祖暅原理教学内容
基于数学文化的探究式教学设计——祖暅原理与球体积
基于数学文化的探究式教学设计——祖暅原理与球体积设计目标：通过探究式教学，让学生深入理解祖暅原理与球体积的数学概念，培养学生的数学思维能力和创造性思维能力。
教学背景：此次教学是在数学文化背景下进行的，旨在培养学生对数学思维的兴趣，加深他们对数学概念的理解。
教学过程：第一步：引入数学文化（10分钟）以数学名人祖暅为切入点，介绍他的贡献，包括祖暅原理。
简要介绍他对数学的重要发展，激发学生的兴趣。
第二步：探索祖暅原理（30分钟）1.引导学生通过实例进行观察和猜想。
给学生一个相对比较简单的实例，在教师的指导下，让学生思考问题并提出猜想，例如：一个正方形和这个正方形的内接圆的面积之比是多少？2.让学生围绕猜想进行证明。
引导学生进行类比思考，以求正方形和内接圆面积之比的方法为例，通过观察形状和找到相应的数学定理，引导学生去证明这一猜想。
3.进行讨论和总结。
让学生互相交流并讨论他们的证明过程和结果，教师引导学生总结出祖暅原理的表述以及应用场景。
第三步：引入球体积（10分钟）引导学生通过生活实例来了解球体积这个数学概念，例如问学生如何计算球形容器的体积。
第四步：探索球体积的计算公式（40分钟）1.引导学生通过实例进行观察和猜想。
让学生通过观察不同大小和半径的球的体积来猜想球体积的计算公式。
2.让学生在教师的引导下进行探索和验证。
通过计算几个不同半径的球的体积，并观察它们之间的关系，学生可以逐步发现球体积的计算公式。
3.进行讨论和总结。
教师引导学生相互交流和讨论他们的猜想和验证过程，引导学生总结出球体积的计算公式。
第五步：应用场景探究（20分钟）1. 引导学生探索求解实际问题的方法。
给学生一些实际问题，例如“一个小球的体积是500 cm³，求其半径”，鼓励学生运用刚刚学到的知识进行解答。
2.让学生分享并讨论解题思路和答案。
学生可以相互交流并分享他们的解题思路和答案，教师指导他们从不同角度思考和解决问题。
【人教B版】祖暅原理与几何体的体积
【人教B 版】祖暅原理与几何体的体积学习目标 1.理解祖暅原理的内容.2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导.3.掌握柱、锥、台和球的体积公式．知识点一祖暅原理1．内容：幂势既同，则积不容异．2．含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．3．应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．知识点二柱、锥、台、球的体积公式其中S 1，S 212R 表示球的半径．1．锥体的体积等于底面面积与高之积．()2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．()3．两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.()一、柱体、锥体、台体的体积例1(1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12cm ，宽8cm 的矩形，则这个圆柱的体积为()A.288πcm 3B.192πcm 3C．288πcm3D．192πcm3(2)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为BD1的中点，设三棱锥O－ABD的体积为V1，四棱锥O－ADD1A1的体积为V2，则V1V2的值为()A．1 B.12C.13D.14跟踪训练1正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm，侧面面积为780cm2.求其体积．二、球的体积例2(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；(2)已知球的体积为5003π，求它的表面积．跟踪训练2一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4cm，则该球的体积是()A.100π3cm3 B.208π3cm3C.500π3cm3 D.41613π3cm3三、组合体的体积例3如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6cm，高为3cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4cm，高为2cm，现从中间挖去一个直径为2cm的圆柱，求此几何体的体积．跟踪训练3如图所示是一个下半部分为正方体、上半部分为正棱柱的盒子(中间连通)．若其表面积为(448＋323)cm2，则其体积为()A．(512＋1283)cm3B．(216＋1283)cm3C．(512＋643)cm3D．(216＋643)cm31．直径为6的球的表面积和体积分别是()A ．144π，144πB ．144π，36πC ．36π，144πD ．36π，36π2.如图，圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为()A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm3．现有一个底面直径为20cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm ，高为20cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降()A ．0.6cmB ．0.15cmC ．1.2cmD ．0.3cm4．已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的高为________，体积为________．5．若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为________．1．知识清单：柱体、锥体、台体、球的体积公式．2．方法归纳：方程思想．3．常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚．1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于()A ．3B ．2C ．1D.122.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为()A.14 B.12C.36 D.343．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是()A.64π3B.128π3C ．64πD ．1282π4．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A.4π3B.2π3C.3π2D.π65.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.23πB.43πC.53πD ．2π6.如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是________．7．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．8．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，则h ＝________.9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．10．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm 和30cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．