B.15C.12D.35解析 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件数有C 35＝10种.根据三角形三边关系能构成三角形的只有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)共3个基本事件，故所求概率为P ＝3C 35＝310.答案 A3.某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为( ) A.112 B.19C.536D.16解析 落在2x －y ＝1上的点有(1，1)，(2，3)，(3，5)共3个，故所求的概率为P ＝36×6＝112. 答案 A4.一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a >b ，b <c 时称为“凹数”(如213，312等)，若a ，b ，c ∈{1，2，3，4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是( ) A.16B.524C.13D.724解析 选出一个三位数有A 34＝24种情况，取出一个凹数有C 34×2＝8种情况，所以，所求概率为P ＝824＝13.答案 C5.如图，三行三列的方阵中有九个数a ij (i ＝1，2，3；j ＝1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a31a 32 a 33A.37B.47C.114D.13146.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( ) A.p 1＜p 2＜p 3B.p 2＜p 1＜p 3C.p 1＜p 3＜p 2D.p 3＜p 1＜p 2解析 随机掷两枚质地均匀的骰子，所有可能的结果共有36种.事件“向上的点数之和不超过5”包含的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)共10种，其概率p 1＝1036＝518.事件“向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立事件，所以“向上的点数之和大于5”的概率p 2＝1318.因为朝上的点数之和不是奇数就是偶数，所以“点数之和为偶数”的概率p 3＝12.故p 1<p 3<p 2.答案 C7.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( ) A.115 B.15 C.14 D.12解析 由题意，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共4种.故所求事件的概率P ＝4·A 33C 36A 33＝15.答案 B8.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________.解析 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，基本事件共有C 710＝120(个)，记事件“七个数的中位数为6”为事件A ，若事件A 发生，则6，7，8，9必取，再从0，1，2，3，4，5中任取3个数，有C 36种选法.故所求概率P (A )＝C 36120＝16.答案 169.已知函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2，若a ∈{4，6，8}，b ∈{3，5，7}，则该函数有两个零点的概率为________.10.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的. (1)求袋中原有白球的个数； (2)求取球2次即终止的概率； (3)求甲取到白球的概率.解 (1)设袋中原有n 个白球，从袋中任取2个球都是白球的结果数为C 2n ，从袋中任取2个球的所有可能的结果数为C 27.由题意知从袋中任取2球都是白球的概率P ＝C 2n C 27＝17，则n (n －1)＝6，解得n ＝3(舍去n ＝－2)，即袋中原有3个白球.(2)设事件A 为“取球2次即终止”.取球2次即终止，即乙第一次取到的是白球而甲取到的是黑球，P (A )＝C 14×C 13C 17×C 16＝4×37×6＝27.(3)设事件B 为“甲取到白球”，“第i 次取到白球”为事件A i ，i ＝1，2，3，4，5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球.所以P (B )＝P (A 1∪A 3∪A 5)＝P (A 1)＋P (A 3)＋P (A 5)＝37＋4×3×37×6×5＋4×3×2×1×37×6×5×4×3＝37＋635＋135＝2235.11.海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是： 50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2. (2)从6件样品中抽取2件商品的基本事件数为C 26＝6×52×1＝15，每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件数为C 23＋C 22＝4，所以P (D )＝415.故这2件商品来自相同地区的概率为415.12.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c . (1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率. 解 (1)由题意，(a ，b ，c )所有的可能的结果有33＝27(种). 设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种. 所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.。
全国通用2018高考数学一轮复习第10章概率第2节古典概型教师用书文新人教A版
第二节 古典概型———————————————————————————————— [考纲传真] 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会用列举法计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n.4．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )同．( )(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)下列试验中，是古典概型的个数为( ) ①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD 内，任意抛掷一点P ，点P 恰与点C 重合； ④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率． A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [由古典概型的意义和特点知，只有③是古典概型．]3．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130C [∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.]4．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3为( )A.310B.15C.110D.120(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.故选C.]5．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．13[甲、乙两名运动员选择运动服颜色的情况为(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种． 所以所求概率P ＝39＝13.](1)(2017·佛山质检)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1(2)(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A.13B.12C.23D.56(1)B (2)C [(1)记3件合格品分别为A 1，A 2，A 3,2件次品分别为B 1，B 2，从5件产品中任取2件，有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，共10种可能．其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型得所求事件概率为610＝0.6.(2)从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P ＝46＝23，故选C.][规律方法] 1.计算古典概型事件的概率可分三步，(1)计算基本事件总个数n ；(2)计算事件A 所包含的基本事件的个数m ；(3)代入公式求出概率P .2．用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏． [变式训练1] (1)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点A.15B.25C.35D.45点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________． (1)C (2)56 [(1)设正方形的四个顶点分别是A ，B ，C ，D ，中心为O ，从这5个点中，任取两个点的事件分别为AB ，AC ，AD ，AO ，BC ，BD ，BO ，CD ，CO ，DO ，共有10种，其中只有顶点到中心O 的距离小于正方形的边长，分别是AO ，BO ，CO ，DO ，共有4种．所以所求事件的概率P ＝1－410＝35.(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件A＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，A包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P(A)＝636＝16，所以P(A)＝1－16＝56.]参加活动的儿童需转动如图1021所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．图1021[解]用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n＝16.3分(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝516，即小亮获得玩具的概率为516.5分(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C.则事件B包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝616＝38.8分事件C包含的基本事件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1).10分 所以P (C )＝516.因为38>516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.12分[规律方法] 1.本题易错点有两个：(1)题意理解不清，不能把基本事件列举出来；(2)不能恰当分类，列举基本事件有遗漏．2．求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．