高等数学 同余
数论中的同余定理
数论是研究整数的性质和结构的学科，它涉及了很多有趣而又重要的定理和原理。
在数论中，同余定理是一个非常基础而且重要的概念。
同余定理通过研究整数的除法运算与取余运算之间的关系，帮助我们理解整数的性质和规律。
下面我们将详细讨论同余定理的概念和其在数论中的应用。
首先，我们来了解一下同余的概念。
在数学中，同余是指整数之间满足某种特定关系的性质。
具体而言，如果两个整数除以同一个正整数所得的余数相等，则这两个整数被称为同余的。
用数学符号来表示，即对于整数a、b和正整数m，如果a与b除以m所得的余数相等，则称a与b关于模m同余，记作a≡b (mod m)。
例如，5≡11 (mod 3)，表示5与11关于模3同余。
接下来，我们来介绍同余定理及其相关概念。
同余定理是数论中的一组基本定理，它揭示了整数之间同余关系的一些基本性质。
常见的同余定理有三类：欧拉定理、费马小定理和中国剩余定理。
欧拉定理是数论中最重要的定理之一。
它是基于欧拉函数的一个结论，表明对于任意正整数a和正整数m，如果a与m互质（即它们没有公共因子），则有a^φ(m)≡1 (mod m)，其中φ(m)表示小于m且与m互质的正整数的个数。
费马小定理是同余定理中的另一个重要定理。
它是费马定理的一个特殊情况，宣称对于任意正整数a和质数p，有a^p≡a (mod p)。
这个定理常常用于证明一些数论问题，尤其是在素数的应用中经常被使用。
中国剩余定理是一组定理的集合，用于解决一类同余方程组的问题。
对于给定的一组余数和模数，中国剩余定理可以找到一个与这组余数同余的最小非负整数。
这个定理在密码学和计算机科学中有着广泛的应用，被用于构建高效的算法和数据结构。
同余定理在数论中有着重要的应用。
首先，同余定理可以帮助我们简化复杂的计算。
由于同余关系的转换性，我们可以通过将整数转换为其对模m的余数，将复杂的运算转化为简单的模运算，从而简化了问题的求解过程。
此外，同余定理还能够帮助我们证明数论问题中的一些重要结论。
同余的概念及基本性质
第三章同余§1同余的概念及其基本性质定义给定一个正整数加，若用〃7去除两个整数a和b所得的余数相同，则称对模〃7同余，记作d三Z?(mod加).若余数不同，则称对模加不同余，记作c/主Z?(mod m).甲d三o(mod〃?)・(甲：jia3声调；乙：yi3声调：丙：bing3声调；丁：dingl声调；戊：wu声调；己: ji3声调：庚：gengl声调：辛:xinl声调天；壬：ren2声调；癸:gui 3声调.)乙若d 三b(mod〃7),则b三a(mod〃7)・丙若d 三Z?(mod〃7)上三c(mod，则a = c(mod m).定理1 a = Z?(mod m) <=> m \ci-b.证设a 三b(mod〃7),贝ij a = mq l + i\b = mq2 + r.O < r <m・于是，ci-b = m{<q i -cj2),m\a-b.反之，设m\a-b.由带余除法，ci = mq^r v Q<]\ <m,b = mq2 +r2.0 <r2 <m ,于是，r k-r2 =/n(q2-q L) + (a-b).故,又因\f\~r2\<m,故q g卫三b(mod〃7)・丁若q 三勺(mod/??),(mod m)，则，q ± a 三々±Zz, (mod/??).证只证“ + "的情形.因q = (mod m),a2=b2 (mod tn),故m\a L -b{ ,m\a2-b2 ,于是7n|(a1-Z?1)+(o J-Z?2) = (a1+6r2)-(Z>1+Z>2),所以a k+a2 =b k +Z?2(modm).推论若d + b 三c(mod m)，则a 三c一b(mod in)・戊若q 三切(mod m).a2 = b2 (mod m)，则a k a2 = b k b2 (mod m).证因务三b、(mod in) ,a2 = b2 (mod in),故m\a2-b2.又因= (q —仪+bj6 —=①(q —也)+也(①一$),故rn\一b k b2,a k a2 = b k b2 (mod/??).定理2若纭5三血〜（mod加），x i =开（mod加）丿=1，2,…，仁则Z AvajJ•半三Z %2片…〉/（modm）.q,…Gt 勺，…,如特别地，若q三Z? （mod m）,i = 0,1,…，刃，贝Ua n x" + H --- a Q =b i}x n + Z?r_1x,r_1+ •••+ Q （mod m）.证因兀三牙（mod〃?），d = l,2,…,k故兀咎三yj,i = l,2,…，R ,从而V1• •・當=yj…曾（mod m）.又因三氏i.®（mod〃7）,故掘..…半三-V* （mod〃7）,E Agv冲••遊三工％虫片…疗（mod加）.6 ,・・・,% 勺,…G R己若 ka 三肋（mod 加）,（人〃7）= 1,则a = Z>（mod/n）.证因ka = kb （mod m）,故m\ka-kb = k {a-b）.又因（k,m） = 1 ,故| d 一b、a 三b （mod m）.庚（i ）若a三b（mod〃7）,R >0,则肋三肋（mod血）.（ii）若a = Z?（mod加）,〃\a,d\b,d\m,d >0,则*■三# mod牛）证（i ）因a三Z?（mod〃?），k >0,故m\a-b.km\ k（a-b） = ka-kb、ka 三肋（mod km\（ii）因a三b（modm）,^m\a-b,a-b = mq.y.Bd\a,d\b,d\m,d >0a = da^b = db^m = dm l,a i > 0,b L >0、“ >0.于是da Y -db{ = d〃w，勺一人=“q,q 三人(mod“),牛三彳< d丿辛若a三b(mod“)J = 12则d 三b （mod ［m^nK昇• • J坯］）・证因a = Z?（mod）,/ = 1,2,• • •,^，故“ |= 1,2,…,R.于是,［叫•…,〃订I a — b,a三b（mod［叫、叫・••冲J）・附记最小公倍数的一个常用性质是，若“ |a,加Ja,…,® |a ,贝ij［%理,|a.证由带余除法，设a = + r.O < r • -,fn k］,贝i加i |爲舉S，…、叫|a及加J a,加2丨他…心I °得，nt |rj = l,2<-s/:.但…昇％］是叫叫昇・・、叫的最小公倍数，故厂=0,［“,理，］|a.壬若a = b（mod/??）,cl \ m.d >0、则d 三b（inodd）.证因a三b（mod〃7）,故〃7|a-b.又因d|〃7,d>0,故d |c/-b,a三"7（modd）・癸若a = Z?（mod?n）» 则（c/,〃7）= （/?,〃?）.证因。
第四章-同余式
因此，第一个结论可由第二章第一节定理1〔P25〕得出。
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则 mi x ai , mj x aj (mi , mj ) ( x ai x aj )
即 (mi , mj ) ( ai aj ) ai aj (mod (mi, mj))，1 i, j n.
