2020年浙江省湖州中学高考数学模拟试卷(3月份)答案解析
浙江省湖州中学2020届高三下学期3月月考(网测)数学试题 Word版含解析
又全集为 ，所以
故选：C
【点睛】本题考查解二次不等式和求集合的补集，属于基础题.
2.已知双曲线 的离心率 ，其中一个焦点的坐标为 ，则该双曲线 的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一个焦点为 可得到 ，再由离心率 ，可得到 的值，然后根据 可求出双曲线的方程.
【详解】由正三棱锥的三视图可知：
该正三棱锥的底面边长为3，高为4.
所以该三棱锥的体积为：
故选：A
【点睛】本题考查利用三视图求原三棱锥的体积,属于基础题.
4.若 是定义在 上的函数，则“ 是奇函数”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得 ， ，再分别求出 ， 的分布列，分别求出 ， 的期望和方差，从而得到答案.
【详解】根据题意可得 ，
,
所以 的分布列为：
0
1
,
所以 的分布列为：
0
1
则 ,
所以 ，
故选：B
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望、方差，属于中档题.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将条件变形为 ，可求出答案.
【详解】由实数 ， 满足 且 .
两边同时除以 ，有： .
所以 ，即 或 .
故选：C
【点睛】本题考查不等式的性质和解二次型不等式，变形是关键，属于中档题.
8.已知甲、乙两个盒子中分别装有两种大小相同的动物玩具，甲盒中有2只熊猫，1只狗；乙盒中有1只熊猫，2只狗.现从甲乙两个盒中各取走一个动物玩具，再从甲乙两个盒子中各取走一个动物玩具.此时记甲盒中的熊猫只数为 ，乙盒中的熊猫只数为 ，则（ ）
浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷及解析word版
浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U＝R，集合A={x|x＜32}，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（）A．[32，+∞)B．(−∞，1]∪[32，+∞)C．(1，32)D．(−∞，32)2．已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z等于（）A．1−7i3B．1+7i3C．1−7i5D．1+7i53．若双曲线x2m−y2=1的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．y=±√33x B．y=±√3x C．y=±√55x D．y=±√5x4．已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直5．等差数列{a n}的公差为d，a1≠0，S n为数列{a n}的前n项和，则“d＝0”是“S2nS n∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P13a b c其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)=19，则D（ξ）＝（）A．181B．29C．89D．80817．若存在正实数y，使得xyy−x =15x+4y，则实数x的最大值为（）A．15B．54C．1D．48．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85B ．95C ．2040D ．22809．已知三棱锥P ﹣ABC 的所有棱长为1．M 是底面△ABC 内部一个动点（包括边界），且M 到三个侧面P AB ，PBC ，P AC 的距离h 1，h 2，h 3成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（ ）A ．α＝βB ．β＝γC ．α＜βD ．β＜γ10．已知|2a →+b →|=2，a →⋅b →∈[−4，0]，则|a →|的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．[12，1]C ．[1，2]D ．[0，2]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若α∈(0，π2)，sinα=√63，则cosα＝ ，tan2α＝ ．12．一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是 ，剩余部分表面积是 ．13．若实数x ，y 满足{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4，若3x +y 的最大值为7，则m ＝ ．14．在二项式(√x +1ax 2)5(a ＞0)的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是 ．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *，则a 2＝ ，S 5＝ ． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a cos B ＝b cos A ，∠A =π6，边BC 上的中线长为4．则c ＝ ；AB →⋅BC →= ．17．如图，过椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右焦点F1，F2分别作斜率为2√2的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[−π4，π2]上的最大值和最小值．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．（15分）已知等比数列{a n}（其中n∈N*），前n项和记为S n，满足：S3=716，log2a n+1＝﹣1+log2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．21．（15分）已知抛物线C：y=12x2与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求△P AB面积的最小值．22．（15分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：f(x1)−f(x2)＜12．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【详解详析】∵U＝R，A={x|x＜32}，B＝{y|y＞1}，∴A∩B=(1，32)，∴∁U(A∩B)=(−∞，1]∪[32，+∞)．故选：B．2．【详解详析】∵z=3+i1−2i =(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=15+75i，∴z=15−75i．故选：C．3．【详解详析】双曲线x2m−y2=1的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4．【详解详析】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误． 故选：B ．5．【详解详析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和， “d ＝0”⇒“S 2n S n∈Z ”，当S2nS n∈Z 时，d 不一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，S 6S 3=1+3+5+7+9+111+3+5=4，d ＝2，故d ＝0”是“S 2n S n∈Z ”的充分不必要条件．故选：A ．6．【详解详析】∵a ，b ，c 成等差数列，E （ξ）=19， ∴由变量ξ的分布列，知：{a +b +c =232b =a +c (−1)×13+b +2c =19，解得a =13，b =29，c =19，∴D （ξ）＝（﹣1−19）2×13+（0−19）2×13+（1−19）2×29+（2−19）2×19=8081．故选：D ．7．【详解详析】∵xyy−x =15x+4y ， ∴4xy 2+（5x 2﹣1）y +x ＝0， ∴y 1•y 2=14＞0， ∴y 1+y 2=−5x 2−14x ≥0，∴{5x 2−1≥0x ＜0，或{5x 2−1≤0x ＞0， ∴0＜x ≤√55或x ≤−√55①， △＝（5x 2﹣1）2﹣16x 2≥0， ∴5x 2﹣1≥4x 或5x 2﹣1≤﹣4x ， 解得：﹣1≤x ≤15②，综上x 的取值范围是：0＜x ≤15；x的最大值是15，故选：A．8．【详解详析】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法；故选：C．9．【详解详析】依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3则d1＝sinℎ1θ，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ=2√23，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，故选：D．10．【详解详析】选择合适的基底．设m →=2a →+b →，则|m →|=2，b →=m →−2a →，a →⋅b →=a →⋅m →−2a →2∈[−4，0]， ∴（a →−14m →）2=a →2−12a →•m →+116m →2≤8+116m →2 |m →|2=m →2＝4，所以可得：m→28=12，配方可得12=18m →2≤2(a →−14m →)2≤4+18m →2=92，所以|a →−14m →|∈[12，32]， 则|a →|∈[0，2]． 故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．【详解详析】∵α∈(0，π2)，sinα=√63， ∴cosα=√1−sin 2α=√33，tanα=sinαcosα=√2，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=√21−(√2)2=−2√2．故答案为：√33，﹣2√2．12．【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体为长方体切去一个角．故：V =2×1×1−13×12×2×1×1=53．所以：V 1V =532=56．S ＝2（1×2+1×2+1×1）−12(1×2+1×2+1×1)+12×√2×√2=9．故答案为：56，9．13．【详解详析】作出不等式组{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4对应的平面区域如图：（阴影部分）．令z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ， 平移直线y ＝﹣3x +z ， 由图象可知当3x +y ＝7．由 {3x +y =7y =4，解得 {x =1y =4，即B （1，4），同时A 也在2x ﹣y +m ＝0上， 解得m ＝﹣2x +y ＝﹣2×1+4＝2． 故答案为：2．14．【详解详析】∵二项式(√x +1ax2)5(a ＞0)的展开式的通项公式为 T r +1=C 5r •(1a)r•x5−5r 2，令5−5r 2=−5，求得r ＝3，故展开式中x﹣5的系数为C 53•(1a )3；令5−5r 2=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 C 51•1a =5a ， 由为C 53•(1a )3=5•1a ，可得a =√2，故答案为：√2．15．【详解详析】∵数列{a n }的前n 项和为S n ．S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *， ∴a 2＝3a 1+2，且a 1+a 2＝6，解得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝3S 2+2＝3（1+5）+2＝20， a 4＝3S 3+2＝3（1+5+20）+2＝80， a 5＝3（1+5+20+80）+2＝320， ∴S 5＝1+5+20+80+320＝426． 故答案为：5，426．16．【详解详析】由a cos B ＝b cos A ，及正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A =π6，所以由正弦定理可得c =√3a ，由余弦定理得16＝c 2+（a2）2﹣2c •a2•cos π6，解得c =8√217；可得a =8√77，可得AB →⋅BC →=−ac cos B =−8√77×8√217×√32=−967．故答案为：8√217，−967． 17．【详解详析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S △BOF 2=S△B′OF 1，则有S 1S2=|y A ||y B 1|=75，所以y A =−75y B 1．将直线AB 1方程x =√2y4−c ，代入椭圆方程后，{x =√24y −c x 2a 2+y 2b 2=1，整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣4√2b 2cy +8b 4＝0， 由韦达定理解得y A +y B 1=4√2b 2cb 2+8a 2，y A y B 1=−8b 4b 2+8a 2，三式联立，可解得离心率e =ca =12． 故答案为：12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【详解详析】（1）f （x ）＝sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1 所以最小正周期为π． 因为当π2+2kπ≤2x +π4≤3π2+2kπ时，f （x ）单调递减．所以单调递减区间是[π8+kπ，5π8+kπ]．（2）当x ∈[−π4，π2]时，2x +π4∈[−π4，5π4]，当2x +π4=π2函数取得最大值为√2+1，当2x +π4=−π4或5π4时，函数取得最小值，最小值为−√22×√2+1＝0．19．【详解详析】（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1， 根据已知条件易得AB 1⊥A 1B ，由A 1C 1⊥面ABB 1A 1，得AB 1⊥A 1C 1， A 1B ∩A 1C 1＝A 1，以AB 1⊥平面A 1BC 1；（2）以A 1B 1，A 1C 1，A 1A 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，设AB ＝a ， 则A （0，0，a ），B （a ，0，a ），C 1(0，a ，0)，D(a3，2a 3，0)，所以AD →=(a3，2a 3，−a)，设平面A 1BC 1的法向量为n →，则n →=(1，0，−1)， 可计算得到cos ＜AD →，n →＞=2√77，所以AD 与平面A 1BC 1所成的角的正弦值为2√77． 20．【详解详析】（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ， ∵log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ， ∴log 2a n+1−log 2a n =log 2a n+1a n=−1，∴q =a n+1a n =12．由S 3=716，得a 1[1−(12)3]1−12=716，解得a 1=14．∴数列{a n }的通项公式为a n =12n+1．（2）由题意，设b n ＝a n •log 2a n ，则b n =−n+12n+1． ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n =−(222+323+⋯+n+12n+1) 故−T n =222+323+⋯+n+12n+1，−T n2=223+⋯+n2n+1+n+12n+2．两式相减，可得−T n2=12+123+⋯+12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2．∴T n=n+32n+1−32．21．【详解详析】（1）由y=12x2求导得y′＝x，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1=12x12，y2=12x22则k P A＝x1，P A：y﹣y1＝x1（x﹣x1），设P（x0，kx0﹣1），代入P A直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，PB直线方程同理，代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；（2）直线l方程与抛物线方程联立，得到x2﹣2kx+2＝0，由于无交点解△可得k2＜2．将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入y=12x2，得12x2−xx0+kx0−1=0，所以△=x02−2kx0+2＞0，|AB|=2√1+x02√△，设点P到直线AB的距离是d，则d=02√1+x02，所以S△PAB=12|AB|d=(x02−2kx0+2)32=[(x0−k)2+2−k2]32，所以面积最小值为(2−k2)32．22．【详解详析】（1）求导得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．∵g′(x)=1x −2a=1−2axx．当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x=12a，所以x∈(0，12a )，g′(x)＞0，g(x)单调递增，x∈(12a，+∞)，g′(x)＜0，g(x)单调递减．所以x=12a 是g（x）的极大值点，则g(12a)＞0，解得0＜a＜12；（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜12a＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以x1＜1＜12a＜x2，从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．所以f(x1)＜f(1)=−a＜0，f(x2)＞f(1)=−a＞−1，2．所以f(x1)−f(x2)＜12。
2020年高考模拟试卷浙江省高考数学全真模拟试卷(3月) 含解析
2020年高考模拟高考数学全真模拟试卷（3月份）一、选择题1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．124．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．76．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣28．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0] 10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．12．设函数，，则函数的最小值为；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是，含x2项的系数是．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}【分析】根据全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，∴∁U A＝{3，4}，则（∁U A）∪B＝{2，3，4}，故选：C．2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，作出二面角B﹣PA﹣C的平面角，设PE＝a，求解直角三角形得到EG、EF、FG的长度，再由余弦定理得答案．解：如图，在PA上任取一点E，在平面APB内过E作EF⊥PA交PB于F，在平面APC内过E 作EG⊥PA交PC于G，连接GF，设PE＝a，在Rt△PEG中，∵∠EPG＝60°，∴PG＝2a，GE＝a，同理求得PF＝2a，EF＝a，则GF＝2a，在△FGE中，由余弦定理得：cos∠FEG＝＝．故选：C．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．12【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S＝×（2+4）×2＝6，棱柱的高为1，故棱柱的体积V＝6．故选：C．4．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）【分析】根据分段函数的表达式，先得到x＝0是f（x）与y＝ax的一个根，利用参数分离法构造函数h（x），得到h（x）与y＝a有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．解：当x＞0时，由f（x）＝ax得2x2lnx＝ax，得a＝2xlnx，当x≤0时，由f（x）＝ax得﹣x3﹣4x2＝ax，此时x＝0是方程的一个根，当x≠0时，a＝﹣x﹣4x，设h（x）＝，当x＞0时，h′（x）＝2lnx+2x＝2lnx+2＝2（1+lnx），由h′（x）＞0得1+lnx＞0得lnx＞﹣1，得x＞此时函数为增函数，由h′（x）＜0得1+lnx＜0得lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数为减函数，即当x＝时，h（x）取得极小值h（）＝2×ln＝﹣，当x＜0时，h（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，作出h（x）的图象如图：要使f（x）与直线y＝ax有四个不同的公共点，等价为h（x）与y＝a有3个不同的交点，则a满足﹣＜a＜0或0＜a＜4，即实数a的取值范围是（﹣，0）∪（0，4），故选：D．5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．7【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x﹣y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．解：不等式组表示的平面区域如图所示，由解得A（2，1）当直线z＝3x﹣y过点A（2，1）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值5．故选：C．6．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．【分析】先求得x的值，然后计算出EX，再利用方差公式求解即可．解：根据随机变量分布列的性质，知0.4+0.1+x＝1，所以x＝0.5，EX＝0.4+0.3+2.5＝3.2，DX＝2.22×0.4+0.22×0.1+1.82×0.5＝3.56，故选：A．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣2【分析】P（a，b）点在双曲线上，则有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．根据点到直线的距离公式能够求出a﹣b的值，注意a＞b，从而得到a+b的值．解：∵P（a，b）点在双曲线上，∴有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．∵A（a，b）到直线y＝x的距离为，∴d＝＝，∴|a﹣b|＝2．又P点在右支上，则有a＞b，∴a﹣b＝2．∴a+b＝，故选：B．8．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．【分析】首先利用关系式的两边取对数求出数列的通项公式，进一步得到数列为等差数列，最后求出结果．解：数列{a n}满足，两边取对数得到，整理得a n+1﹣a n＝2（常数），所以数列{a n}是以2为公差的等差数列．则a2+a4+a6＝3a4＝9，整理得a4＝3，所以a7＝a4+2（7﹣4）＝3+6＝9，故a5+a7+a9＝3a7＝27，所以．故选：C．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0]【分析】可设n≤x＜n+1，从而得出[x]＝n，先可得出﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n，从而可求出[x]﹣x的范围，即得出f（x）的值域．解：设n≤x＜n+1，则[x]＝n；∴﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n；∴﹣1＜[x]﹣x≤0；∴f（x）的值域为（﹣1，0]．故选：D．10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．【分析】利用余弦定理可得AC，cos B，再利用三角形面积计算公式即可得出．解：AC2＝32+42﹣2×3×4cos D＝52+62﹣2×5×6cos B，cos B+cos D＝0．∴AC2＝，∴cos B＝，可得sin B＝＝．∴△ABC的面积S＝×＝．故答案为：．12．设函数，，则函数的最小值为2；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【分析】由已知结合基本不等式可求函数的最小值；由，使得a2﹣a≥f （x）成立，可得a2﹣a≥f（x）min，然后解不等式可求．解：∵，由基本不等式可得，＝2，当且仅当x＝即x＝1时取得最小值2，∵，使得a2﹣a≥f（x）成立，∴a2﹣a≥f（x）min，∴a2﹣a≥2，解不等式可得，a≥2或a≤﹣1，故a的范围为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．故答案为：2；（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是64，含x2项的系数是240．【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝6，再利用二项展开式的通项公式求得含x2项的系数．解：在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是2n＝26＝64，而通项公式为T r+1＝•（﹣1）r 26﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2，求得r＝2，可得含x2项的系数是•24＝240，故答案为：64；240．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是[1，2]；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是﹣2．【分析】①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围．②当x≥0时，设抛物线的方程为y＝ax2+bx+c，求解解析式，根据f（x）是定义域为R的偶函数，可得x＜0的解析式，令y＝1，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值．解：①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，当x∈[﹣1，1]时，值域为x∈[0，1]时相同，可得y的取值范围是[1，2]．②当x≥0时，设抛物线的方程为f（x）＝ax2+bx+c，图象过（0，1），（1，2），（3，﹣2），带入计算可得：a＝﹣1，b＝2，c＝1，∴f（x）＝﹣x2+2x+1，当x＜0时，﹣x＞0．∴f（﹣x）＝﹣x2﹣2x+1即f（x）＝﹣x2﹣2x+1．令y＝1，可得1＝﹣x2﹣2x+1．解得：x＝﹣2．结合图象可得b的最大值为﹣2．故答案为：[1，2]；﹣2．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．【分析】建立坐标系，设A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则||+2||＝CD+2BC，构造相似三角形，设E（1，），可得△AEC∽△ACD，所以||+2||＝CD+2BC＝2（BC+CE）≥2BE＝．解：如图，A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则向量满足||＝，设＝，所以点C为以A为圆心，以为半径的圆上的一点，所以||＝|﹣|＝|CD|，同理2||＝2|BC|，取点E（1，），则，又因∠CAE＝∠DAC，所以△AEC∽△ACD，所以，即CD＝2CE，所以||+2||＝CD+2BC＝2CE+2BC＝2（BC+CE），由三角形的三边关系知2（BC+CE）≥2BE＝2＝2×＝．故填：．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是[﹣1，+∞）【分析】先根据导数和函数的最值得关系，以及f（x）≥1恒成立，可得当a＞0时，b ≥alna﹣a+1，代入≥＝lna+﹣2，构造函数g（a）＝lna+﹣2，a＞0，利用导数求出函数的最值即可解：∵f（x）＝e x﹣ax+b，∴f′（x）＝e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）单调递增，f（x）≥1不恒成立，当a＞0时，令f′（x）＝e x﹣a＝0，解得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna+b，∵f（x）≥1恒成立，∵a﹣alna+b≥1∴b≥alna﹣a+1，∴≥＝lna+﹣2，设g（a）＝lna+﹣2，a＞0∴g′（a）＝﹣＝，令g′（a）＝0，解得a＝1，当a∈（0，1）时，g′（a）＜0，函数g（a）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（a）＞0，函数g（a）单调递增，∴g（a）min＝0+1﹣2＝﹣1，∴≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为6π；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．【分析】设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，然后求解球O的表面积推出最值；四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），利用函数的导数，求解PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．求解即可．解：设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，所以AB⊥PD，又PD⊥AC，所以PD⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，从而球心O的表面积为：＝3π[（x﹣1）2+2]≥6π．四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），则V′＝﹣x2+2x，当0＜x＜2时，V′＞0，当2＜x＜3时，V′＜0，所以V max＝V（2）此时AD＝CD＝2，PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．∵DH＝＝，∴tan∠AHD＝＝．故答案为：6π；．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．【分析】（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），不等式化为m≥﹣2sin2x+sin x；求出g（x）＝﹣2sin2x+sin x，在x∈[0，]的最大值即可；（2）根据三角函数的图象与性质，结合题意列方程和不等式，即可求出ω的最大值．解：（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），则y＝f（x﹣）+f（2x+）＝sin[（x﹣）+]+sin[（2x+）+]＝sin x+cos2x ＝1﹣2sin2x+sin x；不等式f（x﹣）+f（2x+）﹣m≤1，可化为m≥﹣2sin2x+sin x；设g（x）＝﹣2sin2x+sin x，x∈[0，]，则g（x）＝﹣2+，且x∈[0，]时，sin x∈[0，]，所以sin x＝时，g（x）取得最大值是，所以实数m的取值范围是m≥；（2）若，则x＝是f（x）的对称轴，即ω•+φ＝kπ+，k∈Z；又，则﹣ω+φ＝kπ，k∈Z；所以φ＝，ω＝6k+，k∈Z；又f（x）在单调递增，则，解得ω≤2；综上知，ω的最大值是．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．【分析】（I）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，由三角形的中位线定理，易得AE ∥FB1，DE∥B1C，进而由面面平行的判定定理得到平面B1FC∥平面EAD；（II）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，我们可判断出△ABC是正三角形，进而得到AD⊥BC1，DE⊥BC1，结合线面垂直的判定定理即可得到BC1⊥平面EAD．【解答】证明：（Ⅰ）由已知可得AF∥B1E，AF＝B1E，∴四边形AFB1E是平行四边形，∴AE∥FB1，…（1分）∵AE⊄平面B1FC，FB1⊂平面B1FC，∴AE∥平面B1FC；…又D，E分别是BC，BB1的中点，∴DE∥B1C，…∵ED⊄平面B1FC，B1C⊂平面B1FC，∴ED∥平面B1FC；…∵AE∩DE＝E，AE⊂平面EAD，ED⊂平面EAD，…∴平面B1FC∥平面EAD．…（Ⅱ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴C1C⊥面ABC，又∵AD⊂面ABC，∴C1C⊥AD．…又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是BC边中点，∴△ABC是正三角形，∴BC⊥AD，…而C1C∩BC＝C，CC1⊂面BCC1B1，BC⊂面BCC1B1，∴AD⊥面BCC1B1，…故AD⊥BC1．…∵四边形BCC1B1是菱形，∴BC1⊥B1C，…而DE∥B1C，故DE⊥BC1，…由AD∩DE＝D，AD⊂面EAD，ED⊂面EAD，得BC1⊥面EAD．…20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．【分析】（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，由于a1+a2+…+a2013＝0，可得a1007＝0，a1008＝d，对d分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k ＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，再利用绝对值不等式的性质即可得出．解：（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，∵a1+a2+…+a2013＝0，∴＝0，∴a1+a2013＝0，即a1007＝0，∴a1008＝d，当d＝0时，与期待数列的条件①②矛盾，当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a1008+a1009+…+a2013＝，∴1006d+d＝，即d＝，∴a n＝a1007+（n﹣1007）d＝（n∈N*，n≤2013），当d＜0时，同理可得a n＝，（n∈N*，n≤2013）．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，∴2|S k|＝|a1+a2+…+a k|+|a k+1+a k+2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a k|+|a k+1|+…+|a n|＝1，∴|S k|（k＝1，2，…，n）．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．【分析】（1）当|PF|＝2时，利用抛物线的定义，即可求点P的坐标；（2）先求出|AB|，再计算抛物线上点到直线的最大距离，即可求出△PAB的面积的最大值．解：（1）设P（x，y），则y+1＝2，∴y＝1，∴x＝±2，∴P（±2，1）；（2）过F的直线方程为y＝x+1，代入抛物线方程，可得y2﹣6y+1＝0，可得A（2﹣2，3﹣2），B（2+2，3+2），∴|AB|＝•|2+2﹣2+2|＝8．平行于直线l：x﹣y+1＝0的直线设为x﹣y+c＝0，与抛物线C：x2＝4y联立，可得x2﹣4x﹣4c＝0，∴△＝16+16c＝0，∴c＝﹣1，两条平行线间的距离为＝，∴△PAB的面积的最大值为＝4．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）利用导数来求出函数的单调区间．（2）利用导数来求出函数的极值，利用（1）的结论．（3）不等式g（x）≥f（x）恒成立转化为不等式a≥x2+x恒成立，h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，利用导数，求出h（x）的最大值，问题得以解决．解：（1）f（x）＝﹣x3+x2+x+a，f'（x）＝﹣3x2+2x+1，．．．（2）由（1）可知，当时，函数f（x）取得极小值，函数的极小值为当x＝1时，函数f（x）取得极大值，函数的极大值为f（1）＝a+1，（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，即对于任意x∈[0，1]，不等式a≥x2+x恒成立，设h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，则h'（x）＝2x+1，∵x∈[0，1]，∴h'（x）＝2x+1＞0恒成立，∴h（x）＝x2+x在区间[0，1]上单调递增，∴[h（x）]max＝h（1）＝2∴a≥2，∴a的取值范围是[2，+∞）。