[解] (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，2分 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15人，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.5分(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个.8分根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个.10分 因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215.12分随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 5376 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 6482 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；图1022(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C [解] (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：2分通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散.5分则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，且C ＝C B1C A1＋C B2C A2. ∴P (C )＝P (C B1C A1∪C B2C A2) ＝P (C B1C A1)＋P (C B2C A2)＝P (C B1)P (C A1)＋P (C B2)P (C A2).8分又根据茎叶图知P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820.10分因此P (C )＝1020×1620＋820×420＝1225＝0.48.12分[规律方法] 1.本题求解的关键在于作出茎叶图，并根据茎叶图准确提炼数据信息，考查数据处理能力和数学应用意识．2．有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是关键．(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．[解] (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 650＋150＋100＝150，2分所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.5分(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2} ，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2 ，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3 ，C 2}，{C 1，C 2}，共15个.8分每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有 {B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个.10分 所以这2件商品来自相同地区的概率P (D )＝415.12分[思想与方法]1．古典概型计算三步曲第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件有多少个．2．确定基本事件的方法(1)当基本事件总数较少时，可列举计算； (2)列表法、树状图法．3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件的概率公式简化运算． [易错与防范]古典概型的重要特征是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等可能的．课时分层训练(六十二) 古典概型A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2014·全国卷Ⅰ改编)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为( )A.12 B.13 C.23D.56C [设两本不同的数学书为a 1，a 2,1本语文书为b .则在书架上的摆放方法有a 1a 2b ，a 1ba 2，a 2a 1b ，a 2ba 1，ba 1a 2，ba 2a 1，共6种，其中数学书相邻的有4种．因此2本数学书相邻的概率P ＝46＝23.]2．(2016·北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825D.925B [设另外三名学生分别为丙、丁、戊．从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形，故甲被选中的概率P ＝410＝25.]3．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为( )A.12B.13C.34D.25B [点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13.]4．(2014·全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周A.18B.38C.58D.78D [4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－1＋116＝78.]取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( ) A.16 B.13 C.14D.12A [由题意知，向量m 共有4×3＝12个，由m ⊥n ，得m ·n ＝0，即a ＝b ，则满足m ⊥n 的m 有(3,3)，(5,5)共2个，故所求概率P ＝212＝16.]二、填空题6．在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n π3，n ＝1，2，3，…，10中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x ＝12的概率是________．15 [基本事件总数为10，满足方程cos x ＝12的基本事件数为2，故所求概率为P ＝210＝15.] 整数的概率是________．3,9；8,9；3,2；8,2；9,2；8,3；9,3；9,8，共12种取法，其中log a b 为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P＝212＝16.]8．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．13[记“两人都中奖”为事件A，设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，所以P(A)＝2 6＝13.]三、解答题9．(2015·湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．[解](1)所有可能的摸出结果是{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．(2)不正确．理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23>13，故这种说法不正确．现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．[解](1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.5分(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种.8分②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35.12分 B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·安徽马鞍山模拟)某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为( )A.112 B.19 C.536 D.16A [先后掷两次骰子的结果共6×6＝36种．以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3种，故所求概率为336＝112.] 相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a ，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b ，则使不等式a －2b ＋4＜0成立的事件发生的概率为________．14[由题意知(a ，b )的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a －2b ＋4＜0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共4种结果．故所求事件的概率P ＝416＝14.] 3．先后掷一枚质地均匀的骰子，分别记向上的点数为a ，b .事件A ：点(a ，b )落在圆x 2＋y 2＝12内；事件B ：f (a )＜0，其中函数f (x )＝x 2－2x ＋34.(1)求事件A 发生的概率；(2)求事件A ，B 同时发生的概率．[解] (1)先后掷一枚质地均匀的骰子，有6×6＝36种等可能的结果．满足落在圆x 2＋y 2＝12内的点(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个．所以事件A 发生的概率P (A )＝636＝16.5分 (2)由f (a )＝a 2－2a ＋34＜0，得12＜a ＜32.共3种情形.10分故事件A，B同时发生的概率为P(AB)＝336＝112.12分。
《古典概型》教案
《古典概型》教学设计一、教材分析本节课是人教A版高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。
古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。
学好古典概型能够为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。
二、教学目标1．知识与技能(1)理解基本领件的特点；(2)通过实例，理解古典概型及其概率计算公式；(3)会用列举法计算一些随机事件所含的基本领件数及事件发生的概率。
2．过程与方法根据本节课的内容和学生的实际水平，通过两个试验的观察让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比骰子试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，表达了化归的重要思想，掌握列举法，学会使用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。
3．情感态度与价值观概率教学的核心问题是让学生理解随机现象与概率的意义，增强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。
适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型相关的实例。
使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。
三、重点、难点重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。
难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本领件的个数和试验中基本领件的总数。
四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图以境激情试验1：掷一枚质地均匀的硬币，观察出现哪几种结果？（见课件）试验2：抛掷一颗均匀的骰子一次，观察出现的点数有哪几种结果？1．基本领件的概念一次试验可能出现的每一个结果称为一个基本领件。
如：试验1中的“正面朝上”、“正面朝下”；试验2中的出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”教师创设情境，为导入新知做准备。
新高考一轮复习人教A版第九章第五讲古典概型课件(44张)
2.(考向 1)已知 k∈Z，A→B＝(k,1)，A→C＝(2,4).若|A→B|≤4， 则△ABC 是直角三角形的概率是________.
