高考数学复习点拨 集合与一元二次不等式综合问题例析

集合与一元二次不等式综合问题例析
集合，是现代数学中的一个最基本的概念．集合概念渗透到数学各个分支中，对于培养运用集合观念解题的能力，提高数学素养是大有好处的．集合问题多与不等式等有关，解答此类问题时要注意各类知识的相互转化、融会贯通与综合运用．下面就与集合与不等式有关问题选解评析几例，供读者参考．
例1 已知全集U ={x | x 2－3x + 2≥0}，A ={x || x －2|＞0}，B ={x |21--x x ＞0}，求A ð
U B ，(ðU A )B ．
解：U ={ x |x ≤1或x ≥2}，A ={ x |x ＜1或x ＞3}，B ={x |x ＞2或x ＜1}，故A ð
U B =φ，(ðU A )B =U ．
评析：本题中把二次不等式、绝对值不等式、分式不等式的解集，与集合的交、并、补运算相结合，既考察了不等式的几种类型的解法，又考察了集合运算．这里准确解出不等式的解集很重要．
例2 已知A ={x |x －a ＞0}，B ={ x | x 2－2ax －3a 2＜0}，求A
B 及A B ． 解：A ={x |x ＞a }，B ={ x | (x + a )(x －3a )＜0}，
考虑集合B 中－a 与3a 的大小关系，对字母a 进行分类讨论：
⑴当a ＞0时，－a ＜3a ，B ={ x | －a ＜x ＜3a }，
∵－a ＜a ＜3a ，∴A B ={ x | a ＜x ＜3a }，A B ={ x | x ＞－a }．
⑵当a = 0时，A ={x |x ＞0}，B =φ，此时，A
B =φ，A B ={ x | x ＞0}． ⑶当a ＜0时，－a ＞3a ，B ={ x | 3a ＜x ＜－a }，
∵3a ＜a ＜－a ，∴A B ={ x | a ＜x ＜－a }，A B ={ x | x ＞3a }．
评析：分类讨论时，要求既不重复讨论，也不遗漏某些特殊情况，往往是数形结合、分类讨论交叉进行．本题还应注意到－a 与3a 的大小比较．常常可见到方程两根都含字母且不只是一次式时，比较这两根大小之后，再写出不等式的解集．而作差比较的不同情况，往往就是讨论的不同步骤．
例3 关于x 的不等式| x －2
)1(2
+a |≤2)1(2-a 及x 2－3(a + 1)x + 2(3a +
1)≤0的解集依次记为A 和B ，求使A ⊆B 时a 的取值范围．
解：由| x －2)1(2+a |≤2)1(2-a 得： －2)1(2-a ≤x －2
)1(2
+a ≤2)1(2-a ， ∴2a ≤x ≤a 2+ 1，即A ={ x |2a ≤x ≤a 2+ 1}，
由x 2－3(a + 1)x + 2(3a + 1)≤0得：(x －2)[x －(3a + 1)]≤0，
① 当3a + 1≥2，即a ≥3
1时，B ={ x |2≤x ≤3a + 1}，欲使A ⊆B ，需有 ⎩⎨⎧+≥+≤.
113,222a a a ⇒ 1≤a ≤3 ， ② ② 当3a + 1＜2，即a ＜3
1时，B ={ x |3a + 1≤x ≤2}，欲使A ⊆B ，需有
⎩⎨⎧+≥≤+.
12,2132a a a ⇒ a =－1 ． ∴使A ⊆B 时a 的取值范围为1≤a ≤3或a =－1 ．
评析：对于含有参数的不等式应考虑到：⑴参数a 对不等式方向的影响；⑵参数a 对根的大小的影响．
例4 已知集合A ={x |x 2－2x + a ≤0} ，B ={x | x 2－3x + 2≤0}，且A ≠⊂B ，求实数a 的取值范围．
解：B ={x |1≤x ≤2}，A ={x |x 2－2x + a ≤0}，由于A ≠⊂B ，所以：
① 当A =φ时满足A ≠⊂B ，即x 2－2x + a ≤0无解，所以△= (－2)2－4a ＜0
⇒a ＞1 ．
② 当A ≠φ时，由于不等式x 2－2x + a ≤0对应
二次函数y = x 2－2x + a 的对称轴是x = 1 ．要保证A ≠⊂[1，2] ，当且仅当A ={1}，即△= 0，解得 a = 1 ．
由①、②知当a ≥1时，A ≠⊂B ．
评析：将集合语言转化为图形语言，便使a 的取值范围显而易见．所以，数
形结合是求含参数集合问题常用的思想方法．。