分形理论1
分形和混沌的基本概念和应用
分形和混沌的基本概念和应用在科学和数学领域中，分形和混沌是两个非常重要的概念。
它们不仅有着丰富的理论内涵，而且在实际应用中也有着广泛的用途。
本文旨在介绍分形和混沌的基本概念、性质以及其应用领域。
一、分形的基本概念和性质分形最初是由法国数学家Mandelbrot所提出的。
分形，定义简单点来说，就是在各种尺度下都表现出相似性的图形。
比如说，我们在放大树叶时，会发现树叶的分支和小结构上会有许多特征，在不断放大过程中，树叶上的分支和结构会产生类似于整个树叶的结构。
这个例子就是分形学的一个典型例子。
分形的最重要的特性是自相似性和不规则性。
自相似性是指，在分形中，任意一部分都与整个结构相似，这种相似性具有尺度不变性，即不会因为放大或缩小而改变。
不规则性是指，分形的形状十分奇特，与传统的几何图形相比，分形形状复杂多变，没有任何几何规律可循。
分形广泛用于科学研究、艺术美学、计算机图像处理等领域。
在生物学、地震学、天文学中也有广泛应用。
例如，在生物学中，许多生物组织和器官都具有分形结构，如肺组织、血管系统、神经元等。
利用分形理论可以更好地研究这些生物结构的形态和发展规律。
此外，在土地利用和城市规划领域，也可以应用分形理论来研究城市建筑的空间结构和空间分布规律。
二、混沌的基本概念和性质混沌又称为非线性动力学。
混沌指的是用微观因素推算出宏观效应的过程，该过程结果不可预测，但随着时间的推移，能够生成复杂、有规律的系统。
混沌体系可用方程式表示出来，但由于该方程式是个非线性方程式，所以其结果会随这方程式微小变化而产生巨大的差异。
混沌具有以下几个突出的性质：灵敏依赖于初始条件，长期不稳定，难以预测和控制。
混沌理论可以用于预测经济和金融领域中出现的一些紊乱现象，如股市波动。
混沌最初应用在天文学领域，例如研究太阳系中行星之间的轨道。
这些轨道不像我们所想的那样规律。
然而，混沌的发现不仅在天文学领域中应用，也在许多其它领域解决一些不规则的问题。
分形的概念和应用
起源：分形概念起源于1975年，由数学家Benoit Mandelbrot提出
概念：分形是指具有自相似性的几何形状，即无论放大或缩小，其形状保持不变
应用：分形在数学、物理学、生物学、经济学等领域都有广泛的应用
发展：分形概念的发展推动了许多学科的研究，如混沌理论、复杂系统等
生物学：分形理论在生物学பைடு நூலகம்的应用，如分形生物学、分形生态学等
计算机科学：分形理论在计算机科学中的应用，如分形图像处理、分形建模等
数学：分形理论在数学中的广泛应用，如分形几何、分形分析等
物理学：分形理论在物理学中的应用，如分形物理学、分形宇宙学等
分形渲染：利用分形算法进行3D渲染，提高渲染效率和效果
分形建模：利用分形原理进行3D建模，如分形城市、分形建筑等
平面设计：分形图案在平面设计中的应用，如海报、广告、包装等
艺术创作：分形图案在艺术创作中的应用，如绘画、雕塑、装置艺术等
汇率市场：分形理论可以用来预测汇率市场的波动和趋势
金融风险管理：分形理论可以用来评估和管理金融风险
股票市场：分形理论可以用来预测股票市场的波动和趋势
经济周期：分形理论可以用来解释经济周期的波动和规律
生成纹理：为3D模型添加分形纹理，增强视觉效果
生成动画：制作分形动画，如分形爆炸、分形生长等
生成自然景观：模拟山脉、河流、树木等自然景观
生成艺术作品：创作分形艺术作品，如分形图案、分形动画等
数学：分形理论在数学中的广泛应用，如分形几何、分形分析等
计算机科学：分形理论在计算机科学中的广泛应用，如分形算法、分形图像处理等
分形市场假说：描述金融市场的复杂性和不可预测性
分形时间序列分析：用于分析金融数据的时间序列特征
数学家曼德尔布罗与漂亮的分形几何学
数学家曼德尔布罗与漂亮的分形几何学由计算机按照分形几何学的算法生成的令人叹为观止的分形图案。
如果你留意的话，在我们生活中也处处有分形图案的存在（如花椰菜的几何图形、大树与叶脉、肺部的血管以及河流与支流都构成了分形几何图案，不胜枚举）。
2012年12月26日07:33腾讯科学金炳南腾讯科学讯《美国数学会会志》(Notices of the AMS)今年连续在9月号和10月号上刊发忆述文章，回忆了美籍法国数学大师、“分形几何学之父”伯努瓦·曼德尔布罗（Benoit Mandelbrot）的奋斗历程，并高度评价他为科学发展作出了巨大贡献。
曼德尔布罗的生平与奋斗1924年11月20日，伯努瓦·曼德尔布罗出生于波兰华沙的一个立陶宛犹太人家庭。
父亲是成衣批发商，母亲是牙科医生。
由于当时局势紧张，他的学业时断时续，受的教育也很不正规。
他声称自己从未认真学习过字母，也没有系统地背诵过乘法口诀，只背过五以下的乘法表。
11岁时，他跟着家人逃避战乱来到法国巴黎，投奔他的叔叔、知名数学家佐列姆·曼德尔布罗。
战争来临时，一家人又逃到法国南部的蒂勒镇。
曼德尔布罗做过一阵子机床维修学徒工后，巴黎解放，没有什么学术根底的他，完全靠自己的天赋和直觉，通过了巴黎高等理工学校长达一个月的笔试和口试。
在该校学习期间，他参加过法国著名的数学团体——布尔巴基(Bourbaki)协会，但由于该协会摒弃一切图画，过分强调逻辑分析和形式主义，使得他无法忍受而成了一位叛逆者。
那时候他已经意识到，不管给出什么解析问题，他总是可以用脑海中浮现的形状来思考。
曼德尔布罗1948年获美国加州理工学院硕士学位，1952年获巴黎大学博士学位。
毕业后，他的职业生涯并不顺利，先是在瑞士知名心理学家让·皮亚杰（Jean Piaget）手下干了一段时间，然后于1953年前往美国普林斯顿高等研究院工作了一年。
1958年，他在IBM公司的沃森研究中心获得一个职位。
分形几何学和分形分析的基础原理
分形几何学和分形分析的基础原理分形几何学是对自然界和人类活动中普遍存在的复杂结构进行研究的一门学科。
分形几何学的基础原理是分形性质的存在和分形维度的概念。
分形性质指的是在尺度变化下具有自相似性，即物体的部分结构与整体结构相似。
而分形维度则是用来描述分形物体复杂度的度量。
分形几何学的基本概念是由波尔曼德布罗特于20世纪70年代提出的。
