上海市交通大学附属中学2018-2019学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)
上海市2018-2019学年交大附中高二上期末数学期末试卷
2018~2019学年交附高二上期末试卷2019.1一、填空题：1、(19交附高二期末1)复数()()22563z m m m m i =-++-，m R ∈，i 为虚数单位，实数m =______； 答案：2m =；2、(19交附高二期末2)复数()()21z i i =+-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为______； 答案：1-3、(19交附高二期末3)抛物线212x y =的准线方程为______； 答案：3y =-4、(19交附高二期末4)已知向量()1,2a =-，()1,1b =，m a b =-，n a b λ=+，如果m n ⊥，则实数λ=______； 答案：25、(19交附高二期末5)若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数a 的值为______； 答案：3-或26、(19交附高二期末6)设双曲线()222109x y b b-=>的焦点为1F 、2F ，P 为该双能线上的一点，若15PF =，则2PF =______； 答案：117、(19交附高二期末7)设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是______；答案：6-；8、(19交附高二期末8)若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =______；答案：1；9、(19交附高二期末9)在直角坐标系xOy 中，已知点()0,1A 和点()3,4B -，若点C 位于第二象限，且在AOB ∠的平分线上，2OC =，则OC =______；答案：⎛ ⎝⎭；10. (19交附高二期末10)参数方程231121t x tt y t +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）化成普通方程为______；答案：()3703x y x +-=≠11、(19交附高二期末11)在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中点在原点，它的一个焦点坐标为)，()12,1e =、()22,1e =-分别是两条渐近线的方向向量，任取双曲线Γ上的点P ，若()12,OP ae be a b R =+∈，则a 、b 满足的一个等式是______；答案：14ab =； 12、(19交附高二期末12)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P满足()()1AP OA R λλ=-∈，且48OA OP ⋅=，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为______； 答案：10； 二、选择题：13、(19交附高二期末13)对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c R ∈，0a ≠）下列命题不正确的是（ ）A 、两根12,x x 满足12b x x a +=-，12cx x a=；B 、两根12,x x 满足12x x -C 、若判别式240b ac ∆=->时，则方程有两个相异的实数根；D 、若判别式240b ac ∆=-=时，则方程有两个相等的实数根； 答案：B ；14、(19交附高二期末14)已知两点()1,2A ，()4,2B -到直线l 的距离分别为1，4，则满足条件的直线l 共有（ ） A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条答案：C ；15、(19交附高二期末15)如图，在四形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，若AB a =，AD b =，则AC BD ⋅=（ ） A 、22b a -B 、22a b -C.22a b +D.ab答案：A ；16、(19交附高二期末16)已知F 为抛物线2:4C y x =的集点，,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ） A 、0个B 、1个C 、3个D 、无数个答案：D ； 三、解答题：17、(19交附高二期末17)设1z +为关于x 的方程()20,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位.（1）当1z i =-+时，求,m n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.答案：（1）0m =，1n =；（2）[]4,6；18、(19交附高二期末18)（1）已知非零复数z 满足22z +=，4z R z+∈，求复数z .（2）已知虚数z 使21z z +和21zz +都是实数，求虚数z .（1）1z =-±；（2）12z =-；19、(19交附高二期末19)已知椭圆22142x y +=.（1）M 为直线:142x yl +=上动点，N 为椭圆上动点，求MN 的最小值；（2）过点12P ⎫⎪⎭，作椭圆的弦AB ，使3AP PB =，求弦AB 所在的直线方程.答案：（1；（2）x =或8100y +-=；20、(19交附高二期末20)圆(22219:4M x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆(22221:4M x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，动圆P 与两圆1M 、2M 外切.（1）动圆圆心P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0N 的直线与曲线C 交于不同的两点12,N N ，求直线12N N 斜率的取值范围；（3）是否存在直线:l y kx m =+与轨迹C 交于点,A B ，使2OAB π∠=，且2AB OA =，若存在，求,k m 的值；若不存在，说明理由.答案：（1）()2211y x y -=≥；（2）1,k ⎛∈- ⎝⎭；（3）m =；21、(19交附高二期末21)过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，且,M N 两点的纵坐标之积为4-. （1）求抛物线的方程；（2）求OM ON ⋅的值（其中O 为坐标原点）；（3）已知点()1,2A ，在抛物线上是否存在两点B 、C ，使得AB BC ⊥？若存在，求出C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由. 答案：（1）24y x =；（2）3-；（2）()[),610,-∞-+∞；。
2017-2018学年上海交大附中高三(上)10月月考数学试卷
2017-2018学年上海交大附中高三（上）10月月考数学试卷一、填空题（本大题满分66分，其中第1-6题每题5分，第7-12每题6分） 1．已知集合A={x|﹣1＜x ＜1}，B={﹣1，0，2}，则A ∩B= {0} ．2．计算：lim n→∞n 2+3n5n −4= 15．3．某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x= 27 ．4．若复数z 满足z =3+i i（其中i 是虚数单位），z 为z 的共轭复数，则|z |= 10 ．5．若线性方程组的增广矩阵为 23c 101c 2 解为 x =3y =5，则c 1﹣c 2= 16 ．6．已知sinx =−25(π＜x ＜3π2)，则x= π+arcsin 25（用反正弦表示）7．在（1+x ）+（1+x ）2+…+（1+x ）15的展开式中，x 2项的系数是 560 （用数字作答）8．若双曲线x 2a 2−y 23=1的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为 2 ．9．已知点A （1，﹣1），B （3，0），C （2，1）．若平面区域D 由所有满足AP →=λAB →+μAC →（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P 组成，则D 的面积为 3 ．、10．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为34，则a1的取值范围是（﹣∞，12]∪[24，+∞）．11．已知等差数列{a n}中公差d≠0，a1=1，若a1，a2，a5成等比数列，且a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，若对任意n∈N*，恒有a n2k n−1≤a m2k m−1（m∈N*），则m= 1或2 ．12．对于函数f（x）=sinπx，x∈[0，2]12f(x−2)，x∈(2，+∞)，有下列5个结论：①任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2；②函数y=f（x）在区间[4，5]上单调递增；③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N+），对一切x∈[0，+∞）恒成立；④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；⑤若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则x1+x2=3．则其中所有正确结论的序号是①④⑤．（请写出全部正确结论的序号）二、选择题（本大题满分20分，每题5分）13．若1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=3选D14．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（A ．17πB ．22πC ．68πD ．88π 选C ．15．设O 为坐标原点，第一象限内的点M （x ，y ）的坐标满足约束条件 2x −y −6≤0x −y +2≥0，ON →=(a ，b )(a ＞0，b ＞0)，若OM →⋅ON →的最大值为40，5a +1b 的最小值为（ ） A ．256B ．94C ．1D ．4选：B ．16．定义区域[x 1，x 2]的长度为x 2﹣x 1（x 2＞x 1），函数f (x )=(a 2+a )x−1a x(a ∈R ，a ≠0)的定义域与值域都是[m ，n]（n ＞m ），则区间[m ，n]取最大长度时实数a 的值为（ ） A ．2 33B ．﹣3C ．1D ．3选：D ．三、解答题（本大题满分76分，共5大题，14+14+14+16+18=76）17．（14分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF的中点．（Ⅰ）设P是CE上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）取EC的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，∴AE=GE=AC=GC=32+22=13．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=13−1=23．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴EC=23，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°．18．（14分）已知函数f(x)=(212x−cos12x)cos12x+sin212x，x∈R．（1）求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(B)=2，b=3，S△ABC=34，求a+c的值；（3）请叙述余弦定理（写出其中一个式子即可）并加以证明．【解答】解：（1）∵f(x)=(212x−cos12x)cos12x+sin212x，x∈R．∴f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣π6），∴由x∈R，可得：f（x）=2sin（x﹣π6）∈[﹣2，2]；（2）∵△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（B）=2，∴f（B）=2sin（B﹣π6）=2，B∈（0，π），∴B=2π3，∵b=3=a2+c2﹣2accos2π3，∵△ABC面积S=34，∴12acsinB=12ac×32=34，解得ac=1，∴a2+c2=3+2accos2π3=3﹣ac=2，∴（a+c）2=a2+c2+2ac=2+2=4，∴a+c=2．（3）证明：余弦定理为：a2=b2+c2﹣2bccosA．下用解析法证明：以A为原点，射线AB为x轴正向，建立直角坐标系，则得A（0，0），B （c，0），C（bcosA，bsinA）．由两点距离公式得：a2=|BC|2=（c﹣bcosA）2+（﹣bsinA）2=b2+c2﹣2bccosA．19．（14分）某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n天的利润a n=11≤n≤25125n26≤n≤60（单位：万元，n∈N*），记第n天的利润率b n=第n天的时间前n天投入的资金总和，例如b3=a338+a1+a2．（1）求b1，b2的值；（2）求第n天的利润率b n；（3）该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．【解答】解：（1）当n=1时，b1=138；当n=2时，b2=139．（2分）（2）当1≤n≤25时，a1=a2=…=a n﹣1=a n=1．∴b n=a n38+a1+a2+⋯+a n−1=138+n−1=137+n．（4分）当26≤n≤60时，b n=a n38+a1+⋯+a25+a26+⋯+a n−1=n2563+(n−26)(n+25)50=2nn2−n+2500，（6分）∴第n天的利润率b n=137+n，1≤n≤25(n∈N+)2nn2−n+2500，26≤n≤60(n∈N+)（8分）（3）当1≤n≤25时，b n=137+n 是递减数列，此时b n的最大值为b1=138；（10分）当26≤n≤60时，b n=2nn−n+2500=2n+2500−1≤22500−1=299（当且仅当n=2500n，即n=50时，“=”成立）．（12分）又∵138＞299，∴n=1时，(b n)max=138．（14分）20．（16分）如图，已知椭圆E：x 2a +y2b=1(a＞b＞0)，A、B为椭圆的左右顶点，焦点F（c，0）到短轴端点的距离为2，且ca =22，P、Q为椭圆E上异于A、B的两点，直线BQ的斜率等于直线AP斜率的2倍．（1）求直线BP与直线BQ的斜率乘积值；（2）求证：直线PQ过定点，并求出该定点；（3）求三角形APQ的面积S的最大值．【解答】（1）解：由题意可得：a=2，ca =22，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=c=2．∴椭圆E的方程为：x 24+y22=1．设P点坐标（x，y），y2=12（4﹣x2），则A（﹣2，0），B（2，0），则k AP=yx+2，k BP=yx−2，则k AP•k BP=y 2x−4=﹣12，由k BQ=2k AP，故k BP•k BQ=﹣1．∴直线BP与直线BQ的斜率乘积为﹣1为定值．（2）证明：当直线PQ的斜率存在时，设l PQ：y=kx+t与x轴的交点为M，联立x24+y22=1 y=kx+t，整理得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣4kt2k2+1，x1x2=2t2−42k2+1，由k BP •k BQ =﹣1，即BP →⋅BQ →=0，则y 1y 2+x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4=0， 得（k 2+1）x 1x 2+（kt ﹣2）（x 1+x 2）+4+t 2=0，4k 2+8kt+3t 2=0，得t=﹣2k 或t=﹣23k ．y=k （x ﹣2）或y=k （x ﹣23）， 所以过定点（2，0）或（23，0），A （2，0）为椭圆的右顶点，舍去， ∴直线PQ 过定点M （23，0）．（3）解：由（2）可知：当直线PQ 的斜率存在时，设l PQ ：y=kx+t 与x 轴的交点为M ，与椭圆方程联立整理得：（2k 2+1）x 2+4ktx+2t 2﹣4=0，又t=﹣23k ．S=S △APQ =S △APM +S △AQM =12|AM ||y 1﹣y 2|=43 (y 1+y 2)2−4y 1y 2=43 k 2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =43 k 2[(16k t (2k 2+1)2−4(2t −4)2k 2+1)=169k (16k +9)(2k 2+1)2，令12k 2+1=m ∈（0，1），则S=169 4−72(m +12m 2)＜169× 4=329，当当直线PQ 的斜率不存在时，直线PQ 的方程为：把x=23代入椭圆方程可得：49×4+y 22=1，解得y=±43．∴|PQ|=83，可得S=12×83×83=329．综上可得：当PQ ⊥x 轴时，三角形APQ 的面积S 取得最大值329．21．（18分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f （s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（1）试判断函数f1(x)=x2与f2(x)=x1是否是“L函数”；（2）若函数g（x）=3x﹣1+a（3﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）为“L函数”，且f（1）=1，求证：对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），都有f(x)−f(1x )＞x2−2x．【解答】解：（1）对于函数f1(x)=x2，当t＞0，s＞0时，f1(t)=t2＞0，f1(s)=s2＞0，又f1(t)+f1(s)−f1(t+s)=t2+s2−(t+s)2=−2ts＜0，所以f1（s）+f1（t）＜f1（s+t），故f1(x)=x2是“L函数”．…（2分）对于函数f2(x)=x，当t=s=1时，f2(t)+f2(s)=2＞2=f2(t+s)，故f2(x)=x不是“L函数”．…（4分）（2）当t＞0，s＞0时，由g（x）=3x﹣1+a（3﹣x﹣1）是“L函数”，可知g（t）=3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0对一切正数t恒成立，又3t﹣1＞0，可得a＜3t对一切正数t恒成立，所以a≤1．…（6分）由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，故（3s﹣1）（3t﹣1）（3s+t+a）＞0，又（3t﹣1）（3s﹣1）＞0，故3s+t+a＞0，由3s+t+a＞0对一切正数s，t恒成立，可得a+1≥0，即a≥﹣1．…（9分）综上可知，a的取值范围是[﹣1，1]．…（10分）（3）由函数f（x）为“L函数”，可知对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），令s=t，可知f（2s）＞2f（s），即f(2s)f(s)＞2，…（12分）故对于正整数k与正数s，都有f(2k s)f(s)=f(2k s)f(2k−1s)⋅f(2k−1s)f(2k−2s)⋅⋯⋅f(2s)f(s)＞2k，…（14分）对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），可得1x∈(2−k，21−k)，又f（1）=1，所以f(x)＞f(x−2k−1)+f(2k−1)＞f(2k−1)≥2k−1f(1)=2k2＞x2，…（16分）同理f(1x )＜f(21−k)−f(21−k−1x)＜f(21−k)≤21−k f(1)=21−k＜2x，故f(x)−f(1x )＞x2−2x．…（18分）。
上海交通大学附属中学2024届高三上学期10月月考数学试题
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(2)当
1 时，判断函数
f
x
在
π 2
,
上零点的个数：
(3)已知 f x 2 1 ex 在 x 0, π 上恒成立，求实数 的取值范围.
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若集合 S x x bn , n N * 中只含有 4 个元素，则 t 的可能取值有（ ）个
A．2
B．3
C．4
D．5
三、解答题 17．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2， E 是棱 BB1 的中点.
（1）求证： D1E AC ；
试卷第 2页，共 4页
（2）求平面 AD1E 与底面 ABCD 所成的锐二面角的大小.
到原单位领取工资的
100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年工资的
2 3
领
取工资．该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一
年属投资阶段，第二年每人可获得 b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的
基础上递增 50％，如果某人分流前工资收入为每年 a 元，分流后进入新经济实体，第 n
x2 4
y2 b2
10
b
2 ，双曲线 C2 是椭圆 C1 的“姊
妹”圆锥曲线，e1 ，e2 分别为 C1 ，C2 的离心率，且 e1e2
15 ，点 M，N 分别为椭圆 C1 的 4
左、右顶点，设过点 G 4, 0 的动直线 l 交双曲线 C2 右支 A，B 两点，若直线 AM，BN
的斜率分别为 kAM ， kBN .
．
4．方程 lg 2x 1 lg x 1的解为
.
