2.2.2直线方程的几种形式(2)

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课件6：2.2.2 直线方程的几种形式

【错因分析】上述解法的错误主要在于“误把直线在两轴上的截距当作距离”．【防范措施】直线在两轴上的截距是直线与坐标轴交点的横、纵坐标，而不是距离，因此本题在先求得截距后，应对截距取绝对值再建立面积表达式．
【正解】设 l：y＝－43x＋b，令 x＝0 得 y＝b；令 y＝0 得 x＝34b，由题意得12·|b|·|34b|＝6，∴b2＝16，∴b＝±4. 故直线 l 的方程为 y＝－43x±4.
所以直线 l 的方程为 y＋2＝－(x－3)或 y＋2＝－32(x－3)，即 x＋y－1＝0 或 2x＋3y＝0.
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5．直线方程的其他形式都可以转化为一般式，因此在解题时若没有特殊的说明，应把最后的结果化为直线方程的一般式.
当堂检测
1．过点 P(－2,0)，斜率是 3 的直线的方程是( )
A．y＝3x－2
B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2)
D．y＝3(x＋2)
【解析】由点斜式直线方程得 y－0＝3(x＋2)，即 y＝3(x＋ 2)，故选 D.
分母、移项就可以转化为直线的一般式方程；反过来，直线的一般式方程也可以化为斜截式、截距式方程．注意斜截式、截距式方程的适用条件．
变式训练根据下列条件写出直线方程，并把它化成一般式： (1)过点 A(－2,3)，斜率为－35； (2)在 x 轴，y 轴上的截距分别为－3 或 4.
【解】 (1)由直线的点斜式可得直线方程为 y－3＝－35(x＋2)，化为一般式为 3x＋5y－9＝0. (2)∵直线在 x 轴，y 轴上的截距分别为－3 和 4， ∴直线过点(－3,0)和(0,4)，∴直线的斜率 k＝43，
2.2.2 直线方程的几种形式

2.2.2直线方程的几种形式(第2课时).

2.2.2 直线方程的几种形式（第2课时）直线方程的一般式【预习达标】1.平面直角坐标系中的任一条直线是否都能用方程来表示.2.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线都有一个表示这条直线的______________;任何___________都表示一条直线.方程________________叫做直线方程的一般式.3.所谓直线方程的一般式和__________、_________、__________、_________之间的互化主要是指：直线的_________、_________、_________和_________化为_________；_________化为_______、________.把一般式化为点斜式或两点式时由于取点的任意性，所以得到的方程的形式各异.4.0B ≠时，直线0Ax By C ++=的斜率是_______，0,0B A =≠在y 轴上的截距为______；0,0B A =≠ 时，直线方程化为________.5.在方程0Ax By C ++=中，A 、B 、C 为何值时，方程表示的直线： ①平行于x 轴②平行于y 轴③与x 轴重合④与y 轴重合【课前达标】1.如果直线326x y +=的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则有( ). A.3,32k b =-= B.2,33k b =-=-C.3,32k b =-=-D.2,33k b =-= 2.若方程0Ax By C ++=表示的直线平行于y 轴，则A 、B 、C 满足关系().A.0,0A B =≠B.0,0A C ≠=C.0,0A B ≠=且0C ≠D. A 、B 、C 不同时为0.3.斜率为3且过A （5，3）的直线方程的一般形式是若方程22(23)()410m m x m m y m +-+--+=表示一条直线，则实数m 满足________.【典型例题】例1：设直线l 的方程为（a+1）x+y+2-a=0，若l 在两坐标轴上的截距相等，求l的方程。

人教B版必修2练习2.2.2 直线方程的几种形式两点式、截距式、一般式 Word版含解析

课时目标掌握直线方程的两点式、截距式、一般式及各种方程之间的互化．的图象可能是( )直线在，轴上的截距分别为，，且＜，排除，，，故选.．若∈，直线－－－＝恒过一个定点，则这个定点的坐标为( )．(，－) ．(－)．(－) ．(，－)答案：解析：＋＝(－)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(，－)．．已知直线：－－＝，：－＋＝(≠，≠)，则它们的图象为( )答案：解析：考虑直线与坐标轴的交点．二、填空题(每个分，共分)．已知直线过(，－)和(－)，则直线的方程为．答案：＋－＝解析：因为直线过点(，－)和(－)，由两点式方程，得＝，即＝，可化为＋－＝.．已知直线与两坐标轴相交且被两轴截得的线段的中点是()，则此直线的方程为．答案：＋－＝解析：设直线与轴的交点为()，与轴的交点为(，)，则由已知得：＝，＝，即＝，＝，所以所求直线的方程为＋＝，即＋－＝.．已知≠，直线＋－＝过点(－)，则此直线的斜率为．答案：解析：因为直线＋－＝过点(－)，所以－＋－＝，得＝－，所以直线方程为－＋－＝.又≠，所以≠，所以直线方程－＋－＝可化为－＋－＝，即＝＋，故此直线的斜率为.三、解答题．(分)求过点()，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线方程．解：设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，当＝时，直线过原点()，所以由直线方程的两点式，可得直线的方程为＝，可化为－＝.当≠时，可设直线的截距式方程为＋＝.又直线过点()，将其代入，得＋＝，解得＝，此时直线的方程为＋＝，可化为＋－＝.所以所求直线的方程为－＝或＋－＝.．(分)三角形的顶点分别是(－)，(，－)，()，求这个三角形三边所在直线的方程．解：∵直线过(－)，(，－)两点，由直线方程的两点式，得直线的方程为＝，可化为＋＋＝.∵直线过(，－)，()两点，由直线方程的两点式，得直线的方程为＝，可化为＋－＝.∵直线过(－)，()两点，由直线方程的两点式，得直线的方程为＝，可化为－＋＝.能力提升．(分)若两点(，)和(，)的坐标，分别满足－＋＝和－＋＝，则经过这两点的直线方程为．答案：－＋＝解析：因为两点确定一条直线，所以由题意可知所求直线方程为－＋＝.．(分)一条直线从点()出发，经过轴反射，通过点(－)，求入射光线与反射光线所在的直线方程．。

