第七版D6_2几何应用
浅析小学数学几何图形的学习策略
浅析小学数学几何图形的学习策略【摘要】小学数学几何图形是小学数学学习的重要内容之一，对学生的数学思维能力和空间想象能力有着重要的促进作用。
为了有效学习小学数学几何图形，我们需要选择合适的教材和学习资源，注重基础知识和概念的理解，理论结合实践进行几何图形的绘制和测量，多做几何题，培养几何思维能力，利用文具和工具进行几何图形的实践操作。
通过这些学习策略，可以帮助学生更好地掌握几何图形的知识，巩固和提升学习成果。
培养学生对几何图形的兴趣和自信心也是学习几何图形的重要目标，通过不断练习和实践，学生可以更好地理解几何图形的概念和性质，从而提高学习效果。
通过合理的学习策略和方法，可以帮助学生更好地掌握小学数学几何图形，为日后数学学习打下坚实的基础。
【关键词】小学数学、几何图形、学习策略、教材、基础知识、概念、绘制、测量、几何题、思维能力、文具、工具、实践操作、兴趣、自信心、学习成果。
1. 引言1.1 为什么要学习小学数学几何图形小学数学几何图形是学生学习数学的基础，是培养学生分析、推理和解决问题能力的重要手段。
通过学习小学数学几何图形，可以帮助学生建立几何思维，提高逻辑推理能力，培养创新思维和空间想象能力。
几何图形的学习还能锻炼学生的观察力、分析力和整合能力，培养学生的耐心和细致性。
学习小学数学几何图形对学生的综合素质提升具有重要意义，可以促进学生全面发展，培养学生的创新意识和解决问题能力，为学生今后的学习和生活奠定良好的基础。
学习小学数学几何图形是必不可少的。
1.2 学习小学数学几何图形的重要性学习小学数学几何图形的重要性主要体现在以下几个方面：几何图形是数学中的一个重要分支，通过学习几何图形，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
几何图形在日常生活中随处可见，比如建筑物、道路等都涉及到几何图形的应用，因此学习几何图形可以增强学生对周围世界的观察和认识。
几何图形的学习可以培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高学生的解决问题的能力。
高等数学课件D96几何中的应用
曲线曲率半径和主法线方向计算
曲率半径
曲率半径是描述曲线弯曲程度的量，可以通过公式 $R=frac{1}{|k|}$计算，其中$k$为曲线在某一点的曲率。
主法线方向
主法线方向与曲线的切线方向和副法线方向垂直，可以通过 向量的叉积求得。
微分法在几何极值问题中应用
几何极值问题
微分法可以用于求解几何中的极值问题， 如最小距离、最大面积等。通过构造函数 并求导，可以找到函数的极值点，从而得 到几何量的最大值或最小值。
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向量的运算
包括加法、减法、数乘和点乘等运算，其中加法和数乘是向量的 基本运算，满足交换律、结合律和分配律。
向量的分解
一个向量可以分解为多个向量的线性组合，这是向量空间的重要 性质之一。
空间直角坐标系与点坐标表示
空间直角坐标系的建立
在三维空间中，选取三条互相垂直的数轴作为坐标轴，建立空间 直角坐标系。
直线方程的一般形式
在三维空间中，直线方程可以由两个平面方程联 立求解得到，也可以用参数方程表示。
3
平面与直线的位置关系
通过求解平面与直线的方程，可以判断它们之间 的位置关系，如平行、相交或异面等。
常见曲面及其方程简介
球面方程
球面方程的一般形式为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，表示以(a,b,c)为球心、r为半径的球面。
06 线性规划问题在几何中可 视化解决方案
线性规划问题数学模型构建
确定决策变量
明确问题中需要决策的未 知量，用数学符号表示。
列出目标函数
根据问题要求，构建关于 决策变量的线性目标函数。
高等数学课件--D6_2几何应用
弧长元素(弧微分) :
ds [ x( )]2 [ y ( )]2 d
2 ( ) d r ( ) r
2
(自己验证)
因此所求弧长
s
r ( ) r ( ) d
2 2
10/12/2012
同济高等数学课件
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例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 下垂
2π
π 2
2
注意上下限 !
