第三章3-2011
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t
b) 若 i 0, 有 lim Ai'e si t Ai' sin(i t i ), 则系统临界稳定
t
c)
若 i 0, 有 lim Ai'e si t , 则系统不稳定
t
袁松梅教授
a)
Tel：82339630
Email：yuansm@buaa.edu.cn
2. D2 0 故应取: a a 0.35 K 1 3 0.35 0.025K 0 D2 a0 a2 0.025 1 得： K 14 为保证闭环系统的稳定，增益K的可调范围是：0 K 14
由本例看出，加大开路增益将对系统的稳定性不利。根据稳 定性的要求确定的系统参数的允许范围，称之为参数的稳定域。
t
则系统稳定
' st ' b) 若 i 0, 有 lim Ai e i Ai , t
则系统临界稳定
若 i 0, 有 lim Ai'e si t , c) t 则系统不稳定
袁松梅教授 Tel：82339630 Email：yuansm@buaa.edu.cn
北京航空航天大学 (2) si为共轭复根i±ji
a1 s2 a2 s a3 0 a0 s
3
试给出系统的稳定条件。
解 系统稳定的充要条件由代数判据得：
1．
a0 0、1 0、2 0、3 0。 a a a
a1 a3
2． D1 0、 3 0或D2 0，取 D2 则 : D
D2
a0 a2
a1 a2 a0 a3 0
D( s)C(s) M (s)R( s) M 0 ( s)
输出为：
M ( s) M 0 ( s) C ( s) R( s ) D( s ) D( s )
特征方程为： Characteristic Equation:
D( s) a0 ( s si ) 0
i 1
n
其中，假定si(i=1,2,…,n)--characteristic root 为n个互异特征根。
D(s)闭环特征式，亦称输出端算子式，M(s)输 入端算子式，M0(S)取决于初始条件的多项式
袁松梅教授 Tel：82339630 Email：yuansm@buaa.edu.cn
北京航空航天大学
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
注意：由于 ai 0, 所以根据Lienard-Chipard定理，只要计算 1、3或2、4即可。 这样可以减小一半的计算量。
袁松梅教授 Tel：82339630 Email：yuansm@buaa.edu.cn
北京航空航天大学 机电控制工程基础 Fundamentals of Mechatronic Control Engineering [例] 系统特征方程（System characteristic equation）为：
即特征多项式中间两系数之积应大于两边系数之积。
袁松梅教授 Tel：82339630 Email：yuansm@buaa.edu.cn
北京航空航天大学 例3-8 单位负反馈系统的开环传递函数
G( s)
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
K s(0.1s 1)(0.25s 1)
试求保证闭环系统稳定，增益K的可调范围 解:经结构变换得系统闭环特征方程
s(0.1s 1)(0.25s 1) K 0
展开得:
0.025 s3 0.35 s2 s K 0
1. ai 0 则由闭环特征多项式看出，应有 K 0
则系统稳定的充分必要条件为：
1. 特征多项式中各项系数大于零，即
ai 0
(i 0,1,2,, n)
2.在由特征多项式各系数构造的n阶行列式Dn中，各奇数子 行列式或各偶数子行列式大于零，即 :
D1 0, D3 0, D5 0
或
D2 0, D4 0, D6 0
采用这种形式的判据可减少一半的计算工作量。
设线性定常系统微分方程为：
dn d n1 d dm d m1 d a0 n c(t ) a1 n1 c(t ) an1 c(t ) an c(t ) b0 m r(t ) b1 m1 r(t ) bm1 r(t ) bm r(t ) dt dt dt dt dt dt
j 1
Ai Bi Ci C ( s) i 1 s si j 1 s srj i 1 s si
n
l
n
c(t ) Ai e B j e
si t i 1 j 1
n
l
srjt
Ci e
i 1
n
si t
零状态响应
稳态分量
n
取决于输入
n
零输入响应
袁松梅教授 Tel：82339630 Email：yuansm@buaa.edu.cn
北京航空航天大学
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
3.4.2 稳定的数学条件(Condition of a stable system)
不稳定(Unstability, Unstable system)： 稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行 的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到 外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、 系统参数的变化、环境条件的改变等。如果系统不稳 定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状 态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的 稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论 的基本任务之一。 稳定性是系统的一种固有特性，只取决于系统的结构参 数，而与初始条件及外作用无关。
