联想(二)

于是有
sin n A cosn A sin 2 A cos2 A 1
即
a n b n ( ) ( ) 1, c c
从而就有
a b c .
n n n
例4 一个整系数四次多项式 f ( x) ,若有四个不同的整数 a1, a2 , a3 , a4 , 使得
f (a1 ) f (a2 ) f (a3 ) f (a4 ) 1 求证：对任何整数 都不能使 f ( ) 1
即
x z 2 y 0,
2y x z
例1 若( z x) 4( x y)( y z ) 0 , 证明2 y x z.
2
分析3 由于已知条件具有轮换对称特点，此特点的充分利用 就是以换元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利 .
证法3
设 则
数学是一门工具学科，在生活中，随处存在着数 学，它的思想，不仅为我们解决基本的课本知识，更 重要的是它将帮助我们解决实际的问题，数学来源于 生活，又将应用于生活，这是学习数学的根本。如果 没有一种联想的能力，只能解决书本中的问题，不能 灵活的应用，当然也和创新教育相违背。再者，从数 学本身的学科性质而言，它是注重于逻辑思维的培养， 需要空间想象能力和逻辑思维能力相结合，一个没有 联想能力的人，很难将文字和图形有机结合，并巧妙 的解决问题。联想有助于学生将所学知识，灵活的应 用。
荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾说过：
真正的数学家——常常凭 借数学的直觉思维作出各种联 想和猜测，然后加以证实。
笛卡儿通过“联想”与“类比”创立解析 几何。据历史上记载，笛卡儿在一次患病之后， 一天早晨醒来，躺在床上琢磨着几何与代数的 关系问题。通过“联想”，想到几何中最简单 的对象“直线”能和代数中最简单的对象 “一次方程”联系起来。一次他观察蜘蛛织网 时产生了联想，蜘蛛网由纵横经、纬线编织而 成，它凭这经、纬线能爬到任何位臵。仿此， 他用无数条平行线或垂直线画成坐标网，建立 点与有序数对（x,y)（即坐标）之间的对应关 系，这就是直角坐标系。
。
证：通过观察题设条件，可以联想到余数定理，根据余数定理有
f ( x) A( x a1 )( x a2 )( x a3 )( x a4 ) 1
因为a1, a2 , a3 , a4是四个不同的整数 , 所以对任何整数
,
( a1 )( a2 )( a3 )( a4 )
总之，我们在数学学习的每一 个环节中，都要重视数学思想方法 的学习、方法的掌握、思想的形成， 这样我们的数学素质及思维敏捷性 会发生质的变化，将会不断提高数 学的解题能力，享受茅塞顿开的喜 悦。
数学中不少结论由 于其巧妙无比而令人赞 叹，正是因为这一点， 数学才有无穷的魅力。
数学的学习是学生在教师的指导下， 利用已有的数学知识、数学思想方法去 解决问题，培养学生的创新思维和实践 能力，培养学生思维的广阔性。而联想 思维方法是培养学生创新思维、实践能 力和思维广阔性的必备思维，只有将书 本知识进行拓展，联想到实际，才能更 好地解决问题。
初看此题，不难看出是一道已知三者(a, b, c)关系，求三者之间比例的题型。再者，一个方程是不 能求出a或b或c的。这时就必须要用整体求解的方法。但在具体的实施过程中，我们发现(a - b)， (b - c), (c - a)三者之间没有直接必然的联系。此时，我们运用联想思维，由( 3 ) 2 3联想到一元 二次方程根与系数的关系，即可以看成一元二次方程(a - b)x 2 (b - c)x (c - a) 0, 而 3就是 此方程的一个根，代入此方程也成立。故是方程的根， 又因通过观察知道1也是这个方程的根。所以 就可以把已知的知识和未知知识联系起来，使本来困难重重的题目变得非常通畅。故根据此思想， cb ca (c - b)(c - a) 又由韦达定理得到，3 1 , 3 1 ,即 （ 3 1 ） 3 3 3， a b a b (a - b) 2 通过此题我们惊喜地发现联想思维对该题的重要性，犹如拨云见天。
§２
联
想
联想的含义
联想是指由于某人或某事物而想 起其他相关的人或事物，由于某概念 而引起其它相关概念心理活动。它既 指由当前的事物回忆起相关的另一事 物，也指由想起的一事物又想起有关 的其他事物。

