2019届高考数学总复习第二单元函数第5讲函数的值域与最值检测

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全国版高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第5讲对数与对数函数课件理

对数形式
特点
记法
一般对数
底数为(>0,且≠1)
logN
常用对数
底数为10
lg N
自然对数
底数为e
ln N
考点1 对数与对数运算
2.对数的性质、运算法则及重要公式
性质
运算法则
考点1 对数与对数运算
选用e或10作为底数.(2)表中有关公式均
是在式子中所有对数符号有意义的前提下成立的.
考点2 对数函数的图象与性质
1.对数函数的图象和性质
0<<1
>1
图象
定义域:(0,+∞).
值域:R.
图象过定点(1,0),即恒有log1=0.
性质
当>1时,恒有>0;当0<<1时,恒有<0. 当>1时,恒有<0;当0<<1时,恒有>0.
在(0,+∞)上是增函数.
在(0,+∞)上是减函数.
可.
当0<<1时,显然不成立.
当>1时,如图2-5-3所示,要使在区间(1,2)上,
f1()=(-1)2的图象在f2()=log的图象的下方,
只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤log2,所以log2≥1,
解得1<≤2.
答案 C
图2-5-3
考法2 对数函数的图象及应用
方法技巧对数型函数图象的考查类型及解题思路
定,需分>1与0<<1两种情况讨论.
先将化为以为底数的对数式的形式,再借助函数
=log的单调性求解.
将不等式两边化为同底的两个对数式,利用对数函数
的单调性“脱去”对数符号,同时应保证真数大于零.

函数的值域与最值知识点归纳

函数的值域与最值知识点归纳函数是数学中的重要概念，是描述两个集合之间元素的对应关系。

在函数的研究中，值域和最大最小值是两个重要的知识点。

本文将对函数的值域与最值进行归纳与总结，以帮助读者更加深入地理解和掌握这些知识点。

一、函数的值域值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

即对于函数f(x)，其值域为所有符合f(x) = y的y的取值。

确定函数的值域可以采用以下方法：1. 列表法：将定义域内所有可能的输入值代入函数，得到对应的输出值，将这些输出值按照从小到大的顺序排列，即可得到函数的值域。

2. 图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的值域。

需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的值域。

3. 函数表达式法：通过分析函数的解析表达式，确定函数的值域。

例如，对于一次函数f(x) = ax + b，由于a为常数，那么当x趋向于正无穷或负无穷时，f(x)也趋向于正无穷或负无穷，因此可以确定该一次函数的值域为整个实数集。

二、函数的最大最小值最大最小值是函数在定义域内取得的最大和最小的输出值。

确定函数的最大最小值可以采用以下方法：1. 导数法：对函数进行求导，找到导数为零的点和导数不存在的点，然后将这些点代入原函数，得到对应的函数值，即为函数的最大最小值。

