第四章随机变量的数字特征

1. D(c)=0.(c为常数)
2. a,b为常数，则D(aX+b)=a2DX. 特别：D(aX)=a2D(X),D(-X)=DX, D(X+b)=DX.
3. D(X)=0<=>P(X=c)=1,(c=EX为常数).
4.若X,Y独立，则D(X+Y)=DX+DY. 注: (1) 若X1，X2，…，Xn相互独立，则 D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+E(Xn). (2) 若X,Y相互独立，则 D(X-Y)=D(X)+D(Y); D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y). 5. 对任意的x∈R, D(X)≤E(X-x)2.
求(1)a,b;（2）EX.
例4.设连续型随机变量X的概率密度f(x)满足 f(c+x)=f(c-x), -∞<x<+∞. 其中c为常数，且X的数学期望存在，证明EX=c.
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注：Γ函数在计算期望时经常用到
( )
(2)若X是连续型的，其概率密度为f(x), 且- |g(x )|f ( x )dx 收敛，则有
EY E[ g ( X )] g(x ) f ( x )dx
-
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例7.国际市场每年对我国某种商品的需求量 是随机变量X（吨），它服从区间[2,4]（单 位：吨）上的均匀分布.设每售出商品一吨， 可挣外汇3千元；每积压一吨，则损失1千元. 问需要组织多少货源，才能使收益的期望最 大？
由2和3可得： E(aX+bY)=aEX+bEY; E(a1X1+a2X2+…+anXn+b)= a1EX1+a2EX2+…+anEXn+b 4.若X,Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y). 推广：若X1,X2,…,Xn相互独立，则 E(X1X2…Xn)=E(X1)E(X2)…E(Xn)
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1
随机变量的方差
设X是一个随机变量.若E[X-E(X)]2 存在，则称之为随机变量X的方差， 记为D(X)或Var(X),即 D(X)=E[X-E(X)]2. 并称 ( X ) D( X ) 为X的标准差. 注: (1)方差的计算: (2) 常用公式： D(X)=E(X2)-(EX)2.
注:(1)绝对收敛. (2)数学期望是一种加权平均. (3)随机变量的数学期望可能不存在.
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举例
例1：设X的分布律为 P(X=k)=1/2k,(k=1,2,…). 求EX.
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1
随机变量的协方差
定义：设二维随机变量(X,Y)的函数 (X-EX)(Y-EY)的数学期望E[(X-EX)(YEY)]存在,则称之为随机变量X与Y的协 方差.记为Cov(X,Y).即
Cov(X,Y)= E[(X-EX)(Y-EY)]. 注:(1)协方差的求法: (2)常用公式： Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY. (3) Cov(X,X)=E(X2)-(EX)2=DX.
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定理：设随机变量Y是随机变量X的函数 Y=g(X), y=g(x)是连续函数，
(1)若X是离散型的，且分布律为 P(X=xi)=pi,i=1,2,…. 且 | g ( xi ) |pi 收敛，则有
i i
EY E[ g ( X )] g ( xi ) pi .
例9.已知联合概率密度为
12 y 2 , 0 y x 1, f ( x, y ) o.w. 0,
求EX,EY,E(XY),E(X2+Y2).
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例10.已知随机变量X1,X2均服从区间(0,1)上 的均匀分布，且相互独立. 若X=max{X1,X2},
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第四章 随机变量的数字特征
4.3 随机变量的协方差与相关系数
内 容 提 要
1
随机变量的协方差
2
随机变量的相关系数
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协方差的性质：
(1) Cov(X,Y)=Cov(Y,X);
(2) Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);
(3) Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y);
(4) D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y).
例11.已知随机变量X～N(50,1), Y～N(60,4). Z=3X-2Y-10. 求EZ.
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第四章 随机变量的数字特征
4.2 随机变量的方差
内 容 提 要
1
方差的定义
2
3
方差的性质 常见分布的期望与方差
3
随机变量函数的数学期望
已知X的数学期望，求Y=g(X)的数学期望.
方法1. 先求Y的分布，再求Y的期望.
方法2. 不求Y的分布而直接计算其期望. 例5.设随机变量X的分布律为
X PX -1 0.2 0 0.3 1 0.5
求Y=X2+X-1的数学期望. 例6.设随机变量X～U(0,π/2),求Y=sinX的期望.
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已知(X,Y)是二维随机变量，g(x,y)是二元连续函数.
(1).若(X,Y)是离散型的，且联合分布律为 P(X=xi,Y=yj)=pij, i,j=1,2,…, 且级数ΣiΣjg(xi,yj)pij绝对收敛，则随机变量g(X,Y)的 数学期望为 E[g(X,Y)]=ΣiΣjg(xi,yj)pij (2).若(X,Y)是连续型的，且联合概率密度为f(x,y), 且 积分 g ( x, y ) f ( x, y )dxdy 绝对收敛，随机变量g(X,Y) 的数学期望为 E[g(X,Y)]=
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例1.设X的分布律为P(X=k)=1/2k, k=1,2,…. 求DX.
例2.设X～N(μ,ς2).求D(X)和ς(X).
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Y=min{X1,X2}. 求(1)EX,EY; (2)E(X+Y).
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1. E(c)=c.(c为常数)
2. a,b为常数，则E(aX+b)=aEX+b. 特别：E(aX)=aE(X).
3. E(X+Y)=EX+EY.

