浙江省永嘉县楠江中学数学一轮复习 第八章 第三节 圆的方程教案
圆的标准方程》教案
圆的标准方程》教案教学目标：1.回顾圆的几何要素，掌握圆的标准方程在直角坐标系中的应用。
2.培养学生运用坐标法研究几何的能力，熟练掌握待定系数法求圆的方程。
3.通过实际问题的研究，让学生认识到理论来源于实际，服务于实际。
教学重难点：重点：圆的标准方程的推导和应用。
难点：实际问题和综合问题。
教学过程：一、情景导入引入问题：生活中有很多圆形建筑，如赣南客家围屋、赵州桥等。
什么是圆？圆有哪些特征？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？二、交流展示1.怎样确定圆的标准方程？三、合作探究探究：圆的标准方程的推导。
教师引导学生确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。
设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是P={M||MA|=r}，由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件=r²。
化简可得 x²-2ax+a²+y²-2by+b²=r²，即 (x-a)²+(y-b)²=r²，引导学生理解：若点M(x,y)在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标适合方程(x-a)²+(y-b)²=r²；反之，若点M(x,y)的坐标适合方程(x-a)²+(y-b)²=r²，这说明点M与圆心的距离是r，即点M在圆心为A的圆上。
方程(x-a)²+(y-b)²=r²就是圆心为A(a,b)，半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
学生理解圆的方程的特点：1) 方程的左边是圆上的点的横、纵坐标与圆心相应横、纵坐标差的平方和；2) 两个变量的系数都是1；3) 方程的右边是某个实数的平方，也就是一定为正数。
例1：已知两点M1(4,9)和M2(6,3)，求以M1M2为直径的圆的方程。
届数学一轮复习 第八章 第三节 圆的方程教案
浙江省永嘉县楠江中学2015届数学一轮复习 第八章 第三节 圆的方程教案一、教学目标：1、知识与技能：掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。
2、过程与方法：本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程，利用三角换元或数形结合求最值问题，题型难度以容易题和中档题为主。
3、情感态度与价值观：在高考考点要求中是C 级要求，是必考内容，也是高考当中的热点和重点，需要掌握基础题型，并有很好的计算能力，才能解决好本节问题，综合体现了新课标下高考的要求，是非常重要的一节内容。
二、教学重难点：教学重点：根据已知条件求出圆的标准方程与一般方程。
教学难点：运用几何法和待定系数法求圆的标准方程。
三、2014年高考会这样考1．考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程。
2．题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题突出小而巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题。
四、复习指导1．本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的标准方程，一般方程。
2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题。
五、基础梳理1.圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.2.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径.3.圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r2(r>0)，其中(a ，b)为圆心，r 为半径.4.圆的一般方程x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，其中圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D2＋E2－4F 2.6.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.六、学法指导一种方法确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组；(3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程．两个防范(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．三个性质确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．例1 写出圆心为(2,3)A -，半径长为5的圆的方程，并判断点12(5,7),(5,1)M M ---是否在这个圆上.例2.一个圆经过A(3,- 2),B(1,2)两点，求分别满足下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线x-y-2=0上； (2)经过点C(3,2)；变式1：求以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点的圆的方程。
【高三】高三理科数学一轮直线和圆的方程总复习教学案
【高三】高三理科数学一轮直线和圆的方程总复习教学案第八直线和圆的方程高考导航考试要求重难点击命题展望1.在平面直角坐标系中，结合具体图形确定直线位置的几何元素2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式.3.能根据两条直线的斜率判断两条直线是平行的还是垂直的4.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.5.掌握求解方程的方法，求两条相交线的交点坐标6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.7.掌握圆的几何要素，掌握圆的标准方程和一般方程8.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.9.能用线性和循环方程组解决简单问题10.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.11.了解空间直角坐标系，能用空间直角坐标表示点的位置，能推导出空间关键点两点之间的距离公式：1.倾角和坡度的概念；2.根据坡度确定两条直线是平行还是垂直；3.点斜方程和直线的一般方程；4.两条直线的交点坐标；5.点到直线的距离和两条平行直线之间距离的计算方法；6.标准圆和一般方程；7.能根据给定直线和圆的方程式判断直线和圆的位置关系；8.运用数形结合的思想和代数方法解决几何问题本难点：1.直线的斜率与它的倾斜角之间的关系；2.根据斜率判定两条直线的位置关系；3.直线方程的应用；4.点到直线的距离公式的推导；5.圆的方程的应用；6.直线与圆的方程的综合应用. 本内容常常与不等式、函数、向量、圆锥曲线等知识结合起考查.直线和圆的考试一般以选择题和填空题的形式出现，属于简单题和中程题；如果与圆锥曲线一起检查，则更难同时检查空间直角坐标系，这一知识点的考试重点在于学生综合分析和解决问题的能力，以及将函数思维与数、形相结合的能力知识网络8.1直线和方程典例精析直线的倾角【例1】直线2xcosα－y－3＝0，α∈[π6，π3]的倾斜角的变化范围是( )a、[π6，π3]b.[π4，π3]c.[π4，π2]d.[π4，2π3][分析]直线2xcosα-Y-3的斜率=0 K=2cosα由于α∈[π6，π3]，所以12≤cosα≤32，k＝2cosα∈[1，3].假设直线的倾角为θ，则有tanθ∈[1，3]，由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范围是[π4，π3]，故选b.[拨号]使用坡度计算倾斜角度时，请注意倾斜角度的范围【变式训练1】已知(2m＋3，m)，n(m－2,1)，当m∈时，直线n 的倾斜角为锐角；当m＝时，直线n的倾斜角为直角；当m∈时，直线n 的倾斜角为钝角.【分析】当直线n的倾角为锐角时，k=m-12m+3-m+2=m-1m+5>0m<5或m>1；直线n的倾斜角为直角时，2m＋3＝m－2m＝－5；当直线n的倾角为钝角时，k=m-12m+3-m+2=m-1m+5＜0-5＜m＜1题型二直线的斜率【例2】给定a（-1，-5），B（3，-2），直线L的倾角是直线ab的两倍。
高三数学一轮复习 8.3圆的方程课件
2×－D2 ＋E2－3＝0，
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解得 D＝－4，E＝－2，F＝－5.