需要注意的是，在求导的过程中，要注意判断定义域的边界情况。

2. 极值点法：对于闭区间上的函数，可以通过求解函数的极值点来确定函数的最大最小值。

首先求解函数的驻点，即导数为零或不存在的点，然后将这些驻点以及端点的函数值进行比较，得到函数的最大最小值。

3. 函数图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的最大最小值。

需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的最大最小值，并对比得到整个函数的最大最小值。

综上所述，函数的值域与最值是函数研究中的重要内容。

确定函数的值域可以通过列表法、图像法和函数表达式法等方法进行，确定函数的最大最小值可以通过导数法、极值点法和函数图像法等方法进行。

2019年高考数学真题考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性

考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性一、选择题1.(2019·全国卷Ⅱ理科·T12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是()A.-∞,B.-∞,C.-∞,D.-∞,【命题意图】考查函数的性质、不等式的解法以及数学运算,属于较难题.【解析】选B.如图,令f(x)=-,结合图象可得f(x-1)=-,则f(x-2)=-,当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)=-,解得x=或,当f(x)=-时,x=或,即若f(x)≥-,对任意x∈(-∞,m]都成立,则m≤.2.(2019·全国卷Ⅱ文科·T6)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=e x-1,则当x<0时,f(x)= ()A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+1【命题意图】考查函数的奇偶性以及求函数的解析式.【解析】选D.当x<0时,则-x>0,则有f(-x)=e-x-1,又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=-e-x+1.3.(2019·全国卷Ⅲ理科·T11同2019·全国卷Ⅲ文科·T12)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则()A.f>f(-)>f(-)B.f>f(-)>f(-)C.f(-)>f(-)>fD.f(-)>f(-)>f【命题意图】本题考查函数的性质的应用,意在考查考生利用函数的奇偶性、单调性、指数与对数的性质的求解能力.【解析】选C.依据题意,函数f(x)为偶函数且函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,则函数f(x)在(-∞,0)上单调递增;因为f=f(-log34)=f(log34);又因为0<-<-<1<log34,所以f(-)>f(-)>f.二、填空题4.(2019·全国卷Ⅱ理科·T14)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-e ax.若f(ln 2)=8,则a=.【命题意图】考查函数的奇偶性以及数学运算能力.【解析】因为ln 2>0,所以-ln 2<0,由于f(x)是奇函数,所以f(-ln 2)=-f(ln 2)=-8,即-e(-ln 2)a=-8,解得a=-3.答案:-35.(2019·江苏高考·T14)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=-(-),g(x)=(),,-,,其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.【命题意图】主要考查数形结合和直线与圆的位置关系,属综合题,对知识运用能力综合考查.【解析】当x∈(0,2]时,f(x)=-(-),即(x-1)2+y2=1,y≥0.又f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,其周期为4,如图,函数f(x)与g(x)的图象(部分),要使f(x)=g(x)在(0,9]上有8个不同实根,只需二者图象有8个交点即可.当g(x)=-时,函数f(x)与g(x)的图象有2个交点;当g(x)=k(x+2)时,g(x)的图象为恒过点(-2,0)的直线,只需函数f(x)与g(x)的图象有6个交点.当f(x)与g(x)图象相切时,圆心(1,0)到直线kx-y+2k=0的距离为1,即=1,得k=,函数f(x)与g(x)的图象有3个交点;当g(x)=k(x+2)过点(1,1)时,函数f(x)与g(x)的图象有6个交点,此时1=3k,得k=.综上可知,满足f(x)=g(x)在(0,9]上有8个实根的k的取值范围为,.【题后反思】本题考点为参数的取值范围,侧重函数方程的多个实根,难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误,根据函数的周期性平移图象,找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数,从而确定参数的取值范围.答案:,。

