高数辅导之专题八：闭区间上连续函数的性质

专题八
基础知识
闭区间上连续函数的几大定理：
定理1（最值定理）若函数)(x f y =在闭区间],[b a 上连续，则
（1）在],[b a 上至少存在一点1ξ，使得对于任意],[b a x ∈，恒有)()(1x f f ≥ξ。

（2）在],[b a 上至少存在一点2ξ，使得对于任意],[b a x ∈，恒有)()(2x f f ≤ξ。

)(1ξf 和)(2ξf 为函数)(x f y =在闭区间],[b a 上的最大值和最小值。

定理2（有界定理）闭区间上的连续函数必有界。

定理3（介值定理）若)(x f 在],[b a 上连续，则它在),(b a 内能取得介于其最小值和最大值之间的任何数。

定理4（零点定理）若)(x f 在],[b a 上连续，且0)()(<⋅b f a f ，则至少存在一点),(b a c ∈，使得0)(=c f 。

例题
1. 设函数)(x f 在),(b a 内连续，b x x a <<<21，01>t ，02>t ，试证在),(b a 内至少存在一点c ，使得)()()()(212211c f t t x f t x f t +=+。

证明：令2
12211)()(t t x f t x f t T ++=，下面分两种情形说明： （1）)()(21x f x f =时，)()(21x f x f T ==，可取1x c =（或2x ）),(b a ∈，得证。

（2）)()(21x f x f ≠时，不妨假设)()(21x f x f <，则有
)()(2111x f t x f t <，)()(2212x f t x f t < 0(1>t ，)02>t
故
2
12221212211)()()()(t t x f t x f t t t x f t x f t T ++<++=
)()()(22
1221x f t t x f t t =++= 2
11211212211)()()()(t t x f t x f t t t x f t x f t T ++>++= )()()(121121x f t t x f t t =++=
亦即
)()(21x f T x f <<
由题设，函数)(x f 在],[21x x 上连续，)()(21x f T x f <<，从而由闭区间上连续函数的介值定理知存在),(),(21b a x x c ⊂∈，使得T c f =)(。

综上，在),(b a 内至少存在一点c ，使得)()()()(212211c f t t x f t x f t +=+。

注：闭区间上连续函数的几大定理只适应于闭区间上的连续函数，故首先应找到一个闭区间上的连续函数，如此题中的在闭区间],[21x x 上的连续函数)(x f 。

2. 设函数)(x f 在],[b a 上连续，且对于任意的],[b a x ∈，存在相应的],[b a y ∈，使得|)(|2
1|)(|x f y f ≤，试证至少存在一点],[b a ∈ξ，使得0)(=ξf 。

证明：（反证法）假设对于任意的],[b a x ∈，都有0)(≠x f ，则由介值定理知函数)(x f 在
],[b a 上恒为正或恒为负（如果存在],[,21b a x x ∈，0)(1<x f ，0)(2>x f ，则由介值定理知存在η（介于1x 与2x 之间），使得0)(=ηf ，得出矛盾）。

下面分两种情形说明：
（1）若函数)(x f 在],[b a 上恒为正，由最值定理知存在],[b a ∈η，使得)()(ηf x f ≥，)(ηf 为函数)(x f 在],[b a 上的最小值，且0)(>ηf 。

对于],[b a ∈η，],[b a y ∈∀，都有 |)(|)()(|)(|ηηf f y f y f =≥=，即不存在],[b a y ∈，使得|)(|21|)(|ηf y f ≤
，与题设条件矛盾。

（2）若函数)(x f 在],[b a 上恒为负，同情形（1）类似，同样可以得出矛盾。

综上所述，假设不成立，亦即至少存在一点],[b a ∈ξ，使得0)(=ξf 。

3. 设)(x f 在),(+∞-∞上连续，0)(lim =∞→x
x f x ，求证：存在),(+∞-∞∈ξ，使得
0)(=+ξξf 。

证明：令x x f x F +=)()(，则
])([l i m )(l i m x x f x F x x +=-∞
→-∞→ x
x x f x x +⋅
=-∞→)(lim ]1)([lim +⋅=-∞→x
x f x x ]1)([lim lim +⋅=-∞→-∞→x
x f x x x -∞= ])([l i m )(l i m x x f x F x x +=+∞
→+∞→ x
x x f x x +⋅
=+∞→)(lim ]1)([lim +⋅=+∞→x
x f x x ]1)([lim lim +⋅=+∞→+∞→x
x f x x x +∞= 由)(x f 在),(+∞-∞上连续知)(x F 在),(+∞-∞上亦连续，从而由介值定理知存在),(+∞-∞∈ξ，使得0)()(=+=ξξξf F 。

注：本题最终要得到的是存在),(+∞-∞∈ξ，使得0)(=+ξξf ，故首先构造新函数
x x f x F +=)()(，),(+∞-∞∈x ，
继而讨论新函数)(x F 在其定义域),(+∞-∞的两个端点∞-和∞+处的符号问题（给出的题设条件只涉及到∞）。