课件3：2.2.2 直线方程的几种形式

(3)直线过点P(4,2)，且与y轴平行，故斜率不存在，所以直线方程为x＝4，一般式方程为x－4＝0.
典型例题类型1 求直线的点斜式方程例1 写出下列直线的点斜式方程. (1)经过点(2,5)，倾斜角为45°； (2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程； (3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行； (4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直.
探究点直线截距式方程的应用探究1 已知直线l过点(2,0)，(0,3)，能否写出直线l的方程？【答案】能.直线 l 的截距式方程为2x＋3y＝1. 探究2 直线的截距式方程能否与其他形式相互转化？【答案】能.
典型例题
例4 设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)， (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
(3)直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0,1).
典型例题
类型3 直线的两点式方程例3 在△ABC中，A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)， (1)求BC所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程.
【解析】 ∵方程可变形为y＋2＝－(x＋1)， ∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1. 【答案】 C
2.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )
A.k>0，b>0
B.k>0，b<0
C.k<0，b>0
D.k<0，b<0
【解析】 ∵直线经过一、三、四象限，
由图知，k>0，b<0.

课件4：2.2.2　直线方程的几种形式第1课时直线的点斜式方程和两点式方程

【题后反思】 (1)用待定系数法求直线方程的步骤： ①设方程；②定参数；③写答案．(2)设直线方程的点斜式时，要注意点斜式的适用条件．
【变式 3】已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求满足下列条件的直线 l 的方程： (1)过定点 A(－3,4)；(2)斜率为61.
解 (1)设直线 l 的方程是 y＝k(x＋3)＋4，它在 x 轴， y 轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知，得(3k＋4)4k＋3＝±6，解得 k1＝－32或 k2＝－83. 故直线 l 的方程为 2x＋3y－6＝0 或 8x＋3y＋12＝0.
(2)直线 BC 的方程由两点式可得2y－－((－－33))＝0x－－33，化简得：5x＋3y－6＝0，这就是直线 BC 的方程． (3)因为直线 AC 在 x 轴、y 轴上的截距分别是－5,2，由直线方程的截距式得直线 AC 的方程为－x5＋2y＝1，即 2x－5y＋10＝0.
【变式2】已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)， C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．
如图，l1 绕点 P 按顺时针方向旋转 30°，得到直线 l2 的倾斜角为 α2＝150°－30°＝120°， ∴k2＝tan 120°＝－ 3，∴l2 的方程为 y－2＝－ 3(x＋1)，即 3x＋y－2＋ 3＝0.
方法点评本例中，通过画图分析，得到两条直线的倾斜角之间关系，再利用 l1 的斜率，从而求出它的倾斜角，进而求出 l2 的倾斜角、斜率．因此我们要善于用数形结合的方法来分析已知条件之间关系，从而找到解题的切入点．
【变式 1】 (1)求经过点(－ 2，2)，倾斜角是 60°的直线方程． (2)求经过点(10,3)且平行于 x 轴的直线方程． (3)求经过点(－3，－2)，倾斜角是 120°的直线方程． (4)倾斜角是 45°，在 y 轴上的截距是 2 的直线方程．

2.2.2直线方程的几种形式

3、设直线l 的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，分别根据下列条件确定m的值：（1） l 在X轴上的截距是-3；（2）斜率是-1.
4、设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－ a=0(a∈R)．（1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程；（2）若 l 不经过第二象限，求实数a的取值范围．
y
l
(2) B=0 , A≠0 , C≠0
o
x
二、二元一次方程的系数对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，
方程表示的直线：
(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;
y
o
l
(3) A=0 , B≠0 ,C=0
x
二、二元一次方程的系数对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，
小结：
斜率和一点坐标斜率k和截距b 点斜式斜截式
y y0 k ( x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点坐标
两点式
点斜式
y y0 k ( x x0 )
x y 1 a b
两个截距化成一般式
截距式
Ax+By+C=0
求直线的一般式方程 Ax By C 0(在A, B都不为零时)
的斜率和截距的方法：
A （1）直线的斜率 k＝－ B （2）直线在y轴上的截距b C C y 令x=0，解出值，则 b B B (3) 直线与x轴的截距a 令y=0，解出 x C 值，则 a C A A

2.2.2 直线方程的几种形式

思考
1.在直线方程y-1=k(x+1)中，k取遍所有的实数，可得
无数条直线，这无数条直线都过哪一点？ (1,1)
2.方程y-1=k(x+1)能表示过该点的所有直线吗？
NO
过该点的所有直线的方程应该表示为？
y-1=k(x+1)
或x=-1
如果一条直线通过点（ 0，b), 且斜率为 k,
则直线的方程为：
解法二：设直线与坐标轴轴的交点为A(a,0),B(0,b)
由题意，得：|
a| b
a
|
b 3 4
|
a2 b2 12
y
B(0,b)
解得：ba
43或ba
4 3
A(a,0)
o
x
变式练习
1.求过点P（1,2）与坐标轴的正半轴相交，且围成的三角形面积为4的直线方程。
2x y 4 0
2.过点A（2,4）可作在x轴，y轴上的截距相等的直线有几条？你会求吗？
直线l的斜率k l
P0
O
x
巩固练习：说出下列直线方程
(1)过点P（2,1），k 1 y 1 (x 2)
(2)过点Q（0,3），k 1 2
y 3 1 (x 0) 2
(3)过点M（- 2,3），倾斜角为450 y 3 x 2
（4）过点C（2,3），平行于x轴 y 3
（5）过点C（2,3），平行于y轴 x 2
y 3x 1
3.直线的斜率为3，截距为0的直线方程：
y 3x
变式：
1.求过点A(6,-4),斜率为- 4的直线斜截式方程： 3
y 4 4 (x 6)即y 4 x 4
3
3
2.已知直线方程为2x+y-1=0,求直线的斜率，