2019届高考数学一轮复习第二章函数的概念函数课时跟踪训练5 函数的值域与解析式文

学习资料专题课时跟踪训练(五) 函数的值域与解析式[基础巩固]一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，f x －，x >0，则f (5)＝( ) A ．32 B ．16 C.12D.132[解析] f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝2－1＝12，故选C.[答案] C2．(2018·烟台模拟)函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞)[解析] ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)，则x －1∈(－∞，0)∪[1,4)． ∴2x －1∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.[答案] A3．(2017·北京东城第一学期联考)若函数f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2xD ．3＋sin2x[解析] f (sin x )＝3－cos2x ＝2＋2sin 2x ，所以f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝3＋cos2x . [答案] C4．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－x＋1B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xD ．y ＝1－2x[解析] A 项，因为5－x＋1>1，所以函数值域为(0,1)；B 、D 项的函数值域为[0，＋∞)；C 项，因为1－x ∈R ，根据指数函数的性质可知函数的值域为(0，＋∞)，故选C.[答案] C5．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( ) A ．(x ＋1)2B ．(x －1)2C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋1[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.[答案] C6．(2018·江西临川一中月考)若函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．(－∞，0)∪[3，＋∞)[解析] 令f (x )＝ax 2＋2ax ＋3，∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，∴f (x )＝ax 2＋2ax ＋3的函数值取遍所有的非负实数，∴a 为正实数，∴该函数图象开口向上，∴只需ax 2＋2ax ＋3＝0的判别式Δ＝(2a )2－12a ≥0，即a 2－3a ≥0，解得a ≥3或a ≤0(舍去)．故选B.[答案] B 二、填空题7．函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为________．[解析] y ＝1－x 2x ＋5＝－12x ＋＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5.∵722x ＋5≠0，∴y ≠－12， ∴函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12.[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－128．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (3)＝________.[解析] ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2(x ≠0)，∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11.[答案] 119．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．[解析] 设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知， f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时， f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.所以0≤a ≤1.[答案] [0,1] 三、解答题10．求下列函数的值域： (1)y ＝1－x21＋x 2；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x ＋1x＋1；(4)y ＝x ＋4－x 2.[解] (1)y ＝1－x 21＋x 2＝－1－x 2＋21＋x 2＝－1＋21＋x 2.由1＋x 2≥1，得0<21＋x 2≤2，所以－1<－1＋21＋x 2≤1.故函数的值域为(－1,1]． (2)y ＝－2x 2＋x ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋258. 由0≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋258≤258，得0≤y ≤524.故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，524.(3)当x >0时，x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时取等号，所以x ＋1x＋1≥3；当x <0时，x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，所以x ＋1x＋1≤－1.故函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (4)设x ＝2cos θ(0≤θ≤π)，则y ＝x ＋4－x 2＝2cos θ＋4－4cos 2θ＝2cos θ＋2sin θ ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4 由0≤θ ≤π，得π4≤θ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，－2≤y ≤22，故函数的值域为[－2,22]．[能力提升]11．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x[解析] 选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |,2f (x )＝2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2x －2|x |,2f (x )＝2x －2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项C ，f (2x )＝2x ＋1,2f (x )＝2x ＋2，故f (2x )≠2f (x )；选项D ，f (2x )＝－2x,2f (x )＝－2x ，故f (2x )＝2f (x )．故选C.[答案] C12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12[解析] 因为当x ≥1时， f (x )＝ln x ≥0, f (x )的值域为R ，所以当x <1时，f (x )＝(1－2a )x ＋3a 的值域包含一切负数．当a ＝12时，(1－2a )x ＋3a ＝32不成立；当a >12时，(1－2a )x ＋3a >1＋a ，不成立；当a <12时，(1－2a )x ＋3a <1＋a .由1＋a ≥0，得a ≥－1.所以－1≤a <12.故选C.[答案] C13．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于__________．[解析] 由已知得1⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 －2≤x ≤1，x 21<x ≤2，当x ∈[－2,2]时，2⊕x ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，－2≤x ≤1，x 3－2，1<x ≤2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.[答案] 614．(2013·安徽卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________________.[解析] 当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－x x ＋2.[答案] －x x ＋215．已知函数f (x )＝－a2x 2＋－a x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为[0，＋∞)，求实数a 的取值范围． [解] (1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合要求； (ⅱ)当a ＝－1时， f (x )＝6x ＋6，定义域不为R .②若1－a 2≠0，g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数， ∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )≥0，∀x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ＝－a 2－－a2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，a －a ＋⇒－511≤a <1.综合①②得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－511，1. (2)∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)，∴函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数，①当1－a 2≠0时有⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ＝－a 2－－a2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，a －a ＋⇒－1<a ≤－511.②当1－a 2＝0时a ＝±1，当a ＝1时，f (x )＝6不合题意．当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－511. 16．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 是常数，且a ≠0)满足条件：f (2)＝0，且方程f (x )＝x 有两个相等实根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]？如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．[解] (1)方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ，亦即ax 2＋(b －1)x ＝0，由方程有两个相等实根，得Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0， ∴b ＝1.①由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0，②由①、②得，a ＝－12，b ＝1，故f (x )＝－12x 2＋x .(2)假设存在实数m 、n 满足条件，由(1)知，f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，则2n ≤12，即n ≤14.∵f (x )＝－12(x －1)2＋12的对称轴为x ＝1，∴当n ≤14时，f (x )在[m ，n ]上为增函数．于是有⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝2m ，fn ＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0.又m <n ≤14，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0.故存在实数m ＝－2，n ＝0，使f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为[2m,2n ]．[延伸拓展]设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x ∈R ，(f ·g )(x )＝f [g (x )]．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )[解析] 对于A ，(f ·f )(x )＝f [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，f x ，f 2x ，f x，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.[答案] A。

高考数学求函数的值域与最值练习题(含答案)

高考考点精练专辑019函数及其表示(九)求函数的值域与最值九、求函数的值域与最值求函数的值域与最值，虽有区别，但方法基本相同。

求出的值域除小数情况(只有几个有限元素组成的集合)外都可以用区间表示，可能是开区间，也可是闭区间、左开右闭区间、左闭右开区间，还可能是多个区间的并集。

求出的值域中，有的能直接找出最值(含有闭区间)，有的也许找不出最值(都是开区间)。

㈠、求函数的值域求函数的值域是学习中的难点，方法因题而易，灵活多样。

常用的方法有：直接法、图像法、单调法、换元法，反解法(解方程法，即方程思想)、判别式法、分离常数法、配方法、导数法等。

1.(2019上海文理同卷13)(共23题的第13题 4道选择题第1题 150分占5分) 下列函数中，值域为[)0,+∞的是( )A.2xy = B.12y x = C.tan y x = D.cos y x = 答案：B解：2x y =的值域为()0,+∞，故A 错；12y x =的定义域为[)0,+∞，值域也是[)0,+∞，故B 正确；tan y x =的值域为(),-∞+∞，故C 错；cos y x =的值域为[]1,1-，故D 错。

