线性系统的根轨迹法自动控制原理
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自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
① 实验点sd左侧实 轴上零极点提供 00相角
可见当sd右侧23 实轴上有奇数个零极自动控点制原时理 ，sd是根轨迹上的点
例.绘制开环传递函数为
GS
SS
K1
1S
2
的单位反馈
系统的根轨迹
解： ① 开环极点 0，-1，-2 为根轨迹起点。
② 开环无零点，故三个分支终点均趋向无穷远。
③ 实轴上根轨迹：(-∞,-2],[-1,0]
依据，凡满足上述两条件的必是特征方程的根， 必在根轨迹上。
6
自动控制原理
• 开环传递函数的两种因子形式
m
k1 S Z j
GS H S
j 1 n
S Pi
i 1
m
k Z j S 1
GS H S j 1
m
pi S 1
i 1
零极点形式 时间常数形式
7
自动控制原理
m
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
自动控制原理第5章根轨迹分析法
系统参数设计
1
根轨迹分析法可以用于设计系统的参数。通过观 察根轨迹图，可以确定系统极点的最佳位置，从 而确定系统的最佳参数。
2
例如，在设计控制系统的控制器时，可以通过根 轨迹分析法确定最佳的开环增益和积分时间常数 等参数。
3
根轨迹分析法还可以用于指导控制系统参数的调 整和优化，提高系统的性能和稳定性。
03
CATALOGUE
根轨迹分析法的应用
系统稳定性分析
根轨迹分析法可以用于判断系统的稳定性。通 过绘制系统的根轨迹图，可以观察到系统极点 的位置变化，从而判断系统是否稳定。
当系统的所有极点都位于复平面的左半部分时 ，系统是稳定的。若极点位于复平面的右半部 分，则系统是不稳定的。
根轨迹分析法还可以用于分析系统在不同参数 下的稳定性，为系统参数的调整提供依据。
复杂系统的根轨迹分 析可能需要更多的计 算资源和时间。
需要采用高级算法和 技术来处理和分析复 杂系统的根轨迹。
根轨迹分析法的误差与精度问题
01
由于根轨迹分析法基于数学模型，因此可能存在误 差和精度问题。
02
对于非线性系统和不确定性系统，根轨迹分析法的 误差和精度问题可能更加突出。
03
需要采用先进的算法和技术来提高根轨迹分析法的 精度和可靠性。
系统稳定性分析
分析闭环极点的分布和变化，判断系统的稳定性和动 态响应特性。
自动控制原理之根轨迹
第四章 线性系统的根轨迹法
4.1.3 根轨迹方程
由特征方程
D(s)=1+G(s)H(s)=0
m
∏ K g ( s − zi )
G(s)H (s) =
i =1 n
∏ (s − pj)
j =1
根轨迹方程
G(s)H(s)= -1
m
∏ K g
(s − zi)
i=1 n
= −1
∏ (s − p j)
j =1
S平面 Im
Re
-2
-1
0
第四章 线性系统的根轨迹法
4.2 根轨迹的绘制法则
首先： 写出特征方程并化成零极点的形式
例如：某开环系统的传递函数为 1. G(s)H(s)=k(s+3)/s(s+2)
1+ G(s)H (s) = 0
m
∏ k g (s − zi )
i=1 n
= −1
∏ (s − pj)
j =1
第四章 线性系统的根轨迹法
4.1 控制系统的根轨迹
R(s)
C(s)
k 1/s(s+2)
4.1.1 根轨迹的基本概念
根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征 方程式的根在s平面上的变化轨迹。
例如，某系统开环传递函数 闭环环传递函数
G(s) = k s(s + 2)
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法
根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念
4.1.1 根轨迹概念
所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统
其开环传递函数为