5．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1、 2 、
上海市复旦附中2018-2019学年上学期高二10月数学月考试题( 解析版)
2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）10月月考数学试卷一.填空题1．（3分）在等差数列{a n}中，已知a15＝10，a45＝90，a60＝．2．（3分）在等比数列{a n}中，已知a1＝1，公比q∈R，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5，则＝3．（3分）＝4．（3分）与向量＝（﹣3，4）共线的单位向量＝5．（3分）已知点P分线段P1P2的比为﹣2，若P1（1，2），P2（3，﹣1），则点P的坐标为6．（3分）已知A（0，1）、B（1，0）、C（3，k），若∠ABC为钝角，则k的取值范围为7．（3分）若数列100，50，20，…的各项加上某个数后恰为一等比数列，则此时等比数列的各项和为8．（3分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．9．（3分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，若2＝，且||＝||，则向量在向量上的投影为10．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝（﹣1）n﹣1•n，若对任意的正整数n，有（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．二.选择题11．（3分）在数列{a n}中，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，则a k+1＝（）A．a k+B．a k+﹣C．a k+D．a k+﹣12．（3分）数列{a n}的通项公式是a n＝，则此数列（）A．有极限，其值是整数B．有极限，其值是分数C．有两个极限D．不存在13．（3分）已知||＝3，如果在上的投影是，那么为（）A．B．C．2D．14．（3分）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．2三.解答题15．已知||＝1，||＝2，且与的夹角为120°．（1）求|3|；（2）若（3）⊥（k），求实数k的值．16．已知O为坐标原点，＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若A、B、C三点共线，求m的值；（2）若△ABC是以角A为直角顶点的直角三角形，求m的值以及此时三角形的面积．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n﹣5a n﹣85，n∈N*（1）证明：{a n﹣1}是等比数列；（2）求数列{S n}的通项公式．请指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由（参考数据15＝﹣14.85）18．数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，其前n项的和S n满足S n2＝a n（S n﹣）（1）求S n的表达式；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，求．19．在数列{a n}中，已知a1＝1，a2＝2，且数列{a n}的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列{b n}满足，记数列{b n}的前n项和为S n，（1）写出数列{a n}的通项公式；（2）求S n；（3）证明：当n≥6时，．20．（3分）在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为．21．（3分）如图，等腰直角三角形ABC，点G是△ABC的重心，过点G作直线与CA，CB两边分别交于M，N两点，且，，则λ+4μ的最小值为．22．（3分）O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是．（把你认为正确的序号全部写上）①动点P满足＝++，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；③动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；④动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．⑤动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．23．（3分）数列{a n}中，若a1＝1，（n∈N*），则＝．24．（3分）已知数列{a n}的首项a1＝1，对任意n∈N*，a n、a n+1是方程x2﹣3nx+b n＝0的两实根，则b2n＝﹣125．（3分）已知数列{a n}满足a n＝nk n（n∈N*，0＜k＜1），下面命题：①当k＝时，数列{a n}为递减数列；②当＜k＜1时，数列{a n}不一定有最大项；③当0＜k＜时，数列{a n}为递减数列；④当为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．其中正确命题的序号是．2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）在等差数列{a n}中，已知a15＝10，a45＝90，a60＝130．【分析】设公差为d，则d＝＝，而a60＝a45+（60﹣45）d，代入可得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则d＝＝，故a60＝a45+（60﹣45）d＝90+15×＝130，故答案为：130【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．2．（3分）在等比数列{a n}中，已知a1＝1，公比q∈R，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5，则＝11【分析】根据条件，即可得出：，从而得出n＝11．【解答】解：∵a1＝1，公比为q，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5；∴；∴n＝11．故答案为：11．【点评】考查等比数列的定义，等比数列的通项公式．3．（3分）＝【分析】直接利用数列的极限的运算法则，化简求解即可．【解答】解：＝＝＝．故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查．4．（3分）与向量＝（﹣3，4）共线的单位向量＝（﹣）或（）【分析】运用向量的模长计算和单位向量的求法可解决此问题．【解答】解：根据题意得＝＝5∴同向单位向量＝（﹣3，4）＝（﹣，），同理反向单位向量（，﹣）故答案为（﹣，）或（，﹣）【点评】本题考查向量模长的运算和单位向量的求法．5．（3分）已知点P分线段P1P2的比为﹣2，若P1（1，2），P2（3，﹣1），则点P的坐标为（5，﹣4）【分析】直接利用分点坐标公式求出结果．【解答】解：点P分线段P1P2的比为﹣2，所以λ＝﹣2．根据分点的坐标公式：x＝＝，，所以：点P的坐标为（5，﹣4）．故答案为：（5，﹣4）．【点评】本题考查的知识要点：分点坐标公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6．（3分）已知A（0，1）、B（1，0）、C（3，k），若∠ABC为钝角，则k的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）【分析】由题意算出＝（﹣1，1）且＝（2，k）．根据∠ABC为钝角，通过向量的数量积小于0，夹角不是180°，即可得到实数k的取值范围．【解答】解：∵A（0，1）、B（1，0）、C（3，k），∴＝（﹣1，1）且＝（2，k）．∵∠ABC为钝角，∴＜0且、不平行，可得，解之得k＜2且k≠﹣2．则k的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）．【点评】本题给出三点A、B、C的坐标，在B为锐角的情况下求参数k的值．着重考查了向量的坐标运算和向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．7．（3分）若数列100，50，20，…的各项加上某个数后恰为一等比数列，则此时等比数列的各项和为【分析】根据题意即可得出（50+a）2＝（100+a）（20+a），从而求出a＝25，q＝，这样对前n项和S n求n趋向无穷大时的极限即可．【解答】解：根据题意，（50+a）2＝（100+a）（20+a）；解得a＝25；∴；∴．故答案为：．【点评】考查等比数列的定义，等比数列的前n项和公式，以及数列极限的求法．8．（3分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第16天，两马相逢．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1＝193，d＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1＝97，d＝﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m＝193m++97m+＝290m+×12.5≥2×3000，化为5m2+227m﹣4800≥0，解得m≥，取m＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（3分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，若2＝，且||＝||，则向量在向量上的投影为﹣3【分析】因为2＝+，∴△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径．又||＝||，所以△ABO为等边为2的三角形，∴||＝2，所求投影为||cos150°＝﹣3．【解答】解：因为2＝+，∴△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，如图：又||＝||，所以△ABO为等边为2的三角形，∴∠ACB＝30°，∴||＝||cos30°＝4×＝2，向量在向量上的投影为：||cos（180°﹣30°）＝2×（﹣）＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．10．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝（﹣1）n﹣1•n，若对任意的正整数n，有（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是（﹣3，1）．【分析】S n＝（﹣1）n﹣1•n，可得：a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n，可得a n＝（﹣﹣1 1）n﹣1（2n﹣1），对n分类讨论，利用（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，即可解出．【解答】解：∵S n＝（﹣1）n﹣1•n，∴a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n＝（﹣1）n﹣1•n﹣（﹣1）n﹣2（n﹣1）＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），﹣1当n＝1时也成立，∴a n＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），当n为偶数时，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0化为：[（2n+1）﹣p][﹣（2n﹣1）﹣p]＜0，﹣（2n﹣1）＜p＜2n+1，可得﹣3＜p＜5．当n为奇数时，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0化为：[﹣（2n+1）﹣p][（2n﹣1）﹣p]＜0，﹣（2n+1）＜p＜2n﹣1，可得﹣3＜p＜1．∴，解得﹣3＜p＜1．故答案为：（﹣3，1）．【点评】本题考查了递推公式、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.选择题11．（3分）在数列{a n}中，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，则a k+1＝（）A．a k+B．a k+﹣C．a k+D．a k+﹣【分析】由已知中a n＝1﹣+﹣+…+﹣，我们依次给出a1，a2，…，a n，a k的表达式，分析变化规律，即可得到a k+1的表达式．【解答】解：∵a n＝1﹣+﹣+…+﹣，∴a1＝1﹣，a2＝1﹣+﹣，…，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，a k＝1﹣+﹣+…+﹣，所以，a k+1＝a k+﹣．故选：D．【点评】本题考查的知识点是数列的要领及表示方法，根据已知条件，列出数列的前n 项，分析项与项之间的关系是解答本题的关键．12．（3分）数列{a n}的通项公式是a n＝，则此数列（）A．有极限，其值是整数B．有极限，其值是分数C．有两个极限D．不存在【分析】通过数列的通项公式，判断数列的特征，然后求解即可．【解答】解：数列{a n}的通项公式是a n＝，可得数列是0，1，0，1，0，1…0，1…，可知数列是摆动数列，所以数列没有极限．故选：D．【点评】本题考查数列的通项公式的应用，数列极限的判断，考查计算能力；13．（3分）已知||＝3，如果在上的投影是，那么为（）A．B．C．2D．【分析】根据投影的概念列式：＝﹣可求得．【解答】解：依题意得：＝﹣，∴•＝﹣×3＝﹣故选：A．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．14．（3分）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．2【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出，代入并进行向量的数乘运算便可得出，而，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λ+μ的值．【解答】解：，，；∴＝＝＝；∴由平面向量基本定理得：；解得；∴．故选：B．【点评】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．三.解答题15．已知||＝1，||＝2，且与的夹角为120°．（1）求|3|；（2）若（3）⊥（k），求实数k的值．【分析】（1）根据条件即可求出，从而可求出，从而得出；（2）根据（3）⊥（k）即可得出，进行数量积的运算即可求出k的值．【解答】解：（1）||＝1，||＝2，且与的夹角为120°；∴；∴＝9+12+16＝37；∴；（2）∵；∴；解得．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量长度的求法．16．已知O为坐标原点，＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若A、B、C三点共线，求m的值；（2）若△ABC是以角A为直角顶点的直角三角形，求m的值以及此时三角形的面积．【分析】（1）根据条件即可求出，根据A，B，C三点共线即可得出向量共线，从而得出3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0，解出m即可；（2）据题意可知，，从而得到，进行数量积的坐标运算即可求出，从而可求出的值，从而可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）；∵A、B、C三点共线；∴共线；∴3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0；∴；（2）根据题意，；∴；解得；∴，且；∴；∴．【点评】考查向量减法的几何意义，向量坐标的减法和数量积运算，平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n﹣5a n﹣85，n∈N*（1）证明：{a n﹣1}是等比数列；（2）求数列{S n }的通项公式．请指出n 为何值时，S n 取得最小值，并说明理由（参考数据15＝﹣14.85）【分析】（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝1﹣5a 1﹣85，求出a 1﹣1＝﹣15，当n ≥2时，a n ＝S n﹣S n ﹣1＝1﹣5a n +5a n ﹣1，从而6a n ＝5a n ﹣1+1，由此能证明{a n ﹣1}是首项为﹣15，公比为的等比数列．（2）由a n ﹣1＝﹣15•（）n ﹣1，得S n ＝n +75•（）n ﹣1﹣90．由此能求出n ＝15时，S n 取得最小值．【解答】证明：（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝1﹣5a 1﹣85， 解得a 1＝﹣14，则a 1﹣1＝﹣15．∵当n ≥2时，S n ﹣1＝（n ﹣1）﹣5a n ﹣1﹣85， ∴a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝1﹣5a n +5a n ﹣1，∴6a n ＝5a n ﹣1+1，即a n ﹣1＝（a n ﹣1﹣1），∴{a n ﹣1}是首项为﹣15，公比为的等比数列．解：（2）∵a n ﹣1＝﹣15•（）n ﹣1，∴S n ＝n ﹣5[1﹣15•（）n ﹣1]﹣85＝n +75•（）n ﹣1﹣90．由a n ＝1﹣15•（）n ﹣1＞0，即15•（）n ﹣1＜1，解得n ＞log +1≈15.85．∴当n ≤15时，a n ＜0；当n ≥16时，a n ＞0． 故n ＝15时，S n 取得最小值．【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的前n 项和的求法，考查前n 项和取最小值时项数n 的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18．数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，其前n 项的和S n 满足S n 2＝a n （S n ﹣） （1）求S n 的表达式；（2）设b n ＝，数列{b n }的前n 项和为T n ，求．【分析】（1）因为n ≥2，由s n ﹣s n ﹣1＝a n ，代入已知等式中求出s n ，然后利用做差法得出为等差数列即可求出通项公式，化简可得s n ；（2）要求T n 的极限，先要求出T n的通项公式而T n为数列{b n}的前n项和，所以先求b n的通项，可利用第一问中s n的通项代入到b n＝中，化简得出b n后，利用做差法得到T n，求出极限即可．）（s n﹣）【解答】解：（1）n≥2，s n2＝（s n﹣s n﹣1∴s n＝即﹣＝2（n≥2）∴＝2n﹣1故s n＝（2）b n＝＝＝（﹣）T n＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）∴T n＝【点评】此题考查学生会利用数列的递推式推导数列的通项公式，以及掌握利用做差法求数列和的数学思想解题．本题是中档题．19．在数列{a n}中，已知a1＝1，a2＝2，且数列{a n}的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列{b n}满足，记数列{b n}的前n项和为S n，（1）写出数列{a n}的通项公式；（2）求S n；（3）证明：当n≥6时，．【分析】（1）由题意知．（2），，，用错位相减法可以求出．（3），由此能够求出当n≥6时，．【解答】解：（1）；即；（2），，，两式相减，得，所以，；（3），当n≥6时，2n＝（1+1）n＝∁n0+∁n1+∁n2++∁n n﹣2+∁n n﹣1+∁n n≥2+2n+n（n﹣1）+≥2+2n+n2﹣n+n＞n2+2n，所以，当n≥6时，．【点评】本题考查数列的性质和综合运用，难度较大．解题时要认真审题，仔细解答．20．（3分）在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为[﹣9，0]．【分析】以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，表示出点C、B、A，设出点M的坐标，求出•的取值范围．【解答】解：如图所示，以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，则C（0，0），B（3，0），A（0，a），其中a＞0；设M（x，y），其中0≤x≤3，则＝（﹣x，﹣y），＝（3，0），∴•＝﹣3x；由于0≤x≤3，∴﹣9≤﹣3x≤0，∴•的取值范围是[﹣9，0]．故答案为：[﹣9，0]．【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标表示以及应用问题，也考查了函数的最值问题，是基础题目．21．（3分）如图，等腰直角三角形ABC，点G是△ABC的重心，过点G作直线与CA，CB两边分别交于M，N两点，且，，则λ+4μ的最小值为3．【分析】由题意，，从而化简可得（+）﹣λ＝x（μ﹣（+）），从而可得＝3，然后利用基本不等式求最值．【解答】解：，，∵M，N，G三点共线，∴＝x，∴﹣＝x（﹣），∵点G是△ABC的重心，∴＝（+），∴（+）﹣λ＝x（μ﹣（+）），∴，解得，（1﹣3λ）（1﹣3μ）＝1，可得＝3．λ+4μ＝（λ+4μ）（）＝≥＝＝3．（当且仅当，即λ＝1，μ＝时，等号成立），故λ+4μ的最小值为：3．故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及共线定理的应用，同时考查了基本不等式在求最值中的应用．22．（3分）O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是②③④⑤．（把你认为正确的序号全部写上）①动点P满足＝++，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；③动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；④动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．