解析：因为|A→B|＝ k2＋1≤4，所以－ 15≤k≤ 15.因 为 k∈Z，所以 k＝－3，－2，－1,0,1,2,3，当△ABC 为直 角三角形时，应有 AB⊥AC，AB⊥BC，或 AC⊥BC.由A→B·A→C ＝0，得 2k＋4＝0，所以 k＝－2.因为B→C＝A→C－A→B＝(2－ k,3)，由A→B·B→C＝0，得 k(2－k)＋3＝0，所以 k＝－1 或 3.
答案：ABD
题组三 真题展现 4.(2021 年全国甲)将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行， 则 2 个 0 不相邻的概率为( )
A.13
B.25
2
4
C.3
D.5
答案：C
5.(2021 年上海)已知花博会有四个不同的场馆 A，B， C，D，甲、乙两人每人选 2 个去参观，则他们的选择中， 恰有一个馆相同的概率为________.
答案：172
【题后反思】求解古典概型交汇问题的思路
【考法全练】 1.(考向 2)已知 a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数 f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是( )
5
1
A.12
B.3
1
1
C.4
D.6
解析：因为 a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，所以样本点 总数 n＝3×4＝12.
函数 f(x)＝ax2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数. ①当 a＝0 时，f(x)＝－2bx，符合条件的只有(0，－1)， 即 a＝0，b＝－1. ②当 a≠0 时，需要满足ab≤1，符合条件的有(1，－1)， (1,1)，(2，－1)，(2,1)，共 4 种. 所以函数 f(x)＝ax2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数 的概率是152.
人教A版 古 典 概 型 学案
第五节古典概型知识体系必备知识1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型(1)(2)概率计算公式:P(A)=错误!未找到引用源。
.1.易错点:忽视古典概型中各事件发生的等可能性在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时,易忽视它们是否是等可能的.2.注意点:忽视概率的加法公式中A与B的关系概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,易忽视只有当A ∩B=⌀,即A,B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B),此时P(A∩B)=0.基础小题1.(教材改编)一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片,随机地抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
【解析】选D.从盒中装有数字1,2,3,4的4张卡片中随机抽取2张,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种,取出的2张卡片上的数字之和为奇数的取法有(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)共4种,故取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
.2.下列对古典概型的说法中,正确的是________.①试验中基本事件只有有限个.②每个基本事件发生的可能性相同.③每个事件发生的可能性相同.④基本事件的总数为n,随机事件A包含m个基本事件,则P(A)=错误!未找到引用源。
.【解析】根据古典概型的定义知①②④正确,而③中一个事件可能包含多个基本事件,因此每个事件发生的可能性相同的说法是不正确的. 答案:①②④3.(教材改编)一个口袋内装有2个白球和3个黑球,则在先摸出1个白球后放回的条件下,再摸出1个白球的概率是________.【解析】先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率,实质上就是第二次摸到白球的概率,因为袋内装有2个白球和3个黑球,因此概率为错误!未找到引用源。
2018年高考数学(人教A版)一轮复习课件：10.2古典概型
2.(必修3P145T5改编)盒中装有形状、大小完全相同的 5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个 球,则所取出的2个球颜色不同的概率为________.
【解析】从5个球中任取2个球,共有(红1,红2),(红1, 红3),(红2,红3),(黄1,黄2),(红1,黄1),(红1,黄2), (红2,黄1),(红2,黄2),(红3,黄1),(红3,黄2)10种不同 取法,其中2个球颜色不同的取法共有6种,故所求概率
第二节
古典概型
【知识梳理】 1.基本事件的特点 互斥 的. (1)任何两个基本事件是_____
基本事件 (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_________
的和.
2.古典概型
(1)
(2)概率计算公式:
A包含的基本事件的个数 P(A)=__________________. 基本事件的总数
3
5.(2016·北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2 人,则甲被选中的概率为
1 A. 5 2 B. 5 8 C. 25
(
)
9 D. 25
【解题提示】本题属于古典概型的概率计算问题.