4. 设)(x f 在),(+∞-∞上连续，x x f f =))((，求证：存在R ∈ξ，使得ξξ=)(f 。

证明：令x x f x F -=)()(，在R 中取一点1=x ，则
1)1()1(-=f F
)1())1(())1((f f f f F -=
)1(1f -=
)1)1((--=f
)1(F -=
下面分两种情形说明：
（1）若01)1(=-f ，可取1=ξ，得证。

（2）若01)1(≠-f ，则0))1(()1(<⋅f F F ，由)(x f 在),(+∞-∞上连续知)(x F 在),(+∞-∞上亦连续，从而)(x F 在)]1(,1[f （或]1),1([f ）上连续。

由介值定理知存在ξ（介于1和)1(f 之间），使得0)(=ξF ，亦即ξξ=)(f 。

注：本题最终要得到的是存在R ∈ξ，使得ξξ=)(f ，故首先构造新函数
x x f x F -=)()(，
要想用到题设条件x x f f =))((，首先应选定一个0x （可以在实数集中任意选取），从而得到一个区间)](,[00x f x （或]),([00x x f ），继而对新函数)(x F 在闭区间)](,[00x f x （或
]),([00x x f ）
上应用零点定理，讨论新函数)(x F 在其定义区间)](,[00x f x （或]),([00x x f ）的两个端点0x 和)(0x f 处的符号问题。

5. 若)(x f 在],[b a 上连续，)()(b f a f =，求证：存在),(b a ∈ξ，使)2()(a b f f -+=ξξ。

证明：令)2()()(a b x f x f x F -+-=，]2
,[a b a x +∈，则 )2
()()2()()(a b f a f a b a f a f a F +-=-+-= )()2
()()2()22()2()2(a f a b f b f a b f a b a b f a b f a b F -+=-+=-++-+=+ 于是有
)()2
(a F a b F -=+ 下面分两种情形说明： （1）若0)2(
)(=+-a b f a f ，亦即)22()()()2(a b a b f b f a f a b f -++===+，可取),(2
b a a b ∈+=
ξ，得证。

（2）若0)2()(≠+-a b f a f ，由)(x f 在],[b a 上连续知)(x F 在]2
,[a b a +上连续，且0)()2(<⋅+a F a b F ，从而由介值定理知存在),()2,(b a a b a ⊂+∈ξ，使得0)(=ξF ，亦
即)2
()(a b f f -+=ξξ。

注：本题最终要得到的是存在),(b a ∈ξ，使得)2()(a b f f -+
=ξξ，故首先构造新函数 )2
()()(a b x f x f x F -+-=， 而原函数)(x f 只在闭区间],[b a 上连续，要想确保新函数也连续，则x 应满足：
b x a ≤≤，b a b x a ≤-+
≤2， 解之得新函数)(x F 的定义域为]2
,[a b a +，所以在解题过程中需要讨论的是新函数)(x F 在其定义域]2,[a b a +的两个端点a 和2
a b +处的符号问题。

和本题不同，例题1不存在定义区间的变动问题（因为例题1中的)(x f 在),(+∞-∞上连续）。

6. 证明：方程0sin 2=-x x 在),2(ππ
内恰有一个实根。

证明：令x x x f sin 2)(-=，],2[
ππ∈x ，由0cos 21)(>-='x x f ，),2(ππ∈x 知)(x f 在],2[ππ
上严格单调递增，且
0222sin 22)2(<-=-=π
π
π
πf ，00sin 2)(>-=-=ππππf 由介值定理知存在),2(ππ
∈c ，使得0sin 2)(=-=c c c f ，且由)(x f 的严格单调性知c 唯
一，从而方程0sin 2=-x x 在),2(ππ
内恰有一个实根。

7. 证明：方程b ax x +=ln 至多有两个实根（其中b a ,为常数，0>a ）。

证明：令b ax x x f --=ln )(，),0(+∞∈x ，由a x x f -='1)(知)(x f 在]1,0(a
内严格单调递增，在),1[+∞a 内严格单调递减。

故方程0)(=x f 亦即b ax x +=ln 至多有两个实根（实根的个数完全取决于)1
(a
f 的值）。

具体情况如下： （1）若0)1
(>a
f ，有两个实根。

（2）若0)1(=a
f ，有一个实根。

（3）若0)1(<a f ，没有实根。

注：说明方程存在实根，只需要令出函数)(x f ，使用零点定理，而如果要进一步说明方程
的实根个数，则要结合函数)(x f 的严格单调性。

可以预见，如果函数)(x f 有n 个完整的严格单调区间，则0)(=x f 至多有n 个实根。

习题
1. 设)(x f 在],[b a 上连续，且a a f <)(，b b f >)(，试证在),(b a 内至少存在一点c ，使得c c f =)(。

2. 证明：若)(x f 在],[b a 上连续，且不存在任何],[b a x ∈，使得0)(=x f ，则)(x f 在],[b a 上恒正或恒负。

3. 证明：方程x e x 3=至少存在一个小于1的正根。

4. 证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个不大于a b +的正根。

5. 证明：方程221ex e x =
恰有一个实根。

6. 证明：方程212x x +=恰有三个实根。

努力就有收获!。