∴所求圆的方程为 x2＋y2－4x－2y－5＝0.
(2) 根 据 题 意 可 知 圆 心 坐 标 为 ( － 1,0) ， 圆 的 半 径 长 为
|－1＋0＋3|＝ 2
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[备考(bèikǎo)方向要明了]
考什么
1.掌握(zhǎngwò)确定 圆的几何
要素． 2.掌握(zhǎngwò)圆的 标准方程
与一般方程
怎么考
圆的方程、圆心坐标、半径、圆的性质 (xìngzhì)等是高考考查圆的基础知识时最 常涉及的要素．大多以填空题的形式考查， 有时也会穿插在解答题中，如2012年高考 T12.
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(2)圆的一般方程
①一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
②方程表示圆的充要条件为： D2＋E2－4F；>0
③圆心(yuánxīn)坐标
－D2 ，－E2
，半径r＝
.
D2＋E2－4F
2
[探究] 1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？ 提示：不一定．只有(zhǐyǒu)当D2＋E2－4F>0时，上述方程 才表示圆．
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5．(教材(jiàocái)习题改编)经过圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心， 且
与直解线析2x：＋圆y＝心0为垂直(1，的直－线1)方，程所是求_直__线___的__斜__率__为__12．，所以直 线方程为 y＋1＝12(x－1)，即 x－2y－3＝0.
答案(dáàn)：x－2y－3＝0
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高考数学一轮复习精品教学案8.3 圆的方程(学生版) 新人教版
2013年高考数学一轮复习精品教学案8.3 圆的方程【考纲解读】 1．掌握确定圆的几何要素。
2．掌握圆的标准方程与一般方程．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.圆的方程的两种形式:(1)圆的标准方程:圆心为(,)a b 且半径为r 的圆的方程为22()()x a y b r -+-=; (2)圆的一般方程是220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->. 2．点与圆的位置关系:已知点00(,)P x y 和圆222()()x a y b r -+-=(或220x y Dx Ey F ++++=),则 (1)点P 在圆上⇔22200()()x a y b r -+-=(或2200000x y Dx Ey F ++++=);(2)点P 在圆内⇔22200()()x a y b r -+-<(或2200000x y Dx Ey F ++++<);(3)点P 在圆外⇔22200()()x a y b r -+->(或2200000x y Dx Ey F ++++>).【例题精析】考点一 求圆的方程例1.（2011年高考辽宁卷文科13)已知圆C 经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x 轴上．则C 的方程为______ _____.【变式训练】1.（2010年高考广东卷文科6）若圆心在x 轴上、半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是（ ）w_w w. k#s5_u.c o*mA ．22(5)5x y +=B ．22(5)5x y ++= w_w*w.k_s_5 u.c*o*mC ．22(5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++= 考点二 圆的方程综合应用例2.（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB •的最小值为（ ）(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+【变式训练】2. （2009年高考江苏卷第18题）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。
《圆的方程》的课堂教案设计（通用10篇）
《圆的方程》的课堂教案设计《圆的方程》的课堂教案设计（通用10篇）作为一位不辞辛劳的人民教师，时常要开展教案准备工作，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。
教案要怎么写呢？下面是小编精心整理的《圆的方程》的课堂教案设计，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
《圆的方程》的课堂教案设计篇11、教学目标（1）知识目标：a、在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；b、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程；c、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。
（2）能力目标：a、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；b、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；c、增强学生用数学的意识。
（3）情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。
2、教学重点、难点（1）教学重点：圆的标准方程的求法及其应用。
（2）教学难点：①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。
3、教学过程（一）创设情境（启迪思维）问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？[引导]：画图建系[学生活动]：尝试写出曲线的方程（对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习）解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=16（y≥0）将x=2.7代入，得即在离隧道中心线2。
7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。
（二）深入探究（获得新知）问题二：1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程？答：x2+y2=r22、如果圆心在，半径为时又如何呢？[学生活动]：探究圆的方程。
[教师预设]：方法一：坐标法如图，设M（x，y）是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合P={M||MC|=r}由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为①把①式两边平方，得（x―a）2+（y―b）2=r2方法二：图形变换法方法三：向量平移法（三）应用举例（巩固提高）I直接应用（内化新知）问题三：1、写出下列各圆的方程（课本P77练习1）（1）圆心在原点，半径为3；（2）圆心在，半径为（3）经过点，圆心在点2、根据圆的方程写出圆心和半径II灵活应用（提升能力）问题四：1、求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。
圆的方程教案
圆的方程教案
教学目标：
1.理解圆的标准方程，掌握圆的标准方程的求解方法。
2.掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程与标准方程之间的转换。
3.培养学生的数学思维能力和问题解决能力。
教学内容：
1.圆的标准方程的定义和形式。
2.圆的一般方程的推导和形式。
3.圆的标准方程与一般方程的转换。
4.圆的标准方程的求解方法。
教学重点与难点：
重点：圆的标准方程的理解和掌握。
难点：圆的一般方程与标准方程的转换。
教具和多媒体资源：
1.黑板和粉笔。
2.投影仪和PPT课件。
3.教学软件：GeoGebra几何软件。
教学方法：
1.激活学生的前知：回顾平面几何中圆的基本性质和定义。
2.教学策略：通过讲解、示范、小组讨论和实例练习的方式进行。
3.学生活动：进行圆的标准方程的推导和练习，探讨一般方程与标准方程的转换。
教学过程：
1.导入：通过实例引入，如求圆的直径、半径等实际问题，引出圆的标准方程的概念。
2.讲授新课：详细讲解圆的标准方程的形式和推导过程，以及如何将其转化为一般方程。
使用PPT展示公式和实例。
3.巩固练习：给出几个圆的实际问题，让学生求解其标准方程，并进行一般方程与标准方程的转换练习。
4.归纳小结：总结圆的标准方程的定义、形式以及求解方法，强调一般方程与标准方程的转换方法。
评价与反馈：
1.设计评价策略：通过课堂小测验、小组报告和口头反馈的方式进行评价。
2.提供反馈：根据学生的练习和小组讨论结果，给予指导和建议，帮助他们更好地理解和掌握圆的方程。
2019届高考数学一轮复习 第八章 第3讲 圆的方程课前、中学案(无答案)文
(1)若M(x0，y0)在圆外，则：
(2)若M(x0，y0)在圆上，则：
(3)若M(x0，y0)在圆内，则：
【双基自测】
1.已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()
A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝
5.点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．
6． 设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是.