他通过研究自然界中的山脉、云彩等不规则结构发现，这些结构在不同尺度下都具有相似的形态，即它们是自相似的。
波尔曼德布罗特认为，真实世界中的许多物体与几何学假设中的理想物体并不相符，而是存在着分形结构。
这一发现引发了对于自然界中不规则结构的深入研究，并为分形几何学的发展提供了基础。
分形几何学的另一个重要概念是分形维度。
传统几何学中的维度概念只适用于整数维空间中的几何体，如一维线段、二维平面和三维立体等。
然而，分形物体的形态复杂，无法用传统几何学中的维度来描述。
因此，分形几何学引入了分形维度的概念。
分形维度可以用于衡量分形物体的复杂程度，即其填充空间的能力。
分形维度的计算方法有多种，其中最常用的是盒维度和信息维度。
除了分形几何学，分形分析也是对分形性质的研究和应用。
分形分析是对数据序列或图像进行分形测度和特征提取的一种方法。
分形分析可以应用于多个领域，如信号处理、图像压缩、金融市场预测等。
分形分析的基础原理是将数据序列或图像看作是分形物体,利用分形维度等数学工具来描述和分析数据的局部和整体特征。
分形分析的一个重要应用是在信号处理领域中。
信号通常是由连续或离散的数据点组成的。
传统的信号处理方法往往采用统计建模和频域分析等方法，但是这些方法在处理复杂非线性信号时效果不佳。
分形分析的引入提供了一种新的思路。
通过计算信号的分形维度，并结合自相似性和分形原理，可以对信号进行特征提取和分类。
分形分析在信号处理中的应用不仅提高了信号处理的效果，还提供了更多的信息用于信号分析和识别。
总之，分形几何学和分形分析是一种对复杂结构进行研究和分析的数学工具和方法。
分形原理及其应用
分形原理及其应用
分形是一种几何图形，它具有自相似的特性，即整体的形状和局部的形状都具
有相似性。
分形原理最早由法国数学家Mandelbrot提出，他认为自然界中的许多
现象都可以用分形来描述。
分形原理不仅在数学领域有着广泛的应用，还在生物学、物理学、经济学等领域都有着重要的意义。
在数学领域，分形可以用来描述自然界中的许多复杂现象，比如云彩的形状、
树叶的脉络、河流的分布等。
利用分形原理，我们可以更好地理解这些现象背后的规律。
而在生物学领域，分形原理也有着广泛的应用。
比如，我们可以利用分形原理来研究植物的生长规律，动物的群体分布等。
在物理学领域，分形可以用来描述许多复杂的物理现象，比如分形几何可以用来描述分形维度，分形维度可以用来描述物体的复杂程度。
除了在基础科学领域有着广泛的应用之外，分形原理还在工程技术领域有着重
要的意义。
比如，在图像处理领域，我们可以利用分形原理来进行图像的压缩和识别。
在信号处理领域，分形原理也可以用来进行信号的分析和处理。
在金融领域，分形原理可以用来描述股票价格的波动规律，从而帮助投资者进行风险管理。
总的来说，分形原理是一种非常有用的数学工具，它不仅可以用来描述自然界
中的复杂现象，还可以在工程技术领域有着广泛的应用。
随着科学技术的不断发展，相信分形原理会有更多的应用场景被发现，为人类的发展带来更多的帮助和便利。
希望本文的介绍能够让读者对分形原理有更深入的了解，并且能够在实际应用
中发挥更大的作用。
分形原理的应用领域还在不断扩大，希望大家能够关注并且深入研究，为人类的发展做出更大的贡献。
非线性、混沌与分形
3 (1) ＝0 到 ＝ 4
每个参量对应一个 值， 为不动点或周期1的范围
3 5 ( 2) 4 4 3 ＝ 处发生第一次分岔 4
数据在上、下两点之间来回跳动 抛物线映射的分岔图
(3)1.25 1.3681
在=1.25 处发生第二次 倍周期分岔 诞生稳定的周期4轨道 周期4轨道的稳定范围 比周期2窄，只到1.3681
xn1 1 x
2 n
(0,2), xn [1,1]
xn1 f ( xn )
x f (x )
* *
不动点(周期为1的点)： 周期为3的点：
f ( x) 2x 1.5x 0.5
3
x 0, 0.5, 1
周期为7的点附近会出现一个周期为1000008356的点。
• 简单的系统可以表现出复杂行为； • 复杂的系统可以表现出简单行为； • 复杂性的规律又呈现出某种普适性----它与构成系 统的部件细节完全无关。
• 作业 思考题：7-2
抛物线映射的分岔图
(4) 1.4011551890 9205
根本没有周期， 达到了混沌态！ 从 0 到 ＝ 倍周期分岔序列， 其周期为 1 2 4 8 16
2n
周期倍增
抛物线映射的分岔图
3.自相似结构
取出分岔图的一小部分加以 放大，它包含相同的结构。 从 =1.75 到 =1.8 的上、 中、下三支任取一支，适 当改变比例，都可以得到 同整个分岔相似的图形。
• 令人惊奇的结果：
来回摆动若干次以后，m 的行为变得“随机”起来，再也 无法预测它的位置、速度及回归时间。
• 1961年，气象学家 Lorentz 通过研究预报气候， 提出“蝴蝶效应”；
分形理论与分形几何在自然科学中的应用
分形理论与分形几何在自然科学中的应用自然界是一个充满着奇妙和神秘的地方。
在大自然中，我们可以发现许多美丽而又复杂的形状，如树枝、云朵、山脉等等。
这些看似无规律的形态背后，隐藏着一个重要的理论——分形理论与分形几何。
分形理论由波兰数学家曼德博特尔（Benoit Mandelbrot）于20世纪70年代提出。
他发现了自然界中的许多现象都具有自相似的特点。
自相似是指一个物体的一部分与整体的形状相似，这种相似性在不同的尺度上都能得到体现。
分形理论的核心思想就是研究这种自相似性，并通过数学模型来描述和解释这些现象。
分形几何是分形理论的一个重要分支，它通过数学方法来研究自然界中的分形结构。
分形几何的研究对象包括分形曲线、分形图形和分形维度等。
分形曲线是指具有无限细节和复杂性的曲线，如科赫曲线和希尔伯特曲线。
分形图形是指具有自相似性的图形，如分形树、分形花朵等。
分形维度是对分形结构复杂性的度量，它可以用来描述一个物体的空间尺度和形态特征。
分形理论与分形几何在自然科学中有着广泛的应用。
首先，它们在地质学中发挥着重要的作用。
地球上的山脉、河流、岩石等都具有分形结构。
通过分形理论和分形几何的研究，我们可以更好地理解地壳运动、地质构造和地球演化等自然现象。