精品解析：浙江省湖州中学2020届高三下学期高考模拟测试(二)数学试题(解析版)
浙江省湖州中学2019学年第二学期高三年级高考阶段测试二数学考生须知：全卷分试卷和答卷，满分为120分，考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合2{|14},{|230},=<<=--≤A x x B x x x 则()RA B =（ ）A. [－1，3]B. [－1，1]C. （3，4）D. （1，2）【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合一元二次不等式的求解可得{}13B x x =-≤≤，再由集合的补集、交集运算即可得解. 【详解】由题意{}()(){}{}223031013B x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，{1RA x x =≤或}4x ≥，所以(){}[]111,1RA B x x ⋂=-≤≤=-.故选：B.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 2. 已知i 是虚数单位，则21ii+等于（ ） A. 1 -i B. 1 +iC. - 1 - iD. - 1＋i【答案】B 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简得答案． 【详解】()()()2122211112i i i i i i i i -+===+++-，故选B ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是A. 1cm 3B. 2cm 3C. 3cm 3D. 6cm 3【答案】A 【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于12312131⨯⨯⨯⨯=．4. 若0a b >，，则“”a b > 是“3322abab a b +>+”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分且必要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】 试题分析：3322aba b ab+>+33222()2()()2()abab abaa b bb a a b a b =+--=-+-=-+，显然由“”a b >可以得出“3322a b a b ab +>+”，反之由“3322a b a b ab+>+”，不一定有“”a b >，所以“”a b > 是“3322abab ab+>+”的充分非必要条件.考点：本小题主要考查不等式的性质和充分条件、必要条件的判断.点评：比较大小的常用方法是作差或作商，要灵活运用，要判断充分条件、必要条件，首先要看清谁是条件谁是结论，分清楚是谁能推出谁. 5. 已知a ＞0，x ，y 满足约束条件{13(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y的最小值为1，则a= A.B.C. 1D. 2【答案】B 【解析】【详解】画出不等式组表示的平面区域如图所示：当目标函数z=2x+y 表示的直线经过点A 时，z 取得最小值，而点A 的坐标为（1，2a -），所以221a -=，解得12a =，故选B. 【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.6. 随机变量X 的分布列如表所示，则()D X =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合分布列的性质可得12a =，由离散型随机变量的期望公式可得()E X ，再由方差公式即可得解. 【详解】由题意1111442a =--=，则111()0242424E X =⨯+⨯+⨯=，所以()()()222111()022*******D X =-⨯+-⨯+-⨯=.故选：B.【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列性质的应用及期望、方差的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.7. 把函数()2cos 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移(0)m m >个单位，得到函数()2sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，则m 的最小值是( ) A.724π B.1724π C.524π D.1924π 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式化成同名函数，结合三角函数的图象平移关系进行求解即可． 【详解】解：把函数()2cos 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移(0)m m >个单位， 得到()()2cos 22cos 2244f x x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， ()552sin 22cos 22cos 22cos 232366g x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由52246m k πππ-=-+，得724m k ππ=-+，k Z ∈ 0m >，∴当1k =时，m 最小，此时7172424m πππ=-=， 故选B ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象平移关系以及三角函数的诱导公式进行化简是解决本题的关键．8. 已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，()'()0f x f x x +>，若1()()F x f x x=+，则函数()F x 的零点个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 0或2【答案】A 【解析】令()()()1h x xF x xf x ==+，则()()()h x xf x f x '+'=．故由题设可知当0x >时，()()0,()0xf x f x h x '>'+>，函数()()1h x xf x =+在(0,)+∞上单调递增，且()(0)1h x h >=，即函数()()1h x xf x =+在(0,)+∞内无零点，所以函数1()()F x f x x=+在(0,)+∞内无零点； 当0x <时， ()()0,()0xf x f x h x '<'+<，函数()()1h x xf x =+在(,0)-∞上单调递减，且()(0)1h x h >=，则函数()()1h x xf x =+在(,0)-∞内无零点，即函数1()()F x f x x=+在(,0)-∞内无零点．综合函数1()()F x f x x=+在(,0)-∞与(0,)+∞内均无零点，应选答案A ． 点睛：解答本题的关键是依据题设条件构设函数()()()1h x xF x xf x ==+，然后再借助导数知识判断该函数的单调性，最后再运用分类整合思想推断函数方程中的零点的个数，从而使得问题获解． 9. 已知向量,a b 满足||=2,60a a b 〈〉=︒，，且1()2c a tb t R =-+∈，则||+-c c a 的最小值为（ ）A.4B. 4C. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，可设()=2,0,a OA ==tb BO ，()()1,0,3,0C D --，由向量坐标运算可得c BC =，=c a BD -，可转为在直线3y x =上取一点B ，使得BC BD +最小，利用化曲为直的思想即可得到答案.【详解】由题意知，可设()=2,0,a OA ==tb BO ,因为,60a b 〈〉=︒，则点B 在直线3y x =上，如图，()()1,0,3,0C D --,则()11,02a OC -=-=,12c a tb BO OC BC =-+=+=,3=2c a a tb OD BO BD -=-++=,则||+-c c a BC BD =+的最小值,可转化为在直线3y x =上取一点B ，使得BC BD +最小，作点C 关于直线3y x =的对称点C ',则BC BD +的最小值即为DC ',设点(),C x y '，则131322y x y x ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=⋅⎪⎩，解得1322x y ==-，， 则2213301322C D ⎛⎫⎛⎫'=++--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即最小值为13，故选：D【点睛】本题考查了向量的坐标运算及向量的几何意义，考查了化曲为直的转化思想和数形结合的思想，综合性较强.10. 如图所示，在底面为正三角形的棱台111ABC A B C -中，记锐二面角1A AB C --的大小为α，锐二面角1B BC A --的大小为β，锐二面角1C AC B --的大小为γ，若αβγ>>，则( )A. 111AA BB CC >>B. 111AA CC BB >>C. 111CC BB AA >>D. 111CC AA BB >>【答案】D 【解析】 【分析】利用二面角的定义，数形结合能求出结果．【详解】解：棱台111ABC A B C -的侧棱延长交于点P 过点P 在平面ABC 上的射影为H ，设H 到AB,BC,AC 的距离分别为'HC HA HB ''，，，∵αβγ>>，∴tan tan tan αβγ>>， 则'HA HB HC ＜＜''故H 所在区域如图所示（点D 为ABC 垂心）比较111AA BB CC ，，即比较P A ，PB ，PC ， 即比较HA ，HB ，HC ， 由图可知：HC>HA>HB∴111CC AA BB >> 故选D ．【点睛】本题考查三棱台中三条侧棱长的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．二、填空题：本大题共7小题，共36分.11. 已知53sin ,,1322ππαα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____，cos2=α_____ 【答案】 (1). 717(2). 119169【解析】 【分析】由题意结合同角三角函数的关系可得tan α，再由两角和的正切公式、二倍角的余弦公式即可得解. 【详解】因为53sin ,,1322ππαα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以12cos 13α==-，所以sin 5tan cos 12ααα==-， 所以5tan tan 17412tan 54171tan tan 1412παπαπα+-⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-⋅+； 225119cos212sin 1213169αα⎛⎫=-=-⨯=⎪⎝⎭.故答案为：717；119169. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系、三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.12. 若()5221-x =24100125a a x a x a x ++++，则3a 的值为________；015||||++||=+a a a _____【答案】 (1). 80 (2). 243 【解析】 【分析】由题意结合二项式定理可得()5221-x 展开式通项公式，给r 赋值即可得1a 、3a 、5a ；结合通项公式可得5a 、3a 、1a 为正数、4a 、2a 、0a 为负数，令1x =可得012345a a a a a a +++++，进而可得024a a a ++，即可得解.【详解】由题意二项式()5221-x 展开式的通项公式为()()()5251021552112rrrr r r r r T C xC x ---+=⋅⋅-=-⋅⋅⋅，令1026r -=即2r 可得()5102252665512280rr r r C x C x x ----⋅⋅⋅=⋅⋅=，所以380a =；令1022r -=即4r =可得()5102454225512210rr r r C x C x x ----⋅⋅⋅=⋅⋅=，所以110a =， 令10210r -=即0r =可得()510205010105512232rr r r C x C x x ----⋅⋅⋅=⋅⋅=，所以532a =，所以135108032122a a a ++=++=， 由通项公式可得当0r =、2r、4r =时，()5512rr r C --⋅⋅为正数，即5a 、3a 、1a 为正数；当1r =、3r =、=5r 时，()5512rr r C --⋅⋅为负数，即4a 、2a 、0a 为负数；令1x =则()5012345211a a a a a a -=+++++=， 所以024121a a a ++=-， 所以()()015135024||||++||=122121243a a a a a a a a a +++-++=--=.故答案为：80；243.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，合理转化条件、细心计算是解题关键，属于中档题.13. 已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab +的最小值为_____________. 【答案】14【解析】 【分析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.【详解】由360a b -+=可知36a b -=-， 且：312228aa bb -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立，结合均值不等式的结论可得：3122224ab-+≥==.当且仅当32236a ba b-⎧=⎨-=-⎩，即31ab=-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab+的最小值为14.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．14. 已知14()logf x x=，()26logf x x=，()39logf x x=，若123()()()f n f m f m n==+，则mn=____. 【答案】12+【解析】【分析】设123()()()f n f m f m n t==+=，用含t的式子表示出m、n以及m n+，列出关于t的等式，再运用换元法求解mn的值.【详解】设()469log log logn m m n t==+=，则469tttnmm n⎧=⎪=⎨⎪+=⎩，所以469t t t+=，两边同除以4t得，233122t t⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2331022t t⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3122t±⎛⎫=⎪⎝⎭，又32t⎛⎫>⎪⎝⎭，故3122t+⎛⎫=⎪⎝⎭，所以3122tmn⎛⎫==⎪⎝⎭..【点睛】本题考查对数式的求值问题，其解答的本质是将对数式化为指数式，将问题转化为指数式方程的运算问题，难度一般.15. 设{}1234,,,1,0,2x x x x∈-，那么满足123424x x x x≤+++≤的所有有序数组1234(,,,)x x x x的组数为___________.【答案】45【解析】分类讨论：① 1234||||||||2x x x x +++=，则这四个数为2,0,0,0或1,1,0,0--，有12444610C C +=+=组；② 1234||||||||3x x x x +++=，则这四个数为2,1,0,0-或1,1,1,0---，有11343412416C C C ⨯+=+=组；③ 1234||||||||4x x x x +++=，则这四个数为2,2,0,0或1,1,2,0--或1,1,1,1----，有22144424662119C C C C ++=+⨯+=组；综上可得，所有有序数组()1234,,,x x x x 的组数为10161945++=.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．16. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 向其一条渐近线作垂线l ，垂足为P ，l 与另一条渐近线交于Q 点.若223F Q F P =，则该双曲线的离心率为_______.【解析】 【分析】由题意结合双曲线的性质可设直线l 的方程为()ay x c b =--，联立方程组可得点2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、点22222,a c abc Q a ba b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，再由平面向量的知识可得223abc aba b c -=⋅-，化简后结合双曲线的离心率公式即可得解.【详解】由题意可得该双曲线的渐近线方程为by x a=±，设右焦点()2,0F c ， 不妨令直线l 垂直于直线b y x a =，则直线l 的方程为()ay x c b=--，由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得点22222,a c abc P a b a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因为222+=a b c ，所以点2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得点22222,a c abc Q a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭， 又223F Q F P =，所以223abc ab a b c-=⋅-即()2222223333c a b a c a -=-=--， 所以223c a =，所以该双曲线的离心率c e a ===【点睛】本题考查了双曲线性质的应用及离心率的求解，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.17. 设n *∈N ，n a 为(4)(1)n nx x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t R ∈，122255n a a b ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+5n n na ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦…（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b c -++的最小值为_____【答案】425【解析】利用赋值法，令1x =可得：52n n n a =-，255n n n n na n n ⎡⎤⋅⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 利用数学归纳法证明：()*25nnn n N ⋅<∈，当1n =时，125⨯<成立，假设当n k =时不等式成立，即25k k k ⋅<，当1n k =+时：()()()()1112212222252252225355,k k k k k k k k k k k k k k +++⋅=+⋅=⋅+<+=⋅+⋅<⋅+⋅=据此可知命题()*25nnn n N ⋅<∈成立，则215nn n ⋅<，215n n n n n n ⋅-<-<，2155nn n n na n n n ⎡⎤⋅⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故22n n n b -=， 22()()n n t b c -++的几何意义为点2(,)2n n n -()n ∈*N 到点3(,2)4t t -的距离，如图所示，最小值即(2,1)到324y x =-的距离，由点到直线距离公式可得()()22n n t b c -++的最小值为425.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．三、解答题：本大题共3小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18. 已知向量(cos,1)2x m =-，2(3sin ,cos )22x xn =，设函数()1f x m n =⋅+．（1）若[0,]2x π∈，()1f x =，求x 的值； （2）在△ABC 中，角A ，B ，C的对边分别是,,a b c且满足2cos 2,b A c ≤-求()f B 的取值范围．【答案】（1）3π；（2）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）由题意结合平面向量的数量积运算、三角恒等变换可得1()sin 62f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可得解；（2）由题意结合正弦定理、三角恒等变换可得cos B ≥，进而可得0,6B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由题意21cos ()13cos cos 112222x x x x f x m n x +=⋅+=⋅-+=-+ 111cos sin 2262xx x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为()1f x=，所以sin 612x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以66x ππ-=即3x π=；（2）由2cos 2b A c ≤-可得2sin cos 2sin B A C A ≤， 因为()C A B π=-+，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以()2sin cos 2sin cos cos sin B A A B A B A ≤+2sin cos A A B ≤， 由()0,A π∈可得sin 0A >，所以cos B ≥，所以0,6B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以,066B ππ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，1sin ,062B π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以11()sin 0,622f B B π⎛⎫⎛⎤=-+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. 【点睛】本题考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质及正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.19. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()11.n n a S n N ++=+∈(Ⅰ)求通项公式n a ； (Ⅱ)记12111n n T S S S =++⋯+，求证：31222n n T -≤<． 【答案】(Ⅰ1)?2n n a -=；(Ⅱ)见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)利用等比数列的前n 项和公式和放缩法求出数列的和．【详解】解：(Ⅰ1)1n n a S ①+=+，∴当2n ≥时，11n n a S -=+②，∴-①②得()122n n a a n +=≥，又2112a S =+=，212a a ∴=，∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n n a -∴=；证明：(Ⅱ1)2n n a +=，21n n S ∴=-，2n ≥时，111122n n n S -≤≤，1121111113142112212n n n n T S S S -⎛⎫- ⎪⎝⎭∴=++⋯+≥+=--，同理：11111221221212n n n T -⎛⎫- ⎪⎝⎭≤+=-<-，故：31222n n T -≤<． 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n 项和公式和放缩法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20. 已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>，其左、右焦点分别为12F F 、，上顶点为B ，O 为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P Q 、两点，1sin 3BF O ∠=. （1）若直线l 垂直于x 轴，求12PF PF 的值；（2）若b =l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F E 、关于直线l 成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）设直线1l:y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.【答案】(1)5；(2)不存在；(3)56πα=. 【解析】 试题分析： （1）由题意可得b a =则c =，结合勾股定理可得2PF =，1PF =，则125PF PF =. （2）由题意可得椭圆Γ方程为2236x y +=，且2c =，12F F 、的坐标分别为()()2,02,0-、，由对称性可求得点E 坐标为216,55E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，该点不在椭圆上，则椭圆Γ上不存在满足题意的点E .（3）由题意可得椭圆Γ方程为222330x y b +-=，且c =，2F的坐标为),0，设直线l 的y 轴截距式方程()x my m cot α==，与椭圆方程联立有()22230m y b ++-=，由题意可知点M 是线段PQ的中点，据此计算可得36b m m⎫=-+≥⎪-⎭，当且仅当m =.则直线l 的倾斜角56πα=. 试题解析：（1）因为13sin BFO ∠=，则3b a =，即a =，设椭圆的半焦距为c，则c =，在直角12PF F 中，2222121PF F F PF +=，即()2222242c PF a PF +=-解得22b PF a ==，1PF ∴=，所以125PF PF =. （2）由a =，b =，得a =Γ方程为2236x y +=，且2c =，12F F 、的坐标分别为()()2,02,0-、，直线l 的方程为112y x =-，设点E 坐标为()11,x y ， 则由已知可得：()11112210211222x y y x ⎧+⋅+⋅=⎪⎨-=⋅-⎪⎩，解得1125165x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，而22216772365525⎛⎫⎛⎫-+-=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即点E ()11,x y 不在椭圆Γ上，所以，椭圆Γ上不存在这样的点E ，使得1F E 、关于直线l 成轴对称. （3）由a =，得椭圆Γ方程为222330x y b +-=，且c =，2F的坐标为),0，所以可设直线l的方程为()x my m cot α==，代入222330x y b +-=得：()22230m y b ++-=，因为点M 满足2OP OQ OM +=，所以点M 是线段PQ 的中点， 设M 的坐标为(),x y ''，则y '=122y y +=，因为直线1:l y =M 满足2OP OQ OM +=，所以y '==0m <，所以36b m m ⎫=-+≥=⎪-⎝⎭， 当且仅当3m m-=-，即m =.所以当m cot α==6min b =，此时直线l 的倾斜角56πα=. 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
浙江省湖州中学2020届高三下学期高考模拟测试(二)数学试题
评卷人
得分
四、解答题
18．已知向量 ，设函数 ．
（1）若 ，f（x）=1，求 的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是 且满足 求 的取值范围．
19．数列 的前n项和为 ，且满足 ，
A．0B．1C．2D．0或2
9．已知向量 满足 ，且 ，则 的最小值为（）
A． B．4C．2 D．
10．如图所示，在底面为正三角形的棱台 中，记锐二面角 的大小为 ，锐二面角 的大小为 ，锐二面角 的大小为 ，若 ，则
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分
二、双空题
浙江省湖州中学2020届高三下学期高考模拟测试（二）数学试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
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评卷人
得分
一、单选题
1．设集合 则 （）
本题考查了离散型随机变量分布列性质的应用及期望、方差的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.