πa
3
0
2π
π 2 2 π a (t sin t ) a sin t d t 0
(t sin t ) sin t d t
2
注
10/12/2012 同济高等数学课件
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说明:
y
x xdx
柱面面积
柱壳体积
2π
10/12/2012
2π
1
2
d
0
2π 1 2 2 a 1 ln 1 2 2 0
10/12/2012
同济高等数学课件
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三、已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
上连续, 则对应于小区间
d V A( x) d x
Vx
y
y
0
2π a
π y dx 2
2
2
πa 0 2
π y dx
2
O
πa
2π a x
2 π a (1 cos t ) a(1 cos t ) d t
0
π
利用对称性
4.7_相似三角形性质(课时2)(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相似三角形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对相似三角形性质的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
最后，我会在课后收集学生的反馈，了解他们在学习过程中的困惑和需求，以便在接下来的教学中做出相应的调整。我相信，通过不断反思和改进，我们能更好地激发学生的学习兴趣，提高他们的几何学科素养。
五、教学反思
在今天的相似三角形性质教学中，我发现学生们对对应角和对应边成比例的概念掌握得还不错，但在具体的案例分析中，有些同学在辨识对应角和对应边时仍然感到困惑。这让我意识到，我们需要在接下来的课程中加强对这部分知识点的巩固。
课堂上，我尝试通过引入日常生活中的实例，让学生感受到相似三角形性质的实际应用，这样的教学方式似乎引起了学生的兴趣。不过，我也注意到，在理论介绍环节，部分学生显得有些吃力，可能是因为概念的理解需要更多的时间和练生在辨识相似三角形中的对应角和对应边时，容易混淆，需要教师通过具体示例和练习进行指导。
-性质证明的逻辑推理：学生在证明相似三角形性质时，可能会遇到推理不严密、逻辑混乱等问题，教师应引导学生梳理证明过程，强化逻辑推理能力。
举例：
(1)难点突破：教师展示多个相似三角形图形，让学生辨识对应角和对应边，并提供提示和指导，如“如何快速找到相似三角形中的对应角和对应边？”
(2)逻辑推理：针对性质证明的难点，教师可以设计梯度性练习题，从简单到复杂，让学生逐步掌握证明方法。例如，先证明“相似三角形中，对应角相等”，再证明“相似三角形中，对应边成比例”。
新教材高中物理第四章光2全反射课件新人教版选择性必修第一册
酒精来说是光疏介质；由v＝
c n
可知，光在光密介质中的速度较小．故
B、D正确．
全反射的应用
1．全反射棱镜 截面为等腰直角三角形的棱镜，利用全反射_改__变__光__的__方__向__． 2．光导纤维 由折射率__较__大____的内芯和折射率___较__小___的外套组成，光传播时 在内芯与外套的界面上发生_全__反___射__．
变式1 光线在空气和玻璃的分界面上发生全反射的条件是 ( ) A．光从空气射到分界面上，入射角足够小 B．光从空气射到分界面上，入射角足够大 C．光从玻璃射到分界面上，入射角足够大 D．光从玻璃射到分界面上，入射角足够小 【答案】C 【解析】全反射是光从光密介质向光疏介质入射时入射角足够大时 才会发生的，玻璃是光密介质，空气是光疏介质，故C正确，A、B、D错 误．
对岸山峰和天空的倒影，水面下的景物则根本看不到．下列说法中正确
的是
()
A．远处山峰的倒影非常清晰，是因为山峰的光线在水面上发生了 全反射
B．光线由水射入空气，光的波速变大，波长变小 C．远处水面下景物的光线射到水面处，入射角很大，可能发生了 全反射，所以看不见 D．近处水面下景物的光线射到水面处，入射角较小，反射光强而 折射光弱，因此有较多的能量射出水面而进入人眼中 【答案】C
(3)光导纤维的应用：携带着数码信息、电视图像、声音等的光信号 沿着光纤传输到很远的地方，实现光纤通信．
素养点评：本探究通过对全反射应用的研究，培养“科学态度与责 任”素养．
光导纤维 精练3 由于激光是亮度高、平行度好、单色性好的相干光，所以 光导纤维中用激光作为高速传输信息的载体．要使射到粗细均匀的圆形 光导纤维一个端面上的激光束都能从另一个端面 射出，而不会从侧壁“泄漏”出来，光导纤维所 用材料的折射率至少应为多少？
高等数学定积分在物理中的应用
2010.12
D6_all
21
二、典型例题
例1
y
1.已知星形线
x y
a cos3 t (a
a sin 3 t
0)
求 10 它所围成的面积 ;
a
o
ax
20 它的弧长;
30 它绕轴旋转而成的旋转 体体积.