例如，分形理论可以用来解释地震的发生和传播规律，通过分析地震波的分形特征，可以预测地震的强度和发生概率，为地震灾害的防治提供依据。
其次，分形理论和分形几何在生物学中也有着重要的应用。
生物界中存在着许多分形结构，如树枝、血管、叶片等。
通过分形理论的研究，我们可以更好地理解生物体的生长、发育和进化过程。
例如，分形几何可以用来解释植物根系的分形形态，通过分析根系的分形维度，可以揭示出根系的生物力学特性和水分吸收能力，为农业生产和植物育种提供指导。
此外，分形理论和分形几何还在气象学、物理学、经济学等领域中得到了广泛的应用。
在气象学中，分形理论可以用来研究天气系统的自相似性和混沌性质，从而提高天气预报的准确性。
郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义(1-6章)【圣才出品】
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b．非周期信号：在时间上不具有周而复始的特性。 ③连续信号与离散信号 a．连续信号：时间轴为连续时间变量； b．离散信号：时间轴为离散时间变量。 ④模拟信号、抽样信号、数字信号 a．模拟信号：时间幅度均连续的信号； b．抽样信号：时间离散，幅度连续的信号； c．数字信号：时间幅度均离散的信号。 3．信号的几种典型示例 （1）指数信号： f (t) Keat , a R ； （2）正弦信号： f (t) K sin(t ) ； （3）复指数信号： f (t) Kest Ke( j)t ； （4）抽样信号： Sa(t) sin t ；
（2）积分
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òt f t( )dt -¥
3．两信号相加或相乘
信号的相加、相乘与代数运算无异。
四、阶跃信号和冲激信号 奇异信号是指函数本身有不连续点（跳变点）或其导数与积分有不连续点的信号，包括 斜变、阶跃、冲激和冲激偶四种信号。 1．单位斜变信号
（2）反褶
f (t) f (t) ，把 f (t) 的波形以 t 0 为轴反褶过来。
（3）尺度变换
f (t) f (at) ( a 为正实系数)，若 a 1 ，则 f (t) 的波形沿时间轴被压缩；反之，则
被扩展。
2．微分和积分
（1）微分
f ¢(t) = d f (t) dt
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t （5）钟形信号(高斯函数)： f (t) Ee(t/ )2 。
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云检测算法
1、 灰度阈值法在图像中，由于云层的高反射率，因此其灰度值要明显高于其他地物。
基于这个前提，可以用灰度阈值来进行云层检测。
主要有两种方法来确定阈值：1）直方图数据法，根据先验知识来确定阈值2）图像统计法，利用统计信息来确定阈值灰度阈值法很容易实现，而且效率较高。
但是其云检测的精度不高，不能对各种情况的图像都适用，因此灰度阈值法经常作为云层检测的一个部分而使用。
2、 纹理检测法2.1 分形维数分形理论最早由takayasu 于1990年完善，分形理论认为自然界的许多物体都具有连续的纹理特征。
分形维数是分形理论中用来描述形态复杂度的一种指标。
在分形维数的计算方法可以参考zhang 在2005年提出的box-counting 维数法。
具体算法如下：1）将一幅M M ⨯的二维的灰度图像转成三维，即)),(,,(y x f y x ，其中),(y x f 为图像的灰度值。
2）用r r ⨯的格网拆分图像，在三维的)),(,,(y x f y x 中，即可以产生h r r ⨯⨯的立方体，]/[M G r h ⨯=。
其中G 为立方体内的不同灰度值的个数。
3）假设在格网),(j i 中，最小的灰度值存在于立方体k 中，最大的灰度值存在于立方体l 中。
因此可以覆盖格网内全部灰度值的最小立方体数为1),(+-=k l j i n r4）用下列公式计算可以覆盖整幅图像的立方体数：∑=j i r r j i n N ,),( 5）计算分形维数)/1log()log(lim r N D r = 分形维数指标（D ）表现物体的复杂程度，物体越复杂D 值越大。
因此在遥感图像中，由于地物包含更多的纹理信息且灰度变化频繁，因此地物的分形维数D 要大于云层的分形维数。
2.2 角二阶距角二阶矩是灰度共生矩阵像素值平方的和，也称为能量，是图像灰度分布均匀性的度量，主要用于观察影像纹理粗细和方向性特征。
从图像整体来看，角二阶矩值越大，则纹理较粗，反之则较小，因此云层的ASM 值要大于地物。
分形1——谢尔宾斯基三角形
分形——谢尔宾斯基三角形普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。
比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。
在20世纪70年代末80年代初，产生了新兴的分形几何学（fractal geometry），空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数。
这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。
根据物理学家李荫远院士的建议，大陆将fractal一开始就定译为“分形”，而台湾学者一般将fractal译作“碎形”。
——摘自百度百科对于初学Java的同学来说，做分形，的确是一个锻炼思维，熟悉递归算法的好方法，而在众多分形图案中，谢尔宾斯基三角形可以说是比较容易入手的，因为它不管是公式还是图案都比较简单，学会如何用java画歇尔滨斯基三角形后，再画其他图案都会简单很多；今天我们就从歇尔滨斯基三角形入手，进入分形的世界.1、用Java绘制歇尔滨斯基三角形首先要知道如何建立窗体，调取画布对象，如何画线，有一定的数学基础（了解正三角形的性质），还有——数学思维。