11.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为()A ．5πB ．6πC ．20πD ．10π12．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A.26B.23C.33D.2313．在如图所示的圆锥中，O 为底面圆心，半径OA ⊥OB ，且OA ＝VO ＝1，则点O 到平面VAB 的距离为()A.33B.32C.23D.2214．如图1所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm 和半径为3cm 的两个圆柱组2所示水平放置时，液面高度为20cm ；当这个几何体如图3所示水平放置时，液面高度为28cm ，则这个简单几何体的总高度为()A ．29cmB ．30cmC ．32cmD ．48cm15．在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为2的正四棱锥S －EFGH (如图2)，则正四棱锥S －EFGH 的体积为________．16．已知四面体的各面都是棱长为a 的正三角形，求它外接球的体积．参考答案1．(×)2．(√)3．(×)一、柱体、锥体、台体的体积例1(1)答案AB解析当圆柱的高为8cm 时，V ＝π×8＝288π(cm 3)，当圆柱的高为12cm 时，V ＝π××12＝192π(cm 3)．(2)答案B解析V 1＝121D ABD V －＝121B ADD V －＝1411B ADD A V －＝1211O ADD A V －＝12V 2，则V 1V 2＝12.故选B.反思感悟(1)常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．(2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1解正四棱台的大致图形如图所示，其中A 1B 1＝10cm ，AB ＝20cm ，取A 1B 1的中点E 1，AB的中点E ，连接E 1E ，则E 1E 为斜高．设O 1，O 分别是上、下底面的中心，连接O 1O ，则四边形EOO 1E 1为直角梯形．∵S 侧＝4×12×(10＋20)×EE 1＝780(cm 2)，∴EE 1＝13cm.在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5cm ，OE ＝12AB ＝10cm ，∴O 1O ＝132－ 10－5 2＝12(cm)．故该正四棱台的体积为V ＝13×12×(102＋202＋102×202)＝2800(cm 3)．二、球的体积例2解(1)设球的半径为r ，则由已知得4πr 2＝64π，r ＝4.所以球的体积V ＝43×π×r 3＝2563π.(2)设球的半径为R ，由已知得43πR 3＝5003π，所以R ＝5，所以球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.反思感悟(1)求球的体积，关键是求球的半径R .(2)球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等．跟踪训练2答案C解析根据球的截面的性质，得球的半径R ＝32＋42＝5(cm)，所以V 球＝43πR 3＝500π3(cm 3)．三、组合体的体积例3解V 六棱柱＝34×42×6×2＝483(cm 3)，V 圆柱＝π·32×3＝27π(cm 3)，V 挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm 3)，∴此几何体的体积V ＝V 六棱柱＋V 圆柱－V 挖去圆柱＝(483＋22π)(cm 3)．反思感悟求组合体的表面积和体积的三个基本步骤(1)弄清楚它是由哪些基本几何体构成的，组成形式是什么．(2)根据组合体的组成形式设计计算思路．(3)根据公式计算求值．跟踪训练3答案A解析设正方体的棱长为a cm ，则5a 2＋2a 2＋34a 2×2＝448＋323，解得a ＝8(cm)．∴该几何体的体积为a 3＋34a 2·a ＝512＋1283(cm 3)．1．答案D解析因为球的直径为6，所以半径R ＝3，所以S 表＝4πR 2＝36π，V ＝43πR 3＝4π3×27＝36π.故选D.2.答案B解析由题意可得，设球的半径为r ，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，∴3×43πr 3＝πr 2(6r －6)，解得r ＝3，故选B.3．解析设杯里的水下降h cm ，由题意得h ＝13×20×π×32解得h ＝0.6cm.4．答案8224π解析设上底面半径为r ，则下底面半径为4r ，高为4r ，如图．∵母线长为10，∴102＝(4r )2＋(4r －r )2，解得r ＝2.∴下底面半径R ＝8，高h ＝8，∴V 圆台＝13π(r 2＋rR ＋R 2)h ＝224π.5．答案223π解析设圆锥的高为h ，母线为l ，因为S 侧＝3S 底，由S 侧＝πrl ，S 底＝πr 2，得π×1×l ＝3π×12，即l ＝3，则h ＝l 2－r 2＝22，故该圆锥的体积为V ＝13S 底·h ＝223π.1．答案A解析设球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，所以R ＝3.2.答案D解析V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．答案A解析设圆锥的母线长为l ，底面半径为r .由题意知，l ＝2r ，①S 侧＝πrl ＝162π，②由①②可得r ＝4，l ＝42，V 圆锥＝13πr 2h ＝π3r 2l 2－r 2＝643π.4．答案A解析由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，半径为1，其体积是43×π×13＝4π3.5.答案C解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.6.答案23解析∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13，∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.7．答案3∶1∶2解析设球的半径为R ，则V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 圆锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.8．答案32a 解析设圆锥形容器的液面的半径为R ，则液体的体积为13πR 2h ，圆柱形容器内的液体体积为h .根据题意，有13πR 2h ＝h ，解得R ＝32a .再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得32a a ＝h a ，所以h ＝32a .9．解该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l＝43π×13＋π×12×3＝13π3.10．解如图所示，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中点，连接OO ′，A ′D ′，AD ，DD ′，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，记为h 0，所以S侧＝3×12×(20＋30)h 0＝75h 0.上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75h 0＝3253，所以h 0＝1333(cm)．