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则 x1 x2 (mod [m1, m2])。
(5)
证 〔必要性〕 x a1(mod m1 ), x a2(mod m2 ) m1 x a1, m2 x a2 (m1, m2 ) a1 a2
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〔充分性〕记(m1, m2)＝d. 若式(4)成立，即d a1 a2，
19y 4 (mod 7)，
即 5y 4 (mod 7)，
y 2 (mod 7)。
再代入(*)的前一式得到 3x 10 1 (mod 7)， x 4 (mod 7)。
即同余方程组(*)的解是x 4，y 2 (mod 7)。
注：同余方程组的解法与方程组的解法相似。
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例3 解同余方程6x 7 (mod 23)。
ax
b
(mod
m)
a1 x
b[ m ](mod m) a
解 由定理4，依次得到
6x 7 (mod 23) 5x 73 2 (mod 23) 3x 24 8 (mod 23) 2x 8×7 10 (mod 23) x 5 (mod 23)。
同余定理公式
同余定理公式
中国古代数学家张丘建在《九章算术》中提出了同余定理，它是一种有用的数学定理，用
于解决模数运算中的问题。
同余定理的公式是：若a ≡ b (mod n)，则a和b在模n下同余。
同余定理的公式表明，当两个数a和b模n同余时，它们之间的差值可以被n整除。
这
意味着，如果a和b模n同余，那么a-b可以被n整除，即a-b=kn，其中k是一个整数。
同余定理的应用非常广泛，它可以用来解决模数运算中的问题。
例如，假设有一个模数运
算问题，要求求出满足条件a ≡ b (mod n)的所有整数a和b。
这时，可以使用同余定理的
公式来解决这个问题。
除此之外，同余定理还可以用来解决求余数的问题。
例如，假设有一个求余数的问题，要
求求出a除以n的余数。
这时，可以使用同余定理的公式来解决这个问题，即a ≡ b (mod n)，其中b就是a除以n的余数。
此外，同余定理还可以用来解决求模的问题。
例如，假设有一个求模的问题，要求求出a
除以n的模。
这时，可以使用同余定理的公式来解决这个问题，即a ≡ b (mod n)，其中b
就是a除以n的模。
另外，同余定理还可以用来解决求最大公约数的问题。
例如，假设有一个求最大公约数的问题，要求求出a和b的最大公约数。
这时，可以使用同余定理的公式来解决这个问题，即a ≡ b (mod n)，其中n就是a和b的最大公约数。
总之，同余定理是一种有用的数学定理，它可以用来解决模数运算、求余数、求模和求最大公约数等问题。
它的公式是：若a ≡ b (mod n)，则a和b在模n下同余。
(完整版)同余问题知识点讲解
数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.【余数的加法定理】a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.【余数的乘法定理】a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
第一节 同余
初等数论 第二章 同 余同余的概念是高斯（Gauss ）在1800年左右给出的.同余是数论中的一个基本概念。
本章除介绍同余的基础知识外，还要介绍它的一些应用。
第一节 同余的基本性质与应用(一)定义1 给定正整数m ，如果整数a 与b 之差被m 整除，则称a 与b 对于模m 同余，或称a与b 同余，模m ，记为a ≡b (mod m)，此时也称b 是a 对模m 的同余。
如果整数a 与b 之差不能被m 整除，则称a 与b 对于模m 不同余，或称a 与b 不同余，模m ，记为a ≡/b (mod m)。
定理1 下面的三个叙述是等价的：(ⅰ) a ≡ b (mod m)；(ⅱ) 存在整数q ，使得a = b + qm ；即mq b a =-，亦即)(|b a m -(ⅲ) 存在整数q 1，q 2，使得a = q 1m + r ，b = q 2m + r ，0 ≤ r < m 。
证明 留作习题。
定理2 同余具有下面的性质：(1) （反身性） a ≡ a (mod m)；(2) （对称性） a ≡ b (mod m) ⇒ b ≡ a (mod m)；(3) （传递性） a ≡ b ，b ≡ c (mod m) ⇒ a ≡ c (mod m)定理3 设a ，b ，c ，d 是整数，并且a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)， (1) 则(4) （同余式相加） a + c ≡ b + d (mod m)；(5) （同余式相乘）ac ≡ bd (mod m)。
【证明】 (4) 由式(1)及定义1可知m ∣a - b ，m ∣c - d ，因此m ∣(a + c) - (b + d)，此即结论(ⅰ)；(5) 由式(1)及定理1可知，存在整数q 1与q 2使得a =b + q 1m ，c =d + q 2m ，因此ac = bd + (q 1q 2m + q 1d + q 2b)m ，再利用定理1，推出结论(ⅱ)。
第五讲 同余的性质
第五讲同余的性质班级姓名基本知识点同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b（modm）. 上式可读作：a同余于b，模m。
补充定义：若m（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：a b（modm）我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。
性质1：a≡a（mod m），（反身性）性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m），（对称性）。
性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。
性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。
性质5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。
性质6：若a≡b（mod m），那么a n≡b n（mod m），（其中n为自然数）。
性质7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。
第 1 页共 4 页注意同余式性质7的条件（c，m）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。
例题精讲例1 求2003×59除以7的余数。
例2 自然数16520，14903，14177除以m的余数相同，m的最大值是多少？例3 求753×281+432×23-256×48除以11的余数。