袁松梅教授
Tel：82339630
Email：yuansm@buaa.edu.cn
北京航空航天大学
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering l
设R(s)具有l个互异极点srj(j=1,2,…,l)即R(i)的分母为： ( s srj )
Email：yuansm@buaa.edu.cn
北京航空航天大学
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
古尔维茨(Hurwitz)稳定判据（Stability criterion ）
设系统的特征方程式为：a0 s n a1s n1 ... an1s an 0 则系统稳定的充要条件是： 0，且由特征方程系数构成的古 a0 尔维茨行列式全部为正。
式中：r(t)—输入，c(t)—输出, 作拉氏变换，得象方程(Taking L-transform, we have：)
[a0sn a1sn1 an1s an ]C(s) [b0sm b1sm1 bm1s bm ]R(s) M0 (s)
简写为：
D( s)C(s) M (s)R( s) M 0 ( s)
北京航空航天大学 3.4 3.4.1 稳定的概念 (Concept of stability ) 稳定 (Stability, Stable system)：
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
系统稳定性分析(Analysis of system stability)
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
Ai'esit Ai'e( i ji )t Ai'e( i ji )t Ai'e it sin(it i )
a) 若 i 0, 有 lim Ai'e si t 0, 则系统稳定
袁松梅教授 Tel：82339630 Email：yuansm@buaa.edu.cn
北京航空航天大学 劳思判据
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
设线性系统的特征方程为 a0 s n a1s n1 ... an1s an 0 则该系统稳定的充要条件为：
北京航空航天大学 令:
机电控制工程基础
A Ai Ci
' i
则有:
lim[ Ai'e sit ] 0
t i 1
n Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
系统的稳定性仅取决于特征根的性质。稳定的充分必要条 件为系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说si都位于s 平面的左半平面，即虚轴之左。 (1) si为实根i a) 若 i 0, 有 lim Ai'e si t 0,
北京航空航天大学Leabharlann Baidu
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
a1 a0
a3 a2 a1 a0
a5 a4 a3 a2 a5 a4
0 0
0 Dn 0 0
0 0
0
0 an
胡尔维茨行列式的构造：主对角线上的各项为特征方程的第二 项系数 a 至最后一项系数 a，在主对角线以下各行中各项系数 n 1 下标逐次减小，在主对角线以上各行中各项系数下标逐次增加。 当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。
D1 a1
D2
a1 a0
a3 a2
a1 a0 a3 a2 a1 a0 a5 a4 a3 a2
a1 D3 a0
a3 a2
a5 a4
a5 a4
0 Dn 0 0
袁松梅教授 Tel：82339630
0
0
0 a1 a3 0 0 0 0 an
Email：yuansm@buaa.edu.cn
50 400 1 0 0 0 0 0 0 200 1000 50 400 1
所以，系统是稳定的。
200 1000 50 400 0 50 400 1 50 0, 2 0, 3 1 200 1000 0 1 200 0 50 400 4 1000 3 0, 且a0 1 0
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北京航空航天大学 林纳德－奇帕特判据 系统特征方程为：
D( s ) a0 sn a1 sn1 an 0
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
稳定的条件:
Stable conditions
lim( Ai e sit Ci e sit ) 0
t
lim[ ( Ai Ci )e si t ] 0
t i 1
Email：yuansm@buaa.edu.cn
i 1 n
i 1
袁松梅教授
Tel：82339630
袁松梅教授 Tel：82339630 Email：yuansm@buaa.edu.cn
北京航空航天大学
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
s [例 ]：系统的特征方程为：0.001 4 0.05s 3 0.2s 2 0.4s 1 0 试用古尔维茨定理判稳。 [解]：系统的特征方程为：s 4 50s 3 200s 2 400s 1000 0 列胡尔维茨行列式如下：
b)
北京航空航天大学
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
判别系统是否稳定，归结为判别系统特征根实部的符号： Resi<0，稳定 Resi>0，不稳定 Resi=0，临界稳定，属不稳定 j s-平面