2010.12
D6_all
22
解 10 设面积为 A. 由对称性,有
a
A 4 ydx 0
P y 4x x2 du
1 5
(x2
2x)2
5d x
o dx 2
故所求旋转体体积为
2010.12
V
2 0
15( x 2
2x)2 5d
D6_all
x
16 75
5
du 2dx d x33
a x xdx b x
因此变力F(x) 在区间 上所作的功为
b
W a F (x) dx
2010.12
D6_all
2
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) ,
求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为
k m a
x
l 2
a2 a2 x2 0
2k m l 1
l 2
a
4a2 l 2
y a M d Fx d Fay
dF
xdx O x lx
2
利用对称性
棒对质点引力的水平分力 Fx 0 .
故棒对质点的引力大小为
F
2k m
a
关于考研数二同济教材第七版范围的文章
关于考研数二同济教材第七版范围的文章考研数二同济教材第七版范围考研数学是考研复试中的一门重要科目，对于理工科的考生来说尤为重要。
而同济大学出版社出版的《考研数学同济教材》第七版是备战考研数学的必备教材之一。
本文将介绍该教材第七版的范围，帮助考生更好地了解和应对考试。
《考研数学同济教材》第七版主要分为两个部分：基础部分和提高部分。
基础部分包括高等代数、解析几何、数理统计和概率论四个章节；提高部分包括线性代数、复变函数、常微分方程和偏微分方程四个章节。
在基础部分中，高等代数是整个教材的开篇之作。
它包括了向量空间、线性变换、特征值与特征向量等内容。
这些内容是后续章节的基础，也是理解线性代数和其他相关知识的关键。
接下来是解析几何，它主要介绍了平面解析几何和空间解析几何两个方面的内容。
平面解析几何包括了平面直角坐标系、直线和圆的方程等内容；空间解析几何则包括了空间直角坐标系、直线和平面的方程等内容。
解析几何是数学中的重要分支，也是理工科考生必须掌握的知识点。
数理统计和概率论是考研数学中的重要组成部分。
它们包括了概率论基础、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布等内容。
这些知识点在统计学、金融学等领域有着广泛的应用，对于考生来说也是必须掌握的内容。
在提高部分中，线性代数是一个重要章节。
它包括了矩阵与行列式、线性方程组、向量空间及其基与维数等内容。
线性代数是现代数学中的重要分支，也是应用数学中不可或缺的一部分。
复变函数是考研数学中相对较难的一个章节，它包括了复变函数基本概念、解析函数与调和函数、复积分等内容。
复变函数在物理学、工程学等领域有着广泛应用，对于考生来说需要花费更多的时间和精力进行学习和理解。
常微分方程和偏微分方程是数学中的两个重要分支，也是考研数学中的难点。
常微分方程包括了一阶常微分方程、高阶常微分方程、线性常微分方程等内容；偏微分方程则包括了二阶线性偏微分方程、特征线法等内容。
这些内容在物理学、力学等领域有着广泛应用，对于考生来说需要进行深入的学习和掌握。
《D62几何应用》课件
D62几何应用的技术创新和改进方向
提高计算效率：通过优化算法和硬件，提高计算速度，降低计算成本 增强图形处理能力：提高图形渲染和显示效果，增强用户交互体验 拓展应用领域：将D62几何应用拓展到更多领域，如建筑设计、游戏开发等 提高安全性和稳定性：加强数据加密和安全防护，提高系统的稳定性和可靠性
D62几何应用的市场前景和商业价值
属性栏： 显示当前 选中图形 的属性， 如颜色、 大小等
帮助按钮： 提供在线 帮助和教 程，便于 用户学习 和使用