例4 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。
例 5 今天是星期日，再过364365天是星期几？再过365364天又是星期几？第 2 页共 4 页练习1.判定288和214对于模37是否同余，74和20呢？2.求4321×3275+2983-19×876除以17的余数。
第2章 同余
第2章同余2.1 同余的基本概念与性质2.2 剩余类与完全剩余系2.3 简化剩余系与欧拉函数2.4 欧拉定理、费马小定理2.5 模重复平方计算法,,|, , (mod ),, (mod ).m a b m a b a b m a b m m a b m -≡≡/给定一个正整数如果对于整数 有则叫记作 否则叫做不同余模作定义1记 ， 做模同余, 7|291,291(mod 17).-≡因 所以 例 7|235,235(mod 7).+≡-因 所以 同余的概念经常出现在日常生活中。
例如：时针是模12或24小时，分针和秒针是模60,(mod 1),.m a b a b m k a b km ≡=+设是一个正整数,是两个整数,则的是存在整充要条件使定理数得 (mod )|a b m m a b⇔≡-证 .a b km ⇔=+k a b km-=⇔存在整数使得 67883,673(mod 8).2=⋅+≡因所以例,(1) , (mod ); (2) (mod )()(, (mod ); (3) (mod ), (mod ),(mod ) )(2 )m a a a m a b m b a m a b m b c m a c m ≡≡≡≡≡≡自反性对称模同余是等价关系即定对任一性整数则则理若若传递性,,a b m a b m 充要定理3 整数模同余的是被除的余条件数相同.,0,'',0'a qm r r m b q m r r m =+≤<=+≤<证 设 (')(')a b q q m r r -=-+-则 ||'.m a b m r r -⇔-于是|'|,r r m ≤-<但0|''0,'.m r r r r r r -⇔-==所以 即 39574,25374,=⋅+=⋅+ 3因例 3925(mod 7).≡所以11 21212212122112()()a a b b k k ma ab b k b k b k k m m±=±+±=+++于是 12122112,,1k k k b k b k k m ±++因都是整数所以由定理有11 212212(mod )(mod )a ab b m a a b b m ±≡±≡111222+ (mod ), ,a b k m m a b k m ==+1122 (mod ), (mod ),a b m a b m ≡≡证 因由定理1例所以394(mod7)221(mod7)因 ，≡≡4,即392241(mod7),615(mod7) +≡+≡即392241(mod7),8584(mod7)⋅≡⋅≡2003200358,25?年月日是星期五问第天是星期几例144(mod 7)≡⋅≡ 2322(mod 7),24(mod 7),281(mod 7),≡≡≡≡解 因 200366732,=⋅+又 所以2003667323667222(2)2⋅+==⋅20032故第天是星期二.(星期五加4天)0101 (mod ), (mod ),0,1,2,,, (mod )i i kkk k x y m a b m i k a a x a x b b y b y m ≡≡=+++≡+++定若 理则5 0101 (mod )k kk k a a x a x b b y b y m +++≡+++ 从而(mod ), (mod ), 0iix y m x y m i k≡≡≤≤证 设 于是有(mod ), 0, i i a b m i k ≡≤≤又 所以有(mod ), 0i ii i a x b y m i k≡≤≤11101010101010, 0103|3|,9|9|.6 kk k k i k k k k n n a a a a a n a a a n a a a ----=++++≤<+++++⇔+⇔设整数有十进制表示式:定则 而 理 1110110101010(mod 3)kk k k k k a a a a a a a a ---++++≡++++ 101(mod 3),(mod 3),11(mod 3),ii i a a ≡≡≡证 因5由定理有0,i k ≤≤1100(mod 3)k k a a a a -++++≡⇔ 所以11103|1010100(mod 3)kk k k n a a a a --++++≡⇔ 1103|k k a a a a -⇔++++ 10101(mod 9),9|9|k k n a a a -⇔≡+++ 因所以同理可证5874192?例63和9是否能整除解：因587419236++++++=所以3|36,9|36,3|5874192,9|5874192.10213010001000,01000,7(11,13)7(11,13)()()17 () kk i kiii n n a a a a n a a a a a ==+++≤<⇔++-++=-∑0设有1000进制表示式则或或整除或或整除 定理 352461000100010001(mod 7),1000100010001(mod 7),≡≡≡≡-≡≡≡≡ 即 10001(mod 7),≡-证 因 所以1000(1)(mod 7),0.i ii k ≡-≤≤1110(1)(1)(1)kk k k a a a a --≡-+-+-+ 于是1110100010001000k k k k a a a a --+++ 213()() (mod 7)a a a a ≡++-++0 10001(mod11),10001(mod13),1113m m ≡-≡-== 因 所以结论对于或也成立.6376936371000693,n ==⋅+解：设有169363756a a -=-=0 7|56,11|56,13|56,//因而故7|637693,11|637693,13|637693.//但 711136376937（或或）能否整除例？(mod ), (,)1,(8mod )m ad bd m d m a b m ≡=≡设是一个正整数,如果则 理 定 (,)1,|,d m m a b =-因 所以故(mod ),|,ad bd m m ad bd ≡-证 若 则即|()m d a b - (mod )a b m ≡(mod ),0,(d )9 mo m a b m k ak bk mk ≡>≡ 设是正整数,则 定理 (mod )ak bk mk ⇒≡ (mod )|a b m m a b≡⇒-证 由|()mk a b k ak bk⇒-=-(mod ), >0, (mod ).11m a b m d |m,d a b d ≡≡ 设是正整数,如果则定理(mod )a b d ≡故 (mod ),|.a b m m a b ≡-证 因所以 |,|.d m d a b -又因 于是 19050(mod 70),≡ 8因例 195(mod 7),19050(mod 7)≡≡所以1212,,, (mod ),1,2,,, (mod[,,12,]). k i k m m m a b m i k