⑤动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．【分析】由＝++，得出++＝，P是△ABC的重心，判断①错误；由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），与∠BAC的平分线所在向量共线，判断②正确；由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），＝（+），判断③正确；由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），•＝0，判断④正确；由＝+λ（+）（λ＞0），得出E为BC的中点，且＝λ（+），⊥，判断⑤正确．【解答】解：对于①，动点P满足＝++，∴＝+，∴++＝，∴P是△ABC的重心，∴△ABC的外心不一定在P点的集合中，①错误；对于②，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），∴＝λ（+），又向量+在∠BAC的平分线上，∴与∠BAC的平分线所在向量共线，∴△ABC的内心在满足条件的P点集合中，②正确；对于③，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），∴＝λ（+）；过点A作AD⊥BC，垂足为D，则||sin B＝|sin C＝AD，∴＝（+），向量+与BC边的中线共线，因此△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，③正确；对于④，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），∴＝λ（+），∴•＝λ（+）＝λ（||﹣||）＝0，∴⊥，∴△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中，④正确；对于⑤，动点P 满足＝+λ（+）（λ＞0），设＝，则E 为BC 的中点，则＝λ（+），由④知（+）•＝0，得•＝0，∴⊥；∴P 点的轨迹为过E 的BC 的垂线，即BC 的中垂线； ∴△ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合，⑤正确． 故正确的命题是②③④⑤． 故答案为：②③④⑤．【点评】本题综合考查了向量形式的三角形的外心、重心、内心、垂心的性质及其向量运算和数量积运算，考查了数形结合的思想方法，属于难题．23．（3分）数列{a n }中，若a 1＝1，（n ∈N *），则＝．【分析】由，求出a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 2n ﹣1+a 2n ，然后求得极限．【解答】解：由，得（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝＝＝，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查数列求和、数列极限，属基础题，准确求出数列的和是解题关键． 24．（3分）已知数列{a n }的首项a 1＝1，对任意n ∈N *，a n 、a n +1是方程x 2﹣3nx +b n ＝0的两实根，则b 2n ﹣1＝ （3n ﹣1）（3n ﹣2）【分析】根据题意，由根与系数的关系分析可得a n +a n +1＝3n ，变形可得a n ﹣1+a n ＝3（n ﹣1），两式相减可得a n +1﹣a n ﹣1＝3，分析求出a 2的值，据此可得数列{a n }的通项公式，再结合根与系数的关系可得b n ＝a n a n +1，则b 2n ﹣1＝a （2n ﹣1）a 2n ，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，a n 、a n +1是方程x 2﹣3nx +b n ＝0的两实根， 则a n +a n +1＝3n ，①则有a n ﹣1+a n ＝3（n ﹣1），② ①﹣②可得：a n +1﹣a n ﹣1＝3，且当n ＝1时，有a 1+a 2＝3，又由a 1＝1，则a 2＝2，则a n ＝，又由a n 、a n +1是方程x 2﹣3nx +b n ＝0的两实根，则b n ＝a n a n +1，则b 2n ﹣1＝a （2n ﹣1）a 2n ＝[]×[﹣1]＝（3n ﹣1）（3n ﹣2）；故答案为：（3n ﹣1）（3n ﹣2）．【点评】本题考查数列的递推公式的应用，关键是求出数列{a n }的通项公式，属于基础题．25．（3分）已知数列{a n }满足a n ＝nk n （n ∈N *，0＜k ＜1），下面命题：①当k ＝时，数列{a n }为递减数列；②当＜k ＜1时，数列{a n }不一定有最大项；③当0＜k ＜时，数列{a n }为递减数列；④当为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项．其中正确命题的序号是 ③④ ．【分析】①当时，作差a n ﹣a n +1═≥0，n ＝1时取等号，a 1＝a 2，即可判断出单调性．②当时，作商＝，由于＜＜1+＜2k ，即可判断出结论．③当时，作商，即可得出数列{a n }的单调性．④当为正整数时，＝＝＝1，当k ＝时，因此数列{a n }必有两项相等的最大项．【解答】解：①当时，a n ＝n，则a n ﹣a n +1═n﹣（n +1）＝≥0，n＝1时取等号，因此数列{a n}不是递减数列，不正确；②当时，＝＝，∵＜＜1+＜2k，∴因此数列{a n}一定有最大项，不正确；③当时，＝＝≤1，∴a n＞a n+1，因此数列{a n}是递减数列，正确；④当为正整数时，＝＝＝1，当k＝时，∴数列{a n}必有两项相等的最大项，正确．综上可得：只有③④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查了数列的递推关系、单调性，考查了作差与作商方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
上海市交大附中2018-2019学年上学期高二数学期末试卷(解析版)
2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷一、填空题：1．（3分）若复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（m为实数，i为虚数单位）是纯虚数，则m ＝．2．（3分）复数z＝（2+i）（1﹣i），其中i为虚数单位，则z的虚部为．3．（3分）抛物线x2＝12y的准线方程为4．（3分）已知向量＝（1，﹣2），，，，如果，则实数λ＝．5．（3分）若直线l1：ax+2y＝0和l2：3x+（a+1）y+1＝0平行，则实数a的值为．6．（3分）设双曲线﹣＝1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝．7．（3分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x﹣3y的最小值是．8．（3分）若复数z满足z•2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），则|z|＝．9．（3分）在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝．10．（3分）参数方程（t为参数）化成普通方程为；11．（3分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是．12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆上，点P满足，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为．二、选择题：13．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a，b，c∈R，a≠0）下列命题不正确的是（）A．两根x1，x2满足，B．两根x1，x2满足C．若判别式△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根D．若判别式△＝b2﹣4ac＝0时，则方程有两个相等的实数根14．（3分）已知两点A（1，2），B（4，﹣2）到直线l的距离分别为1，4，则满足条件的直线l共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条15．（3分）如图．在四边形ABCD中．AB⊥BC，AD⊥DC，若||＝a，||＝b．则＝（）A．b2﹣a2B．a2﹣b2C．a2+b2D．ab16．（3分）已知F为抛物线C：y2＝4x的集点，A，B，C为抛物线C上三点，当时，称△ABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（）A．0个B．1个C．3个D．无数个三、解答题：17．设z+1为关于x的方程x2+mx+n＝0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．（1）当z＝﹣1+i时，求m、n的值；（2）若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2+4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．18．（1）已知非零复数z满足|z+2|＝2，，求复数z．（2）已知虚数z使和都是实数，求虚数z．19．已知椭圆．（1）M为直线上动点，N为椭圆上动点，求|MN|的最小值；（2）过点，作椭圆的弦AB，使，求弦AB所在的直线方程．20．圆，圆，动圆P与两圆M1、M2外切．（1）动圆圆心P的轨迹C的方程；（2）过点N（1，0）的直线与曲线C交于不同的两点N1，N2，求直线N1N2斜率的取值范围；（3）是否存在直线l：y＝kx+m与轨迹C交于点A，B，使，且|AB|＝2|OA|，若存在，求k，m的值；若不存在，说明理由．21．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线的方程；（2）求的值（其中O为坐标原点）；（3）已知点A（1，2），在抛物线上是否存在两点B、C，使得AB⊥BC？若存在，求出C点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由．2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．【解答】解：∵复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（i为虚数单位）是纯虚数，∴m2﹣5m+6＝0且m2﹣3m≠0，解得m＝2，故答案为：2．2．【解答】解：z＝（2+i）（1﹣i）＝3﹣i．则z的虚部为﹣1．故答案为：﹣1．3．【解答】解：抛物线x2＝12y的准线方程为：y＝﹣3．故答案为：y＝﹣3．4．【解答】解：∵＝（0，﹣3），＝（1+λ，﹣2+λ），，∴＝﹣3（﹣2+λ）＝0，解得λ＝2．∴实数λ＝2．故答案为2．5．【解答】解：∵l1：ax+2y＝0与l2：3x+（a+1）y+1＝0平行∴∴a＝﹣3或2故答案为：﹣3或26．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣＝1，其中a＝＝3，则有||PF1|﹣|PF2||＝6，又由|PF1|＝5，解可得|PF2|＝11或﹣1（舍）故|PF2|＝11，故答案为：11．7．【解答】解：由约束条件，得可行域如图，使目标函数z＝2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4），∴目标函数z＝2x﹣3y的最小值为z＝2×3﹣3×4＝﹣6．故答案为：﹣6．8．【解答】解：设z＝a+bi，∵复数z满足z•2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），∴（a+bi）•2i＝a2+b2+1，∴2ai﹣2b＝a2+b2+1，∴，解得a＝0，b＝﹣1，∴|z|＝＝1．故答案为：1．9．【解答】解：∵，，设OC与AB交于D（x，y）点则：AD：BD＝1：5即D分有向线段AB所成的比为则解得：∴又∵||＝2∴＝（﹣，）故答案为：（﹣，）10．【解答】解：由题意，可知：，对于①式，可化成用x表示t的函数形式，x（1+t）＝2+3t化简，整理得：，其中x≠3同理，对于②式，可化成用y表示t的函数形式，y（1+t）＝1﹣2t化简，整理得：，其中y≠﹣2联立两个t的表达式，得：＝两式交叉相乘，得：（x﹣3）（1﹣y）＝（2﹣x）（y+2）化简，整理，得：3x+y﹣7＝0（x≠3）．故答案为3x+y﹣7＝0（x≠3）．11．【解答】解：因为、是渐近线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又，∴a＝2，b＝1双曲线方程为，＝（2a+2b，a﹣b），∴，化简得4ab＝1．故答案为4ab＝1．12．【解答】解：∵，∴＝，则O，A，P三点共线，∵，设Op与x轴的夹角为θ，B为A（x，y）在x轴上的投影，则线段OP在x轴上的投影长度为||cosθ＝＝＝≤48×＝10，当且仅当即|x|＝时取得最大值10．故答案为：10．二、选择题：13．【解答】解：由根与系数之间的关系得对实系数二次方程，无论判别式△≥0还是△＜0，两根x1，x2满足，，故A正确，若两根x1，x2为虚根，则不成立，故B错误，判别式△＝0时，方程有两个相等的实数根，△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根，故C，D，正确，故选：B．14．【解答】解：由点A（1，2），B（4，﹣2），易得|AB|＝5，以点A为圆心，半径1为的圆，与以点B为圆心，半径为4的圆外切，故满足条件的直线l即两个圆的公切线，显然，两个圆的公切线共有3条，故选：C．15．【解答】解：∵AD⊥DC，∴•＝0，∴•＝（+）•（﹣）＝﹣•（+）＝﹣•（+），∵AB⊥BC，∴•＝0，∴﹣•（+）＝﹣，∵||＝a，||＝b，∴＝b2﹣a2，故选：A．16．【解答】解：抛物线方程为y2＝4x，A、B、C为抛物线C三点，当满足时时，F为△ABC的重心，连接AF并延长至D，使FD＝AF，当D在抛物线内部时，存在以D为中点的弦BC，则这样的三角形有无数个．故“和谐三角形”有无数个，故选：D．三、解答题：17．【解答】解：（1）∵z＝﹣1+i，∴z+1＝i，则方程x2+mx+n＝0的两根分别为i，﹣i．由根与系数的关系可得，即m＝0，n＝1；（2）设z＝a+bi（a，b∈R），则＝＝a+1﹣bi．由题意可得：（z+1）＝（a+1）2+b2＝1．令a+1＝cosθ，b＝sinθ，θ∈[0，2π）．|PQ|＝＝∈[4，6]．18．【解答】解：（1）设z＝a+bi，则z+＝a+bi+＝a+bi+＝a++（b ﹣）i，∵，∴b﹣＝0，得b（1﹣）＝0，得b＝0或1﹣＝0，得a2+b2＝4，若b＝0，则z＝a，由|z+2|＝2得|a+2|＝2得a＝0，此时z＝0，不满足条件．若a2+b2＝4，由|z+2|＝2得|a+bi+2|＝2，得＝2，即（a+2）2+b2＝4，即a2+4a+4+b2＝4，得4+4a+4＝4，得a＝﹣1，此时b＝±，即z＝﹣1±i．（2）设z＝a+bi，（b≠0），∵和都是实数，∴设＝m和＝n，即z2＝m（z+1），z＝n（z2+1），即a2﹣b2+2abi＝m（a+1+bi）＝m（a+1）+mbi，则，即m＝2a，即a2+b2+2a＝0，①由z＝n（z2+1），得a+bi＝n（a2﹣b2+2abi+1）即，得n＝，a＝（a2﹣b2+1），即a2+b2﹣1＝0，②则2a＝﹣1，得a＝﹣，b＝±，即z＝﹣±i．19．【解答】解：（1）设点N的坐标为，则点N到直线l的距离为＝＝，所以，|MN|的最小值为；（2）设直线AB的参数方程为（t为参数，且β为倾斜角），设点A、B 对应的参数分别为t1、t2，由于，则﹣t1＝3t2，将直线AB的参数方程代入椭圆的方程，并化简得，由韦达定理得＝，，则，所以，，化简得，得cosβ＝0或，因此，弦AB所在的直线方程为或y，即或．20．【解答】解：（1）圆M1的圆心为M1（0，﹣），半径为r1＝，圆M2的圆心为M2（0，），半径为r2＝．设P（x，y），动圆P的半径为R，则|PM1|＝＝R+，|PM2|＝＝R+，∴＝+2，整理得：y2﹣x2＝1．∴动圆圆心P的轨迹C的方程y2﹣x2＝1（y≥1）．（2）设y＝k（x﹣1），则﹣1＜k＜0．联立，化为：（k2﹣1）x2﹣2k2x+k2﹣1＝0，△＝4k4﹣4（k2﹣1）（k2﹣1）＞0，解得：﹣1＜k＜﹣．∴．（3）k＝0时，不成立．k≠0时，直线OA的方程为：y＝﹣x，则＞1或＜﹣1，解得﹣1＜k＜0，或0＜k＜1．联立，解得＝，＝．∴|OA|2＝+＝．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（k2﹣1）x2+2kmx+m2﹣1＝0，△＝4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2﹣1）＞0，化为：k2+m2﹣1＞0．∴x1+x2＝，x1x2＝，∴|AB|2＝（1+k2）[﹣4x1x2]＝（1+k2）[﹣4×]，∵|AB|＝2|OA|，∴|AB|2＝4|OA|2，∴（1+k2）[﹣4×]＝4×．化为：m2＝2﹣2k2．联立，解得：A．∴＝，化为：m2＝．∴2﹣2k2＝，0＜k2＜1．∴（1﹣k2）＝k2+1，解得．因此存在k，m满足题意．21．【解答】（1）y2＝4x；（2）﹣3；（2）（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）；解：（1）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），抛物线的焦点F的坐标为，设直线MN的方程为，将直线MN的方程与抛物线的方程联立，消去x并整理得y2﹣2mpy﹣p2＝0．由韦达定理得，由于p＞0，解得p＝2．因此，抛物线的方程为y2＝4x；（2）＝；（3）设点、．，．∵AB⊥BC，则．易知，y3≠2，y4≠y3，化简得（y3+2）（y4+y3）+16＝0，所以，．①当y3+2＜0时，由基本不等式可得，当且仅当，即当y3＝﹣6时，等号成立；②当y3+2＞0时，．当且仅当时，即当y3＝2时，等号成立，事实上，y3≠2，此时，有y4＜﹣6．综上所述，C点纵坐标的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）．。
2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高二月考数学试题及答案
2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高二月考数学试题及答案一、单选题1．在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】试题分析：选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．B,C,D四个命题是平面性质的三个公理，所以选A．【考点】点，线，面的位置关系．2．(2017·吉安二模)若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直【答案】D【解析】两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直， 故选D.3．在四边形()()1,2,4,2,ABCD AC BD ==-中，则该四边形的面积为（ ）A ．5B ．25C ．5D ．10【答案】C【解析】注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，1(14)*252S =+=.或者注意到·0AC BD =分为四个小直角三角形算面积.【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题. 4．已知动点P 的横坐标x 、纵坐标y 满足：①cos sin 1()x y R ααα+=∈；②224x y +≤，那么当α变化时，点P 形成的图形的面积为（ ） A ．π B ．3π C ．4π D ．4π-【答案】B【解析】根据方程cos sin 1x y αα+=表示单位圆的切线，可知P 点形成的图形为圆环，由两圆面积作差可求得结果.【详解】方程cos sin 1x y αα+=表示单位圆的切线P ∴形成的区域为222214x y x y ⎧+≥⎨+≤⎩构成的圆环 ∴区域面积43S πππ=-=故选：B 【点睛】本题考查动点轨迹形成区域面积的求解问题，关键是能够通过动点满足条件，准确找到所构成的平面区域.二、填空题5．复数23i +（i 是虚数单位）的模是__________． 【答案】13【解析】根据复数模长的定义直接求解即可得到结果. 【详解】22232313i +=+=故答案为：13【点睛】本题考查复数的模的求解，属于基础题.6．在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_______.【答案】3π【解析】试题分析：将1B C 平移到1A D 的位置，所以异面直线所成角转化为1BA D ∠，由于1BA D ∆是正三角形，所以13BA D π∠=【考点】异面直线所成角7．已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 方向相同的单位向量的坐标为____________. 【答案】34(,)55-【解析】∵点()1,3A ，()4,1B -， ∴()3,4AB =-，可得235AB ==，因此，与向量AB 同方向的单位向量为：()1343,4,555AB e AB⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭故答案为：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭8．以双曲线22145x y -=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．【答案】22195x y +=【解析】本题首先可以确定双曲线的焦点、顶点坐标，然后通过题意可以确定椭圆的顶点、焦点坐标，最后通过椭圆的相关性质即可求椭圆的方程。
上海市交通大学附属中学2018_2019学年高二数学上学期10月月考试卷含解析