【教育资料】056--2.2.2 直线方程的几种形式(2)学习专用

例3、（1）求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．
昆虫记阅读题及答案
（2）求过点(4，－3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．
武术期末考试试卷
教学工作情况五、课堂练习
机器人教学存在的问题1、过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为()
新军事变革全面发展始于。A．y＝x＋3B．y＝－x＋1C．y＝x＋2D．y＝－x－2
高一数学（2019级）导学案
课型：新授课编制人：年级主任：班级：姓名：编号：056
2.2.2直线方程的几种形式（2）
一、学习目标
1、掌握直线方程的两点式．
2、掌握直线方程的截距式．
3、进一步巩固截距的概念．
二、基础知识
1、直线方程的两点式和截距式
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
两
点
式
P1(x1，y1)，
B．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为＋＝1
C．直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为b
D．不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式
2、一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程()
A．可以写成两点式或截距式B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或截距式D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
P2(x2，y2)，
其中x1≠x2，
y1≠y2
＝
斜率存在
且不为0
截
距
式
在x，y轴上的
截距分别为a，b且ab≠0
斜率存在且不为0，
不过原点
2、线段ห้องสมุดไป่ตู้中点坐标公式
若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则．

2.2.2 直线方程的几种形式2

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济南市长清中学
【课内练习】 1．如果方程 Ax＋By＋C＝0 表示的直线是 y 轴，则 A、B、C 满足( ) A．B· C＝0 B．A≠0 C．B· C＝0 且 A≠0 D．A≠0 且 B＝C＝0 2．直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，若直线 l 过原点和二、四象限，则( ) A．C＝0，B>0 B．A>0，B>0，C＝0 C．AB<0，C＝0 D．AB>0，C＝0 3．已知直线 Ax＋By＋C＝0 在两坐标轴上的截距相等，则系数 A、B、C 满足的条件是( A．A＝B B．|A|＝|B|且 C≠0 C．A＝B 或 C＝0 D．A＝B 且 C≠0 4．直线 x＋2y－1＝0 在 x 轴上的截距为________． 5．经过点 P(－3，－2)且在两坐标轴的截距互为相反数的直线方程为________．【课后练习】 1．在 x 轴和 y 轴上截距分别是－2,3 的直线方程是( ) A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0 C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0 2．已知直线 l 的方程为 9x－4y＝36，则 l 在 y 轴上的截距为( ) A．9 B．－9 C．4 D．－4 4 3．若直线的斜率为－，且直线不经过第一象限，则直线的方程可能是( ) 3 A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y－42＝0 C．4x＋3y＋8＝0 D．3x＋4y－42＝0 4. 已知两直线的方程分别为 l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( ) A．b>0，d<0，a<c B．b>0，d<0，a>c C．b<0，d>0，a>c D．b<0，d>0，a<c