a b m m m ≡=≡ 设是正整数,且则 理 定 12(mod[,,,])k a b m m m ≡ 故 ,(mod ),1,2,,i a b m i k ≡= 证 因则|,1,2,,i m a b i k-= 12[,,,]|k m m m a b- 于是1212,,,, (mod ),1,2,,, (mod ).k i k m m m a b m i k a b m m m ≡=≡ 设是两两互素的正整数且 则 推 论 ,,(mod ),(mod )(mod 9).p q a b p a b q a b pq ≡≡≡ 设是不同的素数如果有 则 例 (mod ), (,)(,).3.1m a b m a m b m d m a, b d a, b ≡= 设是正整数,则 因而若能整除及二者之一定则必能整除中个理的另一, (mod ),,a b m k a b mk≡=+证 因则存在整数使得 |,||;|,||.h a h m h b h b h m h a ⇒⇒上式表明:由由 ,,,a m b m 即与有相同的公因数从而(,)(,)a mb m =,,,0,1(mod ),0,1(mod )10aa m n a n m n p p m ≡/≡/设都是正整数如果则存在的例一个素因数使得即有(),n p 证若存在的一个法素因数反证使得0(mod )ap m ≡|am p 则.|,|,|,aaap n p n m n 又因有于是0(mod ),.an m ≡与题设矛盾,0(mod ).an p p m ≡/这说明对的所有素因数都有0(mod ).ap m ≡/,n p 又如果对的每个素因数都有1(mod )ap m ≡41(mod ),an m ≡则由定理有与题设矛盾.,n p 于是存在的一个素因数使得p 又由前面证明可知,这个也满足1(mod ).ap m ≡/是大自然的循环现象,研究同优点 余的在于:化同无余”限注: “为有限.−−−→运算后把同余式译为等式又将等式译为同余式.证明同余式的一般方法(基本的方法):其理论根据是:(mod )|a b m m a b≡⇔-验算整数计算结果的方法（弃九法）1101101101010(,010)1010(,010)1010(,010)nn n n i n n n n i nn n n i a a Z a b b Z b ab c c c c Z c ------⨯+⨯++∈≤<⨯+⨯++∈≤<==⨯+⨯++∈≤< 设 a=a a b=b b :c 原理0)))(mod 9),n n ni j k i j k a b c ===≡/∑∑∑如果(((则所求的结果是错误的。
第四章 同余方程
第一节 同余方程的基本概念
因此，第一个结论可由第四章第一节定理 1得出。 若同余方程(2)有解x0 ，则存在y0 ，使得x0 与y0 是方程(3)的解，此时，方程(3)的全部解是
m t x x0 (a , m ) t Z. a y y t 0 (a , m )
则x0必是同余方程
g(x) 0 (mod m) 或 h(x) 0 (mod m)
的解. 证明 留做习题。 下面，我们来研究一次同余方程的解。
第一节 同余方程的基本概念
定理2 设a，b是整数, a 0 (mod m). 则同余方
程
ax b (mod m) (2)
有解的充要条件是(a, m)b。若有解，则恰有d
第一节 同余方程的基本概念
例2 解同余方程
325x 20 (mod 161)
解 同余方程(6)即是 3x 20 (mod 161)。 解同余方程 161y 20 (mod 3)， 2y 1 (mod 3)， 得到y 2 (mod 3)，因此方程(6)的解是 x 20 2 161 = 114 (mod 161)。
例4 解同余方程6x 7 (mod 23)。 解 由例3，依次得到
6x 7 (mod 23) 5x 73 2 (mod 23) 3x 24 8 (mod 23) 2x 8(7) 10 (mod 23) x 5 (mod 23)。
第一节 同余方程的基本概念
x 0， x 0 m d ， x0 2m d ， ， x0 (d 1)m d
第一节 同余方程的基本概念
同余的概念和性质
你会解答下面的问题吗？问题1:今天是星期日，再过15天就是六一”儿童节了，问六一”儿童节是星期几？这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15 + 7=2…」即15= 7>2+1，所以六一”儿童节是星期一。
问题2:1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？这个问题也难不倒我们.因为， 1 993年有365天，而365 = 7 >52 + 1 ，所以1 994年的元旦应该是星期六。
问题 1 、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1 、2 中的15 与365 除以7 后，余数都是1 ，那么我们就说15 与365 对于模7 同余。
同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a=b modm）. *）上式可读作：a同余于b, 模m。
同余式（*）意味着（我］假设a>b :a-b=mk, k 是整数，即m | Q-b）.例如：① 15三365mod7),|为365-15=350=7X50。
② 56三20mod9),g为56-20=36 = 9X4。
③ 90三0mod10),囲90-0 = 90=10X9。
由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a三0(nodm )。
例如，表示a是一个偶数，可以写a=0 mod 2)表示 b 是一个奇数，可以写b=1 mod 2)补充定义：若m a-b),就说a、b对模m不同余，用式子表示是：ab(modm)我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质(其中a、b、c、d 是整数，而m 是自然数)。
性质1 ：a=amod m),(反身性)这个性质很显然.因为a-a=0=m-0o性质2: 若a=b mod m),那么)三a mod m)，对称性)。
同余
a 用a modm表示余数r，则 a [ ]m ( a m odm ) m
定理3 整数a, b模m 同余 a modm=b modm
ab (modm) m|a-b a modm=b modm
a=b+km
性质：
(1) ( 2) ( 3)
[(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm [(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm [(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm
(r r ) a b (q q)m
m a b的充分必要条件是 m r r. 但因为 0 r r m ， 因此，
且 m r r 的充分必要条件是 r r 0 ，所以 m a b 的充分必 要条件是 r r 0. 这就是定理的结论.