联想，是一种心理活动的方式，也是一种重要的构思方式。 它的特点是，从某一事物想到与之有一定联系的另一事物。 我们在生活中，随时随地会产生联想。一提到“秋风”，往 往立刻会想到“落叶”，为什么会想到“落叶”呢？因为 “秋风”和“落叶”不但在时空上往往相伴出现，而且它们 之间还有一定的因果关系，这就是“相关联想”和“因果联 想”。我们好把小朋友比作“花朵”，因为花朵的鲜艳、惹 人喜爱，和小朋友有相似之处，这就是“相似联想”。当我 们提到被父母遗弃的孤儿时，会自然想到我们在父母身边的 幸福，这就是“对比联想”。我们看到一位慈祥的女教师时， 往往会想到妈妈，因为她们在某些方面相近，对我们都是一 样的关怀、体贴，这就又是“相近联想”了。由此可见， “相关”“因果”“相似”“对比”“相近”，就是一事物 与另一事物的联系，这种联系就是“联想的桥梁”。
即
2y x z
简 评：

证法1引入辅助方程的方法，技巧性强，给人 以新鲜的感受和启发。 证法2是常用方法，略嫌呆板，但稳妥可靠。

证法3简单明了，是最好的解法，其换元的技 巧有较大的参考价值。
通过一题多解，培养学生思维的灵活性。

例2 已知 a、b、c均为正数,且满足关系式a b n 为不小于3的自然数，求证: a n b n c n .
若x y 0,
即
由已知条件知
z x 0,
x y z, 显然也有2 y x z.
分析2 要证 2 y x z, 直接的想法是展开已知条件去寻找转换。 证法2
( z x) 2 4( x y)( y z) 0,
z 2 2 xz x 2 4 xy 4 xz 4 y 2 4 yz 0, ( x z ) 2 2 2 y ( x z ) (2 y ) 2 0, ( x z 2 y ) 2 0,
例1 若( z x) 4( x y)( y z ) 0 , 证明2 y x z.
2
分析1 观察已知条件的特点,它与一元二次方程判别式相似,联想到借 助一元二次方程的知识来证题。 证法 1
当x y 0时,
把等式看作关于t 的一元二次方程：
x y
( x y)t 2 ( z x)t ( y z) 0,
想象指想出不在眼前的具体形象或情 景。在原有材料的基础上，创造出没有经 历过的，甚至是现实中根本不存在的事物 形象。 联想可以使我们的思维缜密，想象可 以使我们的思维活跃。想象和联想结合起 来，可以为我们的思维，提供更广阔的空 间。
ห้องสมุดไป่ตู้
联想是以观察为基础，对研究的对 象或问题的特点，联系已有的知识和经 验进行想象和思维方法。联想是一种自 觉的和有目的的想象，是由当前感知或 思考的事物，想起有关的另一事物，或 由此想起其他事物的心理活动。
2
2
c 2,又
解 由条件联想到勾股定理, a、b、c 可构成直角三角形的三边，
设 a、b、c 所对的角分别为
A, B, C
,
则 C 是 直角， A为锐角，于是
a b sin A , cos A , 且0 sin A 1, 0 cos A 1, c c
当n 3时, 有
sin n A sin 2 A , cosn A cos2 A
数学在培养和提高人的思维能力 方面有着其他学科所不可替代的独特 作用，这是因为数学不仅仅是一种重 要的“工具”或者“方法”,更重要的 是一种思维模式，表现为数学思想。
古希腊哲学家亚里斯多德指出:“我 们的思维是从与正在寻求的事物相似的 事物、相反的事物或者与它接近的事物 开始进行的。以后,便追寻与它相关联的 事物,由此而产生联想。”
例如 已知3(a - b) 3 (b - c) (c - a) 0, (a b)求
(c - b)(c - a) 的值。 2 (a - b)
例如 已知3(a - b) 3 (b - c) (c - a) 0, (a b)求
(c - b)(c - a) 的值 ， (a - b) 2
应是四个不同整数的乘积，而这个积不能等于-2，因而
f ( ) A( a1)( a2 )( a3 )( a4 ) 1
不可能等于-1。
例5 已知p，p+10，p+14 是素数,求p. 解 观察知 p=3. 再试下去p=5,7,11,
,不能使p+10, p+14为素数,
在数学解题中，根据题设条件和 所求结论合理地展开联想是一种非常 重要的数学思维方法，它往往可以快 速地架起一座沟通已知与未知的桥梁， 从而达到解决问题的目的。