2、打开eslips，建立一个Java的工程命名自己命吧，这个随便的哈；（这是我建立的工程）//3、这个程序需要引入的包：import java.awt.Color;import java.awt.Graphics;import javax.swing.JFrame;//4、主类继承JFrame，因此Retangerate拥有所有JFrame的方法public class Retangerate extends JFrame{/*** @param args*/public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubRetangerate a = new Retangerate();a.Draw();}////5、需要创建的方法一：（绘制三角形）//在这个方法里绘出窗体，并生成画布对象public void Draw() {this.setSize(1000,700);this.setLocationRelativeTo(null);this.setDefaultCloseOperation(3);this.setVisible(true);Graphics g = this.getGraphics();//6、定义重绘方法，拖动窗口，改变窗口大小后，绘制的图片仍然留在窗体上}public void paint(Graphics g){super.paint(g);this.Show(100,600,900,600,500,30,200,235,235,10,g);//调用递归函数Show(),所涉及的参数：x1的位置，y1的位置，x2的位置，y2的位置，x3的位置，y3的位置，（以下三个属性是颜色控制，如果需要渐变色彩的话）}public void show(double x,double y,double x2,double y2,doublex3,double y3,int a,int b,int c,int count,Graphics g){int tempx = (int)x;int tempy = (int)y;int tempx2 = (int)x2;int tempy2 = (int)y2;int tempx3 = (int)x3;int tempy3 = (int)y3;if(a<0||b<0||c<0){a=355;b=155;c=35;}//计算出三点的位置g.setColor(new Color(a,b,c));g.drawLine(tempx,tempy,tempx2,tempy2);g.drawLine(tempx,tempy,tempx3,tempy3);g.drawLine(tempx2,tempy2,tempx3,tempy3);if(count>=2){//判断是否进行递归int xm = tempx;int ym = tempy;int xm2 = tempx2;int ym2 = tempy2;int xm3 = tempx3;int ym3 = tempy3;tempx = (xm+xm2)/2;tempy = (ym+ym2)/2;tempx2 = (xm+xm3)/2;tempy2 = (ym+ym3)/2;tempx3 = (xm3+xm2)/2;tempy3 = (ym3+ym2)/2;this.Show(xm,ym,tempx,tempy,tempx2,tempy2,a-10,b-16,c-10,count-1, g);this.Show(tempx,tempy,xm2,ym2,tempx3,tempy3,a-14,b-16,c-18,count-1,g);this.Show(xm3,ym3,tempx2,tempy2,tempx3,tempy3,a-17,b-14,c-0,count -1,g);//由于下次分形要分成三个所以要在一次Show调用自己三次g.drawLine(tempx,tempy,tempx2,tempy2);g.drawLine(tempx,tempy,tempx3,tempy3);g.drawLine(tempx2,tempy2,tempx3,tempy3);}else{return ;}}}。
动力系统理论中的混沌与分形研究
动力系统理论中的混沌与分形研究动力系统理论是研究描述物体运动规律的数学理论。
其中的混沌与分形研究是动力系统理论中的重要内容。
混沌理论描述了一种看似无序但却具有确定规律的运动状态，而分形理论则描述了不规则而又自相似的几何形态。
本文将从混沌和分形的基本概念入手，介绍动力系统理论中的混沌与分形研究的应用与意义。
一、混沌的基本概念混沌，顾名思义，是一种“无秩序”的状态。
然而，在混沌现象背后却存在着确定的规律。
在动力系统理论中，混沌是指非线性系统在某一特定参数范围内产生的不可预测的运动状态。
混沌的特点表现在两个方面：灵敏依赖于初始条件和对微小扰动的放大。
这意味着微小的初始条件变化可以导致系统最终状态的巨大差异，即所谓的蝴蝶效应。
混沌在天气预报、金融市场和生物系统中的应用都存在广泛而重要的意义。
二、分形的基本概念分形，是指一种具有自相似性的几何形态。
分形意味着物体的每一部分都是整体的缩小或放大。
分形的特点是不规则性与自相似性。
在动力系统理论中，分形被广泛应用于描述复杂非线性系统的结构与形态。
分形理论的应用可见于自然界中的云朵形态、海岸线的曲折程度等。
三、混沌与分形的关系混沌与分形是动力系统理论中密切相关的两个概念。
虽然混沌和分形可以被看作是两个独立的概念，但在动力系统中它们往往相互关联。
事实上，混沌与分形更多是作为动力系统理论中的研究手段和表征方法，用于描述非线性系统的运动特征和结构特征。
混沌和分形不仅在自然科学中有重要应用，在社会科学和人文科学中也有广泛的研究价值。
四、混沌与分形的应用与意义混沌与分形在多个领域的应用与意义不可忽视。
在天气预报中，混沌理论的应用可以帮助提高预测准确度；在金融市场中，分形理论可以帮助分析市场波动性和趋势；在生物系统中，混沌理论与分形理论可以帮助理解生物系统的复杂性与变异性。
此外，在信息科学、图像处理、信号处理等领域，混沌与分形的研究也具有重要的应用意义。
总结起来，动力系统理论中的混沌与分形研究对于深入理解非线性系统的运动规律和结构特征具有重要意义。
