甘肃省永昌县高一数学4.7《正弦定理、余弦定理应用举例》练习
高一数学正弦定理余弦定理习题及答案
正 余 弦 定 理1．在ABC ∆中，A B>是sin sin A B>的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02Cx x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC∆一定是（ ）（A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形. 3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若则sinC= . 4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c，23C π∠=，则a= 。
5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c，若a =2b =，sin cos B B +=A 的大小为 ．6、在∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且274sin cos 222B C A +-= （1）求A ∠的度数（2）若a =3b c +=，求b 和c 的值AB7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45求A 、C 及c .1、解：在ABC A B ∆>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ⇔>⇔>⇔>，因此，选C ．2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222C CA B -=⋅⋅=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+-cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=，所以ABC ∆一定是等腰三角形选C3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C 【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得13sin 60A =得1sin 2A =，由a b <知60AB <=，所以30A =，180C A B =--90=，所以sin sin 90 1.C ==4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。
(完整版)正弦定理余弦定理应用实例练习含答案
课时作业3应用举例时间：45分钟满分：100分课堂训练1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()A．103海里B．106海里C．52海里D．56海里【答案】 D【解析】如图，∠A＝60°，∠B＝75°，则∠C＝45°，由正弦定理得：BC＝AB·sin Asin C＝10×sin60°sin45°＝5 6.2．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()A ．502mB ．503mC ．252m D.2522m【答案】 A【解析】 因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°，根据正弦定理可知，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即50sin30°＝AB sin45°，解得AB ＝502m ，选A.3．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是________m.【答案】 521【解析】 如图所示，塔高为OC ，则∠OAC ＝60°，∠AOB ＝180°－30°＝150°，∠CBO ＝45°，AB ＝35，设电视塔高度为h m，则OA＝33h，OB＝h，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，即352＝(32＋h2－2×33h×h×(－32)3h)解得h＝521.4．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可．【解析】 在△ABC 中，BC ＝30，∠B ＝30°，∠ACB ＝135°， ∴∠BAC ＝15°由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，即：30sin15°＝AC sin30° ∴AC ＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)，∴A 到BC 的距离为d ＝AC sin45°＝15(3＋1)≈40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°【答案】 B【解析】 如图所示，∠ECA ＝40°，∠FCB ＝60°，∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠ABC ＝180°－80°2＝50°，∴∠ABG ＝180°－∠CBH －∠CBA ＝180°－120°－50°＝10°.故选B.2．某市在“旧城改造”工程中，计划在如下图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a 元/m 2，则购买这种草皮需要( )A ．450a 元B ．225a 元C ．150a 元D ．300a 元【答案】 C【解析】 S △＝12×20×30×sin150°＝12×20×30×12 ＝150(m 2)，∴购买这种草皮需要150a 元，故选C.3．有一长为10m 的斜坡，倾斜角为75°.在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )A ．5B ．10C ．102 D ．10 3【答案】 C【解析】 如图，设将坡底加长到B ′时，倾斜角为30°.在△ABB ′中，利用正弦定理可求得BB ′的长度．在△ABB ′中，∠B ′＝30°， ∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10m. 由正弦定理，得BB ′＝AB sin45°sin30°＝10×2212＝102(m)．∴坡底延长102m 时，斜坡的倾斜角将变为30°.4．一船以226km/h 的速度向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的南偏东15°，则灯塔S 与B 之间的距离为( )A ．66 kmB ．132 kmC ．96 kmD ．33 km【答案】 A【解析】 如图，∠ASB ＝180°－15°－45°＝120°， AB ＝226×32＝336， 由正弦定理336sin120°＝SBsin45°， ∴SB ＝66(km)．5．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，树尖与地面成45°角，树干也倾斜，与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )A.2063米 B ．106米 C.1063米 D ．202米【答案】 A【解析】 设树干底部为O ，折断点为P ，树尖着地处为M ，如图，△OPM 中，∠P ＝180°－∠M －∠O ＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理得PO sin M ＝MO sin P ，∴PO ＝MO sin M sin P ＝20×sin45°sin60°＝2063.6．甲船在B 岛的正南A 处，AB ＝10km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时，乙船自B 岛出发以6km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是( )A.1507min B.157h C ．21.5min D ．2.15h【答案】 A 【解析】如图，设经过x 小时时距离为s ，则在△BPQ 中，由余弦定理知： PQ 2＝BP 2＋BQ 2－2BP ·BQ ·cos120°，即s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)×6x×(－12) ＝28x2－20x＋100.当x＝－b2a ＝514时，s2最小，此时x＝514h＝1507min.7．一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°角的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过3h，该船实际航程为() A．215km B．6kmC．221km D．8km【答案】 B【解析】如图，∵|OA→|＝2，|OB→|＝4，∠AOB＝120°，∴∠A＝60°，|OC→|＝22＋42－2×2×4cos60°＝2 3.经过3h，该船的航程为23×3＝6(km)．8．如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上的两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为()A ．75°B ．60°C ．50°D ．45° 【答案】 C【解析】 如图，作CE ⊥平面ABD 于点E ，则∠CDE 是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE ＝40°，延长DE 交直线AB 于点F ，连接CF ，则∠CFD 是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S △ABD 最大，只需DF 最大．在△CFD 中，CF sin40°＝DF sin (140°－α).∴DF ＝CF ·sin (140°－α)sin40°. ∵CF 为定值，∴当α＝50°时，DF 最大． 二、填空题(每小题10分，共20分)9．如图在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，又测得山顶P 的仰角为γ，则山高为________．【答案】 a sin α·sin (γ－β)sin (γ－α)m 【解析】 在△P AB 中，已知∠BAP ＝α－β，∠APB ＝γ－α，AB ＝a ，由正弦定理可得P A ＝a sin (γ－β)sin (γ－α)， 在Rt △P AQ 中，PQ ＝P A sin α＝a sin αsin (γ－β)sin (γ－α). 10．一只蚂蚁沿东北方向爬行x cm 后，再向右转105°爬行20cm ，又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么x ＝________.【答案】 203 6【解析】 如图△ABC 中，∠A ＝45°＋15°＝60°，∠B ＝45°＋30°＝75°，∠ACB ＝45°，由正弦定理知 x sin ∠ACB＝20sin A ，∴x ＝203 6. 三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．A 、B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD .【分析】 如图，由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD .因此，只需在△ABD 中求出AD 即可．【解析】 在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°，由AB sin15°＝AD sin45°，得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 186(m)．答：山高CD 为2 186 m.12．如图，一辆汽车从O 点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/小时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O 点南偏东方向距O 点500千米且与海岸距离为300千米的海上M 处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中？并求快艇以最小速度行驶时方向与OM 所成的角．【分析】 根据题意画出示意图如图所示．在△MON 中，利用余弦定理得到速度v 关于时间t 的函数关系式，然后利用二次函数求最值．【解析】 如图所示，设快艇从M 处以v 千米/小时的速度出发，沿MN 方向航行，t 小时后与汽车相遇．在△MON 中，MO ＝500，ON ＝100t ，MN ＝v t ，设∠MON ＝α，由题意得sin α＝35，则cos α＝45.由余弦定理，得MN 2＝OM 2＋ON 2－2OM ·ON ·cos α，即v 2t 2＝5002＋1002t 2－2×500×100t ×45. v 2＝5002×1t 2－2×500×80×1t ＋1002＝(500×1t －80)2＋3 600. 当1t ＝80500，即t ＝254时，v 2min ＝3 600.即快艇至少必须以60千米/小时的速度行驶，此时MN ＝60×254＝375，MQ 是M 到ON 的距离，且MQ ＝300.设∠MNO ＝β，则sin β＝300375＝45.所以可得α＋β＝90°，即MN 与OM 所成的角为90°.。
正弦定理余弦定理练习题及答案