【解析】选B.把5名同学依次编号为甲乙丙丁戊,基本 事件空间Ω={甲乙,甲丙,甲丁,甲戊,乙丙,乙丁,乙戊,
丙丁,丙戊,丁戊},包含基本事件总数n=10.设A表示事
8 A. 15 1 B. 8 1 C. 15
(
)
1 D. 30
(2)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为
27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6
名运动员参加比赛. ①求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数. ②将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为 A1,A2,A3,A4,A5,A6,从这6名运动员中随机抽取2名参加
2018届高考数学一轮复习古典概型课件理新人教A版
两个试验的共同特点： (1)试验中所有可能出现的基本事件的 只有有限个 个数____________
(2)每个基本事件出现的可能性_______ 我们将具有这两个特点的概率模型称为
________________
两个试验的共同特点： (1)试验中所有可能出现的基本事件的 只有有限个 个数____________ 相等 (2)每个基本事件出现的可能性_______
D={b、c}; E={b、d}；F={c、d}；
1点 问题：
2点
3点
4点
5点
6点
(1)在一次试验中，会同时出现“1点” 与 “2点”这两个基本事件吗？ (2) 事件“出现偶数点”包含哪几个基
本事件？
1点 问题：
2点
3点
4点
5点
6点
(1)在一次试验中，会同时出现“1点” 与 “2点”这两个基本事件吗？ 不会 (2) 事件“出现偶数点”包含哪几个基
探究：如果该题是不定项选择题，假如考生 也不会做，则他能够答对的概率为多少？此时比单 选题容易了，还是更难了？ 基本事件有15个： A B
C
D
BC BD CD
AB AC AD ABCD
ABC ABD ACD BCD
“答对”包含的基本事件数：1 1 P(“答对”) 15
正面向上
反面向上
问题：每个基本事件的概率是多少？
1点
2点
3点
4点
5点
6点
P(“1点”)=P(“2点”)=P(“3点”)=P(“4点”) =P(“5点”)=P(“6点”)
正面向上
反面向上
2
P(“正面向上”)=P(“反面向上”) 1
古典概型(教学设计)
一、内容和内容解析内容：古典概型．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第十章第1节第3课时的内容．本节课主要讲解了古典概型的特征及如何求古典概型的概率.本节内容在教材上起到承上启下的作用，即使对前面内容的进一步应用，又为后续概率的性质做好铺垫．节内容在教材上起到承上启下的作用，即使对前面内容的进一步应用，又为后续概率的性质做好铺垫.。
注意对概率思想方法的理解。
发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养．二、目标和目标解析目标：（1）理解古典概型的特征和计算公式，会判断古典概型．（2）会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．目标解析：（1）古典概型是最简单的概率模型，也是高中阶段重点研究的概率模型．通过古典概型的学习，进一步理解随机事件和样本点的关系、事件和样本点的关系、概率的意义，掌握研究概率模型的一般性思路.（2）通过实例分析，在相同的样本量、样本均值与总体均值误差不超过0.5的前提下，比例分配的分层抽样的概率最大，无放回抽样次之，有放回抽样最小．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在本节课的教学中，从特殊的古典概型归纳概括一般古典概型的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用古典概型解决问题，也是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：古典概型的概念以及利用古典概型求解随机事件的概率．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：如何判断样本点的等可能性是本节课的第一个教学问题．解决方案：考查问题表述中所含的信息，如“质地均匀”、“完全相同”等．2．教学问题二：放不放回、有序无序问题是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：通过具体实例，引导学生分析放回为有序，不放回中有序和无序．基于上述情况，本节课的教学难点定为：运用古典概型计算概率．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过实例归纳得到古典概型的公式，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中引入情境，结合具体的实例，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视古典概型的概念及公式，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，古典概型公式的推导其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计课堂小结升华认知[问题6]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.下列是古典概型的是()①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小．②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率．③近三天中有一天降雨的概率．④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．A．①②③④B．①②④C．②③④D．①③④2、甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各个小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率教师11：提出问题6．学生10：学生11：学生课后进行思考，并完成课后练习．【答案】1.B 2.A 3.C 4.14师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
古典概型教案7篇
古典概型教案7篇古典概型教案篇1一、教学目标:1、知识与技能:(1)正确理解古典概型的两大特点:1)试验中全部可能涌现的基本领件只有有限个;2)每个基本领件涌现的可能性相等;(2)掌控古典概型的概率计算公式:p(a)=2、过程与方法:(1)通过对现实生活中详细的概率问题的探究,感知应用数学解决问题的方法,体会数学知识与现实世界的联系,培育规律推理技能;(2)通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感立场与价值观:通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.二、重点与难点:重点是掌控古典概型的概念及利用古典概型求解随机事项的概率;难点是如何判断一个试验是否是古典概型,分清一个古典概型中某随机事项包含的基本领件的个数和试验中基本领件的总数。
三、教法与学法指导:依据本节课的特点,可以采纳问题探究式学案导学教学法,通过问题导入、问题探究、问题解决和问题评价等教学过程,与同学共同探讨、合作争论;应用所学数学知识解决现实问题。
四、教学过程:1、创设情境:(1)掷一枚质地匀称的硬币的试验;(2)掷一枚质地匀称的骰子的试验。
师生共同探讨:依据上述状况,你能发觉它们有什么共同特点?同学分组争论试验,每人写出试验结果。
依据结果探究这种试验所求概率的特点,尝试归纳古典概型的定义。
在试验(1)中结果只有2个,即正面朝上或反面朝上,它们都是随机事项。
在试验(2)中,全部可能的试验结果只有6个,即涌现1点2点3点4点5点和6点,它们也都是随机事项。
2、基本概念:(看书130页至132页)(1)基本领件、古典概率模型。
(2)古典概型的概率计算公式:p(a)= .3、例题分析:(呈现例题,深刻体会古典概型的两个特征依据每个例题的不同条件,让每个同学找出并回答每个试验中的基本领件数和基本领件总数,分析是否满意古典概型的特征,然后利用古典概型的`计算方法求得概率。
) 例1 从字母a,b,c,d中任意取出两个不同的试验中,有哪些基本领件?分析:为了得到基本领件,我们可以根据某种顺次,把全部可能的结果都列出来。
山东省胶州市2018届高考数学一轮复习 专题 古典概型学案(无答案)文
学习目标
熟练、准确求解古典概型
重点
古典概型的求法
合作探究
随堂手记
【课前自主复习区】
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的．
2．古典概型
(1)特点
①试验中 所有可能出现的基本事件只有个，即有限性．
②每个基本事件发生的可能性，即等可能性．
(2)概率公式
P(A)＝ ．
【双基自测】
1. 一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为()
A． B． C． D．
2. 袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，取到白球的概率为()
A． B． C． D．
3. 掷两颗均匀的骰子，则向上的点数之和为5的概率等于( )
A． B． C． D．
4. 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员从中随机抽出2听，检测出都是合格产品的概率为()
9. 【2017天津，文3】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
（A） （B） （C） （D）
10.（2017全国Ⅱ卷）从分别写有1,2,3,4,5的 5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频 率代替最高气温位于该区间的概率。
2018届高考数学文人教A版福建专用一轮课件：11-2古典
思考求古典概型的概率的一般思路是怎样的?
