第三章 质点动力学基本定律
质点动力学
a2 b2
可见，质点的运动轨迹是以
a、b 为半轴的椭圆。对运动方
程求二阶导数，得加速度
13
aaxy
x a 2 cost y b 2 sint
2x 2 y
即
a axi ay j 2r
将上式代入公式中，得力在直角坐标轴上的投影
FFxy
max may
m 2x m 2 y
dv dt
积分。
如力是位置的函数，需进行变量置换
d v v d v , 再分离变量积分。 dt ds
16
[例3] 质量为m的质点沿水平x轴运动，加于质点上的水平为
F F0 cos t ，其中 F0， 均是常数，初始时 x0 0，v0 0 。
求质点运动规律。
解 研究质点在水平方向受力作用。建立质点运动微分方程
再积分一次
19
代入初始条件得 :
c1 v0 cos0 , c2 v0 sin 0 , c3 c4 0
则运动方程为:
则轨迹方程为:
xv0tcos0,yv0tsin0
y
xtg
0
1 2
g
v0
2
x02
c os2
0
1 2
gt
2
代入最高点A处值，得： d y dt
v0
sin 0
gt
0,
即
t v0 sin0
即 F Fxi Fy j m 2r
可见，F和点M的位置矢径r方向相反，F始终指向中心，其
大小与r的大小成正比，称之为向心力。
14
第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积 分问题）。
已知的作用力可能是常力，也可能是变力。变力可能是时 间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 解题步骤如下： ① 正确选择研究对象。 ② 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力
动力学基本定律（牛顿定律）
1.第⼀定律——惯性定律
任何质点如不受⼒的作⽤，则将保持静⽌或匀速直线运动状态。
这个定律表明了任何质点都有保持静⽌或匀速直线运动状态的属性。
这种属性称为该质点的惯性。
所以第⼀定律叫做惯性定律。
⽽质点作匀速直线运动称为惯性运动。
由惯性定律可知.如果质点的运动状态(静⽌或匀速直线状态)发⽣改变，即有了加速度，则质点上必受到⼒的作⽤。
因此，⼒是物体运动状态改变的原因。
2.第⼆定律——⼒与加速度的关系定律
质点受⼀⼒F作⽤时所获得的加速度a的⼤⼩与⼒F的⼤⼩成正⽐，⽽与质点的质量成反⽐;加速度的⽅向与作⽤⼒⽅向相同，即
ma=F (4-3-1)
如果质点同时受⼏个⼒的作⽤，则上式中的F应理解为这些⼒的合⼒,⽽a应理解为这些⼒共同作⽤下的质点的加速度，这样式(4—3—1)可写为
ma=ΣFi (4-3-2)
式(4—3—1)或式4—3—2)称为质点动⼒学基本⽅程。
3.第三定律——作⽤与反作⽤定律
两质点相互作⽤的⼒总是⼤⼩相等，⽅向相反，沿同⼀直线，并分别作⽤在两质点上。
这些定律是古典⼒学的基础，它们不仅只适⽤于惯性坐标系，且只适⽤于研究速度远少于光速的宏观物体。
由于⼀般⼯程问题中，⼤多问题都属于上述的适⽤范围，因此以基本定律为基础的古典⼒学在近代⼯程技术中仍占有很重要的地位。
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律分别是：牛顿运动定律，动量定理和动量守恒定律，角动量定理和角动量守恒定律。
牛顿运动定律第一定律(惯性定律):任何质点如不受力的作用，则将保持原来静止或匀速直线运动状态。
第二定律:质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
第三定律:对应每个作用力必有一个与其大小相等、方向相反且在同一直线上的反作用力。
物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量(用字母I表示)，即力与力作用时间的乘积，数学表达式为：
I=FΔt=Δp=mΔv=mv2-mv1
式中F指物体所受的合外力，mv1与mv2为发生Δt的初末态动量。
该式为矢量式，列式前一定要规定正方向！
动量守恒定律是现代物理学中三大基本守恒定律之一，若一个系统不受外力或所受合外力为零时，该系统的总动量保持不变。
角动量守恒定律是物理学的普遍定律之一，反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律；反映不受外力作用或所受诸外力对某定点（或定轴）的合力矩始终等于零的质
点和质点系围绕该点（或轴）运动的普遍规律。
角动量守恒定律是对于质点，角动量定理可表述为质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结1. 引言质点动力学是物理学中研究质点运动规律的分支，它是经典力学的基础。
本文档旨在总结质点动力学的核心知识点，包括牛顿运动定律、动量、动能、势能、功以及守恒定律等。
2. 牛顿运动定律2.1 牛顿第一定律（惯性定律）一个质点若未受外力，将保持静止状态或匀速直线运动。
2.2 牛顿第二定律（动力定律）质点的加速度与作用在其上的合外力成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。
2.3 牛顿第三定律（作用与反作用定律）两个相互作用的质点之间的作用力和反作用力大小相等、方向相反。
3. 动量3.1 定义动量是质点的质量与其速度的乘积，是矢量量，表示为\( \vec{p} = m\vec{v} \)。
3.2 动量守恒定律在一个封闭系统中，若没有外力作用，系统内所有质点的动量之和保持不变。
4. 动能4.1 定义动能是质点由于运动而具有的能量，计算公式为\( K =\frac{1}{2}mv^2 \)。
4.2 动能定理合外力对质点所做的功等于质点动能的变化量。
5. 势能5.1 定义势能是质点由于位置或状态而具有的能量，与参考点的选择有关。
5.2 重力势能在重力场中，质点的重力势能计算公式为\( U = mgh \)，其中\( h \)是质点相对于参考点的高度。
6. 功6.1 定义功是力在物体上作用时，由于物体的位移而对物体所做的工作，计算公式为\( W = \vec{F} \cdot \vec{d} \)，其中\( \vec{F} \)是力，\( \vec{d} \)是在力的方向上的位移。
6.2 功的守恒在一个封闭系统中，若没有非保守力做功，系统内所有质点的机械能（动能与势能之和）保持不变。
7. 守恒定律7.1 机械能守恒定律在没有非保守力作用的封闭系统中，机械能守恒。
7.2 角动量守恒定律在一个封闭系统中，若没有外力矩作用，系统内所有质点的角动量之和保持不变。
8. 结论质点动力学是理解和描述宏观物体运动的基础。
质点动力学的基本定律
称为静摩擦系数,它与两物体接触面的材料性质、粗糙
Ff FN
程度、干湿情况等因素有关,通常由实验测定. 滑动摩擦力 物体有相对运动,滑动摩擦力与正压力成正比.