正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____ 一、选择题(共20题，题分合计100分)已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为 1.A.-B.C.-D.λλ则满足此==中，在△ABCa,b,°=45A,2.条件的三角形的个数是D.无数个A.0B. 1 C.2，则三角形为a cos Bb在△ABC中，cos A=3. D.C.锐角三角形等边三角形等腰三角形. A.直角三角形 B22，则最大角为x2x+1(＞1)x已知三角形的三边长分别为+1,+xx和-14.° C.60 D.75°120B A.150° .°在△ABC中，=1，5.，=2．+（（·）+）则=5+2边等于||A.5-2.B．C.D.，b°BABC在△中，已知=30,=50=150c,6.那么这个三角形是等腰三角形或直角等边三角形 B. 直角三角形 C.D. 等腰三角形A.三角形2222C+c，则此三角形为sin B=2bc cos B cos C在△ABC中，若b sin7.等腰直角三角形 C.D.等边三角形A. 直角三角形B.等腰三角形正弦定理适应的范围是8. D.任意△钝角△ A.Rt△B.锐角△ C.==45°，则c°a已知△ABC中，=10,B=60,C9.B. 10 A.10+ C. ）-1（．（+1 ）D.10A sin＜a＜b，则此三角形有ABC在△中，b10.无解 C. 两解 D.不确定.A.一解B5和3，它们夹角的余弦是方程5x-7x-6=0的根，则三角形的另一11.边2三角形的两边分别为长为C.16D.4 A.52B. 2222ABC=b等于+c中，a+bc，则A在△12.° C.120 D.3045 A.60°B.°在△ABC中，，则△ABC是13. D.任意三角形.直角三角形 C.钝角三角形B A.锐角三角形ABC=45,=30，aABC在△中，=2A°C°，则△的面积等于S14.ABC△．A.B.2 +1C.(D.+1)CA sin Ba已知三角形ABC的三边、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、、C，则sin15.等于2222B C.1+cos B B.1-cos B A.cosD.1+sin B是在△ABC中，sin A＞sin BA＞B的16.既不充分也不必要不充分条件 C.D.充要条件 A.充分不必要条件 B.必要条件=在△ABC中，b Cos Aa cos B，则三角形为17.等边三角形等腰三角形 D. A.直角三角形 B. 锐角三角形 C.222ABC为△ABC中，sin A=sin B+sin，则△C18.等腰三角形D. 等边三角形C. 等腰直角三角形B. 直角三角形A.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为19.,则△ABC外接圆的直径为A.B.C.D.为k则,中，ABC在△20.为△(R B.R C.4D.R A.2R)ABC外接圆半径)分共18题，题分合计75二、填空题(. ，则此三角形的最小边长为b=45°，AABC在△中，=60C°，=2 1.. = 中，ABC在△2.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶3.∶2，则△ABC的最小角的度数为.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= . 4.△ABC中，，则三角形为 5._________.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________. 6.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.7.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则8.B= .已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.9.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .10.222222，则△ABC为b+c 中，若在△ABCab＞a+c，则△ABC为；若；若=11.222222222，则△ABC为a ＜+b.cbba＜+c且＜a+且c在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.12.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，13.. A=则°BC,B==3,=30，在△ABC中，14.. A=.= °，B=45°，则a= ,b Aa在△ABC中，+b=12,=6015..的范围为2,3,若x为三边组成一个锐角三角形，则x16.. cb在△ABC中，化简cos C+cos B= 17.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.18.)244分共三、解答题(24题，题分合计.B 和b、a°，求=30C°，=45A，=10c中，ABC 已知在△1.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三2.角形的最大内角.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，3.解此三角形.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求4.AB的长..，求此三角形三边之比B=2C+A，C=2A最小，且C最大，A中，ABC在△5.ABCRABC的为△中，.证明：在△（其中6.外接圆的半径）在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、7.c的值.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角8.形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.9.根据所给条件，判断△ABC 的形状10.Bcos b=A cos a）1（．(2)2－3x－2=0的一个根，求△是方程2xABC周长的最小值.，而ABC△中，a+b=10cos C11.、、、、C的对边，设a+c=2b,A是分，ABC在△中abc别角BA－12..的值B sin求,=C．已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C13..c和，、=2中，在△ABCca试求=2,B=3,tan A tan14..及此三角形的面积b已知S=10,一个角为60°，这个角的15.ABC△∶.2，求三角形内切圆的半径5两边之比为.的形状ABC，试判断△中，ABC已知△16.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC17.的各边长.求值：18.ABC，解此三角形.的面积已知△19.在△ABC中，20.=2,c=ba=,、、，求+1ABCS及.△．22+2=0是关于）xx已知（a的二次方+bc21.程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.2222.的形状ABC，判断△)B+A)sin(b-a)=(B-A sin(）b+a中，（ABC在△22.在△ABC中，a＞23.、b以及此，试求a=6A，且有,bC=tan·tan B.三角形的面积、、、、cba所对的边分别为CBA的三内角ABC是整数，钝角△k已知：24.1）若方程组有实数解，求k的值.（（k值，若且有关系式）中的）对于（21、、.的度数CBA 试求,．正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)A A CB 5CD A D B B B C C C B C C A C A20.7817910：116121813141915.123416.二、填空题(共18题，合计75分)2（-1） 21. 45 ° 8 等腰三角形5.4.3.钝角三角形：6.a=b sin A或b＜a60°或120°无10.8.7.9钝角三角形直角三角形锐角三角形11.等120 角三腰形°或14.13.12.2 15. 36-12．x＜＜16.、、 2 a3417.18.)题，合计24(三、解答题共244分=a1.°B=105=b°∠C=1202.°=15B°或∠=75B∠3.b=+1，∠C=60°，∠B=75°或－=15°，∠C1b=，∠=120B° AB的长为4.4∶5∶6此三角形三边之比为：5.a=6,b=5,c=47.θS最大时，当=,8.OACB四边形+2最大值为9.ABC 1）△是等腰三角形或直角三角形（10为等边三角形）△ABC（2 ABC周长的最小值为△BCBc=1=90=120°=60,°；°，=2,=30°；13.212121．. 14.15.等边三角形16.17.18. A=60°，B=45°，C=75°，S=20.△°(2)60 没有实数根(1) 21.等腰三角形或直角三角形22.23.（1）k=1，2，324.（2）C=45°,B=15°。
正弦定理、余弦定理的应用举例练习题(基础、经典、好用)
正弦定理、余弦定理的应用举例一、选择题图3－8－91．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图3－8－9)，要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA ＝45°，就可以计算出A，B两点的距离为()A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里图3－8－103．(2013·广州模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是() A．102海里B．103海里C．202海里D．203海里图3－8－114．如图3－8－11所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sin θ的值为()A.217 B.22 C.32 D.5714图3－8－125．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图3－8－12所示)，则旗杆的高度为()A．10 m B．30 m C．10 3 m D．10 6 m二、填空题6．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是________米．7．在地上画一个∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米．图3－8－138．如图3－8－13，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________．三、解答题图3－8－149．(2013·佛山调研)如图3－8－14，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20 km后到达D处，测得C，D两处的距离为21 km，这时此车距离A城多少千米？图3－8－1510．如图3－8－15，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D间的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．图3－8－1611．(2013·惠州模拟)某城市有一块不规则的绿地如图3－8－16所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建设费用最低，请说明理由．解析及答案一、选择题1．【解析】在△ABC中，由正弦定理BCsin 30°＝ABsin 45°，AB＝50 2.【答案】 A2．【解析】如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．【答案】 C3．【解析】由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得BC＝ABsin 45°×sin 30°＝10 2.【答案】 A4．【解析】连接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos 120°＝700，∴BC＝107，再由正弦定理，得BCsin∠BAC ＝AB sin θ，∴sin θ＝21 7.【答案】 A5．【解析】如图，在△ABC中，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°.由正弦定理得106sin 30°＝BCsin 45°，所以BC＝206×2 2＝203(m)．在Rt△CBD中，CD＝BC sin 60°＝203×32＝30(m)．【答案】 B二、填空题6．【解析】如图，依题意甲楼高度AB＝20tan 60°＝203米，又CM＝DB＝20米，∠CAM ＝60°.所以AM＝CM·1tan 60°＝2033米，所以乙楼的高CD＝203－2033＝4033米．【答案】403 37．【解析】如图所示，设BD＝x m，则142＝102＋x2－2×10×x×cos 60°，∴x2－10x－96＝0，∴x＝16.【答案】168．【解析】设AB＝h，在△ABC中tan 60°＝h BC，∴BC＝33h，在△BCD中，∠DBC＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理得CDsin∠DBC ＝BCsin∠BDC，即30sin 135°＝33hsin 30°，解得h＝15 6.【答案】15 6三、解答题9．【解】在△BCD中，BC＝31，BD＝20，CD＝21，由余弦定理cos∠BDC＝DB2＋DC2－BC22DB·DC＝－17，所以cos∠ADC＝17，sin∠ADC＝437，在△ACD中，由条件知CD＝21，A＝60°，所以sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝32×17＋12×437＝5314，由正弦定理ADsin∠ACD ＝CD sin A，所以AD＝2132×5314＝15，故这时此车距离A城15千米．10．【解】 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ，又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线， 所以BD ＝BA . 在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC，即AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620，因此，BD ＝32＋620≈0.33 km.故B ，D 间的距离约为0.33 km.11．【解】 (1)在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝356－320cos C ， ① 在△ABD 中，由余弦定理及∠C ＝∠D 整理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos D ＝392－392cos C ， ② 由①②得：356－320cos C ＝392－392cos C ， 整理可得，cos C ＝12，又∠C 为三角形的内角，所以C ＝60°， 又∠C ＝∠D ，AD ＝BD ， 所以△ABD 是等边三角形， 故AB ＝14，即A 、B 两点的距离为14. (2)小李的设计符合要求．理由如下：S △ABD ＝12AD ·BD sin D ， S △ABC ＝12AC ·BC sin C ， 因为AD ·BD ＞AC ·BC ， 所以S △ABD ＞S △ABC ，由已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC建造环境标志费用较低．因此小李的设计符合要求．。