又O ′D ′＝13×32×20＝1033(cm)，OD ＝13×32×30＝53(cm)，记棱台的高为h ，则h ＝O ′O ＝h 20－ OD －O ′D ′2＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积V ＝h 3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×3253＋34×20×＝1900(cm 3)．所以棱台的高为43cm ，体积为1900cm 3.11.答案D 解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.12．答案B 解析以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个完全相同的正四棱锥的组合体，每个棱锥的高是正方体高的一半，底面面积是正方体一个面的面积的一半，所以所求体积为V ＝2×13××2×22＝23.故选B.13．答案A 解析由题意可得三棱锥V －AOB 的体积为V V －AOB ＝13S △AOB ·VO ＝13×12×1×1×1＝16.△VAB 是边长为2的等边三角形，其面积为34×(2)2＝32，设点O 到平面VAB 的距离为h ，则V O －VAB ＝13S △VAB ·h ＝13×32h ＝V V －AOB ＝16，解得h ＝33，即点O 到平面VAB 的距离是33.14．答案A解析设上、下圆柱的半径分别是r cm ，R cm(r <R )，高分别是h cm ，H cm.由水的体积不变得πR 2H ＋πr 2(20－H )＝πr 2h ＋πR 2(28－h )，整理得(R 2－r 2)(H ＋h )＝28R 2－20r 2，又r ＝1cm ，R ＝3cm ，故解得H ＋h ＝29，即这个简单几何体的总高度为29cm.15．答案43解析如图，连接EG ，HF 交于点O ，连接SO .由题意知正方形EFGH 的对角线EG ＝2，EO ＝1，则点E 到线段AB 的距离为1，且EB ＝12＋22＝5，SO ＝SE 2－OE 2＝5－1＝2，故正四棱锥S －EFGH 的体积为13×(2)2×2＝43.16．解如图，设SO 1是四面体S －ABC 的高，则外接球的球心O 在SO 1上．设外接球半径为R .∵四面体的棱长为a ，O 1为正三角形ABC 的中心，∴AO 1＝23×32a ＝33a ，SO 1＝SA 2－AO 21＝a 2－13a 2＝63a ，在Rt △OO 1A 中，R 2＝AO 21＋OO 21＝AO 21＋(SO 1－R )2，即R 2－，解得R ＝64a ，∴所求外接球的体积V 球＝43πR 3＝68πa 3.。
数学人教版高中一年级必修2 祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
教学的重点和难点
重点：引导学生运用祖暅原理推出柱体、 锥体、球体的体积公式。
难点：运用祖暅原理探究球体体积公式 时，构造“等积体”。理解数学中割补 思维方法 。
教材分析
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
二、学情分析
我校是省级重点中学，学生思维活跃， 知识面广，好奇心和求知欲强，乐于接受 挑战，但部分学生缺乏探究意识和钻研精 神。为适应学生这一特点，调动学生的学 习积极性，满足其学习愿望，本节课采用 以教师为引导，学生为主体的探究学习形 式。
1 2
V球
= R2
R
1
3
R2 R
=
2 3
R3
R 所以
V球 = 34
3
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
回顾小结
说说这节课你有什么收获 和体会？
设计意图
通过学生自 己谈体会谈 收获，发挥 了学生主体 作用。学生 对本节课思 路重新梳理， 进一步巩固
了知识
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
七、教学评价
2. 以感性、直观、突出重点为主，分层设置 问题，突破难点。
3.鼓励学生独立思考，引导学生自主探索、合 作交流。
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
一、创设情境 引入新课
1、把一叠摆放不整齐的作业本放在讲台上。
设计意图
设置问题
提问：你能求出这叠作业本的体积吗？ 情 境 ， 激 发
提问：能不能把这叠作业本摆放整齐 后再求其体积呢？
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
三、教材处理
根据新课程标准精神，教师可以 对教材进行恰当处理。依照认识规律， 我把本节探究内容调整至体积公式运 用之前，以帮助学生重建先探究再应 用的认知结构。
人教版高一数学必修二《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、》教案及教学反思
人教版高一数学必修二《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、》教案及教学反思一、教案设计1.教学目标通过本节课的学习，学生将会： - 了解祖暅原理的定义及其在几何学中的应用。
- 能够使用三视图来描述柱体和椎体的形状特征。
- 熟练掌握柱体和椎体表面积及体积的计算公式，并能够在实际问题中进行运用。
2.教学重点•祖暅原理的定义及其在几何学中的应用。
•柱体和椎体的三视图的绘制。
•柱体和椎体表面积及体积的计算公式及其运用。
3.教学难点•祖暅原理的具体应用及解题方法的讲解。
•柱体和椎体三视图的绘制方法。
4.教学方法•综合授课法；•讲解与练习相结合；•学生合作探究；•图像识别和计算机模拟。
5.教学过程5.1引入新知识通过展示一组物品的照片，如水瓶、柱形饮料广告牌等，引导学生理解并初步掌握祖暅原理的概念和应用。
5.2学生合作探究将学生分成小组，分别探究柱体和椎体的概念、形状特征以及表面积和体积的计算公式。
每个小组将自己的发现、总结和计算结果展示给全班同学。
5.3知识总结和归纳在学生合作探究的基础上，全班共同总结柱体和椎体的概念、形状特征以及表面积和体积的计算公式。
并分享实际问题中的操作技巧和解题方法。
5.4练习训练和答疑解惑在进行了相关练习和实例演练后，学生将进行答疑解惑，讨论疑难问题，并针对性地进行深入讲解。
5.5作业布置老师将按照教学进度和学生的掌握情况，布置相关的作业。
学生可以在完成作业的过程中，进一步巩固所学知识。
二、教学反思1.教学效果评估通过调查问卷的形式，对本课程进行了评估。
调查结果表明，学生们在课堂上有了更好的理解和掌握柱体、椎体及其相关知识点。
此外，学生对于课堂上的分组探究、练习训练等教学方法都持有较高的认可度。
2.优点本节课的优点： - 突出了学生的主体地位，采用学生合作探究和练习训练的教学方法，营造了积极向上的教学氛围。
- 尝试了不同的教学形式，通过展示照片、小组讨论、实际问题演练等方式丰富了教学内容，激发了学生的兴趣和主动性。
祖暅原理的详细内容
祖暅原理的详细内容
《祖暅原理的详细内容》
嘿，今天咱就来唠唠祖暅原理。
你知道不，这祖暅原理可老有意思啦！
话说啊，有一次我在家鼓捣积木。
我把一堆一样的积木堆成了一个奇奇怪怪的形状，就像个歪歪扭扭的小山丘。
然后呢，我又找了另外一堆同样的积木，把它们摆成了一个看起来完全不一样的形状。
这时候我就在想，这两个形状里的积木数量会不会一样呢？
嘿，这就跟祖暅原理搭上关系啦！祖暅原理说的呀，就是如果两个立体图形在等高处的截面积相等，那它们的体积就相等。
哎呀，说简单点，就是不管这两个东西长得多不一样，只要在同样的高度上切开后那截面一样大，那它们里面装的东西就一样多。
就像我那堆积木，虽然从外面看形状不一样，但是如果我一层一层去比较它们在同一高度的面积，说不定还真一样呢！你说神奇不神奇？这祖暅原理就像是个魔法，能让我们透过那些奇奇怪怪的外表，看到本质的东西。
以后啊，我再看到那些奇形怪状的东西，就会想起祖暅原理，想想它们里面是不是也藏着这样的小秘密呢。
