高中数学会考——直线和圆的方程专题训练
高中直线与圆的方程优质练习题
x y O x y O x y O xyO直线与圆复习试题第一部分：直线的方程1.已知直线l 的方程为+320x y +=，则直线l 的倾斜角为 .2.已知两点A (1,－1)、B (3,3)，点C (5,a )在直线AB 上，则实数a 的值是 .3.如果0<AC 且0<BC ，那么直线0=++C By Ax 不通过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 ．5.直线y = k (x －1)与以A (3,2)、B (2,3)为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是 ．6.若直线l ：y=kx-3与2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围 ．7.若45ln ,23ln ,12ln ===c b a ，则（ ） A.c b a << B.a b c << C.b a c << D.c a b << 8.经过点P(—1，0) 且平行于直线053=-+y x 直线方程是 ．9.过点P (2,3)，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 ．10.过点P (2,3)，且纵截距式横截距2倍的直线方程是 ．11. 过点A (5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程是 ． 12.直线l 的斜率是-2，它在x 轴与y 轴上的截距之和是12，则直线l 的方程是 ．13.与直线210x y ++=的距离为的直线方程为 ．14.过点P （3，4）且倾斜角是直线113y x =+的两倍的直线方程是 ． 15.过点3(2,)2P 的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于点A 、B ，O 为坐标原点，AOB ∆的面积等于6，则求直线l 的方程是 ．16.过点()1,0M 作直线l ，使他被两条已知直线04:0103:21=++=+y x l y x l 和—所截得的线段AB 被点M 平分，则直线l 的方程是 ．17. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．18.已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (5,－1)，B (1,1)，C (2,3)，则△ABC 的形状为 ．19．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．420.若倾斜角为45°的直线m 被平行线1l ：10x y +-=与2l ：30x y +-=所截得的线段为AB ，则AB 的长为 ．21.两平行直线1l ：3x+4y-2=0与2l ：6x+8y-5=0之间的距离为 ．22．（2011北京）已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数2y x =的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．123.直线01=+-y ax 恒经过定点P ，则P 点的坐标为 ．24.已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为(3,3)Q b a --，则直线l 的方程是（ ）A ．30x y +-=B ．0x y b a ++-= C. 0x y a b +--= D ．30x y -+= 25.点)5,2(P 关于直线01=++y x 的对称点的坐标是 .26．一条光线从1(,0)2A -处射到点(0,1)B 后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为 ．27．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为 . 28．直线关于直线对称的直线方程是 ． 29．已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三条边长，c 为斜边．若点（m ，n ）在直线ax+by+2c=0上，则m 2+n 2的最小值是 ．30．直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则P 点坐标是 .31．若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是 .32．直线与直线互相垂直，则的最小值为 . 33．（2017山东）若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为 ． 34．过点P (1，2)作直线l ，交x ，y 轴的正半轴于A 、B 两点，当△OAB 面积取得最小值时直线l 的方程是 ．35．（2014四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是( )A． B． C． D．36．已知三角形ABC 的顶点坐标为A （－1，5）、B （－2，－1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点，试求：(1) 中线AM 所在的直线方程；(2) 边AC 边上的高所在的直线方程；(3) 边AC 中垂线所在的直线方程．37．如图，在平行四边形OABC 中，点C （1，3）．（1）求OC 所在直线的斜率；（2）过点C 做CD ⊥AB 于点D ，求CD 所在直线的方程．38．已知△ABC 的三个顶点是A （1，1），B （﹣1，3），C （3，4）．（1）求BC 边的高所在直线l 1的方程；（2）若直线l 2过C 点，且A 、B 到直线l 2的距离相等，求直线l 2的方程．39．已知直线()12:310,:20l ax y l x a y a ++=+-+=.（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离.40.已知三角形ABC 的顶点坐标为A （0，3）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点. （1）求AB 边所在的直线方程.（2）求中线AM 的长.（3）求点C 关于直线AB 对称点的坐标.第一部分：圆的方程1．圆22:420C x y x y +-+=关于直线1y x =+对称的圆的方程是( )A ． 22(1)(2)5x y ++-=B ． 22(4)(1)5x y ++-=C ． 22(2)(3)5x y ++-=D ． 22(2)(3)5x y -++=2.已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是( ) A ．22(1)(1)25x y －＋＋＝ B ．()()221125x y ＋＋－＝C ．22(1)(1)100x y －＋＋＝D ．()()2211100x y ＋＋－＝3．（2015新课标2）已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．35B ．321C ．352D ．34 4．（2016年天津）已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点(0,5)M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -= 的距离为45，则圆C 的方程为 ． 5．（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线2mx y m ---10=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．6. 过圆224x y +=外一点()4,2P 作圆的两条切线,切点为,A B ,则ABP ∆的外接圆方程是( )A. 42x y --22()+()=4B. 2x y -22+()=4C. 42x y ++22()+()=5D. 21x y --22()+()=57．（2014新课标2）设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是( )A ．[]1,1-B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．2,2⎡⎤-⎣⎦D ．2222⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，8．圆122=+y x 上的点到点(3,4)M 的距离的最小值是( )A ．1B ．4C ．5D ．69．过点P （2，1）作圆C ：x 2+y 2－ax +2ay +2a +1=0的切线有两条，则a 取值范围是( ) A ．a ＞－3 B ．a ＜－3 C ．－3＜a ＜－52 D ．－3＜a ＜－52或a ＞2 10．已知点(x 0,y 0)是圆x 2+y 2=r 2外一点，则直线x 0x +y 0y=r 2与这个圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定11．（2015安徽）直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或1212.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ．13．自点A （－1，4）作圆(x －2)2+(y －3)2=1的切线l ，则切线l 的方程为 ． 14.若圆()()22121x y -+-=关于直线y x b =+对称，则实数b = ．15．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A. 052=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y xD. 03=--y x16.过点2,1的直线中,被22240x y x y 截得弦长最长的直线方程为( ) A. 350x y B. 370x y C. 330x y D. 310x y 17．过点M （0，4），被圆4)1(22=+-y x 截得弦长为32的直线方程为 ． 18．（2016年全国II 卷）圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =( )A ．−43B ．−34C D ．2 19．（2015山东）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．53-或35- B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 20．（2014安徽）过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．]60π，（B ．]30π，（C ．]60[π，D ．]30[π， 21．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ．22．(2018全国卷Ⅰ)直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A ，B 两点，则||AB =________．23．（2015新课标2）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =( )A ．26B ．8C ．46D ．1024．（2015重庆）已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝( )A ．2B ．C ．6D ．25．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ．26．（2016年全国III 卷）已知直线l ：60x -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________.27．（2015湖南）若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于,A B 两点，且120o AOB ∠=（O 为坐标原点），则r = ．28．（2014重庆）已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________．29．（2014湖北）直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________．30．（2013湖北）已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=(π02θ<<)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .31．若直线b x y +=与曲线21y x -=有且只有一个交点，则b 的取值范围是( )A ．2||=bB ．11≤<-bC ．211-=≤<-b b 或D ．以上答案都不对32．（2013山东）过点(3，1)作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-= 33.如两圆1C ：222r y x =+与2C ：()()22213r y x =++-()0>r 相切，则r 的值为( ) A.110- B.210 C.10 D. 110-或110+ 34．（2014湖南）若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =( )A ．21B ．19C ．9D ．11-35．已知两圆01422:,10:222221=-+++=+y x y x C y x C .求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程 ．36．两圆221:2220C x y x y +++-=，222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条37．（2016年山东）已知圆M ：2220(0)x y ay a 截直线0x y 所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：22(1)1x y （-1）的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离38．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是 ．39.若直线),(042R n m ny mx ∈=-+始终平分圆042422=---+y x y x 的周长，则mn 的取值范围是( )A.()1,0B.(]1,0 C.()1,∞- D.(]1,∞- 40． 若方程21x --x -a=0有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为( ) 22) B 22] C.[-12) D. [12)41. 若圆(x -3)2+(y +5)2=r 2上有且只有两个点到直线4x -3y =2的距离等于1，则半径r 的范围是( )A ．（4，6）B ．[4，6]C ．[4，6]D ．（4，6]42. 点(,)P x y 是直线30kx y ++=上一动点，,PA PB 是圆22:40C x y y +-=的两条切线，,A B 是切点，若四边形PACB 面积的最小值为2，则k 的值为( )A. 22B. 22±C. 2D. 2±43. 若点P 在圆221:(2)(2)1C x y -+-=上，点Q 在圆222:(2)(1)4C x y +++=上，则||PQ 的最小值是__________．44.圆2522=+y x 上的点到直线02=--y x 的距离的最大值是 .45. 点A 在圆222x y y +=上,点B 在直线1y x =-上,则AB 的最小( ) 21 B 212- C 2 D 2246．（2012天津）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是( )A ．[13,1+3]B ．(,13][1+3,+)-∞∞C ．[22,2+22]-D ．(,222][2+22,+)-∞-∞47．（2012湖北）过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=48．（2011江西）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A ．(3-，3)B ．(3-，0)(0，3)C ．[3-3]D ．(-∞，3-) (3，+∞) 49．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．50. 若点P 在直线23100x y ++=上,直线,PA PB 分别切圆224x y +=于,A B 两点,则四边形PAOB 面积的最小值为 ．51．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为( )A ．3B ．CD ．252．（2014北京）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．453．（2014江西）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为( )A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π54．（2013重庆）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为( )A ．4B 1C ．6- D55．（2013新课标2）已知点()1,0A -；()1,0B ；()0,1C ，直线y ax b =+(0)a >将△ABC分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．11,23⎛⎤- ⎥ ⎦⎝D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭56．过原点O 作圆x 2+y 2-8x=0的弦OA ，则弦OA 中点M 的轨迹方程是 ． 57. 在△ABC 中，若顶点B 、C 的坐标分别为（-2，0）和（2，0），中线AD 的长度为3，则点A 的轨迹方程为( )A ．223x y +=B ．224x y +=C ．229(0)x y y +=≠D ．229(0)x y x +=≠ 58．已知点(,)M x y 与两个定点(0,0)O ，(5,0)A 的距离的比为12，则点M 的轨迹方程为 ．59. 设点M 是Z 轴上一点，且点M 到A （1，0，2）与点B （1，－3，1）的距离相等，则点M 的坐标是( )(A)（－3，－3，0）(B) （0，－3，－3） (C) （0，0，3） (D)（0，0，－3）60.空间直角坐标系Oxyz 中的点(1,2,3)P 在xOy 平面内射影是Q ，则点Q 的坐标为( ) A ．(1,2,0) B ．(0,0,3) C ．(1,0,3) D ．(0,2,3)61．（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．62．（2011新课标）在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．63. 如果实数,x y 满足22410x y x +-+=求:（1）y x 的最大值；（2）y x -的最小值；（3）22x y +的最值.64．圆C 的半径为3，圆心C 在直线02=+y x 上且在x 轴下方，圆C 被x 轴截得的弦长为52. （1）求圆C 的方程；（2）是否存在斜率为1的直线l ，使得以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.65．已知：以点C (t, 2t )(t ∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与x 轴交于点O , A ，与y 轴交于点O, B ，其中O 为原点．（1）求证：△OAB 的面积为定值；（2）设直线y =–2x+4与圆C 交于点M, N ，若OM = ON ，求圆C 的方程．