()K (0.51)
K
G s s s =
+
其闭环传递函数为
22()22K
s s s K
Φ=
++
式中：K 为系统开环增益。 于是闭环特征方程可写为
2220s s k ++=
对上式求解得闭环特征根为
1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。通过第3章的学习知道，系统
第4章 根轨迹法
·101·
·101·
特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
线性系统的根轨迹-自动控制原理实验报告
自动控制原理实验报告
实验题目：线性系统的根轨迹
班级：
学号：
姓名：
指导老师：
实验时间：
一、实验目的
1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。
3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 二、实验内容
同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。
2．1绘制下面系统的根轨迹曲线
)
136)(22()(22++++=
s s s s s K
s G
程序：
G=tf([1],[1 8 27 38 26 0]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹
[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统 step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线
-12
-10-8-6-4-20246
-10-8-6-4-2024
68
10Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
0204060
80100120140
0.10.20.30.40.50.6
0.70.80.9
1Step Response
Time (sec)
A m p l i t u d e
得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围：K>28.7425
2．2绘制下面系统的根轨迹曲线
)
10)(10012)(1()
12()(2
+++++=
s s s s s K s G 程序：
G=tf([1 12],[1 23 242 1220 1000]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
第4章 根轨迹分析法
引言
➢ 根轨迹分析法是在1948年由W.R.Evans提出的一种图解法， 主要用于分析高阶系统。
➢ 根轨迹法是用于分析和设计线性定常控制系统的一种工程 方法。具有简便、直观及物理概念明确等特点，因此在工程实 践中获得广泛应用。
➢ 本章重点研究的5个问题： 根轨迹法的概念、绘制根轨迹的规则、增加开环极、零点
n = 2, p1= 0, p2 = -2； m = 0
闭环系统特征方程式：s2 2s K 0
jω
s1,2 1 1 K
s1
K* s1
0
0
1
-1
2 - 1+j
∞ - 1+j ∞
s2 -2 -1 - 1-j
- 1+j ∞
起点 重根点
终点
× p2
×
p1 0
σ
s2
§4.2 绘制根轨迹的规则
利用根轨迹的性质（规则），可以绘制根轨迹的大致图形 （草图），基本能满足工程需求。
,
k
0,1, 2
取n-m个值。
规则6：根轨迹与虚轴的交点。 意义：是系统的临界稳定点。 特点：对应于系统闭环特征方程有纯虚根的点。
求法：
（1）将s = jω代入闭环特征方程得：1+G(jω)H(jω)=0，再令左 边复数多项式的实部、虚部分别为零，解不等式可得K*和 ω。则交点为： s =±jω。
引言
➢ 根轨迹分析法是在1948年由W.R.Evans提出的一种图解法， 主要用于分析高阶系统。
➢ 根轨迹法是用于分析和设计线性定常控制系统的一种工程 方法。具有简便、直观及物理概念明确等特点，因此在工程实 践中获得广泛应用。