μ称为滑动摩擦系数,通常比静摩擦系数稍小一些,计算时一 般可不加区别,近似地认为μ＝μ′. 黏性阻力 固体在流体(液体、气体等)中运动,或流体内部的 各部分之间存在相对运动时,流体与固体之间或流体内部相 互之间也存在着另一种摩擦力. 第13页 共20页
R2
g 9.78030 (1 0.0053025 sin 0.000007 sin 2 )m s
2 2
-2
g的标准值: 9.80665 ms2 . 上海地区为9.7940 ms2 .
第9页 共20页
2.2.3 弹性力 物体因形变而产生欲使其恢复原来形状的力称为弹性力.
m1
r
F2
m2
万有引力常量: G 6.6730 1011 N m2 kg 2 1.万有引力定律中引入的物体质量称为引力质量.
2.适用于描述质点之间的万有引力.
第8页 共20页
2.2.2 重力场 重力 地球表面附近的引力场称重力场. 把地球近似为质量均 匀分布的球体, 则地面上一个质量为m的物体与地球间万 有引力大小为 Mm F G 2 R 由牛顿第二定律, 重力为 W=mg W F g GM 两个结论： (1) g的数值与物体本身的质量无关. (2) g的数值随着离开地面高度增加而减小. 地球表面各处的g值有明显差异. g与纬度 经验公式:
2.2.1 万有引力 引力场 宇宙中的一切物体都在相互吸引着. 万有引力是自然界 的基本力之一.
有万有引力的空间内存在一种物质, 称为引力场. 物体间 (万有)引力相互作用通过引力场传递. 粒子物理学认为引 力相互作用通过引力子传递.
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结基本概念：质点：具有质量但没有体积和形状的物体模型。
力：质点动力学研究的核心内容，包括恒力、变力和约束力。
运动方程：描述质点在外力作用下的运动规律的基本方程。
动量：描述质点运动状态的重要物理量，等于质点的质量乘以速度。
动能：描述质点运动状态的另一个重要物理量，等于质点的质量乘以速度的平方再乘以1/2。
势能：描述质点在外力场中的势能状态的物理量，势能的大小与质点所处位置有关。
角动量和角动量定理：与质点的旋转运动相关的物理量和定理。
基本理论：牛顿运动定律：描述了质点在作用力作用下运动的规律，即F=ma，其中F表示合外力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
动量定理：通过动量的概念揭示了力与运动之间的内在联系，即合外力的冲量等于物体动量的变化量，表达式为Ft=mV-mv。
动能定理：引入动能的概念，建立了力学与能量之间的关系，即合外力做的功等于物体的动能的改变量，表达式为W=1/2mV^2-1/2mv^2。
分析方法：矢量方法：利用矢量运算符对问题进行矢量分析。
微分方程方法：将运动方程化为微分方程，然后求解微分方程获得运动规律。
能量方法：利用能量守恒定律等能量原理分析运动问题。
实际应用：军事方面：应用在导弹、卫星、航天器和飞机等领域，研究其受力情况和运动规律，从而提高军事制式的效率和效果。
经济方面：应用在金融市场和交通运输领域，分析市场变化和流动性，以及货运运输的效益和优化策略。
社会方面：研究城市交通拥堵问题、人口迁移以及城市规律，以提高城市的运作效率和质量。
总的来说，质点动力学涉及到质点的运动规律、动量、动能、势能等基本物理量的研究，以及相关的理论和实际应用。
通过学习和掌握质点动力学的知识，可以更好地理解物体在外力作用下的运动规律，以及如何利用这些规律解决实际问题。
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。
在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。
在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。
希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。
一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。
根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。
根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。
这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。
2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。
这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。
这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。
三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。
根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。
动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。
根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。
四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。
动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。
第三章 质点动力学基本定律
µ θ R O
T0
mg
N
ˆ n
ˆ τ
dθ
T + f
T + dT O
分别建立切向和法向的动力学方程：
28
dθ dθ ( T + d T ) co s( ) − T co s( ) − µ N = dm aτ = 0 2 2 dθ dθ ( T + d T ) sin ( ) + T sin ( ) − N = dm an = 0 2 2
11
(3) 作用力和反作用力必然是性质相同的力。 (4) 作用力和反作用力的作用对象是不同的物体。 (5) 牛顿第二定律和第三定律都是瞬时作用规律。 例：水平无摩擦平面上，两个物体 m1、m2 用轻质无弹绳 K 连接，外力 F 作用于m1力使系统向右运动。求绳中张力。
K K K 对m1： F + T ' = m 1 a K K 对m2 ： T = m 2 a K K T '= −T 又有： K T = 得到：
µ 0 为特定固体对偶之间的最大静摩擦系数；N为正压力。
滑动摩擦力：以一定压力接触的两个固体之间有相对 滑动时，它们之间的摩擦力为滑动摩擦力。
f 滑动 = µ N
µ 为特定固体对偶之间的滑动摩擦系数。近似地认 为与滑动速度无关。更加近似地可不区分 µ 和 µ 0
18
弊：克服摩擦力需要消耗能量 利：车轮的转动……..