66. 已知以点(1,2)A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切，过点(4,0)B -的动直线l 与圆A 相交于,M N 两点.（1）求圆A 的方程；（2）当||211MN =时，求直线l 的方程.67．已知圆M 过)0,6(),5,1(),0,4(C B A -三点.(Ⅰ)求圆M 的方程(Ⅱ)若直线)0(05>=+-a y ax 与圆M 相交于Q P ,两点，是否存在实数a ，使得弦PQ 的垂直平分线l 过点)4,2(-E ，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.68. 已知圆22:2O x y +=，直线l 过点33(,)22M ，且OM l ⊥，00(,)P x y 是直线l 上的动点，线段OM 与圆O 的交点为点N ，'N 是N 关于x 轴的对称点.（1）求直线l 的方程；（2）若在圆O 上存在点Q ，使得30OPQ ∠=，求0x 的取值范围；（3）已知,A B 是圆O 上不同的两点，且''ANN BNN ∠=∠，试证明直线AB 的斜率为定值.69．已知圆C :()()252122=-+-y x 及直线()()47112:+=+++m y m x m l ()R m ∈（1）证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．70．已知圆C 的方程为：)(,04222R k k y x y x ∈=+-++．(1)求圆心C 的坐标及实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使直线042:=+-y x l 与圆C 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥ （O 为坐标原点）．若存在，求出k 的值，若不存在说明理由．71．已知圆C 的圆心为原点O ，且与直线相切．（1）求圆C 的方程；（2）点P 在直线x=8上，过P 点引圆C 的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，求证：直线AB 恒过定点．72．已知圆心O 在坐标原点，且过点M （1,3）．（1）求圆O 的方程；（2）求与圆O 相切，且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程；73．圆C 过点A （6，4），B （1，﹣1），且圆心在直线l ：x ﹣5y+7=0上．（1）求圆C 的方程；（2）P 为圆C 上的任意一点，定点Q （7，0），求线段PQ 中点M 的轨迹方程．74.如图，圆22:230C x y x ++-=内有一点(2,1)P -，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦. （1）当135α=°时，求AB 的长；（2）当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程；（3）若圆C 上的动点M 与两个定点(0,0)O ，(,0)(0)R a a ≠的距离之比恒为定值(1)λλ≠，求实数a 的值.75.已知圆C:2222440x y x my m +-++=，圆1C :2225x y +=，以及直线:l 34150x y --=．（1）求圆1C :2225x y +=被直线l 截得的弦长；（2）当m 为何值时，圆C 与圆1C 的公共弦平行于直线l ；（3）是否存在m ，使得圆C 被直线l 所截的弦AB 中点到点()2,0P 的距离等于弦AB 长度的一半？若存在，求圆C 的方程；若不存在，请说明理由．76．如图，台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向（北偏东 45）移动，离台风中心300千米的地区为危险地区.城市B 在A 地的正东400千米处.(1) 台风移动路径所在的直线方程;(2)求城市B 处于危险区内的时间是多少小时？78．已知圆M: 1)2(22=-+y x ,Q 是x 轴上的动点，QA 、QB 分别切圆M 于A 、B 两点.(1)若324||=AB ，求||MQ 的长； (2)求证：直线AB 恒过定点，并求出定点坐标．A。
高二数学直线和圆的方程综合测试题(1)
高二数学《直线和圆的方程》综合测试题 一、 选择题：1．如果直线l 将圆：04222=--+y x y x 平分，且不通过第四象限，那么l 的斜率取值范围是（ ）A ．]2,0[B ．)2,0(C ．),2()0,(+∞-∞D ．),2[]0,(+∞-∞ 2.直线083=-+y x 的倾斜角是( ) A.6π B. 3πC. 32πD. 65π3. 若直线03)1(:1=--+y a ax l ，与02)32()1(:2=-++-y a x a l 互相垂直， 则a 的值为（ ）A ．3-B ．1C ．0或23-D ．1或3- 4. 过点)1,2(的直线中被圆04222=+-+y x y x 截得的弦长最大的直线方程 是( )A.053=--y xB. 073=-+y xC. 053=-+y xD. 053=+-y x 5.过点)1,2(-P 且方向向量为)3,2(-=n 的直线方程为( )A.0823=-+y xB. 0423=++y xC. 0132=++y xD. 0732=-+y x 6.圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 33=的距离是( ) A.21B. 23C.1D. 37.圆4)1()3(:221=++-y x C 关于直线0=-y x 对称的圆2C 的方程为:( ) A. 4)1()3(22=-++y x B. 4)3()1(22=-++y x C. 4)3()1(22=++-y x D. 4)1()3(22=++-y x8.过点)1,2(且与两坐标轴都相切的圆的方程为（ ） A ．1)1()1(22=-+-y x B ．25)5()5(22=-++y x C ．1)1()1(22=-+-y x 或25)5()5(22=-+-y x D ．1)1()1(22=-+-y x 或25)5()5(22=-++y x9. 直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于N M ,两点，若≥||MN 则k 的取值范围是( )A ．3[,0]4-B ．[]33-C ．[D ．2[,0]3-10. 下列命题中，正确的是（ ） A ．方程11=-y x表示的是斜率为1，在y 轴上的截距为2的直线； B ．到x 轴距离为5的点的轨迹方程是5=y ；C ．已知ABC ∆三个顶点)0,3(),0,2(),1,0(-C B A ，则 高AO 的方程是0=x ；D ．曲线023222=+--m x y x 经过原点的充要条件是0=m .11.已知圆0:22=++++F Ey Dx y x C ,则0==E F 且0<D 是圆C 与y 轴相切 于坐标原点的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.若直线m x y += 与曲线21y x -= 只有一个公共点,则实数m 的取值范围 是( )A.2±=mB.2≥m 或2-≤mC. 22<<-mD. 11≤<-m 或2-=m 二.填空题:13.已知直线06=+-y kx 被圆2522=+y x 截得的弦长为8,则k 的值为:_____14.过点)5,2(-,且与圆012222=+-++y x y x 相切的直线方程为:__________;15. 若y x ,满足约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤+1211013623242y x y x y x ,则y x Z 32+=的最大值为______.16.已知实数y x ,满足3)2(22=+-y x ,则xy的取值范围是:_______________.三.解答题:17.求与x 轴切于点)0,5(,并且在y 轴上截得弦长为10的圆的方程.18.已知一个圆C 和y 轴相切,圆心在直线03:1=-y x l 上,且在直线0:2=-y x l 上截得的弦长为72,求圆C 的方程.19.已知ABC ∆的顶点A 是定点,边BC 在定直线l 上滑动,4||=BC , BC 边上的 高为3,求ABC ∆的外心M 的轨迹方程.20.求满足下列条件的曲线方程:(1) 曲线4)1()2(:221=++-y x C ,沿向量)1,2(-=n 平移所得的曲线为2C ,求2C 的方程;(2) 曲线212:x y C =沿向量)3,2(=n 平移所得的曲线为2C ,求2C的方程;21.已知圆0622=+-++m y x y x 和直线032=-+y x 相交于Q P ,两点,O 为原点,且OQ OP ⊥,求实数m 的取值.22.已知圆4)4()3(:22=-+-y x C 和直线034:=+--k y kx l (1)求证:不论k 取什么值,直线和圆总相交;(2)求k 取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.高二数学《直线和圆的方程》综合测试题参考答案一.选择题: ADDAB ABCBD AD二.填空题: 13. 3± 14. 2010815-==-+x ，y x 或15. 39 16. ]3,3[-三.解答题:17.答案:50)25()5(22=±+-y x .18.解:∵圆心在直线03:1=-y x l 上,∴设圆心C 的坐标为),3(t t ∵圆C 与y 轴相切, ∴圆的半径为|3|t r = 设圆心到2l 的距离为d ,则t t t d 22|3|=-=又∵圆C 被直线2l 上截得的弦长为72,∴由圆的几何性质得:222|)|2()7(|3|t t +=,解得1±=t ∴圆心为)1,3(或3),1,3(=--t ,∴圆C 的方程为:9)1()3(,9)1()3(2222=+++=-+-y x y x 或19.解:因为A 为定点, l 为定直线,所以以l 为x 轴,过A 且垂直于l 的直线为y 轴,建立直角坐标系(如图),则)3,0(A轴,垂足为N ,则)0,(x N 且N 平分BC , 又因为4||=BC ,),0,2(),0,2(+-∴x B x CM 是ABC ∆的外心,|||MB =∴∴2222)3()0()2(-+=-+-+y x y x x ,化简得, M 的轨迹方程为: 0562=+-x x20．解:(1)设点),(y x M 为曲线2C 上的任意一点,点),(000y x M 是平移前在曲 线1C 上与之对应的点,则有),1,2(),()1,2(000-=--⇒-==y y x x n M M∴⎩⎨⎧-=+=1200y y x x ,又∵点),(000y x M 在曲线1C 上,∴4)1()2(2020=++-y x ,从而4]1)1[()]22[(22=-++-+y x ,化简得, 422=+y x 为所求.(2) 设点),(y x M 为曲线2C 上的任意一点,点),(000y x M 是平移前在曲线1C 上与之对应的点,则有),3,2(),()3,2(000=--⇒==y y x x n M M∴⎩⎨⎧-=-=3200y y x x ,又∵点),(000y x M 在曲线1C 上,∴2002x y =,从而2)2(2)3(-=-x y ,化简得, 11822+-=x x y 为所求.21. 解: 设点Q P ,的坐标分别为),(),,(2211y x y x . 一方面,由OQ OP ⊥,得1-=⋅OQ OP k k ,即,12211-=⋅x y x y 从而,①y y x x 02121=+另一方面, ),(),,(2211y x y x 是方程组⎩⎨⎧=+-++=-+0603222m y x y x y x ，的实数解， 即21,x x 是方程02741052=-++m x x …… ②的两个实数根，∴221-=+x x ， 527421-=⋅m x x ………… ③又Q P ,在直线032=-+y x ， ∴])(39[41)3(21)3(2121212121x x x x x x y y ++-=-⋅-=⋅将③式代入，得 51221+=⋅m y y ………… ④ 又将③，④式代入①，解得3=m ，代入方程②，检验0>∆成立。
直线与圆的方程练习题
直线与圆的方程练习题直线与圆是解析几何中的基本概念，掌握它们的方程及其应用是解题的关键。
下面将以几道习题为例，来进行练习。
1. 已知直线L过点A(3,4)，斜率为2，求直线L的方程。
解析：由题目可知，直线L经过点A(3,4)，斜率为2。
我们可以运用直线的点斜式来求解。
直线的点斜式方程为：y - y₁ = m(x - x₁)其中m为直线的斜率，(x₁, y₁)为直线上的已知点。
代入已知条件，得到直线L的方程为：y - 4 = 2(x - 3)化简得：y - 4 = 2x - 6最终方程为：y = 2x - 22. 已知圆O的圆心为(2,3)，半径为5，求圆O的方程。
解析：圆的方程可以通过圆心和半径来确定。
我们可以利用圆的标准方程来求解。
圆的标准方程为：(x - a)² + (y - b)² = r²其中(a,b)为圆心的坐标，r为圆的半径。
代入已知条件，得到圆O的方程为：(x - 2)² + (y - 3)² = 5²化简得：(x - 2)² + (y - 3)² = 25最终方程为：x² - 4x + y² - 6y + 5 = 03. 已知直线L的方程为2x - 3y + 7 = 0，圆O的方程为x² + y² - 6x + 4y + 3 = 0，求直线L与圆O的交点坐标。
解析：直线与圆的交点坐标可以通过联立直线与圆的方程求解。
我们可以通过消元法来求解。
将直线L的方程转化为一般形式：2x - 3y = -7代入圆O的方程，得到联立方程组：x² + y² - 6x + 4y + 3 = 02x - 3y = -7通过联立方程组，我们可以求得直线L与圆O的交点坐标。
首先，将直线L的方程中的x表示为y的函数：x = (3y - 7) / 2将x代入圆O的方程中，得到二次方程：(3y - 7)² / 4 + y² - 6(3y - 7)/2 + 4y + 3 = 0化简得：(9y² - 42y + 49 + 4y² - 12y - 42 + 16y + 12) / 4 + y² - 6(3y - 7)/2 + 4y + 3 = 0整理得：13y² - 36y + 30 = 0通过求解二次方程，我们可以得到y的值，再带入x = (3y - 7) / 2，即可求得直线L与圆O的交点坐标。
高中数学必修内容训练试题(7)---直线和圆的方程
一、选择题（每题3分，共54分）1 在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ）A ．6πB ．3π C ．65π D ．32π 2 若圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（）A ．1)1()2(22=++-y x B ．1)1()2(22=-+-y x C ．1)2()1(22=++-y xD ．1)2()1(22=-++y x3 直线0=++c by ax 同时要经过第一 第二 第四象限，则c b a 、、应满足（ ）A ．0,0<>bc abB ．0,0<>bc abC ．0,0>>bc abD ．0,0<<bc ab4 已知直线221:1+=x y l ，直线2l 过点)1,2(-P ，且1l 到2l 的夹角为 45，则直线2l 的方程是（ ） A ．1-=x y B ．5331+=x y C ．73+-=x y D ．73+=x y5 不等式062>--y x 表示的平面区域在直线062=--y x 的（） A ．左上方B ．右上方C ．左下方D ．右下方6 直线0943=--y x 与圆422=+y x 的位置关系是（）A ．相交且过圆心B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆122=+y x 相切，则三条边长分别为c b a 、、的三角形（）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在8 过两点)9,3()1,1(和-的直线在x 轴上的截距是()A ．23-B ．32-C ．52 D ．29 点)5,0(到直线x y 2=的距离为( )A ．25B ．5C ．23 D ．25 10 下列命题中，正确的是()A ．点)0,0(在区域0≥+y x 内B ．点)0,0(在区域01<++y x 内C ．点)0,1(在区域x y 2>内D ．点)1,0(在区域01<+-y x 内11 由点)3,1(P 引圆922=+y x 的切线的长是 ()A ．2B ．19C ．1D ．412 三直线102,1034,082=-=+=++y x y x y ax 相交于一点，则a 的值是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．113 已知直线01:,03:21=+-=+y kx l y x l ，若1l 到2l 的夹角为60，则k 的值是A ．03或B ．03或-C ．3D ．3-14 如果直线02012=-+=++y x y ax 与直线互相垂直，那么a 的值等于()A ．1B ．31-C ．32-D ．2-15 若直线023022=--=++y x y ax 与直线 平行，那么系数a 等于( )A ．3-B ．6-C ．23-D ．32 16 由422=+=y x x y 和圆所围成的较小图形的面积是() A ．4πB ．πC ．43πD ．23π 17动点在圆122=+y x 上移动时，它与定点)0,3(B 连线的中点的轨迹方程是()A ．4)3(22=++y x B ．1)3(22=+-y x C ．14)32(22=+-y xD ．21)23(22=++y x 18 参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 33cos 33y x 表示的图形是( )A ．圆心为)3,3(-，半径为9的圆B ．圆心为)3,3(-，半径为3的圆C ．圆心为)3,3(-，半径为9的圆D ．圆心为)3,3(-，半径为3的圆二、填空题（每题3分，共15分）19 以点)1,5()3,1(-和为端点的线段的中垂线的方程是20过点023)4,3(=+-y x 且与直线平行的直线的方程是21 直线y x y x 、在0623=+-轴上的截距分别为22 三点)2,5()3,4(32k及），，（-在同一条直线上，则k 的值等于 23 若方程014222=+++-+a y x y x 表示的曲线是一个圆，则a 的取值范围是三、解答题（第24、25两题每题7分，第26题8分，第27题9分，共31分）24 若圆经过点)2,0(),0,4(),0,2(C B A ，求这个圆的方程25求到两个定点)0,1(),0,2(B A -的距离之比等于2的点的轨迹方程26求点)2,3(-A 关于直线012:=--y x l 的对称点'A 的坐标27 已知圆C 与圆0222=-+x y x 相外切，并且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-Q ，求圆C 的方程高中数学必修内容训练试题---直线和圆的方程答案一、二、19 02=--y x20053=--y x 21 32和- 22 1223 4<a三、24 设所求圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ,则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++8660420416024F E D F E F D F D 所以圆的方程是086622=+--+y x y x25设),(y x M 为所求轨迹上任一点，则有2=MBMA042)1()2(222222=+-⇒=+-++∴y x x y x y x26设),('b a A ，则有)54,513( 5451301222321232'-∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=---+⋅-=⋅-+A b a b a a b27 设圆C 的圆心为),(b a ，则6234004231)1(33322==⇒⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=-+r r b a b a b a b a a b 或或 所以圆C 的方程为36)34(4)4(2222=++=+-y x y x 或 |。
(安徽专用)2014年高考数学总复习 直线和圆的方程会考专题专练