因此，选B 。

点拔：直接求四个选项中的函数的值域即可。

2.(2016北京理14)(共20题 6道填空题第6题 150分占5分)设函数()33,,2,,x x x a f x x x a ⎧-≤=⎨->⎩①若0a =，则()f x 的最大值为；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是。

答案：2； (),1-∞-解：如图作出函数()33g x x x =-与直线直线2y x =-的图象，它们的交点是()1,2A -，()0,0O ，()1,2B -，由()233g x x '=-，知1x =是函数()g x 的极大值点，BA-112-2-22yxO①当0a=时，()33,0,2,0,x x xf xx x⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x的最大值是()12f-=；②由图象知当1a≥-时，()f x有最大值是()12f-=；只有当1a<-时，由332a a a-<-，因此()f x无最大值，∴所求a的范围是(),1-∞-。

2019版高考数学(文)第2章函数、导数及其应用第5讲指数与指数函数 Word版含解析

第讲指数与指数函数
板块一知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点指数及指数运算
．根式的概念
．分数指数幂
()＝(＞，，∈*，＞)；
()＝＝(＞，，∈*，＞)；
()的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义．．有理数指数幂的运算性质
()·＝＋(>，，∈)；
()()＝(>，，∈)；
()()＝(>，>，∈)．
考点指数函数及其性质
．指数函数的概念
函数＝(>且≠)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是，是底数．
说明：形如＝，＝＋(∈且≠，>且≠)的函数叫做指数型函数．．指数函数的图象和性质
底数 > <<
图象
性质函数的定义域为，值域为(，＋∞)
函数图象过定点()，即＝时，＝
当>时，恒有>；
当<时，恒有<<
当>时，恒有<<；当<时，恒有> 函数在定义域上为
增函数函数在定义域上为减函数 [必会结论]
．()＝(∈*且>)．
＝为偶数且
>.。

专题05 函数的值域与最值(课件)-2019年高考数学(文)名师揭秘之一轮总复习

【解析】根据题意有 f(x)＋g(x)在(0，＋∞)上有最大值 6，又因为 f(x)和 g(x)都是奇函数，所以 f(x)＋g(x) 在(－∞，0)上有最小值－6，则 F(x)在(－∞，0)上也有最小值－6＋2＝－4，故正确选项为 D.
【知识要点】 1．函数的值域
函数值y 的集合，记为{y|y 函数 f(x)的值域是____________
4 时，y＝－－（x－1）＋－（x－1） ≤
－4，当且仅当 x＝－1，等号成立． ∴函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
x2－2x＋5 解法二：∵y＝，∴x2－(y＋2)x＋(y＋5) x－1 ＝0，又∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∴方程 x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0 有不等于 1 的实根． ∴Δ＝(y＋2)2－4(y＋5)＝y2－16≥0，解得 y≤－ 4 或 y≥4. 当 y＝－4 时，x＝－1；y＝4 时，x＝3.故所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
B
)
【解析】因为函数的对称轴为 x＝2 且 f(0)＝－2， f(2)＝－6，数形结合，得 2≤m≤4，选 B.
5．若 f(x)和 g(x)都是奇函数，且 F(x)＝f(x)＋g(x) ＋2 在(0，＋∞)上有最大值 8，则 F(x)在(－∞，0)上有(
D
) B．最大值－8 D．最小值－4
A．最小值－8 C．最小值－6
k (3) 反比例函数 y ＝ x (k≠0) 的值域为
(－∞，0)∪(0，＋∞) _______________________ ．
(4) 指数函数 y ＝ ax(a ＞ 0 且 a≠1) 的值域为
(0，＋∞) ． ___________