在数学思维活动中，联想可以沟通数学对象和 有关知识间的联系。而联想思维是人们在认识事物 的过程中，根据事物之间的某种联系，由一事物联 想到另一事物的心理过程。它是一种由此及彼的思 维活动。联想思维在认识活动过程中起着桥梁和纽 带的作用。对于一些未知的数学知识，通过已知知 识和未知知识之间的联系，从而使一些有未知知识 的数学问题得以解决。在数学的具体解题过程中， 通过对题设中的条件、图形特征以及求解目标分析， 从而联想到有关已知的定义、定理、法则等，最终 找到解题的思路和方法。
联想是想象的基础，是想象的开端，
想象是在联想基础上的再创造 。
联想和想象是你中有我,我中有你,经
常处于“伴生”状态。
数学联想是数学想象的一种，是 依据已掌握的各种信息,通过数学形 象和数学直觉的有机结合,对数学形 象的性质、特征、规律进行推想、探 索和推理。在很多场合,联想会导致 真理的发现,因此联想是一种具有发 现功能的思维方法。
x y a, y z b,
x z a b.
如果一个代数式中的字母按 照某种次序轮换，所得代数 式和原代 数式恒等，那么这 个代数式叫做关于这些字母 的轮换对称式。
于是，已知条件可化为：
(a b) 2 4ab 0 (a b) 2 0 a b x y y z.
逆向联想,否定p取其他值,采用反证法.
设k N ,因p是素数, 所以p 3k (k 2), 故假设 p 3k 1, 或 p 3k 1 为素数. 若p 3k 1, 则有p 10 3(k 9)不是素数. 若p 3k 1, 则有p 14 3(k 5)不是素数. 当p 3时, 3,13,17是素数. 当p 4时, 不合题意. 可见p 3.

爱因斯坦认为：科学研究真正可贵的因 素是直觉思维，同样，数学解题中联想灵感 迸发也离不开直觉思维。对问题在作全面的 思考之后，不经详尽的推理步骤，直接触及 对象的本质，迅速得出预感性判断。可以说 联想是灵感诱发而产生的。特别地，在一些 若干问题往往无从下手，着不到边。这时就 需由联想来产生解题灵感。使本来困难、受 阻的题目，迎刃而解。
其判别式
( z x)2 4( x y)( y z ) 0,
故方程有等根，进一步观察方程,它的两个等根是1,
yz t t 由韦达定理知 1 2 x y 1 x y y z 2 y x z. 或 t1 t2 zx 2 2 y x z. x y

中国电脑第一品牌“联想”在刚刚 推向市场时，设计了一则令人叫绝的广 告语——如果人类失去了联想，世界将 会是什么样？广告的创意确实高超，它 启迪人们在对联想的品味中深深地记住 了这个品牌。
联想的方法
联想可分接近联想、类比联 想、关系联想和逆向联想等。联 想是有规律可循的,是一种再造 性想象。它是一种合情的推理， 是培养学生思维灵活性和敏捷性 的重要途径。