【课堂互动探究区】
【目标分解一】求圆的方程
【例1】1.(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆，则圆的标准方程为________．
2．圆心在曲线y＝ (x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为()
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5 B．(x－2)2＋(y－1)2 ＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝25 D．(x－2)2＋(y－1)2＝25
【目标分解二】 与圆有关的最值问题
【例2】1 .已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求 的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值．
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
【规律总结2】：
【我会做】1.(2017·河南省豫西五校联考)已 知M为圆C：x2＋y2－4x－14y ＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．
(1)求|MQ|的最大 值和最小值；
★(2)若M(m，n)，求 的最大值和最小值．
【规 律总结3】： 【课后分层巩固区】
高三数学一轮复习 第8篇 圆与方程学案 理
第四十九课时 圆与方程课前预习案考纲要求1.掌握圆的定义及性质，圆的标准方程与一般方程，2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题。
基础知识梳理1.圆的方程（1） 圆的定义：平面内 的点的集合（轨迹）叫做圆。
（2）圆的标准方程：圆心在),(b a c 、半径为r 的圆的标准方程是 （3）圆的一般方程：当0422>-+F E D 时，方程 ①叫做圆的一般方程. 它表示圆心为 ，半径为 的圆；当2240D E F +-=时，①表示点 ；当2240D E F +-<时，①不表示任何图形。
（4）求圆的方程的方法：待定系数法．．．．．，先定式，后定量。
如果与圆心和半径有关，一般选标准式，否则用一般式。
2.直线与圆的位置关系（1）设直线:0l Ax By C ++=圆222:()()C x a y b r -+-=，圆心到直线的距离为 （2）判断直线与圆的位置关系的方法方法一(几何法)：比较圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系①⇔直线与圆相交 ；②⇔直线与圆相切 ；③⇔直线与圆相离 方法二（代数法）：通过判别式判断直线与圆的方程组的实数解的情况，确定直线和圆的位置。
（3）过圆上一点的圆的切线方程设圆的标准方程222x y r +=,点M(x 0,y 0)为圆上一点，则过M 的圆的切线方程为: ; 设圆的标准方程为222:()()C x a y b r -+-=,点M(x 0,y 0)圆上一点，则过M 的圆的切线方程为: ;（4）求圆的切线的方法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .提醒：在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x 轴的切线，即斜率不存在时的情况． （5）求直线和圆相交的弦长方法一：解半径、半弦、弦心距组成的直角三角形（注意解直角三角形算出的是弦长的一半）。
一轮复习学案圆的方程复习学案教案.doc
圆的方程 教学目标：1.掌握圆的标准方程和一般方程；2.理解圆的一般方程与标准方程的联系；会熟练地互化。
3.会根据条件准确的求圆的方程 教学重点：利用圆的方程解决一些问题 教学难点：能 准确的利用圆的方程解决问题 知识梳理：1. 关于圆的知识：平面内到 的距离等于 的点的集合．．．．称为圆。
我们把定点称为 ，定长称为 。
确定了圆的位置, 确定了圆的大小。
在平面直角坐标系中，已知：圆心为),(b a A , 半径长为r ，圆上的任意一点),(y x M 应该满足的关系式？ r MA =2.圆的标准方程是__________________________，其中圆心________，半径为_____。
题型一：由圆的的标准方程写出圆心和半径： 练习：⑴根据条件写圆的方程：①圆心)1,2(-，半径为2 ②圆心)3,0(，半径为3 ③圆心)0,0(，半径为r （2）：由圆的标准方程写出下列圆的圆心坐标和半径。
圆心坐标 半径6)1()4(22=-+-y x __________ __________ 4)4()1(22=++-y x __________ __________ 9)2(22=++y x ___________ ___________ 8)3(22=-+y x __________ __________ 222)3(-=+y x __________ __________ 222)(a y a x =+- ___________ ___________总结： 特别地，当)0,0(),(=b a 时，圆的方程变为___________ 题型二：由圆心和半径写出圆的的标准方程：(1)圆心在)1,2(A ，半径长为4； __________________________ (2)圆心在)4,3(-A ，半径长为5； __________________________ (3)圆心在)2,3(--A ，半径长为5； __________________________(4)已知 )3,6(),9,4(21P P ，求以线段21P P 为直径的圆的方程 例1已知圆心在)4,3(--C ，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点)0,1(1-P 、)1,1(2-P 、)4,3(3-P 和圆的位置关系。
高三理科数学一轮直线和圆的方程总复习教学案
高三理科数学一轮直线和圆的方程总复习教学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第八章直线和圆的方程高考导航考试要求重难点击命题展望.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式.3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.4.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系.5.掌握用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.7.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.8.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.9.能用直线和圆的方程解决简单的问题.0.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式.本章重点：1.倾斜角和斜率的概念；2.根据斜率判定两条直线平行与垂直；3.直线的点斜式方程、一般式方程；4.两条直线的交点坐标；5.点到直线的距离和两条平行直线间的距离的求法；6.圆的标准方程与一般方程；7.能根据给定直线，圆的方程，判断直线与圆的位置关系；8.运用数形结合的思想和代数方法解决几何问题.