专题05 函数的值域与最值检测-2019年高考数学理名师揭

本专题特别注意： 1.求值域时定义域陷阱； 2.复合函数值域问题陷阱； 3.隐含条件陷阱；4.抽象函数及其性质陷阱；5.抽象函数的隐含定义域问题陷阱；6.参数讨论陷阱；7.均值不等式求最值的三个条件； 8.分段函数问题 9.数形结合求值域问题 10.函数实际应用【学习目标】理解函数的最大(小)值的概念及几何意义，熟练掌握基本初等函数的值域，掌握求函数的值域和最值的基本方法．【知识要点】 1．函数的值域函数f (x )的值域是函数值y 的集合，记为{y |y ＝f (x )，x ∈A }，其中A 为f (x )的定义域． 2．常见函数的值域(1)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ． (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当a ＞0时，值域为⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞；当a ＜0时，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a .(3)反比例函数y ＝kx (k ≠0)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(4)指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域为(0，＋∞)． (5)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域为R ．(6)正、余弦函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域为[－1，1]；正切函数y ＝tan x 的值域为R ． 3．函数的最值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M ：(1)若∀x ∈I ，f (x )≤M 且∃x 0∈I ，f (x 0)＝M ，则称M 为f (x )的最大值． (2)若∀x ∈I ，f (x )≥M 且∃x 0∈I ，f (x 0)＝M ，则称M 为f (x )的最小值．高考考点训练一、单选题1．【山东、湖北部分重点中学2018届高考冲刺模拟】已知，记表示不超过的最大整数，如，则的值域为（）A.B.C.D.【答案】B方法总结：本题考查了函数的中心对称性，得到，从而可将函数的两个量转换为一个量的讨论，为整数时易得解，不为整数时，设为整数加小数部分的结构代入即可.2．【山西省运城市2018期中考试试题】已知函数()2321f x x x =--+, ()g x =(),t ∀∈-∞+∞,[]1,7s ∃∈，使()()(0)f t a g s a +≤>成立，则实数的a 取值范围是A. (]0,2B. (]2,3C. []3,6D. [)4,+∞ 【答案】A【解析】由题意得“对(),t ∀∈-∞+∞,[]1,7s ∃∈，使()()(0)f t ag s a +≤>成立”等价于“()()max max f x a g x +≤”．∵()()()232123214f x x x x x =--+=≤--+=，当且仅当()()23210x x -⋅+≥时等号成立． ∴()max 4f x =．在()g x =10{70x x -≥-≤，解得17x ≤≤．方法总结：（1）对于求y x a x b ＝－＋－或y x a x b ＝＋－－型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y x a x b ＝－＋－的函数只有最小值，形如y x a x b ＝＋－－的函数既有最大值又有最小值．（2）求函数的最值时要根据函数解析式的特点选择相应的方法，对于含有绝对值符号的函数求最值时，一般采用换元的方法进行，将问题转化为二次函数或三角函数的问题求解．3．【江西省2018届高三质量监测】函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],a b D ⊆使得()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称函数()f x 为“成功函数”.若函数()()2x m t mf x log +=（其中0m >，且1m ≠）是“成功函数”，则实数t 的取值范围为（）A. ()0,+∞B. 1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 10,8⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D方法总结：本题以新定义为背景考查方程解的个数问题，利用变量分离的方法，把问题转化为两个图象的交点问题，通过换元的手段把问题归结为二次函数的图象与性质问题. 4．设m ∈Z ，对于给定的实数x ，若x ∈，则我们就把整数m 叫做距实数x 最近的整数，并把它记为{x }，现有关于函数f (x )＝x －{x }的四个命题： ①f＝－；②函数f (x )的值域是；③函数f (x )是奇函数；④函数f (x )是周期函数，其最小正周期为1. 其中，真命题的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】①由函数的定义可得故错误；；②中，令所以②正确；②中，，∴点不是的图象的对称中心；函数不是奇函数；故③错； ④中，所以周期为1，故④正确；故答案为B.5．【2018北京市中关村月考试题】设,S T 是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足: ①(){}|T f x x S =∈;②对任意12,x x S ∈,当12x x <时,恒有()()12f x f x <; 那么称这两个集合“保序同构”,以下集合对不是“保序同构”的是 A. *,A N B N ==B. {|13},{|8A x x B x x =-≤≤==-或010}x <≤C. {|01},A x x B R =<<=D. ,A Z B Q == 【答案】D{|}i B f x x A ii =∈（）（）；（）对任意12x x A ∈，，当12x x ＜时，恒有12f x f x （）＜（），所以选项B 是“保序同构”；对于{|01},A x x B R =<<=，存在函数2f x tan x ππ=-（）（），满足： {|}i B f x x A ii =∈（）（）；（）对任意12x x A ∈，，当12x x ＜时，恒有12f x f x （）＜（），所以选项C 是“保序同构”；前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D ．