第2课时矩形的判定

第2课时矩形的判定
1.能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他
相关结论；
2.经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到
解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；
3.学生通过对比前面所学知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转
化等数学思想方法；
4.通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生
对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。

自学指导：阅读课本P14~16，完成下列问题.
1.对角线相等的平行四边形是矩形.
2.有三个角是直角的四边形是矩形.
知识探究
1.如图，在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？
问题:当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
命题：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：如图，在□ABCD中，AC,DB是它的两条对角线，AC=BD.
求证：□ABCD是矩形.
根据平行四边形的对边相等，再加上AC=BD，AB=AB得出△ABC≌△BAD,得出∠ABC=∠BAD；又AD∥BC,得出∠ABC+∠BAD=180°，∴∠ABC=∠BAD=90°.∴对角线相等的平行四边形是矩形.
2.李芳同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边——直角、边——直角、边——直角、边”，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
命题：有三个角是直角的四边形是平行四边形.
已知：四边形ABCD，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
∠A=∠B=90°得出AD∥BC,∠B=∠C=90°得出AB∥DC，得出四边形ABCD是平行四边形，又有角是90°，所以是矩形.
自学反馈
1.能够判断一个四边形是矩形的条件是( )
A.对角线相等
B.对角线垂直
C.对角线互相平分且相等
D.对角线垂直且相等
2.矩形的一组邻边分别长3 cm和4 cm，则它的对角线长 cm.
3.如图，直线EF∥MN，PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠NCA、∠FAC的角平分线，
(1)AB和CD、BC和AD的位置关系？
(2)∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB各等于多少度？
(3)四边形ABCD是( )
A.菱形
B.平行四边形
C.矩形
D.不能确定
(4)AC和BD有怎样的大小关系？为什么？
活动1 小组讨论
例1如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，△ABO是等边三角形，AB=4.
求□ABCD的面积.
解：∵△ABO 是等边三角形，
∴OA=OB=AB.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC ，OB=OD.
∴OA=OC=OB=OD.
∴AC=BD.
∴四边形ABCD 是矩形.
∴∠ABC=90°.
∵OA=AB=4，AC=2OA=8，
∴由勾股定理得：BC=
∴□ABCD 的面积是BC
×AB=
=
先通过对角线相等证明此平行四边形为矩形，再通过矩形的面积公式求.
活动2 跟踪训练
1.下列说法错误的是（ ）
A ．有一个内角是直角的平行四边形是矩形
B ．矩形的四个角都是直角，并且对角线相等
C ．对角线相等的平行四边形是矩形
D ．有两个角是直角的四边形是矩形
2.如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A ．AB=CD
B ．AD=B
C C ．AB=BC
D ．AC=BD
3.在四边形ABCD 中，AC 和BD 的交点为O ，则不能判断四边形ABCD 是矩形的是（ ）
A ．A
B ＝CD ，AD ＝B
C ，AC ＝BD
B ．AO ＝CO ，BO ＝DO ，∠A ＝90°
C ．∠A ＝∠C ，∠B ＋∠C ＝180°，∠AOB ＝∠BOC
D ．AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝90°
4.如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是 .（填上你认为正确的一个答案即可）
5.如图，直角AOB ∠内的任意一点P 到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为 ．
.344822=-344⨯.316
6.延长等腰△ABC 的腰BA 到D ，CA 到E ，分别使AD=AB ，AE=AC ，则四边形BCDE 是_______，其判定根据是___ _____ ．
7.已知四个角都是直角的四边形叫做矩形．如图是小张剪出的一个四边形ABCD 硬纸片，现他沿垂直于BC 的线段AE 剪下△ABE ，然后放到△DCF 处，使AB 与CD 重合，此时测得四边形AEFD 是矩形．那么小张剪出的原四边形ABCD 是 形．判定的依据是 ．
8.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先解出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB=CD ，EF=GH ；
（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理
是： ；
（3）将直角尺靠近窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如
图③④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： .
9.如图，在▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ．
（1）求证：△ADE ≌△CBF ；
（2）求证：四边形BFDE 为矩形．
课堂小结
矩形的判定方法:
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
教学至此，敬请使用《名校课堂》相关课时部分.
【预习导学】
自学反馈
A
B C
D E
F G
H ①②③
④
** 2.5
3.(1)解：AB ∥CD ，BC ∥AD.
(2)解：90°.
(3) C
(4)解：相等.因为矩形的对角线相等.
活动2 跟踪训练
** 2.D 3.C 4.如∠A=90° 5.12
6.矩形 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
7.平行四边形 有三个角是直角的四边形是矩形
8.（2）平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形.
9.证明：（1）∵DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，
∴∠AED=∠CFB=90°．
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD=BC ，∠A=∠C ．
在△ADE 和△CBF 中，.AED CFB A C AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，，
∴△ADE ≌△CBF （AAS ）．
（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴CD ∥AB ．
∴∠CDE+∠DEB=180°.
∵∠DEB=90°,
∴∠CDE=90°．
∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°．
∴四边形BFDE 为矩形．。