本章难点：1.直线的斜率与它的倾斜角之间的关系；2.根据斜率判定两条直线的位置关系；3.直线方程的应用；4.点到直线的距离公式的推导；5.圆的方程的应用；6.直线与圆的方程的综合应用.本章内容常常与不等式、函数、向量、圆锥曲线等知识结合起来考查.直线和圆的考查，一般以选择题、填空题的形式出现，属于容易题和中档题；如果和圆锥曲线一起考查，难度比较大.同时，对空间直角坐标系的考查难度不大，一般为选择题或者填空题.本章知识点的考查侧重考学生的综合分析问题、解决问题的能力，以及函数思想和数形结合的能力等.知识网络8.1 直线与方程典例精析题型一直线的倾斜角【例1】直线2xcosα－y－3＝0，α∈[π6，π3]的倾斜角的变化范围是A.[π6，π3]B.[π4，π3]c.[π4，π2]D.[π4，2π3]【解析】直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，由于α∈[π6，π3]，所以12≤cosα≤32，k＝2cos α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]，由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范围是[π4，π3]，故选B.【点拨】利用斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的范围.【变式训练1】已知m，N，当m∈时，直线mN的倾斜角为锐角；当m＝时，直线mN的倾斜角为直角；当m∈时，直线mN的倾斜角为钝角.【解析】直线mN的倾斜角为锐角时，k＝m－12m＋3－m＋2＝m－1m＋5＞0⇒m＜－5或m＞1；直线mN的倾斜角为直角时，2m＋3＝m－2⇒m＝－5；直线mN的倾斜角为钝角时，k＝m－12m＋3－m＋2＝m－1m＋5＜0⇒－5＜m＜1.题型二直线的斜率【例2】已知A，B，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，求直线l的斜率.【解析】由于A，B，所以kAB＝－2＋53＋1＝34，设直线AB的倾斜角为θ，则tanθ＝34，l的倾斜角为2θ，tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝2×341－2＝247.所以直线l的斜率为247.【点拨】直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应熟练地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往会和三角函数的有关知识联系在一起.【变式训练2】设α是直线l的倾斜角，且有sinα＋cosα＝15，则直线l的斜率为A.34B.43c.－43D.－34或－43【解析】选c.sinα＋cosα＝15⇒sinαcosα＝－1225＜0⇒sinα＝45，cosα＝－35或cosα＝45，sinα＝－35，故直线l的斜率k＝tanα＝sinαcosα＝－43.题型三直线的方程【例3】求满足下列条件的直线方程.直线过点，且在两坐标轴上截距相等；直线过点，且原点到直线的距离为2.【解析】当截距为0时，直线过原点，直线方程是2x －3y＝0；当截距不为0时，设方程为xa＋ya＝1，把代入，得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.故所求直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.当斜率不存在时，直线方程x－2＝0合题意；当斜率存在时，则设直线方程为y－1＝k，即kx－y＋1－2k＝0，所以|1－2k|k2＋1＝2，解得k＝－34，方程为3x ＋4y－10＝0.故所求直线方程为x－2＝0或3x＋4y－10＝0.【点拨】截距可以为0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论.【变式训练3】求经过点P，且横、纵截距互为相反数的直线方程.【解析】当横、纵截距都是0时，设直线的方程为y＝kx.因为直线过点P，所以－4＝3k，得k＝－43.此时直线方程为y＝－43x.当横、纵截距都不是0时，设直线的方程为xa＋y－a ＝1，因为直线过点P，所以a＝3＋4＝7.此时方程为x－y－7＝0.综上，所求直线方程为4x＋3y＝0或x－y－7＝0.题型四直线方程与最值问题【例4】过点P作直线l分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点o为坐标原点，当△ABo的面积最小时，求直线l 的方程.【解析】方法一：设直线方程为xa＋yb＝1，由于点P在直线上，所以2a＋1b＝1.2a•1b≤2＝14，当2a＝1b＝12时，即a＝4，b＝2时，1a•1b取最大值18，即S△AoB＝12ab取最小值4，所求的直线方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0.方法二：设直线方程为y－1＝k，直线与x轴的交点为A，直线与y轴的交点为B，由题意知2k－1＜0，k＜0,1－2k＞0.S△AoB＝12•2k－1k＝12[＋＋4]≥12[2•＋4]＝4.当－1k＝－4k，即k＝－12时，S△AoB有最小值，所求的直线方程为y－1＝－12，即x＋2y－4＝0.【点拨】求直线方程，若已知直线过定点，一般考虑点斜式；若已知直线过两点，一般考虑两点式；若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式.【变式训练4】已知直线l：mx－y＝4m.求直线l的斜率的取值范围.【解析】由直线l的方程得其斜率k＝mm2＋1.若m＝0，则k＝0；若m＞0，则k＝1m＋1m≤12m•1m＝12，所以0＜k ≤12；若m＜0，则k＝1m＋1m＝－1－m－1m≥－12＝－12，所以－12≤k＜0.综上，－12≤k≤12.总结提高.求斜率一般有两种类型：其一，已知直线上两点，根据k＝y2－y1x2－x1求斜率；其二，已知倾斜角α或α的三角函数值，根据k＝tanα求斜率，但要注意斜率不存在时的情形.2.求倾斜角时，要注意直线倾斜角的范围是[0，π).3.求直线方程时，应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确.设直线方程的截距式，应注意是否漏掉过原点的直线；设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线.8.2 两条直线的位置关系典例精析题型一两直线的交点【例1】若三条直线l1：2x＋y－3＝0，l2：3x－y＋2＝0和l3：ax＋y＝0不能构成三角形，求a的值.【解析】①l3∥l1时，－a＝－2⇒a＝2；②l3∥l2时，－a＝3⇒a＝－3；③由⇒将代入ax＋y＝0⇒a＝－1.综上，a＝－1或a＝2或a＝－3时，l1、l2、l3不能构成三角形.【点拨】三条直线至少有两条平行时或三条直线相交于一点时不能构成三角形.【变式训练1】已知两条直线l1：a1x＋b1y＋1＝0和l2：a2x＋b2y＋1＝0的交点为P，则过A，B的直线方程是.【解析】由P为l1和l2的交点得故A，B的坐标满足方程2x＋3y＋1＝0，即直线2x＋3y＋1＝0必过A，B两点.题型二两直线位置关系的判断【例2】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：x＋y ＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值.l1⊥l2，且l1过点；l1∥l2，且坐标原点到两条直线的距离相等.