故选：D ．【方法总结】本题是新定义题，考查了函数的定义域和值域，考查了函数的单调性，综合考查了不同类型函数的基本性质，是基础题．6．【郑州市2018学年期末考试】已知函数()243,2{ log ,2ax a x f x x x -+<=≥的值域为R ，则实数a 的取值范围是（） A. 30,4⎛⎫⎪⎝⎭ B. (]0,1 C. 31,2⎛⎫⎪⎝⎭ D. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B7．若函数()y f x =的值域是1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()()1F x f x f x =+的值域是（）A. 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 103,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】令()t f x =,则t ∈1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1y t t=+，易知1y t t=+在(0,1)单调递减，在()1,∞+单调递增. 所以当t ∈1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，t =1时，y 有最小值为2 当12t =时， 52y =，当3t =时， 103y =. 则函数()()()1F x f x f x =+的值域是102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选项为B.8．【广东省中山市2018期末考试试题】若函数()f x =()0,+∞，则实数m 的取值范围是（）A. ()1,4B. ()(),14,-∞⋃+∞C. ][()0,14,⋃+∞D. ][)0,14,⎡⋃+∞⎣ 【答案】D9．【湖南省衡阳县2018届高三12月联考数学】若函数()12x a f x a -+=的定义域与值域相同，则a =（）A. -1B. 1C. 0D. 1± 【答案】B10．【湖北省重点高中联考协作体】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如： []3.54-=-， []2.12=，已知函数()112x x e f x e =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是（）A. {}0,1B. {}1C. {}1,0,1-D. {}1,0- 【答案】D 【解析】()()()()()11,2121x xx xe ef x f x f x e e--=-==-++， ()f x ∴为奇函数，函数()1,12x xe f x e =-∴+化简得出： ()11,1121x x f x e e =-+>+， 1011x e ∴<<+，11112212xe -<-<+， ∴当()1,02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时， ()()1,0f x f x ⎡⎤⎡⎤=--=⎣⎦⎣⎦，当()10,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()0,1f x f x ⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦，当()0f x =时， ()()0,0f x f x ⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦，∴函数()()y f x f x ⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦的值域为{}1,0-，故选D.【方法总结】本题考查函数的值域、指数式的运算以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义高斯函数达到考查函数的值域、指数式的运算的目的.11．【黑龙江省大庆第一中学2018学年第二次阶段测试】设函数 ()e e xxf x -=-， ()21lg 4g x mx x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，若对任意 (]1,0x ∞∈-，都存在 2x ∈R ，使得 ()()12f x g x =，则实数 m 的最小值为A. 13-B. 1-C. 12- D. 0 【答案】A故选A方法总结：本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，对任意 (]1,0x ∞∈-，都存在 2x ∈R ，使得()()12f x g x =，转化为()f x 在(],0∞-上的值域是()g x 在R 上值域的子集.12．已知函数()()()24log 4f x ax x aa R =-+∈，若()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A. []0,2B. ()2,+∞C. (]0,2 D. ()2,2- 【答案】A13．【】四川省成都市第七中学2018学年试题】函数()231f x x x =-+-的值域为( ) A. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C. [)1,+∞ D. ()1,+∞【答案】A【解析】函数()231f x x x =-+- 43,13{2,1 2334,2x x x x x x -≤=-<<-≥,即函数的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,故选A.二、填空题 14．函数的值域为______．【答案】【解析】函数的定义域为，则：，，，即函数的值域为.15．函数的最小值是___________.