稳定区
o
袁松梅教授
Tel：82339630
b) 若 i 0, 有 lim Ai'e si t Ai' sin(i t i ), 则系统临界稳定
t
c)
若 i 0, 有 lim Ai'e si t , 则系统不稳定
t
袁松梅教授
a)
Tel：82339630
Email：yuansm@buaa.edu.cn
2. D2 0 故应取: a a 0.35 K 1 3 0.35 0.025K 0 D2 a0 a2 0.025 1 得： K 14 为保证闭环系统的稳定，增益K的可调范围是：0 K 14
由本例看出，加大开路增益将对系统的稳定性不利。根据稳 定性的要求确定的系统参数的允许范围，称之为参数的稳定域。
t
则系统稳定
' st ' b) 若 i 0, 有 lim Ai e i Ai , t
则系统临界稳定
若 i 0, 有 lim Ai'e si t , c) t 则系统不稳定
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北京航空航天大学 (2) si为共轭复根i±ji
a1 s2 a2 s a3 0 a0 s
3
试给出系统的稳定条件。
解 系统稳定的充要条件由代数判据得：
1．
a0 0、1 0、2 0、3 0。 a a a
a1 a3
2． D1 0、 3 0或D2 0，取 D2 则 : D
D2
a0 a2
a1 a2 a0 a3 0
D( s)C(s) M (s)R( s) M 0 ( s)
输出为：
M ( s) M 0 ( s) C ( s) R( s ) D( s ) D( s )
特征方程为： Characteristic Equation:
D( s) a0 ( s si ) 0
i 1
n
其中，假定si(i=1,2,…,n)--characteristic root 为n个互异特征根。
D(s)闭环特征式，亦称输出端算子式，M(s)输 入端算子式，M0(S)取决于初始条件的多项式
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机电控制工程基础
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注意：由于 ai 0, 所以根据Lienard-Chipard定理，只要计算 1、3或2、4即可。 这样可以减小一半的计算量。
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北京航空航天大学 机电控制工程基础 Fundamentals of Mechatronic Control Engineering [例] 系统特征方程（System characteristic equation）为：
即特征多项式中间两系数之积应大于两边系数之积。
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北京航空航天大学 例3-8 单位负反馈系统的开环传递函数
G( s)
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
K s(0.1s 1)(0.25s 1)
试求保证闭环系统稳定，增益K的可调范围 解:经结构变换得系统闭环特征方程
s(0.1s 1)(0.25s 1) K 0
展开得:
0.025 s3 0.35 s2 s K 0
1. ai 0 则由闭环特征多项式看出，应有 K 0
则系统稳定的充分必要条件为：
1. 特征多项式中各项系数大于零，即
ai 0
(i 0,1,2,, n)
2.在由特征多项式各系数构造的n阶行列式Dn中，各奇数子 行列式或各偶数子行列式大于零，即 :
D1 0, D3 0, D5 0
或
D2 0, D4 0, D6 0
采用这种形式的判据可减少一半的计算工作量。
设线性定常系统微分方程为：
dn d n1 d dm d m1 d a0 n c(t ) a1 n1 c(t ) an1 c(t ) an c(t ) b0 m r(t ) b1 m1 r(t ) bm1 r(t ) bm r(t ) dt dt dt dt dt dt
j 1
Ai Bi Ci C ( s) i 1 s si j 1 s srj i 1 s si
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i 1
n
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零状态响应
稳态分量
n
取决于输入
n
零输入响应
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3.4.2 稳定的数学条件(Condition of a stable system)
不稳定(Unstability, Unstable system)： 稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行 的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到 外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、 系统参数的变化、环境条件的改变等。如果系统不稳 定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状 态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的 稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论 的基本任务之一。 稳定性是系统的一种固有特性，只取决于系统的结构参 数，而与初始条件及外作用无关。