上海交通大学附属中学2018-2019学年度第一学期高二数学10月月考试卷一.填空题1. 若集合= 则实数m = ________ ；【答案】：n【解析】【分析】根据并集定义求结果•【详解】因为: ■.：<：，所以匚」g H!.【点睛】本题考查集合并集，考查基本求解能力2. 已知关于W的二元一次方程组］：：：：：；［：：的增广矩阵是(J 7 打，则此方程组的解是 ____________ ；【答案】:.【解析】【分析】根据增广矩阵定义列方程组，解得结果•【详解】:.【点睛】本题考查增广矩阵定义，考查基本求解能力3. 函数Y = 3曲-石的定义域_________________________ ；【答案】【解析】【分析】根据对数真数大于零以及偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域(log/x-2) > 0【详解】由题意得，.【点睛】本题考查函数定义域以及解对数不等式，考查基本求解能力4. 已知向量二匸均为单位向量，若它们的夹角是60°,则二3：等于_____________________ ；【答案】■.【分析】结合向量数量积先求向量模的平方，再开方得结果【详解】|a-3b +一匸- 9Y % 1 x 1 冷=击【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积，考查基本求解能力5. 函数ii ■■■■! 1 ■- I：-. ■:_________________ 的最小正周期为；【答案】【解析】【分析】先根据两角和与差正弦公式、二倍角余弦公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求周期【点睛】本题考查两角和与差正弦公式、二倍角余弦公式以及正弦函数性质，考查基本求解能力•6. _____________________________________________________________________ 等差数列｛日n｝中，叱十衍十，则该数列的前13项的和哲13 =___________________________________【答案】52【解析】由等差数列的性质可得+ =2 ，代入已知式子可得3 =12，故=4，13(讪斗讪j 13 x2a7故该数列前13项的和1J 2 2故答案为：521 17. 已知函数3 = ^—，若函数y = f(x-i m)--为奇函数，则实数im为4亠2 4【答案】【解析】【分析】令': ■- m.,根据奇函数性质得「匚:'-:，,化简得结果.最后验证. 4【详解】令...，则为奇函数，44s m -i 2 4因此二：：； ---...^111 -I 2 斗2】 1 1 斗51 ] 1叶 h 〔—x) --------------- ---- -------------- •时 ■，42 3-2..;满足条件2 十 护 42 - 2 ■ 4X 4 2 + 2 ■ 4X 2因此:li.2【点睛】本题考查奇函数性质，考查基本求解能力8. _________________________________________________________________________ 数列他J 中，若L ，坷则股衔V ••+叫J= _______________________________________________________【答案】 3【解析】 【分析】 先分组求和得\「：：〉：，再根据极限定义得结果•1 1 1【详解】因为"•：=.,,……,.,2 则 hi ； j :,.il —a3【点睛】本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力9. 设函数厂化护在上有定义，对于任意给定正数，定义函数•数匸；为ii 〉1的"孪生函数”，若给定函数 “…；，贝U 【答案】 【解析】 【分析】 根据定义化简，再根据分段函数求结果4，则称函【详解】因为； — IV.- ■-.f2-x 2T 2-x 2<] i L 2-X 2>12 - x 2,x> 1 或x 兰-I 1, - I <x< I因此：..<■2-2【点睛】本题考查分段函数解析式以及求分段函数值，考查基本求解能力10. 在―二.中， 边上的中线 •，若动点 满足 一二必 恵一虫「；二(& E R ),贝叮p 為+ PE) - PC 的最小值是 ___________________ ；【答案】 【解析】 【分析】先根据向量共线得P 在线段 上，再根据向量数量积化简，最后根据二次函数性质求最值.【详解】因为二飞--.,=2 I ,所以三点共线，且F 在线段 上，-_* —* ―■―* —k设":m ^、，又因为..I 「■ •二，:--“ '-•故最小值为-! •【点睛】本题考查向量共线、向量数量积以及二次函数性质，考查基本求解能力11. 定义平面向量之间的一种运算“ *”如下：对任意的，....，令.1 •-给出以下四个命题：①若与;.，共线，则②..I-:、.、.;③对任意的■- h -,有［Li ;④「命-(二命二(注：这里；丄指:与匸的数量积)其中所有真命题的序号是【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据向量共线、向量数量积以及新定义化简判断命题真假 【详解】因为若 与.共线，则E '-'l-,故①正确；—k ―k—k —k因为「T ： ||匚-|.| •，I ‘ * ：- i|，故②错误；—► —k―t-—k因为• • I I, •.二I -厂|「」：,故③正确；因为包* b =眄-叩，包-b Fp-nq ，则［a 壮『+ A - b 「= a 2 b 讹简为：-< -：.■■>'…「I .■ I ■- I / v ,等式左右两边相等，故④正确；综上，正确的序号为：①③④；【点睛】本题考查向量共线、向量数量积以及新定义理解，考查基本求解判断能力 •「“、 厂兀 cmBcosC I r 「宀町12. ----------------------------------------------------------- 已知。
2018-2019学年上海市复旦附中高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市复旦附中高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．在数列{}n a 中，111111234212n a n n=-+-+⋅⋅⋅+--，则1k a +等于（ ） A ．121k a k ++ B ．112224k a k k +-++ C ．122k a k ++D ．112122k a k k +-++ 【答案】D【解析】试题分析111111234212n a n n =-+-+⋅⋅⋅+--，1112a ∴=-，21111234a =-+-，⋅⋅⋅，n a =1111234-+-+⋅⋅⋅11212n n +--，111111234212k a k k=-+-+⋅⋅⋅+=-， 1112122k k a a k k +∴=+-++，故选D ． 【考点】数列通项及归纳推理．【思路点晴】本题主要考查数列通项的基本含意，属于难题，解题时一定要注意111111234212n a n n=-+-+⋅⋅⋅+--的三个特点：（1）正负间隔出现；（2）分母成公差为1等差数列；（3）n 每增加“1”，n a 就增加两项．解决本题是利用特点（3）可知1k a +在k a 的基础上多出了两项得出结论的．2．数列{}n a 的通项公式是1(1)2nn a +-=，则此数列（ ）A.有极限，其值是整数B.有极限，其值是分数C.有两个极限D.lim n n a →∞不存在 【答案】D【解析】通过数列的通项公式，判断数列的特征，然后求解即可． 【详解】数列{a n }的通项公式是a n 1(1)2n+-=，可得数列是0，1，0，1，0，1…0，1…， 可知数列是摆动数列，所以数列没有极限． 故选：D ． 【点睛】本题考查数列的通项公式的应用，数列极限的判断，考查计算能力 3．已知|b |＝3，如果a 在b 上的投影是32-，那么a ⋅b 为（ ） A.92-B.92 C.2D.12【答案】A【解析】由题得||a b b ⋅＝﹣32，化简即得解.【详解】 依题意得||a b b ⋅＝﹣32，∴a b ⋅＝﹣32×3＝﹣92. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查向量的投影，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.4．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43B ．53C ．158D ．2【答案】B【解析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，利用平面向量的坐标运算建立有关λ、μ的方程组，求出这两个量的值，可得出λμ+的值. 【详解】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，由此，()()11,1,1,,1,12AC AM BD ⎛⎫===- ⎪⎝⎭uuu r uu u u r uur ，故11,12λμλμ=-=+，解得415,,333λμλμ==+=.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查平面向量的基底表示，解题时也可以利用坐标法来求解，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题5．在等差数列{a n }中，已知a 15＝10，a 45＝90，a 60＝_____． 【答案】130【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，先求出d,再利用通项求a 60得解. 【详解】设等差数列{a n }的公差为d ， 则d ＝45154515a a -=-83，故a 60＝a 45+（60﹣45）d ＝90+15×83＝130，故答案为：130 【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算和通项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，公比q ∈R ，且q ≠1，a n ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则n ＝_____ 【答案】11【解析】直接利用等比数列的通项化简得10111n a a q a ==，即得解.【详解】∵a 1＝1，公比为q ，且q ≠1，a n ＝a 1a 2a 3a 4a 5，∴51234101111n a a qa q a +++===, ∴n ＝11． 故答案为：11 【点睛】本题主要考查等比数列的通项的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.7．1123lim 23n nn n n ++→∞-+＝_____【答案】﹣13【解析】化简得1123lim 23n nn n n ++→∞-+＝2213lim 233nn n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再求极限得解. 【详解】1123lim 23n nn n n ++→∞-+＝2213lim 233nn n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝0103-+＝13-． 故答案为：13-． 【点睛】本题主要考查数列极限的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 8．与向量a ＝（﹣3，4）共线的单位向量0a u u r＝_____【答案】（﹣35，45）或（35，﹣45） 【解析】根据题意得a r＝5，再利用与a 共线的单位向量公式得解.【详解】根据题意得a r＝5，∴同向单位向量||a a ＝15（﹣3，4）＝（35-，45），同理反向单位向量（35，﹣45）. 故答案为：（﹣35，45）或（35，﹣45）【点睛】本题主要考查向量的模的计算，考查共线向量的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．已知点P 分线段P 1P 2的比为﹣2，若P 1（1，2），P 2（3，﹣1），则点P 的坐标为_____ 【答案】（5，﹣4）【解析】由题得λ＝﹣2，再利用定比分点的坐标公式求解. 【详解】点P 分线段P 1P 2的比为﹣2，所以λ＝﹣2． 根据分点的坐标公式： x ＝121x x λλ++＝123512-⨯=-，124411y y y λλ+===-+-， 所以点P 的坐标为（5，﹣4）． 故答案为：（5，﹣4） 【点睛】本题主要考查定比分点的坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 10．已知A （0，1）、B （1，0）、C （3，k ），若∠ABC 为钝角，则k 的取值范围为_____ 【答案】（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）【解析】由题得BA ⋅BC ＜0且BA 、BC 不平行，解不等式组即得解. 【详解】∵A （0，1）、B （1，0）、C （3，k ）， ∴BA ＝（﹣1，1）且BC ＝（2，k ）．∵∠ABC 为钝角，∴BA ⋅BC ＜0且BA 、BC 不平行， 可得2020k k -+<⎧⎨--≠⎩，解之得k ＜2且k ≠﹣2．则k 的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2） 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2） 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和夹角的计算，考查共线向量的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．若数列100，50，20，…的各项加上某个数后恰为一等比数列，则此时等比数列的各项和为_____ 【答案】6252【解析】设加上的数为a ，所以（50+a ）2＝（100+a ）（20+a ）,解得a ＝25.再求公比q 和等比数列的各项和. 【详解】根据题意，（50+a ）2＝（100+a ）（20+a ）；解得a ＝25.∴50253100255q +==+，∴312515125625lim lim322155n nn n S →∞→∞⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦===-． 故答案为：6252【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，考查等比数列各项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．(数学文卷·2017届北京市朝阳区高三上学期期中考试第14题) 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作.书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐。
上海市交通大学附属中学2018_2019学年高二数学上学期10月月考试卷(含解析)
上海交通大学隶属中学2018-2019 学年度第一学期高二数学 10 月月考试卷一. 填空题1. 若会集，，，则实数_______；【答案】【解析】【解析】依照并集定义求结果.【详解】因为，，，因此.【点睛】本题察看会合并集，察看基本求解能力.2. 已知关于的二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是______________；【答案】【解析】【解析】依照增广矩阵定义列方程组，解得结果.【详解】【点睛】本题察看增广矩阵定义，察看基本求解能力.3. 函数的定义域_______________；【答案】【解析】【解析】依照对数真数大于零以及偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域.【详解】由题意得.【点睛】本题察看函数定义域以及解对数不等式，察看基本求解能力.4. 已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60°，则等于___________；【答案】【解析】【解析】结合向量数量积先求向量模的平方，再开方得结果.【详解】【点睛】本题察看向量的模以及向量数量积，察看基本求解能力.5. 函数的最小正周期为___________；【答案】【解析】【解析】先依照两角和与差正弦公式、二倍角余弦公式化简函数解析式，再依照正弦函数性质求周期. 【详解】，因此周期为；【点睛】本题察看两角和与差正弦公式、二倍角余弦公式以及正弦函数性质，察看基本求解能力 .6. 等差数列中，，则该数列的前项的和__________.【答案】 52【解析】由等差数列的性质可得+ =2，代入已知式子可得 3 =12，故=4，故该数列前13 项的和故答案为： 527. 已知函数，若函数为奇函数，则实数为_______；【答案】【解析】【解析】令, 依照奇函数性质得, 化简得结果 . 最后考据 .【详解】令,则为奇函数，因此当时，；满足条件 .因此.【点睛】本题察看奇函数性质，察看基本求解能力.8. 数列中，若，，则______；【答案】【解析】【解析】先分组求和得，再依照极限制义得结果.【详解】因为，，，，因此则.【点睛】本题察看分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，察看基本求解能力.9. 设函数在上有定义，关于任意给定正数，定义函数，则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，，则_______________. 【答案】【解析】【解析】依照定义化简，再依照分段函数求结果 .【详解】因为,因此.【点睛】本题察看分段函数解析式以及求分段函数值，察看基本求解能力.10. 在中，边上的中线，若动点满足（），则的最小值是_____________；【答案】【解析】【解析】先依照向量共线得在线段上，再依照向量数量积化简，最后依照二次函数性质求最值 .【详解】因为，因此三点共线，且在线段上，设，又因为，故最小值为.【点睛】本题察看向量共线、向量数量积以及二次函数性质，察看基本求解能力.11. 定义平面向量之间的一种运算“* ”以下：对任意的，，令，给出以下四个命题：①若与共线，则；②；③对任意的，有；④（注：这里指与的数量积）其中所有真命题的序号是____________【答案】①③④【解析】【解析】依照向量共线、向量数量积以及新定义化简判断命题真假.【详解】因为若与共线，则，故①正确；因为，，故②错误；因为，故③正确；因为，，则化简为：，等式左右两边相等，故④正确；综上，正确的序号为：①③④；【点睛】本题察看向量共线、向量数量积以及新定义理解，察看基本求解判断能力.12. 已知为的外心，且，，则实数_____ 【答案】【解析】【解析】先点乘向量，再依照向量数量积、向量投影化简，最后依照正弦定理、两角和余弦公式化简得结果 .【详解】两边同点乘向量，可得，，因此由向量投影得，因此，由正弦定理知：，【点睛】本题察看向量数量积、向量投影、正弦定理、两角和余弦公式，察看基本解析与求解能力 .二 . 选择题（本大题共有 4 题，每题 5 分，满分20 分）13. 若平面向量和互相平行，其中，则（）A. B.或 C.或 D.或【答案】 B【解析】【解析】先依照向量平行得方程解得x，再依照向量模的坐标表示得结果.【详解】因为向量和互相平行，因此，因为则或，选B.【点睛】本题察看向量平行、向量模的坐标表示，察看基本求解能力.14. 在中，角所对的边分别为，则“”是“”的(）A. 充分不用要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不用要条件【答案】 A【解析】【解析】依照“，得出，依照充分必要条件的定义可判断．【详解】∵中，角所对的边分别为，，或∴依照充分必要条件的定义可判断：“”是“”的充分不用要条件．应选 A【点睛】本题察看认识三角形，充分必要条件的定义，属于中档题．15. 函数，若存在，使，那么（）A. B. C.或 D.【答案】 C【解析】【解析】依照零点存在定理列不等式，解得结果，即得选项.【详解】由题意得或，选C【点睛】本题察看零点存在定理应用，察看基本求解能力.16. 定义域为的函数图像的两个端点为，向量，是图像上任意一点，其中，。
上海交通大学附属中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题(解析版)