➢ 本章重点研究的5个问题： 根轨迹法的概念、绘制根轨迹的规则、增加开环极、零点
n = 2, p1= 0, p2 = -2； m = 0
闭环系统特征方程式：s2 2s K 0
jω
s1,2 1 1 K
s1
K* s1
0
0
1
-1
2 - 1+j
∞ - 1+j ∞
s2 -2 -1 - 1-j
- 1+j ∞
起点 重根点
终点
× p2
×
p1 0
σ
s2
§4.2 绘制根轨迹的规则
利用根轨迹的性质（规则），可以绘制根轨迹的大致图形 （草图），基本能满足工程需求。
,
k
0,1, 2
取n-m个值。
规则6：根轨迹与虚轴的交点。 意义：是系统的临界稳定点。 特点：对应于系统闭环特征方程有纯虚根的点。
求法：
（1）将s = jω代入闭环特征方程得：1+G(jω)H(jω)=0，再令左 边复数多项式的实部、虚部分别为零，解不等式可得K*和 ω。则交点为： s =±jω。
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
69
4.5 广义根轨迹
1
2
2
2
0
( 0)
2 2 4
70
4.5 广义根轨迹
2. 根轨迹族
当系统有两个以上的参数变化时，绘制的根轨 迹称为根轨迹族。
71
4.5 广义根轨迹
绘制方法
1）选定一个参数为常数，另一个参数从0→∞ 绘制根轨迹；
关于第二个参数的 根轨迹
2）再改变第一个参数，重复绘制关于第二 个参数的根轨迹。
s3 1 2 0
s2 3 k* 0
s1
6 k*
3
s0
k*
k* 6 s j 2
38
方法二：
1
k*
0
j( j 1)( j 2)
(k * 32 ) j(2 3) 0
(k * 32 ) 0
(2
3
)
0
k* 6
2
39
Matlab仿真结果
40
法则八：闭环极点之和
当n m 2时：
j1 d p j
d 2.3
•分离角
d
2
54
G0 ( s)
s(s
k* 3)(s2
2s
2)
（6）根轨迹与虚轴的交点
闭环特征方程：s4 5s3 8s2 6s k* 0 s j
(4 82 k*) j(53 6) 0
自动控制原理胡寿松第6章
最优控制的方法和算法
极小值原理
通过求解哈密顿函数，得到最优控制 输入，使得系统性能指标达到最优。
线性二次型调节器算法
通过求解状态方程和代价函数，得到 最优控制输入，使得系统状态变量的 二次范数最小化。
动态规划算法
通过求解一系列贝尔曼方程，得到最 优控制输入，使得系统性能指标达到 最优。
梯度下降法
通过迭代计算梯度，不断更新控制输 入，使得系统性能指标逐渐逼近最优 值。
频率响应法的定义和性质
定义
频率响应法是一种通过分析线性系统对不同频率正弦波输入的响应来评估系统性能的方法。
性质
频率响应法具有明确的物理意义，能够提供系统的幅频特性和相频特性，从而全面反映系统的动态性 能和稳定性。
频率响应图的绘制方法
伯德图
01
通过绘制幅频特性和相频特性曲线构成的图，可以直观地了解
最优控制的应用实例
导弹制导
通过最优控制算法，实 现对导弹的精确制导，
提高命中率。
无人机控制
通过最优控制算法，实 现对无人机的稳定控制
和自主飞行。
机器人运动控制
通过最优控制算法，实 现机器人的精确运动和
姿态控制。
电力系统调度
通过最优控制算法，实 现电力系统的经济调度
和稳定运行。
THANKS
感谢观看
章节概述
自动控制原理根轨迹法总结
自动控制原理根轨迹法总结
【根轨迹法概述】
-根轨迹法是分析线性时不变系统稳定性和动态性能的一个重要工具。它通过在复平面上绘制闭环极点随系统参数变化的轨迹来实现。
【根轨迹法的基本原理】
1. 定义与目的：
-根轨迹是系统开环增益变化时，闭环极点在s平面上的轨迹。
-主要用于分析系统稳定性和设计控制器参数。
2. 绘制原则：
-根据系统开环传递函数，确定轨迹的起点和终点，分支点，穿越虚轴的点等。
-利用角度判据和幅值判据确定根轨迹。
【根轨迹法的应用】
1. 系统稳定性分析：
-根据闭环极点的位置判断系统的稳定性。
-极点在左半平面表示系统稳定，右半平面表示不稳定。
2. 控制器设计：
-调整控制器参数（如比例增益、积分时间常数、微分时间常数等），使根轨迹满足性能指标要求。