高中数学-余弦定理、正弦定理应用举例跟踪测试卷及答案
课时跟踪检测 （十三） 余弦定理、正弦定理应用举例层级(一) “四基”落实练1.如图，两座灯塔A 和B 与河岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的 ( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°.又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．设甲、乙两幢楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033m B ．10 3 m, 2 0 3 m C ．10(3－2)m, 20 3 mD.1532 m ，2033m 解析：选A 由题意，知h 甲＝20tan 60°＝203(m)， h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)． 3．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( ) A ．15 2 km B ．30 2 km C ．45 2 kmD ．60 2 km解析：选B 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠DAC ＝60°，∠ CBM ＝15°，所以∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°.在△AMB 中，由正弦定理，得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．4．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船的航行速度为( )A.1762n mile/h B ．34 6 n mile/h C.1722n mile/h D ．34 2 n mile/h解析：选A 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．故选A. 5.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选B 依题意可得AD ＝2010(m)， AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中， 由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22.又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.6．某人朝正东方向走x m 后，向右转150°，然后朝新方向走3 m ，结果他离出发点恰好为3m ，那么x 的值为_______．解析：如图，在△ABC 中，AB ＝x ，B ＝30°，BC ＝3，AC ＝3，由余 弦定理得(3)2＝x 2＋32－2×3×x ×cos 30°， ∴x 2－33x ＋6＝0，∴x ＝3或2 3. 答案：23或 37.如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°， 45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从C 点到B 点历时14 s ，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：2≈1.414，5≈2.236) 解析：由题意可知，AB ＝200 m ，AC ＝100 2 m ， 由余弦定理可得BC ＝40 000＋20 000－2×200×1002×－22≈316.2(m)， 这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s)． 答案：22.68.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，求山高MN .解：根据图示，AC ＝100 2 m ．在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°解得AM ＝100 3 m ．在△AMN 中，MNAM ＝sin 60°，所以MN ＝1003×23＝150(m)． 层级(二) 能力提升练1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )：①测量A ，B ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a .则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选A 对于①，利用内角和定理先求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理b sin B ＝c sin C解出c ；对于②，直接利用余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 即可解出c ；对于③，先利用内角和定理求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理a sin A ＝csin C解出c .故选A. 2．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________. 解析：如图，设竹竿的影子长为x . 依据正弦定理可得2sin 60°＝xsin (120°－α).所以x ＝43·sin(120°－α)． 因为0°<120°－α<120°，所以要使x 最大，只需120°－α＝90°， 即α＝30°时，影子最长． 答案：30°3．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为______小时．解析：如图，设A 地东北方向上存在点P 到B 的距离为30千米， AP ＝x .在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB ·cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°，化简得x 2－402x ＋700＝0， |x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400， |x 1－x 2|＝20，即图中的CD ＝20(千米)，故t ＝CD v ＝2020＝1(小时)．答案：14.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直 弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217s ．A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°. (1)求A ，C 两地的距离； (2)求该仪器的垂直弹射高度CH . (声音的传播速度为340 m/s)解：(1)由题意，设AC ＝x m ，则BC ＝x －217×340＝(x －40)m.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝BA 2＋AC 2－2BA ·AC cos ∠BAC ， 即(x －40)2＝10 000＋x 2－100x ，解得x ＝420. 所以A ，C 两地间的距离为420 m.(2)在Rt △ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°， 所以CH ＝AC tan ∠CAH ＝140 3 m. 所以该仪器的垂直弹射高度CH 为140 3 m.5.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为45°，往正前方走4 m 后，在点B 处发现桃树 顶端点C 的仰角大小为75°. (1)求BC 的长；(2)若小明身高为1.70 m ，求这棵桃树顶端点C 离地面的高度(精确到0.01 m ，其中3≈1.732)．解：(1)在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠DBC ＝75°， 则∠ACB ＝75°－45°＝30°，AB ＝4. 由正弦定理得BC sin 45°＝4sin 30°， 解得BC ＝42(m)．即BC 的长为4 2 m. (2)在△CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝42，所以DC ＝42sin 75°.因为sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24，则DC ＝2＋2 3. 所以CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464≈7.16(m)．即这棵桃树顶端点C 离地面的高度为7.16 m. 层级(三) 素养培优练1．北京冬奥会，首钢滑雪大跳台(如图1)是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．西青区某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A (如图2)距离地面的高度AB (AB 与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物PQ .测得PQ 的高度约为25米，并从P 点测得A 点的仰角为30°.在赛道与建筑物PQ 之间的地面上的点M 处测得A 点、P 点的仰角分别为75°和30°(其中B ，M ，Q 三点共线)．则该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A 距离地面的高度约为(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A ．59B ．60C ．65D ．68解析：选A 如图所示，由题意得∠AMB ＝75°，∠PMQ ＝30°，∠AMP ＝75°，∠APM ＝60°，∠PAM ＝45°，在△PMQ 中，PM ＝PQsin ∠PMQ＝50，在△PAM 中，由正弦定理得AM sin ∠APM ＝PMsin ∠PAM，AM sin 60°＝50sin 45°，所以AM ＝256， 在△ABM 中，AB ＝AM ·sin ∠AMB ＝256×sin 75° ＝256×6＋24， 所以AB ＝150＋5034≈150＋50×1.734＝236.54＝59.125，所以赛道造型最高点A 距离地面的高度约59.2．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 的北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值． (3)是否存在v ，使得小艇以v 海里/时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)设相遇时小艇的航行距离为S 海里，则由余弦定理，可得S ＝900t 2＋400－2×30t ×20cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900t －132＋300， 故当t ＝13时，S min ＝103，此时v ＝303，即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图，设小艇与轮船在B 处相遇，由题意可知(v t )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 化简得，v 2＝400t2－600t 900＝400 1t －342＋675. 由于0<t ≤12，所以1t ≥2，所以当1t ＝2时，v 取得最小值1013， 即小艇航行速度的最小值为10 13 海里/时． (3)存在．由(2)知，v 2＝400t2－600t ＋900，设1t ＝u (u >0)， 于是400u 2－600u ＋900－v 2＝0.小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程有两个不等正根，即6002－1 600(900－v 2)>0，900－v 2>0，解得153<v <30， 所以v 的取值范围是(153，30)．。