-13考点1 考点2 考点3
答案: (1)C
(2)C
解析: (1)两张卡片排在一起能组成的两位数有 12,13,20,30,21,31,共 6 个,其中奇数有 13,21,31,共 3 个,因此所组成的 两位数为奇数的概率是6 = 2,故选 C. (2)(方法一)若认为两个花坛有区别,则总的基本事件是:红黄,白 紫;白紫,红黄;红白,黄紫;黄紫,红白;红紫,黄白;黄白,红紫,共 6 种.满 足条件的基本事件是:红黄,白紫;白紫,红黄;红白,黄紫;黄紫,红白,共 4
-15考点1 考点2 考点3
对点训练1(1)(2016湖南高考冲刺卷)在1,2,4,5这4个数中一次随 机地取2个数,则所取的2个数的和为6的概率为( )A源自31B.41
C.5
2
D.5
3
(2)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率 为 . (3)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2 本数学书相邻的概率为 .
11.2
古典概型
-2知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
4
1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是 互斥 的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件 和.
的
-3知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
4
2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. (1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 . (2)等可能性:每个基本事件出现的可能性 相等 .
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最新-2018学年高中数学 321 古典概型同步学案 新人教A版必修3 精品
3.应用公式计算概率的步骤 (1)判断试验是否为古典概型; (2)算出基本事件总数n; (3)算出事件A包含的基本事件数m;
(4)代入公式: P( A) m . n
典例剖析
题型一 基本事件的个数问题 例1:连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反
(1)从袋中的6个球中任取两个,所取的两球全是白球的基本事 件数,即是从4个白球中任取两个的基本事件数,共有6个,即 为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)(2,4),(3,4).
∴取出的两个球全是白球的概率为
P( A) 6 2 . 15 5
(2)从袋中的6个球中任取两个,其中一个为红球,而另一个为 白球,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5)(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6) 共8个.
4
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
由表可知,共有基本事件36种.
(1)设点数之和为7的事件为A,则A包含的基本事件 有:(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6种. P(A) 6 1 . 36 6
出事件A:取出的两球都是白球的总数和事件B:取出的两球 1个是白球,而另1个是红球的总数.套用公式求解即可.
解:设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中 的6个小球中任取两个的基本事件为 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,4),(3,5) ,(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15个.
2018版高中数学第三章概率3.2.1古典概型学案新人教A版必修3
3．2.1古典概型[ 学习目标 ] 1. 认识基本领件的特色.2. 理解古典概型的定义.3. 会应用古典概型的概率公式解决实质问题．知识点一基本领件1．基本领件的定义一次试验连同此中可能出现的每一个结果称为一个基本领件，它们是试验中不可以再分的最简单的随机事件．一次试验中只好出现一个基本领件．如在掷一枚质地平均的骰子试验中，出现“1 点”“2 点”“3 点”“4 点”“5 点”“6 点”，共 6 个结果，这就是这一随机试验的 6 个基本领件．2．基本领件的特色(1)任何两个基本领件是互斥的；(2)任何事件 ( 除不行能事件 ) 都能够表示成基本领件的和．如在掷一枚质地平均的骰子试验中，随机事件“出现奇数点”能够由基本领件“出现1点”“出现 3 点”“出现 5 点”共同构成．思虑“投掷两枚硬币，起码一枚正面向上”是基本领件吗？答不是．“投掷两枚硬币，起码一枚正面向上”包含一枚正面向上，两枚正面向上，所以不是基本领件．知识点二古典概型1．古典概型的定义(1)试验中全部可能出现的基本领件只有有限个；(2)每个基本领件出现的可能性相等．我们将拥有这两个特色的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．2．古典概型的特色(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不一样的基本领件．(2)等可能性：每个基本领件发生的可能性是相等的．3．古典概型的概率公式A包含的基本领件的个数关于任何事件A，P( A)＝.基本领件的总数思虑若一次试验的结果所包含的基本领件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？答不是，还一定知足每个基本领件出现的可能性相等．题型一基本领件的定义及特色例 1一个口袋内装有大小同样的 5 个球，此中 3 个白球， 2 个黑球，从中一次摸出 2 个球．(1)共有多少个基本领件？(2)2 个都是白球包含几个基本领件？解方法一(1) 采纳列举法．分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5 号，则有以下基本领件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3) ， (2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个(此中(1,2)表示摸到 1 号、 2 号 ) ．(2)“2个都是白球”包含 (1,2) ，(1,3) ，(2,3) 三个基本领件．方法二 (1) 采纳列表法．设 5 个球的编号为a，b，c，d，e，此中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表以下：a b c d ea( a，b)( a，c)( a，d)( a，e)b ( ，)(b，)(b， )( ，) b a c d b ec( c，a)( c，b)( c，d)( c，e)d ( ，)(d，)(d，)( ，) d a b c d ee( e，a)( e，b)( e，c)( e，d)因为每次取 2个球，所以每次所得的2个球不同样，而事件( b，a) 与 ( a，b) 是同样的事件，故共有 10 个基本领件．(2)“2个都是白球”包含 ( a，b) ， ( b，c) ， ( c，a) 三个基本领件．反省与感悟 1. 求基本领件的基本方法是列举法．基本领件拥有以下特色：(1) 不行能再分为更小的随机事件；(2) 两个基本领件不行能同时发生．2．当基本领件个数许多时还可应用列表法或树形图法求解．追踪训练1做投掷2颗骰子的试验，用( x，y) 表示结果，此中x 表示第一颗骰子出现的点数， y 表示第2颗骰子出现的点数．写出：(1)试验的基本领件；(2)事件“出现点数之和大于 8”；(3)事件“出现点数相等”；(4)事件“出现点数之和等于 7”．