D62几何应用的基本操作和功能介绍
基本操作：选择、 移动、旋转、缩 放等
功能介绍：绘制 几何图形、测量 距离、计算面积 和体积等
操作方法：通过 鼠标或键盘进行 选择、移动、旋 转、缩放等操作
应用领域广泛： D62几何应用在 工程、建筑、设 计等领域具有广 泛的应用前景
市场需求大：随 着科技的发展， D62几何应用在 越来越多的领域 得到应用，市场 需求不断增长
商业价值高： D62几何应用可 以提高工作效率， 降低成本，具有 很高的商业价值
技术发展迅速： D62几何应用技 术不断发展，未 来将有更多的应 用领域和商业价 值。
D62几何应用的未来挑战和机遇
挑战：需要提高几何应用的 准确性和效率
机遇：随着人工智能和机器 学习的发展，几何应用将得
到更广泛的应用
挑战：需要解决几何应用中 的复杂性和计算问题
机遇：随着虚拟现实和增强 现实的发展，几何应用将得
到更广泛的应用
THANK YOU
汇报人：
汇报时间：20XX/XX/XX
应用领域有限：D62几 何应用主要应用于数学、 物理等领域，在其他领 域的应用可能较少
D62几何应用的功能和操作方法
二面体群d6的所有轮换分解式
二面体裙d6是由六个元素组成的对称裙，是由两个操作生成的。
在本文中，我们将讨论二面体裙d6的所有轮换分解式，以便更好地理解和应用这一重要的数学结构。
一、二面体裙d6的定义二面体裙d6是指所有的方向对角线对称和垂直对称构成的裙。
具体来说，它包括六个元素：两个单位元素、两个对角线对称和两个垂直对称。
这些元素可以用符号e、r、r^2、s、sr和sr^2表示。
二、轮换分解式的概念在裙论中，轮换分解式是表示裙元素的一种方法。
通过将裙元素表示为若干个不相交的循环的乘积，可以更好地理解和分析裙的性质。
对于二面体裙d6来说，其所有的轮换分解式可以帮助我们理解其对称性和操作方法。
三、二面体裙d6的所有轮换分解式下面我们来列举二面体裙d6的所有轮换分解式：1. 单位元素 e对应的轮换分解式为 e2. 对角线对称 r对应的轮换分解式为 r3. 对角线对称的平方 r^2对应的轮换分解式为 r^24. 垂直对称 s对应的轮换分解式为 s5. 垂直对称和对角线对称的乘积 sr对应的轮换分解式为 (s r)6. 垂直对称和对角线对称的平方乘积 sr^2对应的轮换分解式为 (s r^2)通过以上列举，我们可以清晰地看到二面体裙d6的所有轮换分解式。
这些分解式可以帮助我们更好地理解裙元素之间的操作关系和对称性质。
四、应用二面体裙d6的轮换分解式在几何学和物理学中有着广泛的应用。
在几何学中，我们可以通过这些分解式来分析各种对称性质，从而更好地理解多边形、立体图形等几何对象。
在物理学中，二面体裙d6可以用来描述一些晶体的对称性质，进而帮助研究物质的结构和性质。
深入理解二面体裙d6的轮换分解式对于数学、几何学和物理学都具有重要的意义。
总结通过以上论述，我们可以看到二面体裙d6的所有轮换分解式，并理解了它们在数学、几何学和物理学中的重要应用。
希望本文对读者能够有所启发，引发更多的学术讨论和研究。
我们也应该意识到，裙论作为一门重要的数学分支，对于理解现实世界和解决实际问题具有重要意义。
第2章平面解析几何初步全章总结提升课件高二上学期数学选择性
解得
3×
+4
2
+
+3
-7
2
+4 +3
D( 2 , 2 ),
= 0,
--3 = 0,
1
= ,
2
5 即
=- ,
2
1 5
C(2,-2).
由(1)知,B(0,7),得直线BC的方程为19x+y-7=0.
专题二
圆的方程的求法
求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程,利用待定系
2 -1
+
2
=
-8
12
x1+x2=1+ 2 ,x1·x2=1+ 2 .
