高一数学下学期5月月考试题
福建省福州市闽侯县第一中学2023-2024学年高一下学期第二次月考(5月)数学试题(原卷版)
闽侯一中2023~2024学年度下学期第二次月考高一数学试卷考试时间120分钟 试卷满分150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 在平行四边形中，点满足，则（ ）A. B. C. D. 3. 的三个内角所对边的长分别为，若，则（ ）A. B. C. D. 4. 设是三个不同平面，且，，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为（ ）A B. C. D. 6. 图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器，现往内灌进一些水，设水深为.将容器底面的一边固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为，如图2，则（ ）.z ()1i 2i z +=z ABCD E 14AE AC = BE = 3144AB AD - 3144AB AD -+ 14AB AD - 14AB AD -+ ABC ,,A B C ,,a b c 4cos ,5,35B c a ===b=,,αβγl αγ= m βγ= //l m //αβ12π10π8π4π111ABC A B C -h AB 11A B C h =A. 3B. 4C.D. 67. 已知等腰梯形，，，圆为梯形内切圆，并与，分别切于点，，如图所示，以所在的直线为轴，梯形和圆分别旋转一周形成的曲面围成的几何体体积分别为，，则值为（ ）A. B. C. D. 8. 在锐角三角形中，已知，，分别是角，，，三角形的周长的取值范围是（ ）A. B. C.D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知，，则（ ）A. B. C. 与夹角为 D. 向量在向量方向上的投影向量为10. 设，，为复数，，下列命题中正确的是（ ）A. 若则B. 若则C. 若则D. 11. 正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体的棱长都是2（如图），则（ ）的的ABCD 2AB =6CD =O ABCD AB CD E F EF ABCD O 1V 2V 12V V 133136ABC a b c A B C 2sin a B =a =ABC (3(3(3+3⎡+⎣()2,0a = (b = a b a b +=- ()2a a b ⋅-= b a b + π6b a 12a z 1z 2z 12z z ≠12zz zz =0z =12z z =12zz zz =1212z z z z -=+120z z =1212z z z z +≤+ABCDEFA. 平面B. 直线与平面所成的角为60°C. 若点为棱上的动点，则的最小值为D. 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为______．13. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为，且，则______．14. 在中，已知为边上一动点，过点作一条直线交边于点.（1）若为中点，且，则___________.；（2）设，则的最大值是___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15. 如图，在平面四边形中，，，，，．//BE ADFBC BEDF P EB AP CP +P EB F ADP -43()()cos isin cos isin nn r r n n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦3ππ2cos isin 44⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ABC ,,a b c 222,4a c b ac +-==AB BC ⋅=ABC 2,3,60,AB BC ABC D ∠=== AB D AC ,E ADE ∠θ=D AB 60θ= DE DC ⋅=DE BA BC λμ=+ DEλμ+ ABCD 45ADB ∠=︒105BAD ∠=︒AD =2BC =3AC =（1）求边的长；（2）求面积．16. 如图，在直三棱柱中，，分别为线段，上的点，且平面．（1）求证：；（2）当为的中点，时，求证：．17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）设，若点是边上一点，，且，求，．18. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中，分别在棱，上．（1）求证：平面平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求多面体的体积．的AB ABC 111ABC A B C -D E BC AC //AB 1DEC 11//DE A B D BC AB BC =1BE C E ⊥ABC A B C a b c 2cos 2b C a c =+B 9b =M AC 2AM MC =MAB MBA ∠=∠a c 1111ABCD A B C D -M 1BB P 11A D 1DA MN 1CB PQ N Q BC 1DD 1//MNDA 1CB PQ CQ MN 11MNDA PQCB -19. 设非零向量，并定义（1）若，求；（2）写出之间的等量关系，并证明；（3）若，求证：集合有限集.是()()()*,,,k k k k k k x y y x k ==-∈N αβ2121k k k k k k x y ααβα++++⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩ ()()121,2,3,2==- αα3 α()*12,,k k k k ++∈N ααα121== αα{}*N k k ∈ ∣α。
2023-2024学年广东省广州市高一下学期5月月考数学质量检测模拟试题(含答案)
广东省广州市2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足1i2i 1i z --=+（i 为虚数单位），则z 的虚部是（）A.1B.iC.i- D.1-【正确答案】A【分析】根据复数的除法与虚部的定义求解即可.【详解】()()()21i 1i2i 2i 2i 2i i 1i 1i 1i 2z ---=+=+=+=++-，故虚部为1.故选：A2.已知()1,1a = ，()2,0b = ，()2,4c =r，则下列各组向量中，不能作为平面内一组基底的是（）A.a ，b c -B.a ，b c+C.a ，2b c-D.a ，2b c+【正确答案】B【分析】根据向量的坐标运算结合基底向量的定义逐项分析判断.【详解】对于A ：()0,4b c -=-r r，则()141040⨯--⨯=-≠，可得a ，b c - 不共线，则a ，b c -可以作为一组基底，故A 正确；对于B ：()4,4b c +=r r，则14140⨯-⨯=，可得a ，b c + 共线，则a ，b c +不可以作为一组基底，故B 错误；对于C ：()22,4b c -=-r r，则()141260⨯--⨯=-≠，可得a ，2b c - 不共线，则a ，2b c -可以作为一组基底，故C 正确；对于D ：()26,4b c +=r r，则141620⨯-⨯=-≠，可得a ，2b c + 不共线，则a ，2b c +可以作为一组基底，故D 正确；故选：B.3.在ABC中，若222a b c +=，则角C 等于（）A.30︒B.60︒C.150︒D.120︒【正确答案】A【分析】根据余弦定理可得cos C 的值，即得答案．【详解】在ABC 中，222a b c +=+，可得22233cos 222a b c C ab ab +-===，由于0180C ︒<<︒，故30C =︒，故选：A ．4.已知不重合的直线l ，m 和不重合的平面α，β，下列命题正确的是（）A.若l α∥，//l β，则//αβB.若l α⊥，l m ⊥，则//m αC.若l α⊥，l β⊥，则//αβD.若l ⊂α，m α⊂，//l β，//m β，则//αβ【正确答案】C【分析】根据空间中的线、面关系分析判断.【详解】对于A ：若//l α，//l β，则平面α，β的位置关系有：平行、相交，故A 错误；对于B ：若l α⊥，l m ⊥，则,m α的位置关系有：//m α或m α⊂，故B 错误；对于C ：若l α⊥，l β⊥，根据线面垂直的性质可知：//αβ，故C 正确；对于D ：根据面面平行的判定定理可得：若,l m 相交，则//αβ，否则不成立，故D 错误.故选：C.5.用半径为3cm ，圆心角为23π的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为（）A.1cmB.C.D.2cm【正确答案】B【分析】设圆锥的底面半径为rcm,根据底面圆的周长即扇形的弧长求出半径r,利用勾股定理可得答案.【详解】设圆锥的底面半径为rcm ，由题意底面圆的周长即扇形的弧长，可得2πr=23,3π⨯即底面圆的半径为1，.所以圆锥的高h ==,故选B本题考查圆锥侧面展开图的应用，圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.6.在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA ，DB ，DC 三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK ，如图2所示．若在图2中23DH DA =，则在图1中EFEG=（）A.49B.481C.427D.827【正确答案】B【分析】设出正方体的边长，利用水的体积相等建立方程求解【详解】当DA ，DB ，DC 三条棱与水平面所成角均相等时，三棱锥D HJK -为正三棱锥，设正方体的棱长为3，则2DH DK DJ ===，所以11142223323D HJK DHJ V S DK -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，则题图1中2433V EF =⋅=，则427EF =，所以481EF EG =.故选：B7.已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 下列选项中正确的是（）A.若222a b c +>，则ABC 是锐角三角形B.若sin cos A B =，则ABC 是直角三角形C.若22tan tan a B b A =，则ABC 是等腰三角形D.若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 是等边三角形【正确答案】D【分析】根据正、余弦定理结合三角函数、三角恒等变换逐项分析判断.【详解】对于A ：若222a b c +>，则222cos 02a b c C ab+-=>，因为()0,πC ∈，可得C 为锐角，但不确定,A B 是否为锐角，所以不能确定ABC 的形状，给A 错误；对于B ：因为()0,πA ∈，则sin cos 0A B =>，可得π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且πsin cos sin 2A B B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭或πsin cos sin 2A B B ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，可得π2A B =-或π2A B =+，故B 错误；对于C ：若22tan tan a B b A =，由正弦定理可得：22sin sin sin sin cos cos B AA B B A⨯=⨯，因为(),0,πA B ∈，则sin 0,sin 0A B ≠≠，可得sin cos sin cos A A B B =，整理得sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22πA B +=，即A B =或π2A B +=，可知ABC 是等腰三角形或直角三角形，故C 错误；对D ：因为(),,0,πA B C ∈，则()()()π,π,π,π,π,πA B B C C A -∈--∈--∈-，可得()(]()(]()(]cos 1,1,cos 1,1,cos 1,1A B B C C A -∈--∈--∈-，若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则()()()cos 1,cos 1,cos 1A B B C C A -=-=-=，可得0,0,0A B B C C A -=-=-=，即A B C ==，则ABC 是等边三角形，故D 正确；故选：D.8.有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l 米．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为0.9m l =米，则m 的值是（）A.8110B.10C.5D.【正确答案】A【分析】先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB ，再利用勾股定理求出硬管倾斜后能通过的最大长度，即可得到答案.【详解】如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB.设π,02BAQ θθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭,则π2ABQ θ∠=-.过A 作AC 垂直内侧墙壁于C ，B 作BD 垂直内侧墙壁于D ，则π3,,2AC BD CPA BAQ DPB ABQ θθ==∠=∠=∠=∠=-.在直角三角形ACP 中，sin sin AC CPA AP θ∠==,所以3sin sin AC AP θθ==.同理.3πcos sin 2BD BP θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭所以33π,0sin cos 2AB AP BP θθθ⎛⎫=+=+<< ⎪⎝⎭.因为333sin cos AB θθ=+≥⨯=≥sin cos θθ=且π4θ=时等号成立）.所以AB ≥.因为走廊的宽度与高度都是3米，所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为9l ===,所以810.90.9910m l ==⨯=.故选：A利用三角函数解应用题的解题思路：（1）画出符合题意的图形；（2）把有关条件在图形中标出；（3）建立三角关系式，利用三角函数求最值.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A.234i i i i 0+++=B.2i 1i+>+C.若()212i z =-，则z 在复平面内对应的点位于第四象限D.已知复数z 满足2z =，则复数z 对应点的集合是以O 为圆心，以2为半径的圆【正确答案】AD【分析】根据复数的概念，运算，几何意义，判断选项.【详解】A.234i i i i i 1i 10+++=--+=，故A 正确；B.虚数不能比较大小，故B 错误；C.()212i 34i z =-=--，则z 在复平面内对应的点为()3,4--，在第三象限，故C 错误；D.根据复数模的几何意义，可知D 正确.故选：AD10.关于平面向量，下列说法正确的是（）A.若a b ∥，b c ∥，则a c∥B.若()1,2a =r ，()4,3b = ，则a 在b 方向上的投影向量是86,55⎛⎫⎪⎝⎭C.若(),2a λ= ，()1,1b λ=+- ，且a 与b的夹角为钝角，则()2,1λ∈-D.若OA OC OB OD +=+且AB AD AC AB AD AC+= ，则四边形ABCD 为菱形【正确答案】BD【分析】根据向量共线的概念判断A ；根据投影向量的概念判断B ；根据向量夹角的概念判断C ；由向量的线性运算得AB DC =，可得ABCD 是平行四边形，则AB AD AC +=，由条件结合平面向量基本定理可判断D ．【详解】若0b = ，虽然有a b ∥，b c ∥，但不一定有a c∥，A 错；()1,2a =r ，()4,3b = ，则a 在b方向上的投影向量是24686(,)5,55(43)a b b b b ⋅+==，B 正确；当2(2,1)3λ=-∈-时，2a b =- ，两向量方向相反，夹角为π不是钝角，C 错；若OA OC OB OD +=+，即OB OA OC OD -=- ，则AB DC = ，所以ABCD 是平行四边形，则AB AD AC +=，又||||||AB AD ACAB AD AC +=，即||||||||AC AC AB AD AC AB AD += ，则||||1||||AC AC AB AD == ，所以AB AD AC ==，所以ABCD 是菱形，D 正确．故选：BD ．11.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点Q 为11B C 的中点，点N 为1DD 的中点，则下列结论正确的是（）A.CQ 与BN 为异面直线B.11CQ C D ⊥C.直线BN 与平面ABCD 所成角为30︒ D.三棱锥Q NBC -的体积为23【正确答案】AB【分析】对A ，直接观察判断即可；对B ，根据11C D ⊥平面11BCC B 判断即可；对C ，根据线面角的定义，结合直角三角形的性质求解即可；对D ，利用等体积法Q NBC N QBC V V --=求解即可.【详解】对A ，由图可得，,,C Q B 共面，且N 不在平面内，则CQ 与BN 为异面直线,故A 正确；对B ，由正方体性质可得11C D ⊥平面11BCC B ，又CQ ⊂平面11BCC B ，故11C D CQ ⊥,故B 正确；对C ，由ND ⊥平面ABCD 可得直线BN 与平面ABCD 所成角为NBD ∠，又2AB AD ==，则1BD ND ==，故tan4NBD ∠==，故30NBD ∠≠︒，故C 错误；对D ，111114·2223323Q NBC N QBC QBC V V S D C --===⨯⨯⨯⨯= ，故D 错误.故选：AB12.在锐角ABC 中，已知4,3AB AC ==，D 为边BC 上的点，BAD CAD ∠=∠，则线段AD 长的可能取值为（）A.B.C.3.3D.【正确答案】AB【分析】根据等面积公式，结合三角形是锐角三角形，求线段AD 的取值范围，即可判断选项.【详解】4,3AB AC ==，设AD x =，BC a =，BAD CAD θ∠=∠=，且AB BD AC DC =，所以47BD a =，37DC a =根据ABD ADC ABC S S S += ，得1114sin 3sin 43sin 2222x x θθθ⨯⋅+⨯⋅=⨯⨯⋅，得24cos 7x θ=，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么1222477x <<，角C 为锐角三角形，则ABC 中，2291609160a a ⎧+->⎨+->⎩，即2725a <<，ADC △中，223907a x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，229949x a <+，即2929710497x ≤+⨯=综上可知，12261477x <≤，只有AB 满足条件.故选：AB关键点点睛：本题考查解三角形中的范围问题，关键是如何应用锐角三角形这个条件，根据余弦定理和三角形面积公式，围绕锐角三角形列式，即可求解.三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.如图，A B C ''' 是斜二测画法画出的水平放置的ABC 的直观图，D ¢是B C ''的中点，且A D y ''∥轴，BC x ''∥轴，2AD ''=，2B C ''=，则ABC 的面积是________．【正确答案】4【分析】根据斜二测画法确定原图形，求解即可.【详解】由图象知：2BC B C ''==，24''==AD A D ，AD BC ⊥，D 为BC 的中点，ABC 的面积142S BC AD =⨯⨯=.故4.14.已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为104π，则其母线长为________．【正确答案】213【分析】由圆台的体积求得圆台的高h ，作出圆台的轴截面，由勾股定理可求得结果.【详解】圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，设圆台的高为h ，则该圆台的体积为22152ππ(2626)104π33V h h =⨯++⨯⨯==，则6h =，作出圆台的轴截面如图所示，上底面圆心为M ，下底面圆心为N ，MD ＝2，NC ＝6，过D 作DE ⊥NC ，则EC ＝6－2＝4，又DE ＝h ＝6，所以圆台的母线长为22213DC DE EC =+=．故答案为.21315.已知直三棱柱111ABC A B C -的高为4，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，则该三棱柱的外接球的体积为________．【正确答案】86π【分析】首先求出ABC 外接圆的半径r ，设直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径为R ，则()()22222R h r =+，即可求出R ，再根据球的体积公式计算可得.【详解】因为2AB AC ==，90BAC ∠=︒，所以222BC AB AC =+=设ABC 外接圆的半径为r ，则222sin BCr BAC==∠，又直三棱柱111ABC A B C -的高4h =，设直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径为R ，则()()22222R h r =+，即()(22224R =+，解得R =，所以外接球的体积34π3R V ==.