2
2003
2
22 1 4 4(mod 7).
故第 22003 天是星期二。 定理5 若 x y(mod m),
ai bi (mod m),
0 i k, 则 0 i k.
a0 a1 x ak x k b0 b1 y bk yk (mod m).
故 3 n, 9 ｜ n.
k 定理7 设 n ak 1000 a11000 a0 , 0 ai 1000. 则7或11,或
13 n 7或11或 13 a0 a2 - a1 a3 .
例4 设 n 637693.
例5 设n 75312289.
定理10 设a b ( mod m) . 若d | m, 则a b ( mod d) .
同余的运算法则
同余的运算法则全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：同余的概念最早出现在数论领域，是一种描述整数间的模运算关系的数学概念。
同余的运算法则涉及到模运算的一系列性质和规律，对于解决一些数论问题和密码学中的加密算法起着至关重要的作用。
本文将介绍同余的概念及其运算法则，并讨论其在数学和应用方面的重要性。
1. 同余的定义在数论中，我们通常使用符号“≡”表示同余关系。
如果两个整数a和b除以一个正整数m的余数相等，即a除以m和b除以m的余数相等，我们就说a与b关于模m同余，记为a≡b(mod m)。
简单来说，同余就是指两个数除以同一个数的余数相等。
12和22关于模5同余，因为12除以5的余数为2，22除以5的余数也为2，即12≡22(mod 5)。
2. 同余的运算法则在模运算中，同余有着一系列的运算法则。
我们可以根据这些法则来简化模运算的计算，并处理一些复杂的数论问题。
（1）同余的传递性如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么可以推出a≡c(mod m)。
这就是同余关系的传递性，即如果两个数与同一个模同余，那么它们之间也是同余的。
举例来说，如果5≡15(mod 10)且15≡25(mod 10)，那么可以推出5≡25(mod 10)。
（2）同余的对称性和反对称性（3）同余的加法和乘法性质对于同余关系来说，加法和乘法都具有良好的性质。
（4）同余的幂运算性质如果a≡b(mod m)，那么对于任意正整数n，有a^n≡b^n(mod m)。
即同余数的幂运算后依然同余。
（5）同余的逆元如果a在模m下存在逆元，即存在整数b使得ab≡1(mod m)，那么我们称b是a的逆元。
对于素数模m来说，任意整数a在模m下都有逆元。
同余的概念在数论和密码学领域有着广泛的应用。
（1）同余在数论中的应用在数论中，同余可以用来证明一些整数性质和解决一些数论问题。
在证明费马小定理和欧拉定理等定理时就会用到同余的性质。
在密码学中，同余的概念有着重要的应用。
同余运算及其基本性质
同余运算及其基本性质100除以7的余数是2，意思就是说把100个东西七个七个分成一组的话最后还剩2个。
余数有一个严格的定义：假如被除数是a，除数是b（假设它们均为正整数），那么我们总能够找到一个小于b的自然数r和一个整数m，使得a=bm+r。
这个r就是a除以b的余数，m被称作商。
我们经常用mod来表示取余，a除以b余r就写成a mod b = r。
如果两个数a和b之差能被m整除，那么我们就说a和b对模数m同余（关于m同余）。
比如，100-60除以8正好除尽，我们就说100和60对于模数8同余。
它的另一层含义就是说，100和60除以8的余数相同。
a和b对m同余，我们记作a≡b(mod m)。
比如，刚才的例子可以写成100≡60(mod 8)。
你会发现这种记号到处都在用，比如和数论相关的书中就经常把a mod 3 = 1写作a≡1(mod 3)。
之所以把同余当作一种运算，是因为同余满足运算的诸多性质。
比如，同余满足等价关系。
具体地说，它满足自反性（一个数永远和自己同余）、对称性（a和b同余，b和a也就同余）和传递性（a和b同余，b和c同余可以推出a和c同余）。
这三个性质都是显然的。
同余运算里还有稍微复杂一些的性质。
比如，同余运算和整数加减法一样满足“等量加等量，其和不变”。
小学我们就知道，等式两边可以同时加上一个相等的数。
例如，a=b可以推出a+100=b+100。
这样的性质在同余运算中也有：对于同一个模数m，如果a和b同余，x和y同余，那么a+x和b+y也同余。
在我看来，这个结论几乎是显然的。
当然，我们也可以严格证明这个定理。
这个定理对减法同样有效。
性质：如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则a+x≡b+y(mod m)。
证明：条件告诉我们，可以找到p和q使得a-mp = b-mq，也存在r和s使得x-mr = y-ms。
于是a-mp + x-mr = b-mq + y-ms，即a+x-m(p+r) = b+y-m(q+s)，这就告诉我们a+x和b+y除以m的余数相同。
同余-高中数学知识点讲解
同余
1．同余
0、初等数论基本概念：
①整除：设a，b 是整数，b≠0．如果存在一个整数q 使得等式：a＝bq 成立，则称b 能整除a 或a 能被b 整除，
记作b|a；如果这样的q 不存在，则称b 不能整除a．
②最大公因数：设a1，a2，…，a n 是n 个不全为零的整数，若整数d 是它们之中每一个的因数，那么d 就叫做a1，a2，…，a n 的一个公因数．整数的公因数中最大的一个叫做它们的最大公因数，记作（a1，a2，…，an）．
③互质：设a1，a2，…，a n 是n 个不全为零的整数，若（a1，a2，…，a n）＝1，则称a1，a2，…，an 是互质的．