令
C = g (sin θ − µ cos θ ), α = dυ = − α dt υ − C /α
υ
γ
m
dυ = −α ∫ υ − C /α 0
∫ dt
0
t
υ − C /α ln = −α t − C /α
§1.7 质点动力学的基本定理和守恒定律
§1、7质点动力学基本定理和守恒定律已讨论，通过求解⇒=a m F可得运动规律，这是研究质点动力学的基本方法！存在问题：由于F形式复杂，求解十分困难；有时并不需要全部解。
⇒关于质点动力学的其他研究及求解方法⇒质点动力学基本定理一、动量定理（theorem of momentum ）及动量守恒定律vm P= Fv m dtd P==)( 动量定理具有普遍性 （1）牛二律原始形式 （2）相对论中亦适用dtF P d = 微分形式（又称“冲量定理” theorem of impulse ）=-=-1212v m v m P P ⎰21t t dtF 积分形式 力对时间的积累若 0=F 则c v m P==（恒矢量）⇒动量守恒；若 0≠F但0=x F 则1c mv x = 二、动量矩定理（theorem of moment of momentum ）及守恒定律1、力矩（torque of force ）力F对O 点的矩)()()(x y z x y z zyx yF xF k xF zF j zF yF i F F F z y xkj iF r M -+-+-==⨯=⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=xy zz x y y z x yF xF M xF zF MzF yF M2、动量矩（moment of momentum ）（角动量 angular momentum ） 对O点 =⨯=v m r J)()()(x y y x m k z x x z m j y z zy m i zm ym xm z y x k j i-+-+-= ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=)(()(x y y x m J z x xz m J y z zy m J zy x 3、动量矩定理Fr m = Fr r r m ⨯=⨯ =⨯-⨯=⨯r r r r dt dr r)()(v r dtd ⨯∴=⨯)(v m r dt d F r⨯ 动量矩定理M dtJ d= dt M J d = MJ d⎰⎰=若 0=⨯=F r M则 =⨯=v m r Jc P r=⨯（恒矢量） ⇒动量矩守恒虽 0≠⨯=F r M但 0=xM则1c J x =注意 若 0=⨯=F r M则 =J c（恒矢量） Jr⊥ r ∴必定始终处于与c向垂直的平面内，即质点作平面曲线运动，有心运动即为一例，见59p 例题三、动能定理与机械能守恒定律质点受力F 作用，⎰⋅=r d F W，质点速度v随时间而变化，与速度有关的能量发生变化！F vm r m == dtv r d = r d F dt v v m ⋅=⋅ r d F v d v m dt v dtv d m ⋅=⋅=⋅ r d F mv d ⋅=)21(2 〖2v v v =⋅ 2)(dv v v d =⋅ 22dv v d v =⋅ 221(mv d v d v m =⋅ 〗质点动能的微分等于力F对质点做的元功⇒动能定理（微分形式）令质点在0r 处速度为0v ，在r 处速度为v ，则r r⇒0时间内 ⎰⎰++=⋅=-rr zy x z y x z y x dzF dy F dx F r d F mv mv 000,,,,222121 动能定理的积分形式if F 为保守力，V F -∇=则 []⎰⎰⎰--=-=⋅∇-=⋅∇-=-rr r r r r z y x V z y x V dV r d V r d V mv mv),,(),,(212100022=),,(),,(000z y x V z y x V - 即 ),,(21),,(21000202z y x V mv z y x V mv +=+ E V T =+ 机械能守恒※能量转化与守恒定律 物理学基本原理 宇宙的基本定律 ※三个守恒定律为运动方程的初积分（第一积分）c t z y x z y x =);,,;,,( ϕ 为时间t 的一阶微分方程 如E V T =+ 能量积分四、势能曲线例 一维守恒力（保守力） 势垒 势阱 对于一维守恒力（保守力）E x V mv =+)(212 )]([2x V E mx-±=（1）1x x 〈区域 V E 〈 经典禁区 （2）21x x x 〈〈 区域内振动运动 （3）32x x x 〈〈 V E 〈 经典禁区 （4）3x x 〉 区域内 任意点 经典力学 只有V E 〉时质点可越过势垒量子力学 隧道效应。
工程力学(动力学、静力学、运动学)
r LO
=
r MO
(mivri
)
=
rri × mivri
LOz = J zω