故16.已知ABC 满足()AB AC AB AC BC ⋅=+⋅ ，则cos C 的最小值为________．【正确答案】23【分析】首先化简条件，再结合数量积公式和余弦定理化简得到2223a b c +=，再结合余弦定理和基本不等式求解.【详解】由条件可知，22()()A AB A A C A C B B AC AB A C ⋅=-=-+⋅ ,设,,AB c AC b BC a ===，则22cos bc A b c =-，即22222cos 2b c b c a A bc bc -+-==，则2222222b c b c a -=+-，化简为2223a b c +=，222222222222cos 233a b c a b c c C ab a b c +-+-=≥==+，当a b =时等号成立，所以cos C 的最小值是23.故23四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()()32,,1，=-= a b x .（1）若()()22a b a b +⊥- ，求实数x 的值；（2）若()()8,1,//=--+ c a b c ，求向量a 与b 的夹角θ.【正确答案】（1）6x =或32x =-.（2）π4θ=【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示和数量积的坐标表示列出方程，解方程即可；（2）根据共线向量的坐标表示列出方程，解之可得5x =，结合数量积的定义计算即可求解.【小问1详解】已知()()=3,2,=,1a b x - ，所以()()232,0,26,5+=+-=- a b x a b x .又因为()()22a b a b +⊥- ，所以有()()220a b a b +⋅-=r r r r ，所以()()326050x x +-+⨯=，解得6x =或32x =-.【小问2详解】因为()8,1c =-- ，所以()8,2b c x +=-- .又()//a b c + ，所以()()32280x ⨯--⨯-=，解得5x =，所以()=5,1b - .所以cos 2||||a b a b θ⋅==⋅ ，因为0πθ≤≤，所以π4θ=.18.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b，c 2sin 0b C -=.（1）求角B的大小；（2）从条件①4b a ==；条件②2,4a A π==这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积.【正确答案】（1）3B π=（2）条件①：+；条件②：332+【分析】（1）首先利用正弦定理边化角求出sin B ，再结合角的范围，即可求得.（2）选条件①：首先利用余弦定理求出2c =.选条件②:首先利用正弦定理求出b ，再结合三角函数恒等变换求出sin C ，再利用三角形面积公式即可求得.【小问1详解】解：（12sin 0bC -=2sin sin 0C B C -=．因为0,,sin 02C C π⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭，所以sin 2B =．又因为0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3B π=．【小问2详解】选条件①：4b a ==；因为4b a ==，由（1）得3B π=，所以根据余弦定理得2222cos =+-⋅⋅b c a c a B ，可得24110c c --=，解得2c =+所以ABC 的面积1sin 2S c a B =⋅=，选条件②：2,4a A π==；由（1）知3B π=且4A π=，根据正弦定理得sin sin b a B A =，所以sin sin ⋅==a B b A ，因为512C A B ππ=--=，所以5sin sin sin 12464C πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，所以ABC 的面积13sin 22=⋅=S b a C ．19.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm ．（1）这种“浮球”的体积是多少3cm （结果精确到0.1)（2）要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克附：π 3.14≈．【正确答案】（1）169.6（2）3768【分析】（1）分别求出两个半球的体积1V ，和圆柱体的体积2V ，即可求出“浮球”的体积；（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解.【小问1详解】该半球的直径6cm d =，所以“浮球”的圆柱筒直径也是6cm ，得半径3cm R =，所以两个半球的体积之和为3344ππ2736πcm 33球==⋅=V R ，而23ππ9218πcm 圆柱=⋅=⨯⨯=V R h ，该“浮球”的体积是336π18π54π169.6cm 球圆柱=+=+=≈V V V ；【小问2详解】上下两个半球的表面积是224π4π936πcm 球表==⨯⨯=S R ，而“浮球”的圆柱筒侧面积为22π2π3212πcm 圆柱侧==⨯⨯⨯=S Rh ，所以1个“浮球”的表面积为24436π12π48πm 1010+==S ，因此，2500个“浮球”的表面积的和为244825002500π12πm 10=⨯=S ，因为每平方米需要涂胶100克，所以总共需要胶的质量为：10012π3768⨯≈（克）．20.如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B 同在水平面内的两个测点C 与D .在C 点测得塔底B 在北偏东45︒方向，然后向正东方向前进10米到达D ，测得此时塔底B 在北偏东15︒方向.（1）求点D 到塔底B 的距离BD ；（2）若在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，求铁塔高AB .【正确答案】（1）米；（2）+米.【分析】（1）利用正弦定理列方程，解方程求得BD .（2）利用正弦定理列方程，解方程求得BC ，再解直角三角形求得AB .【详解】（1）由题意可知，45BCD ∠=︒，105BDC ∠=︒，故30CBD ∠=︒在BCD △中，由正弦定理，得sin sin BD CD BCD CBD =∠∠，10sin 45sin 30BD ∴=⋅︒=︒∴点D 到塔底B 的距离BD 为米（2）在BCD △中，由正弦定理，得sin sin BC BD BDC BCD=∠∠∴()()102sin10520sin 604520sin 60cos 45cos 60sin 45sin 45BC =⋅︒=⋅︒+︒=⋅︒︒+︒︒︒204=⨯=.在Rt ABC 中，tan AB BC ACB =⨯∠==.所以，铁塔高AB 为+米.21.如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，//BC AD ，CE AD ⊥，垂足为E ，33AD BC ==， 1.EC =将DEC ∆沿EC 折起到1D EC ∆的位置，如图2所示，使平面1D EC ⊥平面ABCE .（1）连结BE ，证明：AB ⊥平面1D BE ；（2）在棱1AD 上是否存在点G ，使得//BG 平面1D EC ，若存在，直接指出点G 的位置(不必说明理由)，并求出此时三棱锥1G D EC -的体积；若不存在，请说明理由.【正确答案】（1）证明见解析；（2）存在，点G 为1AD 的中点，16.【分析】（1）通过面面垂线的性质定理，证得1D E ⊥平面ABCE ，由此证得1D E AB ⊥.利用勾股定理计算证明BE AB ⊥，从而证得AB ⊥平面1D EB .（2）通过线面平行的判定定理，判断出点G 为1AD 的中点.利用换顶点的方法，通过11G D EC C D EG V V --=，来计算出三棱锥1G D EC -的体积.【详解】(1)因为平面1D EC ⊥平面ABCE ，平面1D EC 平面ABCE EC =，11,D E EC D E ⊥⊂平面1D EC ，所以1D E ⊥平面ABCE ，又因为AB ⊂平面ABCE ，所以1D E AB⊥，又2AB BE AE ===，满足222AE AB BE =+，所以BE AB ⊥，又1BE D E E = ，所以AB ⊥平面1D EB .(2)在棱1AD 上存在点G ，使得//BG 平面1D EC ，此时点G 为1AD 的中点.11G D EC C D EG V V --=，由(1)知，1D E ⊥平面ABCE ，所以1CE D E ⊥，又CE AE ⊥，所以CE ⊥平面1AED ，所以CE 为三棱锥1C D EG -的高，且1CE =，在1Rt D EA 中，11,2D E AE ==，G 为斜边1AD 的中点，所以111111212222D EG D EA S S ==⨯⨯⨯=，所以111111113326G D EC C D EG D EG V V S CE --==⋅=⨯⨯=.故，在棱1AD 上存在点G ，使得//BG 平面1D EC ，此时三棱锥1G D EC -的体积为16.本小题主要考查线面垂线的证明，考查面面垂直的性质定理的运用，考查三棱锥体积的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22.已知向量()()2sin ,sin cos ,cos ,2a x x x b x m =+=-- ，函数()f x a b =⋅ ．（1）当2m =时，求()f x 的最小值；（2）是否存在实数m ，使不等式()42si 6n cos f x m x x>--+对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦恒成立，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）1-（2）存在，取值范围为(4,)+∞【分析】（1）根据已知条件及向量的数量积的坐标运算，再利用辅助角公式及二倍角的余弦公式，结合换元法及二次函数的性质即可求解；（2）根据（1）的出函数()f x ，利用换元法但注意新元的范围，结合不等式恒成立问题利用分离参数法转化为函数的最值问题，再利用对勾函数的性质即可求解.【小问1详解】由题可知，因为()()2sin ,sin cos ,cos ,2a x x x b x m =+=-- ，所以π2sin cos (2)(sin cos )sin 22)sin((4)f x a b x x x x x x m m -++=+==+⋅ ππcos(2)2)sin2(4m x x +=+-+，又2ππcos(22sin (124x x -+=+-，令πsin([1,1]4x t =+∈-，当2m =时，所以22()()212(5f t t x t ϕ==--=--，对称轴1t =>，开口向上，由二次函数的单调性知，所以()t ϕ在[1,1]-上单调递减，所以当1t =时，()t ϕ取得最小值为2min ()(1)()21111t f x ϕϕ===⨯--=-.所以()f x 的最小值为1-【小问2详解】由（1）知，2sin cos (2)(sin )co (s )m f x a b x x x x -⋅+==+ ，所以()2sin cos (2)(sin cos )42sin c 6os f x x x m x x m x x =-++>--+，对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令sin cos x x p =+，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，则πsin cos 4p x x x ⎛⎫=+= ⎝+⎪⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ3π,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πsin 124x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即π14x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以1p ≤≤由sin cos x x p =+，得22sin cos 1x p x =-，则21(2)642p m p m p--+>--，整理得2(3)(2)(2)0p p mp p +-+->，所以23p mp +<，故3m p p >+在上恒成立，由对勾函数的性质知：3p p+在上单调递减，当1p =时，3p p+取到最大值4，所以4m >，故存在m ，且m 的范围为(4,)+∞.。
湖北省襄阳市第五中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
湖北省襄阳市第五中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．若i 为虚数单位，复数z 满足()134z i i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．52iB ．52C ．52i -D ．52- 2．已知,a b r r 是两个单位向量，若向量a r 在向量b r 上的投影向量为12b r ，则向量a r 与向量a b -r r 的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°3．若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ） A ．725 B ．725- C ．925 D ．925- 4．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形OAB V 的直观图为如图所示的O A B '''△，已知O A B '''△是边长为2的等边三角形，则顶点B 到x 轴的距离是（ ）A ．B ．4C ．D ．5．已知平面向量a r ，b r 夹角为θ，且满足a =r 1b =r ，若当4t =-时，a tb +r r 取得最小值，则sin θ=（ ）A ．14BC ．13D 6．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（ ）A ．12小时B ．78小时C ．34小时D ．23小时 7．已知函数()2ππsin 2sin 22cos 1(0)66f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=++-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．若()f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则2ω=； B ．若1ω=，则π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为[]1,1-； C ．若()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则203ω<≤； D ．若()f x 在[]0,π上恰有2个零点，则11171212ω≤<. 8．在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，记ABC V 的面积为S ，若22()sin 2b a B S -=，则b c a +取值范围是（ ）A ．(1,5)B ．1,5)C ．2)D ．2)二、多选题9．下列命题中，正确的是（ ）A ．1sin15sin30sin758︒︒︒=； B ．在ABC V 中，A B >是sin sin A B >的充要条件；C ．在ABC V 中，若cos cos a A b B =，则ABC V 必是等腰直角三角形；D ．在锐角ABC V 中，不等式sin cos A B >恒成立.10．下列命题中正确的是（ ）A ．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为16πB ．圆柱形容器底半径为5cm ，两直径为5cm 的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为5cm 3C ．正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2D ．已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为4π5 11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1BA 的中点，下列判断正确的是（ ）A ．11//BC 平面1A BCB ．直线1EC 与直线AD 是异面直线C ．在直线11AC 上存在点F ，使EF ⊥平面1ACD D ．直线1BA 与平面1ACD 所成角是π3三、填空题12．四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，,,A B C 三点对应的复数分别是13i +，2i -，3i -+，则点D 对应的复数为．13．已知正三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，棱锥的底面是边长为角形，侧棱长为O 的表面积为．14．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，点P 是线段1A B 上的一动点，则线段1AP PC +的最小值为．四、解答题15．已知向量()4,8a =-r ，(),4b x =-r ，(1)若()//a a b +r r r ，求实数x 的值； (2)若12a a b ⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭r r r ，求向量a r 与b r 的夹角的余弦值.16．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos sin cos20A B a B a +-=.(1)求tan A 的值；(2)若a =M 是AB 的中点，且1CM =，求ABC V 的面积.17．已知函数()()212cos 1sin 2cos 42f x x x x =-+，求： （1）()f x 的最小正周期及最大值；（2）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()f α=，求α的值； （3）若()210f x m -+=，在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个不等的实数根，求m 的取值范围. 18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1,AB E =为1DD 的中点．(1)求证：1//BD 平面AEC ；(2)连接1DB 交1BD 于点G ，求三棱锥G AEC -的体积；(3)已知点F 为1CC 中点，点P 为平面11BB D D 内的一个动点，若//FP 平面EAC ，求FP 长度的最小值．19．设,A B 是单位圆上不同的两个定点，点O 为圆心，点C 是单位圆上的动点，点C 满足sin cos OC OB OA αα=+u u u r u u u r u u u r （α为锐角）线段OC 交AB 于点D （不包括,A B ），点P 在射线OC 上运动且在圆外，过P 作圆的两条切线,PM PN ．(1)求OB BA CO CA BC BO ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r 的范围 (2)求PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最小值， (3)若,OD OC BD BA λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，求21λμ+的最小值.。
安徽省县中联盟2023-2024学年高一下学期第五次月考数学试题