2023届上海交通大学附属中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题 1．“2()2x k k ππ=+∈Z ”是“sin 1x =”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】A【分析】由sin 1x =，可得()2x k k ππ=+∈Z ，分析即得解【详解】由题意，若2()2x k k ππ=+∈Z ，则sin 1x =，即sin 1x =，故充分性成立；反之，若sin 1x =，则sin 1x =±，即()2x k k ππ=+∈Z ，故必要性不成立；故“2()2x k k ππ=+∈Z ”是“sin 1x =”的充分不必要条件.故选：A2．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,)22ωϕππ>-<<的部分图象如图，则,ωϕ的值分别是（ ）A ．1,6πωϕ==- B ．1,3πωϕ==-C ．2,6πωϕ==-D ．2,3πωϕ==-【答案】D【分析】由函数的部分图像求出函数的周期和向左平移量，进而求得,ωϕ的值. 【详解】解：由53()1234πππ--=得：函数()2sin()f x x ωϕ=+的周期T π=， 又0ω>，2ω∴=，又由第一点坐标为(,0)6π，故第一点向左平移量6L π=-，故2()63L ππϕω==⨯-=-，故选：D.【点睛】本题考查由sin()y A x ωϕ=+的部分图像确定其解析式，求ϕ是难点，属于中档题.3．碳70()70C 是一种碳原子族，可高效杀灭癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为（ ）．A ．12B ．25C ．30D ．36【答案】B【分析】根据题意可知顶点数为70，可求得棱长数为105，结合欧拉公式得到面数为37，列出方程组即可求解.【详解】根据题意，顶点数就是碳原子数即为70，每个碳原子被3条棱长共用， 故棱长数7032105=⨯÷=，由欧拉公式可得面数=2+棱长数-顶点数21057037=+-=， 设正五边形x 个，正六边形y 个，则37x y +=，561052x y +=⨯，解得12x =，25y =， 故正六边形个数为25个，即六元环的个数为25个， 故选：B.4．若对于函数()f x 定义域内的任意一个自变量1x ，都存在唯一一个自变量2x ，使得12()()1f x f x =成立，则称这样的函数为“F 函数”，则下列四个函数：①()ln(1)f x x =-；②1()e x f x +=；③2()1f x x =+；④()tan f x x =，π(0,)2x ∈.其中“F 函数”的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】根据“F 函数”的定义一一验证每个选项中的函数，符合该定义的即为“F 函数”，由此可得答案.【详解】对于①()=ln(1)f x x -，当12x =时，1()=0f x ，此时不存在2x ，使得12()()1f x f x =，故①不是“F 函数”；对于②+1()=e x f x ，对于定义域内的任意一个自变量1x ，都存在唯一一个自变量21=2x x --，使得11+11012()()=e ?e =e =1x x f x f x --， 故②1()e x f x +=是“F 函数”；对于③2()1f x x =+，对于定义域内的任意一个自变量x ，都有2()=+11f x x ≥， 取12x = ，则1()=5f x ，定义域内不存在2x ，使得21()5f x =，即不能使得12()()1f x f x =，故③不是“F 函数”；对于④()tan f x x =，π(0,)2x ∈定义域内的任意一个自变量1x ,都存在唯一一个自变量212ππ=,(0,)22x x x -∈,使得12111πsin()π12()=tan()==π2tan cos()2x f x x x x ---，从而使得12111()()=tan ?=1tan f x f x x x ， 故④为“F 函数”； 故选：C二、填空题5．设i 是虚数单位，若()i i 1b +是纯虚数，则实数=b _________. 【答案】0【分析】根据复数的乘法运算，结合纯虚数的概念，即可求得答案.【详解】由题意得()i i 1i b b +=-+，因为()i i 1b +是纯虚数，则0b -= ，即=0b ，故答案为：06．满足条件{}{}1,21,2,3,4M ⊆⊆的集合M 共有___________个． 【答案】4【详解】符合题意的集合M 有{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,44个7．若1tan 2θ=-，那么221sin cos sin cos θθθθ+=-______. 【答案】-1.【分析】原式变形为关于sin ,cos θθ的齐次分式，代入求值.【详解】2222221sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ+++=-- 22tan 1tan tan 1θθθ++=- 111421114+-==--. 故答案为：1-【点睛】本题考查根据tan θ的值化简sin ,cos θθ的齐次分式，并求值，意在考查变形化简计算的能力，属于基础运算题型.8．已知抛物线24y x =上一点0(M x ，则点M 到抛物线焦点的距离等于______________． 【答案】4.【详解】分析：把点(0M x 代入抛物线方程，解得0x ．利用抛物线的定义可得：点M 到抛物线焦点的距离01x +．详解：把点(0M x代入抛物线方程可得：204x =，解得03x = ． ∴点M 到抛物线焦点的距离014x =+= ． 故答案为4．点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．不等式3112x x-≥-的解集为___________. 【答案】3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【分析】根据题意，将分式不等式转化为一元二次不等式，即可求解.【详解】根据题意，由3112x x -≥-，得4302x x -≥-，即()()432020x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得324x ≤<，因此不等式3112x x -≥-的解集为3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭.10．在△ABC 中，2AB =，3AC =，0AB AC ⋅<，且△ABC 的面积为32，则BAC ∠=_______【答案】150 【详解】试题分析：113sin 23sin 222S AB AC BAC BAC =∠=⨯⨯⨯∠=，，∵0AB AC ⋅<，∴90BAC ∠>︒，∴150BAC ∠=︒． 【解析】三角形的面积，向量的夹角． 11．2341001111log 100!log 100!log 100!log 100!++++=_________ .【答案】1【分析】根据换底公式，以及对数的运算法则，求解即可 【详解】根据换底公式：2341001111log 100!log 100!log 100!log 100!++++lg 2lg3lg !lg100!lg100!lg14lg1000!lg1000=++++lg 2lg3lg 4..!g .lg 100100l =++++lg100!lg100!lg1lg 2lg3lg 4...lg100lg(123...100)=+++⨯=++⨯⨯⨯1lg lg 01001!0!== 故答案为：112．在621x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中常数项是_______．（用数值回答）【答案】581【分析】求得621x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式通项为()16206,rr r T C x r r N x +⎛⎫=+≤≤∈ ⎪⎝⎭，并求得2rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式通项212k k r kk r T C x -+'=，令20r k -=，对k 、r 分类讨论即可得出答案.【详解】621x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式通项为()16206,rr r T C x r r N x +⎛⎫=+≤≤∈ ⎪⎝⎭，2r x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式通项()212206,,kk r k k k r k k r r T C x C x k r k r N x --+⎛⎫'=⋅=≤≤≤∈ ⎪⎝⎭， 令20r k -=，0k =，0r =时，可得11T =；1k =，2r =时，可得22362T C x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1222T C '=，2162260C C ∴⨯=；2k =，4r =时，可得44562T C x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2234224T C '==，4624360C ∴⨯=； 3k =，6r =时，可得66762T C x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，33462160T C '==，66160160C ∴⨯=. 因此，621x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中常数项为160360160581+++=.故答案为：581.【点睛】本题考查了三项展开式中常数项的计算，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．13．若不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是_________.【答案】11,,24⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】首先若满足不等式恒成立，即()min 12a x a x a -+≤-++，利用绝对值三角不等式求最小值，最后解不等式求a 的取值范围.【详解】()()2223x a x a x a x a x a x a a -++=-++≥--+=， 当()(2)0x a x a -+≤时等号成立，即()min 23x a x a a -++=， 若满足不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立， 即13a a -+≤ ，即31a a ≥-或31a a ≤- ， 解得：14a ≥或12a ≤-. 故答案为：11,,24⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭14．设P 是ABC 内的一点，且=2BC ，3CA =，=4AB ，则222234PA PB PC ++的最小值为_________. 【答案】24【分析】通过建立平面直角坐标系，利用坐标法、点点到直线的距离公式进行求解.【详解】如图，以AB 中点为原点建立平面直角坐标系，由题可知，164911cos 24216B +-==⨯⨯，所以5(8C ，(20)A -，，(20)B ，，设(,)P x y ，则()2222PA x y =++，()2222PB x y =-+，22258PC x y ⎛⎛⎫=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以2222222210999309334x y x x y x PA PB PC ++⎛⎫=+--+=+- ⎪ ⎪⎝⎭221889924233x y ⎡⎤⎛⎛⎫⎢⎥=-++≥⨯= ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当1,2x y ==时，取到等号. 故答案为：24.15．如果函数()=y g x 满足：对任意实数m 、n 均有()()()()12g mn g m g n g n m +-=--成立，那么称()=y g x 是“次线性”函数，若“次线性”函数()=y f x 满足()01f =，且两正数x 、y 使得点()21,32x xy --在函数()=y f x 的图像上，则142log ()log x y x +-的最大值为_________. 【答案】1-【分析】根据定义，利用赋值法可求出()1f x x =+，再利用导数求最值可得解. 【详解】令0m n ==，则(1)(0)(0)=2(0)0f f f f ---成立， 因为函数()=y f x 满足()01f =，所以(1)=2f ， 令=,0m x n =，则有()()()()10=20f f x f f x ---， 从而有()1f x x =+，因为1422log (+)log =log (+x y x x y --所以142log (+)log x y x -的最大值，即(x y +又因为正数,x y 使得点()21,32x xy --在函数()=y f x 的图像上，所以有2231+1=32=>00<2x x xy y x x-⇒⇒--所以223(++2x x y x x -14(0,3)t ∈24+32t t =， 令4+3()2t h t t =，则42223(1)3(+1)(+1)(1)()==22t t t t h t t t --'， 当14()>01<<3h t t ⇒'，()<00<<1h t t ⇒'，所以函数()h t 在(0,1)上单调递减，在14(1,3)上单调递增， 所以min 13()(1)22h t h +===，所以min [(2x y +=所以14222log (+)log =log (+log 2=1x y x x y ----.所以142log (+)log x y x -的最大值为1-.故答案为：1-三、解答题16．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(),(1,2,,20)i i x y i =，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：头），并计算得20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，()202180i i x x=-=∑，()20219000i i y y=-=∑，()()201800iii x x y y =--=∑.(1)估计该地区这种野生动物的数量； (2)求样本(),(1,2,,20)i i x y i =的相关系数.（精确到0.01）【答案】(1)12000 (2)0.94【分析】（1）计算出样区野生动物的数量的平均值，乘以地块数，即得答案； （2）根据相关系数公式进行计算，可得答案.【详解】(1)由已知得样本平均数20111=12006002020i i y y ==⨯=∑ ， 从而该地区这种野生动物数量的估计值为2060012000⨯=.(2)由()202180i i x x=-=∑，()20219000i i y y=-=∑，()()201800i i i x x y y =--=∑，可得样本(,)()1220i i x y i =，，， 的相关系数为20()()0.94iix x y y r -===≈-∑.17．已知数列{}n a 的前n 项和31n S n =-，数列{}n b 满足11b =-，()121n n b b n +=+-. (1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式. (2)若n nn a b c n⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】(1)2,13,2n n a n =⎧=⎨≥⎩，22n b n n =-(2)22,1392,22n n T n n n -=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩【分析】（1）先利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a ，再利用累加法求出n b ；（2）先利用（1）结果求出n c ，再利用等差数列求和公式进行求和即可． 【详解】(1)∵31n S n =-，∴134,2-=-≥n S n n ， ∴()1313432n n n a S S n n n -=-=--+=≥， 当1n =时，1123S a ==≠，∴2,13,2n n a n =⎧=⎨≥⎩，∵()121n n b b n +=+-，∴211b b -=，32433,5,-=-=b b b b …，123,2n n b b n n --=-≥， 以上各式相加得：21(1)(123)135(23)(1)2,2n n n b b n n n -+--=++++-==-≥，22n b n n =-，又11b =-符合上式，∴22n b n n =-；(2)由题意得2,136,2n n c n n -=⎧=⎨-≥⎩，1n =时，12T =-,当2n ≥时，()20363921222n n n n T n +--+=⨯--=， ∴22,1392,22n n T n n n -=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩.18．某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据测量结果得到如下频率分布直方图：（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）技术分析人员认为，本次测量的该产品的质量指标值X 服从正态分布()2,12.2N μ，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算μ，并计算测量数据落在(187.8,212.2)内的概率；（3）设生产成本为y 元，质量指标值为x ，生产成本与质量指标值之间满足函数关系0.4,2050.8100,205x x y x x ≤⎧=⎨->⎩假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产疫苗的平均成本． 参考数据：()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<<+≈．【答案】（1）0.002a =；（2）200；0.6827；（3）75.04元． 【分析】（1）由频率之和等于1求出a 的值；（2）先由频率分布直方图求平均数的方法得出μ，再由参考数据得出数据落在(187.8,212.2)内的概率；（3）先由频率分布直方图得出每组的质量指标值，再根据生产成本与质量指标值之间的函数关系得出生产疫苗的平均成本．【详解】解：（1）由10(0.0090.0220.0330.0240.008)1a a ⨯++++++= 解得0.002a =．（2）依题意，1700.021800.091900.222000.332100.24μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+ 2200.082300.02200⨯+⨯=故()2200,12.2X N ~所以(187.8212.2)(20012.220012.2)0.6827P X P X <<=-<<+≈ 故测量数据落在(187.8,212.2)内的概率约为0.6827（3）根据题意得0.41700.020.41800.090.41900.220.4200y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.33(0.8210100)0.24(0.8220100)0.08(0.8230100)0.02+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯75.04=故生产该疫苗的平均成本为75.04．【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于由频率分布直方图计算平均数的方法得出μ，进而由正态分布的性质得出概率.19．三棱锥P ABC -中，PA PB PC BC a ====，且PB 与底面ABC 成60︒角.(1)设点P 在底面ABC 的投影为H ，求BH 的长； (2)求证：ABC 是直角三角形； (3)求该三棱锥体积的最大值. 【答案】(1)12a ； (2)证明见解析；3.【分析】（1）根据题意找到PBH ∠为PB 与底面ABC 所成角，即可求得答案； （2）确定点H 为ABC 的外心，且落在BC 的中点处，即可证明结论; （3）求出底面三角形面积的最大值，根据三棱锥体积公式即可求得答案. 【详解】(1)如图，点P 在底面ABC 的投影为H ，则PH ⊥底面ABC ,则PBH ∠为PB 与底面ABC 所成角.，即60PBH ∠=︒， 故1122BH PB a ==； (2)因为==PA PB PC ，则HA HB HC ==,即H 为ABC 的外心， 设BC 的中点为D ，连接HD ，则HD BC ⊥，所以PD PH =,即PD PH =,故,D H 重合，则12AD a == ， 则12AD BC =,则90BAC ∠=,故ABC 是直角三角形； (3)设,,0,0AB m AC n m n ==>>，则222m n a += ，故22222m n a mn +≤=，当且仅当m n ==时取等号，故21124ABC S mn a =≤，故三棱锥P ABC -体积的最大值为231134a ⨯= .20．已知()()ln 1f x x ax =++.(1)当=1a 时，求曲线()=y f x 在点()()0,0P f 处的切线方程； (2)当10a -<<时，研究函数()=y f x 在区间()0,∞+上的单调性；(3)是否存在实数a 使得函数()=y f x 在区间()1,0-和()0,∞+上各恰有一个零点？若存在，请求出实数a 的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2y x =；(2)()f x 的单调递增区间是10,1a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间是11,a ⎛⎫⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)不存在，理由见解析；【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线的斜率，利用点斜式求切线方程；（2）求()f x 的导数，讨论导数的正负，从而得到()f x 的单调区间； （3）分0a ≥，1<0a -≤和<1a -进行讨论，通过导数求其单调性即可 【详解】(1)若=1a ，则()()=ln 1++1f x x x x >-，，()111f x x'=++， 则函数在()()0,0P f 处的切线的斜率()0=2k f '=，又()0=0f ， 所以曲线()=y f x 在点()()0,0P f 处的切线方程是2y x =； (2)由()(),0ln 1f x x ax x =+>+可得()1111ax a f x a x x++'=+=++， 当1<<0a -时，令()=0f x '，解得1=1+>0x a -⎛⎫⎪⎝⎭当10<<1+x a -⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1>1+x a -⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间是10,1+a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间是11+,+a -∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)当0a ≥时，()1=+01+f x a x≥'，所以()f x 在()1,+-∞单调递增，故不可能有两个零点，故舍去；当1<0a -≤时，令()=0f x '，解得1=1+0x a -≥⎛⎫⎪⎝⎭当11<1+x a -≤-⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x ≥'，()f x 单调递增；因为()0=0f ，且101,1+a ∈--⎛⎤⎛⎫ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故当()1,0x ∈-，()()00f x f <=，故此时()f x 在区间()1,0-无零点；当<1a -时，令()=0f x '，解得()1=1+1,0x a -∈-⎛⎫⎪⎝⎭，当1>1+x a -⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；因为()0=0f ，且101+,+a ∈-∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当()0,+x ∈∞，()()00f x f <=，故此时()f x 在区间()0,+∞无零点；综上所述，并不存在实数a 使得函数()=y f x 在区间()1,0-和()0,+∞上各恰有一个零点 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()=0f x 分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线=y a 与函数()=y g x 的图象的交点问题.21．