教学设计5：2.2.2 直线方程的几种形式

2.2.2 直线方程的几种形式整体设计教学分析教材利用斜率公式推导出了直线的点斜式方程，利用直线的点斜式方程推导出了直线的斜截式方程，让学生讨论得出直线的两点式方程，在练习B中给出了直线的截距式方程．值得注意的是本节所讨论直线方程的四种形式中，点斜式方程是基础是一个“母方程”，其他方程都可以看成是点斜式方程的“子方程”．因此在教学中要突出点斜式方程的教学，其他三种方程形式可以让学生自己完成推导．三维目标1．掌握直线的点斜式方程和斜截式方程；了解直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，培养普遍联系的辩证思维能力．2．理解直线的两点式方程和截距式方程，并能探讨直线方程不同形式的适用范围，提高学生思维的严密性．3．会求直线方程，提高学生分析问题和解决问题的能力．重点难点教学重点：直线方程的四种形式及应用．教学难点：求直线方程．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.我们知道两点确定一条直线，除此之外，在平面直角坐标系中，一个定点和斜率也能确定一条直线，那么怎样求由一点和斜率确定的直线方程呢？教师引出课题．设计2.上一节我们已经学习了直线方程的概念，其中直线y＝kx＋b就是我们本节所要进一步学习的内容，教师引出课题．推进新课新知探究提出问题(1)如左下图所示，已知直线l过P0(x0，y0)，且斜率为k，求直线l的方程．(2)已知直线l 过点P (0，b )，且斜率为k (如右上图)，求直线l 的方程． (3)已知两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，求直线AB 的方程．(4)已知直线l 在x 轴上的截距是a ，在y 轴上的截距是b ，且a ≠0，b ≠0.求证直线l 的方程可写为x a ＋yb ＝1.(这种形式的直线方程，叫做直线的截距式方程)讨论结果：(1)设点P (x ，y )为直线l 上不同于P 0(x 0，y 0)的任意一点，则直线l 的斜率k 可由P 和P 0两点的坐标表示为k ＝y －y 0x －x 0.即y －y 0＝k (x －x 0)．①方程①就是点P (x ，y )在直线l 上的条件．在l 上的点的坐标都满足这个方程，坐标满足方程①的点也一定在直线l 上．方程①是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程．特别地，当k ＝0时，直线方程变为y ＝y 0.这时，直线平行于x 轴或与x 轴重合． (2)直线l 的点斜式方程为y －b ＝k (x －0)．整理，得y ＝kx ＋b .这个方程叫做直线的斜截式方程．其中k 为斜率，b 叫做直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距，简称为直线的截距．这种形式的方程，当k 不等于0时，就是我们熟知的一次函数的解析式． (3)设P (x ，y )是直线AB 上任一点，则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1，所以直线AB 的点斜式方程为y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，整理得y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)，这种形式的方程叫做直线的两点式方程．(4)直线l 过点(a ,0)，(0，b )，则直线l 的两点式方程为y －0b －0＝x －a 0－a，整理得x a ＋yb ＝1.这种形式的直线方程，叫做直线的截距式方程．应用示例思路1例1 求下列直线的方程： (1)直线l 1：过点(2,1)，k ＝－1； (2)直线l 2：过点(－2,1)和点(3，－3)．解：(1)直线l 1过点(2,1)，斜率k ＝－1.由直线的点斜式方程，得y －1＝－1(x －2)，整理，得l 1的方程为x ＋y －3＝0. (2)我们先求出直线的斜率，再由点斜式写出直线方程．直线l 2的斜率k ＝－3－13－(－2)＝－45，又因为过点(－2,1)，由直线的点斜式方程，得y －1＝－45[x －(－2)]，整理，得l 2的方程4x ＋5y ＋3＝0.另解：直线l 2的两点式方程为y －1－3－1＝x ＋23＋2，整理，得4x ＋5y ＋3＝0.点评：为了统一答案的形式，如没有特别要求，直线方程都化为ax ＋by ＋c ＝0的形式．变式训练分别求出通过点P (3,4)且满足下列条件的直线方程，并画出图形： (1)斜率k ＝2；(2)与x 轴平行；(3)与x 轴垂直．解：(1)这条直线经过点P (3,4)，斜率k ＝2，点斜式方程为y －4＝2(x －3)，可化为2x －y －2＝0.如图(1)所示．图(1)(2)由于直线经过点P (3,4)且与x 轴平行，即斜率k ＝0，所以直线方程为y ＝4. 如图(2)所示．图(2)(3)由于直线经过点P (3,4)且与x 轴垂直，所以直线方程为x ＝3. 如图(3)所示．图(3)例2 已知三角形三个顶点分别是A (－3,0)，B (2，－2)，C (0,1)，求这个三角形三边各自所在直线的方程．解：如下图，因为直线AB 过A (－3,0)，B (2，－2)两点，由两点式，得y －0x －(－3)＝－2－02－(－3)，整理，得2x ＋5y ＋6＝0，这就是直线AB 的方程；直线AC 过A (－3,0)，C (0,1)两点，由两点式，得y －0x －(－3)＝1－00－(－3)，整理，得x －3y ＋3＝0，这就是直线AC 的方程；直线BC 的斜率是k ＝1－(－2)0－2＝－32，过点C (0,1)，由点斜式，得y －1＝－32(x －0)，整理得3x ＋2y －2＝0，这就是直线BC 的方程．例3 求过点(0,1)，斜率为－12的直线的方程．解：直线过点(0,1)，表明直线在y 轴上的截距为1，又直线斜率为－12，由直线的斜截式方程，得y ＝－12x ＋1.即x ＋2y －2＝0. 变式训练1．直线l ：y ＝4x －2在y 轴上的截距是______，斜率k ＝______.【答案】－2 42．已知直线l ：y ＝kx ＋b 经过第二、三、四象限，试判断k 和b 的符号．解：如下图所示因为直线l 与x 轴的正方向的夹角是钝角，与y 轴交点位于y 轴的负半轴上，所以k <0，b <0.思路2例4 过两点(－1,1)和(3,9)的直线l 在x 轴上的截距是______，在y 轴上的截距是______．【解析】直线l 的两点式方程是x ＋13＋1＝y －19－1，当x ＝0时，y ＝3；当y ＝0时，x ＝－32.即直线l 在x 轴上的截距等于－32，在y 轴上的截距等于3.【答案】－323点评：已知直线的截距式方程，可以直接观察得出在两坐标轴上的截距；已知直线的非截距式方程时，令x ＝0，解得y 的值即是在y 轴上的截距，令y ＝0，解得x 的值即是在x 轴上的截距．变式训练已知直线过点P (－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程．解：因为直线与x 轴不垂直，所以可设直线的方程为y －3＝k (x ＋2)．令x ＝0，得y ＝2k ＋3；令y ＝0，得x ＝－3k－2.∴由题意，得12|(2k ＋3)(－3k －2)|＝4.