安徽省县中联盟2023-2024学年高一下学期第五次月考数学试题一、单选题1．已知空间向量()()1,3,,,6,8a b μλ=-=-r r ，且,a b r r 共线，则λ=（ ）A ．-2B ．2C ．-4D ．42．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25827a a a ++=，则9S =（ ） A ．33 B ．54 C ．64 D ．813．曲线()ln f x x x =在2e x -=处的切线方程为（ ）A ．23e y x -=--B ．23e y x -=-+C ．2e y x -=--D ．2e y x -=-+4．手机电池随着日常使用其寿命缩短，是消耗品，某种型号手机的电池寿命ξ（单位：年）服从正态分布，使用寿命不少于3年的概率为0.8，使用寿命不少于5年的概率为0.2.某人买了该型号手机，则手机电池使用寿命不少于4年的概率为（ ）A ．0.8B ．0.7C ．0.5D ．0.25．在直三棱柱111ABC A B C -中，,AB AC ABC =V 重心为点G ，棱11B C 的中点为M ，设1,,AB a AC b AA c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，则MG =u u u u r （ ）A ．1136a b c -++r r r B ．1166a b c -+-r r r C ．1166a b c --r r r D ．1166a b c ---r r r 6．从数字1,2,3中随机取一个数字，取到的数字为()1,2,3n n =，再从数字1,,n L 中随取一个数字，则第二次取到数字2的概率为（ ）A ．518B ．718C ．1118D ．13187．设O 为坐标原点，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为4，其左､右焦点分别为12F F ､，点P 在C 上，12π,3F PF OP ∠== ）AB C ．2 D ．8．在平面直角坐标系中，有许多边长为1的正方形网格，一质点从坐标原点()0,0开始，沿x 轴到第四象限且跳动8次后落在点()8,0处（如图给出了质点的一种运动路径），则不同的跳动路径的种数为（ ）A ．10B ．14C ．16D ．20二、多选题9．若直线:2cos 0l x y θ-⋅=与圆22:10E x y +--=交于两点,A B ，则（ ） A ．当1cos 2θ=时，直线l 的倾斜角为π4B ．圆E 的圆心坐标为()-C ．圆E 的半径为3D ．AB 的取值范围是⎡⎢⎣⎦ 10．若函数()()2ln 0b c f x a x ac x x =++≠有且仅有极大值，则（ ） A ．0a >B ．0ab >C ．280b ac +>D ．0c <11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，其外接球球心为O ，点,M N 分别是棱11AB,A D 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．球O 上存在无数个点Q ，使得直线QD ⊥平面1B MCB ．球O 上存在无数个点P ，使得直线PD P 平面1B MCC ．直线MN 与1B CD ．三棱锥1,D MNC B MNC --的体积之比为45三、填空题12．二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为.（用数字作答） 13．第九届亚洲冬季运动会（简称亚冬会）将于2025年2月7日至2月14日在中国冰雪名城哈尔滨举行，若将6名大学生分配到亚冬会5个分会场进行引导服务，每名大学生只分配到1个分会场，且每个分会场至少分配1名大学生，则不同的分配方案的种数为.（用数字作答）14．已知点()2,0Q ，椭圆22(2)2x y t t +=>上的两点,M N 满足3MQ QN =u u u u r u u u r ，则实数t 的取值范围是.四、解答题15．某工厂生产一种塑料产品，为了提高产品质量分别由两个质检小组进行检验，两个质检小组检验都合格才能销售，否则不能销售.已知该塑料产品由第一个小组检验合格的概率为45，由第二个小组检验合格的概率为56，两个质检小组检验是否合格相互没有影响. (1)求一件产品不能出厂销售的概率；(2)从生产的塑料产品中任取4件，记X 为能销售产品的件数，求X 的分布列和数学期望. 16．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是圆柱底面圆的内接矩形，PA 是圆柱的母线，2PA AD ==，1AB =.(1)证明：平面PCD ⊥平面PAD ；(2)求平面PBC 与平面PCD 的夹角的余弦值.17．记数列{}n a 的前n 项和为n T ，且()1116,323n n a a T n -==…. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1212n n n R a a a =+++L ，证明：55144n R <. 18．已知抛物线2:2(0)y px p τ=>经过点(((,1,,A B C 中的两个点，O 为坐标原点，F 为焦点.(1)求抛物线τ的方程；(2)过F 且倾斜角为π3的直线交τ于,R S 两点，R 在第一象限，求FR FS 的值； (3)过点()1,0P 的直线l 与抛物线τ交于,D E 两点，直线,OD OE 分别交直线=1x -于,M N 两点，记直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值.19．已知函数()()1212ln ,,x m f x x x x x x+=<是两个不同的正数，且满足()()12f x f x =. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当3m =时，证明：212112e x x +>.。
2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期5月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．设复数满足，则（ ）z ()1i 2z +=z =A B ．1C D ．2【答案】C【分析】由复数相等及除法运算求复数，根据共轭复数概念及模的求法求结果即可.【详解】由题设，则.22(1i)1i1i (1i)(1i)z -===-++-1i z =+故选：C2．最接近（ ）sin2023A ．B ．C D 【答案】B【分析】先利用诱导公式得到，从而利用特殊角的三角函数值，判断出答案.()sin 137sin2023=-︒︒【详解】，()()0s sin 216137si in2023n 137=︒-︒=-︒︒其中为第三象限角，且当为第三象限角时，，137-︒αsin 0α<其中，又()sin 135sin 45-︒=-︒=()sin 120sin 60-︒=-︒=而较，离更近，135-︒120-︒137-︒综上，最接近sin2023故选：B3．下列说法正确的是（ ）A ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B ．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段C ．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥D ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台【答案】B【分析】根据几何体的结构特征逐项分析判断.【详解】对于A ：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A 错误；对于B ：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B 正确；对于C ：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C 错误；对于D ：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D 错误；故选：B.4．已知都是锐角，且，则（ ）a β、cos a =cos β=a β+=A ．B ．4π34πC ．或D ．或4π34π3π23π【答案】B【分析】先求，，然后求的值，根据为锐角求出的值．sin a sin βcos()a β+,a βa β+【详解】因为都是锐角，且a β、cos a =cos β=所以sin sin a βcos()cos cos sin sin a a a βββ∴+=-==又()0,a βπ+∈34a β∴+=π故选B.【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物MN ，高约为37，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部AB m C B C N A 的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ）M A MA ．64B ．74C ．52D ．91m m m m【答案】B【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从AC 30AMC ∠=︒45MAC ∠=︒ACM △MC =而得到的长度.MN 【详解】因为中，⊥，m ，，Rt ABC △AB BC 37AB =30ACB ∠=︒所以m ，274AC AB ==因为中，⊥，，Rt MNC △NC MN 45MCN ∠=︒所以，sin 45MN MC =⋅︒=由题意得：，45,1804530105MAC MCA ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒故，1801054530AMC ∠=︒-︒-︒=︒在中，由正弦定理得：，ACM △sin sin MC ACMAC AMC =∠∠即，74sin 45sin 30MC =︒︒故，74sin 45sin 30MC ︒==︒故m74MN ==故选：B6．已知锐角，，则边上的高的取值范围为（ ）ABC AB =π3C =AB A ．B ．C ．D ．(]0,3()0,3(]2,3()2,3【答案】C【分析】设边上的高为，根据题意得，再结合条件得，再分析求AB h ππ62A <<π2sin 216h A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭值域即可.【详解】因为为锐角三角形，，设边上的高为，ABC π3C =AB h所以，解得π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ62A <<由正弦定理可得，，4sin sin sin a b c A B C ====所以，，因为，4sin a A =4sin b B =11πsin223S ch ab ==所以2π14sin sin 4sin sin 32h A A A AA ⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭2πcos 2sin 21cos 22sin 216A A A A A A ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭因为，所以，所以，ππ62A <<ππ5π2666A <-<1πsin 2126A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭所以，所以边上的高的取值范围为.π22sin 2136A ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭AB (2,3]故选：C.7．已知向量，，满足，，，则的取值范围是（ ）a b c 1a = 2a b += ||3a c -= b c ⋅ A ．B ．C ．D ．[]12,6-[]12,4-[]10,6-[]10,4-【答案】A【分析】利用向量三角形不等式，求出的范围，进而求出的范围，再利用数量积的性||,||b c||||b c 质求解作答.【详解】，，而，即，解得，1a = 2a b += ||||||||||||b a a b b a -≤+≤+ |||1|2||1b b -≤≤+ 1||3b ≤≤ ，而，即，解得||3a c -=||||||||||||c a a c c a -≤-≤+ |||1|3||1c c -≤≤+ 2||4c ≤≤ 在直角坐标平面内，作，令，则，1,OA a OC a==- ,OB b OC c ==1||||2C B a b =+= ，||||3AC c a =-=于是点在以为圆心，2为半径的圆上，点在以为圆心，3为半径的圆上，如图，B 1C C A观察图形知，，当且仅当点都在直线上，且方向相反，||||||12b c b c ⋅≤≤ ,B C OA ,b c即点B 与D 重合，点C 与E 重合时取等号，即，解得，||||12b c b c -⋅≤≤ 12b c ⋅≥- 当且仅当点都在直线上，且方向相同，,B C OA ,b c若点B 与A 重合，点C 与E 重合时，，若点B 与D 重合，点C 与F 重合时，，因4b c ⋅= 6b c ⋅=此，6b c ⋅≤所以的取值范围是.b c ⋅126b c -≤⋅≤ 故选：A8．在中，有，则的最大值是（ ）ABC ()()2AC AB BC CB CA AB⋅-=⋅- tan CA B C D 【答案】D【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边，，的关系，利用基本不等式求出a b c 的最小值，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，从而得出的最大值，cos C C tan C cos C sin C 即可求出的最大值．tan C 【详解】因为，()()2AC AB BC CB CA AB⋅-=⋅- 所以，22AC AB AC BC CB CA CB AB ⋅-⋅=⋅-⋅ 又，，AC BC CA CB ⋅=⋅ CB AB BC BA ⋅=⋅ 所以23AC AB BC BA CB CA ⋅+⋅=⋅ 又，，，222cos 2b c a AB AC bc A +-⋅== 222cos 2a c b BA BC ab B +-⋅== 222cos 2a b c CA CB ab C +-⋅==所以，2222222223()()22b c a a b c a c b +-+-++-=即，22223a b c +=，22222221(2)3cos 2236a b a b a b c a b C ab ab b a +-++-∴===+≥当且仅当即时取等号，36a b b a=b 显然为锐角，要使取最大值，则，此时C tan C cos C sinC =所以，即．sin tan cos C C C===tan C 故选：D ．二、多选题9．若复数（i 为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）20231i z =+A B ．z 的虚部为-1C ．为纯虚数D ．2z 1iz =-【答案】ABC【分析】由的幂运算的周期性可求得；根据复数模长、虚部定义、乘方运算和共轭复数定i 1i z =-义依次判断各个选项即可.【详解】，()5052023431i 1i i 1iz =+=+⋅=-对于A ，A 正确；对于B ，由虚部定义知：的虚部为，B 正确；z 1-对于C ，为纯虚数，C 正确；()221i 2iz =-=-对于D ，由共轭复数定义知：，D 错误.1i z =+故选：ABC.10．在正方体中，M 为AB 中点，N 为BC 中点，P 为线段上一动点（不含C ）过1AC 1CC M ，N ，P 的正方体的截面记为，则下列判断正确的是（ ）αA ．当P 为中点时，截面为六边形1CC αB ．当时，截面为五边形112CP CC <αC ．当截面为四边形时，它一定是等腰梯形αD ．设中点为Q ，三棱锥的体积为定值1DD Q PMN -【答案】AC【分析】延长交于，交于，延长交于，取的中点，连接交MN AD M 'CD N 'N P '11C D T 11A D S M S '于，连接，结合图形即可判断A ；延长交于，交于，连接1AA P '11,AC A C MN AD M 'CD N '交于，连接交于，此时截面为五边形，求出即可判断B ；当截面为1N D '1CC P 1M D '1AA P 'α1CPCC α四边形时，点与点重合，判断四边形的形状即可判断C.设为到平面的距离，P 1C 11A MNC h P QMN 三棱锥的体积：，不为定值，可判断D.Q PMN -13Q PMN P QMN QMN V V S h--==⋅ h 【详解】对A ，如下图所示，延长交于，交于，延长交于，取MN AD M 'CD N 'N P '11C DT 的中点，连接交于，连接，11A D S M S '1AA P '11,AC A C 因为M 为AB 中点，N 为BC 中点，所以，//MN AC 同理，又因为，所以，11//ST A C 11//AC A C //ST MN 同理，所以共面，//,//SP PN MP PT '',,,,,S T P N M P '此时六边形为截面，STPNMP 'α所以截面为六边形，故A 正确；α对B ，如下图所示，延长交于，交于，连接交于，MN AD M 'CD N '1N D '1CC P 连接交于，此时截面为五边形，1M D '1AA P 'α因为，所以，11CD C D ∕∕11CPN C PD ' ∽所以，即，11112CP CN C P C D '==113CP CC =所以当时，截面为五边形，故B错误；113CP CC ≤α对C ，当截面为四边形时，点与点重合，如图，αP 1C 由A 得，，所以四边形即为截面，11//MN A C 11A MNC α设正方体的棱长为1，则，1NC =1MA 11NC MA =所以四边形是等腰梯形，故C 正确.11A MNC 对D ，设为到平面的距离，h P QMN 延长，交于一点，连接与交于一点，MN DC E QE 1CC F 所以直线与平面相交，所以直线与平面不平行，1CC QMN 1CC QMN 三棱锥的体积：，Q PMN -13Q PMN P QMN QMN V V S h--==⋅ 因为为定值，P 为线段上一动点，所以到平面的距离不为定值，QMNS 1CC P QMN 所以三棱锥的体积为不为定值，故D 不正确.Q PMN -故选：AC.11．设、、是平面上任意三点，定义向量的运算：，其中由向量O A B ()det ,OA OB OA OB'=⋅ OA ' 以点为旋转中心逆时针旋转直角得到（若为零向量，规定也是零向量）.对平面向量、OA O OA OA 'a 、，下列说法正确的是（ ）b cA ．()()det ,det ,a b b a= B ．对任意，R λ∈()()det ,det ,a b b a bλ+=C ．若、为不共线向量，满足，则，a b(),yb c x a y x +=∈R ()()det ,det ,a c x a b=()()det ,det ,by c b a =D ．()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=【答案】BD【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A 选项；利用A 选项中的结论结合题中定义可判断B 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断C 选项；对、是否共线进行分类讨论，结合a b题中定义可判断D 选项.【详解】设向量、在平面直角坐标系中的坐标分别为，，a b()12,a a a = ()12,b b b = 设，则，()cos ,sin a r r θθ=()()21ππcos ,sin sin ,cos ,22a r r r r a a θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 同理可得，()21,b b b '=-所以，，()()()21122112det ,,,a b a b a a b b a b a b '=⋅=-⋅=-+，则，A 错；()()()21121221det ,,,b a b a b b a a a b a b '=⋅=-⋅=-+()()det ,det ,a b b a≠ 对任意的，由A 选项可知，，R λ∈0b b '⋅= 当、不共线时，，a b ()1221det ,0a b a b a b =-≠，B 对；()()()()()det ,det ,det ,det ,a b b b a b b a b b a b a a bλλλ''+=-+=-⋅+=-⋅=-=因为，所以，，xa yb c +=c b xa b yb b xa b ''''⋅=⋅+⋅=⋅ 所以，，同理可得，C 错；()()()()det ,det ,det,det ,b c c b c b x a b b a a b '⋅==='⋅()()()()det ,det ,det ,det ,c a a c y b a a b==当、不共线时，由C 选项可知，，a b ()()()()det ,det ,det ,det ,c b a c c a b a b a b =+所以，，()()()()()det ,det ,det ,det ,det ,a b c c b a a c b b c a c a b=+=-- 所以，.()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=任取两个向量、，对任意的实数，，m n p ()()()det ,det ,m pn m pn p m n p m n''=⋅=⋅= 当、共线时，设存在使得，且，a b k ∈R b ka = ()det ,0a b = 所以，()()()()()det ,det ,det ,det ,det ,a b c b c a c a b b c ka c kb b++=⋅+，()()()()det ,det ,det ,det ,0k b c a k c b a k b c a k b c a =+=-=综上所述，，D 对.()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的新定义，解题的关键在于理解题中运算的含义，结合平面向量的线性运算与数量积运算逐项判断即可.12．假设，且．当时，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射(0,π)α∈π2α≠xoy α∠=xoy α-α-坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：分别为x 轴，y 轴正方向上的单位向量，若21,e e ，则记为，那么下列说法中正确的是（ ）12OP xe ye =+ (,)OP x y = A．设，则(,)a m n = ||a = B ．设，若//，则(,),(,)a m n b s t == a bmt ns -=C ．设，若，则(,),(,)a m n b s t == a b ⊥ ()sin 0ms nt mt ns α+++=D ．设，若与的夹角为，则(1,2),(2,1)a b =-=- ab π3π3α=【答案】ABD【分析】根据题意结合平面向量的相关运算逐项分析判断.