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点为()2,0F ，渐近线方程为y =，过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点. (1)求C 的方程；(2)若直线AB 的斜率为1，求线段AB 的中点坐标；(3)点()11,P x y 、()22,Q x y 在C 上，且120x x >>，10y >.过P 且斜率为QM .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)2213y x -=(2)(1,3)-- (3)答案见解析.【分析】（1）根据双曲线渐近线方程和右焦点列出方程，即可求出答案； （2）首先求出点M 的轨迹方程即为3,M M y x k=其中k 为直线PQ 的斜率； 若选择①②∶设直线AB 的方程为=(2)y k x - ，求出点M 的坐标，可得M 为AB 的中点，即可推出||=||MA MB ；若选择①③︰当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为=(2)y m x -，求出点M 的坐标，即可PQ AB ∥；若选择②③∶设直线AB 的方程为=(2)y k x -，设AB 的中点C ，求出点C 的坐标，可得点M 恰为AB 中点，故点M 在直线AB 上．【详解】(1)由题意可得2,b c a = 2ba=，解得1,a b ==，因此C 的方程为 22=13y x -；(2)由直线AB 的斜率为1，得直线AB 的方程为=2y x -，联立=2y x y -⎧⎪⎨⎪⎩，得：=1=3x y ---⎧⎪⎨⎪⎩，不妨设(1,3A ---,联立=2=y x y --⎧⎪⎨⎪⎩，得：1=x y -⎧⎪⎨⎪⎩，不妨设1,B -, 故线段AB 的中点的横坐标为1-，纵坐标为3-， 故线段AB 的中点的坐标为(1,3)--；(3)由题意设直线PQ 的方程为=+(0y kx m k ≠，） ，将直线PQ 的方程代入22=13y x -得 222(3)23=0k x kmx m ----,22Δ=12(+3)>0m k -,因为12>>0x x ，21212222+3+=>0,=>033km m x x x x k k ∴---，23<0k ∴-，12x x ∴- 设点M 的坐标为(,)M M x y ,则1122=))M M M M y y x x y y x x -----⎧⎪⎨⎪⎩，整理得1212+)M y y x x --，1212=()y y k x x --，1212+)+()M x x k x x ∴-，解得M x又因为12122(+)M y y y x x --，12121212+=(+)+2, 2)+(+)+2M y y k x x m y x x k x x m ∴-，M y ∴3=M M y xk ∴；若选择①②作条件：设直线AB 的方程为=(2)y k x -，并设A 的坐标为33(,)x y ，B 的坐标为44(,)x y ，则3333=(2)y k x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得33x y同理求得44=x y - 2343422412+=,+=33k kx x y y k k ∴--，此时点M 的坐标满足=(2)3=M M M M y k x y x k -⎧⎪⎨⎪⎩， 解得23434222161==(+),==(+)3232M M k k x x x y y y k k --，故M 为AB 的中点，即MA MB =，即③成立 ； 若选择①③作条件：当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点(20)F ，，此时不在直线3y x k= ，矛盾， 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为=(2),(0)y m x m -≠ ，并设A 的坐标为55(,)x y ，B 的坐标为66(,)x y ，则5555=(2)y m x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得55x y同理解得66=x y -此时256212=(+)=23M m x x x m -，56216=(+)=23M m y y y m ∴-，由于点M 同时在直线 3y x k =上，故222632=33m m m k m ⋅-- 解得k m = ， 因此PQ AB ∥ ，即②成立． 若选择②③作条件：设直线AB 的方程为=(2)y k x - ，并设A 的坐标为78(,)x y ，B 的坐标为88(,)x y ，则7777=(2)y k x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得77x y同理可得88=x y - 设AB 的中点为(,)C C C x y ,则27878221216=(+)=,=(+)=2323C C k kx x x y y y k k --， 由于MA MB =，故M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线1=()C C y y x x k---上， 将该直线与3y x k =联立，解得22226==,==33M C M C k kx x y y k k --，即点M 恰为AB 中点，即点M 在直线AB 上, ①成立；【点睛】本题考查了双曲线方程的求法以及双曲线几何性质的应用，以及直线和双曲线的位置关系，综合性强，计算量大，解答时要明确解题思路，关键是联立方程进行计算十分繁杂，要特别注意准确性.四、双空题22．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A ，B ，M 是该多面体的三个顶点，点N 是该多面体外接球表面上的动点，且总满足MN AB ⊥，若4AB =，则该多面体的表面积为______；点N 轨迹的长度为______．【答案】【分析】分别算出每一部分的面积，即可求出该多面体的表面积；首先根据题干中找出点N 的轨迹，然后代入公式即可求出长度.【详解】根据题意该正四面体的棱长为3=12AB ，点A ，B ，M 分别是正四面体的棱三等分点.该正四面体的表面积为141212sin602︒⨯⨯⨯⨯=该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，每个角上小正四面体的侧面积为1344sin602︒⨯⨯⨯⨯=每个角上小正四面体的底面积为144sin 602︒⨯⨯⨯=所以该多面体的表面积为44⨯⨯=如图，设点H 为该多面体的一个顶点， 则8HF MF ==，4BF =.在HBF 中，22212cos606416248482HB HF BF HF BF ︒=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=则HB =222HB BF HF +=，HB BF ∴⊥，即HB AB ⊥，同理MB AB ⊥，又MB HB B =，AB ∴⊥平面MHB .点N 是该多面体外接球表面上的动点，由题可知，正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，且总满足MN AB ⊥，∴点N 的轨迹是HBM △的外接圆.BH BM ==21283MH =⨯=，在HBM △中，由余弦定理得2221cos 23HB MB HM HBM HB MB +-∠===⋅，sin HBM ∴∠== 设HBM △的外接圆的半径为r ，由正弦定理得2sin MH r HBM ===∠r ∴=∴点N的轨迹长度为2πr =.故答案为：.【点睛】本题的第一小空利用表面积公式即可求解，第二小空分析出正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，才可以找出点N 的轨迹.。
上海市交大附中20182019学年上学期高二数学期末试卷简答.docx
2018~2019学年交附高二上期末试卷2019.1一、填空题：1、复数()()22563z m m m m i =-++-，m R ∈，i 为虚数单位，实数m =______； 2、复数()()21z i i =+-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为______；3、抛物线212x y =的准线方程为______；4、已知向量()1,2a =-r ，()1,1b =r ，m a b =-r r r ，n a b λ=+r r r，如果m n ⊥r r ，则实数λ=______；5、若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数a 的值为______；6、设双曲线()222109x y b b-=>的焦点为1F 、2F ，P 为该双能线上的一点，若15PF =，则2PF =______；7、设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是______；8、若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =______；9、在直角坐标系xOy 中，已知点()0,1A 和点()3,4B -，若点C 位于第二象限，且在AOB∠的平分线上，2OC =uuu r ，则OC =uuu r______；10.参数方程231121t x tt y t +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）化成普通方程为______；11、在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中点在原点，它的一个焦点坐标为)，()12,1e =r、()22,1e =-r分别是两条渐近线的方向向量，任取双曲线Γ上的点P ，若()12,OP ae be a b R =+∈uu u r uu r uur，则a 、b 满足的一个等式是______；12、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足()()1AP OA R λλ=-∈uu u r uu r ，且48OA OP ⋅=u u r u u u r ，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为______；二、选择题：13、对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c R ∈，0a ≠）下列命题不正确的是（ ） A 、两根12,x x 满足12b x x a +=-，12c x x a=；B 、两根12,x x 满足12x x -C 、若判别式240b ac ∆=->时，则方程有两个相异的实数根；D 、若判别式240b ac ∆=-=时，则方程有两个相等的实数根；14、已知两点()1,2A ，()4,2B -到直线l 的距离分别为1，4，则满足条件的直线l 共有（ ） A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条15、如图，在四形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，若AB a =uu u r ，AD b =uuu r ，则AC BD ⋅=uuu r uu u r（ ） A 、22b a -B 、22a b -C.22a b +D.ab16、已知F 为抛物线2:4C y x =的集点，,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=u u r u u r u u u r r 时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ） A 、0个B 、1个C 、3个D 、无数个三、解答题：17、设1z +为关于x 的方程()20,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位. （1）当1z i =-+时，求,m n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.18、（1）已知非零复数z 满足22z +=，4z R z+∈，求复数z .（2）已知虚数z 使21z z +和21zz +都是实数，求虚数z .19、已知椭圆22142x y +=.（1）M 为直线:142x yl +=上动点，N 为椭圆上动点，求MN 的最小值；（2）过点12P ⎫⎪⎭，作椭圆的弦AB ，使3AP PB =uu u r uu r ，求弦AB 所在的直线方程.20、圆(22219:4M x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，圆(22221:4M x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，动圆P 与两圆1M 、2M 外切.（1）动圆圆心P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0N 的直线与曲线C 交于不同的两点12,N N ，求直线12N N 斜率的取值范围；（3）是否存在直线:l y kx m =+与轨迹C 交于点,A B ，使2OAB π∠=，且2AB OA =，若存在，求,k m 的值；若不存在，说明理由.21、过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，且,M N 两点的纵坐标之积为4-.（1）求抛物线的方程；（2）求OM ON ⋅u u u r u u u r的值（其中O 为坐标原点）；（3）已知点()1,2A ，在抛物线上是否存在两点B 、C ，使得AB BC ⊥？若存在，求出C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由. 参考答案： 一、填空题：1、2m =；2、1-；3、3y =-；4、2；5、3-或2；6、11；7、6-；8、1；9、⎛ ⎝⎭；10、()3703x y x +-=≠；11、14ab =；12、10； 二、选择题：13、B ；14、C ；15、A ；16、D ； 三、解答题：17、（1）0m =，1n =；（2）[]4,6；18、（1）1z =-±；（2）12z =-±；19、（1；（2）x 或8100y +-=；20、（1）()2211y x y -=≥；（2）1,k ⎛∈- ⎝⎭；（3）m =21、（1）24y x =；（2）3-；（2）()[),610,-∞-+∞U ；。
上海市交大附中20182019学年上学期高二数学期末试卷解析版.doc
2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷一、填空题：1．（3分）若复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（m为实数，i为虚数单位）是纯虚数，则m ＝．2．（3分）复数z＝（2+i）（1﹣i），其中i为虚数单位，则z的虚部为．3．（3分）抛物线x2＝12y的准线方程为4．（3分）已知向量＝（1，﹣2），，，，如果，则实数λ＝．5．（3分）若直线l1：ax+2y＝0和l2：3x+（a+1）y+1＝0平行，则实数a的值为．6．（3分）设双曲线﹣＝1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝．7．（3分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x﹣3y的最小值是．8．（3分）若复数z满足z•2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），则|z|＝．9．（3分）在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝．10．（3分）参数方程（t为参数）化成普通方程为；11．（3分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是．12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆上，点P满足，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为．二、选择题：13．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a，b，c∈R，a≠0）下列命题不正确的是（）A．两根x1，x2满足，B．两根x1，x2满足C．若判别式△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根D．若判别式△＝b2﹣4ac＝0时，则方程有两个相等的实数根14．（3分）已知两点A（1，2），B（4，﹣2）到直线l的距离分别为1，4，则满足条件的直线l共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条15．（3分）如图．在四边形ABCD中．AB⊥BC，AD⊥DC，若||＝a，||＝b．则＝（）A．b2﹣a2B．a2﹣b2C．a2+b2D．ab16．（3分）已知F为抛物线C：y2＝4x的集点，A，B，C为抛物线C上三点，当时，称△ABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（）A．0个B．1个C．3个D．无数个三、解答题：17．设z+1为关于x的方程x2+mx+n＝0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．（1）当z＝﹣1+i时，求m、n的值；（2）若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2+4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．18．（1）已知非零复数z满足|z+2|＝2，，求复数z．（2）已知虚数z使和都是实数，求虚数z．19．已知椭圆．（1）M为直线上动点，N为椭圆上动点，求|MN|的最小值；（2）过点，作椭圆的弦AB，使，求弦AB所在的直线方程．20．圆，圆，动圆P与两圆M1、M2外切．（1）动圆圆心P的轨迹C的方程；（2）过点N（1，0）的直线与曲线C交于不同的两点N1，N2，求直线N1N2斜率的取值范围；（3）是否存在直线l：y＝kx+m与轨迹C交于点A，B，使，且|AB|＝2|OA|，若存在，求k，m的值；若不存在，说明理由．21．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线的方程；（2）求的值（其中O为坐标原点）；（3）已知点A（1，2），在抛物线上是否存在两点B、C，使得AB⊥BC？若存在，求出C点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由．2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．【解答】解：∵复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（i为虚数单位）是纯虚数，∴m2﹣5m+6＝0且m2﹣3m≠0，解得m＝2，故答案为：2．2．【解答】解：z＝（2+i）（1﹣i）＝3﹣i．则z的虚部为﹣1．故答案为：﹣1．3．【解答】解：抛物线x2＝12y的准线方程为：y＝﹣3．故答案为：y＝﹣3．4．【解答】解：∵＝（0，﹣3），＝（1+λ，﹣2+λ），，∴＝﹣3（﹣2+λ）＝0，解得λ＝2．∴实数λ＝2．故答案为2．5．【解答】解：∵l1：ax+2y＝0与l2：3x+（a+1）y+1＝0平行∴∴a＝﹣3或2故答案为：﹣3或26．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣＝1，其中a＝＝3，则有||PF1|﹣|PF2||＝6，又由|PF1|＝5，解可得|PF2|＝11或﹣1（舍）故|PF2|＝11，故答案为：11．7．【解答】解：由约束条件，得可行域如图，使目标函数z＝2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4），∴目标函数z＝2x﹣3y的最小值为z＝2×3﹣3×4＝﹣6．故答案为：﹣6．8．【解答】解：设z＝a+bi，∵复数z满足z•2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），∴（a+bi）•2i＝a2+b2+1，∴2ai﹣2b＝a2+b2+1，∴，解得a＝0，b＝﹣1，∴|z|＝＝1．故答案为：1．9．【解答】解：∵，，设OC与AB交于D（x，y）点则：AD：BD＝1：5即D分有向线段AB所成的比为则解得：∴又∵||＝2∴＝（﹣，）故答案为：（﹣，）10．【解答】解：由题意，可知：，对于①式，可化成用x表示t的函数形式，x（1+t）＝2+3t化简，整理得：，其中x≠3同理，对于②式，可化成用y表示t的函数形式，y（1+t）＝1﹣2t化简，整理得：，其中y≠﹣2联立两个t的表达式，得：＝两式交叉相乘，得：（x﹣3）（1﹣y）＝（2﹣x）（y+2）化简，整理，得：3x+y﹣7＝0（x≠3）．故答案为3x+y﹣7＝0（x≠3）．11．【解答】解：因为、是渐近线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又，∴a＝2，b＝1双曲线方程为，＝（2a+2b，a﹣b），∴，化简得4ab＝1．故答案为4ab＝1．12．【解答】解：∵，∴＝，则O，A，P三点共线，∵，设Op与x轴的夹角为θ，B为A（x，y）在x轴上的投影，则线段OP在x轴上的投影长度为||cosθ＝＝＝≤48×＝10，当且仅当即|x|＝时取得最大值10．故答案为：10．二、选择题：13．