1 +3
1
2 +3
1
+
=2k+3(
2
1
1
+ )
2
3( 1 + 2 )
=2k+
=2k+
12
-8
1+ 2
12
1+ 2
3×
=2k+(-2k)=0.
所以 k1+k2 为定值,定值为 0.
规律方法 直线与圆交点性质问题的求解方法
湘教版 数学 选择性必修
第一册
目录索引
网络构建归纳整合
专题突破素养提升
网络构建归纳整合
专题突破素养提升
专题一
直线方程及两直线位置关系
求直线方程是本章的基础知识,要明确各种直线方程的基本形式以及方程
的局限性,求直线方程的基本方法是待定系数法,根据直线方程研究直线的
位置关系要结合不同的直线方程的形式,求直线方程或根据直线方程研究
高等数学课件D6_2几何应用 28页PPT文档
3π a2 2
(利用对称性)
d
O
2a x
二、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
n
s lim 0
M i1M i
i1
并称此曲线弧为可求长的.
y Mi1
π[
f
(
x)]2
dx
a
y
y f (x)
当考虑连续曲线段
O ax b x
x ( y) (c y d)
y
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
V d π[( y)]2dy c
d
y x (y)
c
O
x
例13.
计算由椭圆
x2 a2
y2 b2
1 所围图形绕
x
轴旋转而
转Байду номын сангаас成的椭球体的体积.
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
r r( ) ( ) 令 x r( )cos , y r( )sin , 则得
弧长元素(弧微分) :
ds [x( )]2 [ y( )]2 d
r 2 ( ) r2 ( ) d (自己验证)
因此所求弧长
A(x) 1 (R2 x2 ) tan (R x R)
2
利用对称性
V 2 R 1 (R2 x2 ) tan d x
02
2 tan R2x 1 x3 R 2 R3 tan
3 03
y
Ox
R x
6-2几何应用~
2
(1
1 y2 ) 2dy 1 (2 y)2 dy 0
2. 试用定积分求圆
旋转而成的环体体积 V
提示:
上 下
半圆为
求体积 :
绕x轴
y b Ro R x
V
R
20
2 2R2b
(b R2 x2 )2 dx
4. 设平面图形 A 由 x2 y2 2x 与 y x 所确定 , 求
图形 A 绕直线 x＝2 旋转一周所得旋转体的体积 .
如何用定积分表示体积 ? 提示:
A( y) 2x y tan 2 tan y R2 y2
V 2 tan Ry R2 y2 dy 0
y
o
R (x, y) x
例18. 求曲线 y 3 x2 1 与 x 轴围成的封闭图形
绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. (94 考研)
解: 利用对称性 , 在第一象限
提示：选 x 为积分变量.
y
旋转体的体积为
1
y
V 2
1
(2 x)(
2x x2 x)dx
0
o x 1 2x
1 2 2
23
若选 y 为积分变量, 则
V
1 0
2
(1
1 y2 ) 2dy 1 (2 y)2 dy 0
第三节
定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题
y
oa
bx
ax b x
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
V d [( y)]2dy c
y
d y x (y) c
ox
例13. 计算由椭圆
所围图形绕 x 轴旋转而
D6_2几何应用
解:
下垂
悬链线方程为
例10. 求连续曲线段
解:
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
解:
例12. 求阿基米德螺线
相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解:
(P349 公式39)
三、已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
则对应于小区间
的体积元素为
故旋转体体积为
在第一象限
四、旋转体的侧面积 (补充)
设平面光滑曲线
求
积分后得旋转体的侧面积
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素:
侧面积元素
的线性主部 .
若光滑曲线由参数方程
给出,
则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的
不是薄片侧面积△S 的
注意:
侧面积为
例19. 计算圆
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .
解: 对曲线弧
应用公式得
当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式
Байду номын сангаас
例20. 求由星形线
一周所得的旋转体的表面积 S .
解: 利用对称性
绕 x 轴旋转
星形线
星形线是内摆线的一种.