嘿嘿，祖暅原理可真是让我大开眼界呀！
好啦，这就是祖暅原理的详细内容啦，是不是挺有趣的呀！。
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
祖暅原理的证明
• 祖暅原理的证明需要用到积分和微积分的基本定理，通过 构造一个适当的密度函数，并利用微积分的基本定理进行 推导，最终得出结论。
祖暅原理的应用
• 祖暅原理在数学、物理和工程等 领域有广泛的应用，例如在计算 几何、流体动力学、材料科学等 领域中，可以利用祖暅原理来求 解一些复杂的问题。
锥体体积公式的推导
推导过程
首先，利用祖暅原理将锥体分割成无 数个小的三棱锥。然后，利用三棱锥 的体积公式计算每个三棱锥的体积。 最后，将这些三棱锥的体积相加，得 到锥体的总体积。
注意事项
在推导过程中，需要注意每个三棱锥 的高和底面半径的取值范围，以及在 求和时对每个三棱锥的高和底面半径 进行积分。
方法：通过祖暅原理（也称为积分原理 ）将柱体分割成无数个小的长方体，然 后求和它们的体积。
3. 将所有小长方体的体积相加得到柱体 的总体积。
2. 计算每个小长方体的体积。
步骤 1. 将柱体分割成无数个小的长方体。
03 锥体的体积
锥体的定义与性质
锥体的定义
锥体是一个三维几何体，由一个顶点 与一个封闭的曲面组成，其中顶点与 曲面上任意一点连线的长度都相等。
祖暅原理与柱体、锥 体、球体的体积
目录
CONTENTS
• 祖暅原理介绍 • 柱体的体积 • 锥体的体积 • 球体的体积 • 祖暅原理与柱体、锥体、球体体积的关
系
01 祖暅原理介绍
祖暅原理的内容
• 祖暅原理是数学中的一个重要定理，它指出对于一 个非退化的线段，如果线段上任意点的密度与该点 到线段垂直投影的距离成反比，则线段上各点的密 度之和等于该线段上任意两点的距离与它们到线段 垂直投影的距离乘积之和。
详细描述
《祖暅原理与几何体的体积》 教学设计
《祖暅原理与几何体的体积》教学设计一、教学目标1、让学生理解祖暅原理的内容，掌握其在求几何体体积中的应用。
2、培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
3、通过实际问题的解决，激发学生学习数学的兴趣，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重难点1、重点（1）祖暅原理的理解和掌握。
（2）运用祖暅原理求常见几何体的体积。
2、难点（1）祖暅原理的证明思路和应用条件。
（2）将不规则几何体转化为可用祖暅原理求解的几何体。
三、教学方法讲授法、演示法、讨论法、探究法相结合四、教学过程1、导入新课通过展示一些生活中常见的几何体，如圆柱、圆锥、球体等，引导学生思考如何计算它们的体积。
提出问题：对于一些形状不规则的几何体，我们又该如何求其体积呢？从而引出本节课的主题——祖暅原理。
2、讲解祖暅原理（1）介绍祖暅原理的内容：“幂势既同，则积不容异”。
用通俗的语言解释为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
（2）通过具体的图形，如等高的圆柱体和长方体，让学生直观地理解祖暅原理。
3、祖暅原理的证明（1）引导学生思考如何证明祖暅原理。
（2）以简单的几何体为例，如两个等高的棱柱，通过分割、拼补等方法，证明它们的体积相等。
4、应用祖暅原理求几何体的体积（1）例 1：求半径为 R 的半球的体积。
引导学生将半球与一个倒立的圆锥组合，利用祖暅原理求解。
详细讲解计算过程，让学生掌握求解方法。
（2）例 2：求一个底面半径为 r，高为 h 的圆台的体积。
启发学生将圆台转化为一个大圆锥减去一个小圆锥，再运用祖暅原理。
让学生自己动手计算，教师巡视指导。
5、小组讨论（1）给出一个不规则几何体，让学生分组讨论如何运用祖暅原理求其体积。
（2）每组派代表发言，分享讨论结果，教师进行点评和总结。
6、课堂练习布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识，及时反馈学生的学习情况。
高考数学公开课祖暅原理ppt课件
针对典型题目进行深入解析，剖析其解题思路和方 法，帮助考生掌握类似题目的解题技巧。
03
通过真题训练，提高考生对祖暅原理的熟练程度和 解题速度，增强应试能力。
06
祖暅原理的拓展与应用
祖暅原理在其他数学领域的应用
立体几何
利用祖暅原理求解立体图形的体积，如圆柱、圆 锥等。
微积分
在定积分的应用中，祖暅原理为求解曲边梯形面 积提供了几何直观。
祖暅原理的基本内容
01 02
原理表述
夹在两个平行平面之间的两个立体图形，被平行于这两个平面的任意平 面所截，如果所得两个截面的面积相等，那么这两个立体图形的体积相 等。
应用范围
祖暅原理在求解一些立体几何问题，特别是与柱体、锥体、台体等有关 的体积问题时，具有广泛的应用价值。
03
证明方法
祖暅原理的证明方法采用了“出入相补”的原理，即通过图形的分割和
例题1
利用祖暅原理判断两个立体图形 的体积是否相等，并给出证明过
程
例题2
利用祖暅原理求一个复杂立体图形 的体积
例题3
结合实际问题，利用祖暅原理进行 建模并求解
04
祖暅原理与解析几何
解析几何中的等积问题
01
等底等高的几何体体积相等
02
平行截面面积相等的几何体体积相等
通过坐标变换求解等积问题
03
利用祖暅原理解决解析几何问题
拼接来证明两个立体图形的体积相等。这种方法体现了中国古代数学的
独特思维方式和智慧。
02
祖暅原理的几何意义
几何图形的等积变换
1
祖暅原理指出，如果两个几何体在同高处所截得 的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等。
高考数学公开课祖暅原理课件
高考数学公开课祖暅原理课件教学内容：本节课我们学习的是高中数学中的重要内容——祖暅原理。
祖暅原理是中国古代数学家祖冲之提出的，它是解决圆锥曲线问题的重要工具。
本节课我们将学习祖暅原理的基本概念和应用。
教学目标：1. 了解祖暅原理的基本概念和性质。
2. 学会运用祖暅原理解决相关问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学难点与重点：难点：祖暅原理的理解和应用。
重点：祖暅原理的证明和运用。
教具与学具准备：教具：黑板、粉笔、投影仪。
学具：笔记本、尺子、圆规、三角板。
教学过程：一、引入通过一个实际问题引入本节课的内容：在一个平面内，有两个圆，一个内切于另一个，求证两圆的切点、圆心连线构成的三角形是直角三角形。
二、讲解1. 介绍祖暅原理的基本概念：祖暅原理是指，在圆锥曲线中，从曲线上任意一点向曲线的准线作垂线，垂线的长度等于从该点到曲线的焦点的距离。
2. 证明祖暅原理：通过几何图形，利用相似三角形和勾股定理，证明祖暅原理。
3. 讲解祖暅原理的应用：通过实际问题，展示如何运用祖暅原理解决问题。
三、练习1. 让学生独立完成教材中的例题。
2. 让学生分组讨论，尝试解决教材中的练习题。
板书设计：祖暅原理：1. 基本概念：从圆锥曲线上的任意一点向曲线的准线作垂线，垂线的长度等于从该点到曲线的焦点的距离。
2. 证明：利用相似三角形和勾股定理。
3. 应用：解决圆锥曲线相关问题。
作业设计：1. 教材第34页习题1.2.3。
(1) 在一个平面内，有两个圆，一个内切于另一个，求证两圆的切点、圆心连线构成的三角形是直角三角形。
(2) 在一个圆锥曲线中，从曲线上任意一点向曲线的准线作垂线，垂线的长度等于从该点到曲线的焦点的距离。
课后反思及拓展延伸：通过本节课的教学，学生应该掌握了祖暅原理的基本概念和应用。
在课后，学生可以进一步深入研究祖暅原理的其他方面，如证明的推广和应用的拓展。
同时，教师可以通过布置一些相关的实际问题，让学生运用祖暅原理解决，提高学生的解决问题的能力。
11.1.6祖暅原理与几何体的体积-人教B版高中数学必修第四册(2019版)教案