正弦定理、余弦定理基础练习题.doc
正弦定理、余弦定理基础练习1．在△ ABC 中：（ 1）已知A 45 、B 30 、 a 5 3 ，求b；（ 2）已知B 75 、C 45 、 a 6 ，求 c ．2．在△ ABC 中（角度精确到1°）：（1）已知b 15、 c＝7、 B＝ 60°，求 C；（2）已知a 6、 b＝7、 A＝ 50°，求 B．3．在△ ABC 中（结果保留两个有效数字）：（1）已知 a＝ 5、 b＝ 7、C＝ 120°，求 c；（2）已知b 3 3、 c＝ 7、 A＝30°，求 a．4．在△ ABC 中（角度精确到1°）：（ 1）已知a 6 、 b＝7、c 9，求A；（ 2）已知a 3 3 、b 4、 c 79 ，求C．5．根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到0.1）：（1）（2）（3）A 37 ，B 60 ，a 5 ；A 40 ，B 45 ，c 7 ；B 49 ，a 5，b 3 ；（4）C＝ 20 ，a＝ 5，c＝ 3；（ 5）a4， b 7， C 80 ；（6）a 10，b 13，c 14．6．选择题：（ 1）在△ ABC 中，下面等式成立的是（）．A ．abcosC bc cos A B．ab sin C bc sin AC．a cosC ccos A D．a cos A b cosB（ 2）三角形三边之比为3∶ 5∶ 7，则这个三角形的最大角是（）．A．60°B． 120°C． 135° D ．150°（ 3）在△ ABC 中，b c 2 1，C 45 ， B＝ 30°，则（）．A ．b ，c 2 B．b 2 ，c 1 1C．b2 2 2 2， c 12D ．b 1 ， c2 2 2（ 4）在△ ABC 中B 45 、 c 5 2 、b 5 ，则 a （）．A．5 2 B．5 3 C． 5 D．10 7．填空题：（ 1）△ ABC 中 AB16 21 3_______；、 AC2、面积 S，则 A4（ 2）在△ ABC 中，若 a cos A b cos B ，则△ ABC 的形状是 _______．8．在△ ABC 中， sin 2 A sin Asin Bsin 2 C sin 2 B ，求角 C ．综合练习1．设方程 x 2 sin A 2x sin Bsin C 0 有重根，且 A 、 B 、C 为△ ABC 的三角，则△ABC 的三边 a 、 b 、 c 的关系是（）．A ． b ＝ acB ． a ＝ bcC ． c ＝ abD ． b 2ac2．在△ ABC 中 C90 、A 75 ， CDAB ，垂足为 D ，则CD的值等于（ ）ABA ．1B ．1C ．1D ．32 3423．等腰三角形的底角正弦和余弦的和为6，则它的顶角是（）．2A ． 30°或 150°B ． 150 或 75°C ． 30°D ．15°4．在△ ABC 中 (sin A sin Bsin C )2 3(sin 2 A sin 2 B sin 2 C ) ，则这个三角形是（ ）三角形．A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．等边5．在△ ABC 中 0 tan A tan B 1，则△ ABC 是（ ）．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定其形状6．在△ ABC 中， A B 是 cos 2 A cos 2 B 的（ ）条件．A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既不充分也不必要7．在锐角△ ABC 中，若 C2B ，则 c的围为（ ）．bA ． ( 2, 3)B ． ( 3,2)C ．（ 0， 2）D ． ( 2,2)8．已知 A 为三角形的一个角，函数y (cos A ) x 2 (4 sin ) 6 ，对于任意实数 xA x 都有 y 0，则（ ）．A ． 011 1cos AB ．cos A22C．cosA 0 D ． 1 cos A 09．已知锐角三角形的边长为2、 3、 x，则 x 的取值围是（）．A ． 1 x 5B ． 5 x 13C．13 x 5 D．1 x 510．在△ ABC 中，若面积S ABC a2 (b c) 2，则cos A等于（）．A ．1B． 3 C．12D．15 2 2 13 1711．在△ ABC 中a 7、b 10 、 c 12．在△ ABC 中，若sin A cosB 13．在△ ABC 中，若2 cosB cosC 14．△ ABC 的面积和外接圆半径都是15 ，则 tan A ________．cosC ，则 tan B tan C ________．1cos A ，则△ABC的形状是________．1，则sin A sin B sin C＝________．sin A sin B15．在△ ABC 中，sin CcosBcos A，则△ ABC 的形状是 ________．16．如图 5-8，∠ A＝ 60°，∠ A 的点 C 到角的两边的距离分别是 5 和 2，则 AC 的长为________．图 5-817．已知 A 为锐角三角形一个角，且 lg(1 sin A) m ，lg1 n ，则lg cos A的1值为 ________．sin A18．在△ ABC 中，若A 60，b 1， S ABC 3 ，则a b c的值为sin A sin B sin C________．19．在△ ABC 中，已知2sin B cosC sin A ， A 120 ， a 1 ，求B和ABC 的面积．20．在△ ABC 中，已知(sin A sin B sin C )(sin A sin B sin C ) 3sin A sin B ，求角 C．21．在△ ABC 中，角 A 最大， C 最小，且A 2C ，若 a c 2b ，求此三角形三边之比．22．已知三角形的三边长分别为x2 x 1 、 x2 1、2x 1 ，求这个三角形中最大角的度数．拓展练习1．三角形三边长是连续整数，最大角是最小角的 2 倍，则最小角的余弦等于（）．A ．3B ．7C ．2D ．94103142．在 ABC 中， P 表示半周长， R 表示外接圆半径，下列各式中： ① sinA ( Pb)( P c)a b tanAB② A 2 2bca bBtan 2③ c a cos Bbcos A④ab csin A sin BRsin C正确的序号为（ ）．A ．①、④B ．①、②、④C ．①、②、③D ．②、③、④3．在△ ABC 中，若 a 2 b(b c) ，则有（）．A ．A BB ．A 2BC ．A 3BD ．B 2A 4．在△ ABC 中， tanAB a b，则此三角形为（）．2 abA ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形5．在△ ABC 中，若 lg a lg c lg sin B lg 2 ，且 B 为锐角，则△ ABC 的形状是________．6．设 A 是△ ABC 中的最小角，且a 1cos A，则 a 的取值围是 _______．a 17．如图 5-9，在平面上有两定点 A 和 B ， AB 3，动点 M 、N 满足AM MN NB 1 ．记△ AMB 和△ MNB 的面积分别为 S 、T ，问在什么条件下， S 2T 2取得最大值？图 5-98．在△ ABC 中，已知 C ＝ 2B ，求证： c 2 b 2ab ．9．圆 O 的半径为R ，其接△ABC图 5-10的三边a 、b 、 c所对的角分别为A 、B 、C ，若2R(sin 2A sin 2 C )sin B( 2ab) ，求△ ABC面积的最大值．10．若ABC是半径为r 的圆的弓形，弦AB 长为2r， C为劣弧上一点，CDAB于 D ，当C 点在什么位置时△ACD的面积最大，并求此最大面积（如图5-10）．参考答案基础练习1．（ 1） b5 6 （ 2） c 2 6 ． 22．（ 1） C 24 ， （2） B 63 或117 ． 3．（ 1） C 10 ， （ 2） a 3.6 ． 4．（ 1）． A 42 ， （2） C 150 ． 5．（ 1） C 83 ， b 7.2 ， c 8.2 ； （2） C 95 ， a 4.5 ， b 5.0； （3） A 20 ，C 111 ， c 10.9 ；（4） A 35 ，B 125°， b 7.2 或 A 145 ， B 15 ， b 2.3；（ 5） c 7.4， A 32 ，B 68 ；（ 6）A 43，B 63，C 74 ．6．（ 1） B ． S1ab sin C 1 bcsin A 1ca sin B ；2 2 2120 ．（ 2）B ．三角形边对大角，由余弦定理，求出最长的边所对角的（ 3）A ．由正弦定理， 得csin C sin 45 2 ，将 c2b 代入 bc2 1解得 b 、 c 的值；bsin B sin30（ 4）C ．由余弦定理， b 2 a 2 c 2 2ac cos B ，即 25a 2 50 10a ，解关于 a 的方程 a 2 10a25 0，得 a 5 ．7．（ 1）π或3π，由面积公式： S1bc sin A ，即13 16 2 sin A ，4424 22解得 sin A2，从而求出 A ；2（ 2）等腰三角形或直角三角形，由余弦定理得b 2c 2 a 2 a 2 c 2 b 2 ，整a2bcb2ac理 得 ( a 2 b 2 )(c 2 a 2 b 2 ) 0 ， 则 a 2 b 2 0 或 c 2 a 2b 2 0 ， 所 以 ， a b 或c 2a 2b 2 ．8．2π．由正弦定理：a bc 23sin A sin B sinC R ，可将已知的三个角的正弦关系转化 为 三 边 关 系 ： a 2ab c 2 b 2 ， 即 a 2 b 2 c 2ab ， 再 利 用 余 弦 定 理 ：cosCa 2b 2c 2 ab 1，所以， C2π ．2ab2ab2 3综合练习1．D ．方程有重根，∴( 2 sin B) 24sin A sin C0 ， 即sin 2 B sin A sin C ．由正弦定理，得 b 2ac ．2 ． C ． 设 AB ＝ a ， 则 AC a cos75 ， BCa sin 75．由面积关系式：1 CD AB1 AC BC ，得 CD a cos75 sin 75 a 1sin1501a ．22 243． A ．设等腰三角形顶角为 、底角为，则 sincos 6，两边平方，解得212 sin cos61 sin sin(π2 ) sin 21，即 sin 2．∴．又∵422为顶角，∴30 或150 ．4．D ．由正弦定理得 ( a b c) 2 3(a 2 b 2 c 2 ) ，即 2ab 2ac 2bc2a 22b 22c 2 ，∴ ( a b) 2(b c) 2 (c a) 20 ．∴ a b c ．5．C ．∵ A 、B 、C 为三角形的角， 又 0tan A tan B 1，∴ tan A 0 ，tan B 0 ，tanC tan(π AB) tan(A B)tan A tan B 0 ，∴ C 为钝角．1 tan A tan B6． C ． cos 2 A cos 2 B 1 sin 2 A 1 sin 2 B sin 2 A sin 2 B ，∵ A 、 B 为三角形的角，∴sin A0，sin B 0 ．∴ sin 2Asin 2 Bsin A sin B2R sin A 2R sin B （ R 为 ABC 外接圆半径）．由正弦定理， a 2R sin A ，b 2Rsin B ．∴sin A sin B a ba b A B ．∴ cos 2 A cos 2BA B ．7．A ．c sin C sin 2Bbsin Bsin B 2 cosB ，0 Bπ，2又0 C 2Bπ∴ π π 2 cos B3 2 ，B，∴2．即6420 A π (BC)π，22 2cosB3.c (2，3)．bcos A，cos A 0 ，8． B ．由条件知即16sin 2A 24cos A2 3cos A， ，0 2(1 cos A) 0cos A 011 .又∵或1 ∴ cos A．又∵ cos AA 为三角形的一cos AcosA2 22 2个角，∴cosA1，∴1cosA 1 ．29． B ．设三边 2、3、 x 所对的三个角分别为 A 、 B 、 C ，根据三角形任意两边之和大于第三边和余弦定理，有：3 2 x 3，1 x ，， 1 x22x232x255即， ∴，∴cosB，x52 2 xx．xx13．2 22 22x ．x 13 0cosC32 2 35x 13 ．10． D ．由三角形面积公式：S1 bcsin A ．∴a 2b c 2 1 bc sin A ．∴2()2b2c2a22bc(11sin A) ． ∴b2c 2 a211sin A ． 由 余 弦 定 理 ，42bc4cos A b 2c 2 a 2 11sin A .sin A 4(1 cos A) ∴ sin 2 A16(1 cos A) 2 ．2bc4∴1 cos2 A 1632 cos A 16 cos 2 A ， 即 17 cos 2 A 32 cos A 150．解得cos A 15 或 cos A 1． A 为三角形的角， ∴ cos A1， cos A 15 ．17 174 6cos A10 2 15272 2311．．由余弦定理， 2 10 15．2325sin A1 cos2 A(123)(1 23 )4 6 .tan A sin A 4 6 ．252525cos A 2312．1．sin A cos B cosC ， ∴ sin( B C ) cos BcosC ． ∴sin B cosCcosB sin C cosB cosC ． ∴ sin B cosC cosB sinC． 即cosB cosC1 tanB tanC1 ．13．等腰三角形，2cos B cosC 1 cos A ，∴ 2 cos B cosC1 cos[ π(B C)] ．∴2 cos B cosC cos(B C ) 1 ． ∴ cosB cosC sin B sin C 1 ，即 cos(B C ) 1 ．∴ B C 0 ，即 B ＝ C ．14． 1．