【解答】解：由根与系数之间的关系得对实系数二次方程，无论判别式△≥0还是△＜0，两根x1，x2满足，，故A正确，若两根x1，x2为虚根，则不成立，故B错误，判别式△＝0时，方程有两个相等的实数根，△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根，故C，D，正确，故选：B．14．【解答】解：由点A（1，2），B（4，﹣2），易得|AB|＝5，以点A为圆心，半径1为的圆，与以点B为圆心，半径为4的圆外切，故满足条件的直线l即两个圆的公切线，显然，两个圆的公切线共有3条，故选：C．15．【解答】解：∵AD⊥DC，∴•＝0，∴•＝（+）•（﹣）＝﹣•（+）＝﹣•（+），∵AB⊥BC，∴•＝0，∴﹣•（+）＝﹣，∵||＝a，||＝b，∴＝b2﹣a2，故选：A．16．【解答】解：抛物线方程为y2＝4x，A、B、C为抛物线C三点，当满足时时，F为△ABC的重心，连接AF并延长至D，使FD＝AF，当D在抛物线内部时，存在以D为中点的弦BC，则这样的三角形有无数个．故“和谐三角形”有无数个，故选：D．三、解答题：17．【解答】解：（1）∵z＝﹣1+i，∴z+1＝i，则方程x2+mx+n＝0的两根分别为i，﹣i．由根与系数的关系可得，即m＝0，n＝1；（2）设z＝a+bi（a，b∈R），则＝＝a+1﹣bi．由题意可得：（z+1）＝（a+1）2+b2＝1．令a+1＝cosθ，b＝sinθ，θ∈[0，2π）．|PQ|＝＝∈[4，6]．18．【解答】解：（1）设z＝a+bi，则z+＝a+bi+＝a+bi+＝a++（b ﹣）i，∵，∴b﹣＝0，得b（1﹣）＝0，得b＝0或1﹣＝0，得a2+b2＝4，若b＝0，则z＝a，由|z+2|＝2得|a+2|＝2得a＝0，此时z＝0，不满足条件．若a2+b2＝4，由|z+2|＝2得|a+bi+2|＝2，得＝2，即（a+2）2+b2＝4，即a2+4a+4+b2＝4，得4+4a+4＝4，得a＝﹣1，此时b＝±，即z＝﹣1±i．（2）设z＝a+bi，（b≠0），∵和都是实数，∴设＝m和＝n，即z2＝m（z+1），z＝n（z2+1），即a2﹣b2+2abi＝m（a+1+bi）＝m（a+1）+mbi，则，即m＝2a，即a2+b2+2a＝0，①由z＝n（z2+1），得a+bi＝n（a2﹣b2+2abi+1）即，得n＝，a＝（a2﹣b2+1），即a2+b2﹣1＝0，②则2a＝﹣1，得a＝﹣，b＝±，即z＝﹣±i．19．【解答】解：（1）设点N的坐标为，则点N到直线l的距离为＝＝，所以，|MN|的最小值为；（2）设直线AB的参数方程为（t为参数，且β为倾斜角），设点A、B 对应的参数分别为t1、t2，由于，则﹣t1＝3t2，将直线AB的参数方程代入椭圆的方程，并化简得，由韦达定理得＝，，则，所以，，化简得，得cosβ＝0或，因此，弦AB所在的直线方程为或y，即或．20．【解答】解：（1）圆M1的圆心为M1（0，﹣），半径为r1＝，圆M2的圆心为M2（0，），半径为r2＝．设P（x，y），动圆P的半径为R，则|PM1|＝＝R+，|PM2|＝＝R+，∴＝+2，整理得：y2﹣x2＝1．∴动圆圆心P的轨迹C的方程y2﹣x2＝1（y≥1）．（2）设y＝k（x﹣1），则﹣1＜k＜0．联立，化为：（k2﹣1）x2﹣2k2x+k2﹣1＝0，△＝4k4﹣4（k2﹣1）（k2﹣1）＞0，解得：﹣1＜k＜﹣．∴．（3）k＝0时，不成立．k≠0时，直线OA的方程为：y＝﹣x，则＞1或＜﹣1，解得﹣1＜k＜0，或0＜k＜1．联立，解得＝，＝．∴|OA|2＝+＝．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（k2﹣1）x2+2kmx+m2﹣1＝0，△＝4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2﹣1）＞0，化为：k2+m2﹣1＞0．∴x1+x2＝，x1x2＝，∴|AB|2＝（1+k2）[﹣4x1x2]＝（1+k2）[﹣4×]，∵|AB|＝2|OA|，∴|AB|2＝4|OA|2，∴（1+k2）[﹣4×]＝4×．化为：m2＝2﹣2k2．联立，解得：A．∴＝，化为：m2＝．∴2﹣2k2＝，0＜k2＜1．∴（1﹣k2）＝k2+1，解得．因此存在k，m满足题意．21．【解答】（1）y2＝4x；（2）﹣3；（2）（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）；解：（1）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），抛物线的焦点F的坐标为，设直线MN的方程为，将直线MN的方程与抛物线的方程联立，消去x并整理得y2﹣2mpy﹣p2＝0．由韦达定理得，由于p＞0，解得p＝2．因此，抛物线的方程为y2＝4x；（2）＝；（3）设点、．，．∵AB⊥BC，则．易知，y3≠2，y4≠y3，化简得（y3+2）（y4+y3）+16＝0，所以，．①当y3+2＜0时，由基本不等式可得，当且仅当，即当y3＝﹣6时，等号成立；②当y3+2＞0时，．当且仅当时，即当y3＝2时，等号成立，事实上，y3≠2，此时，有y4＜﹣6．综上所述，C点纵坐标的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）．。
2018-2019学年上海市交大附中高二上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市交大附中高二上学期期末数学试题一、单选题1．对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c ∈R ，0a ≠）下列命题不正确的是（ ）A.两根12,x x 满足12bx x a +=-，12c x x a=；B.两根12,x x 满足12x x -=C.若判别式240b ac ∆=->时，则方程有两个相异的实数根；D.若判别式240b ac ∆=-=时，则方程有两个相等的实数根； 【答案】B【解析】根据一元二次方程根与判别式的关系可知,C D 正确；由韦达定理知A 正确；B 中若两根为虚根，则等式不成立，即B 错误. 【详解】若一元二次方程240b ac ∆=->，则方程有两个相异实根12,x x 由韦达定理得：12bx x a +=-，12c x x a=，则,A C 正确；当12,x x 为虚根时，12x x -B 错误；若一元二次方程240b ac ∆=-=，方程有两个相等实根，D 正确. 故选：B 【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式之间的关系、韦达定理的应用，属于基础题. 2．已知两点()1,2A ，()4,2B -到直线l 的距离分别为1，4，则满足条件的直线l 共有（ ） A.1条 B.2条C.3条D.4条【答案】C【解析】将问题转化为圆的公切线条数的求解，根据两点间距离公式求得5AB =，可确定两圆外切，由此得到公切线为3条. 【详解】由题意得：5AB ==∴以A 为圆心，半径为1的圆与以B 为圆心，半径为4的圆相外切 ∴满足条件的直线l 为两个圆的公切线，共有3条故选：C 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用，关键是能够根据两点间距离确定两圆的位置关系，考查了转化化归的数学思想.3．如图，在四形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，若AB a =uu u r ，AD b =uuu r，则AC BD ⋅=（ ）A.22b a -B.22a b -C.22a b +D.ab【答案】A【解析】由AC AD DC =+，BD AD AB =-，根据平面向量数量积运算律、线性运算法则，结合垂直关系可将AC BD ⋅uuu r uu u r化为22AD AB -，从而得到结果.【详解】AC AD DC =+，BD AD AB =-()()()2AC BD AD DC AD AB AD AB AD DC AD DC ∴⋅=+⋅-=-⋅++⋅AD DC ⊥ 0A D D C ∴⋅=()()222AC BD AD AB AD DC AD AB AC AD AB AB BC∴⋅=-⋅+=-⋅=-⋅+22AD AB AB BC =--⋅AB BC ⊥ 0A B B C ∴⋅=222222AC BD AD AB AD AB b a ∴⋅=-=-=-故选：A 【点睛】本题考查平面向量数量积的求解，关键是能够灵活应用平面向量的线性运算、向量垂直时数量积等于零的关系，将所求的数量积转化为已知模长的两个向量的形式. 4．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点， ,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有( )A.0个B.1个C.3个D.无数个【答案】D【解析】当0FA FB FC ++=时，F 为ABC ∆的重心，连接AF 并延长至D ，使12FD AF =，当D 在抛物线内部时，设()00,D x y ，利用“点差法”可证明总存在以D 为中点的弦BC ，从而可得结果. 【详解】抛物线方程为24,,,y x A B C =为曲线C 上三点， 当0FA FB FC ++=时，F 为ABC ∆的重心， 用如下办法构造ABC ∆， 连接AF 并延长至D ，使12FD AF =， 当D 在抛物线内部时，设()00,D x y ，若存在以D 为中点的弦BC ， 设()()1122,,,B m n C m n ， 则12120120122,2,BC n n m m x n n y k m m -+=+==-则21122244n m n m ⎧=⎨=⎩，两式相减化为()1212124n n n n m m -+=-， 121202BC n n k m m y -==-，所以总存在以D 为中点的弦BC ， 所以这样的三角形有无数个，故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算以及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.二、填空题5．复数()()22563z m m m m i =-++-，m R ∈，为纯虚数，i 为虚数单位，实数m =______；【答案】2【解析】根据纯虚数定义可知实部为零，虚部不等于零，由此构造方程组求得结果. 【详解】由纯虚数定义可知：2256030m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得：2m =故答案为：2 【点睛】本题考查纯虚数的定义，易错点是忽略虚部不等于零的要求，属于基础题. 6．复数(2)(1)z i i =+-，其中i 为虚数单位,则z 的虚部为_______. 【答案】-1 【解析】()()21z i i =+-22i i 13i =-++=-，z ∴的虚部为1-，故答案为1-.7．抛物线212x y =的准线方程为__________. 【答案】3y =-【解析】2212,32p x py y ==∴=，∴抛物线212x y =的准线方程为32py =-=-，故答案为3y =-.8．已知向量()1,2a =-，()1,1b =，m a b =-r r r ，n a b λ=+r r r，如果m n ⊥，则实数λ=______；【答案】2；【解析】根据向量垂直可得数量积等于零，由此构造方程求得结果. 【详解】由题意得：()0,3m =-，()1,2n λλ=+-+ m n ⊥ 630m n λ∴⋅=-=，解得：2λ= 故答案为：2 【点睛】本题考查根据平面向量垂直关系求解参数值的问题，关键是明确向量垂直等价于数量积为零，属于基础题.9．若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数的值为 ． 【答案】3-或2【解析】试题分析：依题意可得20311a a =≠+,解得3a =-或2a =． 【考点】两直线平行．10．设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________【答案】11 【解析】【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b-=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±， 又因为15PF =，所以2||11PF =.11．已知实数满足10{103x y x y x -+≥+-≥≤，则23z x y =-的最小值是______．【答案】6-【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线0:230l x y -=，平移直线0l ，当直线0l 过点(3,4)B 时，23z x y =-取得最小值6-.【考点】线性规划.12．若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =________. 【答案】1【解析】设i,,z a b a b =+∈R ，则由22i 1z z ⋅=+，得2222i 1b a a b -+=++，则222120b a b a ⎧-=++⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩，即i z =-，即||1z =.13．（理）在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC |＝2，求OC 的坐标为_____________________．【答案】( 【解析】根据向量加法平行四边形法则以及菱形性质得OA OB OC t OA OB ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭,再根据|OC |＝2，求t,即得结果. 【详解】由题意可设0OA OB OC t t OA OB ⎛⎫⎪=+> ⎪⎝⎭，， 所以39(,)55t tOC =-，因为|OC |＝2，所以253t t =∴=,即OC 的坐标为⎛ ⎝⎭. 【点睛】与a 共线的向量为a λ，当0λ>时，为同向；当0λ<时，为反向；与a 共线的单位向量为||aa λ；与(,)a x y =垂直的向量为(,)y x λ-.与AOB ∠平分线共线的向量为()||||OA OBOA OB λ+. 14．参数方程231121t x tt y t +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）化成普通方程为______；【答案】()3703x y x +-=≠； 【解析】通过分离常数法可求得131x t =-+、1213y t +=+且3x ≠，由此构造关于,x y的等式，整理可得结果. 【详解】()3112313111t t x t t t +-+===-+++ 3x ∴≠且131x t =-+ ()2131232111t t y t t t -++-===-++++ 1213y t +∴=+ ()2333y x x +∴-=≠，即()3703x y x +-=≠ 故答案为：()3703x y x +-=≠ 【点睛】本题考查参数方程化普通方程的问题，易错点是忽略自变量的取值范围，造成求解错误.15．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，1(2,1)e =、2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量,任取双曲线Γ上的点P ，若12OP ae be =+（a 、b R ∈），则a 、b 满足的一个等式是 ． 【答案】4ab=1 【解析】【详解】因为、是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为 ，又双曲线方程为 ，12OP ae be =+ =，，化简得4ab=116．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足()()1AP OA R λλ=-∈uu u r uu r ，且48OA OP ⋅=uu r uu u r，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为______； 【答案】10；【解析】由()1AP OA λ=-可知,,O A P 三点共线，得到48OA OP ⋅=；根据投影的定义可将所求投影长度转化为248925xx +，当0x =时，cos 0OP θ=；当0x ≠时，利用基本不等式可求得最大值；综合可得最终结果. 【详解】()1AP OA λ=- O A A P O A OP λ∴+== ,,O A P ∴三点共线 48OA OP OA OP ∴⋅=⋅=设OP 与x 轴夹角为θ，(),A x y ，B 为点A 在x 轴上的投影OP ∴在x 轴上的投影长度为222484848cos cos OB x OP x y OAOAθθ===+A 在椭圆221259x y +=上 229925y x ∴=- 248c o s 925x OP x θ∴=+ 当0x =时，cos 0OP θ=当0x ≠时，48cos 1016925OP x x θ=≤=+ 当且仅当16925x x =，即154x =±时取等号 综上所述：OP 在x 轴上的投影长度的最大值为10 故答案为：10 【点睛】本题考查平面向量投影长度的求解，关键是能够将所求的投影长度转化为关于某一变量的函数，利用函数最值的求解方法求得结果.三、解答题17．设1z +为关于x 的方程()20,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位.（1）当1z i =-+时，求,m n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.【答案】（1）0m =，1n =；（2）[]4,6；【解析】（1）由z 可确定方程两根为,i i -，由韦达定理可求得结果；（2）可确定1z +，1z +为方程的两根，令z a bi =+，韦达定理可得()111z z +⋅+=；令1cos a θ=-+，sin b θ=，利用两点间距离公式可表示出PQ ，利用三角函数的知识求得范围. 【详解】（1）当1z i =-+时，1z i +=∴方程20x mx n ++=的两根分别为：,i i -()()i i m i i n ⎧+-=-⎪∴⎨⋅-=⎪⎩，即0m =，1n =（2）当1n =时，方程为210x mx ++= 1z ∴+，1z +为方程的两根 设(,)z a bi a b R =+∈，则11z a bi +=++，11z a bi +=+-()()221111z z a b ∴+⋅+=++=设1cos a θ=-+，sin b θ=，[)0,2θ∈πPQ ∴===其中3tan 4ϕ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()[]sin 1,1θϕ+∈- []4,6PQ ∴∈即PQ 的取值范围为[]4,6 【点睛】本题考查复数的定义、几何意义的应用，涉及到复数对应的复平面当中的点的知识；关键是能够通过方程的一个虚根确定方程两根，利用韦达定理构造等量关系.18．（1）已知非零复数z 满足22z +=，4z R z+∈，求复数z .（2）已知虚数z 使21z z +和21z z +都是实数，求虚数z .【答案】（1）1z =-±；（2）122z =-±； 【解析】（1）设z a bi =+，根据复数运算表示出4z z+，令虚部为零可求得0b =或224a b +=；当0b =时，可验证不满足题意；当224a b +=时，利用22z +=可得关于,a b 的方程，联立可求得,a b ，从而得到z ；（2）令21z m z =+，21z n z =+，得到()21z m z =+，()21z n z =+，设z a bi =+，代入整理后，根据复数相等条件可分别得到关于,a b 的方程，解方程组求得,a b ，进而得到z . 【详解】（1）设,(,)z a bi a b R =+∈则()()22222244444a b z a bi a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ⎛⎫+=++=++-=++- ⎪++++⎝⎭4z R z +∈ 22224410b b b a b a b ⎛⎫∴-=-= ⎪++⎝⎭0b ∴=或224a b += 当0b =时，z a = 22a ∴+=，解得：0a =，与z 为非零复数矛盾，不合题意 当224a b +=时，由222z a bi +=++=得：()22222444a b a b a ++=+++=844a ∴+=，解得：1a =- b ∴=1z ∴=-±（2）21z z +与21z z +都是实数 ∴可设21z m z =+，21z n z =+ ()21z m z ∴=+，()21z n z =+设()0(,)z a bi b a b R =+≠∈由()21z m z =+得：()()21a bi m a bi +=++，即()2221a b abi m a mbi -+=++()2212a b m a ab mb⎧-=+∴⎨=⎩ 22220m aa b a =⎧∴⎨++=⎩ 由()21z n z =+得：()2212a bi n a b abi +=-++，即()2212a bi n a b abni +=-++()2212a n a b b abn ⎧=-+⎪∴⎨=⎪⎩ 221210n aa b ⎧=⎪∴⎨⎪+-=⎩ 21a ∴=-，解得：12a =-b ∴==122z ∴=-±【点睛】本题考查复数的定义及运算，涉及到实数的定义、复数的模长、复数相等的条件、复数运算等知识，关键是能够采用待定系数法，通过实数定义和复数相等构造出方程组求得未知数，进而得到所求复数.19．已知椭圆22142x y +=.（1）M 为直线:142x yl +=上动点，N 为椭圆上动点，求MN 的最小值； （2）过点12P ⎫⎪⎭，作椭圆的弦AB ，使3AP PB =，求弦AB 所在的直线方程.【答案】（1；（2）x =或8100y +-=； 【解析】（1）设()2c os ,N θθ，可知所求最小值为N 到直线l 距离d 的最小值；利用点到直线距离公式表示出d ，利用三角函数知识可求得最小值；（2）设直线AB 参数方程，且,A B 对应参数为12,t t ，根据向量关系可知123t t -=；将参数方程代入椭圆方程，根据韦达定理可求得22t -和223t -，利用22t 构造方程可求得cos 0β=或tan 8β=-，从而得到直线方程. 