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积-人教B版高中数学必修第四册（2019版）教案一、课前准备1. 教学目标•了解祖暅原理的概念•掌握使用祖暅原理求解几何体的体积•熟悉立方体、棱锥、棱台、圆柱、圆锥的体积公式2. 教学准备•教师准备：几何体模型、白板、黑板、黑板笔、讲义•学生准备：课本、文具二、教学过程1. 祖暅原理祖暅原理是一个重要的几何体积计算方法。
它的原理是：在一个等截面曲线所切的平面上，从任意一个截面到另一个截面所圈成的曲柱体的体积是相等的。
这个原理可以形象地理解为将一个几何体剖成许多个截面，然后把所有的曲柱体相加，就可以得出几何体的体积。
2. 祖暅原理的应用在实际问题中，我们经常需要求解复杂的几何体的体积。
利用祖暅原理，我们可以将几何体分割成若干个截面，再将每个截面转化为曲柱体，就可以方便地求解几何体的体积。
例如，下图是一个由4个等腰直角三角形组成的立方体的截面图：/|B / |/___|_______| | /|| | A / || D/___|___E|| / | ||/_____|___|C F我们可以将立方体分割成多个截面，如下图所示：/|\\/ | \\/ | \\/___|___\\| | |___|____|____|___| | | | || | | | || | | | || ___|___|___|___ ||/ | | | \\|/ | | | \\|___ |___|___| ___|| | | ||G| |H||_|_______|_|现在，我们只需要计算每个截面的体积，再将它们相加，就可以得到整个立方体的体积。
3. 几何体的体积公式除了使用祖暅原理，我们还可以使用几何体的体积公式来求解几何体的体积。
下表列出了常见几何体的体积公式：几何体体积公式立方体V=a³正方体V=a³棱锥V=1/3 * S * h棱台V=1/3 * (S1 + S2 + √S1S2) * h圆柱V=πr²h圆锥V=1/3 * πr²h其中，a表示边长，S表示底面积，h表示高，r表示圆柱或圆锥的底面半径。
黄老师讲数学(1011)牟合方盖与祖暅原理
黄老师讲数学(1011)牟合方盖与祖暅原理一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学四年级下册第六章《角的度量》中的第75页例1和第76页的"做一做"。
具体内容为牟合方盖与祖暅原理。
牟合方盖是一种古代中国建筑形式，它的特点是四个角都是直角，四边相等。
祖暅原理是指在一个牟合方盖中，如果一条对角线将牟合方盖分成两个全等的三角形，那么这条对角线等于两个直角边长的乘积的平方根。
二、教学目标1. 让学生通过观察和操作，理解牟合方盖的特点，掌握祖暅原理，并能够运用其解决实际问题。
2. 培养学生的空间想象力，提高他们的几何思维能力。
3. 培养学生合作学习的能力，提高他们的团队协作精神。
三、教学难点与重点重点：掌握牟合方盖的特点，理解祖暅原理。
难点：如何引导学生理解和运用祖暅原理解决实际问题。
四、教具与学具准备教具：课件、牟合方盖模型、直角三角板。
学具：学生用书、练习本、铅笔、橡皮。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察教室里的桌子，描述其形状，引出牟合方盖的概念。
2. 讲解牟合方盖的特点：通过课件展示牟合方盖的图片，讲解其四个角都是直角，四边相等的特点。
3. 讲解祖暅原理：通过课件展示祖暅原理的证明过程，讲解其含义和应用。
4. 例题讲解：出示例题，让学生观察并解答。
例题：在一个牟合方盖中，一条对角线将牟合方盖分成两个全等的三角形，求这条对角线的长度。
5. 随堂练习：让学生独立完成练习题，检验对祖暅原理的理解和运用。
六、板书设计牟合方盖：四个角都是直角，四边相等祖暅原理：一条对角线将牟合方盖分成两个全等的三角形，对角线等于两个直角边长的乘积的平方根七、作业设计1. 完成学生用书上的练习题。
题目：在一个牟合方盖中，一条对角线将牟合方盖分成两个全等的三角形，求这条对角线的长度。
答案：根据祖暅原理，对角线的长度等于两个直角边长的乘积的平方根。
2. 思考题：如果你有一个牟合方盖，你会如何测量其对角线的长度？八、课后反思及拓展延伸本节课通过牟合方盖和祖暅原理的讲解，让学生掌握了牟合方盖的特点，学会了运用祖暅原理解决实际问题。
祖暅原理完整课件
祖暅原理的应用不仅仅局限于几何学领域，还可以拓展到物理学、 工程学等其他领域，为这些领域的发展提供了数学支持。
提高了数学家的思维能力
祖暅原理的证明需要较高的数学思维能力，因此它的提出也促进了 数学家思维能力的提高。
对后世数学家启示意义
重视基础概念的研究
祖暅原理的提出，强调了基础概念在数学发展中的重要性，对后世 数学家注重基础概念的研究产生了积极的影响。
主要贡献
祖暅在数学方面的主要贡献包括提出祖暅原理，即等高处横截面积相等的两个 立体，其体积也必然相等。这一原理在解决一些复杂的几何问题时具有重要的 作用。
南北朝时期数学发展概况
南北朝时期数学发展背景
南北朝时期是中国古代数学发展的重要阶段，这一时期的数 学家们在继承和发扬前人成果的基础上，取得了许多新的突 破和进展。
如何运用祖暅原理解决实际问题？解决方案：结合实际问题进行分析和讲解，引导学生掌握运用祖暅原理解 决实际问题的思路和方法；同时加强练习和巩固，提高学生的解题能力。
难点三
如何在现代数学视角下重新审视祖暅原理？解决方案：介绍现代数学中的相关概念和性质，引导学生了解祖 暅原理在现代数学中的地位和作用；同时鼓励学生进行探究和创新，发现新的证明方法和应用领域。
祖暅原理完整课件
contents
目录
• 祖暅简介与历史背景 • 祖暅原理内容及表述方式 • 祖暅原理证明方法及过程剖析 • 祖暅原理在几何学中应用举例 • 祖暅原理对数学发展影响及评价 • 跨学科视角下的祖暅原理思考
01
祖暅简介与历史背景
祖暅生平及主要贡献
祖暅生平
祖暅是南北朝时期著名的数学家和天文学家，他的一生致力于数学和天文学的 研究，为后世留下了宝贵的学术遗产。
《祖暅原理与几何体的体积》第1课时示范教学方案人教新课标B版
《祖暅原理与几何体的体积》教学设计第1课时◆教学目标了解祖暅原理的内容，掌握利用祖暅原理推导柱体、锥体的体积公式的过程；掌握柱体、锥体、台体、球的体积公式、能运用公式解决简单的实际问题．◆教学重难点◆教学重点：利用祖暅原理推导柱体、锥体的体积公式、并运用体积公式解决简单的实际问题．教学难点：空间问题转化为平面问题解决问题，割补转化法求几何体的体积．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、问题导入祖暅简介：祖暅，字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县人（今河北省涞源县人），南北朝时代的伟大科学家．祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了体积的计算原理．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”即是面积．祖冲之父子是我们中华民族的骄傲和自豪．祖暅原理的提出要比其他国家的数学家早一千多年．在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里提出上述结论．问题1：在小学时我们就已经学过，一个几何体所占空间的大小称为这个几何体的体积，长方体的体积，圆柱的体积都等于底面积乘以高．下面我们探讨其他几何体体积的求法．同一摞书挡改变摆放书的形式时，这摞书的总体积是否会改变？由此能得到有关体积的什么结论？设计意图：认识历史人物，引出祖暅原理与几何体的体积．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习祖暅原理与几何体的体积.（板书：祖暅原理与几何体的体积）【新知探究】问题2：祖暅原理及其含义是什么？师生活动：学生分析，给出答案．追问：（1）夹在两个平行平面间的三棱锥和三棱柱，如果它们的底面积相等，那么这两个几何体的体积是否相等？