-确定合适的开环增益，使闭环系统具有期望的动态性能和稳定裕度。
【根轨迹法的优势与局限性】
-优势：直观、便于分析系统特性，特别是在控制器设计中。
-局限性：仅适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统不适用。
【实践中的注意事项】
-在绘制根轨迹时，应仔细考虑系统所有极点和零点的影响。
-必须结合其他方法（如奈奎斯特法、波特法等）进行综合分析。
【结语】
-根轨迹法是自动控制领域中一种非常有效的工具，对于理解和设计复杂控制系统具有重要意义。
-掌握根轨迹法，能够有效地指导实际的控制系统设计和分析。
编制人：_____________________
日期：_____________________
自动控制原理4 根轨迹法的基本概念
一般情况下
m
G(s)H (s)
K * (s z1 )(s zm ) (s p1 )(s p2 )(s pn )
K * (s zi )
i 1 n
(s pj )
G(s)
j 1
(s)
1 G(s)H(s)
G( s)H ( s)
(s
K*(s p1 )(s
z1 )(s zm ) p2 )(s pn )
举例
例 绘制图示系统大致的根轨迹
R(s)
（1）开环零点
m 1 z1 1
开环极点
n 3 p1 0 , p2 2 , p3 3
根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点，2条渐近线
（2）实轴上根轨迹
[3, 2] , [1, 0]
（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点
K * (s 1) C (s)
C由(s上)=式可b0见ssmn性++b能a11ss主mn--要11++由······系++ab统nm--1闭1ss++环abn传m 递函j数=1的R(极s)点决定。
负实=数极As0点+离s虚A-s1轴1 越+ 远…,+对应sA-s的nn 分=量As0 + 响e待s应j定t越衰系快减数. 越: 快系统Aj的=调K节r 时nim间=(s1(-就ss-j越z)i)短 (,s-sj)
(自动控制原理)4.4利用根轨迹分析系统性能
稳定性
如果根轨迹位于左半平面，则系统是稳定的。
动态响应
根轨迹的形状和位置可以反映系统的响应速 度和超调量。
频率响应
根轨迹的形状和位置可以反映系统的频率响 应特性。
稳定裕度
根轨迹与虚轴的交点距离表示系统的稳定裕 度。
根轨迹的应用案例
根轨迹分析在实际控制系统中具有广泛的应用，如机器人控制、飞行器控制和汽车悬挂控制等。通过根 轨迹分析，可以优化控制系统的性能，并提高系统的稳定性和响应速度。
根轨迹的概念
根轨迹是反映闭环控制系统特征方程根随参数变化而变化的图形。通过观察 根轨迹可以分析系统的稳定性、动态响应和频率响应特性。
如何绘制根轨迹
绘制根轨迹的步骤如下： 1. 得到系统的特征方程 2. 使用根轨迹的绘制规则和技巧，画出根轨迹的大致形状 3. 通过调整系统参数，绘制出完整的根轨迹图形
结论和要点
1 根轨迹是分析系统
性能的重要工具
根轨迹反映了系统的稳 定性和动态响应性能。
2 根轨迹的绘制方法
可以通过特征方程和绘 制规则来绘制根轨迹。
3 根轨迹的应用
根轨迹分析在实际控制 系统中具有广泛的应用。
根轨迹的特点和规律
根轨迹具有以下特点和规律： • 根轨迹是一条连续的曲线，代表了特征方程根的轨迹 • 根轨迹始终位于系统开环增益与相位的交点上 • 根轨迹趋近于无限远点的方向，表示系统的稳定性 • 根轨迹与该点的对称位置具有相同的特性
自动控制原理-胡寿松-第四章-线性系统的根轨迹法.详解
应当指出，由于matlaba软件包功能十分强大，运行相应 的matlab文本，可以方便的获得系统准确的根轨迹图。
今天，在计算机上绘制根轨迹已经是很容易的事，由于计算机强大的计 算能力，所以计算机绘制根轨迹大多采用直接求解特征方程的方法，也就是 每改变一次增益K求解一次特征方程。让K从零开始等间隔增大，只要K的取 值足够多足够密，相应解特征方程的根就在S平面上绘出根轨迹