【详解】由题意可得：，21211,11cos cos e e e e αα==⋅=⨯⨯=对于A ：若，则，(,)a m n =12a me ne =+ 可得，()2222222212112222cos a me ne m e mne e n e m n mn α=+=+⋅+=++所以，故A 正确；||a = 对于B ：∵，则，(,),(,)a m n b s t ==1212,a me ne b se te =+=+ 若//，则有：a b 当或时，则或，可得成立；0a = 0b =0m n ==0s t ==0mt ns -=当且时，则存在唯一实数，使得，0a ≠ 0b ≠λa b λ= 则，可得，整理得；()121212me ne se te se te λλλ+=+=+ m s n t λλ=⎧⎨=⎩0mt ns -=综上所述：若//，则，故B 正确；a b 0mt ns -=对于C ：∵，则，(,),(,)a m n b s t ==1212,a me ne b se te =+=+ 可得，()()()()2212121122cos me ne se te mse m a b t ns e e nte ms nt mt ns α+⋅+=++⋅+=+++⋅= 若，则，故C 错误；a b ⊥ ()cos 0ms nt ns a b mt α+++==⋅对于D ：∵，(1,2),(2,1)a b =-=-由选项A 可得：，|||a b ====由选项C 可得：，()()()()12211122cos 45cos a b αα-⨯-+⨯+-⨯+⨯-=-⎡⎤⎣⎦⋅=若与的夹角为，则，a bπ3πcos 3a b a b⋅=⋅即，解得，145cos 254cos αα-=-1cos 2α=∵，则，故D 正确；(0,π)α∈π3α=故选：ABD.三、填空题13．已知，则________.5π2tan 43θ⎛⎫+=-⎪⎝⎭tan θ=【答案】5-【分析】根据两角和的正切公式可求出结果.【详解】因为，5πtan tan5π4tan()5π41tan tan 4θθθ++=-⋅tan 121tan 3θθ+==--所以.tan 5θ=-故答案为：.5-14．已知，为非零不共线向量，向量与共线，则______.a b4a kb - ka b -+ k =【答案】2±【分析】依题意，可以作为平面内的一组基，则，根据平面向量基本定理a b ()4a a bkb k λ=-+-得到方程组，解得即可.【详解】因为，为非零不共线向量,所以，可以作为平面内的一组基底,a b a b又向量与共线，所以，即，4a kb - ka b -+ ()4a a b kb k λ=-+- 4k b a kb a λλ-=+- 所以，解得.4k k λλ=-⎧⎨-=⎩2k =±故答案为：2±15．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好116AA =11AA B B过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________．1111,,,AC BC A C B C ABC 【答案】12【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答.【详解】设的面积为a ，底面ABC 水平放置时，液面高为h ，ABC 侧面水平放置时，水的体积为11AA B B133161244ABC V S AA a a =⋅=⋅=当底面ABC 水平放置时，水的体积为，于是，解得，ABC V S h ah == 12ah a =12h =所以当底面水平放置时，液面高为12.ABC 故答案为：1216．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，ABC 2b =，点P 是的重心，且，则___________.(()cos 24sin 1A B C ++=ABCAP ==a 【答案】【分析】根据三角恒等变换可得或，利用重心的性质、模的性质及数量积得运算，可3A π=23A π=建立关于的方程，求解后利用余弦定理求a 即可.c 【详解】，(()cos 24sin 1A B C +++=(212sin 4sin 1A A ∴-+=整理得，(22sin 4sin 0A A -++=解得（舍去），sin A =sin 2A =0A π<< 或.3A π∴=23A π=又∵点P 是的重心，ABC 1,3AP AB AC →→→⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭22212||||cos 9AP AB AC AB AC A →→→⎛⎫∴=++⋅ ⎪⎝⎭，||2AP b == 整理得.24cos 240c c A +-=当时，，得，3A π=22240c c +-=4c =此时，214162242a =+-⨯⨯⨯解得；a =当时，，得，23A π=22240c c --=6c =此时，214362262a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得.a =故答案为：【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，向量的数量积运算法则、性质，余弦定理，属于难题.四、解答题17．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算：(1)求下部四棱台的侧面积；(2)求奖杯的体积．（尺寸如图，单位：，取3）cm π【答案】(1)2120cm(2)31344cm【分析】（1）根据题意直接运算求解即可；（2）根据相关体积公式分析运算.【详解】（1．5cm ==故．()2(816)522120cm 2S +⨯=+⨯=侧（2）V V V V=++球直四棱柱四棱台3441π8420[12816243323⎛⎫=+⨯⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭.3326406721344cm ≈++=18．已知棱长为1的正方体中．1111ABCD A B C D -（1）证明：平面；1//D A 1C BD （2）求三棱锥的体积．111B A B C -【答案】（1）证明见解析；（2）．16【分析】（1）证明，再由线面平行的判定定理证明；11//AD BC （2）根据三棱锥体积公式计算即可.【详解】证明：（1）在棱长为1的正方体中，，且 1111ABCD A B C D -11//B C A D ∴11AB C D =所以四边形为平行四边形11ABC D 11//D A BC ∴又平面，平面，1BC ⊂1C BD 1AD ⊄1C BD 平面；1//D A ∴1C BD （2）由正方体易知，三棱锥的高为，111B A B C -1BB 所以111111111111113326A B C B A B C V S BB -==⨯⨯⨯⨯=⨯=．19．已知的内角，A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且．ABC 3()3sin 2sin sin sin a b C Bc A B --=+(1)求；cos A(2)若的面积为为内角A 的角平分线，交边于点D ，求线段长的最大值．ABC AD BC AD【答案】(1)13(2)2【分析】（1）利用正弦定理角化边以及余弦定理求解；（2）根据面积公式求得，再根据等面积得6bc =11sin sin 22ABC S b AD CAD c AD BAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠=△AD =解.【详解】（1）由正弦定理，得，即，3()32a b c ba b c --=+22223c b a bc +-=故.2221cos 23232bc c b a A bc bc +-===（2）由（1）知，sin A =因为的面积为，ABC 1sin 2bc A =6bc =又因为，1,cos 23A BAD CAD A ∠=∠==所以221cos1sin sin ,sin sin 23A BAD CAD BAD CAD -∠=∠==∠=∠=于是11sin sin 22ABC S b AD CADc AD BAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠=△那么．1122AD b c⎛⋅⋅+⋅= ⎝所以（当且仅当时等号成立）2AD =≤=b c ==故的最大值为2．AD 20．设是边长为4的正三角形，点、、四等分线段（如图所示）.ABC 1P 2P 3P BC(1)求的值；112AB AP AP AP ⋅+⋅ (2)为线段上一点，若，求实数的值；Q 1AP 19AQ mAB AC=+m (3)在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值.P BC PA PC ⋅【答案】(1)26(2)13m =(3)在处时，取得最小值.P 3P PA PC ⋅1-【分析】（1）根据向量的线性运算和向量数量积的定义；（2）根据平面向量基本定理即可求解；（3）根据向量的数量积的定义和向量的加法即可求解.【详解】（1）∵是边长为4的正三角形，点、、四等分线段，ABC 1P 2P 3P BC ∴()()()112112AB AP AP AP AB AB BP AB BP AB BP ⋅+⋅=⋅+++⋅+ ；2211112264428AB AB BC AB BC AB BC AB AB BC BC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+++⋅+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）设，13134444AQ AP AB AC AB AC λλλλ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ 又，19AQ mAB AC=+根据平面向量基本定理解得；3111,4943m m λλ==⇒=（3）设，，PC tBC =[]0,1t ∈∴，()()2222168PA PC PC CA PC PC CA PC t BC CA tBC t t⋅=+⋅=+⋅=+⋅=-又，[]0,1t ∈∴当时，即在处时，取得最小值.（本题也可以建系来解题）14t =P 3P PA PC ⋅1-21．如图，某小区有一块空地，其中AB =50，AC =50，∠BAC =90°，小区物业拟在中间挖一ABC 个小池塘，E ，F 在边BC 上（E ，F 不与B ，C 重合，且E 在B ，F 之间），且.AEF △π4EAF ∠=(1)若EF 的值；BE =(2)为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得AEF △EAB θ∠=θ的面积取得最小值，并求出面积的最小值.AEF △AEF △【答案】(2))12501【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得中，利用正弦定理EAB sin θ=ACF △结合三角恒等变换可求，即可得结果；CF （2）利用正弦定理用表示，再结合条件得到θ,AE AF AEF S△函数的性质求最值即可.【详解】（1）由题意可得BC ==设，则，π0,4EAB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭ππ,42FAC AFC θθ∠=-∠=+在中，由余弦定理，EAB 2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅⋅∠则，即，(222502501700AE=+-⨯⨯=AE =由正弦定理，可得sin sin BE AE EAB ABE =∠∠sin sin BE ABE EAB AE ⋅∠∠==即，可得πsin 0,4θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭cosθ==在中，ACF △πππsin sin sin cos cos sin 444FAC θθθ⎛⎫∠=-=-= ⎪⎝⎭，πsin sin cos 2AFC θθ⎛⎫∠=+==⎪⎝⎭由正弦定理，可得，sin sin CF ACFAC AFC =∠∠sin sin AC FACCF AFC⋅∠===∠故MN BC BE CF =--==故EF（2）设，则，π0,4EAB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭3ππ,42AEB AFC θθ∠=-∠=+由正弦定理，可得，sin sin AB AE AEB ABE =∠∠sin sin AB ABEAE AEB⋅∠===∠在中，由正弦定理，可得，ACF △sin sin AF ACACF AFC =∠∠sin sin AC ACFAF AFC⋅∠===∠故的面积AEF△11sin 22AEF S AE AF EAF =⋅⋅∠=，26251250sin cos cos sin 2cos 21θθθθθ====+++∵，∴，，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π2,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 214θ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭∴，当且仅当，即时，等号成)12501AEF S =≥=△πsin 214θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π8θ=立，故面积的最小值.AEF △)1250122．已知函数，其中a 为参数.()()sin cos 3sin 27f x a x x x =+--(1)证明：，；()()π3ππ22f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∈R(2)设，求所有的数对，使得方程在区间内恰有2023个根.*N n ∈(),a n ()0f x =()0,πn 【答案】(1)证明见解析；(2).2023)【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式计算推理作答.（2）确定函数的周期，讨论在方程在区间上的根的情况，再结合给定2023()f x π()0f x =(0,π)个根推理计算作答.【详解】（1）依题意，(π)[|sin(π)||cos(π)|]3sin(22π)7f x a x x x +=+++-+-，(|sin ||cos |)3sin 27()a x x x f x =-+---=，πππ()[|sin()||cos()|]3sin(π2)7222f x a x x x -=-+----(|cos ||sin |)3sin 27()a x x x f x =+--=3π3π3π()[|sin()||cos()|]3sin(3π2)7222f x a x x x -=-+----，(|cos ||sin |)3sin 27()a x x x f x =-+----所以.π3π()()(π)()22f x f x f x f x =-=+=-（2）由（1）知，函数是周期函数，周期为，()f x π对于每个正整数,都有，k ππ3π(7,()10,()4244k f a f f =-=-=-若1）得在区间内若有根，则各有偶数个根，7,a a a ≠≠≠()0f x =ππ(0,),(,π)22于是方程在区间内有偶数个根，不符合题意，()0f x =(0,π)n 如果，则，且，7a =()7(|sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--π()02f =当时,，π(0,2x ∈()7(sin cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =23740y y -+=于是，当时，方程在内有两个根，1241,3y y ==2y =43()0f x =π(0,)2当时，，π(,π)2x ∈()7(sin cos )3sin 27f x x x x =---设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23y +7100y -=于是，方程在内无解，因此方程在内有三个解，12101,3y y ==-()0f x =π(,π)2()0f x =(0,π)从而方程在区间内有个解，由，得；()0f x =(0,π)n 3141n n n +-=-412023n -=506n =若，a =()sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--当时，，π(0,2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =2340y -+=于是，即只有一个解，121y y ==<π4x =当时，，π(,π)2x ∈()f x x =-cos )3sin 27x x --设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23100y +-=显然函数在上单调递增，，方程没有属于2()310g y y =+-(1)70g =>()0g y =的根，因此方程在内只有1个根，从而方程在内有个根，于是；()0f x =(0,π)()0f x =(0,π)n n 2023n =若，a =()sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--当时，，π(0,2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =2340y -+=此方程无解，当时，，π(,π)2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =---设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23100y +-=于是，即只有一个解，121y y ==<3π4x =因此方程在内只有1个根，从而方程在内有个根，于是；()0f x =(0,π)()0f x =(0,π)n n 2023n =综上所述满足条件的为.(,)a n 2023)【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.。
2023-2024学年浙江省杭州市重点中学高一(下)月考数学试卷(含答案)
2023-2024学年浙江省杭州市重点中学高一（下）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知A={x|(x−1)(2+x)<0}，B={x|log2x<1}，则A∩B=( )A. (−2,1)B. (0,2)C. (−3,2)D. (0,1)2.复平面内表示复数z=1−ii的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在△ABC中，B=30°，b=2,c=22，则角A的大小为( )A. 45°B. 135°或45°C. 15°D. 105°或15°4.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A. 若l⊥α，l//m，则m⊥αB. 若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC. 若l//α，m⊂α，则l//mD. 若l//α，m//α，则l//m5.已知平面向量a=(m,−4)，b=(−1,m+3)，若存在实数λ>0，使得a=λb，则实数m的值为( )A. −1B. −4C. 1D. 46.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角A，B间的圆弧长为l，嘴角间的距离为d，圆弧所对的圆心角为θ(θ为弧度角)，则l、d和θ所满足的恒等关系为( )A. sin θ2θ=dlB. 2sinθ2θ=dlC. cosθ2θ=dlD. 2cosθ2θ=dl7.如图，已知正四棱锥P−ABCD的所有棱长均为2，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为( )A. 63B. −63C. 33D. −338.已知点O为△ABC外接圆的圆心，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，BO⋅AC=2，内角C取最大值时△ABC的面积为( )A. 5B. 25C. 10D. 23二、多选题：本题共3小题，共18分。
河北省邯郸市大名县第一中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题
顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为______．
( ) 15．已知向量
r a
=
(1,
0)
，
r b
=
rr 3,1 ，则 b 在 a 方向上的投影向量坐标为______．
16．已知正方体 ABCD - A¢B¢C¢D¢ 的棱长为 1，点 P 在该正方体的表面 A¢B¢C¢D¢ 上运动， 且 PA = 2 则点 P 的轨迹长度是________．
河北省邯郸市大名县第一中学 2022-2023 学年高一下学期
5 月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．复数1- 2i 的虚部为（ ）
A．1
B． -2i
C．2i
D． -2
2．用斜二测法画边长是 4 的正方形直观图，则所得直观图的面积是（ ）
，求角
B．
(2)在 VABC 中，若 A = 105° ， C = 30° ， b = 2 2 ，求边 c． 20．如图，在直三棱柱 ABC -A1B1C1 中， AC = 4 ， BC = 3 ， AB = 5 ．
(1)求证： AC ^ BC1 ； (2)设 AC1 与底面 ABC 所成角的大小为 60° ，求三棱锥 C - ABC1 的体积． 21．如图，在 VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a ， b ， c ，过点 A 作 AD ^ AB ，交
A． 4 2
B．8
3．下列结论中，确的是（ ）
A．零向量只有大小，没有方向
C．8 2
D．16
B．若
uuur uuur AB//CD
，
广东省汕尾市陆丰市玉燕中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
第二部分是长为 1 千米的直线段 DE， DE//x 轴.跑道的最后一部分是以 O 为圆心的一段圆 弧 E»F .