高中数学会考直线和圆的方程专题训练一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1、直线30x y -+=的倾斜角是A 、300B 、450C 、600D 、9002、直线123=-yx 的斜率是A 、32 B 、32-C 、23 D 、23-3、若直线ax+by+c=0在第一、二、四象限，则有A 、ac>0,bc>0B 、ac>0,bc<0C 、ac<0,bc>0D 、ac<0,bc<04、平行直线121-=x y 与012=+-y x 之间的距离等于A 、552 B 、553 C 、52 D 、53 5、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是A 、⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤-+0623063201232y x y x y xB 、⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥--≤-+0623063201232y x y x y xC 、⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≤-+0623063201232y x y x y xD 、⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥-+0623063201232y x y x y x6、圆k k y kx y x 那么实数与两坐标轴无公共点，)0(022222>=++-+的取值范围A 、20<<kB 、21<<kC 、10<<kD 、2>k7、设△ABC 的一个顶点是A （3，－1），∠B ，∠C 的平分线方程分别是x=0，y=x ，则直线BC 的方程是A 、y=3x+5B 、y=2x+3C 、y=2x+5D 、252+-=x y 8、过圆C ：422=+y x 上两点A （)1,3及B （1，3）所作的两条切线的夹角是A 、65π B 、3π C 、2π D 、6π9、从直线l ：03=+-y x 上的点向圆1)2()2(22=+++y x 引切线，则切线长的最小值为A 、223 B 、214 C 、423 D 、1223- 10、已知),(),,(222111y x P y x P 分别是直线l 上和直线l 外的点，若直线l 的方程是0),(=y x f ，则方程0),(),(),(2211=--y x f y x f y x f 表示A 、与l 重合的直线B 、过P 2且与l 平行的直线C 、过P 1且与l 垂直的直线D 、不过P 2但与l 平行的直线11、M （),00y x 为圆)0(222>=+a a y x 内异于圆心的一点，则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系为A 、相切B 、相交C 、相离D 、相切或相交12、曲线()2412≤-+=x x y 与直线()42+-=x k y 有两个交点时，实数k 的取值范围是A 、⎥⎦⎤⎝⎛43125， B 、⎪⎭⎫⎝⎛43125， C 、⎪⎭⎫⎝⎛4331，D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛1250，二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a ＝___________.14、参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=++=λλλλ1121y x （λ为参数），则它的普通方程为________________________．15、如果实数的最大值那么满足等式xyy x y x ,3)2(,22=+- ． 16、已知集合A ＝｛(x,y)｜13--x y ＝2,x 、y ∈R ｝，B ＝｛(x,y)｜4x+ay ＝16,x 、y ∈R ｝，若A ∩B ＝φ，则实数a 的值为 ．三、解答题：（本大题共4小题，共36分）17、等腰三角形ABC 的顶点)0,2(),0,1(的坐标为底边一端点B A -，求另一端点C 的轨迹方程.P的距离恰好为4，求直线l的方18、直线l在x轴与y轴上的截距相等，且到点()43，程.19、若过点()10，A 和B ()m B ，4并且与x 轴相切的圆有且只有一个，求实数m 的值和这个圆的方程。
高中试卷-专题10 直线和圆的方程(单元测试卷)(含答案)
专题10 《直线和圆的方程》单元测试卷一、单选题1．（2019·全国高二月考（文））直线：的倾斜角为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，所以.故选：D.2．（2019·浙江省高二期中）圆心为，且过原点的圆的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】根据题意.故选：.3．（2020·南京市江宁高级中学高一月考）如果直线(2a+5)x+(a －2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（ ）A ．2B ．－2C ．2,－2D ．2,0,－2【答案】C 【解析】(2a ＋5)(2－a )＋(a －2)(a ＋3)＝0，所以a ＝2或a ＝－2.4．（2019·山东省高一期中）圆与直线的位置关系( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．不能确定【答案】Cx y +-0=30°45°60°135°0x y +=1k =-0x y +=1(080)a a °£<°tan 1a =-135a =°()2,2()()22228x y -+-=()()22222x y -+-=()()22228x y +++=()()22222x y +++=r ==()()22228x y -+-=A 22(1)5x y +-=120mx y m -+-=直线即即直线过点,把点代入圆的方程有,所以点在圆的内部,过点的直线一定和圆相交.故选:C.5．（2019·山东省高一期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值( )A ．B ．5CD ．【答案】A【解析】设切线长为,则,故选:A.6．（2020·南京市江宁高级中学高一月考）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数A ．1B ．C ．或1D ．2或1【答案】D 【解析】由题意，当，即时，直线化为，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当，即时，直线化为，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，解得；综上所述，实数或．故选：D ．7．（2019·山东省高一期中）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为( )A ．B ．C ．D ．120mx y m -+-=()12y m x -=-()21，()21，405+<()21，()21，(,3)P m 22(2)(2)1x y +++=4+d 2222(2)51(2)24d m m =++-=++min d \=20ax y a +-+=(a =)1-2-2a 0-+=a 2=ax y 2a 0+-+=2x y 0+=2a 0-+¹a 2¹ax y 2a 0+-+=122x ya a a+=--2a2a a-=-a 1=a 2=a 1=(1,1)P 2240x y x +-=AB AB 20x y +-=0x y -=20x y -+=22(1)5x y +-=【解析】化为标准方程为.∵为圆的弦的中点,∴圆心与点确定的直线斜率为,∴弦所在直线的斜率为1，∴弦所在直线的方程为,即.故选:B.8．（2020·武威第六中学高三二模（文））过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ）AB ．1CD ．【答案】C 【解析】根据题意，设过点且倾斜角为的直线为 ,其方程为,即,变形可得，圆 的圆心为，半径 ,设直线与圆交于点,圆心到直线的距离,则，故选C.9．（2020·南京市江宁高级中学高一月考）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ）A ．B．2240x y x +-=()22-24x y +=()1,1P ()22-24x y +=AB P 01121k -==--AB AB 11y x -=-0x y -=()1,030o ()2221x y -+=()1,030o l ()tan 301y x =-o)1y x =-10x -=()2221x y -+=()2,01r =l AB 12d 2AB ==20kx y -+=()3,2M -()2,5N 32k £32k ³C ．D ．或【答案】C 【解析】因为直线恒过定点，又因为，，所以直线的斜率k 的范围为．故选：C ．10．（2020·四川省宜宾市第四中学校高二月考（理））已知圆，圆，、分别是圆、上动点，是轴上动点，则的最大值是( )A ．BC ．D【答案】D 【解析】如下图所示：4332k -££43k £-32k ³20kx y -+=()0,2A 43AM k =-32AN k =4332k -££()()221:231C x y -+-=()()222:349C x y -+-=M N 1C 2C P x PN PM -4+4+圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为，，由圆的几何性质可得，，，当且仅当、、三点共线时，取到最大值.故选：D.二、多选题11．（2019·辽宁省高二月考）在同一直角坐标系中，直线与圆的位置不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】直线经过圆的圆心，且斜率为.故选项满足题意.故选：.12．（2020·山东省高三期末）已知点是直线上一定点，点、是圆上1C ()12,3C 11r =2C ()23,4C 23r =12C C ==2223PN PC r PC £+=+1111PM PC r PC ³-=-2112444PN PM PC PC C C -£-+£+=1C P 2C PN PM -4+2y ax a =+222()x a y a ++=2y ax a =+222()x a y a ++=(),0a -a ,,A B D ABD A :0l x y +=P Q 221x y +=的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】如下图所示：原点到直线的距离为，则直线与圆相切，由图可知，当、均为圆的切线时，取得最大值，连接、，由于的最大值为，且，，则四边形为正方形，所以由两点间的距离公式得整理得，解得，因此，点的坐标为或.故选：AC.13．（2020·广东省高二期末）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（ ）A ．B ．C ．D ．PAQ Ð90o A (()1))1,1-l 1d ==l 221x y +=AP AQ 221x y +=PAQ ÐOP OQ PAQ Ð90o 90APO AQO Ð=Ð=o 1OP OQ ==APOQ OA =OA ==220t -=0t =A ()ABC D ()4,0-A ()0,4B 20x y -+=C ()2,0()0,2()2,0-()0,2-【答案】AD 【解析】设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为与直线的交点为，，①由，，重心为，代入欧拉线方程，得，②由 ①②可得或 .故选:AD 三、填空题14．（2019·浙江省高二期中）直线过定点______；若与直线平行，则______.【答案】 【解析】(1),故.即定点为(2) 若与直线平行,则,故或.当时与直线重合不满足.故.故答案为：(1) ; (2)15．（2018·江苏省高二月考）已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆C 的方程是________．【答案】(x －4)2＋(y ＋3)2＝36.(,),C x y AB y x =-ABC D 20x y -+=y x =-(1,1)M-22||||(1)(1)10MC MA x y \==\++-=()4,0A -()0,4B ABC D 44(,33x y -+20x y -+=20x y --=2,0x y ==0,2x y ==-()1:20l m x y m +--=()m R Î1l 2:310l x my --=m =()1,23-()1:20(1)20l m x y m m x x y +--=Þ-+-=101202x x x y y -==ììÞíí-==îî()1,21l 2:310l x my --=()()()()()2310130m m m m +---=Þ-+=1m =3m =-1m =1l 2l 3m =-()1,23-()4,3C -22:1O x y +=【解析】，设所求圆的半径为，由两圆内切的充分必要条件可得：，据此可得：，圆C 的方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝36.16．（2020·河南省高三二模（文））圆关于直线的对称圆的标准方程为__________．【答案】【解析】，圆心为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，对称圆的标准方程为.故答案为：.17．（2020·四川省高三二模（文））已知、为正实数，直线截圆所得的弦长为，则的最大值为__________．【答案】【解析】因为直线截圆所得的弦长为,且圆的半径为2.故圆心到直线的距离.,因为、为正实数,故,所以.当且仅当时取等号.5=()0r r >15r -=6r =22230x y y ++-=10x y +-=22(2)(1)4x y -+-=Q 2222230(41)x y y x y ++-=Þ+=+\(0,1)-210x y +-=(,)x y \1(1)1,2,1.110,22y x xy x y +ì´-=-ï=ìïÞíí=-îï+-=ïî\22(2)(1)4x y -+-=22(2)(1)4x y -+-=a b 10x y ++=()()224x a y b -+-=ab 1410x y ++=(224x (),a b d ==a b 1a b +=2124a b ab +æö£=ç÷èø12a b ==故答案为：四、解答题18．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）求圆上与直线的距离最小的点的坐标.【答案】【解析】过圆心且与直线垂直的直线方程为，联立圆方程得交点坐标为，，又因为与直线的距离最小，所以.19．（2019·全国高二月考（文））已知直线过点.（1）若原点到直线的距离为，求直线的方程；（2）当原点到直线的距离最大时，求直线的方程.【答案】（1）或；（2）【解析】（1）①当直线的斜率不存在时，方程符合题意；14224x y +=43120x y +-=86,55P æöç÷èø43120x y +-=340x y -=224340x y x y ì+=í-=î86,55æöç÷èø86,55æö--ç÷èø43120x y +-=86,55P æöç÷èøl (2,1)P -O l 2l O l l 20x -=34100x y --=250.x y --=l 2x =②当直线的斜率存在时，设斜率为，则方程为，即，解得，则直线的方程为故直线的方程为或（2）当原点到直线的距离最大时，直线因为，所以直线的斜率所以其方程为，即20．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.（1）求点坐标；（2）求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）边上的高为，故的斜率为， 所以的方程为，即，因为的方程为解得所以.l k ()12y k x +=-210.kx y k ---=234k =l 34100.x y --=l 20x -=34100.x y --=O l .l OP ^011022OP k +==--l 2,k =()122y x +=-250.x y --=ABC D (1,2)A -AC BE 74460x y +-=AB CM 211540x y -+=C BC ()66C ，2180x y +-=AC 74460x y +-=AC 47AC ()4217y x -=+47180x y -+=CM 211540x y -+=21154047180x y x y -+=ìí-+=î，，66x y =ìí=î()66C ，（2）设，为中点，则的坐标为， 解得， 所以， 又因为，所以的方程为即的方程为.21．（2019·浙江省高二期中）如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为（1）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标；（2）若两条切线于轴分别交于两点，求面积的最小值．【答案】（1）见解析，（2【解析】（1）设，则以 为直径的圆的方程： ，与圆，两式相减得：，()00,B x y M AB M 0012,22x y -+æöç÷èø0000122115402274460x y x y -+ì-+=ïíï+-=î0028x y =ìí=î()2,8B ()6,6C BC ()866626y x --=--BC 2180x y +-=22:(2)1C x y -+=P :4l x =P C ,A BAB Q ,PA PB y ,M N QMN V 5,02Q æöç÷èø(4,)P t CP ()22232t x y æö-+-=ç÷èø22:(2)1C x y -+=:2(2)1AB l x ty -+=所以直线恒过定点.（2）设直线与的斜率分别为，与圆，即．所以，，22．（2020·江西省新余一中高一月考）已知点，，直线：，设圆的半径为，圆心在直线上．（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围．【答案】（1）或.（2）【解析】(1)由得：，所以圆C：..当切线的斜率存在时,设切线方程为，由，解得：当切线的斜率不存在时，即也满足所以切线方程为：或.5,02Qæöç÷èøAP BP12,k k(4)y t k x-=-C1=223410k tk t-+-=2121241,33-+=×=t tk k k k14My t k=-24Ny t k=-12||44=-==³MN k k()min1522MNQSD==(4,4)A(0,3)B l1y x=-C1C lC37y x=-A CC M2MB MO=O C a4x=3440x y-+=a££a££137y xy x=-ìí=-î()3,2C22(3)(2)1x y-+-=4(4)y k x-=-1d==34k=4x=4x=3440x y-+=(2)由圆心在直线l ：上，设设点，由化简得：，所以点M在以为圆心，2为半径的圆上. 又点M 在圆C 上，所以圆C 与圆D 有交点，则即，解得：23.（2019·山东省高一期中）已知点，点在圆上运动.（1）求过点且被圆截得的弦长为的直线方程；（2）求的最值.【答案】(1)或;(2)最大值为88,最小值为72.【解析】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点且被圆截得的弦长为,,设直线方程为,即,解得或所以直线方程为或.(2)设点坐标为则.因为,所以,即的最大值为88,最小值为72.C 1y x =-(,1)C a a -(,)M x y ||2||MB MO ==22(1)4x y ++=(0,1)D -1||3CD ££13££a ££a ££(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----P 22:4E x y +=C E 222||||||PA PB PC ++7100x y ++=20x y +-=C E 2(4)y k x +=-420kx y k ---==17k =-1k =-7100x y ++=20x y +-=P (),x y 224x y +=222222222||||||(2)(2)(2)(6)(4)(2)PA PB PC x y x y x y ++=++++++-+-++()223468804x y y y=+-+=-22y -≤≤7280488y £-£222||||||PA PB PC ++。