1、同余：
设m 为正整数，称为模．若用m 去除两个整数a 和b 所得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记作
a≡b（modm）．
读作a 同余于b 模m．
2、性质：
①a≡a（modm），
②如果a≡b（modm），那么b≡a（modm），
③如果a≡b（modm）且b≡c（modm），那么a≡c（modm），
④若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac≡bd（modm），
⑤若a≡b（modm），则a n≡b n（modm）．
1/ 1。
同余定理的定义及其性质
同余定理的定义及其性质
一、同余定理的定义：
两个整数a，b，如果他们同时对一个自然数m求余所得的余数相同，则称a，b对于模m同余。
记作a≡b（mod m）。
读为：a同余于b模m。
在这里“≡”是同余符号。
二、同余定理的一些性质：
•对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。
(加减乘同理）
(a+b)%c==(a%c+b%c)%c
•对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差一定能被这个除数整除。
•对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。
•记忆口诀：
1、“数的和差积与余的和差积同余”
2、“数与数同余，则方与方同余”
3、“同余相减得整除”。
同余问题三种类型例题
同余问题三种类型例题同余问题是离散数学中的一类重要问题，涉及到整数的除法运算和求余操作。
在同余问题中，通过对一个整数进行除法运算，我们可以得到一个余数，根据这个余数和被除数之间的关系，可以得到不同类型的同余问题。
下面将介绍三种常见的同余问题类型，并且给出一些详细的例题。
1. 线性同余问题线性同余问题是指寻找一个整数x，满足以下同余关系式：ax ≡ b (mod n)其中a，b，n为已知整数，且n>0。
我们需要求解的是x的取值范围。
这个问题可以用来求解模方程的解集。
例题1：解方程2x ≡ 6 (mod 5)。
根据同余关系式，我们可以得到2x可以被5整除的余数必须等于6。
我们可以列出等价的方程组：2x = 6 + 5k，其中k为整数。
这是一个一次方程，我们可以通过分析得到x=3+5k/2，其中k为整数。
根据这个结果，我们可以得到x的取值范围为3，8，13，18……。
2. 同余方程问题同余方程问题是指寻找一个整数x，满足以下同余关系式：f(x) ≡ c (mod n)其中f(x)为一个与x相关的函数，c，n为已知整数，且n>0。
我们需要求解x的取值范围。
例题2：解方程x^2 ≡ 4 (mod 7)。
要解这个方程，我们需要找到满足x^2-4可以被7整除的x。
我们可以将x^2-4分解为(x-2)(x+2)，即(x-2)(x+2)≡0 (mod 7)。
得到x的取值可以为2，-2，9，-9……。
3. 同余定理问题同余定理问题是指通过对一个整数进行特定的除法运算，来得到该数的同余类。
同余类是将整数分成若干个互相不交、互相等价的集合。
同余问题中的同余定理有欧拉定理、费马小定理等。
例题3：使用费马小定理求解：3^41 ≡ ? (mod 7)。
费马小定理为如果a是整数，p是质数且a和p互质，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
根据给定的问题，我们可以将3^41分解为(3^7)^5 * 3^6，即(3^7)^5 * 3^6 ≡ 1^5 * 3^6 ≡ 729 ≡ 2 (mod 7)。
第2章 同余
2.1同余的概念及一次同余式
证明 1 自反性,显然m|a-a ,故a≡a(mod m); 2 对称性 如果a≡b(mod m); 即m|a-b ,从而 m|b-a 因此, b≡a(mod m); 3 传递性 如果a≡b(mod m); b≡c(mod m); 则m|a-b,m|b-c 从而,m|(a-b+b-c), 也就是 m|a-c ,及a≡c(mod m);
2.2剩余类及完全剩余系
定理3 若a0,a1,…,am-1是模m的一完全剩余系,a和c是任意 二整数且(a,m)=1, 则aa0+c, aa1+c, …,aam-1+c也 是模m的一完全剩余系. 证明:由定理2,只需证明当a0,a1,…,am-1是模m的一 完全剩余系时, aa0+c, aa1+c, …,aam-1+c两两模m 不同余就可以了 采用反正法,假设,存在ai和ak(i≠k),使得 aai+c≡ aak+c(modm) ⇒m|a(ai-ak) , 又(a,m)=1 从而 m|ai-ak ,即ai和ak同余,矛盾
背包公钥密码（续）
加密过程 取正整数u,m，使得a1+a2 +…+an-1 +an <m, (u,m)=1,u,m作为密钥，只有接收方知道； bi ≡ uai (mod m). b1 , b2 … bn为公钥 （ m1, m2, L, mn ）为明文 s=a1x1 + a2x2 + L + anxn
2.2剩余类及完全剩余系
定义1 给定正整数m，对于任意整数a，称集 合 Ca = { c；a ≡ c (mod m)，c∈Z }是模m的一 个剩余类。 一个剩余类中的任一数叫做该类 的剩余或者代表元。若r0，r1,…, rm-1是m个整 数,并且其中任何两个数都不在剩余类里,则 r0，r1,…, rm-1 称为模m的一个完全剩余 从定义可以看出,模m的剩余类有m个 C0, C1,…, Cm-1,
