32 直接带材料的光吸收

3.2 直接带材料的光吸收
上一小节讨论了晶体在与频率ω的光相互作用下，产生的电子态间的跃迁，并导出了几个重要的选择定则。

由此得到，一个允许的元跃迁过程，是一个
电子在满足能量守恒的状态v ks 与cks
（,k s 守恒）间
的跃迁，其速率可表示为：
()
()
2
2
0v v v 2c ks
cks
ck k eA P p E k E k m πφπφδω→⎛⎫⎡⎤
=⋅-- ⎪⎣
⎦
⎝⎭
（3.2-1）
其中：
()()(
)
*
v v
,,ck
k c V
p k r
i k r dr
φπφπφφ⋅=⋅-∇⎰
积分区间为晶体体积。

上式中最后一个因子δ函数，是能量守恒的要求。

这一小节，我们将从上述微观跃迁过程出发来得出物质的宏观光学性质。

鉴于频率ω的光可能引起多个上述类型的元过程，这些元过程可以涉及不同的带v 和c 的组合，以
及不同的波矢k
及自旋s ，因而在考察频率ω的光与
晶体相互作用引发的总效应时，就需要把各种可能的过程都考虑进来。

以晶体对光的吸收为例，这些跃迁
过程都对吸收速率有贡献，总的吸收速率就是所有这些有贡献的元过程的速率之和。

要指出的是，有贡献的元过程，其初态（单电子态vks ）必须是被电子占据的，末态（cks ）则是空的。

也就是说，求和时要考虑到具体问题中各种状态被电子占据的情况。

下面我们考察一种最单纯的情况，即晶体的温度0T
K
=时的吸收。

这时，价带被电子填满，导带是空的，电子布据的情况最简单，吸收跃迁速率的计算较方便。

下面我们来给出，在频率ω的光作用下，晶体单位体积，单位时间里的电子跃迁总速率的一般表达式。

对各种可能的跃迁求和，包括对各种可能的带v 和c 的组合，以及对每一确定的v 和
c ，对波矢k
和自旋s 求和。

对k
求和就是在第一布里渊区内的积分。

考虑到两种自旋取向，在k
空间里的电子态密度为
()
3
2
2V
π⋅。

对单位体积的晶体 1V
=，总跃迁速率为
()
(
)
()
()
2
2
03
v v ,222c
v ck k c B Z
eA dk
W
p E k E k m πωφπφδωπ⎛⎫⎡⎤
=⋅-- ⎪
⎣
⎦
⎝⎭
∑⎰
（3.2-2）
进一步把上述跃迁速率的微观表达式与物质的宏观
光吸收性质联系起来
为此先对材料宏观光学性质的描述作一回顾。

光作为电磁波，它在介质中传播的行为遵循麦克斯韦方程。

介质的特性归结为介电常数0=r εεε和导磁系数
0r μμμ=。

人们感兴趣的光学材料大多为非磁性介质，其相
对导磁系数1r μ=。

对这样的非磁性介质，其光学性质就由它的介电常数决定。

下面的讨论限于这样的材料。

下面的讨论还做了下述限定。

对很多晶体，其光学性质是各向异性的。

这时介电常数是张量。

我们的目的是建立微观与宏观量之间的联系，为了避免复杂的数学表述，我们
限于讨论各向同性介质，其介电常数退化为标量。

当外界的光辐射场比材料内部的微观电场弱得多时，很多材料的光学性质可
以很好的近似认为是线性的，即0r D E E εεε== 中的介电系数ε不
依赖于电场强度。

在这样的限定下，吸收介质的光学性质由复介电函数描述：
12r i εεε=+。

由关系式2
r N ε=，又可给出相应的复折射系数
N n i κ
=+，其中，n
为通常的折射率，κ为消光系数。

由 ()2
2
2
122r
N n i n i κ
κε
εε=-+==+，
可得它们与介电系数的关系为：
2
2
12,2n
n κ
εκε-== （3.2-3）
为具体了解它们的物理意义，
考察介质中的单色平面波。