高中数学第2章直线和圆的方程2.2.2直线的两点式方程训练
2.2.2直线的两点式方程课后·训练提升基础巩固1.经过两点(5,0),(2,-5)的直线方程为()A.5x+3y-25=0B.5x-3y-25=0C.3x-5y-25=0D.5x-3y+25=0答案:B解析:经过(5,0),(2,-5)两点的直线方程为y-0-5-0=x-52-5,整理得5x-3y-25=0.故选B.2.已知直线的方程为xa2−yb2=1,则该直线在y轴上的截距是()A.|b|B.-b2C.b2D.±b答案:B解析:令x=0,得y=-b2,即直线在y轴上的截距是-b2.3.(多选题)下列说法正确的是()A.不经过原点的直线都可以表示为xa +yb=1B.若直线l与两坐标轴的交点分别为A,B,线段AB的中点为(4,1),则直线l的方程为x8+y2=1C.过点(1,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为y=x或x+y=2D.直线3x-2y=4的截距式方程为x43+y-2=1答案:BCD解析:对于A,与坐标轴垂直的直线不能用截距式表示,故A错误;对于B,由题意可知,线段AB的中点为(4,1),所以点A(8,0),B(0,2),则直线l的方程为x8+y2=1,故B正确;对于C,直线过原点时,直线方程为y=x,不过原点时,直线方程为x+y=2,故C正确;对于D,方程3x-2y=4可化为x43+y-2=1,故D正确.故选BCD.4.若直线l过点(-1,-1)和(2,5),且点(1 010,b)在直线l上,则b的值为()A.2 010B.2 020C.2 021D.2 019答案:C解析:由题意得,直线l的两点式方程为y-(-1)5-(-1)=x-(-1)2-(-1),即y=2x+1,将点(1010,b)代入方程,得b=2×1010+1=2021.5.已知直线l过点P(1,-2),且在x轴和y轴上的截距互为相反数,则直线l的方程为()A.x-y-3=0B.x+y+1=0或2x+y=0C.x-y-3=0或2x+y=0D.x+y+1=0或x-y-3=0或2x+y=0答案:C解析:当直线l过原点及P(1,-2)时,直线l的方程为2x+y=0;当直线不过原点时,可设直线l的方程为xa +y-a=1(a≠0),将点P(1,-2)代入,得a=3,此时直线l的方程为x-y-3=0.综上,直线l的方程为2x+y=0或x-y-3=0.6.直线l1:xa −yb=1和直线l2:xb−ya=1在同一平面直角坐标系中的位置可以是()答案:A解析:将两条直线的方程化为截距式分别为xa +y-b =1,xb +y-a =1.根据l 1的位置判断a ,b 的正负,再确定l 2的位置,知A 符合.7.已知直线l 过点P (-1,2),分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,若P 为线段AB 的中点,则直线l 的方程为 .答案:2x-y+4=0解析:设A (x ,0),B (0,y ).由P (-1,2)为AB 的中点,得{x+02=-1,0+y2=2,解得{x =-2,y =4.由截距式得直线l 的方程为x-2+y4=1, 即2x-y+4=0.8.过点(1,3),且在x 轴上的截距为2的直线方程是 . 答案:3x+y-6=0解析:由题意知直线过点(2,0),又直线过点(1,3),由两点式,可得y -03-0=x -21-2,整理得3x+y-6=0.9.过点(0,3),且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是 . 答案:x2+y3=1解析:由题意可设直线方程为xa+y b=1,则{b =3,a +b =5,解得a=2,b=3,则直线方程为x 2+y3=1.10.求经过点A (-2,3),B (4,-1)的直线的两点式方程,并把它化成点斜式、斜截式和截距式. 解:过A ,B 两点的直线的两点式方程是y -3-1-3=x -(-2)4-(-2).因为k AB =-1-34-(-2)=-23,所以点斜式方程为y-(-1)=-23(x-4)或y-3=-23[x-(-2)]. 因为当x=0时,y=53,所以斜截式方程为y=-23x+53. 又当y=0时,x=52,所以截距式方程为x 52+y53=1.11.已知直线l 经过点P (4,1),(1)若直线l 经过点Q (-1,6),求直线l 的两点式方程;(2)若直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍,求直线l 的方程.解:(1)已知直线l 经过点P (4,1),Q (-1,6),由两点式,得直线l 的方程为y -16-1=x -4-1-4. (2)由题意知,直线l 的斜率存在且不为0,所以设直线l 的斜率为k , 则其方程为y-1=k (x-4).令x=0,得y=1-4k ;令y=0,得x=4-1k . 由题意得1-4k=2(4-1k ),解得k=14或k=-2.因此,直线l 的方程为y-1=14(x-4)或y-1=-2(x-4),即x-4y=0或2x+y-9=0.能力提升1.已知△ABC 的两个顶点A (-3,0),B (2,1),△ABC 的重心G (-1,1),则AB 边中线所在的直线方程为( ) A.x+y=0 B.x-y=0 C.x+2y=0 D.x-2y=0答案:A解析:设点C的坐标为(x 0,y 0),则由重心的坐标公式得{-3+2+x 03=-1,0+1+y3=1,解得{x 0=-2,y 0=2,所以点C的坐标为(-2,2).设AB 的中点为点D ,则可得点D 的坐标为-12,12,所以AB 边中线CD 所在的直线方程为y -212-2=x -(-2)-12-(-2),即x+y=0.2.若经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正数,且截距之和最小,则直线的方程为( ) A.x+2y-6=0 B.2x+y-6=0 C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0答案:B解析:设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ,b ,其中a>0,b>0,则该直线的截距式方程为xa+y b=1,由该直线经过点P (1,4),得1a +4b =1,则截距之和a+b=(a+b )(1a +4b )=5+ba +4a b≥5+2√ba ·4ab=9,当且仅当b a =4a b,且1a+4b=1,即a=3,b=6时取等号,此时直线方程为x 3+y6=1,即2x+y-6=0.故选B .3.(多选题)已知直线l 过点(1,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可以是( ) A .2x-y=0 B .x+y=3 C .x-2y=0 D .x-y+1=0答案:ABD解析:由题意设所求直线的横截距为a ,当a=0时,由题意可设直线的方程为y=kx ,将点(1,2)代入,可得k=2,所以直线的方程为2x-y=0;当a ≠0时,由截距式方程可设直线的方程为xa +ya=1(截距相等)或x a +y-a =1(截距相反),将点(1,2)代入,可得a=3或a=-1,所以直线的方程为x+y=3或x-y+1=0.故选ABD .4.若直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1,且过定点A (6,-2),则直线l 的方程为 .答案:x 3+y 2=1或x2+y=1解析:设直线l 在y 轴上的截距为a (a ≠0,a ≠-1),则l 在x 轴上的截距为a+1,则l 的方程为xa+1+ya =1,将点A 的坐标(6,-2)代入方程,得6a+1−2a =1,即a 2-3a+2=0,解得a=2或a=1,故直线l 的方程为x 3+y 2=1或x2+y=1.5.直线l 过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l 的方程. 解:设直线l 的方程为xa +yb =1(a ≠0,b ≠0), 则a+b=12.①又直线l 过点(-3,4),即-3a +4b =1.②由①②解得{a =9,b =3或{a =-4,b =16.故所求的直线方程为x 9+y 3=1或x -4+y16=1, 即x+3y-9=0或4x-y+16=0.6.在△ABC 中,已知A (5,-2),B (7,3),且AC 边的中点M 在y 轴上,BC 边的中点N 在x 轴上,求: (1)顶点C 的坐标; (2)直线MN 的方程.解:(1)设C (x 0,y 0),则AC 边的中点为M (x 0+52,y 0-22),BC 边的中点为N (x 0+72,y 0+32).因为点M 在y 轴上,所以x 0+52=0,解得x 0=-5.又点N 在x 轴上,所以y 0+32=0,解得y 0=-3.所以顶点C 的坐标为(-5,-3). (2)由(1)可得M (0,-52),N (1,0),故直线MN 的方程为x 1+y-52=1,即5x-2y-5=0.。
2023-2024学年高二数学单元速记——直线与圆的方程(压轴题专练)(解析版)
第二章直线与圆的方程（压轴题专练）一、选择题1．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法错误的是（）A ．A 点的坐标为()2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为5【答案】D【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解.【详解】因为1:20l x my m -+-=可以转化为(1)20m y x -+-=，故直线恒过定点A ()2,1，故A 选项正确；又因为2l ：240mx y m ++-=即()42y m x -=-+恒过定点B ()2,4-，由1:20l x my m -+-=和2:420l mx y m +-+=,满足()110m m ⨯+-⨯=，所以12l l ⊥,可得PA PB ⊥,故B 选项正确；所以()()22222221425PA PB AB +==++-=,故C 选项正确;因为PA PB ⊥,设,PAB ∠θθ=为锐角,则5cos ,5sin PA PB θθ==,所以()()252cos sin 5PA PB θθθϕ+=+=+,所以当()sin 1θϕ+=时,2PA PB +取最大值,故选项D 错误.故选：D.2．设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（）A ．B ．C ．3D ．6【答案】D【分析】根据动直线方程求出定点,A B 的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得22||||18PA PB +=，最后由基本不等式222||||||||22PA PB PA PB ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭即可求解.【详解】解：由题意，动直线10x my ++=过定点(1,0)A -，直线230mx y m --+=可化为(2)30x m y -+-=，令2030x y -=⎧⎨-=⎩，可得()2,3B ，又1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以两动直线互相垂直，且交点为P ，所以()()22222||||||120318PA PB AB +==--+-=，因为222||||||||22PA PB PA PB ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以6P A PB +≤，当且仅当||||3PA PB ==时取等号.故选：D.3．在平面直角坐标系内，设()11,M x y ，()22,N x y 为不同的两点，直线l 的方程为0ax by c ++=，1122ax by c ax by c δ++=++，下面四个命题中的假命题为（）A ．存在唯一的实数δ，使点N 在直线l 上B ．若1δ=，则过M ，N 两点的直线与直线l 平行C ．若1δ=-，则直线经过线段M ，N 的中点；D ．若1δ>，则点M ，N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段M ，N 的延长线相交；【答案】A【分析】根据题意对δ一一分析，逐一验证．【详解】解：对于A ，1122ax by c ax by cδ++=++化为：112222()0(0)ax by c ax by c ax by c δ++-++=++≠，即点2(N x ，2)y 不在直线l 上，因此A 不正确．对于B ，1δ=，则1212()()0a x x b y y -+-=，即过M ，N 两点的直线与直线l 的斜率相等，又点2(N x ，2)y 不在直线l 上，因此两条直线平行，故B 正确；对于C ，1δ=-，则1122()0ax by c ax by c +++++=，化为1212022x x y y a b c ++++=，因此直线l 经过线段MN 的中点，故C 正确；对于D ，1δ>，则2112222()()()0ax by c ax by c ax by c δ++⨯++=++>，则点M ，N 在直线l 的同侧，故D 正确；故选A【点睛】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．4．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事转化为点(),x y 与点(),a b 之间的距离的几何问题.已知点()11,M x y 在直线1:2l y x =+，点()22,N x y 在直线2:l y x =上，且1MN l ⊥）A ．2B ．2C D ．5【答案】D【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点()11,M x y 到点()0,4A 的距离与点()22,N x y 到点()5,0B 的距离和，过点A 作1AC l ⊥，垂足为C ，证明AM CN =，由CN NB CB +≥求目标函数最小值.表示点()11,M x y 到点()0,4A 的距离，表示点()22,N x y 到点()5,0B 的距离，MA NB +=+，过点A 作1AC l ⊥，垂足为C ，因为直线1l 的方程为20x y -+=，()0,4A ，所以AC ==又直线1:2l y x =+与直线2:l y x =平行，1MN l ⊥，所以MN =所以//,MN AC MN AC =，所以四边形AMNC 为平行四边形，所以AM CN =，CN NB +=+，又CN NB CB +≥，当且仅当,,C N B 三点共线时等号成立，所以当点N 为线段CB 与直线2l 的交点时，CB ，因为过点()0,4A 与直线1l 垂直的直线的方程为4y x =-+，联立42y x y x =-+⎧⎨=+⎩，可得13x y =⎧⎨=⎩，所以点C 的坐标为()1,3，所以CB =，5，故选：D.将问题转化为两点之间的距离问题.5．已知圆C 是以点(2,M 和点(6,N -为直径的圆，点P 为圆C 上的动点，若点()2,0A ，点()1,1B ，则2PA PB -的最大值为（）A B ．4C ．8+D【答案】A【分析】由题设可知圆C ：22(4)16x y -+=，在坐标系中找到(4,0)D -，应用三角线相似将2PA 转化到||PD ，再利用三角形的三边关系确定目标式的最大值即可.【详解】由题设，知：(4,0)C 且||8MN ==，即圆C 的半径为4，∴圆C ：22(4)16x y -+=，如上图，坐标系中(4,0)D -则24OD AC CP OC ====，∴12AC PC CP DC ==，即△APC △PCD ，故12PA PD =，∴2||||PA PB PD PB -=-，在△PBD 中||||||PD PB BD -<，∴要使||||PD PB -最大，,,P B D 共线且最大值为||BD 的长度.∴||BD ==故选：A【点睛】关键点点睛：首先求出圆C 方程，找到定点D 使AC PC CP DC =，进而将2PA 转化到其它线段，结合三角形三边关系求目标式的最值.6．过点()8,4A -作抛物线28y x =的两条切线1l ，2l ，设1l ，2l 与y 轴分别交于点B ，C ，则ABC ∆的外接圆方程为（）A ．2264160x y x y ++--=B ．226160x y x ++-=C ．2256120x y x y ++--=D ．224160x y y +--=【答案】A【解析】设切线方程为l ：()84x t y +=-，与抛物线联立，表示线段AB 的中垂线方程，可求解圆心坐标和半径，表示圆的方程即可.【详解】设过点()8,4A -的抛物线2:8E y x =的切线方程为l ：()84x t y +=-，即84x ty t =--（*），代入28y x =得288(48)0y ty t -++=，由0∆=得2240t t --=，（1）所以方程（1）有两个不相等的实数根1t ，2t ，且122t t +=，124t t =-，在（*）中令0x =得180,4B t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，280,4C t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，设ABC ∆的外接圆圆心为点()100,O x y ，则()0122B C y y y =+=，下求0x ：线段AB 中点横标04x '=-，纵标0144y t '=+，线段AB 的中垂线方程为1144(4)y t x t --=-+，令2y =得211021424t t x t -++=，由（1）知21124t t +=，故03x =-，设ABC ∆的外接圆半径为R ，则229R =，所以ABC ∆的外接圆方程为22(3)(2)29x y ++-=，即2264160x y x y ++--=.故选：A【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，圆的方程，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.7．已知平面内两个定点A ，B 及动点P ，若PBPA λ=（0λ>且1λ≠），则点P 的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O，0,2Q ⎛ ⎝⎭，直线1:230l kx y k -++=，直线2:320l x ky k +++=，若P 为1l ，2l 的交点，则32PO PQ +的最小值为（）A ．B．6-C．9-D．3【答案】A【分析】由直线方程可得12l l ⊥，则点P 的轨迹是以CD 为直径的圆，除去D 点，得到P 的轨迹方程为()()22293x y y ++=≠-，即()22453x y x y ++=≠-，可得)332PQ y =+≠-，取5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则32PQ PA =，结合AQ =()3222PO PQ PA PQ AQ +=+≥，进而求解.【详解】由已知1:230l kx y k -++=过定点()2,3C -，2:320l x ky k +++=过定点()2,3D --，因为1l k k =，21l k k=-，所以121l l k k ⋅=-，即12l l ⊥，所以点P 的轨迹是以CD 为直径的圆，除去D 点，故圆心为()2,0-，半径为3，则P 的轨迹方程为()()22293x y y ++=≠-，即()22453x y x y ++=≠-，易知O 、Q 在该圆内，又32PO =即)332PO y ==≠-，取5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则32PO PA =，又2AQ =，所以()3322222PO PQ PO PQ PA PQ AQ ⎛⎫+=+=+≥= ⎪⎝⎭所以32PO PQ +的最小值为故选：A.8．已知点P 为直线l ：20x y +-=上的动点，过点P 作圆C ：2220x x y ++=的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）A ．