（2）若三棱柱ABC－A1B1C1与圆柱O′O的高相等，且△ABC的面积与底面圆O的面积相等，那么它们的体积是否相等？预设的答案：祖暅原理：幂势既同，则积不容异. 含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．（1）被平行于这两个平面的任意平面所截时，三棱锥和三棱柱不满足两个截面的面积总相等，故这两个几何体的体积不相等．（2）根据祖暅原理，知三棱柱ABC－A1B1C1与圆柱O′O的体积相等．设计意图：通过对生活简单实验的分析，介绍和揭示祖暅原理．问题3：如图，下面是底面积都等于S ，，高都等于h 的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体的体积公式吗？师生活动：学生分析，给出答案．预设的答案：(1)结论：等底面积、等高的两个柱体，体积相等.(2)体积：如果柱体的底面积为S ，高为h ，则柱体的体积计算公式为V 柱体＝Sh .设计意图：了解柱体体积公式．发展学生数学抽象和直观想象的核心素养．问题4：棱锥和圆锥的体积如何计算？师生活动：学生分析，给出答案．追问：如图所示的直三棱柱可以分成3个三棱锥，所得到的，3个三棱锥的体积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？棱台、圆台的体积如何求解？预设的答案：(1)结论：等底面积、等高的两个锥体，体积相等.(2)体积：如果锥体的底面积为S ，高为h ，则椎体的体积计算公式为V 椎体＝13Sh . 因为台体可以看成锥体截去一个小锥体得到，所以，台体的体积可以通过计算锥体的体积之差来得到.设计意图：了解锥体、台体体积公式．发展学生数学抽象和直观想象的核心素养． 【巩固练习】 例1. 如图所示，长方体''''ABCD A B C D -中，求棱锥''ADD A 的体积和长方体的体积之比.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：已知的长方体可以看成直棱柱''''ADD A BCC B -．设它的底面''ADD A 面积为S ，高为h ，则长方体的体积为：''''ADD A BCC B V Sh -= 因为棱锥''D A CD -可以看成棱锥''C A DD -．且''A DD ∆的面积为12S ，棱锥''C A DD -的高为h ． 所以''''111326D A CD C A DD V V Sh Sh --==⨯= 因此所求体积比为1:6.设计意图：提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．例2. 已知棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则棱台的体积为________.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：V ＝13(4＋16＋8)×3＝28. 设计意图：提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．例3. (1)过长方体的一个顶点的三条棱长的比为1∶2∶3，对角线的长为214，求这个长方体的体积；(2)如图，在三棱台ABC －A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1－ABC ，三棱锥B －A 1B 1C ，三棱锥C －A 1B 1C 1的体积之比．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案： (1)设长方体的三条棱长分别为a ，2a ，3a ，由题意得a 2＋(2a )2＋(3a )2＝(214)2，得a ＝2，∴长方体的三条棱长分别为2，4，6，∴其体积V ＝2×4×6＝48.(2)设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S .∴VA 1－ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ． VC －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh . 又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ． ∴VB －A 1B 1C ＝V 台－VA 1－ABC －VC －A 1B 1C 1＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ，∴体积比为1∶2∶4. 设计意图：提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．【课堂小结】板书设计：11.1.6 祖暅原理与几何体的体积1.锥体与柱体的体积 例12.锥体的体积 例23.台体的体积 例3练习与作业：2．总结概括：问题：（1）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是什么？（2）在几何体的体积计算中，有哪些数学思想？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．2．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”． 设计意图：本课以生活中的简单实验出发，揭示祖暅原理，了解柱体、锥体、台体和球的体积计算公式，并能够运用体积公式求简单几何体的体积．从而发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养．布置作业：【目标检测】1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．( )(2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关． ( )(3)由V 锥体＝13S ·h ，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面． 设计意图：发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养． 2. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π设计意图：发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养．3. 已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________.设计意图：发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养．4. 一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥体积．设计意图：发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养．参考答案：1.C (1)× (2)√ (3)√ 2．B 设轴截面正方形的边长为a ，由题意知S 侧＝πa ·a ＝πa2.又∵S 侧＝4π，∴a ＝2.∴V 圆柱＝π×2＝2π.3．3 由已知得4π＝13πr 2×4，解得r ＝ 3. 4．连接AH 并延长交BC 于E ，则E 为BC 的中点，且AE ⊥BC .∵△ABC 是边长为6的正三角形．∴AE ＝32×6＝3 3.∴AH ＝23AE ＝2 3. 在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝9 3. 在Rt △SHA 中，SA ＝15，AH ＝23．∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3.∴V 正三棱锥＝13S △ABC ·SH ＝13×93×3＝9.。