(1)若新校门位于图中的 B 点，其离 AF 的距离为 1 千米，一学生准备从新校门笔直前往位 于 O 点的万象楼，求该学生走过的路 BO 的长； (2)若点 P 在弧 E»F 上，点 M 和点 N 分别在线段 OF 和线段 OE 上，若平行四边形 OMPN 区域 为学生的休息区域，记 ÐPOF = q ，请写出学生的休息区域 OMPN 的面积 S 关于q 的函数
3．已知 f ( x) 为奇函数，且 x < 0 时， f ( x) = ex ，则 f (e) = （ ）
A． ee
B． -ee
C． e-e
D． -e-e
4．已知向量
ar
=
(1,
2)
,
r b
=
(
2,1)
，则
ar
在
r b
上的投影向量为（
）
A．
æ çè
4 5
,
2 5
ö ÷ø
B．
æ çè
8 5
,
4 5
ö ÷ø
C．
æ çè
4 5
,
8 5
ö ÷ø
D．
æ çè
2 5
,
4 5
ö ÷ø
5．若一个球的外切正方体的表面积等于 6 cm2，则此球的体积为（ ）
A． p cm3 6
B． 6p cm3 8
四川省成都市2023-2024学年高一下学期5月月考试题 数学含答案
成都2023-2024学年度下期高2026届5月月考数学试题（答案在最后）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各组向量中，能作为基底的是（）A.()112e = ，，()221e =-， B.()100e = ，，()211e =，C.()134e =-，，234(,)55e =- D.()126e = ，，()213e =--，2.在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为棱BC 和棱1CC 的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒3.如图，已知平面,αβ，且l αβ= .在梯形ABCD 中，//AD BC ，且AB α⊂，CD β⊂.则下列结论正确的是（）A.直线AB 与CD 可能为异面直线 B.直线,,AB CD l 相交于一点C.AB CD = D.直线AC 与BD 可能为异面直线4.已知0.91.10.5log 1.1, 1.1,0.9a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.b c a << B.c b a <<C.a b c << D.a c b<<5.雷锋塔，位于杭州西湖，某同学为测量雷锋塔的高度CD ，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物AB ，高约为36m ，在地面上点E 处（,,A C E 三点共线）测得建筑物顶部B ，雷锋塔顶部D 的仰角分别为30︒和45︒，在B 处测得塔顶部D 的仰角为15︒，则雷锋塔的高度约为（）A.88mB.72mC.62mD.50m 6.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（）A.3π3B.2π3 C.3π2 D.π7.在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1,AB CC 的中点，若1AA ⋂平面1D EF G =，1AG GA λ= ，则λ=（）A.1 B.2 C.3 D.48.已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，且在2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的取值范围是（）A.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1117,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.58,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A.若a b b c ⋅=⋅ ，则a c= B.若向量()()3,12,1,b a =-= ，则向量a 在向量b 上的投影向量为12b-C.非零向量a 和b满足a b a b ==-r r r r ，则a 与a b + 的夹角为60︒D.点()()11,3,4,B A -，与向量AB同方向的单位向量为34,55⎛⎫-⎪⎝⎭10.在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是一个动点，且//BM 平面1AD C ，则线段DM 的长度可能是（）A.1B.3C.3D.11.已知z 是复数，且11z z +-为纯虚数，则（）A.1z = B.1z z ⋅=C.z 在复平面内对应的点在实轴上D.22i z --的最大值为1+12.设定义在R 上的函数()f x 满足()()()20,1f x f x f x ++=+为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2x f x a b =⋅+，若()01f =-，则（）A.()10f =B.12a b +=-C.()21log 242f =-D.()2f x +为偶函数三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.(sin 40tan10︒︒=__________.14.在ABC △中，若sin cos a B b A c +=，则B =__________.16.已知圆O 的半径为1，,PA PB 为该圆的两条切线，,A B 为两切点，那么PA PB ⋅的最小值为__________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）已知i 为虚数单位，复数()2231i z m m m m =--++．（Ⅰ）当实数m 取何值时，z 是实数；（Ⅱ）当1m =时，复数z 是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，求实数,p q 的值.18.（本小题12分）如图，平面四边形ABCD 由等腰ABD △与等边BCD △拼接而成，其中30ABD ∠=︒，AB AD =，6BC =．（Ⅰ）求CA AD ⋅的值；（Ⅱ）若(01)BP BC λλ=<<，当PA PD ⋅取得最小值时，求λ的值．19.（本小题12分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 是BC 的中点，12AB AA ==．（Ⅰ）求证：C A 1∥平面D AB 1；（Ⅱ）求三棱锥11A AB D -的体积．20.（本小题12分）如图，在梯形ABCD 中，//BC AD ，AB AD ⊥，12AB BC AD ==，O 是AD 的中点，将DOC △沿OC 折起，使D 位于P 处，且45PAO ∠=︒．（Ⅰ）求证：OP ⊥平面ABCO ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PAB 所成的角的大小．21.（本小题12分）在锐角ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知2b =，sin cos 3a C Cb =+．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若D 是ABC △中AC 上的一点，且满足BA BD BD BCBA BC ⋅⋅=，求ABD △与BCD △的面积之比ABDBCDS S △△的取值范围．22.（本小题12分）设()fx 是定义在区间D 上的函数，如果对任意的12,x x D ∈，有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称()f x 为区间D 上的下凸函数；如果有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭，则称()f x 为区间D 上的上凸函数．（Ⅰ）已知函数()1,0,tan 2f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求证：（ⅰ）sin 21cos x x f x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭；（ⅱ）函数()1,0,tan 2f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭为下凸函数；（Ⅱ）已知函数()221g x ax x x =+-，其中实数0a >，且函数()g x 在区间()0,1内为上凸函数，求实数a 的取值范围．成都2023-2024学年度下期高2026届5月月考数学试题（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各组向量中，能作为基底的是（A）A.()112e = ，，()221e =-， B.()100e = ，，()211e =，C.()134e =-，，234(,55e =- D.()126e = ，，()213e =--，2.在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为棱BC 和棱1CC 的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（C ）A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒3.如图，已知平面,αβ，且l αβ= .在梯形ABCD 中，//AD BC ，且AB α⊂，CD β⊂.则下列结论正确的是（B ）A.直线AB 与CD 可能为异面直线B.直线,,AB CD l 相交于一点C.AB CD= D.直线AC 与BD 可能为异面直线4.已知0.91.10.5log 1.1, 1.1,0.9a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（D ）A.b c a << B.c b a << C.a b c << D.a c b<<5.雷锋塔，位于杭州西湖，某同学为测量雷锋塔的高度CD ，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物AB ，高约为36m ，在地面上点E 处（,,A C E 三点共线）测得建筑物顶部B ，雷锋塔顶部D 的仰角分别为30︒和45︒，在B 处测得塔顶部D 的仰角为15︒，则雷锋塔的高度约为（B ）A.88mB.72mC.62mD.50m 6.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（A ）A.3 B.3C.2D.π7.在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1,AB CC 的中点，若1AA ⋂平面1D EF G =，1AG GA λ=，则λ=（C ）A.1 B.2 C.3 D.48.已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，且在2π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值范围是（D）A.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1117,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.58,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（BD）A.若a b b c ⋅=⋅ ，则a c= B.若向量()()3,12,1,b a =-= ，则向量a 在向量b 上的投影向量为12b-C.非零向量a和b 满足a b a b ==-r r r r ，则a 与a b + 的夹角为60︒D.点()()11,3,4,B A -，与向量AB同方向的单位向量为34,55⎛⎫-⎪⎝⎭10.在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是一个动点，且//BM 平面1AD C ，则线段DM 的长度可能是（C D）A.1B.3C.3D.11.已知z 是复数，且11z z +-为纯虚数，则（ABD ）A.1z = B.1z z ⋅=C.z 在复平面内对应的点在实轴上D.22i z --的最大值为1+12.设定义在R 上的函数()f x 满足()()()20,1f x f x f x ++=+为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2x f x a b =⋅+，若()01f =-，则（ABD ）A.()10f =B.12a b +=-C.()21log 242f =-D.()2f x +为偶函数三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.(sin 40tan10︒︒=_____1-_____.14.在ABC △中，若sin cos a B b A c +=，则B =_____π4或45︒_____.3π____.16.已知圆O 的半径为1，,PA PB 为该圆的两条切线，,A B 为两切点，那么PA PB ⋅的最小值为_____3-+_____.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）已知i 为虚数单位，复数()2231i z m m m m =--++.（Ⅰ）当实数m 取何值时，z 是实数；（Ⅱ）当1m =时，复数z 是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，求实数,p q 的值.【解析】（Ⅰ）若复数z 是实数，则()10m m +=，……………3分01m m ==-或.……………4分（Ⅱ）当1m =时，42i z =-+，把42i z =-+代入方程20x px q ++=得：()2(42i)42i 0p q -++-++=，整理得：()124216i 0p q p -++-=，……………8分所以12402160p q p -+=⎧⎨-=⎩，解得8,20p q ==.……………10分18.（本小题12分）如图所示，平面四边形ABCD 由等腰ABD △与等边BCD △拼接而成，其中30ABD ∠=︒，AB AD =，6BC =，（Ⅰ）求CA AD ⋅的值；（Ⅱ）若(01)BP BC λλ=<<，当PA PD ⋅取得最小值时，求λ的值．【解析】（Ⅰ）以,BD AC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系；故(0,33),(3,0),(0,3)C D A -，……………3分(0,43),(3,3)CA AD =-=故12CA AD ⋅=-；……………6分（Ⅱ）(3,0)B -，则(3,33)BC =，则(3,33)BP λλ=，所以点P 的坐标为(33,33)λλ-，故(33,333)PA λλ=--- ，(63,33)PD λλ=--，……………9分故2361818PA PD λλ⋅=-+，可知当14λ=时，PA PD ⋅ 取得最小值．……………12分19.（本小题12分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 是BC 的中点，12AB AA ==．（Ⅰ）求证：C A 1∥平面D AB 1；（Ⅱ）求三棱锥11A AB D -的体积．【解析】（Ⅰ）连接1A B ，设11A B AB E = ，连接DE ．由已知得，四边形11A ABB 为正方形，则E 为1A B 的中点.因为D 是BC 的中点，所以1//DE AC ．……………4分又因为DE ⊂平面D AB 1，1AC ⊄平面D AB 1，所以C A 1∥平面D AB 1．……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知C A 1∥平面D AB 1，所以1A 与C 到平面D AB 1的距离相等，所以111A AB D C AB D V V --=．……………8分由题设及12AB AA ==，得12BB =，且32ACD S ∆=．所以1111123323C ABD B ACD ACD V V S BB --∆==⨯⨯=⨯⨯=，所以三棱锥11A AB D -的体积为113A AB D V -=．…………………12分20.（本小题12分）在梯形ABCD 中，//BC AD ，AB AD ⊥，12AB BC AD ==，O 是AD 的中点，将DOC △沿OC 折起，使D 位于P 处，且45PAO ∠=︒（Ⅰ）求证：OP ⊥平面ABCO ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PAB 所成的角的大小．【解析】（Ⅰ）PO OC ⊥.……………2分45PAO ∠=︒.AO PO = ，90POA ∴∠=︒，PO AO ⊥.OA OC O⋂=PO ∴⊥平面ABCO .……………6分（Ⅱ）延长DC AB ,交于E ，连接PD PE ,.由(Ⅰ)可知,PO AD ⊥,又PO OD =,45PDA ∴∠=︒=PAO ∠.DP PA ∴⊥,,AB AD AB PO ⊥⊥ ，AD PO O ⋂=AB ∴⊥平面PAD ，又DP ⊂平面PAD DP AB ⊥，PA AB A ⋂=DP ∴⊥平面PAB .DEP ∠为直线CD 与平面PAB 所成的角.……………9分在直角三角形DEP 中,12DP PED DE ∠==sin ,30DEP ∴∠=︒.直线CD 与平面PAB 所成的角为30︒..……………12分21.（本小题12分）在锐角ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知2b =，sin cos 3a C Cb =+．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若D 是ABC △中AC 上的一点，且满足BA BD BD BCBA BC ⋅⋅= ，求ABD △与BCD △的面积之比ABDBCDS S △△的取值范围．【解析】（Ⅰ）sin cos 3a C C b =+，sin cos 3a Cb C ∴=+，()sin sin sin cos sin cos cos sin 3B C B C B C B C B C ∴+=+⇒+=sin sin sin cos cos sin sin 33B C B C B C B C +⇒=，又()0,πC ∈ ，sin 0C ∴≠，tan B ∴=，又0πB << ，π3B ∴=，……………6分（Ⅱ）BA BD BD BC BA BC ⋅⋅= ，BA BD BD BCBA BD BC BD⋅⋅∴= ，cos cos ABD CBD ∴∠=∠，即BD 平分ABC ∠，ABD BCD S ABS BC∴=△△……………8分所以2π1sin sin sin 11322sin sin sin 2tan 2A A AAB c C BC a A A A A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=====⋅+，……………10分又π3B = ，2π2ππ0,332A C C A ⎛⎫∴+=⇒=-∈ ⎪⎝⎭，π2π023A ∴-<-<，ππ62A ∴<<，tan 3A ⎛⎫∴∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，1,22AD DC ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．……………12分22.（本小题12分）设()fx 是定义在区间D 上的函数，如果对任意的12,x x D ∈，有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称()f x 为区间D 上的下凸函数；如果有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭，则称()f x 为区间D 上的上凸函数．（Ⅰ）已知函数()1,0,tan 2f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求证：（ⅰ）sin 21cos x x f x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭；（ⅱ）函数()1,0,tan 2f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭为下凸函数；（Ⅱ）已知函数()221g x ax x x =+-，其中实数0a >，且函数()g x 在区间()0,1内为上凸函数，求实数a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）（ⅰ）22sin cos sin 1221cos 22sin tan22x x x x f x x x ⎛⎫=== ⎪-⎝⎭……………3分（ⅱ）令1202x x π<<<，则()()121211tan tan f x f x x x +=+()12121221121212sin cos cos sin cos sin cos sin sin sin sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x ++=+==()()()()()12121212122sin 2sin cos cos 1cos x x x x x x x x x x ++≥--+-+1212222tan 2x x f x x +⎛⎫== ⎪+⎝⎭所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即函数()f x 为下凸函数……………8分（Ⅱ）因为函数()g x 在区间()0,1内为上凸函数则对任意的1201x x <<<，有()()121222g x g x x x g ++⎛⎫≥⎪⎝⎭恒成立因为()()121222x x g x g x g +⎛⎫+- ⎪⎝⎭()222121211222221212114222x x x x ax x ax x a x x x x ⎡⎤++⎛⎫=+-++--+-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦()()()2212122222121212241412a x x x x x x x x x x +-=+-+-++()()()()()()()212121221212222112212332a x x x x x x x x x x x x x x x x --+-+=++++()()()()222212112212222121242x x x x x x a x x x x x x -++-=-+则()()()()222212112212222121242x x x x x x a x x x x x x -++--≤+()()22112222222211121212124122a x x x x x x x x x x x x x x ++≤=+++因为()2221112121223142x x x x x x +>+=+所以3a ≤……………12分。
高一数学月考试题及答案
高一数学月考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 若函数f(x) = 2x + 1，g(x) = x^2 - 2x + 1，则f(g(x))等于A. x^2 + 2x + 1B. 2x^2 - 3x + 2C. 2x^2 + 1D. x^2 - 3x + 33. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=3，a_4=10，则公差d等于A. 2B. 3C. 4D. 54. 函数y=x^2-2x+3的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 55. 圆x^2 + y^2 = 25的圆心坐标是B. (5, 0)C. (0, 5)D. (-5, 0)6. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5，那么这个三角形的周长是A. 11B. 13C. 14D. 157. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B等于A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}8. 若sin(α) = 3/5，且α为第一象限角，则cos(α)等于A. 4/5B. -4/5C. 3/5D. -3/59. 函数y=ln(x)的定义域是A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)10. 抛物线y=x^2-4x+3的顶点坐标是A. (2, -1)C. (-2, 1)D. (-2, -1)二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数y=2x-3与x轴的交点坐标为______。
2. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=75，则a_3=______。
3. 已知一个圆的半径为5，圆心到直线x-y+5=0的距离为3，则该圆与直线的位置关系是______。
4. 函数f(x)=x^2-4x+3的对称轴方程为______。
5. 集合{a, b, c}与集合{a, d, e}的并集为______。