7．B
【解析】
【分析】
根据三角函数的诱导公式化成同名函数，结合三角函数的图象平移关系进行求解即可．
【详解】
解：把函数 的图象向左平移 个单位，
得到 ，
，
由 ，得 ，
，
当 时，m最小，此时 ，
2020届浙江省湖州中学高三下学期3月月考(网测)数学试题(解析版)
2020届浙江省湖州中学高三下学期3月月考（网测）数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-为全集，{}2|20,B x x x x Z =--<∈，则A B =ð（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0-C ．{}1,2-D ．{}0,1,2【答案】C【解析】先求出集合{}0,1B =，再求A B ð. 【详解】由{}{}{}2|20,|12,0,1B x x x x Z x x x Z =--<∈=-<<∈=又全集为{}1,0,1,2A =-，所以{}1,2A B =-ð 故选：C 【点睛】本题考查解二次不等式和求集合的补集，属于基础题.2．已知双曲线C 的离心率2e =，其中一个焦点的坐标为()0,2，则该双曲线C 的标准方程是（ ）A ．2213y x -=B ．2215y x -=C ．2215x y -=D ．2213x y -=【答案】D【解析】根据一个焦点为()0,2可得到2c =，再由离心率2e =，可得到a 的值，然后根据222c a b =+可求出双曲线的方程. 【详解】双曲线C 的一个焦点的坐标为()0,2则其焦点在y 轴上，且2c =. 又离心率12c e a a===，则1a =. 由222c a b =+，所以2223b c a =-=所以双曲线的方程为：2213x y -=故选：D 【点睛】本题考查根据离心率和焦点坐标求双曲线的方程，属于基础题.3．某正三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A ．33B ．3C ．3D ．3【答案】A【解析】由三视图可知该三棱锥的底面边长为3，高为4，则其体积可求. 【详解】由正三棱锥的三视图可知： 该正三棱锥的底面边长为3，高为4. 所以该三棱锥的体积为：21113S 3433332V h ==⨯⨯= 故选：A 【点睛】本题考查利用三视图求原三棱锥的体积,属于基础题.4．若()f x 是定义在R 上的函数，则“()f x 是奇函数”是“()()()f x y f x f y +=+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当()f x 是奇函数时，设()sin f x x =，可得()()()f x y f x f y +=+不成立，反之取0x y ==，可得()00f =，令y x =-，可得()()f x f x =--，即得到答案. 【详解】当()f x 是奇函数时，设()sin f x x = 若取,2x y ππ==，则()12πf x y f π⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭， ()()()=12πf x f y f πf ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，显然此时()()()f x y f x f y +≠+.所以当()f x 是奇函数不能得到()()()f x y f x f y +=+成立.若()()()f x y f x f y +=+成立时，取0x y ==，可得()()()000f f f =+ 即得到()00f =.令y x =-，则有()()()00f f x f x =+-=，即()()f x f x =-- 所以此时()f x 是奇函数.所以“()f x 是奇函数”是“()()()f x y f x f y +=+”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断和函数奇偶性的判断以及应用，属于基础题题. 5．若()1cos 2πα-=-，则（ ）A ．()sin 2α-=B ．sin 22πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭C ．()1cos 2πα+= D ．()1cos 2απ-=-【答案】D【解析】由()1cos 2πα-=-可得1cos 2α=，然后由诱导公式和同角三角函数的关系对选项进行逐一判断，即可得到答案. 【详解】由()1cos 2πα-=-可得1cos 2α=，则sin α=A. ()sin sin αα-=-=.B.1 sin cos22παα⎛⎫+==⎪⎝⎭,所以不正确.C. ()1cos cos2παα+=-=-,所以不做正确.D. ()1cos cos2απα-=-=-,所以正确.故选：D【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的关系，属于基础题.6．已知实数x，y满足22010220x yx yx y+-≥⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则关于目标函数3z x y=-的描述正确的是（）A．最小值为-2 B．最大值为3C．最大值为2 D．无最大值也无最小值【答案】A【解析】先根据条件作出可行域，然后由目标函数的几何意义分析其最值情况.【详解】由实数x，y满足22010220x yx yx y+-≥⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩作出可行域，如图.标函数3z x y=-可以化为3y x z=-.则z表示直线3y x z=-在y轴上的截距的相反数.由图可知，当直线3y x z=-过点B时，直线3y x z=-在y轴上的截距最大，无最小值.所以z有最小值2-，无最大值.故选：A【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于中档题.7．已知实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠，则xy的取值范围是（ ） A ．()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．()(),12,-∞-+∞UD ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U 【答案】C【解析】将条件变形为21120x x y y y⎛⎫⎛⎫+-=> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可求出答案. 【详解】由实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠.两边同时除以2y ，有：21120x x y y y⎛⎫⎛⎫+-=> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以120x x y y ⎛⎫⎛⎫+->⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2x y >或1x y <-.故选：C 【点睛】本题考查不等式的性质和解二次型不等式，变形是关键，属于中档题.8．已知甲、乙两个盒子中分别装有两种大小相同的动物玩具，甲盒中有2只熊猫，1只狗；乙盒中有1只熊猫，2只狗.现从甲乙两个盒中各取走一个动物玩具，再从甲乙两个盒子中各取走一个动物玩具.此时记甲盒中的熊猫只数为1ξ，乙盒中的熊猫只数为2ξ，则（ ）A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ=B ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ=C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ> D ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ<【答案】B【解析】根据题意可得10,1ξ=，20,1ξ=，再分别求出1ξ，2ξ的分布列，分别求出1ξ，2ξ的期望和方差，从而得到答案.【详解】根据题意可得10,1ξ=，20,1ξ=()12110323P ξ⨯===⨯,()121212323P ξ⨯==⨯=⨯ 所以1ξ的分布列为：()221202323P ξ⨯==⨯=⨯,()22111323P ξ⨯===⨯ 所以2ξ的分布列为：则()112201333E ξ=⨯+⨯= , ()221101333E ξ=⨯+⨯= ()221212220133339D ξ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()221121120133339D ξ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ= 故选：B 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望、方差，属于中档题.9．已知无穷项数列{}n a ，满足10a >，且1ln n n n a a a +=⋅，下列关于数列{}n a 描述正确的是（ ）A ．当且仅当1a e >时，数列{}n a 单调递增B ．存在11,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得数列{}n a 为单调数列C ．当1a e <时，存在0n ，使得001n n a a +≤D ．当11a e>时，数列{}n a 一定存在无限多项的值大于1e【答案】C【解析】设函数()ln f xx x =，分析出函数()f x 的单调区间，作出函数()f x 的图像，根据函数的性质结合数列的递推关系1ln n n n a a a +=⋅，对选项进行逐一分析，可得答案. 【详解】设函数()ln f x x x =，由()ln 1ln x x x '⋅=+，可得函数ln y x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.且当1x e=时，1=-y e ，则可以作出()ln f x x x =，如图.且()()11,10,f f f e e e e⎛⎫=== ⎪⎝⎭，{}n a 为无穷项数列，则11a ≠.选项A. 当110,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由函数图像有210,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，310,,,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭L L 10,n a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1ln 1n n na a a +=>，所以此时数列{}n a 单调递增，所以A 不正确. 选项B. (1)当()101a x ∈，时，由函数图像可得2111ln 0,a a a e ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，且12a a >， 由210,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据上面对选项A 的分析可知，数列从第2项起单调递增.(2)当()101a x x ∈，时，由函数图像可得2111ln 1a a a e ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，且12a a >，3221ln 0a a a e ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，且23a a >，根据上面对选项A 的分析可知，数列从第3项起单调递增.（3）当()11a x e ∈，时，由函数图像可得()211ln 1a a a e =∈，. 如图，过点()12,a a 作x 轴的平行线交直线y x =于点()22,a a ，过点()22,a a x 轴的垂线交()y f x =于点()23,a a ，过点()23,a a 作x 轴的平行线交直线y x =于点()33,a a ，过点()33,a a x 轴的垂线交()y f x =于点()34,a a ，依此作下去，可得在开始阶段数列{}n a 是递减的，如图，其值一定会递减至10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭中. 若m a 是第一个满足10m a e<<，可得12m a a a >>>L ， 由前面的证明可得，从数列{}n a 从第()2m m ≥项开始是递增的. 所以11,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，数列{}n a 不是单调的,所以B 不正确.选项C.当110,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,由选项A 的推导，可知数列{}n a 单调递增，显然满足条件.当11,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,由选项B 的推导，可知数列{}n a 第()2m m ≥项开始是递增的, 显然满足条件. 所以C 正确.选项D. 由对选项B 的判断过程可知，当11,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，数列{}n a 先减后增，只有前面有限多项的值大于1e ，递增部分的无限多项的值都小于1e，所以D 错误.故选：C 【点睛】本题考查利用函数的性质来探究递推数列的性质，属于难题.10．如图，在长方形ABCD 中，AD CD <，现将ACD ∆沿AC 折至'ACD ∆，使得二面角'A CD B --为锐角，设直线'AD 与直线BC 所成角的大小为α，直线'BD 与平面ABC 所成角的大小为β，二面角'A CD B --的大小为γ，则α，β，γ的大小关系是（ ）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．γαβ>>D ．不能确定【答案】B【解析】先证明最小角定理，再过点D ¢作D O '⊥平面ABC ,过点B 作BO '⊥平面ACD ',连接OB ,过O '作O H CD ''⊥,连接BH ，可得BHO γ'∠=，D BO β'∠=，由等体积法可得BO D O ''=，进而可得βγ，的大小，在平面AD C '内，,AD D C O H D C ''''⊥⊥,所以//AD O H ''.所以α等于直线O H '与BC 所成的角BHO '∠也为直线O H '与平面BCD '所成的角，根据上面已证的最小角定理有BHO α'∠<，从而得到答案.【详解】解决本题，先来了解最小角定理：平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角平面斜交的直线与它在该平面内的射影的夹角不大于直线与平面内其他直线的夹角． 证明如下：直线AB 与平面α斜交，斜足为B ，AO ⊥平面α，BC OC ⊥， 由AO ⊥平面α，BC OC ⊥，可证明BC ⊥平面AOC ，则BC AC ⊥．则cos BO ABO AB ∠=，cos BCABC AB ∠=，cos BC OBC BO ∠=，所以cos cos BO BC BCABO OBC AB BO AB∠⋅∠=⨯=，即cos cos cos ABC ABO OBC ∠=∠⋅∠， 故cos cos ABC ABO ∠<∠，ABC ABO ∠>∠．过点D ¢作D O '⊥平面ABC ,过点B 作BO '⊥平面ACD ',连接OB . 过O '作O H CD ''⊥,连接BH ，如图.则D BO '∠为直线'BD 与平面ABC 所成角，即D BO β'∠=由BO '⊥平面ACD '，则BO CD ''⊥,又O H CD ''⊥，且BO O H O '''⋂= 所以D C '⊥平面BO H '，则CD BH '⊥所以BHO '∠为二面角'A CD B --的平面角，即BHO γ'∠= 又D ABC B AD C V V ''--=,即1133ABC AD C S OD S O B '''⨯⨯=⨯⨯△△ 且12AD CABCD S ABC S S '==矩形△△ . 所以BO D O ''=.由sin ,BO BHO BH ''∠=sin D OD BO BD ''∠='，由BH BD '< 所以sin BHO '∠> sin D BO '∠，即BHO '∠> D BO '∠，也即γβ>.又在平面AD C '内， ,AD D C O H D C ''''⊥⊥,所以//AD O H ''. 所以α等于直线O H '与BC 所成的角BHO '∠也为直线O H '与平面BCD '所成的角.根据上面已证的最小角定理有BHO α'∠<. 所以αγβ>> 故选：B【点睛】本题考查异面直线成角、线面角、二面角的大小的比较，考查翻折问题，属于难题.二、双空题11．若复数()12z i +=（i 为虚数单位），则z =______，z =______.【答案】1i -【解析】利用复数的除法先求出z 1i =-，然后利用公式求模长. 【详解】由复数()12z i +=，则()()()2121111i z i i i i ⨯-===-++-所以z ==故答案为: (1). 1i - (2).【点睛】本题考查复数的除法运算和求复数的模长，属于基础题.12．已知()1,sin a x =r ，()2cos ,1b x =r ，则a b ⋅r r 的最大值为______；若//a b r r，则x 的值是______.4x k ππ=+，k Z ∈【解析】由向量数量积公式结合辅助角公式有()2cos sin a b x x x ϕ⋅=+=+r r，可求出a b ⋅r r 的最大值.由//a b r r可得12sin cos 0x x -=，可求出x 的值. 【详解】由()1,sin a x =r，()2cos ,1b x =r .则()2cos sin a b x x x ϕ⋅=+=+r r，其中tan 2ϕ=.当()sin x ϕ+()x ϕ+，则a b ⋅r r若//a b r r ,则12sin cos 0x x -=，即sin 21x =，所以22,2x k k Z ππ=+∈.所以,4x k k Z ππ=+∈.故答案为：(1). (2). 4x k ππ=+，k Z ∈【点睛】本题考查向量的数量积和辅助角公式以及根据向量平行求参数的值，属于基础题. 13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若满足10a >，且4a ，5a 是方程()210x mx m R +-=∈的两根，则54S S 的取值范围是______；当n =______时n S 最大.【答案】5,16⎛⎫⎪⎝⎭4【解析】由条件可得451a a ⋅=-，即1121340a a d d d ⎛⎫⎛⎫+⋅+=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭进一步可得143a d -<<-，将54S S 化为1a d 的表达式，从而求出其范围.又由条件可得40a >，50a <，且数列{}n a 的公差0d <，所以可得当4n =时，n S 的值最大 【详解】4a ，5a 是方程()210x mx m R +-=∈的两根，所以451a a ⋅=-.又10a >，451a a ⋅=-，所以数列{}n a 的公差0d <. 即()()11341a d a d +⋅+=-,则两边同时除以2d ，得1121340a a d d d ⎛⎫⎛⎫+⋅+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以143a d-<<-. 51114111510255511134644234232S a d a d d a S a d a d a d d ⎛⎫⎪⎛⎫++==⋅=+=⋅+⎪ ⎪++⎝⎭ ⎪+⋅+⎝⎭ 所以15233a d-<⋅+<-，则121413523a d<+<⋅+. 所以1551116423a d ⎛⎫⎪<⋅+< ⎪ ⎪⋅+⎝⎭，所以54516S S << 又10a >，451a a ⋅=-，所以数列{}n a 的公差0d <. 所以数列{}n a 单调递减，且40a >，50a <即1234,,,a a a a 为正，从第5项起为负，所以当4n =时，n S 的值最大.故答案为：(1). 5,16⎛⎫ ⎪⎝⎭(2). 4 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用和不等式的性质的应用以及前n 项的最值，属于中档题.14．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin sin sin sin cos21A B B C B ++=，则a cb+=______，角B 的最大值是______. 【答案】23π【解析】由条件有2sin sin sin sin 1cos 22sin A B B C B B +=-=，利用正弦定理可得22ab bc b +=，即2a cb+=，然后利用余弦定理结合均值不等式求出cos B 的最小值，从而得到答案. 【详解】由sin sin sin sin cos21A B B C B ++=得2sin sin sin sin 1cos 22sin A B B C B B +=-=.由正弦定理可得:22ab bc b +=,即2a c b += 所以2a cb+=. 222222223326212cos 22222a c a c a cb ac ac ac ac B ac ac ac ac +⎛⎫+- ⎪+-+--⎝⎭===≥=当且仅当a c =时，取等号.又()0,B π∈,所以角B 的最大值是3π. 故答案为：(1). 2 (2). 3π 【点睛】本题考查正弦定理进行边角互化和利用余弦定理求解三角形中的角的最值，属于中档题.三、填空题15．现有材质、大小完全相同的红、黄、绿颜色的小球各两个，将这6个小球按“1，1，1，3”数额分组后分别放入四个不同的盒子中，则有______种不同搭配方案.（用数字作答）【答案】96【解析】分有3个球的一组中，球的颜色互不相同和有3个球的一组中，球的颜色有2个相同的情况分类处理，先分组在分别放入四个不同的盒子中，可得到答案. 【详解】（1）若有3个球的一组中，球的颜色互不相同，则将这6个小球按“1，1，1，3”数额分组有1种分组方法，再分别放入四个不同的盒子中有4424A =种不同搭配方案.(2) 若有3个球的一组中，球的颜色有2个相同，则有3211C C 种选法.则将这6个小球按“1，1，1，3”数额分组有1种分组方法，再分别放入四个不同的盒子中有,共有411432722A C C ⨯⨯=种不同搭配方案.所以共有24+72=96种不同搭配方案. 故答案为：96 【点睛】本题考查分组分配问题，注意相同颜色的球看成是相同的元素，属于中档题. 16．已知函数()xx x te ef t =-+的最小值是与t 无关的常数，则实数t 的取值范围是______. 【答案】1t ≥【解析】设0x e m =>，然后进行讨论打开绝对值()()0t m t m t t my m t tm m t m t m⎧+-≥⎪⎪=-+=⎨⎪-+<<⎪⎩，利用单调性分别求出函数的最小值，结合条件得出答案. 【详解】 设0x e m =>（1）若0t ≤，则函数化为ty m t m=+-在()0,+m ∈∞上单调递增，无最小值. (2) 若0t >则函数化为()()0t m t m t t my m t tm m t m t m ⎧+-≥⎪⎪=-+=⎨⎪-+<<⎪⎩当0m t <<时，t y m t m =-+在()0,t 上单调递减，所以1ty t t t >-+=.当m t ≥时，ty m t m=+-在(上单调递减，在)+∞上单调递增.t >，即01t <<时，函数ty m t m=+-在(t 上单调递减，在)+∞上单调递增.当m =min 1y t =<此时函数的最小值为t ，不满足是与t 无关的常数.t ≤，即1t ≥时，函数ty m t m=+-在[),t +∞上单调递增. 当m t =时，函数有最小值min 1y =此时函数的最小值为1，满足是与t 无关的常数，所以1t ≥. 故答案为：1t ≥ 【点睛】本题考查根据函数的最值求参数的范围问题，属于中档题.17．已知不共线平面向量a r ，b r ，c r满足1a c ==r r ，记集合{}4X x b a xc a b a b ==+++-=v v vv v v v 且中所有元素的绝对值之和为(),S a c r r ，则(),S a c r r的最小值是______.【答案】3【解析】由条件有22+4a b a b a xc xc a xc x ++-=++=+=r r r r r r r r r两边平方可得32xa c x ⋅=-r r，当0x ≥时，32cos x θ=+，当0x <时，3cos 2x θ=-，可得出答案. 【详解】由条件有2+a b a xc +=r r r r ，a b xc -=r r r，且1a c ==r r 所以22+4a b a b a xc xc a xc x ++-=++=+=r r r r r r r r r即24a xc x +=-r r ，两边平方得：244168xa c x x +⋅=+-r r化简得：32xa c x ⋅=-r r设向量,a c r r的夹角为θ，()0q p Î， ，则cos 32x x θ=-.当0x ≥时，32cos x θ=+，当0x <时，3cos 2x θ=-所以集合X 中所有元素的绝对值之和为：23312+32cos 2cos 4cos θθθ=≥+--,当2πθ=时取得等号.所以答案为：3 【点睛】本题考查向量数量积的性质运用，模长运算的处理，属于中档题.四、解答题18．已知函数()222sin 4x f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若()02313f x =，07,212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值.【答案】（1）()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈.（2）1226+-【解析】(1)将函数化简为()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由正弦型函数的的单调增区间可求解. (2)由()02313f x =有05sin 2313x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据07,212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得012cos 2313x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再根据00cos 2cos 233x x ππ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎝⎭⎣=⎥⎦展开可求出答案.【详解】解析：（1）())1cos 21cos 22x x f x π⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭2sin 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令222232k x k πππππ-+≤-≤+，得()f x 的单调递增区间为()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈. （2）∵07,212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴0252,336x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴0cos 203x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 由()00232sin 21313f x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，有05sin 2313x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴012cos 2313x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 333333x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦= 12153125313213+=-⨯-⨯=-. 