数学苏教必修主动成长训练：几个三角恒等式 含解析

主动成长
夯基达标 1.sin105°cos75°的值是（ ） A.
21 B.4
1
C.22
D.42
解析：sin105°cos75°=sin75°cos75°=2
1
sin150°. 答案：B 2.
︒
+︒︒
+︒50cos 10cos 50sin 10sin 的值是（ ）
A.tan10°+tan50°
B.
33 C.3 D.2
1
(tan10°+tan50°) 解析：原式=3
3
20cos 30cos 220cos 30sin 2=︒︒︒︒.
答案：B 3.化简
︒
+︒︒︒
-︒︒6sin 2008cos 2002sin 6cos 2008sin 2002sin 的结果是（ ）
A.tan28°
B.-tan28°
C.cot28°
D.-cot28° 解析：原式=
︒
︒︒
︒-=︒-︒+︒︒︒-︒-︒︒2002cos 2008sin 2002cos 2008cos )20022008sin(2008cos 2002sin )20022008cos(2008sin 2002sin
=
︒-=︒
-︒
28cot 28sin 28cos .
答案：D
4.函数y=cos （3π+2x ）cos(3
π
-2x)的最大值是（ ） A.43 B.-41 C.41 D.-4
3 解析：原式=21（cos π32+cos4x ）=21（cos4x-2
1
),
当cos4x=1时，原式可以取到最大值4
1
.
答案：C
5.化简)4
sin()4cos()
4sin()4cos(x x x x ++++-+π
ππ
π的结果为（ ）
A.tan
2
x
B.tan2x
C.cotx
D.-tanx
解析：原式=
)
4
sin(
)4
sin()
4sin()4sin(
x x x x -+-+--π
π
ππ
=)
cos(4
sin
2)
sin(4cos 2x x -•-•π
π
=-tanx. 答案：D
6.已知cos 2α-cos 2β=m,那么sin(α+β)·sin(α-β)等于（ ） A.-m B.m C.2m - D.2
m 解析：cos 2α-cos 2β=m 得 （cosα+cosβ)(cosα-cosβ)=m, 即(2cos
2β
α+·cos
2β
α-)·(-2sin
2β
α+·sin
2
β
α-)=m,
即2sin 2βα+·cos 2βα+·2sin 2βα-·cos 2
βα-=-m,
∴sin(α+β)·sin(α-β)=-m.
答案：A 7.sinα+sinβ=3
3
（cosβ-cosα),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于（ ） A.32π-
B.-3π
C.3
π
D.π32 解析：原式化为2sin 2βα+cosα2
β
α-
=
33(-2sin 2βα+sin 2
α
β-), ∴tan 2
β
α-=+3.
又∵-
2π＜2βα-＜2
π
,
∴2βα-=3
π⇒α-β=π32.
答案：D
8.设y=sin(α+β)-sinα-sinβ,且0＜α＜π,0＜β＜π,则y 的值（ ）
A.大于0
B.等于0
C.小于0
D.符号不能确定 解析：y=sin(α+β)-(sinα+sinβ) =2sin
2β
α+cos
2β
α+-2sin
2β
α+cos
2
β
α-
=2sin 2βα+(cos 2βα+-cos 2
βα-)
=-4sin
2
β
α+·sin
2α·sin 2
β
, ∵0＜α＜π,0＜β＜π, ∴sin
2
β
α+＞0,sin
2α＞0,sin 2
β
＞0. ∴y ＜0.
答案：C
9.函数y=cos （4π+2
x
)cos(2x -4π)的最小正周期是_____________.
解析：原式=21（cosx+cos 2π)=2
1
cosx.
答案：2π
10.cos 2
5
π
+sin 210π的值等于___________________.
解析：原式=
2
52cos 1252cos 1π
π-++ =1+21(cos π52-cos 5π)
=1+21×(-2)·sin 103π·sin 10π
=1-sin 10πcos 5
π
=1-10
cos
45cos
)10cos 10sin 2(2ππ
ππ⨯ =1-.4310cos
452sin =ππ
答案：4
3
11.已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，y=tan 2
A +2
cos
2sin 2cos
2C B A A
-+，若任意交换两个角
的位置，y 的值是否变化？并证明你的结论.
解析：A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，∴A+B+C=π，
2A =2π-2
C B +.
∴y=tan 2
A +2
cos
2cos 2sin
2C B C B C
B -+++
=tan 2
A +
2
cos
2cos 2)
2sin 2cos 2cos 2(sin
2C B C B C B + =tan 2A +tan 2B +tan 2
C .
因此，任意交换两个角的位置，y 的值不变.
12.若α、β是方程acosx+bsinx=c(a 2+b 2≠0)在区间（0，π）内的两个相异根. 求证：sin(α+β)=
2
22b
a ab
+. 证明：因为acosα+bsinα=c,所以
a·
2tan 12tan
22tan 12tan 12
22
α
α
α
α+•
++-b =c,
化为a-atan 22α+2btan 2α=c+ctan 22
α
,
移项化为(a+c)tan 22α-2btan 2α
+(c-a)=0,
同理可得(a+c)tan 22β-2btan 2
β
+(c-a)=0,
所以tan 2α与tan 2β
皆是方程（a+c)y 2-2by+(c-a)=0的解.
所以tan 2α+tan 2β=c a b
+2,
tan 2αtan 2β=a
c a c +-.
所以tan(2α+2
β)=
a b a b a
c a c c a b ==+--
+=-+22122tan 2tan 12tan
2tan βαβ
α， 所以sin(α+β)=2
22
22)(12)22(tan 1)
22tan(2b
a a
b a
b a b +=+=+++βαβ
α. 走近高考
13.（经典回放）在直角三角形中两锐角为A 和B ，则sinAsinB （ ） A.有最大值
21和最小值0 B.有最大值2
1
但无最小值 C.既无最大值也无最小值 D.有最大值1但无最小值 解析：因为A+B=2π，sinAsinB=21［cos （A-B ）-cos （A+B ）］=21cos （A-B ），又-2
π
＜A-B
＜
2
π
，而0＜cos （A-B ）＜1，故sinAsinB 有最大值无最小值.
答案：B
14.（经典回放）函数y=sin(3
π
-2x)+cos2x 的最小正周期是（ ） A.
2
π
B.π
C.2π
D.4π 解析：y=sin(3
π
-2x)+cos2x
=sin(3π-2x)+sin(2π
+2x)
=2sin 125πcos(2x+12
π),
显然函数的最小正周期为π.故选B. 答案：B
15.（经典回放）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A+C=2B ，B
C A cos 2
cos 1cos 1-=+，求
2
C
A -的值. 解析：由题设知B=60°,A+C=120°. 设α=
2
C
A -,则A-C=2α,可得 A=60°+α,C=60°-α. ∴
)
60cos(1
)60cos(1cos 1cos 1αα-︒++︒=+C A =
.4
3cos cos )2cos 120(cos 21cos 60cos 2)
60cos()60cos()60cos()60cos(2-=+︒︒=-︒+︒-︒++︒αα
αααααα 则
2260cos 2cos 243
cos cos 2-=︒
--
=-
B αα. 整理得 24cos 2α+2cosα-32=0. ∴cosα＝
22或cosα=2
23-(舍去）. ∴cos 2
C A -=22.。