广西贵百河2023-2024学年高一下学期5月新高考月考测试数学试卷
广西贵百河2023-2024学年高一下学期5月新高考月考测试数学试卷一、单选题1．设复数z 满足(2i)5z +=，则||z =（ ）AB ．2C D ．32．下列说法错误的是（ ）A ．AC CA =u u u r u u u rB ．a r ，b r都是单位向量，则a b =r r C ．若AB CD >u u u r u u u r ，则AB CD >u u u r u u u rD ．零向量方向任意3．设,a b r r 为两个非零向量，则“2024a b =r r ”是“a b a b=r r r r ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．在ABC V 中，若4AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．272-B ．272 C ．52-D ．525．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m αβ=I ，n β⊂，n m ⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，n αβ=I ，n m ⊥，则m β⊥ C ．若m α⊂，//m β，n αβ=I ，则//m n D ．若m α⊂，n β⊂，//m β，//n α，则//αβ6．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，π4A =，2a =，若满足条件的三角形有且只有两个，则边b 的取值范围为（ ）A ．(B ．(C ．)D ．()1,27．设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，1AB AC AA ==，120BAC ∠=︒.则此直三棱柱的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知O 为锐角ABC V 内部一点，且满足OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，已知1tan 3A =，若cos cos 20sin sin B C AB AC m AO C B ⋅+⋅-⋅=u u u r r u u u r u u u r ，则实数m =（ ）A B C ．14D二、多选题9．如图，四边形ABCD 的斜二测画法直观图为等腰梯形A B C D ''''．已知4,2A B C D ''''==，则下列说法正确的是（ ）A ．2AB =B ．A D ''=C ．四边形ABCD 的周长为6+D ．四边形ABCD 的面积为10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动时，下列命题正确的是（ ）A ．三棱锥1A D PC -的体积为定值B ．直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变C ．直线AP 与直线1AD 垂直 D ．二面角1P AD C --的大小不变11．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O 的半径2，点P 是圆O 内的定点，且OP =AC ，BD 均过点P ，则下列说法正确的有（ ）A ．PA PC ⋅u u u r u u u r为定值B ．当AC BD ⊥时，AB CD ⋅u u u r u u u r为定值C ．||||AC BD ⋅u u u r u u u r的最大值为12 D ．OA OC ⋅u u u r u u u r的取值范围是[]4,0-三、填空题12．已知向量()()1,3,3,4a b ==r r，若()a b a λ-⊥r r r ，则λ=．13．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为．14．已知,D E 分别为ABC V 的边,AB AC 上的点，线段BE 和CD 相交于点P ，若3A D D B =u u u r u u u r，DP PC λ=u u u r u u u r ，CE EA μ=u u u r u u u r ，其中0,0λμ>>．则12λμ+的最小值为．四、解答题15．已知复数(212i z m m =-+，(2sin cos i z μθθ=++，其中i 是虚数单位，,,m μθ∈R ．(1)若1z 为纯虚数，求m 的值； (2)若12z z =，求μ的取值范围．16．在平面直角坐标系中，已知向量()1,1m =r ，1n =r ，向量m r与n r 间的夹角为45︒．(1)求n r 在m r方向上的投影向量的坐标；(2)求2m n +r r的值；(3)若向量2m n λ+r r与3m n λ+r r 夹角为钝角，求λ的取值范围．17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，,E F 分别是11,BC AC 的中点，ABC V是边长为2的等边三角形，12AA AB =．(1)证明：1BC A E ⊥； (2)求点C 到平面AEF 的距离．18．在锐角ABC V 中，,,a b c 分别为作,,A B C 的对边，且π2sin 6b a c A ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．(1)求角C 的大小； (2)求222c a b +的取值范围．19．如图所示正四棱锥S ABCD -，SA SB SC SD ===AB =P 为侧棱SD 上的点，且3SP PD =．求：(1)正四棱锥S ABCD -的表面积；(2)若M 为SA 的中点，求平面BMD 与平面ABCD 所成的二面角的余弦值； (3)侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ．若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由．。
湖北省2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷(含答案)
2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题考试时间：2024年5月29日下午15：00-17：00试卷满分：150分注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合,则A. B. C. D.2.在复平面内,复数满足,则复数的虚部为A.-1B. C.-2D.3.已知,则A. B. C. D.4.对于两条不同直线m ,n 和两个不同平面,以下结论中正确的是A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则5.一个圆台的上、下底面的半径为1和4,母线为5,则该圆台的体积为A. B. C. D.6.若,则A. B. C. D.7.已知向量满足,且,则A. B.C.D.8.已知函数对都有,若的图象关于直线对称,{}2A 230,B {ln(25)}xx x x y x =--≤==-∣∣A B ⋂=215x x ⎧-≤≤⎫⎨⎬⎩⎭215x x ⎧-≤<⎫⎨⎬⎩⎭235xx ⎧<≤⎫⎨⎬⎩⎭235xx ⎧≤≤⎫⎨⎬⎩⎭z (12i)34i z +=-z i-2i-3242,log 3,log 6a b c -===a b c<<a c b<<c b a<<c a b<<,αβ//,m n αα⊥m n ⊥//,//m αβα//m β,//m αβα⊥m β⊥,m n n α⊥⊥//m α14π21π28π35π1sin cos ,(0,)5αααπ+=∈tan 2α=247-724-724247,,a b c ||||2,||a b c === 0a b c ++= cos ,a c b c 〈--〉=45-34-3445()f x x R ∀∈()(6)(3)f x f x f =++(2)y f x =+2x=-且对,当时,都有,则下列结论正确的是A.B.是奇函数 C.是周期为4的周期函数D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。
河南省安阳市林州市第一中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
河南省安阳市林州市第一中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ） A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==2．已知2sin cos θθ=，则23sin sin cos θθθ-=（ ）A ．15-B ．15C ．45D ．45-3．已知向量a r ，b r ，c r ，满足::3::6a b c k =r r r （*k ∈N ），且()22a b b c -=-r r r r ，若θ为a r ，c r 的夹角，则cos θ的值是（ ）A ．18-B C D ．16-4．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ (,,A ωϕ为常数, 0,0,||πA ωϕ>><,)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为π2B ．直线π12x =-是函数()f x 图象的一条对称轴 C ．函数()f x 在区间5ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将函数()f x 的图象向左平移π3个单位，得到函数()g x 的图象，则()2sin 2g x x =5．在ABC V 中，D 是边BC 上一点，且2,BD DC E =是AC 的中点，记,AC m AD n ==u u u r u u u r u r r ，则BE =u u u r（ ）A ．533n m -r u rB ．732n m -r u rC ．732m n -u r rD ．532m n -u r r 6．如图，在正方形ABCD 中，2CE DE =,EB 和AC 相交于点G ，且F 为AG 上一点（不包括端点），若BF BE BA λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则31λμ+的最小值为（ ）A．5+B．6+C．8D ．157．已知点O 是ABC V 内部一点，并且满足20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，AOC V 的面积为1S ，BOC V 的面积为2S ，则12S S =（ ） A ．2B ．3C ．13D ．128．如图，现有棱长为6cm 的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥1A EFG -，且,,E F G 分别为棱11111,,A A A B A D 靠近1A 的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为（ ）A3cm B ．336πcm C3cm D ．372πcm二、多选题9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，,,,,E F G H I 均为所在棱的中点，P 是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．//HI 平面EFGB ．三棱锥1A EFG -的体积为12C ．过,,E F G 三点的平面截正方体所得截面的面积为D ．若2AP =，则点P 的轨迹长度为3π 10．已知函数()()cos sin nx xf x =（*n ∈N ），则下列结论正确的是（ ）A ．对于任意的*n ∈N ，()f x 总为奇函数B ．对于任意的*n ∈N ，()f x 总为周期函数C ．当5n =时，()f x 图像关于点π(,0)2中心对称 D ．当3n =时，()()tan g f x x x =⋅的值域为[)3,1-11．正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AA D ==为棱11B C 的中点，P 为线段1A D (不包括端点)上一动点，,M N 分别为棱,AB AC 上靠近点A 的三等分点，过BC 作三棱柱111ABC A B C -的截面α，使得α垂直于AP 且交AP 于点E ，下列结论正确的是（ ）A ．11//BC 截面αB ．存在点P 使得平面1//A MN 截面αC ．当12A P =时，截面αD ．三棱锥E ABC -三、填空题12．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90o ，则这个圆台的侧面积为.13．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．14．在棱长为4的正四面体-P ABC 中，3PD DA =u u u r u u u r，过点D 作平行于平面ABC 的平面与棱PB 、PC 分别交于点E 、F ，过点D 作平行于平面PBC 的平面与棱AB 、AC 分别交于点G 、H ，记12O O 、分别为三棱锥P DEF A DGH --、的外接球球心，则12O O =．四、解答题15．已知()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，且()f x 在区间π2π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()01f =.(1)求()f x 的解析式；(2)若,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求满足不等式()()20f x x ⎡⎤≤⎣⎦的解集. 16．已知复数32i z =-(i 为虚数单位). (1)求|1i |-+z ; (2)若(cos isin )5izr θθ=++，其中0,[0,2π)r θ>∈，求,r θ的值;(3)若2z =2zz 是纯虚数，求2z .17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E 、F 分别为AD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求证：//EF 平面PCD .18．已知函数()2sin sin cos 23f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间和最值；（Ⅱ）若函数()()g x f x a =-在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有且仅有两个零点，求实数a 的取值范围．19．如图，在平面四边形ABCD 中，已知1AD =，2CD =，ABC V 为等边三角形，记ADC α∠=，DAC β∠=.(1)若π3α=，求ABD △的面积； (2)证明：cos 12cos AC βα=-；(3)若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求ABD △的面积的取值范围.。
河南省周口市太康县第一高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
河南省周口市太康县第一高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．已知,R a b ∈，()2i i i a b -=-，若i z a b =+，则z 的虚部是（ ） A ．-2B ．1C ．-2iD ．2i2．下列命题正确的是（ ）A ．若直线//a b ，则a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a ，b 和平面α，β，满足a αβ⋂=，//b α，//b β，则//a bC ．若直线a ，b 和平面α满足//a α，//b α，则//a bD ．若直线a 和平面α满足//a α，则a 与α内任何直线平行3．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体τ，CD 是底面圆O 上的弦，COD △为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B C D 4．已知ABC V 的外接圆圆心为O ，且2A O A B A C =+u u u r u u u r u u u r ，OA AC =u u u r u u u r ，则向量CA u u u r 在向量CB u u u r 上的投影向量为（ ）A ．14CB u u urB u urC ．14CB -u u u rD ．12CB u u ur5．某房地产公司为了解小区业主对户型结构——平层与复式结构的满意度，采取分层随机抽样方式对华润中央公园小区的业主进行问卷调查.购买平层与复式结构户数之比为2∶3，购买平层户型的业主满意度平均分为8，购买复式户型的业主满意度平均分为9，用样本平均数估计该小区业主对户型结构满意度的平均分为（ ） A ．8.4B ．8.5C ．8.6D ．8.76．如图，在矩形ABCD 中，已知22AB AD a ==，E 是AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻折成1A DE △，连接1AC .若当三棱锥1A CDE -的体积取得最大值时，三棱锥1A CDE -外接球，则a =（ ）A ．2 BC ．D ．47．如图，在梯形ABCD 中，AB DC ∥且2AB DC =，点E 为线段BC 的靠近点C 的一个四等分点，点F 为线段AD 的中点，AE 与BF 交于点O ，且AO xAB yBC =+u u u r u u u r u u u r，则x y +的值为（ ）A ．1B ．57C ．1417 D ．568．已知ABC V 是锐角三角形，若22sin sin sin sin A B B C -=，则2ab的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎝⎭二、多选题9．已知复数i z a =+（a ∈R 且0a >，i 为虚数单位），若()()1110z z ++=，则下列说法正确的是（ ）A ．z 在复平面上对应的点位于第四象限B ．z z +=C ．1zz= D ．若复数1z 满足11z z -≤，则在复平面内1z 对应的点构成的图形的面积为π10．已知甲组数据为：1，1，3，3， 5，7，9，乙组数据为：1，3，5，7，9，则下列说法正确的是（ ）A ．这两组数据的第80百分位数相等B ．这两组数据的极差相等C ．这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅仅乙组数据的均值不变D ．甲组数据比乙组数据分散11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1AA 的中点，AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu r，其中,[0,1]λμ∈，则下列选项正确的是（ ）A ．12μ=时，11A P ED ⊥B ．14λ=时，1B P PD +C ．λμ=时，三棱锥1D EBP -的体积为定值D ．1λμ+=时，直线1A P 与面11B D E三、填空题12．某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年级抽取名志愿者．13．已知向量()1,1a =r ，()1,b m =r ．若()0,λ∀∈+∞，()1a b a b λλ⎛⎫+⊥- ⎪⎝⎭r r r r ，则m =．14．某人在塔的正东方向沿着南偏西60°的方向前进40 m 以后，望见塔在东北方向上，若沿途测得塔的最大仰角为30°，则塔高为m ．四、解答题15．已知平面向量,,a b c r r r，且()2,1a =-r ，(1)若a c r r∥，且25c =r ，求向量c r 的坐标；(2)若()3,2b =r ，求a r 在b r方向的投影向量（用坐标表示）.16．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，E 为AD 的中点，如图1，将ABE V 沿BE 折起，使得点A 到达点P 的位置（如图2），且平面PBE ⊥平面BCDE（1）证明：PB ⊥平面PEC ；（2）若M 为PB 的中点，N 为PC 的中点，求三棱锥M ﹣CDN 的体积.17．已知在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足cos cos 2cos b C c B a A +=. (1)求角A ；(2)若D 点在线段BC 上，且AD 平分BAC ∠，若2BD CD =，且AD ABC V 的面积. 18．某市政府为了节约生活用水，实施居民生活用水定额管理政策，即确定一个居民月用水量标准x （单位：吨），用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费，并随机抽取部分居民进行调查，抽取的居民月均用水量的频率分布直方图如图所示．（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)试估计该市居民月均用水量的众数、平均数；(3)如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x ，那么标准x 定为多少比较合理？ 19．如图，在三棱锥-P ABC 中，PB ⊥平面ABC ，△ABC 是直角三角形，90B ︒∠=，2==，45AB BC∠=，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点.PAB︒（1）求证：EF PD⊥；（2）求直线PF与平面PBD所成的角的正弦值；（3）求二面角E PF B--的正切值.。
河南省洛阳市强基联盟2023-2024学年高一下学期5月月考试题 数学含答案
洛阳强基联盟高一5月联考数学（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（）A.两条相交直线确定一个平面B.两条平行直线确定一个平面C.四点确定一个平面D.直线及直线外一点确定一个平面2.已知直线a 与平面α没有公共点，直线b α⊂，则a 与b 的位置关系是（）A.平行 B.异面C.相交D.平行或异面3.下列说法中错误的是（）A.棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形B.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台C.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥D.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线4.某城市有学校700所，其中大学20所，中学200所，小学480所，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查，则应抽取中学数为（）A.70B.20C.48D.25.如图所示，在直角坐标系中，已知()1,0A ，()1,2B -，()1,0C -，()1,2D -，则四边形ABCD 的直观图面积为（）A. B. C.6.在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为AB 的中点，在1CMD △中，1CM MD ⊥，4CD =，13DD =，则AD =（）A.1 B.2 C.3 D.47.某商业集团董事长想了解集团旗下五个超市的销售情况，通知五个超市经理把最近一周每天的销售金额统计上报，要求既要反映一周内每天销售金额的多少，又能反映一周内每天销售金额的变化情况和趋势，则最好选用的统计图表为（）A.频率分布直方图 B.统计表C.扇形统计图D.折线统计图8.图1是唐朝著名的风鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱的组合体（如图2）.设这种酒杯内壁的表面积为2cm S ，半球的半径为3cm ，若半球的体积不小于圆柱体积，则S 的取值范围是（）A.[)24π,+∞B.(]18π,24πC.(]18π,30πD.[)30π,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
安徽师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题