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g ( x, y ) f ( x, y )dxdy
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例8.已知联合概率分布律为
Y -1 0 1 X 1 0.2 0.1 0.1 2 0.1 0 0.1 3 0 0.3 0.1
求EX,EY,E(Y/X),E[(X-Y)2].


-
xf ( x )dx
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2
连续型随机变量的数学期望
定义：设连续型随机变量X的概率密度函数
为f(x).若积分


-
|x|f ( x )dx 收敛，则称X的数
学期望存在，并将
望或均值.即


-
xf ( x)dx 称为X的数学期 xf ( x)dx
且
+ 0
x
1 x
e dx 2
+
0
x
2 1 x 2
e
dx ( 0)
( +1) ( ); ( n +1) n !; (1) 1; 1 ( ) π . 2
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2
连续型随机变量的数学期望
设X是连续型随机变量，其概率密度函数为f(x). 要求X的数学期望：
(1)取值离散化：设在区间(xi-1,xi]上，X≈xi; (2)概率离散化： 设在(xi-1,xi]上，P(xi-1<X≤xi)≈f(xi)Δxi (3)类似离散型随机变量，对乘积求和并取极限得 期望.记T=max{Δxi:i=1,2,…n},则 EX=limT->0Σixi f(xi)Δxi=
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解:(1)1-(1-p)k; (2) EX=N[1-(1-p)k+1/k]; (3)k应满足：k2(1-p)kln(1-p)+1=0. 特别，当p=0.05时，可解得k=5.若 N=1000,则用方案(II)需化验 1000（1-0.955+1/5）= 426(次).
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3
常见分布的期望与方差 分布 期望 p np λ 方差 p(1-p) np(1-p) λ
0-1分布B(1,p) 二项分布B(n,p) 泊松分布P(λ)
几何分布g(p)
均匀分布U(a,b) 指数分布EXP(λ) 正态分布N(μ,σ2)
EX=
注：若

-


-
|x|f ( x )dx 发散，则称连续型随机变
量的数学期望不存在.
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例3.设连续型随机变量X的分布函数为
x 1, 0, F ( x) a b arcsin x, 1 x 1, 1, x 1.
例2:设某团体有N个人，为普查某种疾病都去 验血.验血可分两种方式： (I)每个人分别验，共需N次； (II)按每k个人一组进行分组检验. 对每一 组，将该组每个人所抽的血取出一半混合在一 起验，若呈阴性，则该组均为阴性,且k个人只 需化验一次；若呈阳性，则再对这k个人分别 验，此时k个人需要k+1次检验. 假定对所有人，验血的结果呈阳性的概率为p, 且这些人的化验结果是相互独立的.试求： (1)k个人的血混合后呈阳性的概率; (2)在方案(II)中，检验N个人所需的化验次数 X的数学期望； (3)k取什么值时，(2)的数学期望最小.
1/p
(a+b)/2 1/λ μ
(1-p)/p2
(b-a)2/12 1/λ2 σ2
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例3.(分解变量法)设X服从二项分布B(n,p), 再求EX,DX.
例4.一套仪器有n个独立元件组成，第i个发 生故障的概率为pi,(i=1,2,…,n).问整套仪 器平均有多少个元件发生故障？
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第四章 随机变量的数字特征
4.1 随机变量的数学期望
内 容 提 要
1 2
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
3
随机变量函数的数学期望
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1
离散型随机变量数学期望
设X是离散型随机变量，其分布律为 P(X=xi)=pi, i=1,2,…. 若|x1|p1+|x2|p2+…+|xi|pi+…存在，则称 x1p1+x2p2+…+xipi+… 为随机变量X的数学期望或均值，记为EX, 即EX=Σixipi.