设ABC 外接圆半径为 R ，则 R ＝ 1．2a bcabc由正弦定理 sin A sin B sin C2R 2R8．2R 设ABC 的面积为 S ，则 S ＝ 1．由面积公式S1absin C 1 bc sin A 1casin B ，2 2 2sin A sin B sin C2S 2S 2S8． ∴abc 8 ． ∴abc 4 ． ∴bc ca ab (abc) 28(abc) 2sin A sin B sin Cabc 1 ．82sin A sin B ，15．直角三角形．由正弦定理、余弦定理，cos A cosBsin Cb 2c 2 a 2 a 2c 2 b 2 ab．∴ a(b 2c 2 a 2 ) b( a 2 c 2 b 2 ) 2ab(a2bc2ac cb) ．整 理 ， 得 (a b)(a 2b 2c 2 ) 0 ． ∵a>0 ， b>0 ， ∴a 2 b 2 c 2 0 ． ∵c 2 a 2 b 2 ．16． 2 13 ，由于 A 、 E 、C 、F 四点共圆， ECF 120 ，连结 EF ，在 CEF 中，由余弦定理： EF 252 22 2 5 2 cos12039， EF39 ．又由正弦定理可得 AECF 的外接圆直径 EF 39 AC2 13．sin 12032图答 5-717．1( m n). lg(1 sin A) m ，lg1 1n ，两式相减，2sin Alg(1 sin A)(1 sin A) m n ．lg(1 sin 2A) m n ，即 lg cos 2 A m n ．2 lg cos A m n ．lg cosA1(m n) ．218．2 39．由三角形面积公式， S1bc sin A ，31 1 c sin 60 ，322c4 ． 由 余 弦 定 理 ， a 2b 2c 2 2bc cos A 12 42 2 1 41 13 ，2a13 ．由正弦定理， a bc13 2 39．由等比定理可得：sin A sin B sin Csin 603a b c 2 39． sin A sin B sin C 319． B30 ，S ABC13 ．2 sin B cosC sin A ，由正弦定理、余弦定理，122b a 2b 2c 2 a ， a 2 b 2c 2 a 2 ， ∴b c，A120 ， ∴2abB C30 ．由正弦定理，a b ．b1 sin 30 1 .sin A sin Bsin 1203SABC1 ab sin C 1 1 1 s in 30 3 ．2 23 12 20．60．设R ABC 外接圆半径，由正弦定理：a b c )( a b c 3ab( 2R 2R 2R ) ，2R 2R 2R 2R 2R化简得： (a b c)( a b c)3ab, (a b) 2 c 23ab ，∴ a 2 b 2 c2ab ．再由余弦定理，得： cosCa 2b 2c 2ab1 C 60 ．2ab2ab．∴221． a : b : c6:5:4 ． A 2C ，由正弦定理：c a a a，∴ cosC asin C sin A sin 2C．2 sin C cosC2ca c 2b ，∴ b ac ．由余弦定理：2cosCa 2b 2c 2a 2 ( a 2 c )2C 25a 3c ．2aba(ac)4aa 5a 3c ． 4a 2 10ac 6c 2 0 ， (2a 3c)( a c) 0 ．2c 4a 3 c ． ba c 5 c ． a :b :c 3 c : 5 c : c 6 : 5: 4 ． a c ，a 2 2 4 2 4x 2x 1 ，0 22． 120 ．x 2 x 1 2 1 2 x 1为三角形的三边， x 21 ，x2x 1 0 ．解得， x1 ．( x 2 x 1) ( x 21) x 2 0，( x 2 x 1) ( 2x 1) x 2x x( x 1) 0，x 2x 1 是最大的边长．令其所对的角为，由余弦定理：cos( x 2 1) 2 (2x 1) 2 (x 2x 1) 22x 3 x 2 2x 11 ．2( x21)( 2x 1)2(2x3x22x 1)2∴120 ，即这个三角形中最大角的度数为120 ．拓展练习． A ．设三角形三边为 n1 、 n 、 n 1(n N ) ，它们所对的角分别为C 、、，则1B AC 2 A ．则正弦定理，n 1n 1n 1n 1，cos An 1sin Asin Csin 2A2(n．由2sin A cos A1)余弦定理， cos A( n 1) 2n 2(n 1)2n 24n ．n 1n 24n．去分母2n(n 1)2n(n 1)2(n 1) 2n(n1)得： n 3 2n 2 n n 3 4n 2 n 2 4n ．∴ n25n ，∴ nN ，∴n 5 ．cos A52 4545 3．即最小角的余弦值为3．＝604 425(51)（法二） 如图， ABC 中， C 2A ，设 A，A 、B 、C 三角所对的三边分别为 n1 、n n 1( n N )．在 AB 上取一点 D ，使ACDBCD．∴ CDBBCA2．、∴CAB ∽ DCB ．设 CD 为 x ，则 DA 为 x ，∴ x n 1 x n 1．∴ x n(n 1) ．n n 1 n 1 n 1 n1 n(n1)n 1 即 (n 1) 2n 2n n 1 ．∴∴n n 1n 3 3n 1 n 2 2n 1．∵1n1n 1 (n 1)n 1n N ， ∴ n 5 ． ∴ABC 的三边长为4 、 5、6．由余弦定理， cos A 52 62 422536 163 ．∴ 最小角的余弦值为 3 ．2 5 6 604 4图答 5-82． C ．①正确．∵P1(a b c) ，由半角公式、余弦定理：2b 2c 2 a 2A1 cosA12bc2bc b 2 c 2 a 2a 2(b c) 2 sin224bc4bc2(a bc)( a b c)(2P 2c)(2P2b)(P c)( Pb)4bc4bcbc．②正确．由积化和差公式、正弦定理：A BA B cos A B1(sin A sin B)tansina b ．A 2 A 2 A 2 2B B sin B 1 (sin A sin B) a b tan 2cos 2 22③正确．如图：作 AB边上的高 CD ，则 AD b cos A, BD a cos B ． ∴c b cos A a cosB ．或 A 、 B 中有一为钝角，同理可证得．（法二）由余弦定理，b cos A a cosB ＝ b b2c 2 a 2a a 2 c 2b 22bc2acb 2c 2a 2 a 2 c 2b 22c 2c ．2c2c④错误．由正弦定理：abcR R ．sin A sin B sin C 23． B ．由正弦定理，得： sin 2 Asin 2 B sin B sin C ．∴ (sin A sin B)(sin A sin B) sin B sin C ．∴ A B A B2 cos A Bsin A B sin B sinC ．2 sincos2222∴ sin( A B) sin( A B) sin BinC ．∴ sin( A B)sin B ．即 sin( A B) sin B 0 ．∴ 2 cos A sinA 2B0 ．cosAsinA 2B220 ，∴ 0 ，22∴A 2B ．4． D ．由正弦定理，a b sin A sin B ．a b sin A sin BA B sinABsin A sin B2 cosAB sin AB ∴tan22 2 ．2cos A Bsin A sin BABA B22sin2cos2∴sin A BA BA B A B2sin2cossin．22∴sinAB 0 或 sin A B cosAB ．2 2 2当 sinA B 0时， A ＝ B ；2当 tanAB 1 时， AB π， 2 π 24∴ A B．2 π∴ A B 或 A B．25 ．等腰直角 三 角形．∵lg a lg c lg sin B lg 2 ， ∴lgalg sin B lg2．∴ sin B2 ，又 B 为锐角，∴ B 45 ．又a 2，由c22c2正弦定理，有sin A2．∵A C 180 B135 ，sin C2∴ A 135C ．∴ 2 sin C 2sin(135 C ) ．∴sin C2(sin 135 cosC cos135 sin C ) ， 即 sin C sin C cosC ． ∴cosC 0．∴ C90 ，∴ A B45 ．∴ABC 是等腰直角三角形．6．[ 3,) ．∵ A 是 ABC 中的最小角， ∴ 0 A 60 ．∴ 1cosA 1．即2a 12，，，a1a 1 a a 1 a11 ． 1a 3a 1 12a 2 a 12a 1a或3a a 122(a 11)a 3 ．7．当BAM 为等腰三角形时， S 2 T 2 取得最大值．由余弦定理，图答 5-10MB 2 AM 2 AB 2 2AMAB cos A 4 2 3 cos A ， MB 2 MN 2NB 2 2MNNB cos N 22cos N ． ∴ 4 2 3 cos A 2 2 cos N ．∴cos N3 cos A 1 ．S 2 T 2(113 sin A)2 (11 1 sin N )2223 sin 2 A 1 sin 2 N4 43sin 2A 11 ( 3 cos A 1)2 4 43sin 2A 3cos 2A 3cos A4 4 23 3cos 2A3cos A4223 3 cos 2A 3cos A (13 ) 23( 1 ) 24 23222 373(cos A 1 3 ) 2 ．8 2 2∵MB MN NB1 12， ∴Aπ0 cosA 1 ∴当． ∴2cos A2 13 时， S 2 T 2取得最大值．此时MB 24 2 31 3 ， 即2 3MB3AB ，∴ 当 BAM 为等腰三角形时， S2T 2 取得最大值．．C2B ，∴C BB ．又∵A B C，∴sin( B C )sin A ．8π设ABC 的外接圆半径为 R ，由正弦定理：c 2 b 2(2R sin C )2 (2Rsin B) 24R 2 (sin 2 C sin 2 B)4R 2( 1 cos2C 1 cos2B )2 22 R 2 (cos 2 B cos2 )4 R 2sin(B C ) sin( B C )C4R 2 sin( B C ) sin(C B)4R 2 sin Asin B ( 2R sin A) ( 2Rsin B)ab ．∴c 2 b 2 ab ．9 ．12R 2．∵2R (sin 2 A sin 2 C ) sin B( 2 a b) ，由正弦定理：22R(a 22c 22 )b (2a b) ．∴ a 2 c 22abb 2 ．∴ a 2 b 2c 22ab ．4R4R2R由余弦定理， cosCa 2b 2c 22ab20< C< ，∴π2ab2ab．又∵C．24∴SABC1ab sin C2＝12Rsin A 2Rsin B sin π242R 2 sin A sin B＝2R 2 (1) cos(A B) cos(A B)2＝ 2 2 cos(A ) cos(πC)2 R B2 R2 cos( A B) 2 2 2π C ππ3π 1 2 2∴当 cos( A B) 1 ，即A 4B 时， S ABC最大值R ．10．1r2．设2 2 8 2CAB (0 45 )，连结BC．85-11∵OA OB r ，AB 2r ，∴AOB 90 ．∴ACB 180 90135 ．2CBA 180 135 45 ABC接于圆O，由正弦定理，∴．∵AC 2r sin(45 ) ．在 Rt ACD 中，AD AC cos 2r sin( 45 ) cos ．∴SACD1AC AD sin22 2 sin 2 (45 ) cos sinrr 2 1 cos(90 2)sin 22r 2 (1 sin 2 ) sin 22r 2 ( sin 2 2 sin 2 1 1 )2 4 4r 2 (sin 2 1 )2 r 22 2 8∴ 当 sin 21 时， SACD 最大值 1r 2 ． 1 2 8，又 0 45 ，∴2 30，∴ 15 ．由sin 22∴ 当 CAB 15 时， ACD 面积最大，最大面积为1r 2 ．8。
(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题
《正弦定理和余弦定理》典型例题透析类型一：正弦定理的应用：例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =o ，30C =o ，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C=Q ， ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯===oo∴ 180()105B A C =-+=o o ， 又sin sin b c B C=， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯====⨯=o o o 总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。
【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理，0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在∆ABC 中，已知075B =，060C =，5c =，求a 、A .【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=， 根据正弦定理5sin 45sin 60o o a =，∴56a =【变式3】在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在3,60,1ABC b B c ∆===o 中，，求：a 和A ，C ． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .解析：由正弦定理得：sin sin b c B C=， ∴sin 1sin 23c B C b ===o ， （方法一）∵0180C <<o o ， ∴30C =o 或150C =o ，当150C =o 时，210180B C +=>o o ，（舍去）；当30C =o 时，90A =o ，∴222a b c =+=．（方法二）∵b c >，60B =o ， ∴C B <，∴60C <o 即C 为锐角， ∴30C =o ，90A =o ∴222a b c =+=．总结升华：1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解(2021年整理)