【解析】由已知可得l2的斜率存在，所以k2＝1－a，若k2＝0，则1－a＝0，即a＝1.因为l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0，又l1过点，所以－3a＋b＋4＝0，而a＝1，b＝0代入上式不成立，所以k2≠0.因为k2≠0，即k1，k2都存在，因为k2＝1－a，k1＝ab，l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即ab＝－1，又l1过点，所以－3a＋b＋4＝0，联立上述两个方程可解得a＝2，b＝2.因为l2的斜率存在，又l1∥l2，所以k1＝k2，即ab ＝，因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，所以l1，l2在y轴的截距互为相反数，即4b＝b，联立上述方程解得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2，所以a，b的值分别为2和－2或23和2.【点拨】运用直线的斜截式y＝kx＋b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况.求解两条直线平行或垂直有关问题时，主要是利用直线平行和垂直的充要条件，即“斜率相等”或“斜率互为负倒数”.【变式训练2】如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABc的顶点分别为A，B，c.点P是线段Ao上的一点，这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，cP分别与边Ac，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线oE的方程为x＋y ＝0，则直线oF的方程为.【解析】由截距式可得直线AB：xb＋ya＝1，直线cP：xc＋yp＝1，两式相减得x＋y＝0，显然直线AB与cP的交点F满足此方程，又原点o也满足此方程，故所求直线oF的方程为x＋y＝0.题型三点到直线的距离【例3】已知△ABc中，A，B，c，当△ABc的面积S最大时，求m的值.【解析】因为A，B，所以|AB|＝2＋2＝10，又因为直线AB的方程为x－3y＋2＝0，则点c到直线AB的距离即为△ABc的高，设高为h，则h＝|m－3m＋2|12＋2，S＝12|AB|•h ＝12|m－3m＋2|，令m＝t，则1＜t＜2，所以S＝12|m－3m＋2|＝12|t2－3t＋2|＝12|2－14|，由图象可知，当t＝32时，S有最大值18，此时m＝32，所以m＝94.【点拨】运用点到直线的距离时，直线方程要化为一般形式.求最值可转化为代数问题，用处理代数问题的方法解决.【变式训练3】若动点P1与P2分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，求P1P2的中点P到原点的距离的最小值.【解析】方法一：因为P1、P2分别在直线l1和l2上，所以÷2，得x1＋x22－y1＋y22－10＝0，所以P1P2的中点P在直线x－y－10＝0上，点P到原点的最小距离就是原点到直线x－y－10＝0的距离d＝102＝52.所以，点P到原点的最小距离为52.方法二：设l为夹在直线l1和l2之间且和l1与l2的距离相等的直线.令l：x－y－c＝0，则5＜c＜15，且|c－5|2＝|c－15|2，解得c＝10.所以l的方程为x－y－10＝0.由题意知，P1P2的中点P在直线l上，点P到原点的最小距离就是原点到直线l的距离d＝102＝52，所以点P到原点的最小距离为52.总结提高.求解与两直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两直线平行或垂直的条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”.若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究.2.学会用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学方法和思想.特别是注意数形结合思想方法，根据题意画出图形不仅易于找到解题思路，还可以避免漏解和增解，同时还可以充分利用图形的性质，挖掘出某些隐含条件，找到简捷解法.3.运用公式d＝|c1－c2|A2＋B2求两平行直线之间的距离时，要注意把两直线方程中x、y的系数化成分别对应相等.8.3 圆的方程典例精析题型一求圆的方程【例1】求经过两点A，B且圆心在y轴上的圆的方程.【解析】方法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为，由已知得即解得D＝0，E＝－2，F＝－9，所求圆的方程为x2＋y2－2y－9＝0.方法二：经过A，B的圆，其圆心在线段AB的垂直平分线上，AB的垂直平分线方程为y－3＝2，即y＝2x＋1.令x＝0，y＝1，圆心为，r＝2＋2＝10，圆的方程为x2＋2＝10.【点拨】圆的标准方程或一般方程都有三个参数，只要求出a、b、r或D、E、F，则圆的方程确定，所以确定圆的方程需要三个独立条件.【变式训练1】已知一圆过P、Q两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程.【解析】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①将P、Q两点的坐标分别代入①得令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④由已知|y1－y2|＝43，其中y1、y2是方程④的两根.所以2＝2－4y1y2＝E2－4F＝48，⑤解②、③、⑤组成的方程组，得D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－10，E＝－8，F＝4，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x －8y＋4＝0.题型二与圆有关的最值问题【例2】若实数x，y满足2＋y2＝3.求：yx的最大值和最小值；y－x的最小值；2＋2的最大值和最小值.【解析】yx＝y－0x－0，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此yx的最值为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率，设yx＝k，y＝kx，kx－y＝0.由|2k|k2＋1＝3，得k＝±3，所以yx的最大值为3，yx的最小值为－3.令x－2＝3cosα，y＝3sinα，α∈[0,2π).所以y－x＝3sinα－3cosα－2＝6sin－2，当sin＝－1时，y－x的最小值为－6－2.2＋2是圆上点与点的距离的平方，因为圆心为A，B，连接AB交圆于c，延长BA交圆于D.|AB|＝2＋2＝13，则|Bc|＝13－3，|BD|＝13＋3，所以2＋2的最大值为2，最小值为2.【点拨】涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：①形如U＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如2＋2形式的最值问题，可转化为圆心已定的动圆半径的最值问题.【变式训练2】已知实数x，y满足x2＋y2＝3.试求m ＝y＋1x＋3及b＝2x＋y的取值范围.