经典的分形算法 (1)
经典的分形算法小宇宙2012-08-11 17:46:33小宇宙被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。
它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。
它承认世界的局部可能在一定条件下，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。
分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。
1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。
1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。
1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。
这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。
1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。
1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。
1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。
1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。
以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。
真正令大众了解分形是从计算机的普及肇始，而一开始，分形图的计算机绘制也只是停留在二维平面，但这也足以使人们心驰神往。
数学科学中的分形几何学
数学科学中的分形几何学分形几何学是一种可视化的、有关于形态相似度的研究。
在1975年前后，它引起了人们的越来越多的关注，研究者不断地寻找着新的分形体现，并且对其进行了广泛的研究。
分形几何学以1960年代末兴起的分形理论为基础，是一种重要的新分支，不仅在纯数学中产生出多种应用，而且还带有很多涉及与物理、天文、地质、气象等领域的实际问题。
分形几何学的发展历程分形几何学的历史可以追溯到19世纪的德国，当时考古学家路德维希•谷巴尔（Ludwig Schläfli）从数学角度研究了20种多面体，把多面体的外形、大小、形态的相似性进行了比较。
后来的数学家们在此基础上，又从各自的角度进行了探索与研究。
比如，俄国的莫斯科数学家亚历山大·叶赛尼亚去研究特殊的比例题，发现了分形概念的重要性。
瑞典的奥托·察克拉芙特等也作出了较为重要的贡献。
但是，分形几何学真正的开端是在1960年代，当时马赛克模型的出现，给了分形几何学一个坚实的基础，也就是分形的数学形式和公式。
然后，分形几何学从理论研究到了实验研究，在科学研究、文化艺术、自然美学等方面发挥出了巨大的作用。
分形几何学与自然美学分形几何学在科学研究领域的应用相对来说比较多，尤其是在物理、天文、地质等领域。
但是，近年来，人们越来越意识到，分形几何学在文化艺术和自然美学领域的应用也是非常广泛的。
分形几何学强调递归和自相似性，在繁杂的自然现象中找到了类似的滋生和变化规律，阐述了丰富的美学和人类价值。
自然美学是一种研究自然和人与自然关系的美学，强调生命之动的自然性、多元性、无常性。
分形的数学模型不仅为自然美学提供了丰富的表现形式，而且还帮助人们更好的理解生态学、生物医学等方向。
分形几何学的应用实例分形几何学在自然界中的表现是广泛的，比如，在地理学中，分形几何可以用来研究地衣的分布，而在气象学中，分形几何可用来计算降雨的分布规律和湍流的能量分布情况，对于理解飓风、龙卷风和干旱等自然灾害方面也具有指导意义。
第4讲-1 分形几何与分形插值
500 km
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图
1.3 河流水系的分形特征
其实，自相似的例子在我们的身边到处可见。例如 一棵大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状 上没什么大的区别，所以我们说，大树与树枝这种关 系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片 树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质。动
物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记 录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您 无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。 分形几何的创始人Benoit B. Mandelbrot 说过: “云团不是球体, 山峰不是锥形, 海岸线不是圆弧, 树 皮也并不光滑, 闪电也不是直线传播[2]。” 这就说 明了在自然界中大量的物体都不能用传统的几何形 态来精确地进行描述。 而在这些 “不规则” 的形 体中, 大量的具有分形的特征。 分形是适合于描述大自然的几何。研究表明星云 的分布、海岸线的形状、山形的起伏、地震、河网 水系、材料组织生长、湍流、酶和蛋白质的结构、 人体血管系统、肺膜结构、脑电图、城市噪音、股 市的涨落等等，大至宇宙星云分布，小到准晶态的
图1.4 欧氏空间中单位形体码尺与度量次数之间关系 r：码尺，N (r)：度量次数，l(r)：单位形体体积 (a) 一维形体；(b) 二维形体；(c) 三维形体
所以，我们可以得到，对于d维欧氏空间中的形体， 码尺长度r与度量次数N (r)之间关系为
1.3 维数与分形维数