设波的传播方向为z ：
()
()00exp exp E E i k r t E i kz t ωω⎡⎤=⋅-=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦
（3.2-4） 复数波矢可由关系式
()
()
12
12
000r c k
N
ω
εμεεμ--===
得到：
N n i k c c c ωωκω=
=
+
（3.2-5）
于是该单色平面波为：
000exp exp nz z E E i t c c κωω⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=--⎨⎬ ⎪ ⎪
⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭
（3.2-6）
上式后一个因子表明，这个波随着往前传播，振幅不断衰减，也即消光系数κ描述了光在传播中不断变弱。

实验上，人们是测量光束的强度（能流密度）随通过介质的距离z 的变化()I z 来确定介质对光的吸收的强弱。

因为光束的能流密度正比于场强的平方，于是有：
()2
02exp exp z I E z c κωα⎛⎫
-=- ⎪⎝
⎭ ，即()()0exp I z I z α=-，
（3.2-7）
其中α称为材料的吸收系数，它正是实验测量的光束通过单位距离的介质后强度的相对减弱，即 ()dI
I z dz α-=。

它与消光系数的关系为：0
2c κωα=。

由2
2n εκ
=，又可得
20
nc ω
αε=。

我们现在可把这些宏观测量的物理量，吸收系数，或消光系数，或介电常数的虚部，用微观跃迁过程的速率来表示。

吸收系数定义：通过单位距离的介质，光束能流密度的减小，就是单位体积材料在单位时间里所吸收的光能。

它等于单位体积材料在入射光作用下的跃迁速率乘上光子能量。

而光束能流密度则等于光场能量密度ρ乘以光速0c n 。

于是用微观跃迁速率表示的吸收系数为
()
0W c n
ωωαρ
=。

（3.2-8）
在电磁理论中，辐射场模k
()()()
*
k k k k k k k ,exp exp A r t A i t k r A i t k r πωπω⎡⎤⎡⎤
=--⋅+-⋅⎣⎦⎣⎦
（3.2-9）
的能量密度 222*
k k k k k k
1122E B A A ρεεωμ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭
（3.2-10）
下面为简单起见省略下标k ，振幅表示为0k A A =。

该模式的能流密度则为
22
2A ρεω=，因而吸收系数可表示为：
()
()()()2
2000
22
20000
00
222r W W c c A n
n
W W c nc A
A
n
ωωωωαρ
εωωωωεωεεω=
=
=
=。

（3.2-11）
代入()W ω的表示式，就得到晶体带间吸收系数的一般式：
()
()
()
()
()
()
2
2
032
v v ,0002
232v v ,00222222c
v ck k c B Z c
v ck k c B Z eA dk
p E k E k nc A m e dk p E k E k nc m παφπφδωεωππφπφδωεωπ⎛⎫⎡⎤
=⋅-- ⎪⎣
⎦
⎝⎭⎡⎤
=⋅--⎣⎦
∑⎰∑⎰
（3.2-12）
或者用介电常数虚部来描述介质的光吸收性质：
()
()
()
2
2
23
2
2
v v ,022c
v ck k c BZ
nc e
dk
p E k E k m
πεαφπφδωω
εωπ⎡⎤
=
=
⋅--⎣
⎦
∑⎰
（3.2-13）
由于()2εω表达式不含折射率n ，有些场合用起来更方便。

上面我们给出了理想晶体由直接跃迁（或竖直跃迁）决定的吸收系数（光谱）的微观表达式。

其中的求和与积分因子显然依赖于具体材料具体的能带结构。

表达式的具体形式因材料而异。

最后要说明的是，这里讨论的吸收是对处于基态的绝缘晶体和半导体，即价带填满，导带是空的这样一种特定情形。

在这种情形，从价带到导带的各种许可
的跃迁，初态都有电子占据，末态都是空的，因而都是可以发生的，在求和，积分时均需加以考虑。

若材料偏离基态，则价带有未被电子占据的状态（即空穴），以它为初态的跃迁自然不能存在，在求和时，应把这样的态排除。

同样导带有了已被电子占据的状态，以它为终态的吸收也不可能发生了。

不管如何，这时的求和必须考虑到具体的电子分布情况。

在很多实际问题中，只要温度不是很高，晶体中只有少量价带电子被激发到导带，求和中涉及大量的跃迁，需要剔除的只是很小一部分，因而上面对理想基态所得结果仍然是足够好的近似。