若(2k ＋3)(－3k －2)＝－8，无解；若(2k ＋3)(－3k －2)＝8，解得k ＝－12，k ＝－92.∴所求直线的方程为y －3＝－12(x ＋2)和y －3＝－92(x ＋2)，即x ＋2y －4＝0和 9x ＋2y ＋12＝0.例5 设△ABC 的顶点A (1,3)，边AB 、AC 上的中线所在直线的方程分别为x －2y ＋1＝0，y ＝1，求△ABC 中AB 、AC 各边所在直线的方程．【解析】为了搞清△ABC 中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出图形，帮助思考问题．解：如下图，设AC 的中点为F ，则AC 边上的中线BF 为y ＝1.AB 边的中点为E ，则AB 边上中线CE 为x －2y ＋1＝0.设C 点坐标为(m ，n )．在A 、C 、F 三点中A 点已知，C 点未知，F 虽然为未知但其在中线BF 上，满足y ＝1这一条件．这样用中点公式⎩⎨⎧m ＋12＝F 点横坐标，n ＋32＝F 点纵坐标1.解出n ＝－1.又C 点在中线CE 上，应当满足CE 的方程，则m －2n ＋1＝0. ∴m ＝－3.∴C 点为(－3，－1)．用同样的思路去求B 点．设B 点为(a ，b )，显然b ＝1. 又B 点、A 点、E 点中，E 为中点，B 点为(a ,1)， E 点坐标为(1＋a 2，3＋12)，即(1＋a2，2)．E 点在CE 上，应当满足CE 的方程1＋a2－4＋1＝0，解出a ＝5.∴B 点为(5,1)．由两点式，即可得到AB ，AC 所在直线的方程．l AC ：x －y ＋2＝0.l AB ：x ＋2y －7＝0. 点评：此题思路较为复杂，应从中领悟到两点： (1)中点公式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来．变式训练已知点M (1,0)，N (－1,0)，点P 为直线2x －y －1＝0上的动点，则|PM |2＋|PN |2的最小值为多少？解：∵P 点在直线2x －y －1＝0上， ∴设P (x 0,2x 0－1)．∴|PM |2＋|PN |2＝(2x 0－1)2＋(x 0－1)2＋(2x 0－1)2＋(x 0＋1)2＝2(2x 0－1)2＋2x 20＋2 ＝10x 20－8x 0＋4＝10(x 0－25)2＋125≥125. ∴最小值为125.例6 经过点A (1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．解：当截距为0时，设y ＝kx ，过点A (1,2)，则得k ＝2，即y ＝2x . 当截距不为0时，设x a ＋y a ＝1或x a ＋y－a ＝1，过点A (1,2)，则得a ＝3，或a ＝－1，即x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.综上，所求的直线共有3条：y ＝2x ，x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.点评：本题易漏掉直线y ＝2x ，其原因是忽视了直线方程的截距式满足的条件之一：在两坐标轴上的截距均不为零．变式训练过点P (4，－3)的直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．解：直线l 在两坐标轴上的截距相等都为0时，直线过(0,0)、(4，－3)，由两点式得直线方程为y ＝－34x ；当直线l 在两坐标轴上的截距相等且不为0时，可以设截距为a ，直线方程为x a ＋ya＝1，过点(4，－3)，解得直线的方程为x ＋y ＝1. 知能训练1．经过点(－2，2)，倾斜角是30°的直线的方程是( ) A ．y ＋2＝33(x －2) B ．y ＋2＝3(x －2) C ．y －2＝33(x ＋2) D ．y －2＝3(x ＋2) 【答案】C2．已知直线方程y －3＝3(x －4)，则这条直线经过的已知点，倾斜角分别是( ) A ．(4,3)，60° B ．(－3，－4)，30° C ．(4,3)，30° D ．(－4，－3)，60°【答案】A3．直线方程可表示成点斜式方程的条件是( )A ．直线的斜率存在B ．直线的斜率不存在C ．直线不过原点D ．不同于上述答案【答案】A4．直线y ＝－3(x －2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程是______．【解析】直线y ＝－3(x －2)的倾斜角为120°，绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°后，倾斜角为120°－30°＝90°，则所得直线方程是x ＝2，即x －2＝0. 【答案】x －2＝05．已知△ABC 的顶点坐标为A (－1,5)、B (－2，－1)、C (4,3)，M 是BC 边上的中点． (1)求AB 边所在的直线方程； (2)求中线AM 的长；解：(1)由两点式写方程，得y －5－1－5＝x ＋1－2＋1，即6x －y ＋11＝0. (2)设M 的坐标为(x 0，y 0)，则由中点坐标公式，得x 0＝－2＋42＝1，y 0＝－1＋32＝1，故M (1,1)，AM ＝(1＋1)2＋(1－5)2＝2 5.6．已知如下图，正方形边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程．【解析】由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程．而正方形的对称轴PQ 、MN 、x 轴、y 轴则不能用截距式，其中PQ 、MN 应选用斜截式，x 轴，y 轴的方程可以直接写出．解：因为|AB |＝4，所以|OA |＝|OB |＝42＝2 2. 因此A 、B 、C 、D 的坐标分别为(22，0)、(0,22)、(－22，0)、(0，－22)．所以AB 所在直线的方程是x22＋y 22＝1，即x ＋y －22＝0.BC 所在直线的方程是x －22＋y22＝1，即x －y ＋22＝0.CD 所在直线的方程是x －22＋y－22＝1，即x ＋y ＋22＝0.DA 所在直线的方程是x22＋y －22＝1，即x －y －22＝0. 对称轴方程分别为x ±y ＝0，x ＝0，y ＝0.拓展提升如下图，要在土地ABCDE 上划出一块长方形地面(不改变方向)，问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积(单位：m)．解：如下图，建立直角坐标系，在线段AB 上任取一点P 分别向CD 、DE 作垂线，划得一矩形土地．∵AB 方程为x 30＋y 20＝1，∴P (x ,20－2x3)(0≤x ≤30)，则S 矩形＝(100－x )[80－(20－2x 3)]＝－23(x －5)2＋6 000＋503(0≤x ≤30)，∴当x ＝5，y ＝503，即P (5，503)时，(S 矩形)max ＝18 0503(m 2)．课堂小结本节课学习了：1．直线方程的四种形式； 2．会求直线方程；3．注意直线方程的使用条件，尤其关注直线的斜率是否存在从而分类讨论．设计感想本节教学设计，以课程标准为指南，对直线方程的四种形式放在一起集中学习，这样有利于对比方程的适用范围，比教材中分散学习效果要好，特别是应用示例思路2的总体难度较大，适用于基础扎实、学习有余力的同学．。