解(1) 这个试验的基本领件共有36 个，列举以下： (1,1) ，(1,2) ，(1,3)(1,4)，(1,5)，(1,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)， (6,2)，(6,3)， (6,4)， (6,5)， (6,6) ．(2)“出现点数之和大于8”包含以下10 个基本领件： (3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,3)，(6,4)， (6,5)， (6,6)．(3)“出现点数相等”包含以下 6 个基本领件： (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．(4)“出现点数之和等于7”包含以下 6 个基本领件： (1,6)，(2,5)， (3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1) ．题型二利用古典概型公式求概率例 2从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不一样的数字，求以下事件的概率：(1) 事件A＝ { 三个数字中不含 1 和 5} ；(2)事件 B＝{三个数字中含1或5}．解这个试验的基本领件为：(1,2,3)， (1,2,4) ， (1,2,5)， (1,3,4)， (1,3,5)， (1,4,5)，(2,3,4) ， (2,3,5) ， (2,4,5)， (3,4,5)，所以基本领件总数n＝10.(1)因为事件 A＝{(2,3,4)}，所以事件 A 包含的事件数 m＝1.m1所以 P( A)＝n＝10.(2) 因为事件B＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，所以事件 B 包含的基本领件数m＝9.m9所以 P( B)＝n＝10.反省与感悟 1. 古典概型概率求法步骤：(1) 确立等可能基本领件总数n；(2) 确立所求事件包含基本领件数m；m(3)P( A)＝n.2．使用古典概型概率公式应注意：(1) 第一确立能否为古典概型；(2) A事件是什么，包含的基本领件有哪些．追踪训练 2 将一颗质地平均的骰子 ( 一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具 )先后投掷 2 次，则出现向上的点数之和小于10 的概率是 ________．答案5 6分析基本领件共有 36 个．以下： (1,1)， (1,2) ，(1,3) ， (1,4) ， (1,5)， (1,6) ， (2,1) ，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，此中知足点数之和小于10 的有 30 个．故所求概率为30 5P＝36＝6.题型三较复杂的古典概型的概率计算例 3有A，B，C，D四位嘉宾，应分别坐在a，b， c， d 四个席位上，此刻这四人均未留神，在四个席位上随意就坐时，(1)求这四人恰巧都坐在自己席位上的概率；(2)求这四人恰巧都没坐在自己席位上的概率；(3)求这四人恰巧有 1 位坐在自己席位上的概率．解将 A， B， C， D四位嘉宾就座状况用下边图形表示出来：如上图所示，此题中的等可能基本领件共有24 个．(1)设事件 A 为“这四人恰巧都坐在自己的席位上”，则事件 A 只包含1个基本领件，所以() ＝ 1 .P A24(2)设事件 B 为“这四人恰巧都没坐在自己席位上”，则事件 B 包含9个基本领件，所以 P( B)9 3＝24＝8.(3) 设事件C为“这四人恰巧有 1 位坐在自己席位上”，则事件 C 包含8个基本领件，所以8 1P( C)＝24＝3.反省与感悟 1. 当事件个数没有很显然的规律，而且波及的基本领件又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进队列举的常用方法．树状图能够清楚正确地列出全部的基本领件，而且画出一个树枝以后可猜想其他的状况．2．在求概率时，若事件能够表示成有序数对的形式，则能够把全体基本领件用平面直角坐标系中的点表示，即采纳图表的形式能够正确地找出基本领件的个数．故采纳数形联合法求概率能够使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．追踪训练3用三种不一样的颜色给以下图的 3 个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色．(1)求 3个矩形颜色都同样的概率；(2)求 3个矩形颜色都不同样的概率；(3)求 3个矩形颜色不都同样的概率．解设 3 个矩形从左到右挨次为矩形1、矩形 2、矩形 3. 用三种不一样的颜色给题目中所示的3个矩形随机涂色，可能的结果以下图．由图知基本领件共有27 个．(1) 记“3个矩形颜色都同样”为事件，由图，知事件A 的基本领件有 3 个，故( ) ＝3＝A P A2719.6 (2) 记“3个矩形颜色都不同样”为事件B，由图，知事件 B 的基本领件有6 个，故P( B) ＝272＝.9(3) 记“3个矩形颜色不都同样”为事件C.方法一由图，知事件C的基本领件有24 个，故 P( C)＝24＝8.27 9方法二事件 C与事件 A互为对峙事件，18故 P(C)＝1－P(A)＝1－＝.99例 4 (12 分 ) 甲、乙两校各有 3 名教名支教，此中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女．(1)若从甲校和乙校名的教中各任 1 名，写出全部可能的果，并求出的 2 名教性同样的概率；(2) 若从名的 6 名教中任 2 名，写出全部可能的果，并求出的 2 名教来自同一所学校的概率．指(1) 要求 2 名教性同样的概率，先写出全部可能的果，能够采纳列法求解．(2)要求出的 2 名教来自同一所学校的概率，先求出 2 名教来自同一所学校的基本领件．范解答(1) 甲校 2 名男教分用A，B 表示，1名女教用C表示；乙校1名男教用D 表示， 2 名女教分用E， F 表示．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分从甲校和乙校名的教中各任 1 名的全部可能的果：A，D，A，E，A，F，B，D，B，E，B，F，C，D，C，E，C， F―→失分警告：若没有写出基本领件，此不得分.共 9 种．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分从中出 2 名教性同样的果有：( A，D)， ( B，D)，( C，E) ，( C，F)，共 4 种，⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分4所以出的 2 名教性同样的概率P＝9.⋯⋯6分(2)从甲校和乙校名的 6 名教中任 2 名的全部可能的果：A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，B，C，B，D，B，E，B，F，C，D，C，E，C，F，D， E，D，F，E，F―→失分警告：基本领件写一个不得分.共 15 种．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分从中出 2 名教来自同一所学校的果有：( A，B) ， ( A，C) ， ( B，C) ， ( D，E) ， ( D，F) ，( E，F)，共 6 种，⋯⋯ 10 分6 2所以出的 2 名教来自同一, 所学校的概率P＝15＝5.→失分警告：果不正确扣2分. ⋯12 分1．抛一枚骰子，出偶数的基本领件个数()A． 1B． 2C． 3D． 4答案C分析因为投掷一枚骰子出现数字的基本领件有 6 个，它们分别是1,2,3,4,5,6，故出现偶数的基本领件是 3 个．2．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按必定序次经过主席台，若先后序次是随机排定的，则 B 先于 A， C经过的概率为()1112A. 6B. 3C.2D.3答案B分析用 ( A，B，C) 表示A，B，C经过主席台的序次，则全部可能的序次有：( A，B，C) ，( A，C， B)，( B， A，C)，( B，C， A)，( C， A， B)，( C， B， A)，共6种，此中 B 先于 A，C经过的有： (，，)和(，， ) ，共 2 种，故所求概率＝2＝1.B C A B A C P633．