【点睛】本题考查三角函数的降幂公式和利用正弦的和角公式逆用化简，正弦型函数的单调性以及给值求值，属于中档题.19．如图，平面ABCD ⊥平面MNBD ，且菱形ABCD 与菱形MNBD 全等，其中MDB ∠为锐角，G 为MC 中点.（1）求证：直线//GB 平面AMN ；（2）求直线DC 与平面AMN 的所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（26【解析】(1) 连接AC 交DB 于E ，连接GE ，易知//GE AM ,//MN BE ,可得平面//GBE 平面AMN ，从而可证.(2) 连接ME ，由菱形ABCD 与菱形MNBD 全等且MDB ∠为锐角，可得ME BD ⊥，进一步可得BD ⊥平面AMC ，所以平面GBD ⊥平面AMC ，过C 作CF GE ⊥，所以CF ⊥平面GBD ，连接DF ，所以CDF ∠即为直线CD 与平面AMN 的所成角，然后归结到直角三角形中求解. 【详解】 【详解】解析：（1）连接AC 交DB 于E ，连接GE ，易知//GE AM . 因为GE ⊄平面AMN ，AM ⊂平面AMN ，所以//GE 平面AMN .又//MN BE ，同理可证//BE 平面AMN .又因为BE GE E =I ，所以平面//GBE 平面AMN . 因此//GB 平面AMN .（2）连接ME ，由菱形ABCD 与菱形MNBD 全等且MDB ∠为锐角， 可得出AD AB BD ==，DM BD MB ==.所以ME BD ⊥，又平面ABCD ⊥平面MNBD 且相交于BD ，所以ME ⊥平面ABCD .由ME BD ⊥，又AC BD ⊥且AC ME E =I ，所以BD ⊥平面AMC ， 平面GBD ⊥平面AMC ，过C 作CF GE ⊥，所以CF ⊥平面GBD ，连接DF ，所以CDF ∠即为直线CD 与平面GBD 的所成角. 由（1）平面//GBE 平面AMN ,所以CDF ∠即为直线CD 平面AMN 的所成角. 由条件有AD AB BD ==，60DAB ∠=︒.在直角三角形MAE 中，ME AE =，所以45∠=︒MAE ，则45GEC ∠=︒ 所以22CF CE =，又在直角三角形DEC ,60EDC ∠=︒,所以3CE CD = 易知26CF CE CD ==，所以6sin CF CDF CD ∠==.【点睛】本题考查证明线面平行和求线面角，属于中档题.20．设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知11a =，12b =，222b a =，3322b a =+. （1）求n a 和n b ；（2）设数列{}n c 满足11c =，1,221,2k k n n ka n c n +⎧<<=⎨=⎩，其中k ∈N ，设数列{}n c 的前n 项和为n S ，求2n S 的值.【答案】（1）n a n =， 2nn b =.（2）22112322n n n n S --=-⨯++ 【解析】(1) 设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ,由条件可得2222244q dq d=+⎧⎨=+⎩，解出d 和q 即可. (2)由条件可得()()121212222222n n n n S c c c a a a a a a n =+++=+++-++++L L L ，将n a n =代入可得答案. 【详解】（1） 解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 依题意得2222244q d q d =+⎧⎨=+⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩， 故()111n a n n =+-⨯=，1222n nn b -=⨯=.所以，{}n a 的通项公式为n a n =，{}n b 的通项公式为2nn b =.（2）【解析一】依题意可知：()()121212222222n n n n S c c c a a a a a a n =+++=+++-++++L L L ()()21232222n n n =++++-++++L L()()()1122122122122221n n n n n n n n --+-=-+=+-++-2112322n n n --=-⨯++.（方法二）易知012221n A c c c n =+++=+L ，令()()()1212221212122212k k k k kk kk d a a a a +++-+--=+++=-+L()()()()212233212142222kk kkk k --=-++=⋅-⋅，所以 ()()1112141421233214212n n n B d d d -----=+++=⋅-⋅--L1124321n n --=⋅-⋅+，于是11224322n n n S A B n --=+=⋅-⋅++.【点睛】本题考查求等差、等比数列的通项公式和数列求和，属于中档题.21．如图，抛物线C ：24x y =，其中AC ，BD 是过抛物线焦点F 的两条弦，且AC BD ⊥，记ABF ∆，DCF ∆的面积分别为1S ，2S .（1）当直线AC 与直线BD 关于y 轴对称时，求1S 的值； （2）求12S S +的最小值. 【答案】（1）4（2）8【解析】(1) 直线AC 与直线BD 关于y 轴对称时,由对称性可得直线BD ：1y x =+，与抛物线方程联立，可得6B D y y +=，1B D y y ⋅=，则()()111111222B D S BF AF BF DF y y ===++可得答案. (2) 设直线AB ：y kx m =+,22,,,44A BA B x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,将直线AB 与抛物线方程联立，可得4A B x x k +=，又FA FB ⊥，可得224610m k m --+=，则111122A B S AB h m x x ==--()21m =-，设直线CD ：y k x m ''=+，理()22'1S m =-根据（1）'1mm =，所以()()22212111'12S S m m m m m m ⎛⎫⎛⎫+=-+-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求解最小值. 【详解】（1）抛物线C ：24x y =，则()0,1F直线AC 与直线BD 关于y 轴对称时,由对称性可得直线BD 的倾斜角为45︒. 所以BD ：1y x =+，联立C ：24x y =得2610y y -+=， 所以6B D y y +=，1B D y y ⋅=，又()()111111222B D S BF AF BF DF y y ===++()1142B D B D y y y y =++⋅+=. （2）设直线AB ：y kx m =+， 联立24x y =得2440x kx m --=，于是4A B x x k +=，4A B x x m ⋅=-.（易知0m <），又FA FB ⊥，所以2222,1,1114444A BA B A B A B x x x x FA FB x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ()()222221114610164A B A B A B x x x x x x m k m +-++=--+==， 即22614m m k -+=，又h =，A B A B x =-，所以111122A B S AB h m x x ==--()21112m m =-=-，设直线CD ：y k x m ''=+同理()22'1S m =-，因此4A B x x m ⋅=-，4'C D x x m ⋅=-，所以 由（1）中1B D y y ⋅=，得()2=1616D B D B x x y y =，即=4D B x x -. 同理4A C x x =-，则()()16'16A C D B x x x x mm ⋅==，即'1mm =，因此()()22212111'12S S m m m m m m ⎛⎫⎛⎫+=-+-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令(]1,2u m m=+∈-∞-,于是21228S S u u +=-≥，当且仅当1m =-时等号成立. 【解析二】 设()22,A s s，()22,B t t ，由焦点弦知识可知221,C s s ⎛⎫- ⎪⎝⎭，221,D t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 且()11142AC A C k x x s s ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，同理112BD k t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()()221114114BD AC k k s t s t st s t ⎛⎫⎛⎫⋅=-⇒--=-⇔--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()22241s t st st +=++，又21AF s =+，21BF t =+，所以()()()2221111124222S s t st st ⎡⎤=++=++⎣⎦()221st st =++，同理22121S st st ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.于是()221212228S S st st st st ⎛⎫+=++++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当22162s t st s t s t ⎧+=-⎪=⇔+=⇔⎨-=-⎪⎩(2A --+.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查过抛物线的焦点的弦的性质和三角形的面积的最值,属于难题.22．已知函数()()()211ln ln 22x x f k k x x R =---∈. （1）当0k =时，求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）当1k >时，讨论函数()f x 的零点的个数. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】(1) 当0k =时()l 'n ln 1x f x x xx x-=-=，设()ln g x x x =-，讨论()g x 的单调性，先证明()0g x >，从而可证明. (2) ()n 'l ln 1x k x x xf x x kx --=--=，由（1）知当1k >时，方程ln x x k -=有两个根1x ，2x ，且易知1201x x <<<，则()f x 在()10x ，上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞单调递增.在分析()()12,f x f x 的函数值的符号利用零点存在原理去解决. 【详解】 【详解】解析：（1）()l 'n ln 1x f x x xx x-=-=， 令()()1ln '1x x g x g x x=-⇒=-，易得()g x 在(]0,1上递减，()1,+∞上递增，∴()()()min 110'0g x g f x ==>⇒>，∴函数()f x 在()0,∞+上单调递增. （2）()n 'l ln 1x k x x xf x x kx --=--=，由（1）知当1k >时，方程ln x x k -=有两个根1x ，2x ，且易知1201x x <<<，则()f x 在()10x ，上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞单调递增.所以1x 为()f x 的极大值点，2x 为()f x 的极小值点. 显然()22211022kk f ee e ---=-<-<，()()1112f x f >=， ∴()f x 在()10,x 仅有唯一零点. 又()222221122nknknk f een k nk e n k =--->-，（当n 为较大的整数时）， 设()2xh x e x =-，则()2xh x e x '=-，()2xh x e ''=-当1x >时，()0h x ''>，()2xh x e x '=-在()1+¥， 单调递增,即()()120h x h e ''≥=->. 所以()2xh x e x =-在()1+¥， 单调递增，即()()110h x h e ≥=->，即()0nkf e>（当n 为较大的整数时）.于是下面讨论()2f x 的正负情况：()2222211ln ln 22f x x x k x =---()22222211ln ln ln 22x x x x x =----2222211ln ln 22x x x x =-+-. 构造函数()211ln ln 22F x x x x x =-+-()()1ln ln '11ln 0x x x F x x x x-⇒=+--=≤，且()0f e =.①当21x e <<时，22ln k x x =-在()1,e 递增，得()1,1k e ∈-，此时()()220f x F x =>，则函数()f x 在()0,∞+上只有一个零点.②当2x e =时，显然1k e =-，函数()f x 在()0,∞+上有两个零点. ③当2x e >时，22ln k x x =-在(),e +∞递增，得()1,k e ∈-+∞，此时()()220f x F x =<，则函数()f x 在()0,∞+上有三个零点.综上，()1,1k e ∈-，函数()f x 在()0,∞+上有一个零点；1k e =-时，函数()f x 在()0,∞+上有两个零点；()1,k e ∈-+∞，函数()f x 在()0,∞+上有三个零点.【点睛】本题考查利用导数证明函数的单调性和讨论函数的零点个数的问题，考查分类讨论思想，属于难题.。
2020年浙江省高考数学模拟试卷及答案
2020年浙江省高考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．1654．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x|的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为4C ．≥√2D ．CD 1与PQ 不可能垂直7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a bA．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f（x）＝a有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为（）A．(-154，0]B．(-154，2]C．[﹣4，+∞）D．[﹣4，2）9．（4分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，M是棱A1C1上的点，记直线AM与直线BC所成的角为α，直线AM与平面ABC所成的角为β，二面角M﹣AC﹣B的平面角为γ．则（）A．α≥β，β≤γB．α≤β，β≤γC．α≥β，β≥γD．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{a n}满足a n+1＝a n2+2a n﹣2（n∈N*），若存在常数λ，使得a n≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．13．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．20．（15分）在等差数列{a n}和正项等比数列{b n}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{b n}的前n项和为Sn，且S3＝14．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）n d n＝nc n+n，求数列{d n}的前项和为T n．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A y B为常数；（3）是否存在t，使得y A y B＝1且y P?y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝e x cosx，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当??∈[0，]时，求f（x）的值域；3恒成立（f'（x）是f（x）的导函数），求实数a的取值范围．（2）当x∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??2020年浙江省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]【解答】解：由题意得：A ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1，2，3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}＝{x|0≤x ≤4}，∴所以A ∩B ＝{1，2，3}，故选：A ．2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵??=2+3??=(2+3??)(-??)-??2=3-2??，∴??=3+2??．故选：B ．3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，的可行域，可发现z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值是（3，0）到2x ﹣y ﹣2＝0距离的平方．取得最小值：(6-2√4+1)2=165．故选：D ．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α＝13，则cos2α＝1﹣2sin 2α，sin α＝±√33，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的不充分条件；若sin α＝√33，则cos2α＝1﹣2sin 2α，cos2α＝13，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要条件；综上所述：“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要不充分条件．故选：B ．5．（4分）函数f（x）＝x2+e|x|的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：因为对于任意的x∈R，f（x）＝x2+e|x|＞0恒成立，所以排除A，B，由于f（0）＝02+e|0|＝1，则排除D，故选：C．6．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，则下列说法中错误的是（）A．线段PQ与平面CDD1C1可能平行B．当Q为线段B1C1的中点时，线段PQ与DD1所成角为4C．≥√2D．CD1与PQ不可能垂直【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，在A中，当Q为线段B1C1中点时，线段PQ与平面CDD1C1平行，故A正确；在C中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，∴线段PQ与DD1所成角为∠C1DD1=4，故B正确；在C中，PQ≥√2AB，当且仅当Q为线段B1C1的中点时取等号，故C正确；在D中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，CD1与PQ垂直，故D错误．故选：D．7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a b A．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增【解答】解：依题可知{()=-13+??+??=23，∴??(??)=-13+23-??，∴当a 增大时，ξ的期望E （ξ）减小．故选：B ．8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（）A ．(-154，0]B ．(-154，2]C ．[﹣4，+∞）D ．[﹣4，2）【解答】解：作出函数f （x ）的图象，方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根即等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点A ，B ，C ，故有﹣2＜a ≤2，不妨设x 1＜x 2＜x 3，因为点A ，B 关于直线x ＝﹣2对称，所以x 1+x 2＝﹣4，﹣2＜log 2x 3≤2，即14＜x 3≤4，故-154＜x 1+x 2+x 3≤0．故选：A ．9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．∴根据最小角定理得α≥β，根据最大角定理得β≤γ．故选：A ．10．（4分）设数列{a n }满足a n+1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1【解答】解：??+1-????=????2+????-2=(????+2)(????-1)，若a n ＜﹣2，则a n+1＞a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2．若a n ＝﹣2，则a n+1＝a n ，则该数列为常数列，即a n ＝2．所以，综上所述，λ≥﹣2．∴λ的最小值是﹣2．故选：B．二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12）．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线可得：{12-122=??22-222=??，两式相减可得：1-??2??1-??2=2(??1+??2)??1+??2，而由题意可得，x1+x2＝2×1＝2，y1+y2＝2×1＝2，所以直线AB的斜率k=1-??21-??2=2×２2=2，所以直线AB的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，代入双曲线的方程可得：2x2﹣4x+1+2λ＝0，因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：??＜12，所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，12）．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为9．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体，如图所示：所以：V=13×12(2+4)×3×3=9，故答案为：913．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝15，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝64．【解答】解：由（1﹣x）6的通项为??+1=??6(-??)??可得，令r＝2，即x2项的系数a2为??62=15，即a2＝15，由（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝√2．【解答】解：∵a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，∴sinC=√１-2??=√74，可得√74=12absinC=√78ab，解得ab＝2，∴b＝2，∴由余弦定理可得c=√??2+??2-2=√12+22-2×1×2×34=√2．故答案为：√2．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为2√23．【解答】解：设P（x0，y0），B1（0，﹣b），B2（0，+b），由|k1-k2|=89，|0-??-??0+????0|=89，∴|x0|=94b，由题意得圆M的圆心在x轴上，设圆心（t，0），由题意知：t2+b2＝2b2∴t2＝b2，∴MP2＝2b2＝（x0﹣t）2+y02，∴y02=716??2，P在椭圆上，所以81??216??2+716=1，∴a2＝9b2＝9（a2﹣c2），∴e2=89，所以离心率为2√23，故答案为：2√23．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为214．【解答】解：如图所示：以B为原点，以BA所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴，过点D做DP⊥x轴，过点D做DQ⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，==2√3，∴B（0，0），A（2，0），C（0，2√3），D（3，√3），设M（0，a），则→=（﹣2，a），→=（﹣3，a-√3），故→→=6+a（a-√3）=(??-√32)2+214≥214，故答案为：214．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）【解答】解：令g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞）．g′（x）＝f（x）+xf'（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）即不等式（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），x+1＞0．∴x+1＞x2﹣1＞0，解得：1＜x＜2．∴不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，∴sinA=√１-2=2√23，∵△ABC的面积为12bc?sinA=22√23=√23bc＝2√2，∴bc＝6，∴b＝3，c＝2，∴a=√??2+??2-2=√9+4-2?3?2?13=3．再根据正弦定理可得=??，即32√23=2，∴sinC=4√29．（Ⅱ）∴sin2A＝2sinAcosA=4√29，cos2A＝2cos2A﹣1=-79，故cos（2A-6）＝cos2Acos6+sin2Asin??6=-79√32+4√29?12=4√2-7√318．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC中点O，连结BO，DO，∵AD＝CD，AB＝BC，∴AC⊥BO，AC⊥DO，∵BO∩DO＝O，∴AC⊥平面BOD，又BD?平面BOD，∴AC⊥BD．（2）解：由（1）知∠BOD是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴∠BOD＝150°，∵AC⊥平面BOD，∴平面BOD⊥平面ABC，在平面BOD内作Oz⊥OB，则Oz⊥平面ABC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得OB＝4，在△BOD中由余弦定理得OD＝4√3，∴A（0，﹣4，0），B（4，0，0），C（0，4，0），D（﹣6，0，2√3），∴M（﹣3，2，√3），→=（﹣7，2，√3），平面ABC 的法向量??→=（0，0，1），设直线BM 与面ABC 所成角为θ，则直线BM 与面ABC 所成角的正弦值为：sin θ＝|??→→||??→|?|→|=√3√56=√4228．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）nd n ＝nc n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，正项等比数列{b n }的公比设为q ，q ＞0，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，可得2a 2＝b 1+b 2，即2（1+d ）＝2+2q ，即d ＝q ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，可得2+2q+2q 2＝14，解得q ＝2，d ＝2，则a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ；（2）??