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高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解一、选择题1．(2010·广东六校)两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )km。
( ）A．a B.错误!aC．2a D。
错误!a[答案] D[解析］依题意得∠ACB＝120°.由余弦定理cos120°＝错误!∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos120°＝a2＋a2－2a2错误!＝3a2∴AB＝错误!a.故选D.2．(文）(2010·广东佛山顺德区质检)在△ABC中,“sin A〉错误!”是“∠A>错误!”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A［解析] 在△ABC中，若sin A〉错误!，则∠A>错误!，反之∠A>错误!时,不一定有sin A>错误!，如A＝错误!时，sin A＝sin错误!＝sin错误!＝错误!。
(理）在△ABC中，角A、B所对的边长为a、b，则“a＝b"是“a cos A＝b cos B”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件［答案] A［解析] 当a＝b时，A＝B，∴a cos A＝b cos B;当a cos A＝b cos B时，由正弦定理得sin A·cos A＝sin B·cos B,∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝错误!.则a＝b或a2＋b2＝c2.所以“a＝b”⇒“a cos A＝b cos B”,“a cos A＝b cos B"⇒/ “a＝b”，故选A。
高一数学正弦定理和余弦定理试题
高一数学正弦定理和余弦定理试题1.在中，分别为角的对边，且满足.（1）求角的值；（2）若，设角的大小为的周长为，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】本试题主要是考查了解三角形中正弦定理和三角函数中两角和差的公式的综合运用。
（1）根据已知条件可知，三边的关系，结合余弦定理得到角A的值。
（2）利用正弦定理表示c边，然后借助于三角函数的性质来求解最值。
解：（1）在中，由及余弦定理得…2分而，则；……………4分（2）由及正弦定理得，……6分同理……………8分∴………………10分∵∴，∴即时，。
…………………12分2.已知a,b,c分别是的三个内角A,B,C的对边，（1）若的面积=，c=2，A=，求a,b的值；（2）若，且，试判断三角形的形状.【答案】（1）；（2）等腰直角三角形。
【解析】本试题主要是考查了解三角形中正弦定理和余弦定理的运用，三角形面积公式的综合问题。
（1）由于三角形的面积,再结合，c=2，A=，得到b的值，再通过正弦定理得到a的值。
（2）利用化边为角的思想，将得到角A,B,C的关系式，从而确定三角形的形状。
（1）；（2）等腰直角三角形。
3.在△中，关于x的方程有两个不同的实根，则∠A为（）A．锐角B．直角C．钝角D．不存在【答案】A【解析】解：因为关于x的方程有两个不同的实根，则满足判别式大于零即为，则利用余弦定理可知，说明角A为锐角。
选A4.在△中，a、b、c分别是角A、B、C的对边长，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：因为,结合三角形的正弦定理和余弦定理变形可知为=5.已知中，求：（1）边b的长;(2)求的面积。
【答案】解：(1) ；（2）由【解析】本试题主要是考查了三角形中利用余弦定理和三角形的正弦面积公式的运用。
（1）中利用余弦定理，直接得到b的值（2）利用上一问的结论，得到解：(1)由余弦定理（2）由6.在中，，，，则( )A．4B．C．D．【答案】D【解析】解：因为在中，，，，因此B=450利用正弦定理可知选D7.在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且。
高中数学训练题及解析正弦定理和余弦定理的应用举例
高中数学训练题及解析——正弦定理和余弦定理的应用一、选择题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β之间的关系是( ) A ．α>β B ．α＝β C ．α＋β＝90° D ．α＋β＝180° 答案 B2．如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，图中所标的数据a ，b ，c ，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( )A ．c 和aB ．c 和bC ．c 和βD ．b 和α 答案 D3．已知A 、B 两地的距离为10 km ，B 、C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为( )A ．10 km B. 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km 答案 D解析 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°＝102＋202＋2×10×20×12＝107(km)．4．某人在山外一点测得山顶的仰角为42°，沿水平面退后30米，又测得山顶的仰角为39°，则山高为(sin42°≈0.6691，sin39°≈0.6293，sin3°≈0.0523)( )A ．180米B ．214米C ．242米D ．266米 答案 C 解析∵∠BCA ＝42°，∠BDA ＝39°，∴∠DBC ＝3°.在△BDC 中，DC ＝30，DC sin3°＝BCsin39°，∴BC ＝30·sin39°sin3°.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin42°＝30·sin39°·sin42°sin3°＝242.5．在200 m 高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( ) A.4003 m B.40033mC.20033 mD.2003 m答案 A 解析在Rt △BAC 中∠ABC ＝30°，AB ＝200，∴BC ＝AB cos30°＝40033，∵∠EBD ＝30°，∠EBC ＝60°，∴∠DBC ＝30°，∠BDC ＝120°，在△BDC 中，DC sin30°＝BCsin120°，∴DC ＝BC ·sin30°sin120°＝40033×1232＝4003(m)．6．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为________千米．( )A ．1B ．2sin10°C ．2cos10°D ．cos20° 答案 C 解析由题意知DC ＝BC ＝1，∠BCD ＝160°， ∴BD 2＝DC 2＋CB 2－2DC ·CB ·cos160° ＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°) ＝2＋2cos20°＝4cos 210°， ∴BD ＝2cos10°. 二、填空题7．(2010·潍坊质检)已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A 、B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________km.答案 6－1解析 如图，由题意可得，∠ACB ＝120°，AC ＝2，AB ＝3.设BC ＝x ，则由余弦定理可得：AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC cos120°，即32＝x 2＋22－2×2x cos120°，整理得x 2＋2x ＝5，解得x ＝6－1.8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．答案 17500解析 连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理得： OC 2＝1002＋1502－2·100·150·cos60°＝17500.9．(2011·沧州七校联考)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗．答案 0.6解析 在△BCD 中，∠BDC ＝45°，∠CBD ＝30°，CD ＝106，由正弦定理，得BC ＝CD sin45°sin30°＝203；在Rt △ABC 中，AB ＝BC sin60°＝203×32＝30(米)． 所以升旗速度v ＝AB t ＝3050＝0.6(米/秒)．三、解答题10．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为126n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为83n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°.求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解析 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∴∠B ＝45°，由正弦定理得AD sin ∠B ＝ABsin ∠ADB，即AD ＝AB sin∠Bsin∠ADB＝126×2232＝24(n mile)．(2)在△ACD中，∵AC＝83，∠CAD＝30°，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos∠CAD＝242＋(83)2－2×24×83cos30°＝192.即CD＝83≈14(n mile)．因此A处与D处的距离为24 n mile，灯塔C与D处的距离约为14 n mile.11.如图，港口B在港口O正东方120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向、港口B 北偏西30°方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度驶离港口O.一艘快船从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间要1小时，问快艇驶离港口B后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？解析设快艇驶离港口B后，最少要经过x小时，在OA上点D处与考察船相遇，连结CD，则快艇沿线段BC、CD航行．在△OBC中，∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，∴∠BCO＝90°.又BO＝120，∴BC＝60，OC＝60 3.∴快艇从港口B到小岛C需要1小时．在△OCD中，∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x－2)．由余弦定理，得CD2＝OD2＋OC2－2OD·OC·cos∠COD.∴602(x－2)2＝(20x)2＋(603)2－2·20x·603·cos30°.解得x＝3或x＝38.∵x>1，∴x＝3.答：快艇驶离港口B后最少要经过3小时才能和考察船相遇．12.(2010·陕西卷)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？答案 救援船到达D 点需要1小时．解析 由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB 中，由正弦定理得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB，∴DB ＝AB ·sin ∠DABsin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin45°sin105°＝5(3＋3)·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝53(3＋1)3＋12＝103(海里)，又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)， 在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．答：救援船到达D 点需要1小时．注：如果认定△DBC 为直角三角形，根据勾股定理正确求得CD ，同样给分．。
(2021年整理)正弦定理、余弦定理练习题
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正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题，题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A：sin B:sin C=3:2:4，那么cos C的值为A.- B。
C.— D.2。
在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°，则满足此条件的三角形的个数是A.0B。
1 C。
2 D。
无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形 D。
等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2—1和2x+1（x＞1），则最大角为A。