二、动力学普遍定理
1、物理量
（4）转动惯量 ① 定义
∑ J zz = rii22mii
ii
Jz
=
mρ
2 z
回转半径
z
ri
vi
mi
ω
mO
y
x
二、动力学普遍定理
1、物理量
② 简单形体的转动惯量
● 均质细圆环 JCC = mr 22
[例 题]
两重物的质量均为m，分别系在两软绳上。此两绳又分别绕在半 径各为r与2r并固结一起的两圆轮上。两圆轮构成之鼓轮的的质量亦
为m，对轴O的回转半径为ρ0。两重物中一铅垂悬挂，一置于光滑平 面上。当系统在左重物重力作用下运动时，鼓轮的角加速度α为：
（A）
α
=
5r
2
2
g+rρ02（B）
α = 2gr 3r 2 + ρ02
置作用于物块的约束力FN大小的关系为：
y
（A）FN1 = FN0 = FN2 = W （B） FN1 > FN0 = W > FN2 （C） FN1 < FN0 = W < FN2
A
a1
0 a
2
（D） FN1 = FN2 < FN0 = W
答案：C
一、质点动力学
[例 题]
r F
已知：以上抛的小球质量为m，受空气阻力
牛顿第二定律（力与加速度之间的关系定律）
∑ m ar =
r Fii
ii
牛顿第三定律（作用与反作用定律）
动力学质点的运动规律
动力学质点的运动规律动力学是物体运动的研究，而质点又是理想化的物体模型。
在动力学中，质点是一个没有大小和形状的物体，它的运动规律可以用简洁的数学表达式来描述。
本文将从牛顿第二定律和动力学方程的角度来探讨动力学质点的运动规律。
一、牛顿第二定律牛顿第二定律是描述物体运动的基本定律之一。
它的数学表达式为：F = ma。
其中，F代表作用在质点上的力，m代表质点的质量，a代表质点的加速度。
根据牛顿第二定律，我们可以推导出质点的运动方程。
假设质点的初始速度为v0，位置为x0，时间为t。
令a为质点的加速度，那么根据运动学的公式v = v0 + at，x = x0 + v0t + 0.5at²，可以得到质点的运动方程。
二、运动学方程在牛顿力学中，我们常用运动学方程来描述质点的运动规律。
根据质点的匀加速直线运动和匀速圆周运动的特点，运动学方程可以分为匀速直线运动和变速直线运动的情况。
1. 匀速直线运动当质点在直线上做匀速运动时，它的速度保持恒定，加速度为零。
因此，质点的运动方程可以简化为x = x0 + vt，其中x代表质点的位置，x0代表初始位置，v代表质点的速度，t代表时间。
2. 变速直线运动当质点在直线上做变速运动时，它的加速度不为零。
根据牛顿第二定律的推导，可以得到质点的运动方程为x = x0 + v0t + 0.5at²。
3. 匀速圆周运动当质点做匀速圆周运动时，它的速度大小保持不变，但方向不断变化，这意味着质点的加速度不为零且垂直于速度方向。
根据运动学的知识，我们知道圆周运动的速度与半径之间存在关系v = ωr，其中v代表速度，ω代表角速度，r代表半径。
而角速度则可以表示为ω = 2πf，其中f代表频率。
通过上述关系，我们可以得到质点的运动方程为x = rcos(ωt)，y = rsin(ωt)。
三、应用示例为了更好地理解动力学质点的运动规律，我们举一个简单的应用示例。
假设一个质点以15 m/s的速度沿x轴正方向运动，开始时位于原点。
理论力学教程 (周衍柏)(第四版)
理论力学教程 (周衍柏)(第四版)介绍《理论力学教程 (周衍柏)(第四版)》是一本经典的力学教材，由著名力学学者周衍柏编写。
本教程系统讲解了理论力学的基本概念、原理和方法，是理论力学领域的入门教材。
本文档将对该教程的主要内容进行介绍，并以Markdown文本格式输出。
第一章：基本概念1.1 力学的研究对象力学是研究物体运动规律的科学，它将物体分为质点和刚体两个研究对象。
质点被简化为没有具体形状和大小的点，刚体则具有固有形状和大小。
1.2 运动的描述运动可以通过位置、速度和加速度等量来描述。
位置是描述物体在空间中的位置关系，速度是位置随时间的变化率，加速度是速度随时间的变化率。
1.3 牛顿力学的三大定律牛顿力学的三大基本定律为惯性定律、动量定律和作用反作用定律。
惯性定律描述了物体在无外力作用下保持匀速直线运动的性质，动量定律描述了物体受力作用下速度发生变化的规律，作用反作用定律描述了力的相互作用导致的物体运动规律。
第二章：质点运动学2.1 一维直线运动一维直线运动是质点只沿一条直线方向运动的情况。
可以通过物体的位移、速度和加速度来描述其一维直线运动规律。
2.2 二维平面运动二维平面运动是质点在平面内任意方向上运动的情况。
可以通过物体的平面位置、速度和加速度来描述其二维平面运动规律。
2.3 相对运动相对运动是指两个运动物体相对于彼此的运动情况。
可以通过相对速度来描述两个物体之间的相对运动规律。
第三章：质点动力学3.1 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了质点受力作用下速度的变化规律，即力等于质量乘以加速度。