=?????=2n +1﹣1，（﹣1）n d n ＝nc n +n ＝n?2n+1，则d n ＝2n?（﹣2）n ，前项和为T n ＝2?（﹣2）+4?4+6?（﹣8）+…+2n?（﹣2）n ，﹣2T n ＝2?4+4?（﹣8）+6?16+…+2n?（﹣2）n+1，相减可得3T n ＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n ）﹣2n?（﹣2）n+1＝﹣4+2?4(1-(-2)-1)1-(-2)-2n?（﹣2）n+1，化简可得T n =-49-6??+29（﹣2）n+1．21．（15分）已知抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．（1）若点M 纵坐标为√2，求M 与焦点的距离；（2）若t ＝﹣1，P （1，1），Q （1，﹣1），求证：y A y B 为常数；（3）是否存在t ，使得y A y B ＝1且y P ?y Q 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：∵抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．点M 纵坐标为√2，∴点M 的横坐标x M ＝（√2）2＝2，∵y 2＝x ，∴p=12，∴M 与焦点的距离为MF =??+2=2+14=94．（2）证明：设M （??02，??0），直线PM ：y ﹣1=0-102-1（x ﹣1），当x ＝﹣1时，??=0-10+1，直线QM ：y+1=??0+102-1（x ﹣1），x ＝﹣1时，y B =-??0-1??0-1，∴y A y B ＝﹣1，∴y A y B 为常数﹣1．（3）解：设M （??02，??0），A （t ，y A ），直线MA ：y ﹣y 0=0-????02-??（x ﹣y 02），联立y 2＝x ，得??2-02-??0-??????+??02-????0-??????0-??02=0，∴y 0+y p =??02-????0-????，即y P =??0????-????0-????，同理得y Q =0????-10-????，∵y A ?y B ＝1，∴y P y Q =??02-0(????+????)+??202-??0(????+????)+1，要使y P y Q 为常数，即t ＝1，此时y P y Q 为常数1，∴存在t ＝1，使得y A ?y B ＝1且y P ?y Q 为常数1．22．（15分）设函数f （x ）＝e x cosx ，g （x ）＝e 2x﹣2ax ．（1）当??∈[0，3]时，求f （x ）的值域；（2）当x ∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??恒成立（f'（x ）是f （x ）的导函数），求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题可得f '（x ）＝e x cosx ﹣e x sinx ＝e x （cosx ﹣sinx ）．令f'（x ）＝e x （cosx ﹣sin x ）＝0，得??=4∈[0，??3]．当??∈(0，4)时，f'（x ）＞0，当??∈(??4，??3)时，f'（x ）＜0，所以??(??)=??(4)=√22??4，??(??)={??(0)，??(??3)}．因为??(3)=??32＞??332=??2＞1=??(0)，所以f （x ）min ＝1，所以f （x ）的值域为[1，√224]．（2）由??(??)≥′(??)2??得??2??-2≥-，即-+??2??-2≥0．设(??)=-+??2??-2，则?′(??)=2????+2??2??-2??．设φ（x ）＝h'（x ），则??′(??)=4??3??-2√2(??+4)．当x ∈[0，+∞）时，4e 3x ≥4，2√2(??+4≤2√2)，所以φ'（x ）＞0．所以φ（x ）即h'（x ）在[0，+∞）上单调递增，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ．若a ≤2，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ≥0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递增．所以h （xa ＞2）≥h （0）＝0恒成立，符合题意．若，则h'（0）＝4﹣2a ＜0，必存在正实数x 0，满足：当x ∈（0，x 0）时，h'（x ）＜0，h （x ）单调递减，此时h （x ）＜h （0）＝0，不符合题意综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．。
精品解析：浙江省湖州中学2020届高三下学期高考模拟测试(三)数学试题(解析版)
浙江省湖州中学2019学年第二学期高三年级高考阶段测试三数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合M x ⎧⎪=≤⎨⎪⎪⎩⎭，{|N x y ==，那么M N =（ ）A. {|21}x x -≤<B. {}2|1x x -≤≤C. {|2}x x <-D. {}2|x x ≤【答案】B 【解析】 【分析】分别计算集合,M N ，然后根据交集的概念可得结果.≤115022244≤-≤⇒-≤≤xx 由101x x -≥⇒≤所以{22},{1}∣∣=-≤≤=≤M xx N x x ， 则MN ={}2|1x x -≤≤，故选：B ．【点睛】本题考查交集的运算，本题重在计算，属基础题. 2. 设sin 2sin 0αα-=，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan2α的值是（ ）B. D. -【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，先求得cos α的值，进而求得sin α，从而求得tan α、tan2α的值. 【详解】由sin 2sin 0αα-=，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得()2sin cos sin sin 2cos 10ααααα-=-=， 所以12cos 10,cos 2αα-==，则sin α==所以sin tan cos ααα==所以22tan tan 21tan ααα===-故选：A【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题. 3. 若复数1z i =+(i 是虚数单位)，则（ ） A. 22210z z --= B. 22210z z -+= C. 2220z z --= D. 2220z z -+=【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则以及21i =-即可求解. 【详解】1z i =+，()2212z i i ∴=+=，()22122z i i =+=+，2220z z ∴-+=.故选：D【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 4. 已知等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】结合等比数列通项公式可求得q 的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由14a a <得：311a a q <，又10a >，31q ∴>，解得：1q >，243115a a q a q a ∴=<=，充分性成立；由35a a <得：2411a q a q <，又10a >，42q q ∴>，解得：1q >或1q <-， 当1q <-时，3410a a q =<，41a a ∴<，必要性不成立.∴“14a a <”是“35a a <”的充分不必要条件.故选：A .【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列通项公式的应用，属于基础题. 5. 若正数,a b 满足111a b +=，则1411a b +--的最小值为（ ） A. 4 B. 6C. 9D. 16【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件把1411a b +--变形成积为定值的形式，然后利用基本不等式可求得最小值. 【详解】方法一：由111a b +=，可得1ba b =-，所以144=1111b a b b +-+---. 由,a b 为正数且111a b+=，可得1,1a b >>，所以144=14111b a b b +-+≥=---， 当且仅当411b b -=-，即33,2b a ==时等号成立. 故选：A.方法二：由111a b +=，可得11b a a =-，11a b b=-， 所以14442411b a b a a b a b a b+=+≥⋅=--， 当且仅当4b aa b =，即3,32a b ==时等号成立. 故选：A.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键是凑出积或和为定值. 6. 已知1F ，2F是双曲线22221(0,0)xayba b -=>>的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线y bxa=对称，则该双曲线的离心率为（ ） A.5B.52C.2D.2【答案】A 【解析】 试题分析：由已知2F 到直线y bx a=的距离为，所以由双曲线的定义得，故，注意到，所以，所以即，解得，所以离心率为考点：双曲线离心率7. 已知关于x 的方程2(2)0ax a b x mb +-+=有解，其中,a b 不共线，则参数m 的解的集合为（ ） A. {0}或{2}- B. {0,2}-C. {|20}m m -≤≤D. Φ【答案】B 【解析】 【分析】将式子变形2()(2)0++-=x x a m x b ，然后根据,a b 不共线，可得2020x x m x ⎧+=⎨-=⎩，简单计算可得结果.【详解】由题可知：2(2)0ax a b x mb +-+= 则2()(2)0++-=x x a m x b ，由于,a b 不共线，所以2020x x m x ⎧+=⎨-=⎩0m ⇒=或2m =-， 所以{0,2}∈-m 故选：B.【点睛】本题考查向量向量的应用，审清题意，细心计算，属基础题.8. 已知四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=，BC CD =，再将ABD ∆沿着BD 翻折成三棱锥-A BCD 的过程中，直线AB 与平面BCD 所成角均小于直线AD 与平面BCD 所成角，设二面角--A BC D ，--A CD B 的大小分别为αβ、，则（ ） A. αβ> B. αβ<C. 存在αβπ+>D. αβ、的大小关系无法确定【答案】B 【解析】 【分析】根据题意在三棱锥A BCD -中，作AH ⊥平面BCD 于H ，则ABH ∠，ADH ∠分别为AB ，AD 与平面BCD 所成的角，过H 作HM BC ⊥，HN DC ⊥，垂足分别为,M N ，连接,AM AN ，则AMH α∠=，ANH β∠=，由ABH ∠，ADH ∠的大小得到HM ，HN 的大小，然后求出α，β的正切值后可得α，β的大小关系.【详解】如图，在三棱锥A BCD -中，作AH ⊥平面BCD 于H ， 则ABH ∠，ADH ∠分别为AB ，AD 与平面BCD 所成的角，直线AB 与平面BCD 所成角均小于直线AD 与平面BCD 所成角，AB AD ∴>，过H 作HM BC ⊥，HN DC ⊥，垂足分别为,M N ，连接,AM AN ， 则,AM BC AN DC ⊥⊥，,AMH ANH ∴∠∠分别为二面角A BC D --，A DC B --的平面角，设AMH α∠=，ANH β∠=， 在CBD 中，CB CD =,设BD 的中点为O ，则CO 为DC 的中线， 由AB AD >可得点H 在CO 的左侧（如图所示），HM HN ∴>，又tan tan AH AMH HM α=∠=，tan tan AHANH HNβ=∠=， tan tan αβ∴<，又α，β为锐角，αβ∴<.故选：B【点睛】本题考查线面角和二面角的求法，解题时可先作出相关角，并由角的大小得到相关线段的大小关系，然后再根据空间角的定义求出角即可，解题的关键是正确作出图形，并将角的大小的问题转化为线段的长度问题求解，考查了作图能力与运算能力，属于中档题.9. 已知函数2()f x x ax b =++，,m n 满足m n <且()f m n =，()f n m =，则当m x n <<时，（ ） A. ()f x x m n +<+ B. ()f x x m n +>+ C. ()0f x x -< D. ()0f x x ->【答案】A【解析】 【分析】根据开口向上的二次函数的特点可得()()()()--<--f x f m f n f m x mn m，然后计算可得结果.【详解】因为函数2()f x x ax b =++是上凹函数，所以()()()()1f x f m f n f m x m n m--<=---，因此()f x x m n +<+． 故选：A.【点睛】本题考查二次函数的性质，本题难点在于()()()()--<--f x f m f n f m x mn m的使用，属基础题.10. 如图，过椭圆2222:1x y C a b+=的左、右焦点12,F F 分别作斜率为22的直线交椭圆C 上半部分于,A B两点，记12,△△AOF BOF 的面积分别为12,S S ，若12:7:5S S =，则椭圆C 离心率为（ ）A.12B.22C.32D.24【答案】A 【解析】 【分析】作点B 关于原点的对称点B 1，根据面积比可得175A B y y =-，然后椭圆方程与直线1AB 方程联立使用韦达定理，最后计算，可得结果.【详解】作点B 关于原点的对称点B 1， 如图则有11275A B y S S y ==，所以175A B y y =-①. 将直线1AB 方程24x c =-，代入椭圆方程后，()2222484280b a y b cy b +--= 由韦达定理解得122228A B b cy y b a+=+②，142288A B b y y b a -=+③， 由①②③可得222358=+c b a ，又222b a c =-，所以224a c = 则离心率12c e a ==. 故选：A【点睛】本题考查椭圆的离心率，本题关键在于得到175A B y y =-，考查分析能力以及计算能力，属中档题. 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，得到橘子最多的人所得的橘子个数是_____；得到橘子最少的人所得的橘子个数是_____ .【答案】 (1). 18 (2). 6 【解析】 【分析】假设得橘子最少的个数为1a ，根据等差数列的前n 项和公式可得1a ，然后简单计算可得结果. 【详解】设得橘子最少的个数为1a ，公差为3 所以51154536062⨯=+⨯=⇒=S a a所以得橘子最多的个数为51(51)361218=+-⨯=+=a a 故答案为：18，6【点睛】本题考查等差数列的应用，掌握公式，审清题意，属基础题.12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积是________．【答案】 (1). 5 (2). 15+19．【解析】由三视图还原可知，原图形是一个长方体左右两边各切去了一个角，所以体积为1162(3)5,1263319151932V S =-⨯⨯⨯==+++++=+13. 若将向量(2,3)a =围绕起点按逆时针方向旋转23π，得到向量b ，则向量b 的坐标为_____，与b 共线的单位向量e =_____．【答案】 (1). 53(,22- (2). 5721(1414-与5721(,)1414- 【解析】 【分析】假设b =(,)m n ，计算227223cos377m n m n π⎧+=⎪⎨+=⎪⨯⎩，可得b ，然后计算=±b e b 即可.【详解】设所求向量为b =(,)m n ， 由向量(2,3)a =围绕起点按逆时针方向旋转23π则225722cos 3m n m n π⎧⎧+==-⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩，所以5(,22=-b 由=±b e b，所以与b共线的单位向量e为(与故答案为：5(2-，(与 【点睛】本题考查向量的共线向量以及向量的坐标运算，考查计算能力，属中档题. 14. 在1,2,3,9,这9个自然数中，任取3个数，（1）这3个数中恰有1个是偶数的概率是_______；（用数字作答）（2）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2）．则随机变量ξ的数学期望()E ξ=________．【答案】 (1). 1021 (2). 23【解析】 【分析】利用组合数以及古典概型的概率计算公式以及求出ξ的分布列，再利用数学期望的公式即可求解.【详解】（1）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A ，则12453910()21C C P A C ==； （2）随机变量ξ的取值为0,1,2,ξ的分布列为所以ξ的数学期望为5112012122123E ξ=⨯+⨯+⨯=． 故答案为：1021；23【点睛】本题考查了组合数的应用、古典概型的概率计算公式、离散型随机变量的分布列以及数学期望，属于基础题.15. 已知单位向量a b ，的夹角为60︒，且3219c a c b -++=，则c a +的取值范围为____ 【答案】[457，4] 【解析】 【分析】将向量放在直角坐标系中，转化为坐标，利用c a +的几何意义是点()1,0P -到线段AB 上的点的距离，再根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】如图，记3OA a =，则点A 的坐标为()3,0， 记2OB b =-，则点B 的坐标为(1,3--， 因为120AOB ∠=，所以223223cos12019AB =+-⨯⨯= 记OC c =，得点C轨迹为线段AB ，c a +的几何意义是点()1,0P -到线段AB 上的点的距离，又点点P 到直线AB 的距离d 最小，PA 最大， 直线AB 34330x y --=，所以4345719316d ==+，4PA =， 所以c a +的取值范围为[45719，4]. 故答案为：[457，4] 【点睛】本题主要考查向量的几何意义、余弦定理、点到直线的距离，意在考查转化和化归能力、数形结合的思想，属于中档题.16. 若点G 为ABC 的重心，且AG BG ⊥，则sin C 的最大值为______． 【答案】35【解析】 【分析】设AB 中点为D ，连接CD ，可得2c DG =，32c CD =，利用平面向量的加法和减法运算得出2CD CA CB =+，AB CB CA =-，由此可得()()222222CD AB CB CA +=+，化简得出2225a b c +=，利用余弦定理结合基本不等式可求得cos C 的最小值，进而可求得sin C 的最大值. 【详解】设AB 中点为D ，连接CD ，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，AG BG ⊥，D 为AB 的中点，所以2c DG =，32c CD =， ()()111222CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+，即2CD CA CB =+，AB CB CA =-，()()()()22222222CD ABCA CB CB CA CBCA ∴+=++-=+，可得()()222232c c a b+=+，2225ab c ∴+=，由余弦定理得()222222222225cos 2255a b a b a b a b c a b C ab ab ab b a ++-++-⎛⎫====+ ⎪⎝⎭24255a b b a ≥⨯⋅=，当且仅当a b =时，等号成立， 所以，23sin 1cos 5C C =-≤. 因此，sin C 的最大值为35. 故答案为：35. 【点睛】本题考查三角形中角的正弦值最值的计算，考查了平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.17. 设120x x ，数列{x n }满足21,1n n n x x x n ++=+.若1≤x 7≤2，则x 8的取值范围为____________. 【答案】2113,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】根据已知条件，用12x x 表示出8x ，结合12,x x 的范围，利用线性规划即可求得目标式的范围. 【详解】由已知得312412512,2,23x x x x x x x x x =+=+=+，61271281235,58,813x x x x x x x x x =+=+=+，因为712x ，所以121582x x +，结合120x x ，在12O x x -坐标下所围成的线性规划区域为四边形，它的四个顶点坐标分别为10,8A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11221,,,,0,131313134B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以目标函数在点11,1313B ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值2113，在点10,4D ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最大值134，8122113813,134x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：2113,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ． 【点睛】本题考查不等关系的应用，以及利用线性规划求目标函数的范围，属综合中档题.三、解答题：本大题共3小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18. 已知函数2()sin 23cos 32xf x x =-+ （1）求()f π的值；（2）求函数()y f x =的单调递增区间.【答案】（1）3；（2）5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .【解析】 【分析】（1）利用降次公式和辅助角公式化简()f x ，由此求得()πf 的值.（2）根据绝对值符号对三角函数单调性的影响列不等式，解不等式求得()y f x =的单调递增区间. 【详解】解：（1）化简得()sin 3cos 2sin 3f x x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，所以2()2sin33πf π== （2）由于2sin 3πy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故π32ππk x k π-+，k ∈Z ， 解得函数()y f x =的单调递增区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数单调区间的求法，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，60APB BPD APD ∠=∠=∠=，2PB PD BC CD ====， 3.AP =（1）证明：AP BD ⊥；（2）求PC 与平面PAB 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）2+26. 【解析】 【分析】（1）取BD 的中点E ，连接,AE PE ，证出,AE BD PE BD ⊥⊥，利用线面垂直的判定定理可得BD PAE ⊥面，再利用线面垂直的性质定理即可证出.（2）利用余弦定理以及勾股定理求出AE PE ⊥，设点C 到平面PAB 的距离为h ，PC 与平面PAB 所成角为θ，利用等体法：C PAB P ABC V V --=，求出h ，即可得出2+2sin 6h PC θ==. 【详解】（1）因为60APB APD PD PB ∠=∠==，， 所以APB ∆≌APD ∆，所以AD AB =取BD 的中点E ，连接,AE PE ，所以,AE BD PE BD ⊥⊥ 所以BD ⊥平面PAE ，又AP ⊂平面PAE ，所以AP BD ⊥（2）在APD ∆中，根据余弦定理，得222=2cos60=7AD AP PD AP PD ︒+-⨯⨯， 所以7AD =1DE ，所以6AE =3PE 所以222=AP AE PE +，即AE PE ⊥设点C 到平面PAB 的距离为h ，PC 与平面PAB 所成角为θ， 因为C PAB P ABC V V --=，即1133PAB ABC h S PE S ∆∆⋅=⋅， 所以136+316+32=132sin 602ABCPABPE S h S ∆︒∆⨯⨯⋅==⨯⨯⨯2+2sin 6h PC θ==， 所以PC 与平面PAB 2+2.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、性质定理、求线面角，考查了考生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于基础题.20. 已知函数()()(1)1xf x x e =+-.（Ⅰ）求()f x 在点(1,(1))f --处的切线方程； （Ⅱ）已知()f x ax ≥在R 上恒成立，求a 的值.（Ⅲ）若方程()f x b =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：2111ebx x b e -≤++-. 【答案】（Ⅰ）()11ey x e-=+；（Ⅱ）1a =；（Ⅲ）证明见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求解即可.（Ⅱ）求导分析函数的单调性,并构造函数()()h x f x ax =-根据单调性分析可得()h x 只能在0x =处取得最小值求解即可.（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结论可知()()11e f x x e -≥+,()f x x ≥在R 上恒成立,再分别设()11eb x e-=+ b x =的解为3x 、4x .再根据不等式的性质证明即可.【详解】（Ⅰ）由题()'()11xxf x e e x =-++,故1'(1)111ef e -==---.且(1)0f -=. 故()f x 在点(1,(1))f --处的切线方程为()11ey x e-=+. （Ⅱ）设()()()()110xh x f x ax x e ax =-=+--≥恒成立,故()()'21xh x x e a =+--.设函数()()2xx x e ϕ=+则()()'3xx x e ϕ=+,故()()2xx x e ϕ=+在(),3-∞-上单调递减且()0x ϕ<,又()x ϕ在()3,-+∞上单调递增.又()02ϕ=,即()'01h a =-且()00h =,故()h x 只能在0x =处取得最小值, 当1a =时，此时()()'22xh x x e =+-,且(),0-∞上()'0h x <,()h x 单调递减.在()0,∞+上()'0h x >,()h x 单调递增.故()()00h x h ≥=,满足题意；当1a >时，此时()()21xx x e a ϕ=+=+有解00x >,且()h x 在()00,x 上单调递减,与()(0)h x h ≥矛盾； 当1a <时，此时()()21xx x e a ϕ=+=+有解030x -<<,且()h x 在()0,0x 上单调递减,与()(0)h x h ≥矛盾； 故1a =（Ⅲ）()()'()2111xxxe xf x x e e ++=-+=-.由（Ⅰ）,()2'()1xx f x e +=-在(),3-∞-上单调递减且'()0f x <,又'()f x 在()3,-+∞上单调递增,故'()0f x =最多一根.又因为()111'(1110)2f e e ---+=-=--<,()002'(010)1f e =-+=>,故设'()0f x =的解为x t =,因为()()'1'00f f -⋅<,故()1,0t ∈-. 所以()f x 在(),t -∞递减,在(),t +∞递增.因为方程()f x b =有两个实数根12,x x ,故()b f t > . 结合（Ⅰ）（Ⅱ）有()()11ef x x e-≥+,()f x x ≥在R 上恒成立. 设()11eb x e -=+ 的解为3x ,则31x x ≤；设b x =的解为4x ,则42x x ≥. 故311ebx e=--,4x b =. 故214311ebx x x x b e -≤-≤++-,得证. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及根据函数的单调性与最值求解参数值的问题.同时也考查了构造函数结合前问的结论证明不等式的方法.属于难题.。