3310x y ++=B ．3310x y +-=C ．2210x y ++=D ．2210x y +-=【答案】A【分析】先利用圆切线的性质推得,,,A P B C 四点共圆，AB CP ⊥，从而将PC AB ⋅转化为2PA ，进而确定PC l ⊥时PC AB ⋅取得最小值，再求得以PC 为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解.【详解】因为圆C ：2220x x y ++=可化为()2211x y ++=，所以圆心()1,0C -，半径为1r =，因为PA ，PB 是圆C 的两条切线，则,PA AC PB BC ⊥⊥，由圆的知识可知，,,,A P B C 四点共圆，且AB CP ⊥，PA PB =，所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⨯= ，又PA =所以当PC 最小，即PC l ⊥时，PC AB ⋅取得最小值，此时PC 的方程为1y x =+，联立120y x x y =+⎧⎨+-=⎩，解得13,22x y ==，即13,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故以PC 为直径的圆的方程为13(1)022x x y y ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，221031222x x y y +-+=-，又圆22:20C x x y ++=，两圆的方程相减即为直线AB 的方程：3310x y ++=.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将PC AB ⋅转化为2PA ，从而确定PC AB ⋅最小时P 的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解.9．（多选）已知O 为坐标原点，()3,1A ，P 为x 轴上一动点，Q 为直线l ：y x =上一动点，则（）A ．APQ △周长的最小值为B ．AP AQ +的最小值为1C ．AP PQ +的最小值为D OP +的最小值为4【答案】BCD【分析】设A 关于直线l ：y x =的对称点为()11,3A ，A 关于x 轴的对称点为()23,1A -，对于A ：根据对称性可得1212PQ QA PA PQ QA PA A A ++=++≥，进而可得结果；对于B ：根据点到直线的距离分析判断；对于C ：因为2AP PQ A P PQ +=+，结合点到直线的距离分析判断；对于D ：根据题意分析可得)2OP A P CP+=+，结合点到直线的距离分析判断.【详解】设()3,1A关于直线l：y x=的对称点为()11,3A，()3,1A关于x轴的对称点为()23,1A-，可知12,QA QA PA PA==，对于选项A：可得APQ△周长1212PQ QA PA PQ QA PA A A++=++≥=当且仅当12,,,A P Q A四点共线时，等号成立，所以APQ△周长的最小值为A错误；对于选项B：设()3,1A到x轴，直线l：0x y-=的距离分别为12,d d，则121,d d==，可得121AP AQ d d+≥+=，所以AP AQ+的最小值为1B正确；对于选项C：因为2AP PQ A P PQ+=+，设()23,1A-到直线l：0x y-=的距离为3d=可得23A P PQ d +≥=所以AP PQ +的最小值为C 正确；对于选项D ：作PC l ⊥，垂足为C ，因为直线l 的斜率1k =，则45COP ∠=︒，可得CP =，则23AP CP A P CP d +=+≥=，)2234OP A P OP A P CP d ⎫++=⎪⎪⎭，OP +的最小值为4，故D 正确；故选：BCD.二、填空题10．设R m ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值．【答案】9【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可；【详解】由题意，动直线10x my ++=过定点(1,0)A -，直线230mx y m --+=可化为(2)30x m y -+-=，令2030x y -=⎧⎨-=⎩，可得()2,3B ，又1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以两动直线互相垂直，且交点为P ，所以22222||||||(12)(03)18PA PB AB +==--+-=，因为2218||2PA PB PA PB =+≥⋅，所以9PA PB ⋅≤，当且仅当||||3PA PB ==时取等号．【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点.11．若恰有三组不全为0的实数对(a ,)b满足关系式|1||431|a b a b t ++=-+=t 的所有可能的值为．【答案】52或75t ==，然后对t 进行分类讨论即可求解.【详解】由已知得0t >t ==，看成有且仅有三条直线满足(1,1)A 和(4,3)B -到直线:10l ax by ++=(不过原点)的距离t 相等，又5AB ==，（1）当||522AB t ==，此时易得符合题意的直线l 为线段AB 的垂直平分线68230x y --=以及与直线AB 平行的两条直线86110x y ++=和86390x y +-=；（2）当||522AB t <=时，有4条直线l 会使得点(1,1)A 和(4,3)B -到它们的距离相等，注意到l 不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去．设点A 到l 的距离为d ，①作为增根被舍去的直线l ，过原点和A ，B 的中点5(,1)2M -，其方程为250x y +=，此时52t d ==，符合；②作为增根被舍去的直线l ，过原点且与AB 平行，其方程为430x y +=，此时7552t d ==<，符合；综上，满足题意的实数t 为52或75故答案为：52或75t ==，将问题转化为有且仅有三条直线满足(1,1)A 和(4,3)B -到直线:10l ax by ++=(不过原点)的距离t 相等，然后分类讨论即得.12．已知P ､Q 分别在直线1:10l x y -+=与直线2:10l x y --=上，且1PQ l ⊥，点()4,4A -，()4,0B ，则AP PQ QB ++的最小值为.【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到AP QB +最小值即为所求.【详解】由直线1l 与2l PQ =()4,0B 作直线l 垂直于1:10l x y -+=，如图，则直线l 的方程为：4y x =-+，将()4,0B 沿着直线l B '点，有()3,1B '，连接AB '交直线1l 于点P ，过P 作2⊥PQ l 于Q ，连接BQ ，有//,||||BB PQ BB PQ ''=，即四边形BB PQ '为平行四边形，则||||PB BQ '=，即有||AP QB AP PB AB ''+=+=，显然AB '是直线1l 上的点与点,A B '距离和的最小值，因此AP QB +的最小值，即AP PB '+的最小值AB '，而AB '==，所以AP PQ QB ++的最小值为AB PQ '+【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程.（2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径.（3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗.13．在平面直角坐标互中，给定()()1,2,3,4M N 两点，点P 在x 轴的正半轴上移动，当MPN ∠最大值时，点P 的横坐标为【答案】3【分析】根据条件结合圆的性质，转化为求圆的半径最小，利用数形结合，即可求解.【详解】过点,,M N P 三点的圆的圆心在线段MN 的中垂线5y x =-上，其中MPN ∠为弦MN 所对的圆周角，所以当圆的半径最小时，MPN ∠最大，设圆心坐标为(,5)E a a -，又由点P 在x 轴上移动，当圆和x 轴相切时，MPN ∠取得最大值，设切点为(,0)P a ，圆的半径为5a -，所以圆的方程为222()(5)(5)x a y a a -++-=-，代入点(1,2)M 代入圆的方程，可得222(1)(25)(5)a a a -++-=-，整理得2250a a +-=，解得3a =或5a =-（舍去），所以点P 的横坐标的为3.故答案为：3.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()221:2C x a y a -+-+=，点(0,2)A ，若圆C 上的点M 均满足2210MA MO +>，则实数a 的取值范围是．【答案】a<0或3a >【分析】将条件2210MA MO +>坐标化，先转化为22(1)4x y +->恒成立，即圆C 上所有动点到定点(0,1)B 距离的最小值大于2，再转化为(0,1)B 与圆心C 距离的不等关系求解可得.【详解】设(,)M x y ，由点(0,2)A ，2210MA MO +> 222222(2)2(22)10x y x y x y y ∴+-++=+-+>即点M 满足22(1)4x y +->2，设点(0,1)B ，即2MB >恒成立则min 2MB >，圆上所有点到定点(0,1)B 最小值大于2，又圆(,2)C a a -，半径为1，圆上所有点到定点(0,1)B 最小值即为：1BC -.12BC ∴->.即3BC =，化简得230a a ->，解得a<0或3a >.故答案为：a<0或3a >.15．已知P 为直线60x y ++=上一动点，过点P 作圆22:66140C x y x y +--+=的切线，切点分别为A ，B ，则当四边形PACB 面积最小时，直线AB 的方程为．【答案】6=0x y +【分析】求得四边形PACB 面积最小时P 点的坐标，再根据圆与圆的位置关系求得直线AB 的方程.【详解】圆22:66140C x y x y +--+=，即()()22233=2x y -+-，所以圆心为()3,3C ，半径2r =，1=2=22PACB S PA r PA ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭所以当CP 最小，也即CP 垂直60x y ++=时，四边形PACB 面积最小，直线60x y ++=的斜率为1-，则此时直线CP 的斜率为1，则直线CP 的方程为y x =，由60y xx y =⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得3x y ==-即(3P --，对应PC ，=PA PB以P 为圆心，半径为((2233=12x y -++-+，即()()226622x y x y ++++-，由()()2222661406622x y x yx y x y ⎧+--+=⎪⎨++++-⎪⎩，两式相减并化简得26=0x y ++-，也即直线AB 的方程为26=0x y ++-.故答案为：26=0x y ++-【点睛】研究直线和圆的位置关系问题，主要思路是数形结合的数学思想方法，直线和圆有关的相切问题，连接圆心和切点的直线，与切线相互垂直.与四边形面积的最值有关问题，可先求得面积的表达式，再根据表达式来求最值.16．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为；(2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，则△OMN 的面积取最小值时，直线l 对应的方程为.【答案】x －y ＝0或x ＋y －2＝0x ＋y －2＝0【详解】(1)①当直线l 经过坐标原点时，可得a ＋2＝0，解得a ＝－2．所以直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；②当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由条件得221a a a +=++，解得a ＝0，所以直线l 的方程为x ＋y －2＝0．综上可得直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．(2)在(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0（a >－1）中，令0x =，得2y a =+；令0y =，得21a x a +=+．所以2(,0),(0,2)1a M N a a +++．由于1a >-，得210a a +>+>．所以22121(2)1(1)2(1)1(2)212121OMNa a a a S a a a a ∆++++++=⋅⋅+=⋅=⋅+++111[(1)2][22]2212a a =+++≥=+．当且仅当111a a +=+，即a ＝0时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0．答案：(1)x －y ＝0或x ＋y －2＝0(2)x ＋y －2＝0【点睛】用基本不等式求最值时，首先要判断是否满足了使用基本不等式的条件，若满足则可直接利用基本不等式求出最值；若不满足，则需要对代数式进行适当的变形，此时要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等变形的技巧，通过变形使得代数式满足基本不等式中“正”、“定”、“等”的条件．三、解答题17．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：012345,,,,,a a a a a a ，其中00a =．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记()015011,,5n n n n T a a a x y a a a T=+++==+++ ，作函数()y f x =，使其图像为逐点依次连接点(),(0,1,2,,5)n n n P x y n = 的折线．(1)求(0)f 和(1)f 的值；(2)设1n n P P -的斜率为(1,2,3,4,5)n k n =，判断12345,,,,k k k k k 的大小关系；(3)证明：当(0,1)x ∈时，()f x x <；(4)求由函数y x =与()y f x =的图像所围成图形的面积．（用12345,,,,a a a a a 表示）【答案】(1)(0)0f =，(1)1f =(2)12345k k k k k <<<<(3)见解析(4)124512345225()a a a a a a a a a --++++++【分析】（1）运用代入法进行求解即可；（2）根据斜率公式，结合已知进行判断即可；（3）要证明()f x x <，(0,1)x ∈，只需要证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=，根据已知定义，结合放缩法进行证明即可.（4）设1S 为[]0,1上折线()f x 与x 轴及直线1x =所围成图形的面积，求出1S ，再由112S S =-求解即可.【详解】（1）0015(0)0a f a a a ==+++ ，015015(1)1a a a f a a a +++==+++ ；（2）[]01011111()()5155n n n n n n n n a a a a a a y y T k a n n x x T ---+++-+++-===--- (1,2,,5)n = ，因为12345a a a a a <<<<，所以12345k k k k k <<<<；（3）由于()f x 的图像是连接各点(),(0,1,2,,5)n n n P x y n = 的折线要证明()f x x <，(0,1)x ∈，只需要证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=事实上，当1(,)n n x x x -∈时，1111()()()()()n n n n n n f x f x f x x x f x x x -----=-+-11111111()()n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x f x f x x x xx x x x x x x x ------------=+<+=----下面证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=对任何n (1,2,3,4)n =，15()n a a ++ 1[(5)]()n n n a a =+-++ 11()(5)()n n n a a n a a =+++-++ 1()(5)n n n a a n na ≤+++- []1()(5)n n n a a n a =+++-< 115()n n n a a a a nT++++++= 所以1()5n n n a a nf x x T ++=<= ，综上，(),(1,2,3,4)n n f x x n <=（4）设1S 为[]0,1上折线()f x 与x 轴及直线1x =所围成图形的面积则1011012212332111()()()()()()222S y y x x y y x x y y x x =+-++-++-3443455411()()()()22y y x x y y x x ++-++-123451(2222)10y y y y y =++++[]112123123411()()()510a a a a a a a a a a T =++++++++++123411(432)105a a a a T=++++直线y x =与()y f x =的图像所围成图形的面积为1245112345221.25()a a a a S S a a a a a --++=-=++++【点睛】关键点睛：在证明()f x x <，(0,1)x ∈时，关键在于将其转化为证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=，结合题设定义进行证明.18．已知曲线():,0T F x y =，对坐标平面上任意一点(),P x y ,定义[](),=F P F x y ,若两点P ,Q ，满足[][]0F P F Q ⋅>，称点P ,Q 在曲线T 同侧；[][]0F P F Q ⋅<，称点P ,Q 在曲线T 两侧.(1)直线l 过原点，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，其中()1,1A -，()2,3B ,求直线l 的倾斜角的取值范围；(2)已知曲线()(,3450F x y x y =+-=，O 为坐标原点，求点集[][]{}0S P F P F O =⋅>的面积；(3)记到点()0,1与到x 轴距离和为5的点的轨迹为曲线C ，曲线()22:,0=+--=T F x y x y y a ，若曲线C 上总存在两点M ,N 在曲线T 两侧,求曲线C 的方程与实数a 的取值范围.【答案】(1)33[0,arctan (,)24ππ ；(2)83S π=（3）()()222480:24120y x x C y x x ⎧=-≥⎪⎨=+<⎪⎩，52⎡⎢⎣⎦.【分析】（1）由题意设出直线方程为y kx =，通过新定义，得到[][](1)(23)0⋅=--->F A F B k k ，求出斜率范围，进而可求出倾斜角范围；（2）先由题意得到点集S 为圆224x y +=在直线3450x y +-=下方内部，设直线与圆的交点为A B 、，求出23AOB π∠=，进而可求出结果；（3）先设曲线C 上的动点为(,)x y5=y ，化简整理，即可得出轨迹方程；再由新定义，将[][]0⋅<F M F N 化为(6)(24)0--<a a ，进而可得出结果.