3.2 动量定理动量定理描述了质点受力作用下动量的变化规律，即力是动量随时间的变化率。
3.3 机械能守恒定律机械能守恒定律适用于只受重力和弹性力作用的质点，描述了质点机械能（动能和势能之和）在运动过程中的守恒性质。
第四章：刚体静力学4.1 刚体的概念刚体是指形状和大小在运动过程中保持不变的物体。
刚体静力学研究的是刚体受力平衡时的性质和规律。
质点动力学基本定理
上式两边乘以 ，再除以2得
代入机械能表达式中，得
即
此即表明，圆轨道运动情况下，总机械能为负值。对于椭圆轨道，其总机械能的表示式与上式相同，只是将 换成椭圆的长半轴 ：
用 表示动量后，于是有
上式两边各乘以 ，并对时间间隔 积分，因此得
其中 和 分别是质点在 和 时的动能。右边的积分定义为力 在时间 区间内所做的功（work），记为 ，即
其中 为 时刻力 的做功功率——即单位时间内所做的功。功的单位为焦耳，
1焦耳=1牛顿1米
因此，有下面的动能定理：
质点动能在一时间段内的改变等于在这段时间内作用在该质点上所有力所做的功的总和。
这表示在合外力为零的情况下，初积分 是守恒量。我们将该初积分 定义成物理量，用它来刻画质点在合外力为零的情况下的一种属性，并给它取名为动量（momentum）。类似的例子还有很多，下面分别讨论其中的一部分。
3．2基本定理一
借助位置、速度、加速度和力的概念，再结合牛顿第二定律，我们可以解决一些各式各样的问题。然而，实际当中有些问题在运用牛顿求解时是非常困难的。若运用新的方法，这些问题则可以变得非常简单。下面我们将讨论这样一些新的解决问题的方法。
根据曲线积分与路径无关的条件可知，此时必有
这样，积分与微分抵消，功的表达式就可以写成
利用直角坐标系中Del算符的形式，可将曲线积分与路径无关的条件 改写一下：
由比较可知
；
这样，曲线积分与路径无关的条件就变成： ，其中 叫做力 的势函数（potential function）。注意，并不是一般力都可以写这个样子！
：
：
取 坐标竖直向上，将上两式投影到该坐标中，得
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中的一个重要分支，研究的是质点在外力作用下的运动规律。
在学习质点动力学的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点，这些知识点对于理解质点的运动规律和解决相关问题非常重要。
本文将对质点动力学的一些重要知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
1. 质点的运动方程。
质点的运动方程是描述质点在外力作用下的运动规律的基本方程。
根据牛顿第二定律，质点所受的合外力等于质点的质量乘以加速度，即。
\[ F = ma \]其中，F表示合外力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
根据质点的运动状态不同，可以得到质点的运动方程，包括匀速直线运动、变速直线运动、曲线运动等。
2. 动量和动量定理。
质点的动量是描述质点运动状态的重要物理量，动量的大小等于质点的质量乘以速度，即。
\[ p = mv \]动量定理则描述了质点所受外力作用下动量的变化规律，即。
\[ F\Delta t = \Delta p \]其中，F表示外力，Δt表示时间间隔，Δp表示动量的变化量。
动量定理对于分析质点的碰撞、反冲等问题非常有用。
3. 动能和动能定理。
质点的动能是描述质点运动状态的另一个重要物理量，动能的大小等于质点的质量乘以速度的平方再乘以1/2，即。
\[ K = \frac{1}{2}mv^2 \]动能定理描述了质点所受外力作用下动能的变化规律，即。
\[ W = \Delta K \]其中，W表示外力所做的功，ΔK表示动能的变化量。
动能定理对于分析质点的机械能守恒等问题非常重要。
4. 势能和势能曲线。
质点的势能是描述质点在外力场中的势能状态的物理量，势能的大小与质点所处位置有关。
势能曲线描述了质点在外力场中势能随位置的变化规律，通过势能曲线可以分析质点的稳定平衡、振动、受力情况等问题。
5. 角动量和角动量定理。
质点的角动量是描述质点绕某一轴旋转运动状态的物理量，角动量的大小等于质点到轴的距离与质点的动量的乘积，即。
质点动力学基本定理
代入 ，可得
， ，
3．2．3动量定理应用举例
说明：（i）质点动量定理是矢量规律，因此，运用这规律去分析问题时要注意其矢量性。（ii）力的冲量是过程量，质点动量是状态量。（iii）由质点动量改变可以确定一段作用时间内合力的冲量，但是，仅此还不足以确定各个瞬时的作用力。（iv）在应用质点动量定理时，要注意参照系的选择。
根据曲线积分与路径无关的条件可知，此时必有
这样，积分与微分抵消，功的表达式就可以写成
利用直角坐标系中Del算符的形式，可将曲线积分与路径无关的条件 改写一下：