2020年浙江省高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)(有解析)
2020年浙江省高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U ={l,2，3，4，5，6}，集合A ={l,2，4，6}，集合B ={l,3，5}，则A ∪(∁U B)=( )A. {l,2，3，4，5，6}B. {1,2，4，6}C. {2,4，6}D. {2,3，4，5，6}2. 把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当B 、D 两点距离为a 时，二面角B −AC −D 的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为( )A. 4√3B. 4√33C. 8√3D. 8√334. 已知函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，若关于x 的方程f(f(x))=m 有两个不同的实数根x 1，x 2，则x 1+x 2的取值范围为( )A. [2,3)B. (2,3)C. [2ln2,4)D. (2ln2,4)5. 已知实数x ，y 满足条件{x −y +1≥0y +1≥0x +y +1≤0，那么2x −y 的最大值为( )A. −3B. −2C. 1D. 26. 已知随机变量X 的分布列如表，则D(X)=( )X 0 1 3P 0.2 0.2 yA. 0.4B. 1.2C. 1.6D. 27. 若双曲线x 2−y 2=2右支上一点(s,t)到直线y =x 的距离为2，则s −t 的值等于( )A. 2B. 2√2C. −2D. −2√28.已知数列{a n}满足a1=32，a n+1=3a na n+3，则a2019=()A. 32020B. 20203C. 20193D. 202139.已知[x]表示不超过x的最大整数，则f(x)=√1−log2[x]的定义域为()A. (0,3]B. [0,3)C. (1,3]D. [1,3)10.“α≠β”是“cosα≠cosβ”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）11.在ΔABC中，已知AB=√3，AC=1，A=30∘，则ΔABC的面积为________________．12.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=8，|b⃗ |=12，则|a⃗+b⃗ |的最小值是__________．13.若函数f(x)，g(x)满足：∀x∈(0,+∞)，均有f(x)>x，g(x)<x成立，则称“f(x)与g(x)关于y=x分离”.已知函数f(x)=a x与g(x)=log a x(a>0，且a≠1)关于y=x分离，则a的取值范围是______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.已知a,b为正实数，且a+b=2，则2a +1b+1的最小值为(1)，(a2+3)(b2+3)的最小值为(2)．15.在二项式(x−√x )7的展开式中，所有项系数之和为，含x4的项的系数是．16.已知定义域为R的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=−(x−1)2+1． ①当x∈[−1,0]时，f(x)的取值范围是(1); ②当函数f(x)的图像在直线y=x的下方时，x的取值范围是(2)．17.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，ABCD是边长为1的正方形，D1B与平面ABCD所成的角为45∘，则棱AA1的长为；二面角B−DD1−C的大小为．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.知函数f(x)=x2+2xsinθ−1,x∈[−√32,12],θ∈[0,2π)．(1)当θ=π6时，求f(x)的最值；(2)若f(x)是单调函数，求θ的取值范围．19.如下图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．(1)求证：平面AD1E//平面BGF．(2)求证：D1E⊥AC．20.在等差数列{a n}中，a4+a7+a10=17，a4+a5+⋯+a14=77，求此数列的通项公式．若a k=13，求k的值．21.已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，求点P的坐标．(a∈R).22.已知函数f(x)=ax+(1−a)lnx+1x(1)当a=0时，求f(x)的极值；(2)当a<0时，求f(x)的单调区间．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵全集U={1,2，3，4，5，6}，集合A={1,2，4，6}，集合B={1,3，5}，∴∁U B={2,4，6}，则A∪(∁U B)={1,2，4，6}．故选：B．根据全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的并集即可此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：D解析：解：如图，连接AC，BD交于O，则DO⊥AC，BO⊥AC，∴∠BOD为二面角B−AC−D的平面角，∵正方形ABCD的边长为a，则BO=DO=√2a，2a，BD=a，可得BO2+OD2=BD2，在△BOD中，由BO=DO=√22则∠BOD=90°．∴二面角B−AC−D的大小为90°．故选：D．由题意画出图形，求出二面角B−AC−D的平面角，解三角形得答案．本题考查二面角的平面角及其求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．3.答案：B解析：本题是基础题，考查三视图的视图能力，计算能力，空间想象能力，常考题型．依据三视图的数据，求出几何体的体积．解：三视图复原的几何体是以俯视图为底面，高为2的三棱锥， 所以三棱锥的体积为：13×12×2×2√3×2=4√33． 故选：B ． 4.答案：A解析：解：函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，的图象如下：当m ≥1时，f(t)=m ，有两个解t 1，t 2，其中t 1≤0，t 2≥2，f(x)=t 1有一个解，f(x)=t 2有两个解，不符合题意．当m <0时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈(0,1)，f(x)=t 有一个解，不符合题意．当0≤m <1时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈[1,2)，f(x)=t 两个不同的实数根x 1，x 2，符合题意． 可得1−x 1=log 2x 2=t ，且t ∈[1,2)，x 1+x 2=2t −t +1，令g(t)=2t −t +1，g′(t)=2t lnt −1>0，故g(t)在[1,2)单调递增，∴g(t)∈[2,3)．故选：A ．画出函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，的图象，可求得当0≤m <1时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈[1,2)，f(x)=t 两个不同的实数根x 1，x 2，符合题意．可得1−x1=log2x=t，且t∈[1,2)，x1+x2=2t−t+1，令g(t)=2t−t+1，利用导数求解．本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．5.答案：C解析：解：由约束条件作出图形：易知可行域为一个三角形，验证当直线过点A(0,−1)时，z取得最大值z=2×0−(−1)=1，故选：C．先根据约束条件画出可行域，z=2x−y表示斜率为2的直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．本题是考查线性规划问题，准确作图以及利用几何意义求最值是解决问题的关键，属中档题．6.答案：C解析：解：由题意0.2+0.2+y=1，所以y=0.6所以E(X)=1×0.2+3×0.6=2所以D(X)=4×0.2+1×0.2+1×0.6=1.6故选C．利用概率和为1，确定y的值，计算出期望，即可求得方差．本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，考查学生的计算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：∵双曲线x2−y2=2右支上一点(s,t)到直线y=x的距离为2，∴d=√2=2，∴|s−t|=2√2．又P点在右支上，则有s>t，∴s−t=2√2．故选B．根据点到直线的距离公式能够求出s−t的值．本题考查双曲线的性质和点到直线的距离，解题时要注意公式的灵活运用．8.答案：A解析：本题考查了数列的通项公式与数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．运用数列的递推公式可得数列{1an }是以首项为1a1=23，公差为13的等差数列，进而由等差数列的通项公式可求出a2019．解：∵a n+1=3a na n+3⇒1a n+1=13+1a n⇒1a n+1−1a n=13，∴数列{1a n }是以首项为1a1=23，公差为13的等差数列，∴1a2019=23+(2019−1)×13=20203，∴a2019=32020．故选A．9.答案：D解析：本题主要考查函数定义域的求解，结合根式和对数的性质建立不等式关系是解决本题的关键，属基础题．根据函数表达式建立不等式，结合[x]的定义进行求解即可．解：要使函数有意义，则1−log2[x]≥0，即log2[x]≤1且[x]>0得0<[x]≤2，则1≤x<3，即函数的定义域为[1,3)，故选：D．10.答案：B解析：解：若“α≠β”则“cosα≠cosβ”的逆否命题是：若“cosα=cosβ”则“α=β”，∵α=β⇒cosα=cosβ，又当cosα=cosβ时，α=±β+2kπ，k∈Z，∴cosα=cosβ推不出α=β，∴“cosα=cosβ”是“α=β”的必要非充分条件，即“α≠β”是“cosα≠cosβ”的必要不充分条件．故选：B．根据充分必要条件的定义结合三角函数的性质判断即可．本题考查必要条件、充分条件和充要条件的求法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．11.答案：√34解析：本题考查三角面积公式，根据题意利用三角形面积公式SΔABC=12AB·AC·sinA，即可求得结果．解：S△ABC=12AB·ACsinA=12×√3×1×sin30°=√34，故答案为√34．12.答案：4解析：本题考查了平面向量数量积中模长公式的应用问题，属于基础题．设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则θ∈[0,π]，利用|b⃗ |−|a⃗|≤|a⃗+b⃗ |≤|a⃗|+|b⃗ |，得出θ=π时，|a⃗+b⃗ |取得最小值．解：设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则θ∈[0,π]，∵|a⃗|=8，|b⃗ |=12，∴|b⃗ |−|a⃗|≤|a⃗+b⃗ |≤|a⃗|+|b⃗ |，即4≤|a⃗+b⃗ |≤20，∴θ=π时，|a⃗+b⃗ |的最小值为4．故答案为4．13.答案：(e1e,+∞)解析：解：由题意，a>1．故问题等价于a x>x(a>1)在区间(0,+∞)上恒成立．构造函数f(x)=a x−x，则f′(x)=a x lna−1，由f′(x)=0，得x=log a(log a e)，x>log a(log a e)时，f′(x)>0，f(x)递增；0<x<log a(log a e)，f′(x)<0，f(x)递减．则x=log a(log a e)时，函数f(x)取到最小值，故有a log a(log a e)−log a(log a e)>0，解得a>e1e．故答案为：(e1e,+∞)．由题意可得y=a x与y=log a x互为反函数，a>1，故问题等价于a x>x(a>1)在区间(0,+∞)上恒成立，利用导数进行解决．本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．14.答案：3+2√2316解析：本题考查了利用基本不等式求最值，构造13(a+b+1)=1，由“1”的用法利用基本不等式得2a+1b+1的最小值，由a2+b2=4−2ab可得(a2+3)(b2+3)=(ab−3)2+12，由2=a+b≥2√ab，得0<ab≤1，即可得出最小值．解：由a+b=2，则13(a+b+1)=1，所以2a +1b+1=13(a+b+1)(2a+1b+1)=13[3+2(b+1)a+ab+1]≥13(3+2√2(b+1)a·ab+1)=3+2√23，当且仅当2(b+1)a =ab+1时等号成立，由a+b=2得a2+b2=4−2ab，所以(a2+3)(b2+3)=a2b2+3(a2+b2)+9=a2b2+3(4−2ab)+9=(ab−3)2+12，由a+b=2得2=a+b≥2√ab，得0<ab≤1，当且仅当a=b=1等号成立，所以当ab=1时，(ab−3)2+12取得最小值为16，即(a2+3)(b2+3)的最小值为16，故答案为3+2√23；16．15.答案：−184解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，赋值法求所有项的系数和，属于基础题．赋值法求出所有项的系数之和，写出二项展开式的通项公式，令7−32r=4，得r=2，再代入公式中即可求出含x4项的系数．解：二项式(x−√x )7的展开式中，令x=1，所有项的项式系数之和为(1−2)7=−1，二项展开式的通项公式T r+1=C7r(x)7−rx)r=C7r·(−2)r·x7−32r，由7−32r=4，得r=2，∴含x4项的系数为C72·(−2)2 =21×4=84．故答案为−1；84．16.答案：[−1,0](−1,0)∪(1,+∞)解析：本题考查函数的奇偶性的应用，二次函数的图像以及性质的应用，属于中档题．①由函数的奇偶性，以及二次函数在x ∈[0,1]时的值域即可求得在x ∈[−1,0]时的值域； ②由函数的图像可得x 的取值范围．解：①当x >0时，f(x)=−(x −1)2+1，∴当x ∈[0,1]时，f (x )∈[0,1]，因为f(x)为奇函数，∴当x ∈[−1,0]时，f(x)的取值范围是[−1,0]；②函数f(x)的图像如图所示，当函数f(x)的图像在直线y =x 的下方时，得x 的取值范围是(−1,0)∪(1,+∞).故答案为①[−1,0] ；② (−1,0)∪(1,+∞).17.答案：√245∘解析：(1)由D 1B 与平面ABCD 所成的角为45∘可知∠D 1BD =45∘，又易知在等腰直角三角形DD 1B 中，DD 1=DB =√2，所以AA 1=√2.(2)BD ⊥DD 1，CD ⊥DD 1，∠BDC 即为所求二面角的平面角，为45∘． 18.答案：解：(1)当θ=π6时，f(x)=x 2+x −1=(x +12)2−54，又x ∈[−√32,12]， 所以当x =−12时，f(x)min =−54；x =12时，f(x)max =−14；(2)因为f(x)=x 2+2xsinθ−1的对称轴为x =−sinθ，又欲使f(x)在x ∈[−√32,12]上单调，则−sinθ≤−√32或−sinθ≥12，又θ∈[0,2π)，所以θ∈[π3,2π3]∪[7π6,11π6]．解析：本题主要考查三角函数性质的应用，熟悉三角函数求最值的方法是解答本题的关键，属于中档题，(1)由题意得，直接运用三角函数和二次函数的性质即可求解；(2)由题意得，直接运用三角函数的图像与性质即可求解．19.答案：证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F=BE，且D1F//BE，∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E//BF．∵D1E不在平面BGF内，BF⊂平面BGF，∴D1E//平面BGF．∵FG是△DAD1的中位线，∴FG//AD1．又AD1不在平面BGF内，FG⊂平面BGF，∴AD1//平面BGF．∵AD1∩D1E=D1，∴平面AD1E//平面BGF.(2)如图，连接BD，B1D1，∵底面是正方形，∴AC⊥BD．∵D1D⊥AC，D1D∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1B1．∵D1E⊂平面BDD1B1，∴ D 1E ⊥AC.解析：(1)由于E ，F 分别是B 1B 和D 1D 的中点可证得D 1E//BF 再由线面平行的性质定理得到D 1E//平面BGF.同理证得FG//AD 1再由线面平行的性质定理得到AD 1//平面BGF ，再由面面平行的性质定理得到平面AD 1E//平面BGF.(2)由已知可证得AC ⊥平面BDD 1B 1.再由线面垂直的性质定理得到D 1E ⊥AC.20.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4+a 7+a 10=17，a 4+a 5+a 6+⋯+a 14=77．∴3a 1+18d =17，14a 1+14×132d −(3a 1+3d )=77，化为{3a 1+18d =17a 1+8d =7，解得a 1=53，d =23． ∴a n =53+23(n −1)=2n+33．(2)∵13=a k =2k+33，解得k =18．解析：本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 4+a 7+a 10=17，a 4+a 5+a 6+⋯+a 14=77.可得3a 1+18d =17，14a 1+14×132d −(3a 1+3d )=77，联立解出即可．(2)由(1)可得：13=a k=2k+33，解得k．21.答案：解：设p(x,y)由抛物线的焦半径公式知|PF|=x+p2，又p=1，所以10=x+1，解得x=9，又P在y2=4x上，解出y=±6．所以P(9,6)或(9,−6)解析：本题考察抛物线的焦半径公式，利用焦半径公式|PF|=x+p2求出P的横坐标，然后P在抛物线上，求出纵坐标。
浙江省湖州中学2020届高三数学下学期模拟测试试题三含解析
由向量 围绕起点按逆时针方向旋转
则 ，所以
由 ，所以与 共线的单位向量 为 与
故答案为： ， 与
【点睛】本题考查向量的共线向量以及向量的坐标运算，考查计算能力，属中档题.
14. 在 这 个自然数中，任取 个数，
（1）这 个数中恰有 个是偶数的概率是_______；（用数字作答）
16. 若点 为 的重心，且 ，则 的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设 中点为 ，连接 ，可得 ， ，利用平面向量 加法和减法运算得出 ， ，由此可得 ，化简得出 ，利用余弦定理结合基本不等式可求得 的最小值，进而可求得 的最大值.
【详解】设 中点为 ，连接 ，角 、 、 的对边为 、 、 ，
【答案】 (1). 18 (2). 6
【解析】
【分析】
假设得橘子最少的个数为 ，根据等差数列的前 项和公式可得 ，然后简单计算可得结果.
【详解】设得橘子最少的个数为 ，公差为3
所以
所以得橘子最多的个数为
故答案为：18，6
【点睛】本题考查等差数列的应用，掌握公式，审清题意，属基础题.
12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积是________．
浙江省湖州中学2020届高三数学下学期模拟测试试题（三）（含解析）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，那么 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别计算集合 ，然后根据交集的概念可得结果.
【详解】由 ，所以
浙江省湖州中学2020届高三数学高考模拟测试三
浙江省湖州中学2019学年第二学期高三年级高考阶段测试三数 学考生须知：满分为120分，考试时间90分钟.试 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合}215412{≤-=x x M ，}1{x y x N -==，那么=N M （ ） A ．}12{<≤-x x B ．}12{≤≤-x x C ．}2{-<x x D ．}2{≤x x 2．设ααsin 2sin =，)0,2(πα-∈，则tan 2α的值是 （ ）A ．3B ．3-C ．33 D ．33- 3．若复数i z +=1(i 是虚数单位)，则 （ ） A ．01222=--z z B ．01222=+-z z C ．0222=--z z D ．0222=+-z z 4．等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件5．若正数,a b 满足111a b +=，则1411a b +--的最小值为 （ ） A ．4 B ．6 C ．9 D ．166．已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，若点2F 关于直线x a b y =的对称点M 也在双曲线上，则该双曲线的离心率为 （ ） A ．25B ．2C ．5D ．2 7．已知关于x 的方程2(2)0ax a b x mb +-+=有解，其中,a b 不共线，则参数m 的解的集合为（ ）A ．{0}或{2}- B. {0,2}- C.{|20}m m -≤≤ D.Φ8、已知四边形ABCD 中， 90=∠=∠C A ,CD BC =,再将ABD ∆沿着BD 翻折成三棱锥BCD A -的过程中，直线AB 与平面BCD 所成角均小于直线AD 与平面BCD 所成角,设二面角D BC A --，B CD A --的大小分别为βα、，则 （ ）A ．βα>B ．βα<C ．存在πβα>+D ．βα、的大小关系无法确定 9．已知函数2()f x x ax b =++，,m n 满足m n <且()f m n =，()f n m =，则当m x n <<时， （ ） A ．()f x x m n +<+ B ．()f x x m n +>+ C ．()0f x x -< D ．()0f x x ->10．如图，过椭圆1:2222=+bya x C 的左、右焦点21,F F 分别作斜率为22的直线交椭圆C 上半部分于B A ,两点，记21,BOF AOF ∆∆的面积分别为21,S S ，若5:7:21=S S ，则椭圆C 离心率为 （ ） A ．12 B ．2 C ．3 D ．2二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，得到橘子最多的人所得的橘子个数是 ；得到橘子最少的人所得的橘子个数是 .12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．表面积是 ． 13．若将向量(2,3)a =围绕起点按逆时针方向旋转23π，得到向量b ，则向量b 的坐标为_____，与b 共线的单位向量=e _____．14．在1,2,3,,9这9个自然数中，任取3个数，（1）这3个数中恰有1个是偶数的概率是 ；（用数字作答）F 2F 1yxABO（2）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2）．则随机变量ξ的数学期望E ξ= ．16.已知单位向量b a ，的夹角为︒60，且19|2||3|=++-b c a c ，则||a c +的取值范围为__________16．若点G 为ABC ∆的重心，且BG AG ⊥，则C sin 的最大值为_________________．17．设120x x ≤≤，数列{}n x 满足21,1n n n x x x n ++=+≥，若712x ≤≤，则8x 的取值范围为_________________．三、解答题：本大题共3小题，共44分。
浙江省湖州中学2020届高三数学下学期模拟测试试题四含解析
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
不妨设 ， ， ，再依次验证选项是否成立，若公比 ，则排除答案，解出 时，即为正确选项
【详解】设 ， ， ，
对A，如果成立，则有 ，即 ，解得 ，与题设矛盾，舍去；
对B，如果成立，则有 ，即 ，解得 ，当 时，满足题意；
即为如图的 ， ， ，要使得 与底面 所成的角最大，
则 与底面 的交点 到点 的距离最短，从而点 在 上，且在 上，
则 ，从而 ，所以 最大值为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查动点的轨迹、直线与平面所成角、空间法向量的应用．根据题意建立适当的空间直角坐标系，并求出点 的轨迹是解答本题的突破口，属于难度题．
对C，如果成立，则有 ，即 ，解得 ，与题设矛盾，舍去；
对D，如果成立，则有 ，即 ，解得 ，与题设矛盾，舍去；
故选：B
【点睛】本题考查等比数列性质与等差数列性质的应用，一般情况，如果 三项构成等比数列，则可设为： 或
8. 已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则在平面直角坐标系内，点 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为（ ）
分别联立 ，
得 ，
所以 ，
，
所以 ，所以 ；
（2）由（1）可知，在 和 中， ，所以 ，所以有 .
【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合问题，考查了向量共线定理的应用，考查了学生的运算求解的能力，考查了转化与化归的思想.
A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺
【答案】B
【解析】
试题分析：由题可知女子每天织布尺数呈等差数列，设为 ，首项为 ， ，可得 ，解之得 .
考点：等差数列的性质与应用.
浙江省湖州中学2020届高三数学下学期模拟测试试题一含解析
【解析】
【分析】
根据5人选4人，则可分为两种情况：甲乙都参加或者甲乙只有一个人参加.然后根据计数原理分类计数，最后根据分类计数原理计数即可.
【详解】解：根据题意可分两种情况：
1.甲乙都参加.若四人为甲乙丙丁，
根据计数原理则有 种选派方式；
若四人为甲乙丙戊或甲乙丁戊，
根据计数原理则有 种选派方式.
.
（2）当直线 不存 斜率时， ， ， .
综上： .
故答案为： .
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，关键是抛物线定义的应用，属于中档题.
16. 某班要从甲、乙、丙、丁、戊5人中选出4人参加4×100米的接力赛，若甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，丙丁两人如果都参加，他们必须是相邻的两棒，则不同的选派方式有__种.
【答案】 (1). 144 (2).
【解析】
【分析】
由 ， , ，依次可求出 的值，利用用累加法可求出数列 的前 项和
【详解】解：因为 ， , ，
所以 ，同理 ，
因 ， , ，
所以
……
以上累加得，
，
所以 ，
故答案为：144；
【点睛】此题考查累加法求数列的前 项和，考查计算能力，属于中档题.
15. 如图，过抛物线 焦点F作直线 交抛物线于A，B两点，点M是线段AB的中点，过M作 轴的垂线交抛物线于P点，则 的值为__.