安徽师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．如图，A B¢V13．已知三棱锥-P ABC 的体积为6，且236PA PB PC ===.则该三棱锥外接球的表面积为______.(2)求三棱锥M APQ-的体积.参考答案：1．D【分析】三个不共线的点或者两条共面直线可确定一个平面，由此判断即可.【详解】三点共线则不能确定一个平面，A 错误；点在直线则不能确定一个平面，B 错误；若两线直线为异面直线，则不能确定一个平面，C 错误；梯形的两条腰所在的直线在梯形所在的面上，可以确定一个平面，D 正确.故选：D 2．D【分析】判断出可能的截面，由此确定不可能的截面.【详解】画出正方体如下图所示，设正方体外接球的球心为O .,,,E F G H 是棱1111,,,BC B C A D AD 的中点，过,,,E F G H 的截面图像为C 选项对应的图像.过11BDD B 的截面图像为B 选项对应的图像.设,,,I J K L 是棱1111,,,BB CC DD AA 靠近11,,,B C D A 的三等分点，过,,,I J K L 的截面图像为A 选项对应的图像.故D 选项的图像不可能.故选：D3．C【分析】依据棱柱定义判断选项A ；依据棱柱的结构特征判断选项B ；举反例否定选项C ；依据长方体定义判断选项D.【详解】选项A ：由棱柱定义可得棱柱的两个底面一定平行.判断正确；选项B ：三棱柱是最简单的棱柱，三棱柱有五个面，则棱柱至少有五个面.判断正确；选项C ：在正四棱柱上面放置一个与其底面相同的斜四棱柱，所得几何体是组合体，但是满足两个面互相平行，其余各面都是平行四边形.判断错误；选项D ：正四棱柱底面是正方形，侧棱与底面垂直，则正四棱柱一定是长方体.判断正确.故选：ABD8．ACD【分析】对于A ，由平行公理可判断；对于B ，由,a c b c ^^可得a 与b 的关系可能平行、相交或异面，从而可判断；对于C ，由若一条直线上有两点在一个平面内，则整条直线就在平面内可判断；对于D ，由若两平面有公共点，则两平面有且仅有一条经过公共点的交线可判断.【详解】对于A ，由平行公理可得，//,////a b a c b c Þ，故A 正确；对于B ，由,a c b c ^^，可得a 与b 的关系有三种，分别为平行、相交或异面，故B 错误；对于C ，若一条直线上有两点在一个平面内, 则整条直线就在平面内，即,A l B l ÎÎ，且A a Î，B l a a ÎÞÌ，故C 正确；对于D ，若两平面有公共点，则两平面有且仅有一条经过公共点的交线，即 ,P P a b ÎÎ且l P l a b Ç=ÞÎ, 故D 正确.故选：ACD9．AC【分析】求得被截正方体的棱长判断选项A ；求得被截去的一个四面体的体积判断选项B ；求得该二十四等边体的体积判断选项C ；求得该二十四等边体外接球的表面积判断选项体的外接球，求出长方体的体对角线即为外接球的直径，得到表面积；（2）将四面体放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，由勾股定理表达出面对角线，得到不等关系，证明出结论.【详解】（1）由于四面体的对棱分别相等，结合长方体的面对角线性质，可以将其置于长方体中，使其顶点与长方体顶点重合，如下图：设此四面体所在长方体的棱长分别为a ，b ，c ，则222222345a b a c b c ì+=ï+=íï+=î，解得222123a b c ì=ï=íï=î，得2222(2)6R a b c =++=，\外接球的表面积为6π.（2）在四面体ABCD 中，Q AB CD =，AC BD =，AD BC =，如下图，将四面体放置长方体中，使其顶点与长方体顶点重合\四面体ABCD 的四个面为全等三角形，即只需证明一个面为锐角三角形即可.设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则222AB a b =+，222BC b c =+，222AC a c =+，\222AB BC AC +>，222AB AC BC +>，222AC BC AC +>，\ABC V 为锐角三角形，则这个四面体的四个面都是锐角三角形.18．(1)证明见解析(2)6【分析】（1）过M 作MN CQ ∥，连接,PN BM ，证明四边形MNPB 为平行四边形，根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）根据三棱锥的等体积法，将三棱锥M APQ -的体积转化为求Q ABC -的体积，结合二者之间的数量关系，可得答案,【详解】（1）证明：在图乙中，过M 作MN CQ ∥，交AQ 于N ，连接,PN BM ，由于PB CQ ∥，则MN PB ∥，所以,,,M N P B 共面，且平面MNPB I 平面APQ PN =，因为3,4AB BC ==，所以'12345AC AA AB BC =--=--=，。
2023-2024学年广州科学城中学高一数学(下)5月考试卷附答案解析
2023-2024学年广州科学城中学高一数学（下）5月考试卷考试时间：120分钟，满分：150一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知复数z 满足()1i 1i z -=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数的虚部是（）A ．1B ．iC ．1-D ．i-2．已知一组数据：125，121，123，125，127，129，125，128，130，129，126，124，125，127，126.则这组数据的第25百分位数和第80百分位数分别是（）A ．B ．C ．D ．.53．设,R x y ∈，向量()2,6a =- ，()1,b x = ，且//a b ，则a b +=（）AB ．C ．10D ．4．郑州市某家保险公司的保险产品有以下五种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔，该保险公司对五个险种的参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图，则以下四个说法中正确的是（）A ．42-53周岁客户人数是不低于54周岁的客户人数的4倍多B ．不低于54周岁客户参保总费用最多C ．丁险种人均参保费用最低D ．戊险种参保人都是42-53周岁的客户5．已知2cos 23α=，则cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．13B ．23C ．23D ．2296．在ABC 中，a b c ，，分别是A ∠，B ∠，C 的对边.若2b ac =，且22a c ac =+，则A ∠的大小是（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．在梯形ABCD 中，若2AB DC =，且AC xAB y AD =+ ，则x y +=（）A ．32B ．2C ．52D ．38．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2cos c b b A -=.若()sin cos 2A C B λ--<恒成立，则实数λ的取值范围为（）A ．(,-∞B ．(,-∞C ．⎛-∞ ⎝⎦D ．⎛-∞ ⎝⎭二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．有下列说法其中正确的说法为（）A ．若,a b b c∥∥，则a c∥B ．若a b ，则存在唯一实数λ使得a bλ=C ．两个非零向量,a b，若||||||a b a b -=+ ，则a 与b 共线且反向D ．若230,,AOC ABC OA OB OC S S ++=分别表示,AOC ABC 的面积，则:1:6AOC ABC S S =△△10．如图是函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π2<ϕ）的部分图像，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．5π6x =是的函数()y f x =的一条对称轴C ．将函数()y f x =的图像向右平移π3个单位后，得到的函数为奇函数D ．若函数()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则54,63t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A ．::sin sin sin a b c AB C =::B ．若sin 2sin 2A B =，则A =BC ．若sin sin A B >，则A B >；若A B >，则sin sin A B >D ．sin sin sin +=+a b cA B C12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且满足1//B F平面1A BE ，则下列结论中正确的是（）A ．平面1A BE 截正方体1111ABCD ABCD -所得截面面积为92B ．点F 的轨迹长度为4πC ．存在点F ，使得11B F CD ⊥D ．平面1A BE 与平面11CDDC 所成二面角的正弦值为13三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA ，OB对应的复数分别是1i -，12i -+，则向量CD对应的复数是.14．已知圆台上下底面半径分别为3，4，圆台的母线与底面所成的角为45°，且该圆台上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为．15．如图，无人机在离地面高300m 的A 处，观测到山顶M 处的仰角为15 、山脚C 处的俯角为45 ，已知60MCN ∠= ，则山的高度MN 为m ．16．已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，π3ABC ∠=，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，且BD =a c +的最小值为．四、解答题17．已知1a = ，1=4a b ⋅r r ，()()12a b a b +⋅-=.(1)求b 的值；(2)求向量a b - 与a b +夹角的余弦值．18．ABC ∆中，cos 3cos C a cB b-=.（1）求sin B ；（2）若b =，且a c =，求ABC ∆面积.19．在四面体ABCD 中，CB =CD ，AD BD ⊥，且E ，F 分别是AB ，BD 的中点，求证：（I ）直线EF ACD 面；（II ）EFC BCD ⊥面面．20．设函数22()(sin cos )f x x x x =++（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）当5,46x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求函数()f x 的值域.21．某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)用分层随机抽样的方法从[)[]80,90,90,100两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人；(2)根据样本频率分布直方图估计样本的平均数；(3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线．（精确到1）22．如图，在直角梯形ABCD 中，BC AD ∥，AD CD ⊥，2BC =，3AD =，CD =AD 上一点E 满足1DE =，现将ABE 沿BE 折起到1A BE 的位置，使平面1A BE ⊥平面BCDE ，如图所示.(1)在棱1A C 上是否存在点F ，使直线//DF 平面1A BE ，若存在，求出11A FA C，若不存在，请说明理由；(2)求二面角1A BC D --的平面角的正切值.1．C【分析】根据复数的除法和共轭复数以及复数的虚部概念求解即可,【详解】()21i 1i i1i 2z ++===-，则其共轭复数为i -，其虚部为1-，故选：C.2．D【分析】根据百分位数的计算方法即可求解.【详解】把这15个数据按从小到大排序，可得121，123，124，125，125，125，125，126，126，127，127，128，129，129，130，由25%×15＝3.75，80%×15＝12，可知数据的第25百分位数为第4项数据为125，第80百分位数为第12项与第13项数据的平均数，即12×(128＋129)＝128.5.故选：D 3．D【分析】根据题意，列出方程求得3x =-，结合向量的坐标运算，即可求解.【详解】由向量()2,6a =- ，()1,b x =，因为//a b，可得261x =-⨯，解得3x =-，所以(3,9)a b =+- ，所以a b ==+ .故选：D.4．A【分析】根据条形统计图、扇形统计图和拆线统计图中所反应的数据逐一判断可得选项.【详解】解：对于A ，观察参保人年龄分布的扇形图，42-53周岁客户人数占比33%，不低于54周岁的客户人数占比8%，42-53周岁客户人数是不低于54周岁的客户人数的4倍多，故A 正确；对于B ，统计图显示的是人均参保费用，由于人数未知，故不能确定哪个年龄段参保总费用最多，故B 错误；对于C ，由参保险种比例，丁险种参保比例最高，但统计图看不出丁险种的人均参保费用，故C 错误；对于D ，戊险种的参保人占比33%，42-53周岁客户人数占比33%，但统计图看不出两者相同，故D 错误.故选：A.5．A【解析】利用两角和与差的余弦公式结合二倍角的余弦公式化简可求得所求代数式的值.【详解】()2222221cos cos cos sin cos sin cos sin 4422222ππαααααααα⎫⎫⎛⎫⎛⎫-+=+⋅-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11cos 223α==.故选：A.【点睛】本题考查利用两角和、差的余弦公式以及二倍角的余弦公式求值，考查计算能力，属于基础题.6．A【分析】由2b ac =，且22a c ac =+，得到222b c a +-=，利用余弦定理求解.【详解】因为2b ac =，且22a c ac =+，所以222b c a +-=，所以222cos 2b c a A bc +-=因为()0,πA ∈，所以π6A =，故选：A 7．A【分析】根据平面向量的基本定理化简，可得答案.【详解】由题意，222AB DC AC AD ==- ，化简得12AC AB AD =+ ，即1,12x y ==，则32x y +=，故选：A.8．C【分析】由正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式可得sin()sin A B B -=，推出2A B =，则π3C B =-,结合锐角三角形确定B 的范围，继而将不等式恒成立转化为12sin 2sin 2B Bλ<+恒成立，结合对勾函数的单调性，即可求得答案.【详解】由2cos c b b A -=可得sin sin 2sin cos C B B A -=，结合sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,可得sin cos sin sin cos A B B B A -=，即sin()sin A B B -=，由于在锐角ABC 中，ππ22A B -<-<，故,2A B B A B -=∴=，则ππ3C A B B =--=-,则ππππ2(0,),π3(0,),(,)2264A B C B B =∈=-∈∴∈,又sin 0A >，所以()sin cos 2A C B λ--<恒成立，即2cos()2cos 4sin sin 2C B BA Bλ+--<=恒成立，即212sin 212sin 2sin 2sin 2B B B B λ+<=+恒成立，因为ππ(,)64B ∈，故3sin 2(,1)2B ∈，令3sin 2,(,1)2t B t =∈，则函数1()2g t t t =+在32内单调递增，故3()g 53(23g t >=，即12sin 2sin 23B B +>，故3λ≤，故选：C【点睛】方法点睛：（1）三角等式含有边角关系式时，一般利用正弦定理转化为角或边之间的关系进行化简；（2）不等式恒成立问题一般转化为函数单调性或最值问题解决；（3）一般要注意利用基本不等式或者函数单调性比如对勾函数的单调性，求解函数最值或范围.9．CD【分析】利用向量的传递性和向量的线性运算及向量共线的充要条件可判断A 、B 、C 项，运用三角形重心向量的表示和性质，结合三角形面积的求法可判断D 项.【详解】对于A 项，若,a b b c∥∥，且0b ≠r r ，则a c ∥，故A 项错误；对于B 项，若a b ，且0b ≠r r ，则存在唯一实数λ使得a b λ=，故B 项错误；对于C 项，两个非零向量,a b，若||||||a b a b -=+ ，则a 与b 共线且反向，C 项正确；对于D 项，因为230,OA OB OC ++= ，整理得220,OA OC OB OC +++=如图所示：故420OF OE +=,所以O E F 、、三点共线；故2OE OF = ，23OE EF = ,所以1136OE AB OF AB ==，，故:1:6AOC ABC S S =△△，故D 项正确.故选：CD.10．AD【分析】先根据图像可得2,πA T ==，即可判断A ；令ππ2π(Z)32x k k +=+∈解出x 即可判断B ，接下来求得,ωϕ，即可得到()f x 的解析式，根据图象平移判断C ；令π()2sin(203f tx tx =+=，解出函数零点，然后根据在[]0,π上有且仅有两个零点列出不等式解t 即可判断D.【详解】由图像可知，2A =，πππ=43124T -=，即πT =，故A 正确；2π2Tω∴==，此时()2sin(2)f x x ϕ=+，又π(,2)12 在图像上，π22sin(2)12ϕ∴=⨯+，解得π2π(Z)3k k ϕ=+∈，ππ()2sin(22π)2sin(2)33f x x k x ∴=++=+，π()2sin(2)3f x x =+ ，ππ2π(Z)32x k k ∴+=+∈，ππ(Z)122k x k ∴=+∈，当5π6x =是函数()y f x =的一条对称轴时，此时32k =不符合题意，故B 错误；将()f x 的图象向右平移π3个单位后得到的图象对应的解析式为：πππ()2sin[2()]2sin(2)333g x x x =-+=-不为奇函数，故C 错误；令π()2sin(203f tx tx =+=，解得ππ(Z)62k x k t t=-+∈，当0k =时，π06x t=-<，不合题意1k =时，π3x t =；2k =时，5π6x t =；3k =时，4π3x t=；又因为函数()(0)y f tx t =>在[]0,π上有且仅有两个零点5ππ64ππ3t t⎧≤⎪⎪∴⎨⎪>⎪⎩，解得5463t ≤<，故D 正确.故选：AD.11．ACD【分析】对于A ，利用正弦定理进行验证；对于B ，由sin 2sin 2A B =，可得A B =或2A B π+=，即可判断；对于C ，利用正弦定理以及三角形中大角对大边进行证明；对于D ，利用正弦定理以及比例的性质即可证明.【详解】对于A ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得，::2sin :2sin a b c R A R =:2sin sin :sin :sin B R C A B C =，故A 正确.对于B ，由sin 2sin 2A B =及两角为三角形内角，可得A B =，或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，故B 错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得，sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，因此A B >是sin sin A B >的充要条件，故C 正确；对于D ，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===，可得右边2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++====++左边，故D 正确.故选：ACD 12．AC【分析】取CD 中点G ，连接BG 、EG ，计算截面1A EGB 的面积后判断A 的正误，取11C D 中点M ，1CC 中点N ，则点F 的运动轨迹为线段MN ，故可判断B 的正误，取MN 的中点F ，则可判断11B F CD ⊥，故可判断C 的正误，而11B FC ∠即为平面1B MN 与平面1,CDD C 所成二面角，计算其正弦值后可判断D 的正误.【详解】取CD 中点G ，连接BG 、EG ，则等腰梯形1A EGB 为截面，而1A E GB ==1A B EG =故梯形1A EGB面积为922+=，A 正确；取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,,,B M B N MN NE MG ，则1111//,=NE A B NE A B ，故四边形11A B NE 为平行四边形，则得11//B N A E ，而1B N ⊄平面1A BE ，1A E ⊂平面1A BE ，故1B N //平面1A BE ，同理1//B M 平面1A BE ，而111=B N B M B ，11,B N B M ⊂平面1B MN ，故平面1//B MN 平面1A BE ，∴点F 的运动轨迹为线段MNB 错误；取MN 的中点F，则11B N B M ==，∴1B F MN ⊥，∵1//MN CD ，∴11B F CD ⊥，C 正确；因为平面1//B MN 平面1A BE 且1MN C F ⊥，1MN B F ⊥，∴11B FC ∠即为平面1B MN 与平面1CDDC所成二面角，1111122sin 3B C B FC B F∠==，D 错误．故选：AC.13．23i-【分析】利用复数的几何意义，由OA OB BA CD -==求解.【详解】因为向量OA ，OB对应的复数分别是1i -，12i -+，所以()()11223OA OB BA CD i i i -===---+=- 故答案为：23i-【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及平面向量的减法运算，属于基础题.14．500π3【分析】根据圆台轴截面及已知求圆台的高，再根据球体半径与圆台上下底面半径的几何关系列方程求出球体半径，进而求球体的体积．【详解】由题意，作出圆台的轴截面如下图示6,8,45AB CD ADC ==∠= ,故1AE DE ==，设球心为O ，球半径为R ，由于2222OF OA AF AE ⎛ =-= ⎝，则229(1R -=，可得5R =，所以该球体积为34500ππ33R =．故答案为：500π315．450【分析】由直角三角形求得AC ，再在△AMC 中，由正弦定理求得MC ，然后在直角三角形中求得MN ．【详解】∵//AD BC ，∴45ACB DAC ∠=∠= ，∵AC ==，又180465705MCA ∠-=-= ，154560MAC ∠=+= ，∴45AMC ∠= ，在△AMC 中，由正弦定理得60sin45MC ==，∴sin 60450m MN MC MCN =∠== ．故答案为：450．16．4【分析】利用等面积法可得出ABC ABD BCD S S S =+△△△，化简可得111a c +=，将代数式a c +与11a c+相乘，展开后利用基本不等式可求得a c +的最小值.【详解】因为π3ABC ∠=，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，且BD =，因为ABC ABD BCD S S S =+△△△，即1π1π1πsin sin sin 232626ac c BD a BD =⋅+⋅，即()3344ac c a =+，即ac a c =+，所以，111c a ac a c +=+=，所以，()11224c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭，当且仅当2a c ==时，等号成立，故a c +的最小值为4.故答案为：4.17．(1)2【分析】（1）由()()2212a b a b a b +⋅-=-= ，可求b 的值；（2）利用向量数量积求出a b += 1a b -=，再由向量数量积求夹角的余弦值.【详解】（1）()()2212a b a b a b +⋅-=-= ，由1a = ，得2112b -= ，所以2b =r .（2）因为22211212242a b a a b b +=+⋅+=+⨯+= ，22211212142a b a a b b -=-⋅+=-⨯+= ，所以a b += 1a b -= .令向量a b - 与a b +的夹角为θ，则()()122cos 4a b a b a b a b θ+⋅-===+- ，即向量a b - 与a b + 夹角的余弦值是24.18．（1）223；（2）【分析】（1）通过正弦定理把3cosC a c cosB b-=中的边换成角的正弦值，化简求得cos B ，进而求得sin B ．（2）通过余弦定理求得c ，代入三角形的面积公式，进而求得△ABC 的面积．【详解】（1）由正弦定理，得3cosC sinA sinC cosB sinB -=即sin B cos C +cos B sin C ＝3sin A cos B∴sin （B +C ）＝3sin A cos B∵A +B +C ＝180°∴sin A ＝3sin A cos B∵0°＜A ＜180°∴cos B 13=∴sin B =（2）由余弦定理，cos B 2222a c b ac+-=，再由b ＝a ＝c ，cos B 13=得c 2＝24∴S △ABC 12=ac sin B 12=c 2sin B ＝19．（I ）证明见解析．（II ）证明见解析．【详解】证明：（I ）E ，F 分别为AB ，BD 的中点EF AD⇒ }EF ADAD ACD EF ACD EF ACD⇒⊂⇒⊄ 面面面．（II ）}}}EF ADEF BD AD BD CD CB CF BD BD EFC F BD EF CF F ⇒⊥⊥=⇒⊥⇒⊥⋂= 面为的中点，又BD BCD ⊂面，所以EFC BCD ⊥面面．20．