【解析】如图，m可看作半圆x2＋y2＝3上的点与定点A连线的斜率，b可以看作过半圆x2＋y2＝3上的点且斜率为－2的直线的纵截距.由图易得3－36≤m≤3＋216，－23≤b≤15.题型三圆的方程的应用【例3】在平面直角坐标系xoy中，二次函数f＝x2＋2x＋b与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为c.求实数b的取值范围；求圆c的方程；问圆c是否经过定点？请证明你的结论.【解析】令x＝0，得抛物线与y轴交点是，由题意b≠0，且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1.所以圆c的方程为x2＋y2＋2x－y＋b＝0.圆c必过定点，证明如下：假设圆c过定点，将该点的坐标代入圆c的方程，并变形为x20＋y20＋2x0－y0＋b＝0，为使式对所有满足b＜1的b都成立，必须有1－y0＝0，结合式得x20＋y20＋2x0－y0＝0，解得或经检验知，点，均在圆c上，因此圆c过定点.【点拨】本题的解答用到了代数法求过三点的圆的方程，体现了设而不求的思想.的解答同样运用了代数的恒等思想，同时问题体现了较强的探究性.【变式训练3】动点A在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t的函数的单调递增区间是A.[0,1]B.[1,7]c.[7,12]D.[0,1]和[7,12]【解析】选D.由题意知角速度为2π12＝π6，故可得y ＝sin,0≤t≤12，π3≤π6t＋π3≤π2或32π≤π6t＋π3≤52π，所以0≤t≤1或7≤t≤12.所以单调递增区间为[0,1]和[7,12].总结提高.确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法.一般来讲，条件涉及圆上的多个点，可选择一般方程；条件涉及圆心和半径，可选圆的标准方程.2.解决与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.解决与圆有关的最值问题时，可根据代数式子的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合解决.也可以利用圆的参数方程解决最值问题.8.4直线与圆、圆与圆的位置关系典例精析题型一直线与圆的位置关系的判断【例1】已知圆的方程x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b 为何值时，直线与圆有两个公共点；直线与圆只有一个公共点.【解析】方法一：设圆心o到直线y＝x＋b的距离为d，d＝|b|12＋12＝|b|2，半径r＝2.当d＜r时，直线与圆相交，|b|2＜2，－2＜b＜2，所以当－2＜b＜2时，直线与圆有两个公共点.当d＝r时，直线与圆相切，|b|2＝2，b＝±2，所以当b＝±2时，直线与圆只有一个公共点.方法二：联立两个方程得方程组消去y得2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝16－4b2.当Δ＞0，即－2＜b＜2时，有两个公共点；当Δ＝0，即b＝±2时，有一个公共点.【点拨】解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系，养成勤画图的良好习惯.【变式训练1】圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0的位置关系是A.相离B.相切c.相交D.不能确定【解析】选A.易知圆的半径r＝22，设圆心到直线的距离为d，则d＝1sin2θ＋1.因为θ≠π2＋kπ，k∈Z.所以0≤sin2θ＜1，所以22＜d≤1，即d＞r，所以直线与圆相离.题型二圆与圆的位置关系的应用【例2】如果圆c：2＋2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，求实数a的取值范围.【解析】到原点的距离等于1的点在单位圆o：x2＋y2＝1上.当圆c与圆o有两个公共点时，符合题意，故应满足2－1＜|oc|＜2＋1，所以1＜a2＋a2＜3，即22＜|a|＜322，所以－322＜a＜－22或22＜a＜322为所求a的范围.【变式训练2】两圆2＋2＝r2和2＋2＝R2相交于P，Q 两点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为.【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为，，则过它们圆心的直线方程为x－2－＝y－1－2－1，即y＝－x.根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称.故由P可得它关于直线y＝－x的对称点，即点Q的坐标为.题型三圆的弦长、中点弦的问题【例3】已知点P及圆c：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P且被圆c截得的线段长为43，求l的方程；求圆c内过点P的弦的中点的轨迹方程.【解析】如图，AB＝43，D是AB的中点，则AD＝23，Ac＝4，在Rt△ADc中，可得cD＝2.设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点c到直线的距离公式|－2k－6＋5|k2＋1＝2，得k＝34，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时的方程为x＝0.所以所求直线为x＝0或3x－4y＋20＝0.设圆c上过点P的弦的中点为D，因为cD⊥PD，所以＝0，即•＝0，化简得轨迹方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.【点拨】在研究与弦的中点有关问题时，注意运用“平方差法”，即设弦AB两端点的坐标分别为A，B，中点为，由得k＝y1－y2x1－x2＝－x1＋x2y1＋y2＝－x0y0.该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.【变式训练3】已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为Ac和BD，则四边形ABcD的面积为A.106B.206c.306D.406【解析】选B.圆的方程化成标准方程2＋2＝25，过点的最长弦为Ac＝10，最短弦为BD＝252－12＝46，S＝12Ac•BD＝206.总结提高.解决直线与圆、圆与圆的位置关系有代数法和几何法两种，用几何法解题时要注意抓住圆的几何特征，因此常常要比代数法简捷.例如，求圆的弦长公式比较复杂，利用l ＝2R2－d2求弦长比代数法要简便.2.处理直线与圆，圆与圆的位置关系，要全面地考查各种位置关系，防止漏解，如设切线为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否合题意，两圆相切应考虑外切和内切两种情况.3.处理直线与圆的位置关系时，特别是有关交点问题时，为避免计算量过大，常采用“设而不求”的方法.8.5 直线与圆的综合应用典例精析题型一直线和圆的位置关系的应用【例1】已知圆c：2＋2＝25及直线l：x＋y＝7m＋4.求证：不论m为何值，直线l恒过定点；判断直线l与圆c的位置关系；求直线l被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程.【解析】证明：直线方程可写作x＋y－4＋m＝0，由方程组可得所以不论m取何值，直线l恒过定点.