同余与模运算的性质
同余与模运算的性质模运算是数学中常用的一种运算方式，它用于描述两个数的“整除关系”。
同余是模运算的一种特殊形式，它强调的是两个数对某个特定数的模运算结果相同。
在数论和代数中，同余与模运算有着重要的性质与应用。
本文将从数学定义、基本性质、应用场景等方面进行阐述。
1. 数学定义在数学中，对于整数a和正整数m，我们定义a与m同余为：a ≡ b (mod m)，其中b为任意与a同余的整数。
这里的“≡”表示“同余”的关系，称为同余符号；“mod”表示模运算。
换句话说，若a和b满足a和b除以m得到的余数相同，则称a与b关于模m同余。
2. 基本性质2.1 同余关系具有传递性。
若a ≡ b (mod m)且b ≡ c (mod m)，则有a ≡ c (mod m)。
这意味着如果两个数与同一个数同余，它们之间也必然同余。
2.2 同余关系具有对称性。
若a ≡ b (mod m)，则有b ≡ a (mod m)。
这表明同余是一种等价关系，互相满足同余的两个数可以互换位置。
2.3 同余关系具有传导性。
若a ≡ b (mod m)且c与m互质，则有ac≡ bc (mod m)。
这意味着在模m下，对相同的余数乘以与m互质的数，得到的结果仍然与原数同余。
3. 同余的应用3.1 计算简化。
模运算可以简化大数的运算过程。
例如，求一个数的个位数时，可以模10，得到的余数即为个位数。
3.2 密码学。
同余与模运算在密码学中有重要应用。
例如，RSA算法中的模幂运算涉及到大数的模运算，通过合理选择模数和指数，可以保证数据的安全性。
3.3 数论问题。
同余与模运算在解决数论问题中起到关键作用。
例如，费马小定理和欧拉定理等重要定理都涉及到同余的性质，通过运用同余关系可以解决一系列的数论问题。
4. 模运算的性质4.1 加法性质。
若a ≡ b (mod m)且c ≡ d (mod m)，则有a + c ≡ b + d (mod m)。
我们可以在模m下，对同余的两个数进行加法运算，结果仍然满足同余。
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同余同余式性质应用非常广泛，在处理某些整除性、进位制、对整数分类、解不定方程等方面的问题中有着不可替代的功能，与之密切相关的的数论定理有欧拉定理、费尔马定理和中国剩余定理。
基础知识三个数论函数对于任何正整数均有定义的函数，称为数论函数。
在初等数论中，所能用到的无非也就有三个，分别为：高斯(Gauss)取整函数[x]及其性质，除数函数d(n)和欧拉(Euler)函数和它的计算公式。
1．高斯(Gauss)取整函数[]设是实数，不大于的最大整数称为的整数部分，记为[]；称为的小数部分，记为｛｝。
例如：［0.5］＝0，等等。
由的定义可得如下性质：性质1.；性质2.；性质3.设，则；性质4.;;性质5.；性质6.对于任意的正整数，都有如下的埃米特恒等式成立：；为了描述性质7，我们给出如下记号：若，且，则称为恰好整除，记为。
例如：我们有等等，其实，由整数唯一分解定理：任何大于1的整数能唯一地写成的形式，其中为质（素）数（）。
我们还可以得到：。
性质7.若，则请注意，此式虽然被写成了无限的形式，但实际上对于固定的，必存在正整数，使得，因而，故，而且对于时，都有。
因此，上式实际上是有限项的和。
另外，此式也指出了乘数的标准分解式中，素因数的指数的计算方法。
2．除数函数d(n)正整数的正因数的个数称为除数函数，记为d(n)。
这里给出d(n)的计算公式：d(n)＝，为素数唯一分解定理中的指数。
为了叙述地更加明确，我们组出素数唯一分解定理。
算术基本定理（素数唯一分解定理）：任何一大于1的整数均可以分解为素数的乘积，若不考虑素数乘积的先后顺序，则分解式是唯一的。
例如：。
当一个整数分解成素数的乘积时，其中有些素数可以重复出现。
例如在上面的分解式中，2出现了三次。
把分解式中相同的素数的积写成幂的形式，我们就可以把大于1的正整数写成（1）此式称为的标准分解式。
这样，算术基本定理也可以描述为大于1的整数的标准分解式是唯一的（不考虑乘积的先后顺序）。
推论1.若的标准分解式是（1）式，则是的正因数的充要条件是：（2）应说明（2）不能称为是的标准分解式，，其原因是其中的某些可能取零值（也有可能不含有某个素因数，因而）推论2.设，且，若是整数的次方，则也是整数的次方。
特别地，若是整数的平方，则也是整数的平方。
3. 欧拉(Euler)函数设正整数0,1，……中与互素的个数，称之为的欧拉函数，并记为。
若的标准分解式是，则的计算公式是：例如：；.以下我们讲述同余的概念：同余的概念是高斯（Gauss）在1800年左右给出的。
设是正整数，若用去除整数，所得的余数相同，则称为与关于模同余，记作，否则，称为与关于模不同余。
定义1.（同余）设，若，则称和对模同余，记作；若不然，则称和对模不同余，记作。
例如：，等等。
当时，，则称是对模的最小非负剩余。
由带余除法可知，和对模同余的充要条件是与被除得的余数相同。
对于固定的模，模的同余式与通常的等式有许多类似的性质：性质1. 的充要条件是也即。
性质2.同余关系满足以下规律：（1）（反身性）；（2）（对称性）若，则；（3）（传递性）若，，则；（4）（同余式相加）若，，则；（5）（同余式相乘）若，，则；反复利用（4）（5），可以对多个两个的（模相同的）同余式建立加、减和乘法的运算公式。
特别地，由（5）易推出：若，为整数且，则；但是同余式的消去律一般并不成立，即从未必能推出，可是我们却有以下结果：（6）若，则，由此可以推出，若，则有，即在与互素时，可以在原同余式两边约去而不改变模（这一点再一次说明了互素的重要性）。