（1）函数()f x 递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z （2）(1-【分析】（1）化简()f x ，再根据正弦函数的单调增区间即可．（2）根据（1）的结果()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据5,46x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求出23x π-的范围结合图像即可．【详解】解：（1）1cos 2()1sin 22x f x x -=++1sin 22x x =+2sin 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由222232k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z 则函数递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z （2）由546x ππ<<，得42633x πππ<-<则sin 213x π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭则13y <≤，即值域为(1【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，常考三角函数的性质有：对称轴、单调性、最值、对称中心．属于中等题．21．(1)3；2(2)84.5(3)83【分析】（1）先由频率分布直方图的频率求法求得[)[]80,90,90,100两个区间样本中的学生人数，按照分层抽样的方法即可求得结果；（2）由平均数的计算公式直接计算即可求解；（3）根据题意，利用频率分布直方图的面积即频率，可求得使后段区间频率为0.6时的区间左端点，即所求最低分数线.【详解】（1）依题意，设区间[)80,90中应抽x 人，区间[]90,100中应抽y 人，得成绩在[)80,90区间样本中的学生人数为：0.0451010045⨯⨯=；成绩在[]90,100区间样本中的学生人数为：0.031010030⨯⨯=；所以545304530x y ==+，解得3,2x y ==，所以区间[)80,90中应抽3人，区间[]90,100中应抽2人.（2）根据样本频率分布直方图估计样本的平均数为()10650.01750.015850.045950.0384.5x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）由频率分布直方图易得，[]90,100的频率为0.03100.3⨯=，[]80,100的频率为0.045100.30.75⨯+=，所以成绩良好的最低分数线落在区间[)80,90中，不妨记为0x ，故()0900.0450.30.6x -⨯+=，解得083.33383x =≈，所以成绩良好的最低分数线为83.22．(1)存在，1112A F A C =(2)2【分析】（1）设1A B 的中点为N ，证得四边形DENF 是平行四边形，得到//DF EN ，得出//DF 平面1A BE ，进而得到结论；（2）连接CE ，取BE 中点O ，作OM BC ⊥于M ，证得1A M BC ⊥，得到1A MO ∠为二面角1A BC D --的平面角，在直角1A MO △中，即可求解．【详解】（1）解：当F 是AC 的中点时，直线//DF 平面1A BE .证明如下：设1A B 的中点为N ，连接EN ，FN ，因为//FN BC ，12FN BC =，且//ED BC ，12ED BC =，所以//FN ED 且FN ED =，所以四边形DENF 是平行四边形，所以//DF EN ，又因为DF ⊄平面1A BE ，EN ⊂平面1A BE ，所以//DF 平面1A BE ，所以存在点F ，使//DF 平面1A BE ，且1112A F A C =.（2）解：在平面图形中，连接CE ，则30ECD ∠=︒，60ECB ∠=︒，所以2CB CE BE AE AB =====，如图所示，取BE 中点O ，连接1AO ，则1BE OA⊥，因为1A O ⊂平面1A BE ，平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE Ç平面BCDE BE =，所以1A O ⊥平面BCDE ，又因为BC ⊂平面BCDE ，所以1A O BC ⊥作OM BC ⊥于M ，连接1A M ，因为1A O OM O ⋂=，且1,A O OM ⊂平面1A OM ，所以BC ⊥平面1A OM ，又因为1A M ⊂平面1A OM ，所以1A M BC ⊥，所以1A MO ∠为二面角1A BC D --的平面角，在直角1A MO △中，1AO =OM =1tan 2A MO ∠=，故二面角1A BC D --的平面角的正切值为2．。
江苏省无锡市锡东高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷
江苏省无锡市锡东高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷一、单选题1．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的等腰三角形，其中1OA OB ==，则原平面图形的面积为A ．1BC ．32D ．22．在ABC V 中，1a =，4b =，030C =，则这个三角形的面积是（ ）A ．14B ．13 C ．12 D ．13．已知向量(1,0)a =r ，(1,1)b =r ，若a b λ+r r 与a b λ+r r 共线，则实数λ的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．1± D ．04．已知α、β是平面，m 、n 是直线，下列命题中不正确的是（ ） A ．若m n ∥，m α⊥，则n α⊥ B ．若m α∥，n αβ=I ，则m n ∥ C ．若m α⊥，m β⊥，则αβ∥D ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥5．某高校12名毕业生的起始月薪如下表所示：则第85百分位数是（ ） A ．3325B ．3130C ．3050D ．29506．如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45︒，沿倾斜角为30︒的斜坡前进若干米后到达D 处，又测得山顶的仰角为75︒，已知山的高度BC 为1千米，则该登山队从A 到D 前进了（ ）AB C ．1千米 D ．1.5千米7．在ABC V 中，已知1,2,60,,AB AC BAC BC AC ∠===o 边上的两条中线,AD BE 相交于点P ，则cos DPE ∠=（ ）A B C ．17D 8．设ABC V 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若2b =，2sin 6sin a C A =，则ABC V 面积的最大值为（ ）AB C D ．3二、多选题9．正方体1111ABCD A B C D -中，下列叙述正确的有（ ）A ．直线1AB 与1BC 所成角为60oB ．直线1AC 与1CD 所成角为90oC ．直线1AC 与平面ABCD 所成角为45oD ．直线1A B 与平面11BCC B 所成角为60o10．给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）A ．平均数为3B ．标准差为85C ．众数为2D ．85%分位数为511．在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos cos c B b C a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．1a =B ．若2BC A +=，则ABC V C ．若π4A =，且ABC V 只有一解，则b 的取值范围为(]0,1 D ．O 为ABC V 的外心，则12BC BO ⋅=u u u r u u u r三、填空题12．下表是关于某校高一年级男女生选科意向的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调查，若在“选修物理的男生”中抽取了8人，则n 的值为.13．已知直三棱柱111A B C ABC -中，1AB =，2BC =，90ABC ∠=︒，其外接球的表面积为9π，则该三棱柱的侧棱长为.14．已知平面向量a r ，b r满足2b =r ，b r 与a b -r r 的夹角为120︒，记()()1R m ta t b t =+-∈u r r r ，则m u r 的取值范围为．四、解答题15．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，侧面11BCC B 是矩形，点E ，F 分别为BC ，11A B 的中点.求证：（1）1BC AC ⊥； （2）//EF 平面11ACC A .16．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知1e u r ，2e uu r 为两个夹角成60︒的单位向量，123OA e e =+u r uu r u r ，125OB e e =+u r uu u r u r .(1)求||AB uu u r ；(2)设1OC te =uuu r u r，问是否存在实数t ，使得ABC V 是以AB 为斜边的直角三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由.17．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量（单位：3m ），将数据按照[0,4)，[4,8)，…，[32,36)分成9组，制成如图所示的频率分布直方图．为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过320m 的部分按3元3/m 收费，第二阶梯为超过320m 但不超过328m 的部分按5元3/m 收费，第三阶梯为超过328m 的部分按8元3/m 收费．(1)求直方图中a 的值；(2)已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数； (3)该市政府希望使至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少3m ？18．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知11sin sin A B+=且3C π=，6c =.(1)求证：a b +=； (2)求ABC V 的面积.19．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形ABC 中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．问题：如图2，已知ABC V 满足AC =2AB =，设0BAC ∠=（0πθ<<），四边形ABGF 、四边形ACED 、四边形BCQP 都是正方形．(1)当π2θ=时，求EQ 的长度； (2)求AQ 长度的最大值．。
新疆乌鲁木齐市第二十三中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
新疆乌鲁木齐市第二十三中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，2AB =，E 为11C D 中点，则异面直线1AD 与CE 所成角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒2．已知树人中学高一年级总共有学生n 人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取10n 名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，则n =（ ）A ．1100B ．1000C ．900D ．8003．设,αβ是两个不同的平面，m ，l 是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ） A ．若,,m l αβαβ⊥∥∥，则m l ⊥B ．若,,m l l m αβ⊂⊂P ，则αβ∥C ．若,,m l l m αβ⊥⊥P ，则αβ⊥D ．若,,m l l αβαβ=I ∥∥，则//m l4．在三棱锥-P ABC 中，PA PB AC BC ====2PC AB ==，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（ ）A ．20πB ．12πC ．5πD ．4π5．如图，四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形90BAD ADC ︒∠=∠=，23AB CD =，E 为PC 上靠近点C 的三等分点，则三棱锥B CDE -与四棱锥P ABCD -的体积比为（ ）A ．19B ．15C ．16D ．136．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 、Q 分别是所在棱的中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．点1C 、1D 到平面PMN 的距离相等B ．PN 与QM 为异面直线C ．90PNM ∠=oD ．平面PMN 截该正方体的截面为正六边形7．已知平面向量a →，b →，且满足2a a b b →→→→⋅===，若e →为平面单位向量，则a e b e →→→→⋅+⋅的最大值（ ）A ．3B ．C ．4D ．8．已知空间4个球,它们的半径分别为2, 2, 3, 3,每个球都与其他三个球外切,另有一个小球与这4个球都外切,则这个小球的半径为（ ）A ．711B ．611C ．511D ．411二、多选题9．设复数z 在复平面内对应的点为Z ，原点为O ，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）A ．若()2i z ⋅+=2z z ⋅=B ．若点Z 的坐标为()3,2-，且z 是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q ∈R ）的一个根，则19p q +=C ．若复数i i 1z =+，则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限D ．若复数z 满足12i 1z -+=，则z 110．设ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（ ）A ．若cos cos a A bB =，则ABC V 为等腰三角形B ．若60B =︒，b =ABC V 面积的最大值为C ．若AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，[)0,λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC V 的内心D ．若O 是ABC V 内的一点，满足340OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则:1:8AOC ABC S S =△△11．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=o ，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为45o ，则（ ）A ．该圆锥的体积为3πB．该圆锥的侧面积为C．AC D ．PAC △的面积为2三、填空题12．在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2c o s c o s c B b C a +=，若2B C A +=，则ABC V 外接圆半径为.13．已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1:2，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为.14．在平面五边形ABCDE 中，60A ∠=︒，AB AE ==BC CD ⊥，DE CD ⊥，且6BC DE ==．将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120︒，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的体积为．四、解答题15．已知3a =r ，4b =r ，且a r 与b r 的夹角为120︒．(1)求b r 在a r 上的投影向量；(2)若()()2a b ka b +⊥-r r r r ，求实数k 的值； (3)求向量b r 与向量a b +r r 夹角的余弦值．16．在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是1AA ，11B C 的中点．（Ⅰ）求证：1//A E 平面1C BD ；（Ⅱ）若1DC BD ⊥，1AC BC ==，12AA =．（ⅰ）求二面角1B DC C --的正切值；（ⅱ）求直线1A E 到平面1C BD 的距离．17．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足22cos 0+-=c b a B ．(1)求角A ；(2)若D 为BC 上一点，且2AB =，1AC =，90BAD ∠=︒，求CAD V 的面积；(3)若a =32BA AC ⋅=u u u r u u u r ，AD 是ABC V 中线，求AD 的长． 18．如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形1111D C B A 是边长为1的正方形，1DD ⊥平面1111D C B A ，1DD ⊥平面ABCD ，12DD =．(1)求证：11AC 与AC 共面，11B D 与BD 共面；(2)求证：平面11A ACC ⊥平面11B BDD ；(3)求二面角1A BB C --的余弦值．19．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体Γ的一个顶点，定义多面体Γ在点P 处的离散曲率为()1223111Φ12πP k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ -=-∠+∠++∠+∠L ，其中i Q（1i =，2，…，k ，3k ≥）为多面体Γ的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，平面23Q PQ ，…，平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体Γ的所有以P 为公共点的面．(1)求四棱锥S ABCD -在各个顶点处的离散曲率的和；(2)如图，现已知在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1AA AB =， ①若四面体1A ABD 在点1A 处的离散曲率为712，证明：1AC ⊥平面1A BD ； ②若直四棱柱1111ABCD A B C D -在顶点A 处的离散曲率为13，求直线1BC 与平面1ACC 所成角的正弦值．。
2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高一(下)月考数学试卷(5月份)+答案解析
2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高一（下）月考数学试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，复数z满足，则()A. B. C. D.2.已知的直观图如图所示，轴，轴，且，则在中，()A.3B.C.12D.63.已知复数，，为虚数单位，且，则()A.，B.，C.，D.，4.在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，设，，则()A. B. C. D.5.设、是两个不重合的平面，则的一个充分条件为()A.平面内有无数个点到平面的距离相等B.平面内有无数条直线与平面平行C.两条异面直线同时与平面，都平行D.两条平行直线同时与平面，都平行6.在中，，，，点D为边AC上一点，且，则()A.3B.2C.D.7.如图，在正四棱台中，，则正四棱台的表面积为()A.28B.26C.24D.168.已知，，，均为非零向量，与的夹角为，与的夹角为，满足，，则，的夹角()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知i为虚数单位，复数，，则下列说法正确的是()A.B.的共轭复数为C.的虚部为D.在复平面内，复数对应的点位于第二象限10.已知正方体的棱长为2，点P为正方形内包括边一动点，则下列说法正确的是()A.对于任意点P，均有平面平面B.当点P在线段上时，平面与平面所成二面角的大小为C.当点P在线䝘上时，D.当点P为线段的中点时，三棱锥的体积为11.已知两个非零的平面向量与，定义新运算，，则下列说法正确的是()A.B.对于任意与不共线的非零向量，都有C.对于任意的非零实数t，都有D.若，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量与单位向量的方向相同，则______.13.已知圆柱的底面半径为2，高为点O为线段不含端点上一动点.以该圆柱的上、下底面为底面，O为顶点挖去两个圆锥与，则剩下的几何体的体积与圆柱的体积之比为______. 14.如图，已知山体AB与山体CD的底部在同一水平面上，且两个山体的高线AB与CD均与水平面垂直，，在山体CD的最高点D处测得山顶B的仰角为，测得山底A的俯角为，则______四、解答题：本题共5小题，共77分。
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西宁市第二十一中学2017-2018学年第二学期五月份
高一数学月考测试卷
时间：120分钟 满分：150分
命卷人：高二数学备课组
一、选择题（每题5分，共12题，小计60分） 1．设a>1>b>－1，则下列不等式恒成立的是( ) A.1a <1b B.1a >1b C ．a 2>1b2 D ．a>b 2 2．在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．2 5 B. 5 C ．25或 5 D ．以上都不对 3．在△ABC 中，已知a 2
＝b 2
＋c 2
＋bc ，则A 等于( ) A.π3 B.π6 C. π3或2π3 D. 2π3
4.已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172 B.19
2
C ．10
D ．12 5.在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16 D ．S 17
6.若函数f (x )＝x ＋
1
x －2
(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4
7.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为( )
A ．8
B ．7
C ．2
D ．128
8．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝13
14，则最大角的余弦值是( )
A ．－15
B ．－16
C ．－18
D ．－17
9.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，
3x －y －5≥0，
则z ＝2x －y 的最大值为( )
A ．10
B ．8
C ．3
D ．2
10.已知等比数列{a n }满足a 1＝1
4，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )
A ．2
B ．1 C.12 D.1
8
11．在△ABC 中，已知sin C ＝2sin(B ＋C )·cos B ，那么△ABC 的形状是（ ）． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 12．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12 km/h 的速率向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟后，两船的距离是( )
A.7 km
B.13 km
C.19 km
D.10－3 3 km
二、填空题（每题5分，共4题，小计20分）
13、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
＋1，则a n ＝________. 14．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则其面积等于
15、已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________
16．若2x
＋2y
＝1，则x ＋y 的取值范围是
一、选择题（每题5分，共12题，小计60分）
二、填空题（每题5分，共4题，小计20分）
13、
14、
15、。