从分别写有，，，，的 5 张卡片中任取 2 张，则这2 张卡片上的字母恰巧是按字母A BCDE次序相邻的概率为()1 2 37A. 5B. 5C. 10D. 10答案B分析可看作分红两次抽取，第一次任取一张有 5 种方法，第二次从剩下的 4 张中再任取一张有 4 种方法，因为 ( B，C) 与( C，B) 是同样的，故试验的全部基本领件总数为10，两字母恰好是按字母次序相邻的有( A，B) ， ( B，C) ， ( C，D) ，( D，E)4种，故两字母恰巧是按字母顺4 2序相邻的概率为 P＝＝.10 54．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()1 1 12A. B. C. D.6 2 33答案C分析基本领件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共六个，甲站在中间的事件包含：乙甲丙、丙甲乙，共 2 个，所以甲站在中间的概率为21＝＝ . P635．从 2,3,8,9 任取两个不一样的数字，分别记为a， b，则log a b 为整数的概率＝________.答案1 6分析从 2,3,8,9 任取 2 个分别为记为 ( a，b) ，则有 (2,3) ， (3,2) ， (2,8)， (8,2)， (2,9)，(9,2) ， (3,8) ， (8,3) ，(3,9) ，(9,3) ， (8,9)，(9,8) ，共有 12 种状况，此中切合log a b为整数的有 log 3 9 和 log 2 8 两种状况，∴＝2＝1.P1261.古典概型是一种最基本的概型．解题时重要紧抓住古典概型的两个基本特色，即有限性和m等可能性．在应用公式P( A)＝n时，重点是正确理解基本领件与事件 A 的关系，进而求出 m, n. 2．求某个随机事件 A 包含的基本领件的个数和试验中基本领件的总数常用的方法是列举法( 画树状图和列表) ，注意做到不重不漏．3．关于用直接方法难以解决的问题，能够先求其对峙事件的概率，再求所求概率．。
高考数学一轮复习 11.2 古典概型精品教学案(教师版)新人教版
【考纲解读】1．理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.概率是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，一般以实际应用题的形式考查，又经常与其它知识结合，在考查概率等基础知识的同时，考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持以实际应用题的形式考查概率，或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 3．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.【例题精析】考点一 古典概型例1.（2010年高考山东卷文科19） 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m <+的概率. 【解析】（I ）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个。
从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个。
因此所求事件的概率为1/3。
（II ）先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果（m, n ）有：（1,1）(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1)(3,2), (3,3) (3,4),(4,1) （4,2），（4,3）（4,4），共16个有满足条件n ≥ m+2 的事件为（1,3） （1,4） （2,4），共3个 所以满足条件n ≥ m+2 的事件的概率为 P=3/16故满足条件n<m+2 的事件的概率为【名师点睛】本小题主要考查古典概型,考查了学生分析问题、解决问题的能力.【变式训练】1.(2012年高考山东卷文科18)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.考点二古典概型与其它知识的结合例2.(2011年高考广东卷文科17)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n 1234 5成绩x n7076727072(1)求第6位同学的成绩x6(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．【解析】(1)∵这6位同学的平均成绩为75分，∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90，这6位同学成绩的方差【变式训练】2.（2009年高考山东卷文科第19题）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车A 轿车B 轿车C舒适型100150z标准型30045060010辆．(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件【易错专区】问题：综合应用例.(2010年高考浙江卷文科17)在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点，在APMC 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F ，设G 为满足向量OG OE OF =+的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为 。
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第5讲 古典概型最新考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.知 识 梳 理1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.3.如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝mn.4.古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.( )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.( )(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.( ) (4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.( )解析 对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，应利用几何概型求概率，所以(4)不正确. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.(必修3P127例3改编)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( ) A.118B.19C.16D.112解析 所有基本事件的个数为6×6＝36，点数之和为5的基本事件有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)共4个，故所求概率为P ＝436＝19.答案 B3.(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15B.25C.825D.925解析 甲被选中的概率为P ＝C 11C 14C 25＝410＝25.答案 B4.(2017·嘉兴一模)从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是________. 解析 所求概率为P ＝1－C 22C 25＝910.