【答案】【解析】，函数是轴上的点与两定点距离之和，的最小值就是的最小值，由平面几何知识可知，若关于轴的对称点为，的最小值等于，即，，故答案为.【方法点晴】本题主要考查两点间距离公式及求最值问题，属于难题.求最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法. 16．已知函数f （＋2）＝x ＋2，则函数f （x ）的值域为________. 【答案】[0，＋∞）【解析】令＋2=t,则,,在上单调递增,,即函数f （x ）的值域为.17．定义区间[]12,x x 的长度为21x x -，已知函数()3xf x =的定义域为[],a b ，值域为[]1,9，则区间[],a b 的长度的最小值为__________．【答案】218．已知函数()4121x f x x -=- ，则12320162017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________.【答案】4032【解析】由题()4121x f x x -=-，则()()()()()()41141142141411421211212121x x x x x f x f x x x x x x -------+-=+=-==------12320164100840322017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、解答题19．【上海市普陀区2018届高三下学期质量调研（二模）】定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的实数x ，存在非零常数t ，都有()()f x t tf x +=-成立. （1）若函数()3f x kx =+，求实数k 和t 的值；（2）当2t =时，若[]0,2x ∈， ()()2f x x x =-，求函数()f x 在闭区间[]2,6-上的值域；（3）设函数()f x 的值域为[],a a -，证明：函数()f x 为周期函数.【答案】(1) 0{ 1k t ==- (2) []2,4- (3)见解析（3）由函数()f x 的值域为[],a a-得， ()f x t +的取值集合也为[],a a -，当0t >时，()()[],f x t tf x ta ta +=-∈-，则{ta a ta a-=-=，即1t =. 由()()1f x f x +=-得()()()21f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是以2为周期的函数，同理可得当0t <时，函数()f x 是以1为周期的函数.试题解析：（1）由()()f x t tf x +=-得， ()()33k x t t kx ++=-+对R x ∈恒成立，即()()330k kt x k t ++++=对R x ∈恒成立，则()()10{330 0k t k t t +=++=≠，即0{1k t ==-.（3）（证法一）由函数()f x 的值域为[],a a -得， ()f x t +的取值集合也为[],a a -，当0t >时， ()()[],f x t tf x ta ta +=-∈-，则{ta a ta a-=-=，即1t =.由()()1f x f x +=-得()()()21f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是以2为周期的函数.当0t <时， ()()[],f x t tf x ta ta +=-∈-，则{ta a ta a-==-，即1t =-.即()()1f x f x -=，则函数()f x 是以1为周期的函数. 故满足条件的函数()f x 为周期函数.（证法二）由函数()f x 的值域为[],a a -得，必存在0R x ∈，使得()0f x a =，当1t >时，对1t >，有()()00f x t tf x ta a +=-=-<-，对1t <-，有()()00f x t tf x ta a +=-=->，则1t >不可能；当01t <<时，即11t>， ()()001f x f x t t =-+，由()f x 的值域为[],a a -得，必存在0R x ∈，使得()0f x t a +=，仿上证法同样得01t <<也不可能，则必有1t = ，以下同证法一.20．【安徽省宿州市汴北三校联考2018届高三期中考试试题】已知()2ax bf x x+=是定义在][(),31,b b -∞-⋃-+∞上的奇函数.（1）若()23f =，求,a b 的值;（2）若1-是函数()f x 的一个零点，求函数()f x 在区间[]2,4的值域. 【答案】（1）a=1，b=2；（2）[-7.5,-3].【解析】试题分析：（1）由奇函数定义域关于原点对称得(b-3)+(b-1)=0，解得b=2，再由()23f =可得a ；（2）由1-是函数()f x 的一个零点，得a=-2，进而得函数单调性，由单调性求值域即可.方法总结：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好三个问题：（1）定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；（2）f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式；（3）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称. 21．（1）求函数的最小值；（2）已知实数满足，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将函数转化为动点到两定点距离的和，根据平面几何知识，利用两点间距离公式求解即可；（2）将问题转化为直线与有公共点，利用圆心到直线的距离与半径的关系，列不等式求解即可.【方法总结】求函数值域的常用方法：①单调性法，②配方法，③分离常数法，④数形结合法，⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，⑥判别式法，⑦不等式法，⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域；对于二元函数的值域问题，其解法要针对具体题目的条件而定．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．。