由比较可知
；
这样，曲线积分与路径无关的条件就变成： ，其中 叫做力 的势函数（potential function）。注意，并不是一般力都可以写这个样子！
由前面的推导可知，机械能守恒的条件是：质点所受到的外力为保守力，或者称为具势力，即 。
例1，保守力的判断。
例2，中心力场的势能。
Solution:
In this case,
3．3．5应用——引力场和引力势能
（1），引力场
牛顿的引力理论在解释行星的运动等方面取得了巨大成功。但同时也有一个问题困扰着牛顿及当时的科学家。由于行星之间无相互接触，人们无法理解它们之间的是如何进行相互作用的。直到牛顿去世后，人们才找到解释的答案：利用引力场的概念，即认为在空间任一点处都存在有引力，当一质量为 的质点放在空间引力场为 的点，则该质点就要受到力 的作用。换句话说，引力场定义为
直角坐标系：因为
，
所以，
极坐标系：
自然坐标系：
例如，弹簧所做的功。如图，物块所受的力随位置变换的关系为
其中 是相对于平衡位置（ ）的坐标， 是一恒正的常数，称为弹簧的力常数或弹性系数，这种力的规律称为胡克定律。
大学物理 第三章 质点动力学基本定理
( 2) (1)
( 2) f d r (1) f d r
L1
( 2) (1)
(1) f d r ( 2 ) f d r
L2
（此式也可作为 保守力的定义） 11
L2
f dr 0
L
L1
二. 几种保守力
1.万有引力
(2) ×
d dP f i d t pi , 即 F＝ d t （惯性系） i i
28
mi f ij f ji pj mj
三、 质心（center of mass） 质点系的动量：
N N N d P pi mi vi mi ri dt i 1 i 1 i 1
v2 1 2 1 2 L F dr v mv dv 2mv 2 2 mv1 1 1
2
3
一、力的功和功率
功：力和力所作用的质点（或质元）的位移的标量积。
A12 d A
×
(1)
( 2)
( 2)
2
dr L m
×
(1) ( 2) ( 1)
质点系的动能守恒定理：
当质点系所受外力始终不做功，同 时质点系内力也始终不做功，质点 系的动能守恒。
10
§3.3 保守力和质点系的势能
一. 定义
如果一个的功与相对移动的路径无关，而只决定于相互 作用物体的始末相对位置，这样的力称为保守力。
若 f 为保守力，则：
(2)
dr m2 L2 f r L1 (1) m1 L=L1+L2
i 1 i 1 i 1
8
n
动力学质点受力和运动的基本定律
动力学质点受力和运动的基本定律动力学是研究物体运动及其原因的学科，而质点是一个理想化的物体，被视为没有尺寸的点。
在动力学中，我们需要了解质点受力和运动的基本定律，这些定律有助于我们理解物体的运动规律以及描述和预测物体在外力作用下的运动状态。
本文将介绍质点受力和运动的基本定律，帮助读者更好地理解这一概念。
1. 牛顿第一定律：惯性定律牛顿第一定律也被称为惯性定律，它描述了一个物体在外力作用下的运动状态。
根据这一定律，一个物体如果没有外力作用，将保持静止或匀速直线运动。
这意味着物体将保持其原有的速度和方向，直到外力作用于它。
2. 牛顿第二定律：运动力学定律牛顿第二定律是动力学中最为重要的定律之一，它建立了力和运动之间的关系。
根据这一定律，物体的加速度与作用在它上面的力成正比，反比于物体的质量。
数学公式表达为F=ma，其中F是作用在物体上的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
3. 牛顿第三定律：作用与反作用定律牛顿第三定律表明：对于任何两个物体之间的相互作用，作用力和反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同的物体上。
这一定律也被称为作用与反作用定律。
例如，当一个物体施加一个力在另一个物体上时，另一个物体同时施加一个大小相等、方向相反的力在第一个物体上。
通过牛顿的三个基本定律，我们可以更好地理解质点受力和运动的基本规律。
同时，我们还可以借助这些定律来解决各种物体运动相关的问题。
下面，我们将通过一些实例来说明这些定律的应用。
1. 实例一：自由落体运动考虑一个质点从高处落下的情况，忽略空气阻力。
根据牛顿第二定律，物体在重力作用下将加速下落，加速度的大小为重力加速度g。
当物体达到终点时，速度将达到极大值，并保持恒定。
这是因为物体将以恒定速度向下运动，重力将提供与阻力相等的作用力，达到动力学平衡。
2. 实例二：摩擦力的作用当一个物体在表面上运动时，摩擦力将产生。
根据牛顿第二定律，摩擦力的大小取决于物体的质量和加速度。
大学物理-质点动力学学
质量为10千克的物体静止于地面上，受x轴方向水平拉力F的作用 ，沿x轴方向作直线运动，力F与时间的关系如图所示，设物体与 地面的摩擦系数为0.2。在t = 4秒时的速度大小___________，在t = 7秒时的速度大小_______________。