在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的， 平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。 也可以稍加推广，认为点是零维的。还可以引入 高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。 分形的另一个特征是分数维数，即维数可以是 分数的。这类维数是在研究自然界中复杂现象时 需要引入的一个重要概念。 为了弄清楚分形维数的计算方法，我们首回顾 在欧氏空间中，度量不同维数的单位形体时，尺 码与度量次的关系(见图1.4)。
分形与多重分形及其
分形理论起源于Mandelbrot在1973年提出的分形学思想，旨在描述自然界中复杂无规的几何对象。分形指部分与整体以某种形式相似的形，具有自相似性。分形维数是定量刻画分形特征的参数，包括相似维数、信息维数、关联维数等。其中，盒子维数是一种常用的分形维数。多重分形则是由Evertsz和Mandelbrot于1992年提出，指在不同尺度上均相同或统计意义上相同的自相似度量。在地学中，分形与多重分形理论可应用于描述海岸线长度、岛屿波动程度等自然现象，以及地球化学景观和中的强大能力。
基于分形理论的滨海非正规聚落空间复杂性演变机制
VS
分形自相似性对空间复杂性的影响主 要体现在以下几个方面：一是增加了 空间的层次感和立体感；二是使得空 间具有更好的适应性和可塑性；三是 使得空间更具有动态性和生长性，能 够更好地适应环境和社会的变化。
04
滨海非正规聚落空间复杂性演 变机制
演变过程分析
初始形成阶段
受自然条件和人类活动的影响，非正规聚落 逐渐形成并初具规模。
土地资源的稀缺性和政策对土地 使用的限制，促使居民在有限的 空间内寻求解决方案，形成复杂 的空间布局。
基础设施与公共服
务
基础设施和公共服务的不足，促 使居民自行组织和建设相关设施 ，对聚落空间产生影响。
03
基于分形理论的滨海非正规聚 落空间复杂性分析
分形维度与空间复杂性关系
分形维度是描述空间复杂性的重要参数，它反映了空间结构的自相似性和嵌套性 。在滨海非正规聚落中，分形维度与空间复杂性呈正相关关系，即随着分形维数 的增加，空间复杂性也相应增强。这表现为聚落形态的多样性和结构的复杂性。
。
社区参与与可持续发展
社区居民将更积极地参与非正规聚落 的发展和管理，推动可持续发展。
整治与改造
政府将加大对非正规聚落的整治和改 造力度，提升居民生活环境和质量。
多模式演变
非正规聚落将呈现多种模式的发展趋 势，包括自然演化、政府引导和社区 自主改造等模式。
05
分形理论在滨海非正规聚落空 间复杂性演变中的应用
分形理论有助于理解土地利用变化的过程和机制 ，从而更好地进行土地利用规划。
THANKS
谢谢您的观看
扩张发展阶段
随着人口增长和经济发展，非正规聚落不断 扩大，功能逐渐完善。
更新改造阶段
政府和社会对非正规聚落进行整治和改造， 改善居住环境，提升生活质量。
浅谈分形统计
浅谈分形统计吴争程福州大学管理学院统计系(350002)E-mail：wuzhengcheng618@摘 要：如果真实世界不是按标准正态分布的,那我们在正态的假设前提下所做的统计推断就可能出错。
分形描述一种更符合现实的分布，它承认现实是混乱和复杂的。
分形统计与高斯统计的不同在于如何看待不确定性。
分形认为不确定性不等于随机性，混沌系统是在随机的初始条件按照特定规则产生的，是随机性和确定性的结合，是局部随机和全局秩序。
其实高斯统计是分形混沌方法的特例。
认识分形的意义在于排除先验思想的干扰，真正认清要研究的问题和对象。
关键词：分形 混沌 统计1.什么是分形和分形统计分形（Fractal）是关于动力系统或超复杂系统的轨迹在某一空间上的维数不是整数而是分数的一种说法。
分形最早源于几何学概念，可以用来描述大多数自然形状和时间序列。
分形认为事物是不可逆的，有时间方向上的变化；分形对象具有广泛的规模变化范围；分形用分形维来描述对象是如何充满空间的，分形是可以是粗糙的，不连续的，它的维数可以是整数的也可以是分数的，它不像传统的认为物体只有整数维：一维直线、二维平面、三维立体。
分形形状在空间上显示自相似性，分形时间序列在时间上显示自相似性。
简单的说，分形是指一个对象，其部分以某种方式与整体相关，其各个组成部分是自相似的。
一切具有分形性质的形状或序列，其特点在于局部的随机性和整体全局的秩序。
分形认为不确定性不等于随机性，不确定性是以初始条件的敏感性为前提，并由此反映过程的稳定与不稳定性。
分形分布具有如下特征：（1）自相似性：只要特征指数α和偏斜度参数β保持不变，无论规模参数c如何变化均不会改变同一范围内的概率。
序列是无穷可分的，具有自相似的统计结构。
（2）跳跃性（非连续性）：分形分布的胖尾是由反馈效应导致的，在时间序列里的反馈效应在过程当中产生了跳跃。
分形过程中的大变化是从少量的大变化产生的，而不是正态分布中所暗示的大量的小变化产生。
关于分形公式与均线的综合运用
关于分形公式与均线的综合运用一、分形公式（把无序的价格, 纳入到有序的框架）“谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。
”——物理学家惠勒分形可以说是来自于一种思维上的理论存在。
1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
分形几何与传统几何相比有什么特点：⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。
例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。
上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。
当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。
其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。