【详解】（1）由题意，显然直线l 斜率存在，设方程为y kx =，则(),0=-=F x y kx y ，因为()1,1A -，()2,3B ，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，则[][](1)(23)0⋅=--->F A F B k k ，解得312-<<k ；故倾斜角的范围是33[0,arctan (,)24ππ ；（2）因为[]0<F O ，所以[](345)0=+-F P x y ，故2234504x y x y +-<⎧⎨+<⎩，点集S 为圆224x y +=在直线3450x y +-=下方内部，设直线与圆的交点为A B 、，则O 到AB 的距离为1，故23AOB π∠=，因此，所求面积为：2214182223223ππ=⋅⋅+⋅=S（3）设曲线C 上的动点为(,)x y 5=y ，化简得曲线C 的方程为：228(3),0312(2),20x y y x y y ⎧=-≤≤⎨=+-≤≤⎩，其轨迹为两段抛物线弧；当03≤≤y 时，[]2(,)9246,24=-+-∈--F x y y y a a a ；当20-≤≤y 时，[]2(,)11246,24=++-∈--F x y y y a a a ，故若有[][]0⋅<F M F N ，则(6)(24)0--<a a ，解得624<<a .【点睛】本题主要考查新定义下直线与圆的综合，熟记直线与圆位置关系，以及直线斜率与倾斜角的概念等即可，属于常考题型.19．如图，已知A ，(0,0)B，(12,0)C ，直线:(20l k x y k --=．(1)证明直线l 经过某一定点，并求此定点坐标；(2)若直线l 等分ABC 的面积，求直线l 的一般式方程；(3)若P ，李老师站在点P 用激光笔照出一束光线，依次由BC （反射点为K ）、AC （反射点为I ）反射后，光斑落在P 点，求入射光线PK 的直线方程．【答案】(1)证明见解析，定点坐标为(2,；170y +-=；(3)2100x +-=．【分析】（1）整理得到(2))0k x y -+-=，从而得到方程组，求出定点坐标；（2）求出定点P 在直线AB 上，且||8AM =，由12AMD ABC S S = 得到3||||94AD AC ==，设出00(,)D x y ，由向量比例关系得到D（3）作出辅助线，确定P 关于BC 和AC 的对称点1,P 2P ，得到123P P k =，由对称性得3PK k =-，写成直线方程.【详解】（1）直线:(20l k x y k --=可化为(2))0k x y -+-=，令200xy -=⎧⎪-=，解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩l 经过的定点坐标为(2,；（2）因为A ，(0,0)B ，(12,0)C ，所以||||||12AB AC BC ===，由题意得直线AB 方程为y =，故直线l 经过的定点M 在直线AB 上，所以||8AM =，设直线l 与AC 交于点D ，所以12AMD ABC S S =，即111||||sin ||||sin 222AM AD A AB AC A =⨯⨯，所以3||||94AD AC ==，设00(,)D x y ，所以34AD AC =，即003(6,(6,4x y --=-，所以0212x =，0y =21(2D ，将D 点坐标代入直线l的方程，解得k =所以直线l170y +-=；（3）设P 关于BC的对称点1(2,P -，关于AC 的对称点2(,)P m n ，直线AC12612x -=-，即)12y x =-，直线AC的方程为12)y x =-，所以(1221222n m n m ⎧-⋅=-⎪-⎪⎨++⎫⎪=-⎪⎪⎭⎩，解得14,m n ==2P ，由题意得12,,,P K I P四点共线，123P P k =，由对称性得3PK k =-，所以入射光线PK的直线方程为2)y x ---，即2100x -=．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线y x =上．(1)设直线l ：43y x =+与圆M 交于C ，D 两点，且OC OD =，求圆M 的方程；(2)设直线y =与（1）中所求圆M 交于E ，F 两点，点P 为直线5x =上的动点，直线PE ，PF 与圆M 的另一个交点分别为G ，H ，且G ，H 在直线EF 两侧，求证：直线GH 过定点，并求出定点坐标．【答案】(1)22(1)(4x y -+=(2)证明见解析【分析】（1）由||||OC OD =，知OM l ⊥，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1-，解方程可得t ，讨论t 的取值，求得圆心到直线的距离，即可得到所求圆的方程；（2）设0(5,)P y ，11(,)G x y ，22(,)H x y ，求得E ，F 的坐标，PE 和PF 的方程，联立圆的方程，运用韦达定理，3PE PF k k =．设PE k m =，则3PF k m =．设直线GH 的方程为y kx b =+，代入圆的方程，运用韦达定理，可得k ，b 的关系，即可得到所求定点．（1）圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线y x =上，设M t ⎛ ⎝⎭由||||OC OD =，知OM l ⊥.所以2OM k t =1t =±.当1t =时，圆心M 到直线:4l y =+的距离1)d =小于半径，符合题意；当1t =-时，圆心(1,M -到直线:4l y =+的距离1)d =大于半径，不符合题意.所以，所求圆M 的方程为22(1)(4x y -+-=.（2）设0(5,)P y ，11(,)G x y ，22(,)H x y ，又知(E -，F ，所以06PE y k =，02PF y k =．显然3PE PF k k =，设PE k m =，则3PF k m =．从而直线PE 方程为：(1)y m x +，与圆M 的方程22(1)(4x y -+=联立，消去y ，可得：2222(1)(22)30m x m x m ++-+-=，所以212311m x m --⨯=+，即21231m x m -=+；同理直线PF 方程为：3(3)y m x -，与圆M 的方程22(1)(4x y -+=联立，消去y ，可得：2222(19)(542)8130m x m x m +-++-=，所以222813319m x m -⨯=+，即22227119m x m -=+．所以22212224232713221199101m m m x x m m m m --+=+=+++++；222122242327111231199101m m m x x m m m m --=⋅=-+++⋅++．消去参数m 整理得121227()200x x x x -++=．①设直线GH 的方程为y kx b =+，代入22(1)(4x y -+=，整理得222(1)(22)0k x kb x b ++--+-=．所以122221kb x x k --+=-+，21221b x x k -⋅=+．代入①式，并整理得22(71030b k b k +-+-+=，即(250b k b k ++-=，解得2b k =或5b k -．当2b k =时，直线GH 的方程为(2)y k x =-；当5b k =时，直线GH 的方程为(5)y k x =-，过定点第二种情况不合题意（因为G ，H 在直径EF 的异侧），舍去．所以，直线GH 过定点．21．如图所示，已知圆222:()0O x y r r +=>上点(1,)a 处切线的斜率为圆O 与y 轴的交点分别为A B 、，与x 轴正半轴的交点为D ，P 为圆O 的第一象限内的任意一点，直线BD 与AP 相交于点M ，直线DP 与y 轴相交于点N ．（1）求圆O 的方程；（2）试问：直线MN 是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）(2,2).【分析】(1)根据切线斜率得切点与圆心连线斜率，解得a,再代入圆方程得r,即得结果，(2)先设直线AP 方程，分别解得P 坐标，M 坐标,以及N 坐标，再求出直线MN 方程，最后根据方程求定点.【详解】（1）由题意得2211413a a r ⋅=-∴==+=∴22:4O x y += （2）设:2(10)AP y kx k =+-<<()222221404y kx k x kx x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩222422,11k k P k k ⎛⎫-+⇒- ⎪++⎝⎭()()0,2,2,0B D - ∴直线:2BD y x =-2422,211y x k M y kx k k =-⎧---⎛⎫⇒⎨ ⎪=+--⎝⎭⎩由,,D P N 三点共线得：2222222002222140221121N N k y k k k y k k k k k -+---+-++=⇒==--+++-+∴21MN kk k =+直线MN 为：22211k k y x k k -+=+++即：()()2220y x k y -++-=由2022202y x y x y -==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩∴直线MN 过定点()2,2.【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.22．已知圆C 经过()0,1A ，()()4,0B a a >两点．(1)如果AB 是圆C 的直径，证明：无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，求出这个定点坐标．(2)已知点A 关于直线3y x =-的对称点A '也在圆C 上，且过点B 的直线l 与两坐标轴分别交于不同两点M 和N ，当圆C 的面积最小时，试求BM BN ⋅的最小值.【答案】(1)证明见解析，定点为()4,1(2)min 8BM BN ⋅=【分析】（1）设点(),P x y 是圆C 上任意一点，由AB 是圆C 的直径，得0AP BP ⋅= ，从而可求出圆C 的方程，即可得出结论；（2）根据题意可得点C 在直线3y x =-上，要使圆C 的面积最小，则圆C 是以AA '为直径的圆，从而可求出圆C 的方程，进而可求得B 点的坐标，设出直线l 的方程，分别求出,M N 的坐标，再根据两点间距离公式结合基本不等式即可得解．【详解】（1）设点(),P x y 是圆C 上任意一点，因为AB 是圆C 的直径，所以0AP BP ⋅= ，即()()()()(),14,410x y x y a x x y y a -⋅--=-+--=，所以圆C 的方程为：()()()410x x y y a -+--=，则4x =，1y =时等式恒成立，故定点为()4,1，所以无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，定点坐标为()4,1；（2）因点A 关于直线3y x =-的对称点A '也在圆C 上，所以点C 在直线3y x =-上，又圆C 的面积最小，所以圆C 是以AA '直径的圆，设过点A 与直线3y x =-垂直的直线方程为1y x =-+，由方程组31y x y x =-⎧⎨=-+⎩得()2,1C -，则AC =所以圆C 的方程为()()22218x y -++=，当4x =时，1a =或3a =-，又0a >，所以1a =，即()4,1B ，由题意知直线l 斜率存在且不为零，设直线l 的方程为()14y k x -=-，当0x =时14y k =-，当0y =，时14x k =-，所以||||448BM BN ⋅=，（当且仅当221k k =，即1k =±时取等号）则当1k =±时，min 8BM BN ⋅=。
高三数学高考复习：直线和圆的方程专项练习
高考数学复习：直线和圆的方程专项练习一．选择题1．已知直线l1:y=x+2，直线l2过点P（-2，1）且l2到l1的角为45°，则l2的方程是（）A.y=x-1B.y=x+C.y=-3x+7 D .y=3x+72．a、b、c分别是△ABC中A、B、C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c=0与bx-sinB·y+ay+c=0的位置关系是( )A.平行B.重合C.垂直 D.相交但不垂直3．原点O和点P（1，1）在直线x+y-a=0的两侧，则a的取值范围是（）A.a＜0或a＞2B.a=0或a=2C.0＜a＜2D.0≤a≤24．已知两条直线l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a为实数，当这两条直线的夹角在（0，）内变动时，a的取值范围是( )A.（0，1）B.（，）C.（，1）∪(1,)D.(1,)5．点P在平面上作匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时,P的坐标为(-10,10),则5秒后,点P的坐标为（）A.(-2,4)B.(-30,25)C.(10,-5)D.(5,-10)6．直线经过原点和点(-1，-1)，则它的倾斜角是( )A.45°B.135°C.45°或135° D.0°7．已知点M(a,b)与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为( )A.(a,b)B.(b,a)C.(-a,-b)D.(-b,-a)8．已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的方程为（）A.(x+1)2+y2=1B.x2+y2=1C.x2+(y+1)2=1D.x2+(y-1)2=19．在直角坐标系中，满足不等式x2-y2≥0的点(x,y)的集合所对应的阴影部分是( )10．方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0(t∈R)表示圆方程,则t的取值范围是（）A.-1＜t＜B.-1＜t＜C.-＜t＜1 D.1＜t＜211．集合M={(x,y)|y=,x、y∈R},N={(x,y)|x=1,y∈R},则M∩N等于( )A.{(1,0)}B.{y|0≤y≤1}C.{1,0}D.12．如果点P(x,y)在曲线x=(θ为参数)上,则x2+y2的最大值是( )A.10B.16C.25D.100二．填空题1．若实数x、y满足①则不等式组①表示的区域面积为_________,的取值范围是_________.2．圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程为_________.3．从点A（-1，3）所引圆x2+y2+4x+14y+49=0的两条切线所夹的劣弧对应的圆心角的余弦是_______________.4．不论m为何实数，直线（m-1）x-y+2m+1=0恒过定点___________________.三．解答题1．一圆经过A（2，1）点和直线x-y-1=0相切，且圆心在2x-y=0上.(1)求该圆的标准方程；(2)已知点B（，1），求过B点且有最短弦长的直线l的方程.2．某工厂家具车间造A、B两类型桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成，已知木工做一张A型和B型的桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A型和B型的桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A 型和B型桌子分别获得利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A型和B型的桌子各多少张时，才能获得利润最大？3．求与直线3x+4y+2=0平行,且与坐标轴构成的三角形的面积为24(平方单位)的直线l的方程.4．设直线l的方程是2x+By-1=0，倾斜角为α.（1）试将α表示为B的函数；（2）若＜α＜，试求B的取值范围；（3）若B∈(-∞,-2)∪(1,+∞)，求α的取值范围.5．求通过直线l:2x+y+4=0及圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的交点，并且有最小面积的圆的方程. 6．求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线b的方程.直线和圆的方程专项练习参考答案一．选择题1．解析：因=1，故k2=3.答案：D2．解析：因-·=-1,故两直线垂直.答案：C3．解析：(0+0-a)(1+1-a)＜00＜a＜2.答案：C4．解析：已知k1=1,倾斜角α=45°,斜率k2=a,设l2的倾斜角为β，依题意0＜|β-α|＜,得：＜β＜且β≠α=45°,∴l2的斜率tan＜a＜tan且α≠tan45°=1，即＜a＜且a≠1.答案：C5．解析：经过t秒动点P的位移为t(4,-3),即经过t秒动点P(x,y)所在位置为(*)所以t=5时,P点坐标为(10,-5),应选C.答案：C6．解析：tanα=k==1,∴α=45°.选A.答案：A7．解析：N(a,-b),P(-a,-b)，则Q(b,a)答案：B8．解析：由M(x,y)关于y=-x的对称点为(-y,-x),即得x2+(y+1)2=1.答案：C9．解析：x2-y2≥0(x+y)(x-y)≥0或答案：B10．解析：由D2+E2-4F＞0,得7t2-6t-1＜0,即-＜t＜1.答案：C11．解析：y=表示单位圆的上半圆,x=1与之有且仅有一个公共点(1,0). 答案：A12．解析：易知是圆(x-3)2+(y+4)2=25上的点到原点的距离.答案：D二．填空题1．解析:(1)如图,(x,y)在上图阴影区域内,则S=×1×3=.则z为区域内点与定点(1,-2)所在直线的斜率.则z∈［1,+∞)∪(-∞,-2］.答案：(-∞,-2］∪［1,+∞)2．(x-a)2+(y-b)2=r23．解析：圆C：(x+2)2+(y+7)2=4,故|AC|=，∴cos=,cosα=2cos2-1=-.答案：-4．解析：(m-1)x-y+2m+1=0y-3=(m-1)(x+2)，即过点(-2，3).答案：(-2，3)三．解答题1．解：(1)设圆心（a,2a）,半径为r,则有r=,∴a2-2a+1=0,a=1,r=,∴圆的标准方程为（x-1）2+(y-2)2=2.(2)记圆心为M（1，2），当直线l与MB垂直时弦长最短，k MB=2,∴k l=-,∴l的方程为2x+4y-5=0.2．解:设工厂每天生产A型桌子x张、B型桌子y张，获利为z（千元）.可行域为四边形ABCO内部及边界.∴即为动直线在y轴上的截距，将动直线在可行域内移动,可知：B点处直线截距最大，此时z有最大值.∴z max=2×2+3×3=13(千元).∴工厂每天应生产A型桌子2张、B型桌子3张，可获利最大，为1.3万元.3．解：设所求直线l的方程为3x+4y+m=0, ①因为直线交x轴于A(-,0),交y轴于B(0,-),故由得m=±24.代入①,得所求直线方程为3x+4y±24=0.4．解：（1）若B=0，则直线l的方程是2x-1=0，∴α=;若B≠0，则方程即为y=-x+,∴当B＜0时，-＞0,α=arctan(-),而当B＞0时，-＜0，α=π+arctan(-),即α=f(B)=(2)若α=，则B=0,若α≠，则tanα＜-或tanα＞,即-＜-(B＞0)或-＞(B＜0＝,∴-2＜B＜0或0＜B＜.综上,知-2＜B＜.(3)若B＜-2，则-＜1，∴0＜tanα＜1,0＜α＜;若B＞1，则-＞-2,∴0＞tanα＞-2,π-arctan2＜α＜π.综上,知π-arctan2＜α＜π或0＜α＜.5．解：法一：圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=4.设直线l与圆C交于A、B两点，D为AB的中点，则直线CD的方程为x-2y+5=0,x-2y+5=0,2x+y+4=0.故D∴以D为圆心，AB为直径的圆是面积最小的圆.法二：设圆的方程是(x2+y2+2x-4y+1)+λ(2x+y+4)=0,即［x+(1+λ)2］+圆面积=πR2,而时，圆面积最小，此时圆的方程是5x2+5y2+26x-12y+37=0.法三：设A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆方程可设为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0.然后用韦达定理求出圆的方程.6．剖析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称,它们具有下列几何性质:(1)若a、b相交,则l是a、b交角的平分线;(2)若点A在直线a上,那么A关于直线l的对称点B 一定在直线b上,这时AB⊥l,并且AB的中点D在l上;(3)a以l为轴旋转180°,一定与b 重合.使用这些性质,可以找出直线b的方程.解此题的方法很多,总的来说有两类:一类是找出确定直线方程的两个条件,选择适当的直线方程的形式,求出直线方程;另一类是直接由轨迹求方程.解：由解得a与l的交点E(3,-2),E点也在b上.方法一:设直线b的斜率为k,又知直线a的斜率为-2,直线l的斜率为-.则=.解得k=-.代入点斜式得直线b的方程为y-(-2)=-(x-3),即2x+11y+16=0.方法二:在直线a:2x+y-4=0上找一点A(2,0),设点A关于直线l的对称点B的坐标为(x0,y0), 由解得B(,-).由两点式得直线b的方程为=,即2x+11y+16=0.方法三:设直线b上的动点P(x,y)关于l:3x+4y-1=0的对称点Q(x0,y0),则有解得x0=,y0=.Q(x0,y0)在直线a:2x+y-4=0上,则2×+-4=0,化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程.方法四:设直线b上的动点P(x,y),直线a上的点Q(x0,4-2x0),且P、Q两点关于直线l:3x+4y-1=0对称,则有消去x,得2x+11y+16=0或2x+y-4=0(舍).。