F(N)
30
t (s) 0 4 图 2-29 7
A F dr
0
2R
F0 x d x
0
F0 y d y 2 F0 R
0
2
注意：
① 功是标量(代数量) A> 0 力对物体做正功
A<0
A=0
力对物体做负功
力作用点无位移或者力与位移相互垂直
② 当质点受几个力作用时，其合力的功为
A
b
a
F合 d r
b
例2-1. 质量为m的物体被竖直上抛，初 速度为v0 ，物体受到的空气阻力数值与 解题步骤： 其速率成正比，即f = kv，k为常数，求 (1) 确定研究对象。隔离 物体升到最高点所需的时间及上升的最 体法。 大高度。 (2) 受力分析，画示力图。 解：建立如图所示的坐标系 x (3) 建立坐标系。 物体上升过程中受力分析如下： (4) 对各隔离体建立牛顿 重力： m g 阻力： f 运动方程(矢量式——分 m g 物体所受的合外力为 量式) 。 o f F mg f mg kv (5) 解方程。进行文字运 算，然后代入数据求解。 (1) 根据牛顿第二定律可得
2、非惯性系
t t
S系 x, y , z , t
2. 伽利略速度变换 正变换：
u u x v x u u y y u u z z
a a x x a a y y a a z z
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10
地表外侧附近的重力与重力加速度
GMm GMm GMm h 2 F 2 (1 ) 2 2 r ( Re h) Re Re GMm h (2)(3) h 2 [ 1 2 ( ) ] 2 Re Re 2 Re
M ~ 5.98ⅹ1024kg Re ~ 6370km h < 10km
O θ T
ˆ e
A mg
2 ) ml 2 ˆr : mg cos T ma r m( e r r 2r ) ml ˆ : mg sin ma m(l e
g sin 0 (2) l g 0 当 1时， sin , (2) l 2 ( g l ) 2 0 改写为
17
§3.5 质点动力学定律应用举例
基本问题： ①运动 ⇒ 力（微分） ②力 ⇒ 运动（积分） ③部分力和运动 ⇒ 另一部分力和运动
基本方法： ①隔离物体 (成立条件—质点) ； ②分析受力，在惯性系中考察真实受力(有施力者)； ③选取坐标，列出分量方程，求解方程 ； ④结果讨论。
18
类型Ⅰ：单一质点，运动⇒力
F
X
自然长度
x
②简化假设： *忽略弹簧质量，称为“轻弹簧”。 *形变均匀，因而弹簧各处弹力相等。
14
多个弹簧同时使用时
弹簧串联：各处弹力相等 k1
F1 F2 F k1x1 k 2 x2 kx F 1 1 1 k k1 k 2 x x1 x2
(1) (2)
（3）
ˆr e
（4）
21
[例3]
2 0 其中 g ③求解运动微分方程 l 2 x x 0 的方程称为简谐振动方程，它具有形如 形如 x A cos(t ) 的解。 0 , 利用初条件，t 0 时，
用代入法可得 |t 0 0 A cos A 0 |t 0 A sin( t ) |t 0 A sin 0 0
特点：将地球近似为一均匀球体， 则重力随 h 的变化如图所示。m 在地表以上，距地心越近，重力 越大， m在地表以下，距地心越 近，重力越小。
M
Re h
m
GMm r2 F GMm rr 3 Re
r Re r Re
F Re
r
地球内部的重力：
与弹簧的弹性力相似。 思考： 设想打通一贯通地心的隧道，人纵身一跳，会发生什么现象。
(1) 绳张力：张紧的绳中，任一点两侧绳子间的相互作用力。 特点：①拉伸形变产生，总是拉力；②沿绳切向；③大小不 能事先给定，要求解整个运动后才能确定。 T 右段 拉直的绳 简化假设： 左段 T *形变很小→“不可伸长” *忽略质量，“轻绳”。 T T 弯曲的绳 对于轻绳，侧面又不受 力，则绳中各点张力处 处相等（为什么？）。
质点在万有引力作用下，作 椭圆（包括圆）轨道运动。
（m1所受的引力）
r1( 2 )
m2(O)
m1 F1
x
8
均匀球壳和球体的万有引力
(1) 质量均匀分布的球壳对球壳外质点的吸引力相当于全体质量集中于球心 时的吸引力；对球壳内任一质点的吸引力为零。
GMm rR 2 F r rR 0
2 F m r mr r 极坐标系 2mr F mr
dv F m t dt 自然坐标系 2 v Fn m
6
§3.3 牛顿第三定作用总有一个相等的反作用和它相对抗；或者说 两物体彼此之间的相互作用永远相等，并且各自指向其对方。 说明： (1) 作用力和反作用力属于同一性质； (2) 作用力和反作用力分别作用在两个物体上，不能说“相 互抵消”（除万有引力外，两物体总是相互接触的）； (3) 系统的内力成对出现，其和总是零； (4) 适用于任何参照系（惯性系和非惯性系）； (5) 实际上反映了动量守恒定律，但是动量守恒定律在更大 范围内适用。