设正方形 的边长为1，则
，所以
，所以选项 和 错误；
若 平面 ，则 ，又 而 不共面，∴不可能存在 ，使得 平面 ，故选项 错误；
绕 旋转得到的几何体是两个圆锥的组合体， ，
∴某个位置存在 ，即 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面
浙江省湖州中学2020届高三数学第二学期第三次模拟试卷
浙江省湖州中学2020届第二学期第三次模拟试卷数学 （文科）一、：本大共 10小，每小 5分，共50分.在每个出的四此中，只有一是切合目要求的.1.已知会合M{1,a 2},P {a,1},若MP 的元素个数为 3,则MP等于（）A ．{0,1}B ．{0,1}C ． {0}D ．{1}2. 同抛两枚地平均的硬，出两个正面向上的概率是A ．1B．1C．1D ．1238 43．已知数列a n等差数列，S n 其前n 和，且a 6a 44 ，a 1121，S k9，k 的⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）A ．3B ．4C ．5D ．24．函数f(x)162x 的零点必定位于区（）xA ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(5,6)5．若直x a 与函数f(x)sinx 和g(x) cosx 的像分交于M ，N 两点，MN 的最大（）A ．1B ．2C ．2D ．36．某工厂有甲、乙、丙、丁四品的数目成等比数列，共3000件，要用分抽的方法从中抽取150件行量，此中乙、丁两品抽取的数100件，甲品共有（）A.200件B.100件C.300件D. 400 件7．1的程序框。
若入 m4,n6，出a,i 分等于（）A ．12，2B ．24，3C ．24，2D ．12，38．出下边四个命：①“直a 、b 异面直”的充足非必需条件是：直a 、b 不订交；②“直l垂直于平面内全部直”的充要条件是： l ⊥平面；③“直a ⊥b ”的充足非必需条件是“a 垂直于b 在平面 内的射影”；④“直∥平面 ”的必需非充足条件是“直a 起码平行于平面内的一条直”．此中假命的序号是（ ）A ．①④B. ②④C.①③ D.②③9.若直xy1通点M(cos ，sin)，（） 1a bA ．a 2b 2≤1 B ．a 2b 2≥11 1111 ≥1C．2b 2≤1D．a2b2a10.对随意的实数a 、b ，记maxa,ba(ab)．若F(x) max f(x),g(x)(xR)，此中奇函数 b(a b)y=f(x)在x=l 时有极小值-2，y=g(x)是正比率函数，函数 y f(x)(x0)与函数y=g(x)的图象如图所 示．则以下对于函数yF(x)的说法中，正确的选项是( )A ．yF(x)B ．yF(x)C ．yF(x)D ．yF(x)为奇函数有极大值F （-1）且有极小值F （0）的最小值为-2且最大值为2在（-3，0）上为增函数二、填空题：(本大题共7小题，每题4分，共28分，把答案填写在答题卷的相应地点上）11 m i 1mi 是实数，则实数 m =．假如复数 212．已知函数 f(x)Asin(x),(A0,0,xR)的最大值是1，其图像经过点M( ,1)，f(x)的分析式为3 213．曲线y ＝x3－3x ＋1在点（1，－1）处的切线方程为_▲_14.双曲线5x 2ky 25的一个焦点是(0,2)，那么k ▲15．若函数f(x)在(0,2)上是增函数，函数f(x2)是偶函数，则 f(1)、f(5)、f( 7 )的大小关系是2 2（由小到大的次序）16．如图是某条公共汽车线路进出差额 y 与乘客量x 的图像（进出差额=车票收入－支出费用）.因为当前本条线路损失，企业相关人员分别将右图挪动为以下图（ 1）和图（2），进而提出了两种扭亏为盈的建议.请你依据图像用精练的语言表达出：建议（1）是▲建议（2）是▲17.在平面直角坐标系xOy 中，已知平面地区A{(x,y)|x y1,且x 0,y 0}，则平面地区B {(x y,x y)|(x,y) A}的面积为三．解答题：urrurrABC的18．已知向量msinB,1cosB ,向量n2,0，且m 与n 的夹角为，此中A 、B 、C 是3内角．（1）求角B 的大小；（2）求sinA sinC 的取值范围．浙江省湖州中学2020届高三数学第二学期第三次模拟试卷19数列a n中，a12，a n1a n cn（c是不为零的常数，n1，2，3，L），且a1，a2，a3成等比数列．1）求c的值；2）求a n的通项公式；20．如下图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，PD AB2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．1）求证：PA//平面EFG；2）求：GA与平面PEF所成的角。
浙江省湖州中学2019-2020学年高二下学期3月线上月考数学试题含解析
2020年3月湖州中学3月月考高二数学试卷一、选择题（本大题共20小题，每小题4分，共80分）1.汽车上有10名乘客，沿途有5个车站.则乘客不同的下车方法有（ ）种. A. 510 B. 105 C. 510AD. 510C【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得每名乘客都有5种下车方式，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，每名乘客可以在任意一个车站下车，即每名乘客都有5种下车方式， 则10名乘客有105种下车的可能方式； 故选：B ．【点睛】本题考查分步计数原理的应用，注意没有要求每个车站都有人下车，直接由分步计数原理分析可得答案．2.某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 A. 30种 B. 35种 C. 42种 D. 48种【答案】A 【解析】本小题主要考查组合知识以及转化的思想.只在A 中选有33C 种，只在B 中选有34C 种，则在两类课程中至少选一门的选法有333734C C C 351430--=--=种.3.记者要为4名志愿者都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） A. 144种 B. 960种C. 72种D. 288种【答案】A 【解析】 【分析】本题是一个分步问题，采用插空法，首先将4名志愿者排成一列，再将2位老人看成一个整体插到4名志愿者形成的三个空中，然后2位老人内部还有一个排列，根据分步计数原理得到结果．【详解】解：由题意知本题是一个分步问题，采用插空法， 先将4名志愿者排成一列，再将2位老人看成一个整体插到4名志愿者形成的三个空中（除去两端的）， 然后将2位老人排列，则不同的排法有412432144A C A =种． 故选：A ．【点睛】本题考查分步计数原理，题目中要求两个元素相邻的问题，一般把这两个元素看成一个元素进行排列，注意这两个元素内部还有一个排列，属于基础题． 4.已知函数()ln 1x f x x+=，则该函数的导函数()f x '=（ ） A.2ln xx B. 2ln xx -C. ln xx-D.2ln x xx - 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由导数的除法公式计算可得； 【详解】解：因为()ln 1x f x x+=所以()()()()22221ln 1ln 1ln 11ln 1ln x x x x x x x x x f x x x x x⋅-+''+-+---'==== 故选：B【点睛】本题考查导数的计算，关键是掌握函数导数的计算公式，属于基础题．5.已知函数()f x 的定义域为(,)a b ，导函数()f x '在(,)a b 上的图象如图所示，则函数()f x 在(,)a b 上的极大值点的个数为( ).A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】分析：由导函数()'f x 在(),a b 上的图象以及函数取得极大值点0x 的充要条件是：在0x 左侧的导数大于0， 右侧的导数小于0，即可得出结论. 详解：导函数()'f x 在(),a b 上的图象如图所示， 由函数取得极大值点0x 的充要条件是： 在0x 左侧的导数大于0， 右侧的导数小于0， 由图象可知，函数()f x 只有在点,A C 处取得最大值， 而在B 点处取得极小值，而在点O 处无极值， 函数()f x 在(),a b 上的极大值点的个数为2，故选B. 点睛：本题主要考查函数取得极大值在一点0x 充要条件，意在考查对基础知识的掌握情况，数形结合思想分法，推理能力与计算能力，属于中档题.6.设函数()xe f x x=，则函数()f x 的单调增区间是（ ）.A. (),0-∞B. ()0,1C. ()1,+∞D.()e,+∞【答案】C 【解析】【分析】先利用导数的四则运算求函数()f x 的导函数()f x '，再解不等式()0f x '>即可得函数的单调增区间；【详解】解：因为()xe f x x=定义域为()(),00,-∞⋃+∞，所以()()()2221xxxx x e x x e e x e x e f x x x x ''⋅-⋅⋅-⋅-'=== 令()0f x '>，即()210x e x x⋅->，解得1x >， 故函数的单调递增区间为：()1,+∞， 故选：C【点睛】本题主要考查了导数在函数单调性中的重要应用，导数四则运算，转化化归的思想方法，属于基础题．7.()621x -展开式中2x 的系数为（ ） A. 160- B. 60-C. 60D. 160【答案】C 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于2，求得r 的值，即可求得展开式中的2x 项的系数．【详解】解：()621x -的展开式的通项公式为()61621()rr r r T C x -+=-，令62r -=，解得4r =，可得2x 项的系数为()26442160C ⨯⨯-=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 8.已知随机变量22,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则该变量ξ的数学期望E ξ和方差D ξ分别为（ ）A. 83，163B.49，827C.53，59D.43，49【答案】D 【解析】 【分析】直接根据二项分布的期望、方差公式计算可得； 【详解】解：因为22,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以24233E ξ=⨯=，22421339D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故选：D【点睛】本题考查二项分布的期望和方差公式的应用，属于基础题.9.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个白球的概率等于（ ） A. 27B.528C.514D.57【答案】D 【解析】 【分析】由在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同知本题是一个古典概型，试验的总事件是从8个球中取3个球有38C 种取法，从中摸出3个球，至少摸到2个白球包括摸到2个白球，或摸到3个白球有312535C C C +种不同的取法，根据古典概型公式得到结果．【详解】解：由题意知本题是一个古典概型，在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．试验的总事件是从8个球中取3个球有3856C =种取法，从中摸出3个球，至少摸到2个白球包括摸到2个白球，或摸到3个白球有53351240C C C =+种不同的取法，∴至少摸到2个黑球的概率等于3353812557C C C P C +==， 故选：D ．【点睛】本题考查古典概型的概率计算，简单的组合问题，属于中档题.10.若6把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为（ ） A.35B.115C.815D.13【答案】A 【解析】 【分析】从中任取2把，基本事件总数2615n C ==，从中任取2把能将该锁打开包含的基本事件个数1222149m C C C +==，由此能求出从中任取2把能将该锁打开的概率．【详解】解：6把不同的钥匙中只有2把能打开某锁，从中任取2把，基本事件总数2615n C ==，从中任取2把能将该锁打开包含的基本事件个数1222149m C C C +==， ∴从中任取2把能将该锁打开的概率93155m p n ===． 故选：A ．【点睛】本题考查概率的求法，考古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，属于基础题． 11.随机变量X 的取值为0，1，2，若()104P X ==，()1E X =，则()D X =（ ） A.32B.12C. 14D. 1【答案】B 【解析】 【分析】设(1)P X p ==，(2)P X q ==，则由1(0)4P X ==，()1E X =，列出方程组，求出p ，q ，由此能求出()D X ．【详解】解：设(1)P X p ==，(2)P X q ==， 1()0214E X p q =⨯++=①，又114p q ++=，②由①②得，12p =，14q =， 2221111()(01)(11)(21)4242D X ∴=-+-+-=，故选：B ．【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． 12.二项式()1001x +的展开式中系数之比为5546的相邻两项是（ ） A. 第46、47项 B. 第25、26项C. 第55、56项D. 第81、82项 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出写出展开式的通项，再依题意列出方程，解得即可； 【详解】解：二项式()1001x +的展开式1100r rr T C x +=，设其第1n +与2n +项的系数的比为5546， 则10011005546n n C C +=，则()100110055!461!n n A n A n +=+，即15510046n n +=-，解得54n =，故第55与56项的系数的比为5546， 故选：C【点睛】本题考查了二项式展开式的应用问题，属于中档题．13.将1，2，，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ） A.1420B.1336C.170D.156【答案】D 【解析】 【分析】先把9个数分成3组，根据排列组合的性质可求得所有的组的数，然后把三个数成等差数列的组，分别枚举出来，可知共有5组，然后利用概率的性质求得答案．【详解】解：9个数分成三组，共有33396333C C C A 组，其中每组的三个数均成等差数列，有 {(1，2，3)，(4，5，6)，(7，8，9)}； {(1，2，3)，(4，6，8)，(5，7，9)}； {(1，3，5)，(2，4，6)，(7，8，9)}； {(1，4，7)，(2，5，8)，(3，6，9)}； {(1，5，9)，(2，3，4)，(6，7，8)}，共5组．∴所求概率为5187556=⨯⨯．故选：D ．【点睛】本题主要考查了等差关系的确定和概率的性质．对于数量比较小的问题中，可以用枚举的方法解决问题直接，属于中档题．14.某比赛中共有8支球队，其中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支则A 组中至少有两支弱队的概率为（ ） A.12B.37C. 38D.47【答案】A 【解析】 【分析】首先求出基本事件总数，由A 组中至少有两支弱队，分两种情况：①A 组有两支弱队；②A 组有三支弱队；分别计算，最后根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从8支球队随机抽取4支，则一共有4870C =（种），则A 组中至少有两支弱队，分两种情况：①A 组有两支弱队一共有225330C C =种情况；②A 组有三支弱队一共有13535C C =种情况；故A 组中至少有两支弱队一共有2213535330535C C C C +=+=（种）故概率351702P ==， 故选：A【点睛】本题考查古典概型的概率计算以及简单的组合问题，属于中档题.15.若直线y x =与曲线x my e +=（m R ∈，e 为自然对数的底数）相切，则m =（ ）A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】C 【解析】 【分析】设切点坐标为()00,x mx e+，求得切线的方程()000x mx m y ee x x ++-=-，根据切线方程为y x =，分别代入(0,0),(1,1)点，即可求解. 【详解】设切点坐标为()00,x mx e +，由函数x my e+=，则x my e+'=，所以切线的斜率为0x m k e +=，所以切线方程为()000x mx m y ee x x ++-=-，又因为切线为y x =过(0,0)，代入切线方程，解得01x =， 即切线方程为()111m m y ee x ++-=-将(1,1)代入切线方程，可得11m e +=，解得1m =-， 故选C .【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义求得切线的方程，合理应用切线方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ） A. 336 B. 210C. 216D. 120【答案】B 【解析】 【分析】由题意知本题需要分类解决，共有两种情况，对于6个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有2人另一个是1人，根据分类计数原理得到结果． 【详解】解：由题意知本题需要分类解决，对于6个台阶上每一个只站一人有36120A =种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有123690C A =种， ∴根据分类计数原理知共有不同的站法种数是312366210A C A +=种．故选：B ．【点睛】本题主要考查分类计算原理，关键如何分类，分类要做到不重不漏，属于中档题． 17.若()()()()525012512111x a a x a x a x -=+-+-++-，则135a a a ++=（ ）.A. 121-B. 122-C. 243-D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法求出50123453a a a a a a +++++=-，0123451a a a a a a -+-+-=，再两式相减即可得解； 【详解】解：因为()()()()525012512111x a a x a x a x -=+-+-++-令2x =，则50123453a a a a a a +++++=-①，令0x =，则0123451a a a a a a -+-+-=②，则①减②得：5135311222a a a --++==-故选：B【点睛】本题考查赋值法求二项式部分项的系数和，属于中档题. 18.随机变量X 的分布列如下，其中[]0,1p ∈，对于给定的0m n >>.有下列命题①：随着p 的增大，期望EX 一直减小；命题②：随着p 的增大，方差DX 先增大后减小，则下列正确的是（ ）A. ①为真命题；②为假命题B. ①为假命题；②为真命题C. ①②均为真命题D. ①②均为假命题【答案】C 【解析】 【分析】由期望、方差公式表示出EX 与DX ，再根据函数的性质即可判断； 【详解】解：由表所给数据可得()111022222p p p m n m nEX p n m n m p ---++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯=+⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为0m n >>，10p >>，所以02m n+-<，即随着p 的增大，期望EX 一直减小，故①正确； 所以()()222221110222p p p E Xp nm n m ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯=+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()()()222221122p p DX E X E X n m n m -⎡-⎤⎛⎫⎛⎫=-=+⨯-+⨯⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()22221122p p n m n m --⎛⎫⎛⎫=-+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令12p t -=，则()()()2222D X n m t n m t =-+++ 对称轴为()22210,42n m t n m +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭+， 所以随着p 的增大，方差DX 先增大后减小，故②正确； 故选：C【点睛】本题考查离散型随机变量的期望与方差的性质的应用，属于中档题.19.从8张连号的电影票中选4张分配给甲乙丙丁四人，要求剩下的4张电影票恰有3张是连号的，则不同的分配方法有（ ）种，（用数字作答） A. 300 B. 384 C. 432 D. 480【答案】D 【解析】 【分析】对3张连号的票分类讨论，再按照分类加法原理计算可得； 【详解】解：当3张连号票为()1,2,3时，共有144496C A =（种）；当3张连号票为()2,3,4时，共有143472C A =（种）； 当3张连号票为()3,4,5时，共有143472C A =（种）； 当3张连号票为()4,5,6时，共有143472C A =（种）； 当3张连号票为()5,6,7时，共有143472C A =（种）；当3张连号票为()6,7,8时，共有144496C A =（种）；所以一共有962724480⨯+⨯=种不同的分配方法， 故选：D【点睛】本题考查简单的排列组合问题，属于中档题.20.已知函数()22e 3e e x x xf x t -=-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围为（ ）A. ()1,+∞B. ()0,1C. ()1,0-D.(),1-∞-【答案】B 【解析】 【分析】令xm e =则()0,m ∈+∞，()322123123tm m f m tm m m m-+=-+=，则()f m 在()0,m ∈+∞有两个不同的零点，令()32231g m tm m =-+，即等价于()g m 在()0,m ∈+∞有两个不同的零点，利用导数研究()g m 的单调性、极值，即可得到()32min112310g m t t t ⎛⎫⎛⎫=⋅-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再解不等式即可；【详解】解：因为()22e 3e e x x xf x t -=-+有两个不同零点，令xm e =则()0,m ∈+∞，()322123123tm m f m tm m m m-+=-+=，则()f m 在()0,m ∈+∞有两个不同的零点，令()32231g m tm m =-+，即()g m 在()0,m ∈+∞有两个不同的零点，则()()26661g m tm m m tm '=-=-当0t =时，显然不成立，则0t ≠， 令()0g m '=，则0m =或1m t=，当0t <时，()g m 在()0,∞+上单调，故不存在两个零点，舍去，所以0t >， 令()0g m '>解得1m t >，即()g m 在1,t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0g m '<解得10m t <<，即()g m 在10,t ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以()g m 在1m t=上取得极小值，也就是最小值，所以()32min112310g m t t t ⎛⎫⎛⎫=⋅-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2110t ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，解得11t -<<，又0t >，所以01t <<，即()0,1t ∈ 故选：B【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，以及利用导数研究函数的零点问题，属于中档题.二、填空题（共四小题，每空4分，共20分）21.83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为________.【答案】28 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r 的值，再求出其常数项． 【详解】8848418831(2)()(1)28rrr r r r rr T C x C x x---+=-=-， 由840r -=，得2r，所以的常数项为228(1)28C -=.【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的． 22.已知离散型随机变量X 的分布列为则q =______，()25D X +=______. 【答案】 (1). 12 (2). 114【解析】 【分析】利用离散型随机变量分布列的性质列出方程组，解得q ，再求出方差，最后根据方差的性质求得()25D X +．【详解】解：由离散型随机变量X 的分布列得：22310122102131122q q q q ⎧-⎪⎪⎪⎨⎪⎪+-+=⎪⎩， 解得12q =或1q =（舍去），故12q =， 则离散型随机变量X 的分布列为：()11130122444E X =⨯+⨯+⨯=()2223131311101242444416D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()211112524164D X D X +==⨯= 故答案为：12；114. 【点睛】本题考查离散型随机变量的计算，方差的性质的应用，属于中档题.23.某医院从8名内科医生中选派4名同时去4个武汉四家医院进行支援，每个医院1名医生，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有______.（用数字作答） 【答案】600 【解析】 【分析】分两步进行，先从8名医生中选出4名，因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，由分类计数原理可得这一步的情况数目，再把四名医生分配去四家医院进行支援，对四名医生进行全排列即可，最后，由分步计数原理，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分两步进行，第一步，先选四名医生，又分两类：①甲去，则丙一定去，乙一定不去，有2510C =种不同选法，②甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有4615C =种不同选法，则不同的选法有101525+=种第二步，四名医生去四家医院进行支援，有4424A =最后，由分步计数原理，可得共有2524600⨯=种方法， 故答案为：600．【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，做题时候要分清用排列还是用组合去做，属于中档题.24.已知不等式e x x a b ≤+对任意x ∈R 恒成立（其中e 为自然对数的底数，a ，b R ∈）则1b a-的最小值为______. 【答案】e - 【解析】 【分析】令()e xf x a b x =+-，利用导数研究函数的单调性，求出其最小值，则最小值大于等于零，即可得到1ln 0b a ++≥，则1ln 2b a -≥--，所以1ln 2b a a a ---≥，令()ln 2a g a a--=，()0a >利用导数求出()g a 的最小值即可得解；【详解】解：令()e xf x a b x =+-，则()0f x ≥恒成立， 所以()e 1xf x a '=-当0a ≤时，()0f x '<，不符合题意，舍去；当0a >时，由()0f x '=，得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<即()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，当ln x a >-时，()0f x '>即()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增， 所以()f x 的最小值为()ln ln ln 0af a ae b a --=++≥，即1ln 0b a ++≥，则1ln 2b a -≥--，所以1ln 2b a a a ---≥，令()ln 2a g a a --=，()0a >，则()221ln 2ln 1a a g a a a-+++'==， 所以当1a e >时，()0g a '>即()g a 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，当10a e<<时，()0g a '<即()g a 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故()min 1ln 211e g a g e e e--⎛⎫===- ⎪⎝⎭， 故1b e a-≥- 故答案为：e -【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，属于中档题. 