由2＋2＝5＜5，故点在圆内，即不论m取何值，直线l总与圆c相交.由平面几何知识可知，当直线与过点m的直径垂直时，弦|AB|最短.|AB|＝2r2－|cm|2＝225－[2＋2]＝45，此时k＝－1kcm，即－2m＋1m＋1＝－1－12＝2，解得m＝－34，代入原直线方程，得l的方程为2x－y －5＝0.【点拨】解决弦长问题时，可利用弦长的几何意义求解.【变式训练1】若函数f＝－1beax的图象在x＝0处的切线l与圆c：x2＋y2＝1相离，则P与圆c的位置关系是A.在圆外B.在圆内c.在圆上D.不能确定【解析】选B.f＝－1beax⇒f′＝－abeax⇒f′＝－ab.又f＝－1b，所以切线l的方程为y＋1b＝－ab，即ax ＋by＋1＝0，由l与圆c：x2＋y2＝1相离得1a2＋b2＞1⇒a2＋b2＜1，即点P在圆内，故选B.题型二和圆有关的对称问题【例2】设o为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q关于直线x＋my＋4＝0对称，又满足•＝0.求m的值；求直线PQ的方程.【解析】曲线方程可化为2＋2＝9，是圆心为，半径为3的圆.因为点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，所以圆心在直线x＋my＋4＝0上，代入得m＝－1.因为直线PQ与直线y＝x＋4垂直，所以设P，Q，则直线PQ的方程为y＝－x＋b.将直线y＝－x＋b代入圆的方程，得2x2＋2x＋b2－6b＋1＝0，Δ＝42－4×2＞0，解得2－32＜b＜2＋32.x1＋x2＝b－4，x1x2＝b2－6b＋12，y1y2＝＝b2－b＋x1x2＝b2＋2b＋12，因为•＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，即b2－6b＋12＋b2＋2b＋12＝0，得b＝1.故所求的直线方程为y＝－x＋1.【点拨】平面向量与圆的交汇是平面解析几何的一个热点内容，解题时，一方面要能够正确地分析用向量表达式给出的题目的条件，将它们转化为图形中相应的位置关系，另一方面还要善于运用向量的运算解决问题.【变式训练2】若曲线x2＋y2＋x－6y＋3＝0上两点P、Q满足①关于直线kx－y＋4＝0对称；②oP⊥oQ，则直线PQ的方程为.【解析】由①知直线kx－y＋4＝0过圆心，所以k＝2，故kPQ＝－12.设直线PQ的方程为y＝－12x＋t，与圆的方程联立消去y，得54x2＋x＋t2－6t＋3＝0.设P，Q，由于oP⊥oQ，所以x1x2＋y1y2＝0，即x1x2＋＝0，所以＋54x1x2＋t2＝0.由知，x1＋x2＝45，x1x2＝45，代入上式，解得t＝32或t＝54.此时方程的判别式Δ＞0.从而直线的方程为y＝－12x ＋32或y＝－12x＋54，即x＋2y－3＝0或2x＋4y－5＝0为所求直线方程.题型三与圆有关的最值问题【例3】求与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程.【解析】曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0可化为2＋2＝18，它表示圆心为，半径为32的圆.作出直线x＋y－2＝0与圆2＋2＝18，由图形可知，当所求圆的圆心在直线y＝x上时，半径最小.设其半径为r，点到直线x＋y＝2的距离为52，所以2r＋32＝52，即r＝2，点到直线x＋y＝2的距离为2，所求圆的圆心为，即，故所求圆的标准方程为2＋2＝2.【点拨】解决与圆有关的最值问题时，要借助图形的几何性质，利用数形结合求解.【变式训练3】由直线y＝x＋1上的点向圆c：2＋2＝1引切线，则切线长的最小值为A.17B.32c.19D.25【解析】选A.设m为直线y＝x＋1上任意一点，过点m 的切线长为l，则l＝|mc|2－r2，当|mc|2最小时，l最小，此时mc与直线y＝x＋1垂直，即|mc|2min＝2＝18，故l的最小值为17.总结提高.解决直线与圆的综合问题时，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用.2.解决直线与圆的综合问题时，经常要用到距离，因此两点间的距离公式、点到直线的距离公式要熟练掌握，灵活运用.3.综合运用直线的有关知识解决诸如中心对称、轴对称等一些常见的问题.。
圆的方程教案
圆的方程教案教学内容概述：本教案旨在向学生介绍圆的方程概念及其相关知识，帮助他们理解圆的特征以及如何通过方程来描述和解析圆的性质。
通过具体的教学步骤和实例演示，学生将能够掌握圆的方程的基本构成和应用方法。
一、教学目标1. 熟悉圆的定义和基本性质；2. 理解并能够运用坐标系和距离公式表达圆的特征；3. 掌握圆的标准方程和一般方程的推导方法；4. 学会通过方程求解圆的参数如半径和圆心等；5. 能够解决与圆相关的问题，如判断圆与直线的位置关系等。
二、教学步骤Step 1: 引入通过展示几个圆的图形和实物，引导学生讨论圆的特点和性质。
引导问题可以包括：什么是圆？在几何中，我们如何定义一个圆？圆的直径和半径有什么区别？等等。
Step 2: 圆的基本特征引入坐标系，讲解圆的定义和坐标表示。
给出圆的标准方程（以原点为圆心的情况）。
示例：x² + y² = r²Step 3: 圆心不在原点的情况通过示例和计算，介绍圆心不在原点的情况下，如何推导出一般的圆方程。
示例：(x-a)² + (y-b)² = r²Step 4: 已知圆心和半径求方程讲解如何通过已知圆心和半径的情况下，求解圆的方程。
示例：给定圆心C（a，b）和半径r，圆的方程为：(x-a)² + (y-b)² = r²Step 5: 圆的位置关系探讨圆和直线的位置关系问题，如直线与圆的相交情况和切线的性质。
示例：给定一直线方程和圆的方程，判断它们的位置关系。
Step 6: 综合应用通过实际问题和练习，巩固学生对圆的方程的理解和应用，包括计算圆心、半径、与直线的关系等。
示例：已知圆上两点和圆心的位置关系，求解圆的方程。
三、教学资源1. 教学投影仪和幻灯片展示；2. 圆的实物模型和图形；3. 白板、马克笔和擦除器；4. 练习题和教学材料。
四、教学评估与反馈通过课堂互动和练习题的解答，及时评估学生对圆的方程的理解和应用情况。
圆的方程教学辅导方案
圆的方程教学辅导方案教学辅导方案：圆的方程一、教学目标1.知识与技能：掌握圆的一般方程、标准方程及特殊情况下的方程；2.过程与方法：通过理论讲解和实例演练，使学生掌握圆的方程的求解方法；3.情感态度价值观：培养学生的数学思维能力，激发他们对数学的兴趣。
二、教学重难点重点：圆的一般方程和标准方程的理解与运用；难点：特殊情况下圆的方程的求解过程。
三、教学过程与方法1.教学准备：教师准备教学课件，包括圆的方程的定义、公式和例题；2.教学过程：（1）导入新课：通过引入几个问题，如“怎样描述一个圆形的位置？怎样求一个圆形的方程？”来激发学生的思考，并进行一些讨论；（2）讲解圆的方程的定义及相关公式；（3）讲解圆的一般方程及标准方程，并和上述公式进行对比说明；（4）通过一些实例演示如何用圆的方程求解一个圆形的方程；（5）进行一些例题的讲解，加强学生对圆的方程的理解和运用能力；（6）进行一些小组讨论和练习，加强学生的合作学习和自主学习能力；（7）进行一些拓展练习，提高学生的应用能力；（8）进行总结和归纳，梳理本节课的重点和难点，让学生对所学的内容有一个整体的认识。
四、板书设计板书内容：圆的方程1.一般方程：(x-h)^2+(y-k)^2=r^22.标准方程：x^2+y^2=r^2五、教学评价与反思1.教学评价方法：通过课堂回答问题、小组讨论和个人练习等方式进行实时评价；2.教学反思：通过观察学生的反应和回答问题的情况，调整教学策略，及时解决学生的困惑，并及时进行复习和强化。