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大圆半径 R＝a
小圆半径
参数的几何意义
(当小圆在圆内沿圆周滚动
时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)
四、 旋转体的侧面积 (补充)
三、已知平行截面面积函数的 立体体积
第二节
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长
定积分在几何学上的应用
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
D62几何应用07551
8a2 sin4udu 0
16a2 2sin4udu 0
o
(令u t ) 2
16a2 3 1 3 a2
42 2
2a x
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2. 极坐标情形
设 () C [,] ,() 0 ,求由曲线 r() 及
特别 , 当考虑连续曲线段 y f(x )(a x b )绕 x 轴
轴旋转一周围成的立体体积时, 有
V b[f (x)]2d x a
y
yf(x)
当考虑连续曲线段
o ax b x
x (y )(c y d )
y
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
V d [(y)]2d y c
所围公共部分的面积 .
答案:
A2
6
0
a2
sin2
d
6412a2co2sd
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二、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
0
y
o a 2a x
2a2(1cot)s2a(1co t)d st 0
利用对称性
2a30 (1cot)3 sdt16a30si6n2 t dt
(令u
t) 2
32a302sin6udu32a3
5 6
3 4
1 2
2
52a3
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63a3 注
高二下学期数学人教A版选择性必修第三册7.4.2超几何分布课件(1)
New Semester，new Beginning
线上学习 展翅翱翔
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则 P X 2 等于( C )
A.
7
15
B.
8
15
C.
14
15
D.1
解析：由题意，知 X 的所有可能取值为 0，1，2， X 服从超几何分布，
C72
C17 C13 7
7
所以 P( X 0) 2 , P( X 1) 2 ，
C10 15
C10
15
所以 P( X 2) P( X 0) P( X 1)
如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 X 服从超几何
分布.
X ~ H ( N , M , n)
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
×
(1)将一枚硬币连抛3次,正面向上的次数X服从超几何散布.(
)
(2)盒中有4个白球和3个黑球,有放回地摸取3个球,黑球的个数X服从超几何散布.(
D.N=14,M=4,n=10
D
例4 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.
解：设 X 表示选出的 5 名学生中含甲的人数（只能取 0 或 1）
，
则 X 服从超几何分布，且因此甲被选中的概率 N 50 ，M 1，n 5 .
C11C449 1
因此甲被选中的概率为 P( X 1) 5 .
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P
解 直线 o
h
x
取积分变量为x ， x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x , x dx ] ，
以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的 体积为
r dV x dx h
圆锥体的体积
2
y
P
r
o
h
x
V
h
0
r r x hr 2 x dx 2 . 3 h 3 0 h
面积，曲线弧长，旋转体体积，引力，做功等。
回顾曲边梯形面积A转化为定积分
f ( x )dx 的计算过程：
a
b
(1) 分割. 把区间[a, b]分成n个小区间, 有 A
A
i 1
n
i
总量A 对于[a, b]具有区间可加性, 即A可以分割成 n个部分量Ai 的和. (2) 近似. 计算Ai的近似值 A f ( )x ( x i 1 i x i ) i i i (3) 求和. 得A的近似值
r ( )
d
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x
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例4. 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
对应 从 0 变
1 2 (a ) d 解: A 0 2 a 2 1 3 2 2 3 0 4 3 2 a 3
2
o
2 a x
体积为
y
d
2 [ ( y )] dy
V
d
c
x ( y)
c
o
x
例8
求摆线 x a( t sin t )，y a(1 cos t )的
一拱与 y 0 所围成的图形分别绕 x 轴、 y 轴旋转 构成旋转体的体积.
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
y( x )
a
2a
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b
第二节 定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积 二、已知平行截面面积函数的 立体体积 三、 平面曲线的弧长 四、 旋转体的侧面积 (补充)
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第六章
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一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形 设曲线 边梯形面积为 A , 则 与直线 及 x 轴所围曲
A
(2) 近似. 计算A的近似值 A f ( x ) dx y 面积微元 并记 dA f ( x )dx 称为面积元素 y f x
(3) 求和. 得A的近似值 A f ( x)dx
(4) 求极限. 得
则 A lim
f ( x)dx f ( x)dx
d
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例5. 计算心形线
面积 . 解:
2 4 a 4 cos 0 2
所围图形的
(利用对称性)
1 2 a (1 cos ) 2 d 2 d
d
令t 2
8a 2 2 cos 4t dt
0
o
2a x
3 1 3 2 8a a 4 2 2 2
例1. 计算两条抛物线 所围图形的面积 .