高二数学直线与圆的方程专题测试题
高二数学直线与圆的方程专题测试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上.1．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于2．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为3．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是4．与直线2x+y-1=0关于点（1,0）对称的直线的方程是5．圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是6．已知{(,)|0}M x y y y =≠，{(,)|}N x y y x b ==+，若MN ≠∅，则b 的取值范围是7．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是8．若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+ 的最小值为 ． 9．设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是 ．10．已知直线1:sin 10l x y θ+-=，2:2sin 10l x y θ++=，若12//l l ，则θ= ．11．若圆2221:240C x y mx m +-+-=与圆2222:24480C x y x my m ++-+-=相交，则m 的取值范围是 ．12．已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为________.二、解答题：13．设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线:20l x y -=的距离为14．设M是圆22680+--=上的动点，O是原点，N是射线OM上的点，若x y x y⋅ONOM，求点N的轨迹方程。
高二数学直线与圆练习题
高二数学直线与圆练习题1. 已知直线L1的方程为3x+y-5=0，直线L2的方程为x-2y+6=0，圆C的方程为x^2+y^2-8x+2y+8=0。
求直线L1与L2的交点坐标，并判断圆C与直线L1、L2的位置关系。
解：首先,我们来求直线L1与L2的交点坐标。
令L1与L2联立，得到(1) 3x+y-5 = 0(2) x-2y+6 = 0解这个方程组，可以使用消元法或代入法。
我们使用代入法。
将(1)式的y代入(2)式中，得到x - 2(5 - 3x) + 6 = 0x - 10 + 6x + 6 = 07x - 4 = 07x = 4x = 4/7将x的值代入(1)式中，得到3(4/7) + y - 5 = 012/7 + y - 5 = 0y - 23/7 = 0y = 23/7所以，直线L1和L2的交点坐标为(x,y) = (4/7, 23/7)。
接下来，我们判断圆C与直线L1、L2的位置关系。
首先，我们要分别求出直线L1和L2在圆C上的焦点。
将直线L1的方程代入圆C的方程，得到3x + y - 5 = 0x = (5 - y)/3将直线L1的方程代入圆C的方程，得到x - 2y + 6 = 0x = 2y - 6将上述两个等式相等，得到(5 - y)/3 = 2y - 65 - y = 6y - 187y = 23y = 23/7将y的值代入直线L1的方程，得到x = (5 - (23/7))/3x = 4/7所以，直线L1在圆C上的焦点坐标为(x,y) = (4/7, 23/7)。
将直线L2的方程代入圆C的方程，得到x - 2y + 6 = 0x = 2y - 6将直线L2的方程代入圆C的方程，得到x^2 + y^2 - 8x + 2y + 8 = 0(2y - 6)^2 + y^2 - 8(2y - 6) + 2y + 8 = 04y^2 - 24y + 36 + y^2 - 16y + 48 + 2y + 8 = 05y^2 - 38y + 92 = 0解这个二次方程，得到y = (38 ± √(38^2 - 4(5)(92)))/(2(5))y = (38 ± √(1444 - 1840))/10y = (38 ± √(-396))/10由于√(-396)是虚数，所以y的值没有实数解。
高二数学直线和圆的方程同步练习
高二数学直线和圆的方程同步练习一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．若直线1=x 的倾斜角为α，则α （ ）A ．等于0B ．等于4π C ．等于2π D ．不存在2．点P(2,3)到直线：ax +(a －1)y+3=0的距离d 为最大时，d 与a 的值依次为（ ）A ．3,-3B ．5,1C ．5,2D ．7,13．圆422=+y x 截直线0323=-+y x 所得的弦长是 （ ）A ．2B ．1C ．3D ．324．若直线013=--y x 到直线0=-ay x 的角为6π，则实数a 的值等于 （ ）A ．0B ．3C ．0或3D ．33-5．若圆)0(022222>=++-+k y kx y x 与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围是 （ ）A ．20<<k B ．21<<k C ． 10<<k D ．2>k6．若直线)2(-=x k y 与曲线21x y -=有交点，则 （ ）A ．k 有最大值33，最小值33- B ．k 有最大值21，最小值21-C ．k 有最大值0，最小值 33- D ．k 有最大值0，最小值21-7．如图，设点C(1,0)，长为2的线段AB 在y是 ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°8．如果直线(2a +5)x +(a －2)y+4=0与直线(2－a )x +(a +3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（ ） A ． 2 B ．－2 C ．2,－2 D ．2,0,－29．已知x ,y 满足约束条件 0,04242≥≥≤+≤+y x y x y x ，则y x z +=的最大值是 （ ）A ．34 B ．38C ．2D ．4 10．直线0323=-+y x 与圆 θθs i n23c o s21+=+=y x （θ为参数）的位置关系是 ( )A ． 相离B ．相切C ． 相交但不过圆心D ． 相交且过圆心二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．直线l 的倾角α满足4sin α=3cos α，而且它在x 轴上的截距为3，则直线l 的方程是_____________________.12．若实数x ,y 满足xyy x 则,3)2(22=+-的最大值是 ．13．点)3,(a P 到直线0134=+-y x 的距离等于4，且在不等式32<+y x 表示的平面区域内，则点P 的坐标是_______________. 14．已知直线134=+yx l ：，M 是l 上一动点，过M 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，则在A 、B 连线上，且满足PB AP 2=的点P 的轨迹方程是____________________.三、解答题（本大题共6小题，共76分）15．已知直线l 满足下列两个条件：（1）过直线y = – x + 1和y = 2x + 4的交点;（2）与直线x –3y + 2 = 0 垂直，求直线l 的方程．（12分）16．求经过点)1,2(-A ，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆方程．（12分）18．已知与曲线C ：012222=+--+y x y x 相切的直线l 交y x ,的正半轴与B A 、两点，O 为原点，OA =a ，b OB =，)2,2(>>b a ．（1）求线段AB 中点的轨迹方程； （2）求ab 的最小值．（12分）19．已知直线l :y=k(x +22)与圆O ：x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，三角形ABO 的面积为S ．（1）试将S 表示成k 的函数，并求出它的定义域； （2）求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值．（14分）一、选择题：1．直线x-3y+6=0的倾斜角是（ ）A 600B 1200C 300D 15002. 经过点A(-1,4),且在x 轴上的截距为3的直线方程是（ ）A x+y+3=0B x-y+3=0C x+y-3=0D x+y-5=03．直线(2m 2+m-3)x+(m 2-m)y=4m-1与直线2x-3y=5平行，则的值为（ ）A-23或1 B1 C-89 D -89或1 4．直线ax+(1-a)y=3与直线(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，则a 的值为（ ）A -3B 1C 0或-23D 1或-3 5．圆（x-3）2+(y+4)2=2关于直线x+y=0对称的圆的方程是（ ）A. (x+3)2+(y-4)2=2B. (x-4)2+(y+3)2=2 C .(x+4)2+(y-3)2=2 D. (x-3)2+(y-4)2=2 6、若实数x 、y 满足3)2(22=++y x ，则xy的最大值为（ ） A.3 B. 3- C.33 D. 33- 7．圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是 （ ）A ．x －y ＝0B ．x ＋y ＝0C ．x ＝0D ．y ＝08．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于（ ）A ．1B ．13-C ．23- D ．2- 9．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为（ ）Ａ．4±Ｂ．± Ｃ．2± Ｄ．10． 如果直线12,l l 的斜率分别为二次方程2410x x -+=的两个根，那么1l 与2l 的夹角为（ ）A ．3π B ．4π C ．6π D ．8π11．已知{(,)|0}M x y y y ==≠，{(,)|}N x y y x b ==+，若M N ≠∅ ，则b ∈（ ）A ．[-B ．(-C ．(-D ．[-12．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是（ ）A ．4B ．5C ．1D ．二、填空题：13过点M （2，-3）且平行于A （1，2），B （-1，-5）两点连线的直线方程是14、直线l 在y 轴上截距为2，且与直线l `：x+3y-2=0垂直，则l 的方程是15．已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为________.16圆224460x y x y +-++=截直线50x y --=所得的弦长为 _________ 18已知点M （a ，b ）在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为21．已知ABC ∆的顶点A 为（3，－1），AB 边上的中线所在直线方程为610590x y +-=，B ∠的平分线所在直线方程为4100x y -+=，求BC 边所在直线的方程．22．设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线:20l x y -=23．设M 是圆22680x y x y +--=上的动点，O 是原点，N 是射线OM 上的点，若150||||=⋅ON OM ，求点N 的轨迹方程。
20道直线与圆的方程特训题(含详细的答案解析)
圆与直线方程的训练题一．选择题（共20小题）1．圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1 B．2 C．D．22．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣C．D．23．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=104．圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）2=2或（x+1）2+（y﹣1）2=25．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣86．直线x+y=1与圆x2+y2﹣2ay=0（a＞0）没有公共点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（0，）7．直线l：x=my+2与圆M：x2+2x+y2+2y=0相切，则m的值为（）A．1或﹣6 B．1或﹣7 C．﹣1或7 D．1或﹣8．圆（x﹣1）2+y2=1与圆x2+（y﹣1）2=2的位置关系为（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切9．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9的位置关系为（）A．外切 B．相交 C．内切 D．相离10．已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A．外离 B．相切 C．相交 D．内含11．若圆O1：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25和圆O2：（x+2）2+（y+8）2=r2（5＜r＜10）相切，则r等于（）A．6 B．7 C．8 D．912．直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A．B．C．2D．13．在直角坐标系中，直线x+y+3=0的倾斜角是（）A．B．C．D．14．直线AB的斜率为2，其中点A（1，﹣1），点B在直线y=x+1上，则点B的坐标是（）A．（4，5）B．（5.7）C．（2，1）D．（2，3）15．直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣216．已知直线l1：x+y=0，l2：2x+2y+3=0，则直线l1与l2的位置关系是（）A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直17．若直线ax﹣y+1=0与直线2x+y+2=0平行，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．118．已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离为1，则a=（）A．B．C．D．19．点（2，1）到直线3x﹣4y+2=0的距离是（）A．B．C．D．20．在直角坐标系xOy中，已知点A（4，2）和B（0，b）满足|BO|=|BA|，那么b的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2016•北京）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1 B．2 C．D．2【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：d==．故选：C．2．（2016春•金昌校级期末）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣C．D．2【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．3．（2016•长沙模拟）已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．4．（2016•平度市一模）圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）2=2或（x+1）2+（y﹣1）2=2【解答】解：画出圆A满足题中的条件，有两个位置，当圆心A在第一象限时，过A作AC⊥x轴，又|OB|=2，根据垂径定理得到点C为弦OB的中点，则|OC|=1，由点A在直线y=x上，得到圆心A的坐标为（1，1），且半径|OA|=，则圆A的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；当圆心A′在第三象限时，过A′作A′C′⊥x轴，又|OB′|=2，根据垂径定理得到点C′为弦OB′的中点，则|OC′|=1，由点A′在直线y=x上，得到圆心A′的坐标为（﹣1，﹣1），且半径|OA′|=，则圆A′的标准方程为：（x+1）2+（y+1）2=2，综上，满足题意的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2．故选C5．（2016•贵州校级模拟）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d==．再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4，故选：B．6．（2016•扬州校级一模）直线x+y=1与圆x2+y2﹣2ay=0（a＞0）没有公共点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（0，）【解答】解：把圆x2+y2﹣2ay=0（a＞0）化为标准方程为x2+（y﹣a）2=a2，所以圆心（0，a），半径r=a，由直线与圆没有公共点得到：圆心（0，a）到直线x+y=1的距离d=＞r=a，当a﹣1＞0即a＞1时，化简为a﹣1＞a，即a（1﹣）＞1，因为a＞0，无解；当a﹣1＜0即0＜a＜1时，化简为﹣a+1＞a，即（+1）a＜1，a＜=﹣1，所以a的范围是（0，﹣1）故选A7．（2016•佛山模拟）直线l：x=my+2与圆M：x2+2x+y2+2y=0相切，则m的值为（）A．1或﹣6 B．1或﹣7 C．﹣1或7 D．1或﹣【解答】解：圆M：x2+2x+y2+2y=0，即（x+1）2+（y+1）2=2，表示以M（﹣1，﹣1）为圆心，半径等于的圆．再根据圆心到直线l：x﹣my﹣2=0的距离等于半径，可得=，求得m=1，或m=﹣7，故选：B．8．（2016•枣庄一模）圆（x﹣1）2+y2=1与圆x2+（y﹣1）2=2的位置关系为（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【解答】解：这两个圆（x﹣1）2+y2=1与圆x2+（y﹣1）2=2的圆心分别为（1，0）、（0，1）；半径分别为1、．圆心距为，大于半径之差而小于半径之和，可得两个圆相交，故选：C．9．（2016春•漳州期末）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9的位置关系为（）A．外切 B．相交 C．内切 D．相离【解答】解：圆C（x+2）2+y2=4的圆心C（﹣2，0），半径r=2；圆M（x﹣2）2+（y﹣3）2=9的圆心M（2，3），半径R=3．∴|CM|==5=R+r=3+2=5．∴两圆外切．故选：A．10．（2016春•厦门期末）已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A．外离 B．相切 C．相交 D．内含【解答】解：圆C1：x2+y2=1，表示以C1（0，0）为圆心，半径等于1的圆．圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，即（x+2）2+（y﹣3）2=9，表示以C2（﹣2，3）为圆心，半径等于3的圆．