2020学年高中数学2.2.2直线方程的几种形式第2课时直线方程的一般式学案人教B版必修2

第2课时直线方程的一般式1．掌握直线的一般式方程． 2．会进行直线方程不同形式的转化．1．直线方程的一般式我们把方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)(*)叫做直线的一般式方程． (1)当B ≠0时，方程(*)可化为y ＝－A B x －C B．它表示斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－C B的直线．(2)当B ＝0时，由于A ，B 不同时为零，必有A ≠0，于是方程(*)可化为x ＝－C A．它表示一条与y 轴平行或重合的直线．2．一般式与几种特殊式的区别与联系(1)联系：都反映了确定直线方程需要两个独立条件．(2)区别：几种特殊式主要揭示直线的几何特征，一般式主要揭示坐标平面内的直线与二元一次方程的关系．1．如何理解直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中要求A 2＋B 2≠0？解：如果A 2＋B 2＝0，则A ＝B ＝0，此时Ax ＋By ＋C ＝0变为C ＝0，而C ＝0不能表示直线方程．2．根据下列条件写出直线方程，并把它化成一般式： (1)过点A (－2，3)，斜率为－35；(2)在x 轴，y 轴上的截距分别为－3和4．解：(1)由直线的点斜式可得直线方程为y －3＝－35(x ＋2)，化为一般式为3x ＋5y －9＝0．(2)由直线方程的截距式，得x －3＋y4＝1，代为一般式，得4x －3y ＋12＝0．求直线的一般式方程根据下列条件写出直线方程，并化为一般式方程．(1)斜率为2，且在y 轴上的截距为1； (2)经过点P 1(－2，1)，P 2(3，2)两点； (3)在x 轴、y 轴上的截距分别为3、－5； (4)经过点P (4，－3)，且垂直于x 轴．【解】 (1)由题意知，直线的斜截式方程为y ＝2x ＋1，化为一般式方程为2x －y ＋1＝0．(2)由题意知，直线的两点式方程为y －12－1＝x ＋23＋2，化为一般式方程为x －5y ＋7＝0．(3)由题意知，直线的截距式方程为x 3＋y－5＝1，化为一般式方程为5x －3y －15＝0．(4)由题意知，直线方程为x ＝4，化为一般式方程为x －4＝0．根据已知条件求直线方程的解题策略在求直线方程时，设一般式方程并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程，一般选用规律为：(1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时，选用点斜式； (2)已知直线的斜率和在y 轴上的截距时，选用斜截式； (3)已知直线上两点坐标时，选用两点式；(4)已知直线在x 轴，y 轴上的截距时，选用截距式．已知直线x ＋2y －4＝0，(1)把该直线方程化成斜截式，并求其斜率；(2)把该直线方程化成截距式，并求其在坐标轴上的截距．解：(1)把该直线化成斜截式，得y ＝－12x ＋2，所以该直线的斜率为－12；(2)把该直线化成截距式，得x 4＋y2＝1，故直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为2．直线方程的应用已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0． (1)求证：不论a 为何值，直线l 恒过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．【解】 (1)证明：将直线l 的方程整理得y －35＝a (x－15)，所以l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限，故直线l 恒过第一象限．(2)直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3．因为l 不经过第二象限，结合图象可知a ≥3．针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax ＋By ＋C ＝0进行变形是解决这类问题的关键．在求参量取值范围时，巧妙地利用数形结合思想会使问题简单明了．1．已知直线kx ＋y －k ＝0与射线3x －4y ＋5＝0(x ≥－1)有交点，求实数k 的取值范围．解：kx ＋y －k ＝0过定点Q (1，0)且斜率为－k ，点S ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12为射线3x －4y ＋5＝0的端点．因为k QS ＝－14，结合图象知，若要有交点，则－k >34或－k ≤－14，所以k <－34或k ≥14．2．求证：直线(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0无论k 取任何实数必过定点，并求出此定点．解：原直线方程可整理为：(x ＋y )＋k (x －y －2)＝0，则直线(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0通过直线l 1：x ＋y ＝0与l 2：x －y －2＝0的交点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1．所以直线过定点(1，－1)．1．求直线方程，表面上需求A 、B 、C 三个系数，由于A 、B 不同时为零，若A ≠0，则方程化为x ＋BA y ＋C A ＝0，只需确定B A 、C A的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋C B ＝0，只需确定A B 、C B的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．这样在以后求直线方程时会有章可循． 2．直线方程的其他形式都可以化成一般形式．解题时，如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式．3．在一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)中，若A ＝0，则y ＝－C B ，它表示一条与y 轴垂直的直线；若B ＝0，则x ＝－C A，它表示一条与x 轴垂直的直线．选择直线的点斜式和斜截式时，应考虑斜率不存在的情形；选择截距式时，应考虑零截距及与坐标轴平行的情形；选择两点式时，应考虑与坐标轴平行的情形．1．如果方程Ax ＋By ＋C ＝0表示的直线是y 轴，则A 、B 、C 满足( ) A ．B ·C ＝0 B ．A ≠0C ．B ·C ＝0且A ≠0D ．A ≠0且B ＝C ＝0 答案：D2．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( ) A ．C ＝0，B >0 B ．A >0，B >0，C ＝0 C ．AB <0，C ＝0 D ．AB >0，C ＝0解析：选D ．通过直线的斜率和截距进行判断． 3．直线x ＋2y －1＝0在x 轴上的截距为．解析：令y ＝0，得x ＝1．答案：14．经过点P (－3，－2)且在两坐标轴的截距互为相反数的直线方程为．答案：y ＝23x 或x －y ＋1＝0[学生用书P113(单独成册)])[A 基础达标]1．在x 轴和y 轴上截距分别是－2，3的直线方程是( ) A ．2x －3y －6＝0 B ．3x －2y －6＝0 C ．3x －2y ＋6＝0D ．2x －3y ＋6＝0解析：选C ．直线的截距式方程为x －2＋y3＝1，化为一般式方程为3x －2y ＋6＝0．2．已知直线l 的方程为9x －4y ＝36，则l 在y 轴上的截距为( ) A ．9 B ．－9 C ．4 D ．－4答案：B3．已知直线Ax ＋By ＋C ＝0在两坐标轴上的截距相等，则系数A 、B 、C 满足的条件是( ) A ．A ＝B B ．|A |＝|B |且C ≠0 C ．A ＝B 或C ＝0 D ．A ＝B 且C ≠0 答案：C4．不论m 为何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12B ．(－2，0)C ．(2，3)D ．(－2，3) 解析：选D ．直线化为点斜式为y －3＝(m －1)(x ＋2)，所以直线恒过定点(－2，3)，故选D ．5．等边△PQR 中，P (0，0)、Q (4，0)，且R 在第四象限内，则PR 和QR 所在直线的方程分别为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±3(x －4)C ．y ＝3x 和y ＝－3(x －4)D ．y ＝－3x 和y ＝3(x －4)解析：选D ．易知R (2，－23)，由两点式知D 正确．6．已知A ＋B ＋C ＝0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0必过定点．解析：令x ＝y ＝1，得A ＋B ＋C ＝0，所以过定点(1，1)．答案：(1，1)7．直线(2a 2－7a ＋3)x ＋(a 2－9)y ＋3a 2＝0的倾斜角为45°，则实数a ＝．解析：由题意斜率存在，倾斜角为45°，即k ＝1．所以－2a 2－7a ＋3a 2－9＝1，解得a ＝－23或3．当a ＝3时，2a 2－7a ＋3与a 2－9同时为0，所以应舍去，所以a ＝－23．答案：－238．直线(2t －3)x ＋2y ＋t ＝0不经过第二象限，则t 的取值范围是．解析：由题意得直线的斜率k ＝3－2t 2≥0，且在y 轴上的截距－t 2≤0，解得0≤t ≤32．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，329．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)求证：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围．解：(1)证明：直线l 的方程可变形为y －1＝k (x ＋2)．令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1. 所以无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1)． (2)当k ＝0时，直线l 为y ＝1，符合条件．当k ≠0时，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧k >0，－1＋2kk ≤0，1＋2k ≥0，解得k >0．综上可知，k 的取值范围是{k |k ≥0}．10．菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程．解：设菱形的四个顶点为A 、B 、C 、D ，如图所示．根据菱形的对角线互相垂直且平分可知，顶点A 、B 、C 、D 在坐标轴上，且A 、C 关于原点对称，B 、D 也关于原点对称．所以A (－4，0)，C (4，0)，B (0，3)，D (0，－3)，由截距式，得直线AB 的方程为x －4＋y3＝1，即3x －4y ＋12＝0；直线BC 的方程为x 4＋y 3＝1，即3x ＋4y －12＝0；直线AD 的方程为x－4＋y－3＝1，即3x ＋4y ＋12＝0；直线CD 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0．[B 能力提升]11．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限解析：选C ．把直线方程化为斜截式，得y ＝－ab x ＋c b，因为ab <0，bc <0，所以－a b >0，c b<0．所以直线经过第一、三、四象限．12．已知直线l ：x －2y ＝0和两个定点A (1，1)，B (2，2)，点P 为直线l 上的一动点，则使|PA |2＋|PB |2取得最小值的P 点坐标为．解析：设P 点坐标为P (x ，y )，则x ＝2y ，所以|PA |2＋|PB |2＝(x －1)2＋(y －1)2＋(x －2)2＋(y －2)2＝10(y －910)2＋1910，所以当y ＝910时，|PA |2＋|PB |2最小，最小值为1910，此时x ＝2y ＝2×910＝95，所以P 点坐标为(95，910)．答案：(95，910)13．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )， (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)当直线l 过原点时，该直线在x 轴和y 轴的截距为零，显然相等，所以当a ＝2时，方程为3x ＋y ＝0；当a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2，解得a ＝0，所以直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0．综上所述，所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0．(2)将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，解得a ≤－1．所以a 的取值范围为a ≤－1．14．(选做题)已知实数a ∈(0，2)，直线l 1：ax －2y －2a ＋4＝0和l 2：2x ＋a 2y －2a 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形．(1)求证：无论实数a 取何值，直线l 2必过定点，并求出定点坐标； (2)求实数a 取何值时，所围成的四边形面积最小？最小面积是多少？解：(1)因为直线l 2：2x ＋a 2y －2a 2－4＝0，所以a 2(y －2)＋(2x －4)＝0，所以直线l 2恒过直线y ＝2和2x －4＝0的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2，所以交点坐标为(2，2)．即无论a 取何值时，直线l 2恒过定点且定点坐标为(2，2)． (2)因为直线l 1：ax －2y －2a ＋4＝0，l 2：2x ＋a 2y －2a 2－4＝0，所以直线l 1与y 轴的交点为A (0，2－a )，直线l 2与x 轴的交点为B (a 2＋2，0)．因为直线l 1：ax －2y －2a ＋4＝0也恒过定点C (2，2)，所以过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，S 四边形AOBC ＝S 梯形AODC ＋S △BCD＝12(2－a ＋2)×2＋12a 2×2＝a 2－a ＋4＝(a －12)2＋154．因为a ∈(0，2)，所以当a ＝12时，S 四边形AOBC 最小，最小值是154．即实数a ＝12时，所围成的四边形面积最小，最小值是154．。