12
(2) 理想光滑面、线上的约束力(支持力)
特点：①方向—面、线的径向 ②大小—由运动情况决定 ③不光滑，还受切向磨擦力 ④形变很小，忽略不计
N
N
N
斜面
曲面
大圆环上的小圆环
13
(3) 弹簧的弹性力
（形变较大，但在弹性限度内）
①弹性限度内
(以平衡位置为坐标原点)
ˆ kxi ˆ F Fi 即 F kx
1
§3.1 牛顿第一定律―惯性定律
表述：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直 到作用在它上面的力迫使它改变这种状态为止。 说明：①物体—是指质点，若为刚体或普通质点组， 则只考察其作为整体的运动（质心 运动）; ② 它是从 大量实验现象中总结出的理想结果。 惯性：物体在不受外力（合外力为0）时，有保持其运 动状况（静止或匀速直线运动）不变的 特性，称为惯 性。因此牛顿第一定律又称为惯性定律。
v
16
质量为m，电荷量为q的质点在电磁场 E, B 中运动时，
5 电磁力—洛仑兹力
所受到的力
F q ( E v B)
两个点电荷间的库伦力
q1q2 F1 k 2 r1( 2) r
k
1 40
0 8.854 10 12 F m
（国际单位制，E~伏/米，B~ 特斯拉（韦伯/米2））
p r [例1] 已知：行星运动定律 1 e cos r 2 h (h为常数) 求：行星所受到的太阳的作用力。
解：（推导过程见第2章例4）
c ˆ F 2 r r
(万有引力)
19
k [例2] 已知：质点m的运动情况为 r r e 0 求：质点m所受的力 0 0 d 解：由 t 0 k t dt dt t r r e 0 0 0 0
M R
m
r
(2) 质量均匀分布的球体对球外质点的吸引力相当于全体质量集中于球心 时的吸引力；对球内质点的吸引力相当于该质点所在球面所包围的小球 体质量全集中于球心时的吸引力。
GMm r2 F GMm r r R3
rR rR
M R F
m
r
R
r
9
2 重力
物体所受地球的吸引力(特殊的万有引力)
g 0 cos( t ) l
0
2 mg cos T ma r ml 2 mg cos mg 2 (sin T mg cos ml 0 g 2 t) l
22
[例3] ④简谐振动特点
2 x 0 x
x A cos(t )
2 r 2 2 k0t 2 0 0
F ma m(1 k ) r e
2
k0t 2 0 0
20
类型Ⅱ：力 ⇒ 运动
[例3] 单摆的运动。单摆—质点m，轻绳长l，在一个竖直面内 0 ，从静止开始运动。 运动。t 0 时， 求： (t ) 和绳张力。 解：①隔离物体m。②分析受力mg，T。 ③ 以O为原点，OA为极轴，建立极坐标系。 列出分量方程
同理：弹簧振子（k, m）的振动。
以弹簧自然平衡处为原点O，设 t=0 时弹簧伸长l 。
O
m
x
k k x 0 x A cos( t ) m m x|t 0 l A cos α A l |t 0 A sin( t ) |t 0 A sin 0 0 x Fx kx ma x m x x
分类： ①干摩擦（固体—固体） 静摩擦 0~μ0N 滑动摩擦 μN 简化假设μ 为常量，且 0
fμ
μ0N
μN
v
② 湿摩擦（固体—流体，流体—流体），只有滑动摩擦 f 0 速度较小时 f v 2 ˆ , 2 0 f v v 2 v 速度较大时
特例（经典力学范围外）：在考虑电磁场的动量后，也可认为电荷与 电磁场间有作用力与反作用力。
7
§3.4 几种常见的力
（经典力学中常见的力） 1 万有引力：
任意两质点之间存在着引力，引力的大小与质量成正比，与距离平方 成反比，方向在其连线上。
Gm1m2 ˆ F1 r 1( 2 ) 2 r
G 6.672 10 11m2 N kg2
弹簧并联：每个弹簧的形变相等
k2
m
F F1 F2
kx k1x k 2 x k k1 k 2 x x1 x2
k1
m
k2
15
4 摩擦力
相互接触的物体，有相对运动或有相对运动趋势时，物体间的 相互作用力。方向总是沿接触面切向，并阻碍相对运动的发生。
i
牛顿第二定律在惯性系 中成立
4
牛顿第二定律与单位制
国际单位制 m, a, F的单位：kg, m/s2, N 重力单位制 m, a, F的单位：kg, m/s2, kg
F=ma
1 F ma ( F ma ) 9.8
1千克力=9.8牛顿
5
牛顿第二定律的分量形式
Fx ma x 直角坐标系 Fy ma y Fz ma z
2
力是改变物体运动状态的原因
牛顿第一定律的意义： 定性解决了力与加速度的关系。 周乐柱：“牛顿第一定律是力学发展史上的一次思想 解放、一次伟大的飞跃。有了它，才有可能有牛顿第 二定律。” 惯性系：牛顿第一定律成立的参考系。 力学相对性原理—在所有的惯性系中，一切力学规律都具
有相同的形式。 [例]在匀速直线运动的火车上，上抛物体 ，竖直下落 ，规律 与地面一样。