正弦定理和余弦定理练习
正弦定理和余弦定理班级_________ 姓名___________ 学号________ 得分_________一、选择题1. 在厶ABC 中，已知b = 4 丿3, c= 2 J3，/ A = 120° 贝V a 等于............... .()A . 2丁21B . 6 C. 2姑或6 D . 2«156*22. 在△ ABC 中，已知三边a、b、c 满足(a + b+ c)(a+ b-c) = 3ab,则/ C 等于…..( )A . 15°B. 30°C. 45°D. 60°3 .已知在△ ABC中，si nA : si nB : si nC = 3 : 5 : 7 那么这个三角形的最大角是•••()A . 135°B . 90°C . 120°D . 150°4 . 在△ ABC 中，若c4-2(a2+ b2)c2+ a4+ a2b2+ b4= 0,则/ C 等于................. .( )A . 90°B . 120°C . 60°D . 120° 或60°5.已知A、B、C是厶ABC的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为................ •••()A . sin2A= sin2B + sin2C + 2sinBsinCcos(B + C)B . si n2B= sin2A + sin2C + 2si nAsi nCcos(A + C)C . si n2C= si n2A + sin 2B-2si nAsi nBcosCD . si n2(A + B)= si n2A+ sin 2B-2si nBsi nCcos(A+ B)6* .在厶ABC 中，AB= 5, BC = 7, AC = 8,贝U AB BC 的值为 ...................... ( )A . 79B . 69C . 5D . -5二、填空题7.已知△ ABC中，A= 60°最大边和最小边是方程X2-9X+ 8 = 0的两个正实数根，那么BC边长是 ________ .13&在厶ABC中，已知a= 7, b= 8, cosC= 14，则最大角的余弦值是___________________ .a b9.在厶ABC 中，/ C = 60° a、b、c 分别为/ A、/ B、/ C 的对边，则b c a c = ____________________ ._ _9_10* .在厶ABC 中，若AB = <5 , AC= 5,且cosC = 10，贝U BC= _______________ .三、解答题11.已知a= 3^3 , c= 2, B= 150° 求边b 的长及S^ .Ab c 912 .在△ ABC 中，cos 2 22c10 , c = 5,求厶ABC 的内切圆半径a 、b 、c 和面积S 满足S = a 2-(b-c)2,且b + c = 8,求S 的最大值.14* .已知a 、b 、c ABC 的三边，且 内角. § 1.1.2正弦定理和余弦定理参考答案13.已知△ ABC 的三边长a 2-a-2b-2c = 0, a + 2b-2c + 3= 0,求这个三角形的最大一、 选择题A D C D D D二、 填空题1J--------7.呵'57& - 79. 1 10. 4 或 5三、 解答题- _ <111.解:b 2= a 2 + c 2-2accosB = (3、3 )2+ 22-2 2 3 2 (- 2 ) = 49.b = 7,1 1S A = 2 acsinB = 2 X3 ■■- 3 >2 x 2 =b 2c 2a 2△ ABC 的内切圆半径 r = 2 (b + a-c) = 1.12.解：Ic = 5,2c10 b = 4又 cos 2 22ccosA = c 又 cosA = 2bcb 22c2bca 2cb 2 +c 2-a 2 = 2b 2： a 2+ b 2= c 2△ ABC 是以角 C 为直角的三角形.a = ■ c 13.解：IS = a 2-(b-c)2又S =2 bcsinA 「. 2 bcsinA = a 2_(b_c)2b 2c 2a 22bc4 (4-sinA)：cosA = 4 (4-sinA)「.sinA = 4(1-cosA)A Acos — 2sin 2 8 si n 2 2 •••tan 24 •. sinA =—A2ta n 2_2A 1 tan -28171S bC si nA2 S 4 (b c)2 17 4—bc 17 64 6417c = b = 4 时, S 最大为171 cos A14•解：T a2-a-2b-2c= 0, a+ 2b-2c+ 3 = 0由上述两式相加，相减可得1 1c= 4 (a2+ 3), b= 4 (a-3)(a + 1)c-b = 2(a+ 3)a+ 3 > 0,「. c> bc-a= 4 (a2+ 3)-a= 4(a2-4a+ 3) = 4 (a-3)(a-1)1b= 4 (a-3)(a + 1) >0,「. a> 314 (a-3)(a-1) > 0c> ac边最大，C为最大角a2b2c2cosC= 2ab2 1 2 2 1 2 2a2^(a 3)2(a 1)2未(『3)211 22a -(a 3)(a 1) 24•••△ ABC的最大角C为120°。
第3章 第7节 正弦定理、余弦定理应用举例 Word版含答案
图3-7-2图3-7-6第3章 第7节 正弦定理、余弦定理应用举例[考纲传真] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水 平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角． (如图3-7-1①)．2．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α (如图3-7-1②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎡⎦⎤0，π2.( ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )(4)如图3-7-2，为了测量隧道口AB 的长度，可测量数据a ，b ，γ进行计算．( )2．海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B 望C 和A 成75°视角，则BC 等于( ) A ．10 3 n mile B ．1063n mile C ．5 2 n mile D ．5 6 n mile 3．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°4．如图3-7-3，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点．在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔的高度是( )A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 m5．如图3-7-4，已知A ，B 两点分别在河的两岸，某测量者在点A 所在的河岸边另选定一点C ，测得AC ＝50 m ，∠ACB ＝45°， ∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( )A ．50 3 mB ．25 3 mC ．25 2 mD ．502 m如图3-7-567°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)[变式训练1] 江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距如图3-7-6测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝______m.[变式训练2] 如图3-7-7，从某电视塔CO 的正东方向的A 处，测得塔顶的仰角为 图3-7-7图3-7-5图3-7-4图3-7-3 ① ② 图3-7-160°，在电视塔的南偏西60°的B处测得塔顶的仰角为45°，AB间的距离为35米，则这个电视塔的高度为________米．A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多长时间？[变式训练3]如图3-7-8，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．课时分层训练(二十三) 正弦定理、余弦定理应用举例A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．如图3-7-9所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．a km B．3a km C.2a km D．2a km2．如图3-7-10，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里4．如图3-7-11，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A．8 km/h B．6 2 km/hC．234 km/h D．10 km/h5．如图3-7-12，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A．30°B．45°C．60°D．75°图3-7-13图3-7-12图3-7-11图3-7-10图3-7-9图3-7-8图3-7-17 二、填空题6．在地上画一个∠BDA ＝60°，某人从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点B ，则B 与D 之间的距离为___ ___米．7．如图3-7-13，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米.8．如图3-7-14所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处， 又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．三、解答题9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A ，B ，且AB 长为80米，当航模在C 处时，测得∠ABC ＝105°和∠BAC ＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D 处，测得∠BAD ＝90°和∠ABD ＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保留根号)10．如图3-7-16，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 ( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m2．如图3-7-17，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.3．已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山顶各有一个发射塔A ，B ，塔顶A ，B 的海拔高度分别为AM ＝100米和BN ＝200米，一测量车在小山M 的正南方向 的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 3米后到达点Q ，在点Q 处测得发射塔顶B 处的仰角为θ，且∠BQA ＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A ，B 之间的距离．第3章 第7节 正弦定理、余弦定理应用举例 图3-7-18图3-7-16图3-7-15图3-7-141．[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．D [如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝60°，∠B ＝75°，∠C ＝45°，∴BC sin 60°＝10sin 45°， ∴BC ＝5 6.]3．B [如图所示，∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴点A 在点B 的北偏西15°.]4．D [设塔高为x m ，则由已知可得BC ＝x m ，BD ＝3x m ，由余弦定理可得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ，即3x 2＝x 2＋5002＋500x ，解得x ＝500(m)．]5．D [因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠B ＝30°.由正弦定理可知AC sin B ＝AB sin C ，即50sin 30°＝AB sin 45°，解得AB ＝50 2 m ．]60 [由AD ＝46 m ，∠ACB ＝30°得AC ＝92 m.在△ABC 中，∠BAC ＝67°－30°＝37°，∠ABC ＝180°－67°＝113°，AC ＝92 m ，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ，得92sin 113°＝BC sin 37°，即92sin 67°＝BC sin 37°，解得BC ＝92sin 37°sin 67°≈60(m)．][变式训练1] 103 [如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝3×30＝103(m)，在△MON 103(m)．]1006 [由题意，在△中，∠＝，∠＝－＝，故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)．] [变式训练2] 521 [如图，可知∠CAO ＝60°，∠AOB ＝150°，∠OBC ＝45°，AB ＝35米．