注：非最小相位系统概念 指在S右半平面具有开环零极点的控制系统。
0度根轨迹的规制规则
熟记 P166，表4-3
4.8
4-4 参量根轨迹的绘制
为
4-5 利用根轨迹分析系统的性能
1. 闭环极点的确定
比较简单的做法是：先绘制根轨迹图，然后用试探法确定实数闭环极点的数值， 最后用综合除法得到其余的闭环极点。
3. 根轨迹法的基本任务
如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环 极点。一旦确定闭环极点后，传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点可由开 环传递函数直接求得。 在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏变换的方法 求出。 简而言之，就是由根轨迹图求系统的闭环极点。
第四章 线性系统的根轨迹法
问题的引入（为什么要画根轨迹？） 从第三章的学习我们知道：
（P控制时）
系统的动态特性和稳定性主要取决于系统闭环特征方程的根的分布。 但是，求解高阶系统的特征根非常困难（除了用matlab)。 1948年，伊文思(w．R．Evans) ，在“控制系统的图解分析”一文中， 提出了根轨迹法—— 根轨迹法由开环传递函数间接判断闭环特征根的概略图，从而 避免了直接求解系统闭环特征根的困难。 根轨迹法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用非 常简便，特别在进行多回路系统分析时，应用起来比其他方法更 为方便，在工程实践中广泛应用。 (举例：嫦娥发射，吴宏鑫院士的报告)
自动控制原理第四章根轨迹法(管理PPT)
状态反馈控制器
基于系统状态反馈，通过调整状态反馈增益来改善系统性能，适用于线性时不 变系统。
根轨迹法与其他控制方法的比较与选择
根轨迹法具有直观性和简便性，适用于 分析开环系统的性能。但在选择控制方 法时，需综合考虑系统特性和性能要求
。
对于线性时不变系统，根轨迹法和PID 控制器是常用的控制方法。根据具体需 求，可以选择适合的方法进行系统分析
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于 掌握等优点，适用于分析线性时 不变系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用范围
控制系统设计
控制系统教学
根轨迹法可用于控制系统设计，通过 调整系统参数，优化系统的性能指标 。
根轨迹法是控制系统教学的重要内容 之一，有助于学生深入理解系统的动 态特性和稳定性。
系统分析和故障诊断
察根轨迹的移动。
根轨迹的特性
根轨迹具有连续性和 对称性，表示极点的 连续变化。
根轨迹的形状和分布 取决于系统的开环传 递函数和参数变化。
根轨迹的起点和终点 对应于系统的特定参 数值，如开环极点和 零点。
根轨迹的绘制方法
01
02
03
04
确定系统的开环传递函数。
选择一组参数值，计算系统的 闭环极点。
在实际应用中，工程师可以根据根轨迹图对系统进行优化，例如调整控制器参数，以达到理 想的系统性能。
基于系统状态反馈，通过调整状态反馈增益来改善系统性能，适用于线性时不 变系统。
根轨迹法与其他控制方法的比较与选择
根轨迹法具有直观性和简便性，适用于 分析开环系统的性能。但在选择控制方 法时，需综合考虑系统特性和性能要求
。
对于线性时不变系统，根轨迹法和PID 控制器是常用的控制方法。根据具体需 求，可以选择适合的方法进行系统分析
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于 掌握等优点，适用于分析线性时 不变系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用范围
控制系统设计
控制系统教学
根轨迹法可用于控制系统设计，通过 调整系统参数，优化系统的性能指标 。
根轨迹法是控制系统教学的重要内容 之一，有助于学生深入理解系统的动 态特性和稳定性。
系统分析和故障诊断
察根轨迹的移动。
根轨迹的特性