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设R(s)具有l个互异极点srj(j=1,2,…,l)即R(i)的分母为： ( s srj )
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古尔维茨(Hurwitz)稳定判据（Stability criterion ）
设系统的特征方程式为：a0 s n a1s n1 ... an1s an 0 则系统稳定的充要条件是： 0，且由特征方程系数构成的古 a0 尔维茨行列式全部为正。
式中：r(t)—输入，c(t)—输出, 作拉氏变换，得象方程(Taking L-transform, we have：)
[a0sn a1sn1 an1s an ]C(s) [b0sm b1sm1 bm1s bm ]R(s) M0 (s)
简写为：
D( s)C(s) M (s)R( s) M 0 ( s)
北京航空航天大学 3.4 3.4.1 稳定的概念 (Concept of stability ) 稳定 (Stability, Stable system)：
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
系统稳定性分析(Analysis of system stability)
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
Ai'esit Ai'e( i ji )t Ai'e( i ji )t Ai'e it sin(it i )
a) 若 i 0, 有 lim Ai'e si t 0, 则系统稳定
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机电控制工程基础
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设线性系统的特征方程为 a0 s n a1s n1 ... an1s an 0 则该系统稳定的充要条件为：
北京航空航天大学 令:
机电控制工程基础
A Ai Ci
' i
则有:
lim[ Ai'e sit ] 0
t i 1
n Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
系统的稳定性仅取决于特征根的性质。稳定的充分必要条 件为系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说si都位于s 平面的左半平面，即虚轴之左。 (1) si为实根i a) 若 i 0, 有 lim Ai'e si t 0,
北京航空航天大学Leabharlann Baidu
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
a1 a0
a3 a2 a1 a0
a5 a4 a3 a2 a5 a4
0 0
0 Dn 0 0
0 0
0
0 an
胡尔维茨行列式的构造：主对角线上的各项为特征方程的第二 项系数 a 至最后一项系数 a，在主对角线以下各行中各项系数 n 1 下标逐次减小，在主对角线以上各行中各项系数下标逐次增加。 当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。
D1 a1
D2
a1 a0
a3 a2
a1 a0 a3 a2 a1 a0 a5 a4 a3 a2
a1 D3 a0
a3 a2
a5 a4
a5 a4
0 Dn 0 0
袁松梅教授 Tel：82339630
0
0
0 a1 a3 0 0 0 0 an
Email：yuansm@buaa.edu.cn
50 400 1 0 0 0 0 0 0 200 1000 50 400 1
所以，系统是稳定的。
200 1000 50 400 0 50 400 1 50 0, 2 0, 3 1 200 1000 0 1 200 0 50 400 4 1000 3 0, 且a0 1 0
袁松梅教授 Tel：82339630 Email：yuansm@buaa.edu.cn
北京航空航天大学 林纳德－奇帕特判据 系统特征方程为：
D( s ) a0 sn a1 sn1 an 0
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
稳定的条件:
Stable conditions
lim( Ai e sit Ci e sit ) 0
t
lim[ ( Ai Ci )e si t ] 0
t i 1
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i 1 n
i 1
袁松梅教授
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s [例 ]：系统的特征方程为：0.001 4 0.05s 3 0.2s 2 0.4s 1 0 试用古尔维茨定理判稳。 [解]：系统的特征方程为：s 4 50s 3 200s 2 400s 1000 0 列胡尔维茨行列式如下：
b)
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机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
判别系统是否稳定，归结为判别系统特征根实部的符号： Resi<0，稳定 Resi>0，不稳定 Resi=0，临界稳定，属不稳定 j s-平面
稳定区
o
袁松梅教授
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