设OC ＝x 米，则OA ＝33x 米，OB ＝x 米．在△ABO 中，由余弦定理， 得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos ∠AOB ，即352＝x 23＋x 2－233x 2·cos 150°，整理得x ＝521，[解]在△ABC 中，AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°.3分 根据余弦定理，可得BC ＝3－2＋22－3－1＝6，由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝26×32＝22，∴∠ABC ＝45°， 因此BC 与正北方向垂直.7分于是∠CBD ＝120°.在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t ＝12，∴∠BCD ＝30°，又CD sin 120°＝BC sin 30°， 即103t 3＝6，得t ＝610.∴当缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花610小时.12分 [变式训练3] [解] 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.4分由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC⇒sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.8分 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277. 由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114.12分 课时分层训练(二十三) 正弦定理、余弦定理应用举例A 组 基础达标1．B [在△ABC 中，AC ＝BC ＝a ，∠ACB ＝120°，∴AB 2＝a 2＋a 2－2a 2cos 120°＝3a 2，AB ＝3a .]2．D [由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.]3．A [如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)．] 4．B [设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎫110v 2＝⎝⎛⎭⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.] 5．B [依题意可得AD ＝2010(m)，AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝3052＋20102－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22， 又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.]6．16 [如图所示，设BD ＝x m ，则142＝102＋x 2－2×10×x ×cos 60°，整理得x 2－10x －96＝0，x ＝－6(舍去)，x ＝16，∴x ＝16(米)．]7．106 [在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB BC，AB ＝BC tan 60°＝106(米)．] 8．63 [由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°，由正弦定理得AC sin B ＝AB sin ∠ACB， 所以AC ＝AB ·sin B sin ∠ACB＝20×sin 60°sin 45°＝106，所以海轮航行的速度为10630＝63(海里/分钟)．] 9．[解] 在△ABD 中，∵∠BAD ＝90°，∠ABD ＝45°，∴∠ADB ＝45°，∴AD ＝AB ＝80，∴BD ＝80 2.3分在△ABC 中，BC sin 30°＝AB sin 45°，∴BC ＝AB sin 30°sin 45°＝80×1222＝40 2.6分 在△DBC 中，DC 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BC cos 60°＝(802)2＋(402)2－2×802×402×12＝9 600. ∴DC ＝406，航模的速度v ＝40620＝26米/秒. 12分 10．[解] (1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.3分在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC 2＝14海里/小时.7分 (2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°，9分 即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.12分 B 组 能力提升1．A [设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m ．]2．150 [根据图示，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中，MN AM ＝sin 60°，∴MN ＝1003×32＝150(m)．] 3．[解] 在Rt △AMP 中，∠APM ＝30°，AM ＝100，∴PM ＝1003，连接QM (图略)，在△PQM 中，∠QPM ＝60°，3分又PQ ＝1003，∴△PQM 为等边三角形，∴QM ＝100 3.6分 在Rt △AMQ 中，由AQ 2＝AM 2＋QM 2，得AQ ＝200.在Rt △BNQ 中，tan θ＝2，BN ＝200，∴BQ ＝1005，cos θ＝55.9分在△BQA 中，BA 2＝BQ 2＋AQ 2－2BQ ·AQ cos θ＝(1005)2，∴BA ＝100 5. 即两发射塔顶A ，B 之间的距离是1005米.12分。
高一数学正余弦定理及其应用 试题
高一数学正余弦定理及其应用人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 正余弦定理及其应用【典型例题】[例1] 在ABC ∆中，2,6,45==︒=∠BC AB A ，试解该三角形。
解法一：由正弦定理，得2345sin 26sin =︒=C 因3226sin =⨯=⋅A AB 6,2==AB BC 由623<<，那么有二解，即︒=∠60C 或者︒=∠120C︒=︒-︒-︒=∠754560180B 或者︒=︒-︒-︒=∠1545120180B故13sin sin +=⇒⋅=AC B ABCAC 或者13-=AC ，︒=∠︒=∠15,120B C ︒=∠︒=∠75,60B C解法二：令AC=b ，那么由余弦定理222245cos 62)6(=︒-+b b1302322±=⇒=+-b b b又C b b cos 222)6(222⋅-+=︒=∠±=⇒60,21cos C C 或者︒=∠120C︒=︒+︒-︒=∠⇒75)6045(180B 或者︒=︒+︒-︒=∠15)12045(180B[由0sin ≠，故︒=⇒=6021cos A A由213+=c b ，可设 k c k b 2,)13(=+=，由余弦定理，得k a k k k a 6)13(24)13(22222=⇒+-++=由正弦定理CcA a sin sin =得 226232sin sin =⋅==kk a A c C 由b c <那么C 是锐角，故︒=--︒=︒=75180,45C A B C[例3] 在ABC ∆中，假设4,5==b a 且3231)cos(=-B A ，求这个三角形的面积。
解法一：由余弦定理得c c bc a c b A 892cos 2222-=-+=cc ac b c a B 1092cos 2222+=-+=由正弦定理得：B A B A sin 45sin sin 4sin 5=⇒= 3231)cos 1(4510989222=-++⋅-⇒B c c c c3231])109(1[4580812224=+-+-c c cc 63632318016282222=⇒=⇒=-⇒c c cc 故1694893689cos 2=-=-=c c A 7165sin =A 4715sin 21=⋅⋅=∆A c b S ABC 解法二：如图，作B A CAD -=∠，AD 交BC 于D ，令x CD = 那么由5=a 知，x AD x BD -=-=5,5，在CAD ∆中由余弦定理3231)5(84)5()cos(222=--+-=-x x x B A化简得199=⇒=x x ，在CAD ∆中由正弦定理)sin(4)sin(sin )sin(sin B A B A CDADC B A CD C AD -=-⋅=⇒-=783)(cos 142=--=B A74158735421sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=∆C BC AC S ABC[例4] 在ABC ∆中，A 、B 、C 成等差数列，且B C A 2cos sin sin =，34=∆ABC S ，求三边a 、b 、c 。
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§4.7正弦定理、余弦定理应用举例
(时间：45分钟满分：100分)
一、选择题(每小题7分，共35分)
速度是每小时( )
A．5海里 B．53海里 C．10海里 D．103海里
3．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜
角改为10°，则斜坡长为( )
A．1 B．2sin 10° C．2cos 10° D．cos 20°
4．(2010·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2 －b2＝3bc，sin C ＝23sin B，则A等于( )
8．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且a ＝1，b＝3，则S△ABC＝______.
9．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且3a＝2c sin A，则角C＝________.
三、解答题(共41分)
10．(13分)在△ABC 中，已知cos A ＝35
. (1)求sin 2A 2
－cos(B ＋C )的值； (2)若△ABC 的面积为4，AB ＝2，求BC 的长．
11．(14分)如图所示，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，船向正南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°方向，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东45°方向，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？
12．(14分)(2010·陕西)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点
北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西
60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，
其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？
答案 1．A 2.C 3.C 4.A 5.C
6．30 2 7．2＋ 5 8.
32 9.π3 10．解 (1)sin 2A 2－cos(B ＋C )＝1－cos A 2＋cos A ＝1－352＋35＝45
. (2)在△ABC 中，∵cos A ＝35，∴sin A ＝45
. 由S △ABC ＝4，得12
bc sin A ＝4，得bc ＝10.∵c ＝AB ＝2，∴b ＝5. ∴BC 2＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52＋22－2×5×2×35
＝17.∴BC ＝17. 11．解 在△ABC 中，BC ＝30，∠B ＝30°，
∠ACB ＝180°－45°＝135°，所以∠A ＝15°.
由正弦定理，得BC
sin A ＝AC sin B ，即30sin 15°＝AC sin 30°， 所以AC ＝30sin 30°sin 15°＝15(6＋2)． 所以A 到BC 的距离为AC ·sin 45°＝15(6＋2)×
22
＝15(3＋1)≈15×(1.732＋1)＝40.98(海里)．
这个距离大于38海里，所以继续向南航行无触礁的危险．
12．解 由题意知AB ＝5(3＋3)海里，
∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB 中，由正弦定理，得
DB sin∠DAB ＝AB sin∠ADB ， ∴DB ＝
AB ·sin∠DAB sin∠ADB ＝5(3＋3)·sin 45°sin 105° ＝5(3＋3)·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝53(3＋1)3＋1
2
＝103(海里)． 又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，
BC ＝203(海里)，
在△DBC 中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC
＝300＋1 200－2×103×203×12＝900， ∴CD ＝30(海里)，
∴需要的时间t ＝3030
＝1(小时)．故救援船到达D 点需要1小时．。