根轨迹具有连续性和 对称性，表示极点的 连续变化。
根轨迹的形状和分布 取决于系统的开环传 递函数和参数变化。
根轨迹的起点和终点 对应于系统的特定参 数值，如开环极点和 零点。
根轨迹的绘制方法
01
02
03
04
确定系统的开环传递函数。
选择一组参数值，计算系统的 闭环极点。
在实际应用中，工程师可以根据根轨迹图对系统进行优化，例如调整控制器参数，以达到理 想的系统性能。
自动控制原理-胡寿松 第四章 线性系统的根轨迹法
nm
k 0,1,..., n m 1
180 sa
0
90
s a 90 0
n m 1
nm2
180 60
sa
0
n m 3 60
45
s a 45 0
nm4
24
例2.系统开环传递函数为：GK
(s)
s(s
K， 试确定根轨迹分支
1)(s 5)
数、起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴的交
解：p1=0，p2=-3，p3=-4，z1=-1，z2=-2
零极点分布如下：
jw
oo -4 -3 -2 -1 0 s
实轴上根轨迹为：[-1，0]、[-3，-2]和 (- ∞ ，-4]
27
例4 已知系统的开环传递函数，试确定
ב ב
系统的根轨迹图。 G(s)H(s)=
解：1） >T
Kr(s+ s (s+
第四章 线性系统的根轨迹法
本章主要内容： 4.1 根轨迹法的基本概念 4.2 根轨迹绘制的基本法则 4.3 广义根轨迹 4.4 系统性能分析
1
第四章 线性系统的根轨迹法
本章要求
1、正确理解根轨迹的概念； 2、掌握根轨迹的绘制法则，能熟练绘制根轨迹； 3、了解广义根轨迹； 4、能根据根轨迹定性分析系统指标随参数变化的趋势； 5、掌握确定闭环零极点及计算系统动态指标的方法。
k 0,1,..., n m 1
180 sa
0
90
s a 90 0
n m 1
nm2
180 60
sa
0
n m 3 60
45
s a 45 0
nm4
24
例2.系统开环传递函数为：GK
(s)
s(s
K， 试确定根轨迹分支
1)(s 5)
数、起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴的交
解：p1=0，p2=-3，p3=-4，z1=-1，z2=-2
零极点分布如下：
jw
oo -4 -3 -2 -1 0 s
实轴上根轨迹为：[-1，0]、[-3，-2]和 (- ∞ ，-4]
27
例4 已知系统的开环传递函数，试确定
ב ב
系统的根轨迹图。 G(s)H(s)=
解：1） >T
Kr(s+ s (s+
第四章 线性系统的根轨迹法
本章主要内容： 4.1 根轨迹法的基本概念 4.2 根轨迹绘制的基本法则 4.3 广义根轨迹 4.4 系统性能分析
1
第四章 线性系统的根轨迹法
本章要求
1、正确理解根轨迹的概念； 2、掌握根轨迹的绘制法则，能熟练绘制根轨迹； 3、了解广义根轨迹； 4、能根据根轨迹定性分析系统指标随参数变化的趋势； 5、掌握确定闭环零极点及计算系统动态指标的方法。
自动控制原理_第4章_线性系统的根轨迹法
闭环系统的性能分析要求确定系统参数变化对闭
环零极点分布的影响。
为了避免直接求解高阶特征方程的根，EVANS提出
了由开环传递函数(的零极点)求取闭环特征根的一种 图解法——根轨迹法。
4.1 根轨迹法的概念
例 已知二阶系统结构图如图所示试分析开环增益 K的变化对系统闭环极点的影响。
R(s)
-
K s( s 1)
j 1 i 1
m
n
根轨迹方程 ： G(s)H (s) G(s)H (s) 1 (2k 1)
K Π s z j
j 1 * m
幅值条件 ：
G( s) H ( s)
s pi Π i 1
n
1
相角条件 ： G(s) H (s) (s z j ) ( s pi ) (2k 1)
( s)
K Π ( s z j ) Π ( s pk )
j 1
*
a
d
( s pi ) Π ( s pk ) K Π ( s z j )Π ( s zl ) Π i 1 k 1 j 1 l 1
b
d
k 1 a *
c
K * A( s) D( s ) B( s) D( s) K * A( s)C ( s )
闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。
自动控制原理第四章根轨迹法
根轨迹的分支数与开环传递函数的极 点数和零点数有关，分支数越多，系 统越复杂。
根轨迹的稳定性分析
根轨迹与虚轴交点
根轨迹与虚轴的交点是闭环极点的位 置，这些极点决定了系统的稳定性。 如果根轨迹穿过虚轴，则系统不稳定 。
主导极点
在根轨迹上选择一个距离虚轴最近的 极点作为主导极点，该极点的位置决 定了系统的动态性能。
02
根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是决定系统 稳定性的关键因素，它们决定了 系统的动态响应特性。
零点
系统传递函数的零点对系统动态 响应特性也有影响，但通常不如 极点重要。
极点配置与系统稳定性
极点配置
通过合理配置系统传递函数的极点， 可以控制系统的稳定性。通常，将极 点配置在复平面的左半部分可以保证 系统的稳定性。
详细描述
在工业生产过程中，许多设备都需要通过控制系统进行精确控制，以确保生产过程的稳 定性和产品质量。根轨迹法能够通过分析系统的开环传递函数，确定系统闭环极点的位 置，从而预测系统的动态性能和稳定性。在化工、制药、食品加工等行业中，根轨迹法
被广泛应用于过程控制、温度控制、流量控制等系统中。
航空航天领域中的根轨迹法应用
仿真与实验研究
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
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m
(zi )
K K'
i 1 r
(2)
( pj )
j 1
闭环系统的特征方程为:1
G0 (s)
0,即:
G0 m
(s)
1,将式(1)代入
m
K ' (s zi )
m
Fra Baidu bibliotek j i
K '
s zi e i1
i 1 r
i 1
r
e j (2k 1)
sN (s pj ) j 1
s s p e N r
j ( N j )
也即两条根轨迹分支的起点. (3) 两条根轨迹分支离开实轴, 进入复平面后, 在复平面上
的根轨迹关于实轴成镜向对称.
实际控制系统往往是高阶的, 即其闭环特征方程是S的高阶 代数方程. 当系统中某环节的某个参数发生变化, 或为改善系统 的控制性能而改变系统中某环节的某个参数时, 系统的闭环极点 也即闭环特征方程的根也发生相应的变化. 而闭环系统的控制性 能与闭环极点在极点平面上的位置有密切的联系. 这就需要事先 从理论上分析闭环极点随某个参数变化时在极点平面上的变化趋 势从而得出某个参数的变化对系统性能的影响程度, 作出理论上 的指导. 而上例的方法正好可引入到对控制系统的分析和设计上 来.
1. 根轨迹定义 定义: 当系统中某个(或几个)参数从0到+∞连续变化 时, 系 统闭环特征方程的根(即闭环极点)在根平面(S平面)上连续移动而 形成的轨迹. 称为系统的根轨迹.
2. 根轨迹方程 闭环控制系统的一般结构图如下所示:
R(S)
G1(S)
G2(S)
Y(S)
H(S)
其开环传递函数G0 (s) G1(s)G2 (s)H (s) , 开环传递函数是各
jω
p6 z3
-10
-8
-6
z2
p3
p2
z4
3
2
p4 1
-1
0
σ
z1 p5 p1
p7
法则1 根轨迹的起点和终点:根轨迹起始于开环极点,对应于 K’=0,终止于开环零点,对应于K’= +∞.
注意: 当n> m时,有n-m条根轨迹的终点隐藏于S平面上的无 穷远处;当n<m时,有m -n条根轨迹的起点隐藏于S平面上的无穷 远处;考虑到无穷远处的开环零点和极点,则开环零点和极点的个 数相等.无穷远处的开环零点和极点也叫无限零点和极点.
如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹, 将会非常不方
便. 人们利用前面介绍的几个式子, 导出一些绘制根轨迹的法则 利用导出的法则, 可方便地绘制出根轨迹的大至形状, 叫概略根 轨迹, 这在利用根轨迹对系统进行初步分析和设计时已基本可用 了.