2.2.2直线方程的几种形式(2)

（2）直线方程的几种特殊形式都有其使用的局限性，解题过程中要能够根据不同的题设条件，灵活选用恰当的直线形式求直线方程。
例5．已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1 =0的交点为P(2，3)，求过两点Q1(a1，b1) , Q2(a2，b2)的直线方程.
解：P(2，3)在已知直线上，
（2）斜率是2，经过点（2，1） (2) y 1 2(x 2)
（3）经过点（2，3）和（-1，3） (3) y 3
（4）经过点（2，1）和（-2，-7） (4) y 1 x 2 7 1 2 2
（5）在x轴，y轴上的截距分别为 -3, -1 (5) x y 1 3 1
不垂直于x、y轴的直线
截距式在x轴上的截距a
在y轴上的截距 b
x y 1 ab
不垂直于x、y轴的直线不过原点的直线
一般式
Ax By C 0
(A, B不全为0）任意直线
例1：求引例中的各直线的一般式方程
(1) y 4x 2
4x y 2 0
(2) y 1 2(x 2) 2x y 3 0
对直线的一般式方程的理解 1．两个独立的条件可求直线方程：
求直线方程，表面上需求A、B、C三个系数，由于A、B不同时为零，
若A≠0，则方程化为 x B y C 0，只需确
定 B ,的C 值；
AA
AA
若B≠0，同理只需确定两个数值即可；
因此，只要给出两个条件，就可以求出
直线方程；
2．直线方程的其他形式都可以化成一般式，解题时，如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式，一般式也可以化为其他形式。

高中数学第二章 2.2.2直线方程的几种形式(二)课件新人教B版必修2

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研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高效
问题 3 关于 x，y 的二元一次方程的一般形式是什么？
答关于 x，y 的二元一次方程的一般形式是 Ax＋By＋C＝0，其中 A，B 不同时为零．问题 4 每一个关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(A， B 不同时为零)都表示一条直线吗？为什么？答都表示一条直线，原因如下：当 B≠0 时，方程 Ax＋By＋C＝0 可变形为 y＝－ABx－CB，它表示过点(0，－CB)，斜率为－AB的直线．当 B＝0 时，方程 Ax＋By＋C＝0 变成 Ax＋C＝0，即 x＝－CA，它表示与 y 轴平行或重合的一条直线．小结关于 x，y 的二元一次方程都表示一条直线．
问题 1 前面我们学习了直线方程哪几种形式？分别写出其
方程？
答点斜式：已知直线上一点 P1(x1，y1)的坐标，和直线的斜率 k，则直线的方程是 y－y1＝k(x－x1)；
斜截式：已知直线的斜率 k，和直线在 y 轴上的截距 b，则
直线方程是 y＝kx＋b；
两点式：已知直线上两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线的方程是yy2－－yy11＝xx2－－xx11；
[问题情境] 前面我们学习了直线方程的四种表达形式，它们都含有 x， y 这两个变量，并且 x，y 的次数都是一次的，即它们都是关于 x，y 的二元一次方程，那么直线的方程与二元一次方程有怎样的关系？本节我们就来研究这个问题．
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研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高效
探究点直线与二元一次方程的关系
而点 (2)解
A直15，线35O在A第的一斜象率限为，k＝故3515直－－线00＝l 恒3.而过直第线一象l 的限方．程

直线方程的几种形式

2．2．2直线方程的几种形式（2）
一、学习目标：
1、掌握直线方程的几种形式；
2、了解不同形式的直线方程的推导过程。

二、学习重点：根据所给条件灵活选取适当形式和方法求出直线方程。

三、学习难点：清楚各种形式的直线方程的局限性，把握求直线方程的灵活性。

四、新知：
直线的一般式方程是： ,当 B 0时，化为斜截式方程为,斜率为，在y 轴上的截距为.
五、例题：已知直线过点（-2，5），k=-3
4
,求此直线的一般式方程。