现在提及几个与模相关的简单而有用的性质：（7）若，｜，则；（8）若，，则；（9）若，则，特别地，若两两互素时，则有；性质3.若，则；；性质4.设是系数全为整数的多项式，若，则。
这一性质在计算时特别有用：在计算大数字的式子时，可以改变成与它同余的小的数字，使计算大大地简化。
如例3。
定义2.设，是使成立的最小正整，则称为对模的阶。
在取定某数后，按照同余关系把彼此同余的整数归为一类，这些数称为模的剩余类。
一个类的任何一个数，都称为该类所有数的剩余。
显然，同类的余数相同，不同类的余数不相同，这样我们就把全体整数按照模划分为了个剩余类：。
在上述的个剩余类中，每一类任意取一个剩余，可以得到个数，称为模的一个完全剩余系。
例如关系模7，下面的每一组数都是一个完全剩余系：0，1，2，3，4，5，6；-7，8，16，3，-10，40，20；-3，-2，-1，0，1，2，3。
显然，一组整数成为模的完全剩余系只需要满足两个条件（1）有个数；（2）各数关于模两两不同余。
最常用的完全剩余系是最小非负完全剩余系及绝对值最小完全剩余系。
模的最小非负完全剩余系是：0，1，2，………,;即除数为时，余数可能取到的数的全部值。
当为奇数时，绝对值最小的完全剩余系是：；当为偶数时，绝对值最小的完全剩余系有两个：；。
以上只是我们个人对同余及剩余类的理解，为了方便大家研究，我们把有关材料上的具体概念给出，希望大家好好地研究：定义3.（同余类）设，每一个这样的类为模的同余类。
说明：整数集合可以按模来分类，确切地说，若和模同余，则和属同一类，否则不属于同一类，每一个这样的类为模的一个同余类。
由带余除法，任一整数必恰与0,1,……，中的一个模同余，而0,1,……，这个数彼此模不同余，因此模共有个不同的同余类，即。
例如，模2的同余类共有两个，即通常说的偶数类与奇数类，这两类中的数分别具有形式和（为任意整数）。
定义4。
（剩余类）设是正整数，把全体整按对模的余数分成类，相应的个集合记为：，其中，称为模的一个剩余类。
以下是几条常用性质：（1）且；（2）每一个整数仅在的一个里；（3）对于任意，则的充要条件是。
定义5.（完全剩余系）一组数称为模的完全剩余系，如果对任意有且仅有一个是对模的剩余，即。
换一种说法更好理解：设为模的全部剩余类，从每个中任取一个，得个数组成的数组，叫做模的一个完全剩余系。
说明：在个剩余类中各任取一个数作为代表，这样的个数称为模的一个完全剩余系，简称模的完系。
换句话说，个数称为模的一个完系，是指它们彼此模不同余，例如0,1，2，……，是模的一个完系，这称作是模的最小非负完系。
性质：（1）个整数构成模的一个完全剩余系两两对模不同余；（2）若，则与同时跑遍模的完全剩余系。
典例分析例1．试解方程：。
解：因为左边是整数，因而右边的分式也应该是整数，所以于是，从而，故。
但是是整数，故，，代入前面的不等式，得，直接观察即知，于是。
例2．数100！的十进位制表示中，未尾连续地有多少位全是零？解：命题等价于100！最多可以被10的多少次方整除。
因为因而100！中2的指数大于5的指数，所以100！中5的指数就是所需求出的零的位数。
由即可知100！的未尾连续地有24位全是数码零。
例3．试求被50除所得的余数。
解：由于是关于的整系数多项式，而，于是知。
又注意到，故又，所以注意到，因而29就是所求的余数。
说明：在上述过程中，我们已经看到的作用。
一般而言，知道一个整数的多少次幂关于模同余于是非常有用的。
事实上，若，则对大的指数利用带余除法定理，可得，于是有，这里余数是一个比小得多的数，这样一来，计算的问题，就转化成了计算余数次幂的问题，从而使计算简单化。
例4．设，计算某星期一后的第天是6星期几？解；星期几的问题是被7除求余数的问题。
由于，于是，，因而。
为了把指数的指数写成的形式，还需取6为模来计算。
为此我们有，进而有，，依次类推，有，所以从而，这样，星期一后的第天将是星期五。
例5．求所有的素数，使与也是素数。
分析：要使与也是素数，应该是对除以某个数素的余数进行分类讨论，最后确定只能是这个素数。
由于只有两个数，所以不能太大，那样讨论起来也不会有什么效果，试验发现对本题不起任何效果，现对展开讨论。
解：设，，且若或4时，，；若或3时，，；即时，为5的倍数且比5大，不为质数。
故，此时，；都是素数。
即可题有唯一解。
注：要使几个数同为质数，一般是对这几个数也合乎以某一质数的余数来确定，如均为质数，可得只能为3，由于这是的一次式，故三个数就模3，而二次式对三个数就模5，四个数一般就模7了。
例6．求满足的全部正整数。
分析：如果，两边，得，这是不可能的；如果，而中有一个大于1，则另一个也大于1，得，故为奇数，，得，而，为奇数，从而，矛盾！所以为唯一解。
注：在解不定方程时，往往要分情况讨论，也常常利用同余来导出一些性质求出矛盾！例7．数列满足：证明：（1）对任意为正整数；(2)对任意为完全平方数。
（2005年全国高中数学联赛试题）证明：（1）由题设得且严格单调递增.将条件式变形得两边平方整理得①②①-②得③由③式及可知，对任意为正整数.（2）将①两边配方，得④由③式≡∴≡≡0（mod3）∴为正整数，④式成立.是完全平方数.例8．若可以写成有限小数，那么自然数的值是多少？解：由于若与互素，则分数是既约分数；若与不互素，设它们的公约数为，且，设，则，故与的公约数是5，此时分数的分子、分母只有公约数5。
由于可以写成有限小数，故约分之后的分母除了2,5以外，没还有其它的公约数，因此。
因为是奇数，，故，即。
由于故，从而，即，故只有才是有限小数。