4-2 根轨迹绘制的基本法则
本节通过一个例子, 介绍绘制根轨迹的七条法则, 但对法则 不予推导和证明.
需指出的是, 绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环 传递函数的零点和极点的具体数值, 一般以K’为参变量.
例: 某闭环系统的开环传递函数为:
K '(s 1)(s 10)(s 7 j2)(s 7 j2) G0(s) s(s 6)(s 8)(s 0.5 j)(s 0.5 j)(s 4 j3)(s 4 j3)
sN ( js 1) sN (s pj )
j 1
j 1
式(1)中: zi 是G0(S)的零点, i=1,2,….m pj 是G0(S)的非零极点, j=1,2,….r
s N 表示有N个数值为0的极点, 且N+ r=n, n为系统的 阶数. K叫开环系统的增益, K’叫开环系统的根轨迹增益,
K与K’的本质相同, 仅它们间的值有一系数关系, 即:
(2) 当0<K<=0.25时, 一个根的绝对值随K的增大而增大, 另 一个根的绝对值随K的增大而减小, 两根的变化轨迹如下图所示:
jω
-2 -1.5 -1
σ 0
当K=0.25时, 两根相等, 均为-1.5 (3) 0.25<K<+∞ 时, 两根为共軛复根, 且其实部均为-1.5 , 而
虚部的绝对值随K的增大而增大, 两根的变化jω轨迹如下图所示:
迹分支;
(2) 若把代数方程 s2 3s 2 K 0 写成如下形式, 即:
1 K 1
K
0
s2 3s 2
(s 1)(s 2)
并令: G(s)
K
则左式分母 (s 1)(s 2) 0
(s 1)(s 2)
的根为-1和-2, 恰为当K=0时, 代数方程s2 3s 2 K 0 的两个根,
i 1
m
r
i N j (2k 1) k 0,1,2, (5)
i 1
j 1
式(4)叫根轨迹的幅值条件, 式(5)叫根轨迹的相角条件. 在S平面 上凡满足相角条件的点一定是闭环极点, 即是闭环特征方程的根, 凡不满足相角条件的点一定不是闭环极点, 因此相角条件是绘制 根轨迹的充分必要条件. 根轨迹上某一点对应的K’的值可由幅 值条件求出.
j 1
j
(3)
j 1
式(3)中: s zi 是 (s zi ) 的模; s pj 是 (s pj) 的模;
是(s
i
zi
)
的幅角;
j
是(s
p
j
)
的幅角;
是
s
的幅角;
k 0,1,2 , n N r
式(3)叫根轨迹方程, 此方程又可分为下面两个方程:
r
s pj
K '
j 1
m
(4)
s zi
上例中:
n 7,m 4; z1 1, z2 10, z3 7 j2, z4 7 j2
p1 0, p2 6, p3 8, p4 0.5 j, p5 0.5 j, p6 4 j3, p7 4 j3
将上述开环零点和极点尽可能准确标在S复平面上, 习惯上用叉 号标记开环极点, 用小圆圈标记开环零点, 如下图:
个环节传递函数的乘积形式. 由于系统中各个环节一般为典型环
节, 而典型环节的传递函数一般不超过二阶, 其分子和分母的S
多项式极易因式分解, 从而开环传递函数的零极点也容易获得.
因此, 闭环系统的开环传递函数可表为:
m
m
K (Tis 1) K '(s zi )
G0 (s)
i 1 r
i 1 r
(1)
-2 -1.5 -1
0σ
由例可见, 代数方程的根随方程中某一个参数的变化而在根
平面上的轨迹可用图形表示出来. 由于上例中代数方程简单, 是
二阶的, 其两个根关于参变量K的表达式可求, 且简单, 故画
图也方便. 当代数方程为高阶时, 画图就没那么方便. 但从上例
中至少可得到根轨迹图的以下几个特点:
(1) 因例中代数方程为二阶, 所以根轨迹图中有两条根轨