六、当堂检测：
1、根据直线方程，求直线的斜率及y轴上的截距：
（1）2x-3y-6=0 (2)3x-y-7=0
(3)2x-5y=0 (4)x+y=3
2、求下列直线与两条坐标轴围成的三角形的面积：
（1）3x-y+1=0 （2）5x-3y+2=0
（3）x+y-1=0 （4）x+3y-6=0
3、已知平行四边形ABCD,其中三个顶点的坐标为A（0，0），B（3，0），C（5，3），求它的对角线AC,BD所在的直线方程。

4、已知点A（-3，2），B(1,-4),求AB的垂直平分线的方程。

（提示：利用两点间距离公式）
5、已知点A（-1，2），B（2，1）C（0，4），求三角形ABC三条边所在直线的斜率。

6、直线Ax+By+C=0的系数满足何条件时
（1）过坐标原点
（2）直线只与x轴相交
（3）直线只与y轴相交
（4）直线与x轴平行或重合
（5）直线与y轴平行或重合
7、与两坐标轴的正方向围成面积为2的三角形且截距差为3的直线方程。

原创2：2.2.2 直线方程的几种形式（二）（问题导学式）

C．ab<0，bc>0
D．ab<0，bc<0
y
解析：由题设条件可知b≠0，将直线方程化成斜截式

得：y＝－ x－．∵直线过第一、二、三象限，∴它

的斜率与在y轴上的截距均为正，

∴－ >0，－ >0.∴ab<0，bc<0，∴应选择D.

O
x
课堂练习
1.若直线 l 在 x 轴上的截距为-4，倾斜角的正切值为1，
【问题1】上述四种直线方程有什么共同特征？Fra bibliotek【提示】
它们都含有x，y这两个变量，并且x，y的次数都是
一次的，即它们都是关于x，y的二元一次方程，它们又都可以
变形为Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）的形式.
探究点1
直线的方程与二元一次方程之间的关系
【问题2】关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）
1 3
(2)由(1)知直线恒过定点A( ， ).
5 5
y
1 3
A( ， )
5 5
直线OA的斜率为kOA＝3.
直线l恒过A点，且斜率为a，
则要使直线l不经过第二象限，须k＝a≥3.
O
x
规律总结：
1.直线过定点问题通常方法有：
①化直线为点斜式，从而求出定点；
②以参数a为主元，化直线为关于参数a的方程，根据等式恒成
都表示直线吗？
【提示】
A C
A
若B≠0，方程可化为：y＝− x− ，表示斜率为− ，在
B B
B
C
C
y轴上截距为− 的直线；若B=0，方程可化为x＝− ，表示垂直于x

课时作业23：2.2.2　直线方程的几种形式(二)

2.2.2直线方程的几种形式(二)1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为() A．A≠0 B．B≠0C．A·B≠0 D．A2＋B2≠02．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为() A．－2 B．2 C．－3 D．33．若AC<0，BC<0，则直线Ax＋By＋C＝0不通过() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．经过点P(4,2)且在x，y轴上的截距相等的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条5．直线kx－y＋1＝3k，当k变化时，所有直线都通过定点______________．6．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．7．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为3，且经过点A(5,3)；(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1.8．已知直线l经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l的方程，并将直线的方程化为一般式．9．已知△ABC的顶点A(5，－2)，B(7,3)且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x 轴上．(1)求顶点C的坐标；(2)求直线MN的方程．10．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)求证：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围．参考答案1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】B5．【答案】(3,1)6．【答案】－4157．解 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，即3x －y ＋3－53＝0.(2)x ＝－3，即x ＋3＝0.(3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0.(4)y ＝3，即y －3＝0.(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，即2x ＋y －3＝0.(6)由截距式方程得x －3＋y －1＝1，即x ＋3y ＋3＝0. 8．解由题意知直线不过原点，且与两坐标轴都相交，可设直线l 的方程为x a ＋y b＝1， ∵直线l 过点P (－5，－4)，∴－5a ＋－4b＝1，即4a ＋5b ＝－ab .又12|a |·|b |＝5，即|ab |＝10，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋5b ＝－ab ，|ab |＝10得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－52，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2. 故所求直线l 的方程为x －52＋y 4＝1或x 5＋y －2＝1. 即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.9．解 (1)设M (0，m )，N (n,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x C ＋x A ＝2x M y C ＋y A ＝2y M ，⎩⎪⎨⎪⎧x C ＋x B ＝2x N y C ＋y B ＝2y N ， ∴x C ＝0－5＝－5，y C ＝0－3＝－3，∴点C 的坐标为(－5，－3)．(2)∵2m ＝y C ＋y A ＝－3＋(－2)＝－5，故m ＝－52.2n ＝x C ＋x B ＝－5＋7＝2，故n ＝1.∴直线MN 的方程为x 1＋y －52＝1，即5x －2y －5＝0.10．(1)证明直线l 的方程可变形为k (x ＋2)＝y －1.令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1. 所以无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)解当k ＝0时，直线l 为y ＝1，符合条件，当k ≠0时，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不过经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，－1＋2k k ≤01＋2k ≥0，解得k >0.综上可知，k 的取值范围是k ≥0.。

2.2.2直线方程的几种形式(2)

课件6：2.2.2 直线方程的几种形式

2.2.2直线方程的几种形式(第2课时).

人教B版必修2练习2.2.2 直线方程的几种形式 两点式、截距式、一般式 Word版含解析

课件3：2.2.2 直线方程的几种形式

课件4：2.2.2 直线方程的几种形式 第1课时 直线的点斜式方程和两点式方程

2.2.2直线方程的几种形式

2.2.2 直线方程的几种形式

【教育资料】056--2.2.2 直线方程的几种形式(2)学习专用

2.2.2 直线方程的几种形式2

教学设计5：2.2.2 直线方程的几种形式

2020学年高中数学2.2.2直线方程的几种形式第2课时直线方程的一般式学案人教B版必修2

2.2.2直线方程的几种形式(2)

高中数学 第二章 2.2.2直线方程的几种形式(二)课件 新人教B版必修2

直线方程的几种形式

原创2：2.2.2 直线方程的几种形式（二）（问题导学式）

课时作业23：2.2.2 直线方程的几种形式(二)

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