高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第6讲指数式与指数函数课件理

3 4

1 4

，b＝
4 3

1 3
，c＝log
3
4 2
，
则 f(a)，f(b)，f(c)由小到大的排列顺序为( C )
A.f(c)<f(b)<f(a)
B.f(b)<f(c)<f(a)
C.f(c)<f(a)<f(b)
D.f(b)<f(a)<f(c)
解析：f(x)＝3x－3－x 为单调递增函数，
答案：C
图 D3
(2)已知实数 a，b 满足等式12a＝13b，下列五个关系式： ①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能
成立的关系式有( )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
解析：在同一平面直角坐标系中作出函数 y＝13x，y＝12x 的图象，如图 D4.
1
＋2＋22×33－23 3 ＝110.
(2)原式＝
1 1
a 3b2
1
11
a2b3
5
111 115
＝a 3 2 6 ·b 2 3 6 ＝a0b0＝1.
a6b6
【规律方法】因为幂的运算性质都是以指数式的形式给出
的，所以对既有根式又有指数式的代数式进行化简时，要先将
n
根式化成指数式的形式，依据为m an ＝a m ，注意结果不要同时
1.下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是( C )
1
A.－ x＝(－x) 2 (x>0)
1
B. 6 y2 ＝y 3 (y<0)
3
C.x 4 ＝
4

1 x
3

(x>0)
D.x

1 3
＝－
3
x (x≠0)
2.函数 f(x)＝4x2＋x 1的图象( D )
A.关于原点对称 C.关于 x 轴对称
图 D4 当 x<0 时，若12a＝13b，则 a<b<0，②成立；
当 x>0 时，若12a＝13b，则 0<b<a，①成立； 当 x＝0 时，若12a＝13b，则 a＝b＝0，⑤成立.
故③④不成立.故选 B. 答案：B 【规律方法】实数 a，b 满足等式12a＝13b，就是要判断在 同一平面直角坐标系中函数 y＝13x，y＝12x 的函数值何时相等， 利用两个函数的图象与直线 y＝m 的交点来判断.
B.关于直线 y＝x 对称 D.关于 y 轴对称
3.函数 y＝ax－—1 (a>0，且 a≠1)的图象可能是( a
D
)
A
B
C
D
4.方程3x－9 1＋1＝3x 的实数解为__x_＝__l_o_g_34___.
考点1 指数幂运算
例1：计算：
2
(1)1.5
1 3
×－760＋80.25×
4
(2)若关于 x 的方程|ax－1|＝2a(a>0，且 a≠1)有两个不相等
的实根，则实数 a 的取值范围是( )
A.(0,1)∪(1，＋∞)
B.(0,1)
C.(1，＋∞)
D.0，12
解析：当 a>1 时，图 2-6-1(1)为 y＝|ax－1|的图象，与 y＝ 2a 显然无两个交点；当 0<a<1 时，如图 2-6-1(2)，要使 y＝2a 与 y＝|ax－1|的图象有两个交点，应有 0<2a<1，∴0<a<12.故选 D.
f(x)＝3x－
1 3
x
，f(－x)＝3－x－
1 3

x
＝
1 3
x
－3x
＝－f(x)，所以函数是奇函数.又
3x
是增函数，－
1 3
x

wk.baidu.com也是增函
数，即
f(x)＝3x－

1 3
x
是增函数.故选
A.
答案：A
【互动探究】
4.已知函数
f(x)＝3x－3－x，a＝
A.(16,32)
B.(18,34)
C.(17,33)
D.(6,7)
解析：函数 f(x)＝|－2x＋x＋1－51，|，x>x2≤2， 的图象如图 D3，不妨 设 a<b<c，f(a)＝f(b)，|2a＋1－1|＝|2b＋1－1|,1－2a＋1＝2b＋1－1,2a ＋2b＝1,4<c<5，16<2c<32，所以 2a＋2b＋2c 的取值范围是(17,33). 故选 C.
3.(2016年浙江模拟)已知实数 a，b 满足等式 2017a＝2018b， 下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；
⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有( B )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
解析：设 2017a＝2018b＝t，如图 D5，由函数图象，可得， 若 t>1，则有 a>b>0.①成立；
答案：D
图 D6
解析：要比较 a，a 3 a ，aaa 的大小，底数相同，即比较 1＝
1
a0， 3 a ＝a3 ，aa 的大小.
而
0<a<13，y＝ax
单调递减，所以
1＝a0>aa>
3
a
1
＝a3.
所以 a<aaa <a 3 a .故选 D.
答案：D
(2)(2015
年山东)
设函数f(x)
＝
3x－1，x＜1， 2 x ，x≥1，
a＝