实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。
对分形的定义也可同样的处理。
分形一般有以下特质：在任意小的尺度上都能有精细的结构；太不规则，以至难以传统欧氏几何的语言描述；（至少是大略或任意地）自相似豪斯多夫维数会大於拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）；有著简单的递归定义。
（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。
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自相似的举例
在欧氏几何中，点线面及立体几何等规则形体是 对自然界中事物的高度抽象，也是欧氏几何学的研究 范畴，这些人类创造出来的几何体可以是严格对称的， 也可以在一定的测量精度范围，制造出两个完全相同 的几何。然而自然界中广泛存在的则是形形色色不规 则的形体，如地球表面的山脉，河流，海岸线等，这 些自然界产生的形体具有自相似特性，它们不可能是 严格地对称的，也不存在两个完全相同的形体。
分形理论研究材料的断裂表面，材料的 结构，薄膜的生长等方面非常重要；
有限元在材料力学分析及优化设计上有广泛的应用，
是分析内应力、热应力及残余应力等的有效方法；
有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的 问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的 互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导 求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个 解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于 大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应 各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有 限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能 简便提取信息，了解计算结果。
分形图形(4)
Koch雪花图
Sierpinski三角形
Kohn雪花和Sierpinski三角形也是比较典型的分形图形，它们都具有严 格的自相似特性（仔细看看，是不是这样？）。但是在前面说述的 Mandelbrot集合却并不严格自相似。所以，用“具有自相似”特性来定义 分形已经有许多局限了.
分形的现象(1)
3．分形和线性近似处理方法的区别
长期以来，自然科学工作者，尤其是物理学家和数学家，由于受欧几里得几何 学及纯数学方法的影响，习惯于对复杂的研究对象进行简化和抽象，建立起各种理 想模型（绝大多数是线性模型），把问题纳入可以解决的范畴。这种线性的近似处 理方法也很有效，在许多学科中得到了广泛的应用，解决了许多理论和实际问题， 取得了丰硕的成果，推动了各门学科的发展。但是在复杂的动力学系统中，简单的 线性近似方法不可能认识与非线性有关的特性，例如：流体中的湍流、对流等。虽 然从数学上，这种近似方法也可以对一些极个别的例子可以在某一特定条件下，求 出其特解以外，大多数至今都有解不出来。对于复杂一些的非线性系统和过程，则 连微分方程（组）也列不出来。而分形则是直接从非线性复杂系统的本身入手，从 未经简化和抽象的研究对象本身去认识其内在的规律性，这一点就是分形理论与线 性近似处理方法本质上的区别。
4 分形的特征
❖4.1 自组织现象 ❖4.2 自相似性 ❖4.3 标度不变性
4.1 自组织现象
定义 就是在某一系统或过程中自发形成时空有
序结构或状态的现象，也称之为合作现象或非 平衡非线性现象。
自组织现象举例(1)
1. 化学振荡和化学钟
把Ce2(SO4)3、KBrO3、CH2（COOH）2、H2SO4及几 滴亚铁灵（氧化还原指示剂）混合在一起并搅拌，再把 得到的均匀混合物倒入试管，试管里立刻会发生快速的 振荡；溶液周期地由红到蓝地改变颜色，一会儿红色， 一会儿蓝色，象钟摆一样发生规则的时间振荡。
从飞机上俯视海岸线，可以发现海岸线并不是规则的光滑 的曲线，而是由很多半岛和港湾组成的，随着观察高度的降低 （即放大倍数增大），可以发现原来的半岛和港湾又是由很多较 小的半岛和港湾组成的。当你沿海岸线步行时，再来观察脚下的 海岸线，则会发现更为精细的结构——具有自相似特性的更小的 半岛和港湾组成了海岸线。如此一来，一个普通的问题就被提出 来，一条海岸线的长度能精确测量吗？答案是否定的，人们无法 精确地测量海岸线的长度，因为随着测量的尺子的长度的减小， 海岸线的长度会逐渐增大。应用分形理论，人们认识到海岸线的 长度是不确定的，它依赖于所使用的测量单位。
分形的现象(2)
D. 流体力学中的湍流、对流、电子线路的电噪声、某些化 学反应等，远离平衡的宏观体系中自发产生时空有序状态 （结构）等，这些变化过程中都不是过去的简单重复，而是 不可逆地向前变化、发展的，这些变化过程中都包括着偶然 性和必然性的统一。 以上A、B、C、D这些现象是不可逆性和随机性。
分形理论及其在材料科学中的应用 Fractal Theory and Its
Application in Materials Science
现代 数学方法在材料科学中的应用
现代数学方法
分形学
拓扑学 有限元分析 小波分析 高斯分析
➢数学是科学技术中一门重要的基础学科，在长期发展 过程中，它不仅形成了自身完美、严谨的理论体系， 而且成为其它科学技术必须的研究手段和工具。 ➢随着科学技术的飞速发展，数学的科学地位也发生了 巨大的变化。现代数学在理论上更加抽象，方法上更 加综合，更加精细，应用也更加广泛。 ➢数学与材料的交融产生了许多新的生长点， 数学 直接为材料科学中非线型现象的定性定量分析提供了 精确的语言。
分形的含义(1)