11.1.6祖暅原理与几何体的体积-人教B版高中数学必修第四册(2019版)教案
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积-人教B版高中数学必修第四册（2019版）教案1. 教学目标1.理解祖暅原理的概念和意义；2.掌握求解几何体体积的方法；3.能够结合实际应用问题来解决几何体的体积问题。
2. 教学重点和难点1.祖暅原理的应用；2.不规则几何体的体积求解。
3. 教学内容和步骤3.1 祖暅原理的概念和应用1.教师利用PPT介绍祖暅原理的概念和意义。
2.给出几个简单的例题来帮助学生理解祖暅原理的应用。
3.让学生自主完成分组讨论：在矩形桌子上放置若干书籍，问有多少种不同的放置方法？并得出结论：祖暅原理适用于同时完成多个事件的方案数的计算。
3.2 不规则几何体的体积求解1.介绍正六面体、正方体、三棱柱等规则几何体的体积求解方法，并让学生自主完成相应练习题。
2.提出不规则几何体的体积求解问题，并利用PPT展示相应例题，解答学生的疑问。
3.让学生分组合作，设计实验并进行数据收集。
根据收集到的数据，让学生自主计算出实验中不规则几何体的体积。
4. 教学评价方法和标准1.课堂练习题作为形式评价，满分100分；2.实验成果报告作为终结性评价，满分100分。
5. 教学设计说明1.本节课涉及了祖暅原理和不规则几何体的体积求解问题，既有理论性的知识，也有实践操作的环节，将教师的讲授和学生的活动相结合，以探究式学习为主导，让学生能够获得真正的知识体验和理解。
2.教学步骤在形式上体现了“由浅入深、由简单到复杂、由感性认识到理性认识”的原则，结合实例和实践，让学生能够逐步理解，并能够运用所学知识解决问题。
3.在教学评价中，除了传统的形式考核外，更注重实践的能力和综合素质，从实验报告中评价学生的综合能力和解决问题的能力，是此次教学设计的亮点。
人教B版数学必修祖暅原理与几何体的体积
11.1.6祖暅原理与几何体的体积学习目标核心素养1.了解柱体、锥体、台体和球的体积计算公式．(重点)2.能够运用柱体、锥体、台体、球的体积公式求简单几何体的体积．(重点)3.台体的体积及简单几何体的体积计算．(难点) 1.通过学习柱体、锥体、台体和球的体积公式，培养学生的数学运算核心素养.2.借助组合体的体积，提升直观想象的核心素养.1．祖暅原理(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．2．柱体、锥体、台体和球的体积公式其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．名称体积(V)柱体棱柱Sh圆柱πr2h锥体棱锥13Sh 圆锥13πr2h台体棱台13h(S＋SS′＋S′)圆台13πh(r2＋rr′＋r′2)球43πR31．若长方体的长、宽、高分别为 3 cm、4cm、5cm，则长方体的体积为()A．27 cm3B．60 cm3C．64 cm3D．125 cm3B[长方体的体积为3×4×5＝60(cm3)．]2．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为()A．15πB．30C．12πD．36πC[圆锥的高h＝52－32＝4，故V＝13π×32×4＝12π.]3．正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A．48 6 B．64C．16 D．96B[设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，所以正方体的体积为a3＝64.]4．若一个球的直径是12 cm，则它的体积为________cm3.288π[由题意，知球的半径R＝6 cm，故其体积V＝43πR3＝43×π×63＝288π(cm3)．]求柱体的体积【例1】如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm 的圆柱，求此几何体的体积．[解] V 六棱柱＝34×42×6×2＝483(cm 3)， V 圆柱＝π·32×3＝27π(cm 3)， V 挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm 3)， ∴此几何体的体积：V ＝V 六棱柱＋V 圆柱－V 挖去圆柱＝(483＋22π)(cm 3)．计算柱体体积的关键及常用技巧1．计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高． 2．常用技巧：(1)充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高．(2)由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积．1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．[解] 设正方体边长为a ，圆柱高为h ，底面半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝πr 2，2πrh ＝4a 2，①②由①得r ＝ππa ，由②得πrh ＝2a 2，∴V 圆柱＝πr 2h ＝2ππa 3，∴V 正方体∶V 圆柱＝a 3∶⎝ ⎛⎭⎪⎫2ππa 3＝π2∶1＝π∶2.求锥体的体积【例2】 如图，三棱台ABC -A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1-ABC ，三棱锥B -A 1B 1C ，三棱锥C -A 1B 1C 1的体积之比．[思路探究]AB ∶A 1B 1＝1∶2―→S △ABC ∶S △A 1B 1C 1―→计算VA 1－ABC ―→ 计算VC －A 1B 1C 1―→计算VB －A 1B 1C[解] 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S . ∴VA 1-ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ， VC -A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh . 又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴VB －A 1B 1C ＝V 台－VA 1－ABC －VC －A 1B 1C 1 ＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， ∴体积比为1∶2∶4.割补法与等积法求锥体体积三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．另外等积法也是常用的求锥体体积的一种方法．2．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D-ACD1的体积是()A．16B．13C．12D．1A[三棱锥D-ACD1的体积VD-ACD1＝VD1-ACD＝13S△ADC×D1D＝13×12×AD×DC×D1D＝13×12＝16.]求台体的体积【例3】已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积．[思路探究]可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而求出体积．[解]如图所示，正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝10cm，AB＝20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．