三、解答题（共50分）25.在1，2，3，4，5，6，7这7个自然数中，任取3个数. （Ⅰ）求①这3个数中恰有1个是偶数的概率， ②这3个数中至少有一个为偶数的概率；（Ⅱ）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）.求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ.【答案】（Ⅰ）①1835②3135（Ⅱ）见解析，47【解析】【分析】（Ⅰ）本题是一个等可能事件的概率，①恰有1个是偶数有1234C C 种结果，②试验发生包含的事件是满足条件的事件是至少有一个是偶数有3374C C -种结果，再根据古典概型的概率公式计算得到概率．（Ⅱ）有可能相邻的：123，124，125，126，127，234，235，236，237，345，346，347，456，457，567．共15个，不包含相邻的数的有351520-=，根据概率公式求解得当变量为0时表示不包含相邻的数204(0)357P ξ===， 当变量为1时表示包含1组相邻的数102(1)357P ξ===，当变量为2时表示包含2组相邻的数51(2)357P ξ===列出分布列，求解出数学期望即可． 【详解】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从7个数字中任取3个，共有3735C =种结果， 则恰有1个是偶数有1234C C 种结果，至少有一个是偶数有3374C C -种结果，记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A ，则()1234371835C C P A C ==； 记“这3个数恰有一个是偶数”为事件B ，则()343731135C P B C =-=，即3个数中至少有1个是偶数的概率是3135．（Ⅱ）随机变量ξ为这三个数中两数相邻的组数，从7个数字中任取3个，共有37C 种结果，有可能相邻的：123，124，125，126，127，234，235，236，237，345，346，347，456，457，567．共15个则不包含相邻的数的有351520-= 则ξ的取值为0，1，2，当变量为0时表示不包含相邻的数204(0)357P ξ===，当变量为1时表示包含1组相邻的数102(1)357P ξ===， 当变量为2时表示包含2组相邻的数51(2)357P ξ=== 随机变量ξ的分布列：其数学期望42140127777E ξ=⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查古典概型的概率问题，离散型随机变量的分布列及期望的计算，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用，属于中档题．26.己知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式前三项中x 的系数的绝对值．．．．．．成等差数列. （Ⅰ）求n 的值及展开式中的常数项； （Ⅱ）求展开式系数最大的项.【答案】（Ⅰ）8n =，常数项为第三项为7（Ⅱ）系数最大的项为第三项为7 【解析】 【分析】（Ⅰ）先求写出二项式展开式的通项，求出前三项系数的绝对值，即可求出n ，从而求出常数项；（Ⅱ）先求所有项的系数加上绝对值，转化为正系数，假设第1r +项系数的绝对值．．．最大， 则有118811882222r r r r r r r r C C C C -+-----+⎧≥⎨≥⎩，求得r 的值，即可可得系数最大的项． 【详解】解：（Ⅰ）因为二项式312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为1312rr n r r n T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以展开式前三项的系数的绝对值分别为01nC =，1122nn C ⋅=，()2211128n C n n ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭.由题设知：()11128n n n =+-，解得：8n =或1n =（舍去）. 当8n =时，()()()838418822rrrr r r r r T C x x C x -----+=-=-当2r时223827T C -==，即常数项为第三项为7（Ⅱ）先求所有项的系数加上绝对值，转化为正系数，假设第1r +项系数的绝对值．．．最大， 则有118811882222r r r r r r r r C C C C -+-----+⎧≥⎨≥⎩ 由118822rrr r C C -+--≥，1118812228r rr r r C C r+-+--+∴≥⨯- ()218r r ∴+≥-，2r ∴≥，同理可得118822rrr r C C ---+≥，3r ∴≤系数绝对值最大项为447T x=-和37T = 所以系数最大的项为第三项为7【点睛】本题主要考查等差数列的定义，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．27.已知函数()2ln a f x ax x x =--，()e e 2x xg x --=（其中0a >，a R ∈，e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域并讨论其单调性；（Ⅱ）若()0f x ≥在[)1,x ∈+∞上恒成立，求实数a取值范围； （Ⅲ）证明：当1x ≥时，()ln g x x ≥【答案】（Ⅰ）定义域为()0,∞+，()f x在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增，()f x 在11a a ⎛-+⎪⎝⎭上递减（Ⅱ）[)1,a ∈+∞（Ⅲ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）首先求出函数的定义域，再求出函数的导函数，得到()22222a ax x af x a x x x -+'=+-=，再对∆分类讨论，即可得到函数的单调区间； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得()10f =，以及函数的单调性，要使()0f x ≥在[)1,x ∈+∞上恒成立，即()()10f x f ≥=，根据函数的单调性即可得解；（Ⅲ）令1a =，有11ln 2x x x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即当1x ≥时，11ln 2x x x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，再证e e 1122x x x x --⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，即可得证； 【详解】解：（Ⅰ）因为()2ln af x ax x x=-- 所以()f x 的定义域为()0,∞+，()22222a ax x af x a x x x-+'=+-=， ①当2440a ∆=-≤，即1a ≥时，()0f x '≥恒成立，()f x 在()0,x ∈+∞上单调递增②当2440a ∆=->，即01a <<时，令()0f x '=，得：1x a=，当()0f x '>时，x ∴>或0x <<()0f x '<时，解得x <<()f x ∴在10,a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1a ⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，()f x 在⎝⎭上单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，因为()10f =，()2222a ax ax af x a x x x-+'=+-=， ①当2440a ∆=-≤，即1a ≥时，()f x 在[)1,x ∈+∞上单调递增，所以()()10f x f ≥=；②当01a <<时()f x 在⎛ ⎝⎭递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增，因为()10f =，所以()10f f <=⎝⎭，在[)1,+∞上不恒成立；（说明：其中22111a x ==<<，211x a =>>） 综上所述，[)1,a ∈+∞.（Ⅲ）令1a =，有11ln 2x x x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即当1x ≥时，11ln 2x x x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭， 又()=e x F x x -，()1x ≥，()=e 10x F x '->即()=e x F x x -在[)1,+∞上单调递增，所以()()110F x F e ≥=->，即()e 1x x x ≥≥，()112h x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()1,+∞上单调递增， ()()e x h h x ∴≥()e e 11ln 22x x g x x x x --⎛⎫∴=≥-≥ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性，利用导数解决恒成立问题，以及利用导数证明不等式，属于中档题．。
浙江省湖州中学2019-2020学年第二学期高三3月检测数学试卷及答案word
2020.3考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题卷。
参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=L 台体的体积公式11221()3V S S S S h =其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R =π球的体积公式343V R =π 其中R 表示球的半径选择题部分一、选择题：本大题共 10 小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}1,0,1,2A =-为全集，{}2|20,B x x x x Z =--<∈，则C A BA. {}1,0,1-B. {}1,0-C ．{}1,2-D. {}0,1,22．已知双曲线C 的离心率2e =，其中一个焦点的坐标为()0,2，则双曲线C 的标准方程为A. 2213y x -=B. 2215y x -=C ．2215x y -=D. 2213x y -=3．某正三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的体积为A.B.C ．3D.4．若()f x 是定义在R 上的函数，则“()f x 是奇函数”是“()()()f x y f x f y +=+”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 若()1cos 2πα-=-，则A ．()sin α-=B．sin 22πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭C ．()1cos 2πα+=D ．()1cos 2απ-=-6. 已知实数,x y 满足22010220x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则关于目标函数3z x y =-的描述正确的是A ．无最大值也无最小值B ．最小值为2-C ．最大值为2D ．最大值为37. 已知()(2)1x y x y +-=且0y ≠ ，则xy的取值范围为A. ()(),12,-∞-+∞UB. ()(),21,-∞-+∞U C ．()1,2,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U D. ()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U 8. 已知甲、乙两个盒子中分别装有两种大小相同的动物玩具，甲盒中有2只熊猫，1只狗；乙盒中有1只熊猫，2只狗.现从甲乙两个盒中各取走一个动物玩具，再从甲乙两个盒子中各取走一个动物玩具。
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2020年浙江省湖州中学高考数学模拟试卷（3月份）答案解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}为全集，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0，x∈Z}，则∁A B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，2}D．{0，1，2}【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}，∴∁A B＝{﹣1，2}．故选：C．2．已知双曲线C的离心率e＝2，其中一个焦点的坐标为（0，2），则双曲线C的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意e＝2，c＝2，由e＝，可解得a＝1，又b2＝c2﹣a2，解得b2＝3所以双曲线的方程为y2﹣＝1．故选：D．3．某正三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A．B．C．3D．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体．如图所示：该几何体的摆放角度是：按照正三角形的俯视图右边的三角形的棱和视线的方向平行即可，故：V＝．故选：A．4．若f（x）是定义在R上的函数，则“f（x）是奇函数”是“f（x+y）＝f（x）+f（y）”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若f（x）是奇函数，不妨取f（x）＝x3，则f（1+1）＝8≠f（1）+f（1），若f（x+y）＝f（x）+f（y），则f（0+0）＝f（0）+f（0），f（0）＝0，∴0＝f（x+（﹣x））＝f（x）+f（﹣x），则f（x）是奇函数，∴“f（x）是奇函数”是“f（x+y）＝f（x）+f（y）”的必要不充分条件，故选：A．5．若，则（）A．B．C．D．【解答】解：由＝﹣cosα，可得：cosα＝，可得sinα＝±＝±，对于A，sin（﹣α）＝﹣sinα＝或﹣，故错误；对于B，sin（+α）＝cosα＝，故错误；对于C，cos（π+α）＝﹣cosα＝﹣，故错误；对于D，cos（α﹣π）＝﹣cosα＝﹣，故正确．故选：D．6．已知实数x，y满足，则关于目标函数z＝3x﹣y的描述正确的是（）A．无最大值也无最小值B．最小值为﹣2C．最大值为2D．最大值为3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝3x﹣y，得y＝3x﹣z，平移直线y＝3x﹣z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z，经过点A时，直线y＝3x﹣z的截距最大，此时z最小．联立，解得A（0，2）；故z min＝3×0﹣2＝﹣2．无最大值．故选：B．7．已知（x+y）（x﹣2y）＝1且y≠0，则的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．D．【解答】解：令＝t，则x＝ty，由（x+y）（x﹣2y）＝1，得（t+1）y•（t﹣2）y＝1，即（t2﹣t﹣2）y2﹣1＝0，则＞0，即t2﹣t﹣2＞0，解得t＜﹣1或t＞2．∴的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故选：A．8．已知甲、乙两个盒子中分别装有两种大小相同的动物玩具，甲盒中有2只熊猫，1只狗；乙盒中有1只熊猫，2只狗．现从甲乙两个盒中各取走一个动物玩具，再从甲乙两个盒子中各取走一个动物玩具．此时记甲盒中的熊猫只数为ξ1，乙盒中的熊猫只数为ξ2，则（）A．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＝D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＝D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）D．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）【解答】解：甲、乙两个盒子中分别装有两种大小相同的动物玩具，甲盒中有2只熊猫，1只狗；乙盒中有1只熊猫，2只狗．现从甲乙两个盒中各取走一个动物玩具，再从甲乙两个盒子中各取走一个动物玩具．此时记甲盒中的熊猫只数为ξ1，乙盒中的熊猫只数为ξ2，则ξ1的可能取值为0，1，P（ξ1＝0）＝＝，P（ξ1＝1）＝＝，E（ξ1）＝0×＝，D（ξ1）＝（0﹣）2×+（1﹣）2×＝．ξ2的可能取值为0，1，P（ξ2＝0）＝+＝，P（ξ1＝1）＝＝，E（ξ1）＝0×＝，D（ξ1）＝（0﹣）2×+（1﹣）2×＝．∴E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＝D（ξ2）．故选：A．9．已知无穷项数列{a n}，满足a1＞0，且a n+1＝|a n lna n|，下列关于数列{a n}描述正确的是（）A．当且仅当a1＞e时，数列{a n}单调递增B．存在，使得数列{a n}为单调数列C．当a 1＜e时，存在n0，使得D．当时，数列{a n}一定存在无限多项的值大于【解答】解：构造函数y＝x，y＝|xlnx|，作出两函数图象如下图所示，易知两函数图象的交点为，当或a1∈（e，+∞）时，{a n}单调递增，故选项A错误；当时，{a n}显然不单调，故选项B错误；取，则a n＝a n+1；取，则a n＜a n+1，故选项C正确；取，不存在，故选项D错误．故选：C．10．长方形ABCD（AD＜CD）沿着对角线AC将平面ACD折起使得二面角A﹣CD﹣B为锐角，设直线AD与直线BC所成角的大小为α，直线BD与平面ABC所成角的大小为β，二面角A﹣CD﹣B的大小为γ，则α，β，γ的大小关系为（）A．α＞β＞γB．α＞γ＞βC．γ＞α＞βD．不能确定【解答】解：假设CD边长→+∞，AD＝1，此时，只要将△ACD沿AC折起一点点，不难发现，，但是β是线面角，γ是二面角，二面角在折的过程中，两个面的影响程度大于线面角，所以γ＞β，即α＞γ＞β．故选：B．二、填空题（单空题每题4分，多空题每题6分，共36分）11．若z（1+i）＝2，则z＝1﹣i，|z|＝．【解答】解：z（1+i）＝2，∴z（1+i）（1﹣i）＝2（1﹣i），则z＝1﹣i，|z|＝．故答案为：1﹣i，．12．已知，，则的最大值为；若，则x 的取值为kπ，（k∈Z）．【解答】解：因为，，则＝2cos x+sin x＝sin（x+α），其中tanα＝2；∴当sin（x+α）＝1时，取最大值为：．若，则1×1﹣2sin x cos x＝0⇒sin2x＝1⇒2x＝2kπ+即x＝kπ，（k∈Z）．故答案为：，；kπ，（k∈Z）．13．已知等差数列{a n}满足：a1＞0，a4，a5是方程x2+mx﹣1＝0（m∈R）的两根，数列的前n项和为S n，于是当S n最大时，n＝4，的取值范围是（，1）．【解答】解：a4，a5是方程x2+mx﹣1＝0（m∈R）的两根，∴a4+a5＝﹣m，a4•a5＝﹣1＜0，于是当S n最大时，则有首项a1大于0，公差d小于0，{a n}为递减的等差数列，所以a4＞0，a5＜0所以n＝4时S n最大，即a1+3d＞0，a1+4d＜0，所以﹣3d＜a1＜﹣4d，所以﹣4＜＜﹣3，＝＝，设x＝，﹣4＜x＜﹣3，所以＝＝＝+，y＝+单调递减，所以y∈（，1），所以的取值范围是（，1）．故答案分别为：4，（，1）．14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sin A sin B+sin B sin C+cos2B ＝1，则＝2，B角的最大值为．【解答】解：由sin A sin B+sin B sin C+cos2B＝1，可得sin A sin B+sin B sin C＝1﹣cos2B＝2sin2B，因为sin B≠0，所以sin A+sin C＝2sin B，由正弦定理可得，＝2，由余弦定理可得，cos B＝＝＝，当且仅当a＝c时取等号，因为y＝cos x在（0，π）上单调递减，故此时B取得最大值．故答案为：2，15．材质、大小完全相同的红、黄、绿颜色的各两个，将这6个球按“1，1，1，3”数额分组后分别放入四个不同的盒子中，则能形成96种搭配方案．（用数字作答）【解答】解：分两类，第一类，两个同色，一个异色的方案有×＝72种，第二类，三个异色的方案有＝24，根据分类计数原理可得，共有72+24＝96种，故答案为：96．16．已知函数的最小值为与t无关的常数，则t的范围为[1，+∞）．【解答】解：设e x＝m（m＞0），，当t≤0时，单调递增，无最小值，不合题意；当t＞0时，当m≥t时，，要满足题意，由双勾函数的性质可知，需，解得t≥1．故答案为：[1，+∞）．17．已知不共线向量满足|＝1，记集合X＝{x|＝+x且|+|+|﹣|＝4}的元素的绝对值之和为S，则S的最小值为3．【解答】解：由于集合X＝{x|＝+x且|+|+|﹣|＝4}中元素满足的条件，得，|+|＝|++x|＝|2+x|；|﹣|＝|﹣﹣x|＝|﹣x|＝|x|；则|2+x|+|x|＝4；解这个方程，移项，得|2+x|＝4﹣|x|；两边平方，得，4+x2+4x•＝16﹣8|x|+x2；因为不共线向量满足|＝1，设，的夹角为θ，θ∈（0，π）；所以1+x cosθ＝4﹣2|x|，即3﹣2|x|＝x cosθ；两边平方，整理得，（4﹣cos2θ）|x|2﹣12|x|+9＝0；集合中的元素的绝对值之和S为：S＝，θ∈（0，π）；当θ＝时，cosθ＝0，S有最小值，所以S的最小值为3；故答案为：3．三、解答题（共5题，共74分）18．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求cos2x0的值．【解答】解：（Ⅰ）＝，令，解得，∴f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ），则，由于，则，故，∴＝＝．19．如图，平面ABCD⊥平面MNBD，且菱形ABCD与菱形MNBD全等，其中∠MDB为锐角，G为MC中点．（Ⅰ）求证：GB∥平面AMN；（Ⅱ）求直线DC与平面AMN的所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC，交BD于O，连结OG，∵菱形ABCD，∴O是AC中点，∵G为MC中点，∴OG∥AM，∵菱形MNBD，∴OB∥MN，∵AM∩MN＝M，OG∩OB＝O，∴平面BOG∥平面AMN，∵GB⊂平面BOG，∴GB∥平面AMN．（Ⅱ）解：连结OM，∵平面ABCD⊥平面MNBD，菱形ABCD与菱形MNBD全等，其中∠MDB为锐角，∴OA⊥OB，OM⊥平面ABCD，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），A（，0，0），M（0，0，），N （0，2，），＝（﹣，1，0），＝（0，2，0），＝（，0，﹣），设平面AMN的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，1），设直线DC与平面AMN的所成角为θ，则直线DC与平面AMN的所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．20．设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列．已知a1＝1，b1＝2，b2＝2a2，b3＝2a3+2．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足其中k∈N，设数列{c n}的前n项和为S n，求．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由a1＝1，b1＝2，b2＝2a2，b3＝2a3+2，可得2q＝2（1+d），2q2＝2（1+2d）+2，解得d＝1，q＝2，则a n＝1+n﹣1＝n，b n＝2n，n∈N*；（Ⅱ）＝，S＝c 1+c2+…+c＝（a1+a2+a3+…+a）﹣（a+a+…+a）+n＝（1+2+3+…+2n）﹣（2+22+…+2n）+n＝（1+2n）2n﹣+n＝2n﹣1（1+2n）﹣2n+1+2+n＝22n﹣1﹣3×2n﹣1+n+2．21．如图所示抛物线C：x2＝4y，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条弦，且AC⊥BD，记△ABF，△DCF得面积分别为S1，S2．（Ⅰ）当直线AC与BD关于y轴对称时，求S1；（Ⅱ）求S1+S2的最小值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：x2＝4y的焦点坐标为（0，1），当直线AC与BD关于y轴对称时，由于AC⊥BD，则直线AC的斜率为﹣1，即直线方程为y＝﹣x+1，由，解得或，∴A（﹣2﹣2，2+3），C（2﹣2，3﹣2），∴B（2﹣2，3﹣2），∴|AF|＝＝4+2，|BF|＝＝4﹣2，∴S1＝|AF|•|BF|＝（4+2）（4﹣2）＝4；（Ⅱ）AC，BD是过抛物线焦点F的两条弦，且抛物线C：x2＝4y的焦点F（0，1），准线方程为y＝﹣1，可设A（2s，s2），C（2m，m2），由A、F、C三点共线可得k AC＝k CF，即＝，化为ms＝﹣1，可得C（﹣，），同理设B（2t，t2），可得D（﹣，），且k AC＝＝＝（x A+x C）＝（s﹣），同理可得k BD＝（t﹣），由AC⊥BD，可得k AC•k BD＝﹣1，即（s﹣）（t﹣）＝﹣4，即（s2﹣1）（t2﹣1）＝﹣4st，则s2+t2＝（st）2+4st+1，又|AF|＝s2+1，|BF|＝t2+1，则S1＝（s2+1）（t2+1）＝[2（st）2+4st+2]＝（st）2+2st+1，同理可得S2＝+＝1，则S1+S2＝（）2+（st）2+2st++2≥2+2×2+2＝8，当且仅当st＝1，即s2+t2＝6，即，解得A（﹣2﹣3，3+2），此时S1+S2的最小值为8．22．已知f（x）＝x﹣．（Ⅰ）当k＝0时，求证函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）当k＞1时，讨论函数f（x）的零点的个数．【解答】解：（Ⅰ）证明：当k＝0时，，，设g（x）＝x﹣lnx，x＞0，∴，当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递增减，∴g（x）min＝g（1）＝1﹣ln1＝0，∴f′（x）＝g（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ），由（Ⅰ）知当k＞1时，方程x﹣lnx＝k有两个根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，x1为f（x）的极大值点，x2为f（x）的极小值点，显然，，∴f（x）在（0，x1）有且仅有唯一零点，又（当n为较大的整数时），于是下面讨论f（x2）的正负情况，＝，构造函数，则且F （e）＝0，①当1＜x2＜e时，k＝x2﹣lnx2在（1，e）单调递增，故k∈（1，e﹣1），此时f（x2）＝F （x2）＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上仅有一个零点；②当x2＝e时，显然k＝e﹣1，函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点；③当x2＞e时，k＝x2﹣lnx2在（e，+∞）单调递增，故k∈（e﹣1，+∞），此时f（x2）＝F（x2）＜0，则函数f（x）在（0，+∞）上有三个零点．综上，k∈（1，e﹣1）时，函数f（x）在（0，+∞）上有一个零点，当k＝e﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，当k∈（e﹣1，+∞）时，函数f（x）在（0，+∞）上有三个零点．。