A. 对于非线性科学而言，经典力学、量子力学、相对论都 无用武之地，必须有新理论来研究这些科学难题。近年来， 混沌（chaos）、分形（Fractal）、耗散结构（dissipative structure）、协同学（synergetics）、负熵论（negentropics） 等理论从不同角度来研究非线性不可逆问题，形成了不同 的学派。
分形的含义(2)
B. 分形是由美国IBM（International Business Machine）公司 研究中心物理部、哈佛大学数学系教授曼德勃罗特（Benoit B.Mandelbrot）在1975年首次提出的，其原意是不规则的、分 数的、支离破碎的，1977年，他出版了第一本著作“分形：形 态、偶然和维数”（Fractal: form, Chance and Dimension）, 标志着分形理论的正式诞生。1982年，他出版了著名的专著 “自然界的分形几何学”（The Fractal Geometry of Nature）, 至此，分形理论初步形成。因此，他也荣获了1985年的 Barnard奖。
❖举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形
上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研 究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有 不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，欧拉在解 决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考 虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。
非线性不可逆现象： A. 天空中的白云的形态似乎和望远镜的放大倍数无关，不管 放大倍数多大，它的形态几乎是保持不变； B. 气象预报：长期的气象预报是不可能很准确的，因为随机 性总是存在的，而它是无法事先预见的。 C. 另外对一个特定的地点而言，完全相同的天气（指气温、 湿度、风速、风向、阳光、雨、雾等参数）也是绝对不会重 现的。
分形的含义(3)
据曼德勃罗特教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚， 他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉 丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无 规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment （“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德勃罗特一直使用 英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之 尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗特是想用此词 来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何 对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变 幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天 繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对 象都是分形。
自组织现象举例(2)
2. 空间有序结构 将一石英管用机械泵抽真空，然后通过高频感 应炉的感应线圈对石英管施加一个高频交变电场， 这时在石英管中就可以看到明暗相间的光环。激光 也是光的频率和位相十分有序的。
自组织现象举例(3)
3.生物链
4.2 自相似性
定义： 一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征片是利用分形技术生成的。在生成自然真实的景物中，分 形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。
分形图形(3)
Mandelbrot集的放大(标度不变性)
月球模型(分形技术生成)
除了自相似性以外，分行具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性。上面的动 画所演示的是对Mandelbrot集的放大，只要选对位置进行放大，就会发现：无论 放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。但是，注意观察上图，我们会发 现：每次放大的图形却并不和原来的图形完全相似。这告诉我们：其实，分形并 不要求具有完全的自相似特性。
有规分形和无规分形
数学家们设想了许多不规则的几何图形，瑞典数学家科 赫（H.Von Koch）于1904年首次提出了Koch曲线，如图（a） 它的生成方法是把一条直线等分成三段，将中间一段用夹角 为60℃的二条等长的折线来代替，形成一个生成元，然后再 把每个直线段用生成元进行代换，经无穷多次迭代后就呈现 出一条有无穷多弯曲的Koch曲线，用它来模拟自然界中的海 岸线是相当理想的。
从图中可以看出，Koch曲线是个分形，具有自相似性。 由于它是按一定的数学法则生成的，因此具有严格的自相似 性，这类分形通常称之为有规分形。而自然界里的分形，其 自相似性并不是严格的，而是在统计意义下的自相似性，海 岸线就是其中的一个例子。凡满足统计自相似性的分形称之 为无规分形。
对于Koch曲线来说，把它分成了四个等份，而每一等份是原来尺寸的 (1/3)。所 以有 N = 4 和 r = 1/3。由 d = (log N) / (log (1/r))，可以计算 d = (log 4) / (log 3) ≈ 1.261859507143。