∴两圆的圆心距d==，∵3﹣1＜＜3+1，故两个圆相交．故选：C．11．（2016春•承德期末）若圆O1：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25和圆O2：（x+2）2+（y+8）2=r2（5＜r＜10）相切，则r等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=25的圆心M（3，4）、半径为5；圆（x+2）2+（y+8）2=r2的圆心N（﹣2，﹣8）、半径为r．若它们相内切，则圆心距等于半径之差，即=|r﹣5|，求得r=18或﹣8，不满足5＜r＜10．若它们相外切，则圆心距等于半径之和，即=|r+5|，求得r=8或﹣18（舍去）．故选：C．12．（2016•马鞍山）直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A．B．C．2D．【解答】解：连接OB，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：D为AB的中点，根据（x+2）2+（y﹣2）2=2得到圆心坐标为（﹣2，2），半径为．圆心O到直线AB的距离OD==，而半径OB=，则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==，所以AB=2BD=故选D．13．（2016•衡阳校级模拟）在直角坐标系中，直线x+y+3=0的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：直线x+y+3=0斜率等于﹣，设此直线的倾斜角为θ，则tanθ=﹣，又0≤θ＜π，∴θ=，故选D．14．（2016•长沙校级模拟）直线AB的斜率为2，其中点A（1，﹣1），点B在直线y=x+1上，则点B的坐标是（）A．（4，5）B．（5.7）C．（2，1）D．（2，3）【解答】解：根据题意，点B在直线y=x+1上，设B的坐标为（x，x+1），则直线AB的斜率k===2，解可得x=4，即B的坐标为（4，5），故选：A．15．（2016•衡阳校级模拟）直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a 的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2【解答】解：直线L1：ax+3y+1=0的斜率为：，直线L1∥L2，所以L2：2x+（a+1）y+1=0的斜率为：所以=；解得a=﹣3，a=2（舍去）故选A．16．（2016•马鞍山）已知直线l1：x+y=0，l2：2x+2y+3=0，则直线l1与l2的位置关系是（）A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直【解答】解：由直线l1：x+y=0，l2：2x+2y+3=0，可得斜率都等于﹣1，截距不相等．∴l1∥l2．故选：B．17．（2016•海南校级模拟）若直线ax﹣y+1=0与直线2x+y+2=0平行，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．1【解答】解：∵直线ax﹣y+1=0与直线2x+y+2=0平行，∴，解得a=﹣2，故选：A．18．（2016春•新疆期末）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离为1，则a=（）A．B．C．D．【解答】解：由点到直线的距离公式得：=，∵a＞0，∴a=．故选C．19．（2016•衡阳校级模拟）点（2，1）到直线3x﹣4y+2=0的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：点（2，1）到直线3x﹣4y+2=0的距离d==．故选A．20．（2016•北京）在直角坐标系xOy中，已知点A（4，2）和B（0，b）满足|BO|=|BA|，那么b的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵点A（4，2）和B（0，b）满足|BO|=|BA|，∴b2=42+（2﹣b）2，∴b=5．故选：C．。
高二直线与圆练习题
高二直线与圆练习题（正文）1. 已知直线L的方程为2x + y = 6，圆C的圆心坐标为(2, -1)，半径为3。
求直线L与圆C的交点坐标。
解析：首先将直线L的方程转换为一般式，得到2x + y - 6 = 0。
利用直线L与圆C的交点坐标满足直线L的方程以及圆C的方程，代入得：2x + y - 6 = 0(x - 2)² + (y + 1)² = 3²解方程组得到：x = 1，y = 4 或 x = 3，y = 0因此，直线L与圆C的交点坐标为(1, 4)和(3, 0)。
2. 已知直线L的斜率为3，过直线L上一点P(1, 2)，求直线L的方程。
解析：由已知的斜率和通过的点，可以使用点斜式来求解直线L的方程。
点斜式的公式为：y - y1 = m(x - x1)代入已知条件：y - 2 = 3(x - 1)展开得到：y - 2 = 3x - 3整理后得到直线L的方程：3x - y + 1 = 0因此，直线L的方程为3x - y + 1 = 0。
3. 已知直线L的方程为2x - 3y = 4，圆C的圆心坐标为(3, 2)，经过点A(1, 2)。
求直线L与圆C的关系。
解析：首先将直线L的方程转换为一般式，得到2x - 3y - 4 = 0。
由于点A在直线L上，代入点A的坐标得：2(1) - 3(2) - 4 = 0解方程得到：-4 = 0由此可见，点A不满足直线L的方程，因此点A不在直线L上。
接下来，判断直线L是否与圆C相交。
直线L与圆C相交的条件是直线L与圆C的方程同时满足。
代入直线L的方程与圆C的方程：2x - 3y - 4 = 0(x - 3)² + (y - 2)² = r²整理得到：x² - 6x + 9 + y² - 4y + 4 = r²将直线L的方程代入上式：(-2y)² - 6(-2y) + 9 + y² - 4y + 4 = r²展开并整理得到：5y² + 2y + 5 = r²由此可见，直线L与圆C的关系是相交。
高中数学直线和圆的方程复习训练
高中数学必修内容复习(7)---直线和圆的方程一、选择题（每题3分；共54分）1、在直角坐标系中；直线033=-+y x 的倾斜角是（ ）A ．6πB ．3π C ．65π D ．32π 2、若圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于原点对称；则圆C 的方程是（）A ．1)1()2(22=++-y x B ．1)1()2(22=-+-y x C ．1)2()1(22=++-y xD ．1)2()1(22=-++y x3、直线0=++c by ax 同时要经过第一、第二、第四象限；则c b a 、、应满足（ ）A ．0,0<>bc abB ．0,0<>bc abC ．0,0>>bc abD ．0,0<<bc ab4、已知直线221:1+=x y l ；直线2l 过点)1,2(-P ；且1l 到2l 的夹角为 45；则直线2l 的方程是（ ） A ．1-=x y B ．5331+=x y C ．73+-=x y D ．73+=x y5、不等式062>--y x 表示的平面区域在直线062=--y x 的（） A ．左上方B ．右上方C ．左下方D ．左下方6、直线0943=--y x 与圆422=+y x 的位置关系是（） A ．相交且过圆心B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心7、已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆122=+y x 相切；则三条边长分别为c b a 、、的三角形（ ）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在8、过两点)9,3()1,1(和-的直线在x 轴上的截距是()A ．23-B ．32-C ．52 D ．29、点)5,0(到直线x y 2=的距离为()A ．25B ．5C ．23 D ．25 10、下列命题中；正确的是()A ．点)0,0(在区域0≥+y x 内B ．点)0,0(在区域01<++y x 内C ．点)0,1(在区域x y 2>内D ．点)1,0(在区域01<+-y x 内11、由点)3,1(P 引圆922=+y x 的切线的长是 ()A ．2B ．19C ．1D ．412、三直线102,1034,082=-=+=++y x y x y ax 相交于一点；则a 的值是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．113、已知直线01:,03:21=+-=+y kx l y x l ；若1l 到2l 的夹角为60；则k 的值是 ( )A ．03或B ．03或-C ．3D ．3-14、如果直线02012=-+=++y x y ax 与直线互相垂直；那么a 的值等于()A ．1B ．31-C ．32-D ．2-15、若直线023022=--=++y x y ax 与直线 平行；那么系数a 等于()A ．3-B ．6-C ．23-D ．32 16、由422=+=y x x y 和圆所围成的较小图形的面积是() A ．4πB ．πC ．43πD ．23π 17、动点在圆122=+y x 上移动时；它与定点)0,3(B 连线的中点的轨迹方程是()A ．4)3(22=++y x B ．1)3(22=+-y x C ．14)32(22=+-y xD ．21)23(22=++y x 18、参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 33cos 33y x 表示的图形是( ) A ．圆心为)3,3(-；半径为9的圆 B ．圆心为)3,3(-；半径为3的圆 C ．圆心为)3,3(-；半径为9的圆D ．圆心为)3,3(-；半径为3的圆二、填空题（每题3分；共15分）19、以点)1,5()3,1(-和为端点的线段的中垂线的方程是 20、过点023)4,3(=+-y x 且与直线平行的直线的方程是 21、直线y x y x 、在0623=+-轴上的截距分别为22、三点)2,5()3,4(32k及），，（-在同一条直线上；则k 的值等于23、若方程014222=+++-+a y x y x 表示的曲线是一个圆；则a 的取值范围是 三、解答题（第24、25两题每题7分；第26题8分；第27题9分；共31分） 24、若圆经过点)2,0(),0,4(),0,2(C B A ；求这个圆的方程。
高中数学基本能力测试直线与圆的方程练习(一)
直线与圆的方程练习（一）一、选择题1．经过点(12)A ，且在两坐标轴上的截距相等的直线共有（ ） Ａ．1条Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．4条Ｂ 2．若ABC △的三个顶点的坐标分别为(123)A -，，，(223)B -，，，15322C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则ABC△的面积等于（ ）Ａ．4 Ｂ．2254 Ｃ．152 Ｄ．154 Ｄ3．直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值是（ ） Ａ．1Ｂ．13- Ｃ．23- Ｄ．2- Ｄ4．两条平行直线1:3420l x y +-=，2:6850l x y +-=的距离等于（ ） Ａ．3Ｂ．0.1 Ｃ．0.5 Ｄ．7 Ｂ5．圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的位置关系是（ ）Ａ．相离Ｂ．外切 Ｃ．相交 Ｄ．内切Ｃ 6．设圆M 的方程为22(3)(2)2x y -+-=，直线l 的方程为30x y +-=，点P 的坐标为(21)，，那么（ ）Ａ．点P 既在圆M 上，也在直线l 上 Ｂ．点P 在直线l 上，但不在圆M 上 Ｃ．点P 在圆M 上，但不在直线l 上 Ｄ．点P 既不在圆M 上，也不在直线l 上 Ａ二、填空题7．斜率为k 的直线，满足11k -≤≤，则直线的倾斜角的范围是 ． 30ππ⎡⎤⎡⎫π⎪⎢⎥⎢44⎣⎦⎣⎭，，8．圆心为(12)-，，半径为x 轴上截得的弦长为 ． 89．过点(21)A ，，且与直线2100x y ++=平行的直线的方程为 ．250x y +-=10．设(471)A -，，，(62)B z ，，，且11AB =，则z 等于 ． 7或5-11．点(5112)a a +，在圆22(1)1x y -+=的内部，则实数a 的取值范围是 ． 111313a -<< 12．若224ab +=，则两圆22()1x a y -+=与22()1x y b +-=的位置关系是 ． 相切三、解答题13．已知直线l 的斜率为16，且与两坐标轴围成一个面积为3的三角形，求直线l 的方程． 660x y --=或660x y -+=14．设点P 在x 轴上，它到1(0P 的距离为到点2(011)P -，，距离的两倍，求点P 的坐标．(100)，，或(100)-，，15．m 为何值时，直线20x y m -+=与圆225x y +=．（1）无公共点；（2）截得弦长为2．（1）5m >或5m <-；（2）m =±。
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5 3 ， 12 4
B、
5 3 ， 12 4
C、 ，
1 3 3 4
D、 0，
5 12
二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13、直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直，则 a＝___________.
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4 的距离恰好为 4，求直线 l 的方程. 18、直线 l 在 x 轴与 y 轴上的截距相等，且到点 P3，
达人 right
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1 和 B B4，m 并且与 x 轴相切的圆有且只有一个，求实数 m 的值和这 19、若过点 A0，
个圆的方程。
20、某承包户承包了两块鱼塘，一块准备放养鲫鱼，另一块准备放养鲤鱼，现知放养这 两种鱼苗时都需要鱼料 A、B、C，每千克鱼苗所需饲料量如下表： 鱼类 鲫鱼/kg 鲤鱼/kg 鱼料 A 15g 8g 鱼料 B 5g 5g 鱼料 C 8g 18g
D
C(3.6,6.4) B
O
A 3x+5y=0 5x+5y=50 15x+8y=120
x 8x+8y=144
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．
y 3 ＝2,x、y∈R｝ ，B＝｛(x,y) ｜4x+ay＝16,x、y∈R｝ ，若 x 1
．
A∩B＝ ，则实数 a 的值为 三、解答题： （本大题共 4 小题，共 36 分）
17、等腰三角形 ABC 的顶点 A(1,0), 底边一端点 B的坐标为(2,0) ，求另一端点 C 的轨迹方 程.
3 5 5
C、
2 5
D、
3 5
5、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是
2 x 3 y 12 0 A、 2 x 3 y 6 0 3x 2 y 6 0 2 x 3 y 12 0 C、 2 x 3 y 6 0 3x 2 y 6 0
A、与 l 重合的直线 C、过 P1 且与 l 垂直的直线 B、过 P2 且与 l 平行的直线 D、不过 P2 但与 l 平行的直线
2
11、M（ x0 , y0 ) 为圆 x 2 y 2 a 2 (a 0) 内异于圆心的一点，则直线 x0 x y 0 y a 与 该圆的位置关系为 A、相切 B、相交 C、相离 D、相切或相交 12、曲线 y 1 4 x 2 x 2 与直线 y k x 2 4 有两个交点时，实数 k 的取值范 围是 A、
高中数学会考直线和圆的方程专题训练
一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分） 题号 答案 1、直线 x y 3 0 的倾斜角是 A、300 2、直线 A、 B、450 C、600 D、900 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分
x y 1 的斜率是 3 2
如果这两种鱼长到成鱼时，鲫鱼和鲤鱼分别是 当时放养鱼苗重量的 30 倍与 50 倍，目前这位 承包户只有饲料 A、B、C 分别为 120g、50g、 144g,问如何放养这两种鱼苗， 才能使得成鱼的 重量最重．
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数学参考答案
九、直线和圆的方程
一、选择题：BADB ABCD BBCA 二、填空题：13. 三、解答题 17. ( x 1) 2 y 2 9( y 0) 18． 24 x 7 y 0 ， x y 7 4 2 0 ， x y 7 4 2 0 19．设圆心为 a，b ，∵圆与 x 轴相切，∴圆的方程为 x a y b b 2 ．
2 2
2 3
14. x y 1( x 2)
15. 3
16.4 或-2
1 、 B4，m ， 所以： 又圆过 A0，
2 2 2 2 a b 1 b ， a 2b 1 0， 1 ma 2 8a m 2 m 16 0 2 2 2 2 2 a 8a 2mb m 16 0， a 4 b m b ，
3 2 2
B、
14 2
C、
3 2 4
D、
3 2 1 2
10 、 已 知 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) 分 别 是 直 线 l 上 和 直 线 l 外 的 点 ， 若 直 线 l 的 方 程 是
f ( x, y ) 0 ，则方程 f ( x, y) f ( x1 , y1 ) f ( x2 , y2 ) 0 表示
B、 1 k D、 k
6、圆 x 2 y 2 2kx 2 y 2 0(k 0)与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围
2
2
2
7、设△ABC 的一个顶点是 A（3，－1） ，∠B，∠C 的平分线方程分别是 x=0，y=x，则直
B、y=2x+3
C、y=2x+5
D、 y
A、 0 k C、 0 k 1 线 BC 的方程是 A、y=3x+5
2 x 3 y 12 0 B、 2 x 3 y 6 0 3x 2 y 6 0 2 x 3 y 12 0 D、 2 x 3 y 6 0 3x 2 y 6 0
2 3
B、
2 3
C、
3 2
D、
3 2
3、若直线 ax+by+c=0 在第一、二、四象限，则有 A、ac>0,bc>0 4、平行直线 y A、 B、ac>0,bc<0 C、ac<0,bc>0 D、ac<0,bc<0
Байду номын сангаас
1 x 1 与 x 2 y 1 0 之间的距离等于 2
B、
2 5 5
1 2 x 1 14、参数方程 ，则它的普通方程为________________________． （ 为参数） y 1
λ
y 15、如果实数 x, y满足等式 ( x 2) 2 y 2 3, 那么 的最大值 x
16、已知集合 A＝｛(x,y)｜
x 5 2 2
8、过圆 C： x 2 y 2 4 上两点 A（ 3 ,1) 及 B（1， 3 ）所作的两条切线的夹角是 A、
5 6
B、
3
C、
2
D、
6
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9、从直线 l ： x y 3 0 上的点向圆 ( x 2) 2 ( y 2) 2 1 引切线，则切线长的最小 值为 A、
由于满足条件的圆有且只有一个，故 0 ，得 m 1 或 m 0 ． 当 m 1 时，圆的方程为 x 2 y
2
5 25 ； 2 4
2
2
17 289 当 m 0 时，圆的方程为 x 4 y ． 2 4
2
20．解：设放养鲫鱼 xkg,鲤鱼 ykg,则成鱼重量为 w 30 x 50 y( x, y 0) , 15 x 8 y 120 其限制条件为 5 x 5 y 50 8 x 18 y 144 画出其表示的区域（如图） ，不难找出使 30x+50y 最大值为 428kg. 3.6kg, 答：鲫鱼放养 鲤鱼放养 6.4kg,此时成鱼的重量最重． y