答案9105.从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为奇数的概率是________. 解析 和为奇数的两个数为一奇一偶，故所求概率为P ＝C 13C 13C 26＝915＝35.答案 356.(2017·金华十校联考)如果下了课后，教室里最后还剩下3位女同学，2位男同学，一会儿又走了一位女同学.如果没有两位同学一块儿走，则下一位是男同学走的可能性为________. 解析 已知走了一位女同学，还剩下两位女同学和两位男同学，所有走的可能顺序为(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)一共6种.那么下一位是男同学的可能性只有(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，故P ＝36＝12，∴下一位是女同学走的可能性为1－12＝12.答案 12考点一 基本事件与古典概型的判断【例1】 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法.又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为511，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.规律方法古典概型需满足两个条件：①对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；②对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的.【训练1】 (1)下列问题中是古典概型的是( )A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B.掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率C.在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率D.同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是5的概率(2)将一枚硬币抛掷三次共有________种结果.解析(1)A、B两项中的基本事件的发生不是等可能的；C项中基本事件的个数是无限多个；D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个.(2)设出现正面为1，反面为0，则共有(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(1，0，0)，(0，1，1)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)8种结果.答案(1)D (2)8考点二简单的古典概型的概率【例2】将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率.解 由题意，先后掷2次，向上的点数(x ，y )共有n ＝6×6＝36种等可能结果，为古典概型. (1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B ，则事件B 与“两数均为偶数”为对立事件，记为B .∵事件B 包含的基本事件数m ＝C 13C 13＝9.∴P (B )＝936＝14，则P (B )＝1－P (B )＝34，因此，两数中至少有一个奇数的概率为34.(2)点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15的内部记为事件C ，则C 表示“点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15上或圆的外部”.又事件C 包含基本事件：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共有8个.∴P (C )＝836＝29，从而P (C )＝1－P (C )＝1－29＝79.∴点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15上或圆外部的概率为79.规律方法 计算古典概型的概率可分三步： (1)算出基本事件的总个数n ；(2)求出事件A 所包含的基本事件个数m ；(3)代入公式求出概率P .解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法.【训练2】 (1)(2015·广东卷)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A.521B.1021C.1121D.1(2)(2016·江苏卷)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________.解析 (1)从袋中任取2个球共有C 215＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有C 110C 15＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为50105＝1021.(2)将一颗质地无均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有36种，其中点数之和不小于10的有(6，6)，(6，5)，(6，4)，(5，6)，(5，5)，(4，6)，共6种，故所求概率为1－636＝56.答案 (1)B (2)56考点三 复杂的古典概型的概率【例3】 (2015·四川卷改编)某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100，因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为 1－1100＝99100. (2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A ，记“参赛女生有2人”为事件B ，“参赛女生有3人”为事件C .则P (B )＝C 23C 23C 46＝35，P (C )＝C 33C 13C 46＝15.由互斥事件的概率加法， 得P (A )＝P (B )＋P (C )＝35＋15＝45，故所求事件的概率为45.规律方法 (1)求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解. (2)注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用.【训练3】 (2016·威海模拟)一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红球4个，编号分别为1，2，3，4，白球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同).(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率； (2)在取出的3个小球中，求小球编号最大值为4的概率. 解 基本事件总数为n ＝C 36＝20，(1)取出的3个小球中，含有编号为4的小球的基本事件个数为m ＝C 12C 24＋C 22C 14＝16，∴取出的3个球中，含有编号为4的小球的概率P＝mn＝1620＝45.(2)小球编号最大值为4的基本事件个数为C23C12＋C13C22＝9，所以，小球编号最大值为4的概率P＝9 20 .[思想方法]1.古典概型计算三步曲第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个.2.确定基本事件个数的方法列举法、列表法、树状图法或利用排列、组合.[易错防范]1.古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的.2.对较复杂的古典概型，其基本事件的个数常涉及排列数、组合数的计算，计算时要首先判断事件是否与顺序有关，以确定是按排列处理，还是按组合处理.。