【详解】（1）设()2cos ,N θθ，∴MN 的最小值即为N 到直线l 距离d 的最小值，又:240l x y +-=d ∴==tan φ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭） ∴当()sin 1θϕ+=时，d取最小值m i n 5155d ∴==即MN（2）设直线AB的参数方程为：cos 1sin 2x t y t ββ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数且β为直线AB 倾斜角） 设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则由3AP PB =得：123t t -= 将AB 的参数方程代入椭圆方程化简得：()()2222sin 4sin 30t t βββ+++-=12222sin 21sin t t t βββ+∴+=-=-+，212223322sin t t t β=-=-+22122sin β∴=+⎝⎭，整理可得：2cos 3cos 0βββ+= 解得：cos 0β=或tan β= ∴弦AB所在的直线方程为x =128y x -=-即x =或8100y +-= 【点睛】本题考查直线参数方程、椭圆参数方程的应用问题；涉及到椭圆上的点到直线距离的最值的求解、定点分弦成比例问题的求解；本题求解弦所在直线方程的关键是能够灵活运用直线参数方程中t 的几何意义，利用韦达定理构造等量关系，从而得到直线的倾斜角，属于较难题.20．圆(22219:4M x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，圆(22221:4M x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，动圆P 与两圆1M 、2M 外切.（1）动圆圆心P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0N 的直线与曲线C 交于不同的两点12,N N ，求直线12N N 斜率的取值范围；（3）是否存在直线:l y kx m =+与轨迹C 交于点,A B ，使2OAB π∠=，且2AB OA =，若存在，求,k m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）()2211y x y -=≥；（2）1,2⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭；（3）存在)1k =±，m =【解析】（1）确定圆1M 和圆2M 的圆心与半径，根据两圆外切时圆心距和半径之间的关系可得1PM ，2PM ，可知P 点轨迹满足双曲线轨迹，为双曲线的上半支；从而根据定义可求得轨迹方程；（2）设()12:1N N y k x =-，结合渐近线斜率可确定10k -<<，联立直线方程与双曲线方程，利用>0∆即可求得k 的范围；（3）当0k =时，显然不成立；当0k ≠时，设1:OA y x k=-；与抛物线方程联立可求得22,A A x y ，从而表示出2OA ；将l 与抛物线联立，利用弦长公式可求得2AB ，由224AB OA =可整理得到2222m k =-；两直线方程联立可求得A 点坐标，利用A x 建立等式，可得()222211k m k+=-，从而得到方程组，解方程组可求得,m k 的值.【详解】（1）由圆的方程可知，圆1M 的圆心(10,M ，半径194r =；圆2M 的圆心(2M ，半径214r =设(),P x y ，且动圆P 半径为R则194PM R ==+，214PM R ==+122PM PM ∴-==即P 到1M ，2M 的距离之差为定值2，且122M M >，满足双曲线定义P ∴点轨迹为双曲线的上半支，轨迹方程为：()2211y x y -=≥（2）设直线12N N 方程为：()1y k x =-双曲线渐近线方程为y x =±，且12N N 与双曲线上半支有两个交点 10k ∴-<<联立()2211y k x y x ⎧=-⎨-=⎩得：()22221210k x k x k --+-=()2422441840k k k ∴∆=--=->，解得：2k <-或2k >（舍）1,2k ⎛∴∈-- ⎝⎭，即直线12N N斜率的取值范围为1,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭（3）当0k =时，直线为y m =，显然不成立 当0k ≠时，直线OA 的方程为：1=-y x k 11k ∴->或11k-<- 10k ∴-<<或01k <<联立2211y x k y x ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩得：2221k x k =-，即2221A k x k =-，2211A y k =- 2222211AAk OA x y k+∴=+=- 联立221y kx m y x =+⎧⎨-=⎩得：()2221210k x kmx m -++-= 则()()222244110k m k m ∆=--->，即2210k m +->设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221km x x k +=--，212211m x x k -=- ()()()()()2222222121222241414111m k m AB k x x x x k k k ⎛⎫- ⎪⎡⎤∴=++-=+-⎣⎦ ⎪--⎝⎭2AB OA = 224AB OA ∴=即()()()222222222414441111m k m k k k k k ⎛⎫-+ ⎪+-= ⎪---⎝⎭，整理可得：2222m k =- 联立1y x k y kx m⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得：22,11km m A k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 222211k km k k ⎛⎫∴=- ⎪-+⎝⎭ 整理可得：()222211k m k+=-()22221221kk k+∴-=-，201k <<，解得：)1k =±m ∴=当m =-时，直线l 与轨迹C 无交点，不合题意∴存在)1k =±，m =【点睛】本题考查直线与双曲线综合应用问题，涉及到圆与圆的位置关系的应用、利用定义求解轨迹方程、根据直线与曲线交点个数求解参数范围、存在性问题的求解；求解存在性问题的关键是能够通过已知的等量关系构造出关于变量的方程，通过解方程的方式求得结果；本题整体计算难度和计算量较大，对于学生运算求解能力有较高的要求，属于难题. 21．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，且,M N 两点的纵坐标之积为4-. （1）求抛物线的方程；（2）求OM ON ⋅的值（其中O 为坐标原点）；（3）已知点()1,2A ，在抛物线上是否存在两点B 、C ，使得AB BC ⊥？若存在，求出C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由.【答案】（1）24y x =；（2）3-；（2）存在， C 点的纵坐标的取值范围为()[),610,-∞-+∞U ；【解析】（1）设直线:2pMN x my =+，与抛物线联立，利用韦达定理可得2124y y p =-=-，解方程求得p 即可得到抛物线方程；（2）根据221212121216y y OM ON x x y y y y ⋅=+=+，利用（1）中韦达定理的结论可求得结果；（3）设233,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据垂直关系可得0AB BC ⋅=，从而整理得到()43316222y y y =--+++，分别在320y +<和320y +>两种情况下利用基本不等式求得4y 的范围即可. 【详解】（1）由22y px =得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线MN 方程为：2p x my =+与抛物线方程联立可得：2220y mpy p --=设()11,M x y ，()22,N x y ，则2124y y p =-=-，解得：2p =∴抛物线方程为：24y x =（2）由（1）知：221212121214316y y OM ON x x y y y y ⋅=+=+=-=-（3）设233,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭则2334,24y AB y ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，224343,4y y BC y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ AB BC ⊥ 0A B B C ∴⋅=，即()()()()22234334342016yy y y y y --+--=由题意知：32y ≠，43y y ≠ ()()3432160y y y ∴+++= ()4333316162222y y y y y ∴=--=--++++ ①当320y +<时，4210y ≥= 当且仅当()331622y y -=-++，即36y =-时等号成立 ②当320y +>时，426y ≤-=- 当且仅当()331622y y -=-++，即32y =时取等号 又32y ≠ 46y ∴<-综上所述：存在点,B C ，使得AB BC ⊥；C 点纵坐标的取值范围为()[),610,-∞-+∞U 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到抛物线方程的求解、向量数量积的运算、垂直关系的向量表示、存在性问题的求解等知识；求解存在性问题的关键是能够利用已知的等量关系将问题转化为关于某一变量的方程，通过方程求得结果；本题易错点是在运用基本不等式求最值时，忽略等号成立的条件，造成范围求解错误.。
2018-2019学年上海市交大附中高二上学期9月摸底考试数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市交大附中高二上学期9月摸底考试数学试题一、单选题1．若平面向量()1,a x =和()23,b x x =+-互相平行，其中x ∈R ，则a b -=（ ）A. B.2或 C.2-或0D.2或10【答案】B【解析】先根据向量平行得方程解得x ，再根据向量模的坐标表示得结果. 【详解】因为向量()1,a x =和()23,b x x =+-互相平行，所以()1(23)02x x x x x ⋅-=+⇒==-或，因为(22,2),a b x x -=--则(2,0)2a b -=-=或(2,-4)a b -== B.【点睛】本题考查向量平行、向量模的坐标表示，考查基本求解能力.2．已知ABC ∆两内角A 、B 的对边边长分别为a ，b ，则“A B =”是“cos cos a A b B =”（ ）． A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】当A B =时，易得cos cos a A b B =，反过来，cos cos a A b B =时，根据正弦定理和两角和的正弦公式变形为sin 2sin 2A B =，再判断是否能推出A B =. 【详解】cos cos sin cos sin cos sin 2sin 2a A b B A A B B A B =⇒=⇒=，则A B =或2A B π+=，故“A B =”是“cos cos a A b B =”充分非必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查判断命题的充分非必要条件，意在考查充分必要条件的判断方法，以及三角函数恒等变形，属于基础题型.3．函数()321f x ax a =-+，若存在()01,1x ∈-，使()00f x =，那么（ ）A.115a -<< B.1a <-C.1a <-或15a >D.15a <【答案】C【解析】根据零点存在定理列不等式，解得结果，即得选项. 【详解】由题意得()11(1)05f f a -⇒或1a <-，选C 【点睛】本题考查零点存在定理应用，考查基本求解能力.4．定义域为[],a b 的函数()y f x =图像的两个端点为,A B ，向量()1ON OA OB λλ=+-，(),M x y 是()f x 图像上任意一点，其中()1x a b λλ=+-，[]0,1λ∈。
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上海交通大学附属中学2018-2019学年度第一学期高二数学10月月考试卷一.填空题1.若集合，，，则实数_______；【答案】【解析】【分析】根据并集定义求结果.【详解】因为，，，所以.【点睛】本题考查集合并集，考查基本求解能力.2.已知关于的二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是______________；【答案】【解析】【分析】根据增广矩阵定义列方程组，解得结果.【详解】【点睛】本题考查增广矩阵定义，考查基本求解能力.3.函数的定义域_______________；【答案】【解析】【分析】根据对数真数大于零以及偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域.【详解】由题意得.【点睛】本题考查函数定义域以及解对数不等式，考查基本求解能力.4.已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60°，则等于___________；【答案】【解析】【分析】结合向量数量积先求向量模的平方，再开方得结果.【详解】【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积，考查基本求解能力.5.函数的最小正周期为___________；【答案】【解析】【分析】先根据两角和与差正弦公式、二倍角余弦公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求周期. 【详解】，所以周期为；【点睛】本题考查两角和与差正弦公式、二倍角余弦公式以及正弦函数性质，考查基本求解能力.6.等差数列中，，则该数列的前项的和__________.【答案】52【解析】由等差数列的性质可得+=2，代入已知式子可得3=12，故=4，故该数列前13项的和故答案为：527.已知函数，若函数为奇函数，则实数为_______；【答案】【解析】【分析】令,根据奇函数性质得,化简得结果.最后验证.【详解】令,则为奇函数，因此当时，；满足条件.因此.【点睛】本题考查奇函数性质，考查基本求解能力.8.数列中，若，，则______；【答案】【解析】【分析】先分组求和得，再根据极限定义得结果.【详解】因为，，……，，所以则.【点睛】本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力.9.设函数在上有定义，对于任意给定正数，定义函数，则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，，则_______________.【答案】【解析】【分析】根据定义化简，再根据分段函数求结果.【详解】因为,y因此.【点睛】本题考查分段函数解析式以及求分段函数值，考查基本求解能力.10.在中，边上的中线，若动点满足（），则的最小值是_____________；【答案】【解析】【分析】先根据向量共线得在线段上，再根据向量数量积化简，最后根据二次函数性质求最值. 【详解】因为，所以三点共线，且在线段上，设，又因为，故最小值为.【点睛】本题考查向量共线、向量数量积以及二次函数性质，考查基本求解能力.11.定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的，，令，给出以下四个命题：①若与共线，则；②；③对任意的，有；（4）（注：这里指与的数量积）其中所有真命题的序号是____________【答案】①③④【解析】【分析】根据向量共线、向量数量积以及新定义化简判断命题真假.【详解】因为若与共线，则，故①正确；因为，，故②错误；因为，故③正确；因为，，则化简为：，等式左右两边相等，故④正确；综上，正确的序号为：①③④；【点睛】本题考查向量共线、向量数量积以及新定义理解，考查基本求解判断能力.12.已知为的外心，且，，则实数_____【答案】【解析】【分析】先点乘向量，再根据向量数量积、向量投影化简，最后根据正弦定理、两角和余弦公式化简得结果. 【详解】两边同点乘向量，可得，，所以由向量投影得，所以，由正弦定理知：，【点睛】本题考查向量数量积、向量投影、正弦定理、两角和余弦公式，考查基本分析与求解能力.二.选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）13.若平面向量和互相平行，其中，则（）A. B. 或 C. 或 D. 或【答案】B【解析】【分析】先根据向量平行得方程解得x，再根据向量模的坐标表示得结果.【详解】因为向量和互相平行，所以，因为则或，选B.【点睛】本题考查向量平行、向量模的坐标表示，考查基本求解能力.14.在中，角所对的边分别为，则“”是“”的 ( ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据“，得出，根据充分必要条件的定义可判断．【详解】∵中，角所对的边分别为，，或∴根据充分必要条件的定义可判断：“”是“”的充分不必要条件．故选A【点睛】本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题．15.函数，若存在，使，那么（）A. B. C. 或 D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在定理列不等式，解得结果，即得选项.【详解】由题意得或，选C【点睛】本题考查零点存在定理应用，考查基本求解能力.16.定义域为的函数图像的两个端点为，向量，是图像上任意一点，其中，。
若不等式恒成立，则称函数在上满足“范围线性近似”，其中最小的的正实数称为该该函数的线性近似阈值。
下列定义在上函数中，线性近似阈值最小的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据定义分别求线性近似阈值，再求其中最小值.【详解】因为，故、、三点共线，又因为，则、横坐标相同；1°对于选项（），因为，，所以，，设，则，所以，故；2°对于选项（），因为，，，设，则，那么，故；3°对于选项（），因为，，则，设，，则，故；4°对于选项（），因为，，则，设，，则，故；经比较，最小，故答案选D；【点睛】本题考查利用二次函数性质、基本不等式以及三角函数有界性求函数最值，考查基本分析求解能力.三.解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知不等式的解集为（1）求实数的值；（2）若函数在区间上递增，求关于的不等式的解集。
【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）根据不等式解集得对应方程的根，根据韦达定理解得实数的值；（2）先根据二次函数单调性性质确定的范围，再根据对数函数单调性化简不等式，最后解一元二次不等式得结果.【详解】（1）由题意得为方程的根，所以，（2）因为函数在区间上递增，所以，因此由得,,,即.【点睛】本题考查一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系、对数函数单调性以及解二次不等式，考查基本分析转化求解能力.18.已知函数（，是实数常数）的图像上的一个最高点是，与该最高点最近的一个最低点是.（1）求函数的解析式及其单调递增区间；（2）在中，角所对的边分别为，且，角的取值范围是区间。
当时，试求函数的取值范围。
【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先根据配角公式化简函数解析式，再根据条件得周期解得，代入最高点坐标解得c,最后根据正弦函数性质求增区间，（2）先根据向量数量积解得角B，再根据三角形内角关系求角的取值范围，最后根据正弦函数性质求函数值域.【详解】（1）∵，∴.∵和分别是函数图像上相邻的最高点和最低点，∴，解得∴.由，解得.∴函数的单调递增区间是.（2）∵在中，，∴.∴，即. ∴.当时，，考察正弦函数的图像，可知，.∴，即函数的取值范围是.【点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.19.对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中（），若，且，. （1）求证数列为等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）若（），求，其中：。
【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）结合条件求得，再根据等差数列定义得结论，（2）根据等差数列通项公式求得，即得数列的通项公式，（3）代入化简，并利用裂项相消法得，再根据极限定义得结果.【详解】（1）因为，所以，故数列为公差的等差数列；（2）；（3），则，；【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.20.平面直角坐标系中，为原点，射线与轴正半轴重合，射线是第一象限的角平分线，在上有点列，在上有点列，已知，，，.（1）求点，的值；（2）求，的坐标；（3）求面积的最大值，并说明理由。
【答案】（1）；（2），；（3）【解析】【分析】（1）根据向量的模的定义解得,根据向量坐标相等得，（2）根据等比数列定义得，根据等差数列定义得，（3）根据三角形面积公式得关系式，再根据作差法确定数列单调性，根据单调性确定面积最大值.【详解】（1）由题意设；（2）因为，,；（3），设，因为，，为递增数列；为递减数列，则，所以；【点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列.②用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断.③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件21.已知函数，其中（1）求出，并解方程；（2）设，，证明，且；（3）设数列中，，，，求的取值范围，使对任意成立。
【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据行列式求得，代入化简得，解对数方程得结果，（2）化简不等式得,结合条件得证，将自变量代入函数解析式化简可得（3）分奇偶讨论，结合（2）对a,x分别赋值，得当时，；当时，，据此可得数列周期性，再根据单调性确定满足的条件，解不等式可得结果.【详解】（1）因为，所以，则；（2）因为恒成立，恒成立，故，所以，得证；（3）由（2）知，，当时，；当时，，因此，又因为在上单调递增，所以若，则恒成立，于是：；【点睛】本题考查数列周期、函数单调性，考查综合分析与化简求解能力.属于难题.。