解I: 由 得交点 (0 , 0) , (1, 1)
在第一象限所围
y
y2 x
2
(1,1)
AdA 0
1
x x dx
o
y x2
x 1 x d x
x
解II:
1 3
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例2. 计算抛物线 y 2 x 与直线 y x 4 所围图形
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补充例*. 求双纽线
所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为 1 2 a cos2 d 2
y
4
a x
a 2 4 cos 2 d (2 )
0
a sin 2
2
o
a2
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin 所围公共部分的面积 . 答案: A 2 0
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、 直线 x a 、 x b 及x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，
y
y f ( x)
x [a , b ] 在[a , b]上任取小区 间[ x , x dx ] ，
o
a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t 解: AdA
2
4a
0 sin 2 d t 2 4 8a sin u d u 0
0 2 2 a (1 cos t ) 2 0 2 2 4 t
dt
y
o
t (令 u ) 2
2 a x
微元法 (Element Method)
例1. 写出长为l的非均匀细直棒质量的积分表达式
任一点的线密度是长度的函数。 解:建立坐标如图, o
x x+dx
l
x
则任意点x的密度为 ( x ) step1. 变量 x [0, l ] step2. 取微区间 ( x )dx [ x, x dx], 则 dM ? step3. 质量 M 0 ( x)dx 本章用微元法讨论定积分在几何，物理中的 一些应用。
b a
0
a
x x+dx b x
这种方法通常叫元素法.
若总量U在[a, b]上有可加性且部分量Ui f (i) xi 时, 求U可分两部进行:
(1) 求元素
局部近似得 dU = f (x)dx
(2) 求全量
应用方向：
元素积分得 U f ( x )dx
a
b
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
A
f (
i 1
0
b
n
(4) 求极限. A lim
f ( i ) x i
i i i 1
n
i
)x i
y
y = f (x)
f ( x )dx
a
x0 a x1
0
1 2
i
xi 1 xi
n
xn1b xn
x
把上述步骤略去下标，改写为： (1) 分割. 把区间[a, b]分成n个小区间，任取其中一个小 区间[x, x+dx]（区间微元），用A表示[x, x+dx]上 的小曲边梯形的面积，于是 A
2 2
4ab 2 sin 2 t dt
0
当 a = b 时得圆面积公式
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一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程
给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值
则曲边梯形面积
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补充例*. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
2
2
3 h
x2 y2 例7 计算由椭圆 2 2 1 所成的图形绕x轴旋转而成的 a b 旋转体(旋转椭球体)的体积． b 2 a x2 解 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 y a 及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体．
体积元素为 dV y 2dx ， 于是所求旋转椭球体的体积为
x x dx
x
x 轴旋转而成的薄 取以dx 为底的窄边梯形绕 片的体积为体积元素， dV [ f ( x )]2 dx
旋转体的体积为 V [ f ( x )]2 dx
a b
例6
连接坐标原点 O 及点 P ( h, r )的直线、直线
将它绕 x 轴旋 x h及 x轴围成一个直角三角形． 转构成一个底半径为 r 、高为 h 的圆锥体，计算 圆锥体的体积．
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量 的 微分表达式 近似值
d U f ( x ) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的 精确值 积分表达式
U a f ( x ) dx
这种分析方法成为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
例3. 求椭圆
所围图形的面积 .
解: 利用对称性 , 有 d A y dx
y
A 4 y d x
0
a
b
利用椭圆的参数方程 x a cos t (0 t 2 ) y b sin t 应用定积分换元法得
o xxdx a x
4 a b 1 ab
6
4
1 2 a sin d a cos 2 d 6 2
2 2
4
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(二) 体积
1．旋转体的体积
2．平行截面面积已知的立体体积
1、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
2
的面积 . 解: 由 得交点
(2 , 2) , (8 , 4)
则有
1 y 2 ) dy d A ( y 4 A 2
2 4
y yd y y
y 2 2x
(8 , 4)
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
o
y x4
(2 , 2)
x
18