六、拓展延伸1.推荐参考书目：1）《高中数学启蒙》2）《高中数学必备》3）《数学课堂教学实例汇编》2.相关网站：1）国家课程标准实验区互动教学平台2）“名师在线”数学课堂。
圆的方程教案
圆的方程教案教案主题：圆的方程教学目标：1. 理解圆的定义及特点；2. 掌握圆的标准方程及一般方程的推导方法；3. 能够根据已知条件写出圆的方程；4. 能够利用圆的方程解决相关问题。
教学内容：1. 圆的定义及特点：1.1 圆是由平面内离定点相等距离的全部点所组成的图形；1.2 圆心：圆上任意两点距离相等的点，用O表示；1.3 半径：圆心到圆上任意一点的距离，用r表示；1.4 直径：圆上任意两点的距离，恰好是半径的两倍，用d表示。
2. 圆的方程：2.1 标准方程：2.1.1 当圆心在坐标原点O(0,0)时，圆的方程为x² + y² = r²；2.1.2 当圆心不在坐标原点时，假设圆心为A(h,k)，圆的方程为(x-h)² + (y-k)² = r²。
2.2 一般方程：2.2.1 一般方程公式为x² + y² + Dx + Ey + F = 0；2.2.2 通过平移坐标系，将一般方程转化为标准方程。
3. 圆的方程的推导与应用：3.1 推导方法：3.1.1 利用圆的定义及特点，根据已知条件求解圆心坐标和半径长度；3.1.2 带入圆的标准方程得到具体的方程表达式。
3.2 应用举例：3.2.1 求解圆心和半径已知，求圆的方程；3.2.2 已知圆上一点坐标和半径，求圆的方程；3.2.3 已知圆上三点坐标，求圆的方程。
教学步骤：1. 导入：通过引导学生回忆圆的定义，激发学生对圆的兴趣和了解。
2. 重点讲解圆的特点及圆心、半径、直径的概念。
3. 介绍圆的标准方程及一般方程的定义和推导方法。
4. 通过具体例子演示如何根据已知条件推导圆的方程。
5. 引导学生利用所学知识解决相关问题，加深对圆的方程的理解和应用。
6. 小结和总结。
7. 布置作业：练习圆的方程的推导和应用题。
教学资源：1. PPT课件；2. 板书、白板和笔；3. 教材和习题册。
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浙江省永嘉县楠江中学2015届数学一轮复习 第八章 第三节 圆的
方程教案
一、教学目标：
1、知识与技能：掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。
2、过程与方法：本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程，利用三角换元或数形结合求最值问题，题型难度以容易题和中档题为主。
3、情感态度与价值观：在高考考点要求中是C 级要求，是必考内容，也是高考当中的热点和重点，需要掌握基础题型，并有很好的计算能力，才能解决好本节问题，综合体现了新课标下高考的要求，是非常重要的一节内容。
二、教学重难点：
教学重点：
根据已知条件求出圆的标准方程与一般方程。
教学难点：
运用几何法和待定系数法求圆的标准方程。
三、2014年高考会这样考
1．考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程。
2．题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题突出小而巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题。
四、复习指导
1．本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的标准方程，一般方程。
2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题。
五、基础梳理
1.圆的定义
在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.
2.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径.
3.圆的标准方程
(x －a)2＋(y －b)2＝r2(r>0)，其中(a ，b)为圆心，r 为半径.
4.圆的一般方程
x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，其中圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2
，－E 2，半径r ＝D2＋E2－4F 2
.
6.
点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种.
圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r2，点M(x0，y0)
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
六、学法指导
一种方法
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组；
(3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程．
两个防范
(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．
(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．
三个性质
确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
例1 写出圆心为(2,3)A -，半径长为5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上.
例2.一个圆经过A(3,- 2),B(1,2)两点，求分别满足下列条件的圆的方程：
(1)圆心在直线x-y-2=0上； (2)经过点C(3,2)；
变式1：求以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点的圆的方程。
变式2：求圆心是C（2，-3）且经过原点的圆的方程。
变式3：圆心在直线2x-3y+5=0上且与两坐标轴均相切，求该圆的方程。
练习1.（2011年高考辽宁卷文科13)已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上．则C的方程为______ _____.
练习2、圆心在点
)2,1
(-，与y轴相切的圆的方程为___________________，与x轴相切的
圆的方程为____________________，过原点的圆的方程为_____________________ 例3 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.
⑴
22
4441290
x y x y
+-++=；
⑵
22
44412110
x y x y
+-++=.
变式1. 求过三点(0,0),(1,1),(4,2)
A B C的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.
例4（圆过定点问题）.已知m为实数，圆C：x2+y2-2mx-2m2y+4m-4=0.
(1)若圆C的圆心在直线x-y+2=0上，求圆C的方程；
(2)圆C是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.
七、要点归纳与方法小结。