3 4

1 4
＝
4 3

1 4
<
1

4 3
3
＝b，b>a>1，c＝log234<0，所以
f(c)<f(a)<f(b).故选
C.
思想与方法 ⊙分类讨论与数形结合思想的应用 例题：(1)若函数 f(x)＝ax－x－a(a>0 且 a≠1)有两个零点， 则实数 a 的取值范围是________. 解析：考查函数 y＝ax 与函数 y＝x＋a 的交点的个数，当 a>1 时，有两个交点； 当 0<a<1 时，有一个交点.所以实数 a 的取值范围是(1，＋∞). 答案：(1，＋∞)
答案：D
(1)
(2)
图2-6-1
【规律方法】(1)在指数函数解析式中，必须时刻注意底数 a>0，且a≠1，对于指数函数的底数a，在不清楚其取值范围时， 应运用分类讨论的数学思想，分a>1 和0<a<1 两种情况进行讨 论，以便确定其性质.
(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指 数型函数图象，运用数形结合的思想求解 . 画指数函数 y ＝ ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，
则满足
f[f(a)]＝2f(a)的 a 的取值范围是( )
A.23，1 C.23，＋∞
B.[0,1] D.[1，＋∞)
解析：方法一，当 a≥1 时，f(a)＝2a＞1，所以 f[f(a)]＝2f(a)， 即 a≥1 符合题意.当 a＜1 时，f(a)＝3a－1，若 f[f(a)]＝2f(a)，则
【互动探究】 2.若函数 f(x)＝kax－a－x(a>0，a≠1)在(－∞，＋∞)上既是 奇函数又是增函数，则函数 g(x)＝loga(x＋k)的图象是( C )
A
B
C
D
解析：若函数 f(x)是奇函数，所以 f(0)＝k－1＝0⇔k＝1.又
函数是增函数，所以a>1.那么g(x)＝loga(x＋1)的图象为增函数， 并且过点(0,0).故选 C.
2.指数函数的图象与性质
指数函数
y＝ax(a>1)
y＝ax(0<a<1)
图象
定义域 值域 定点
单调性
性质
R (0，＋∞) 过定点(0,1) 在R上是增函数
当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1
R (0，＋∞) 过定点__(_0_,1_)___ 在R上是_减__函__数___
当x＞0时，__0_＜__y_＜__1___； 当x＜0时，____y_＞__1____
2 ＋( 3
2×
3)6－

2 3

3
；
2
(a 3

b1

)
1 2
1
a2
1
b3
(2)
.
6 a b5
思路点拨：根式的形式通常写成分数指数幂后再进行运算.
1
11
11
1
1
解：(1)原式＝23 3 ×1＋(23) 4 ×2 4 ＋(2 3 ×3 2 )6－23 3 ＝23 3
f(a)≥1，即 3a－1≥1，a≥23.所以23≤a＜1 符合题意.综上所述，
a 的取值范围是23，＋∞.故选 C. 方法二，利用特殊值.当 x＝2 时，f[f(2)]＝f(4)＝24＝2f(2)，
解集中应该有
2，排除
A，B；当
x＝23时，
f

f

2 3

＝f(1)＝21
－1，1a，再利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得 到其他图象.
【互动探究】
5.设f(x)＝|3x－1|，c<b<a，且f(c)>f(a)>f(b)，则下列关 系式中一定成立的是( )
A.3c>3a C.3c＋3a>2
B.3c>3b D.3c＋3a<2
解析：y＝|3x－1|的图象是由y＝3x向下平移一个单位后， 其x轴上方的图象保持不变，将x轴下方的图象翻折上去得到 的，如图D6，由图可知，要使c<b<a，且f(c)>f(a)>f(b)成立， 则有c<0<a，∴3c<1<3a.∴f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1.又f(c)>f(a)， ∴1－3c>3a－1，即3c＋3a<2.故选D.
m
a n ＝ n am(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
0
(续表)
负分数 指数幂
正数的负分
m
a n＝
1
(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)
数指数幂
n am
0 的负分数 指数幂
没有意义
有理数 指数幂 的运算 性质
(1)aras＝__a_r_＋_s___(a>0，r，s∈Q). (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q). (3)(ab)r＝___a_rb_r___(a＞0，b＞0，r，s∈Q)
＝
2
f

2 3

，解集中应该有23，排除
D.故选
C.
答案：C
(3)(2017 年北京)已知函数 f(x)＝3x－13x，则 f(x)(
)
A.是奇函数，且在 R 上是增函数
B.是偶函数，且在 R 上是增函数
C.是奇函数，且在 R 上是减函数
D.是偶函数，且在 R 上是减函数
解析：因为
含有根号和分数指数幂.
【互动探究】
1.若
x>0，则(2x
1 4
＋3
3 2
)(2x
1 4
－3
3 2
)－4x

1 2
(x－x
1 2
)＝__－__2_3__.
考点2 指数函数的图象
例 2：(1)设函数 f(x)＝－|2x＋x＋1－51，|，x>x2≤，2， 若互不相等的实
数 a，b，c 满足 f(a)＝f(b)＝f(c)，则 2a＋2b＋2c 的取值范围是( )
第6讲 指数式与指数函数
1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌 握幂的运算. 3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指 数函数图象通过的特殊点. 4.知道指数函数是一类重要的函数模型.
1.分数指数幂
正分数 指数幂
正数的正分 数指数幂
0的正分数 指数幂
若 t＝1，则有 a＝b＝0.⑤成立；
若 0<t<1，则有 a<b<0.②成立.
故①②⑤可能成立，而③④不可
能成立.故选 B.
图 D5
考点3 指数函数的性质及应用
例 3：(1)设 0<a<13，则 a，a 3 a ，aaa 的大小关系是(
)
A.a 3 a <aaa <a B.aaa <aa 3 a <a C.a 3 a <a<aaa D.a<aaa <a 3 a