由S侧＝4×12(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13，在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝12A1B1＝5，OE＝12AB＝10，∴O 1O ＝E 1E 2－(OE －O 1E 1)2＝12，V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20) ＝2 800 (cm 3)．故正四棱台的体积为2 800 cm 3.求台体体积的技巧求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．3．本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm 和4 cm ，侧棱长为2 cm ，求该棱台的体积．”[解] 如图，正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，上、下底面边长分别为2 cm 和4 cm ，则O 1B 1＝ 2 cm ， OB ＝2 2 cm ，过点B 1作B 1M ⊥OB 于点M ，那么B 1M 为正四棱台的高，在Rt △BMB 1中， BB 1＝2 cm ，MB ＝(22－2)＝ 2 (cm)． 根据勾股定理 MB 1＝BB 21－MB 2＝22－(2)2＝2(cm)．S 上＝22＝4 (cm 2)， S 下＝42＝16(cm 2)，∴V 正四棱台＝13×2×(4＋4×16＋16) ＝13×2×28＝283 2 (cm 3).求球的体积【例4】 过球面上三点A ，B ，C 的截面到球心O 的距离等于球的半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ，求球的体积和表面积．[思路探究] 解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径，截面圆半径和球心距构成的直角三角形．[解] 如图，设过A ，B ，C 三点的截面为圆O ′，连接OO ′、AO 、AO ′.∵AB ＝BC ＝CA ＝3(cm)， ∴O ′为正三角形ABC 的中心， ∴AO ′＝33AB ＝ 3 (cm)． 设OA ＝R ，则OO ′＝12R ， ∵OO ′⊥截面ABC ， ∴OO ′⊥AO ′，∴AO ′＝32R ＝ 3 (cm)，∴R ＝2(cm)，∴V 球＝43πR 3＝323π(cm 3)，S 球＝4πR 2＝16π(cm 2)． 即球的体积为323π cm 3，表面积为16π cm 2.与球有关的计算问题解题技巧球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．4．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.4[设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.则有πr2·6r＝8πr2＋3·43，3πr即2r＝8，所以r＝4 cm.]1．对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．(2)等底、等高的锥体和柱体的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的柱体的体积是锥体的体积的3倍．(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积．2．球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．()(2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关．()(3)由V锥体＝13S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面．()[答案](1)×(2)√(3)√2．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为() A．2B． 2C.32 D．1234C[设熔化后的球的半径为R，则其体积是原来小球的体积的2倍，即V＝43πR3＝2×43π×13，得R＝32.]3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于() A．πB．2πC．4πD．8πB[设轴截面正方形的边长为a，由题意知S侧＝πa·a＝πa2.又∵S侧＝4π，∴a＝2.∴V圆柱＝π×2＝2π.]4．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.3[由已知得4π＝13πr2×4，解得r＝ 3.]5．一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥体积．[解]如图所示，正三棱锥S-ABC.设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AE⊥BC.∵△ABC 是边长为6的正三角形， ∴AE ＝32×6＝3 3.∴AH ＝23AE ＝2 3. 在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝9 3. 在Rt △SHA 中，SA ＝15，AH ＝23， ∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3.∴V 正三棱锥＝13S △ABC ·SH ＝13×93×3＝9.。
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小实验：将一叠作业本放在桌面上组成一个几何体，将它改变一 下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高发生改变了吗？ 几何体的体积发生改变了吗？说明理由！
祖暅原理
“幂势既同，则积不容异” “幂”是面积，“势”即是高。 意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的 截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。
则红色部分也可以看成是什么图形的面积？ 以看成是在半径为R的圆面上挖去一个半径为L的 同心圆所得圆环的面积。由此你能推导出半球的 体积吗？
课堂小结： 知识方面：本节探究了利用祖暅原理获得了
柱体、锥体、球体的体积公式。 思维能力方面：体会到联想，类比，猜想
证明等合情推理及逻辑推理的 方法在探索新知识方面的重要ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ作用
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探究锥体的体积公式 问：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？
C1
B1 C1
B1
A1
A1
C
BC
B
A
A
分成的每个锥体的体积有什么关系？说明理由。
锥体的体积
V锥体
1 3
S底h
探究球体的体积
如图，设平行于大圆且与大圆的距离为L的平面
截半球所得圆面的半径为r，r= R2 l2
于是截面面积 S r2(R 2l2)R 2l2
探究柱体的体积公式 如图，下面是底面积都等于S，，高都等于 h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅 原理推导柱体的体积公式吗？
V长方体 S底h
从而我们可以得到所有
柱体的体积是_V__柱 __体 ____S__底h
如图，下面是底面积都等于S，，高都等于 h的任意棱锥和圆锥，你能用祖暅 原理推导锥体的体积公式吗？