2019版高考数学理一轮讲义：第5讲函数的单调性与最值

第5讲函数的单调性与最值1．增函数与减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的__任意两个__自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__增函数__.(2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的__任意两个__自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__减函数__.2．单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)__单调性__，区间D 叫做y ＝f (x )的__单调区间__.3．函数的最大值与最小值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有__f (x )≤M __；存在x 0∈I ，使得__f (x 0)＝M __，那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值．(2)对于任意的x ∈I ，都有__f (x )≥M __；存在x 0∈I ，使得__f (x 0)＝M __，那么我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值．4．函数单调性的常用结论5．对勾函数的单调性对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的递增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)；递减区间为[－a ，0)和(0，a ]，且对勾函数为奇函数．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数y ＝1x的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(2)函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则函数f (x )的单调递增区间为[a ，b ]．( × ) (3)若f (x )是增函数，g (x )是增函数，则f (x )·g (x )也是增函数．( × )(4)已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，则函数y ＝f (－x )在R 上是减函数．( √ ) 解析 (1)错误．一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．(2)错误．f (x )在区间[a ，b ]上是递增的并不能排除f (x )在其他区间上单调递增，而f (x )的单调递增区间为[a ，b ]意味着f (x )在其他区间上不可能是递增的．(3)错误．举反例：设f (x )＝x ，g (x )＝x －2都是定义域R 上的增函数，但是 f (x )·g (x )＝x 2－2x 在R 上不是增函数．(4)正确．易知函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，由对称性可知结论正确． 2．(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( D ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x解析 A 项中，y ＝11－x ＝1－(x －1)的图象是将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位得到的，故y ＝11－x 在(－1,1)上为增函数，不符合题意；B 项中，y ＝cos x 在(－1,0)上为增函数，在(0,1)上为减函数，不符合题意；C 项中，y ＝ln (x ＋1)的图象是将y ＝ln x 的图象向左平移1个单位得到的，故y ＝ln (x ＋1)在(－1,1)上为增函数，不符合题意；D 项符合题意．3．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( C ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．0解析当a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，则a ＝2；当a <0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，即a ＝－2，所以a ＝±2，故选C ．4．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为__(－∞，－2)__.解析函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )由y ＝log 12t与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．5．设a 为常数，函数f (x )＝x 2－4x ＋3.若f (x ＋a )在[0，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__[2，＋∞)__.解析 ∵f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴f (x ＋a )＝(x ＋a －2)2－1，且当x ∈[2－a ，＋∞)时，函数f (x ＋a )单调递增，因此2－a ≤0，即a ≥2.一判断(或证明)函数的单调性对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断．【例1】 (1)判断函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性．(2)判断并证明函数f (x )＝axx 2－1(其中a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性．解析 (1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，则y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1).∵x 1>－1，x 2>－1，∴x 1＋1>0，x 2＋1>0，又x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0，即y 1－y 2>0.∴y 1>y 2，∴函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．(2)f ′(x )＝a (x 2－1)－2ax 2(x 2－1)2＝－a (x 2＋1)(x 2－1)2.又a >0，所以f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－1,1)上为减函数．二求函数的单调区间求函数单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性的定义求单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数值的正负确定函数的单调区间．注意：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开．【例2】求下列函数的单调区间．(1)y ＝－x 2＋2|x |＋1；(2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．解析 (1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，则单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2.∴函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴为x ＝32，且开口向上，∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．三求函数的值域(最值)求函数值域(最值)的常用方法(1)分离常数法．形如y ＝cx ＋dax ＋b (ac ≠0)的函数的值域经常使用“分离常数法”求解．(2)配方法．配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a (f (x ))2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法．(3)换元法．①代数换元，形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数，ac ≠0)的函数，可设cx ＋d ＝t (t ≥0)，转化为二次函数求值域．②三角换元．对于换元法求值域，一定要注意新元的范围对值域的影响．另外，还可用判别式法、有界性法、基本不等式法、数形结合法和函数的单调性法等来求值域(最值)．【例3】求下列函数的值域．(1)y ＝5x －14x ＋2，x ∈[－3，－1]；(2)y ＝2x ＋1－2x ；(3)y ＝x ＋4＋9－x 2；(4)y ＝(x ＋3)2＋16＋(x －5)2＋4. 解析 (1)(有界性法)由y ＝5x －14x ＋2，得x ＝2y ＋15－4y.∵－3≤x ≤－1，∴－3≤2y ＋15－4y ≤－1，解得85≤y ≤3，∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤85，3. (2)(代数换元法)令t ＝1－2x (t ≥0)，则x ＝1－t 22，∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54.∴当t ＝12，即x ＝38时， y 取最大值，y max ＝54，且y 无最小值，∴函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，54. (3)(三角换元法)令x ＝3cos θ，θ∈[0，π]，则 y ＝3cos θ＋4＋3sin θ＝32sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋4. ∵0≤θ≤π，∴π4≤θ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤1． ∴1≤y ≤32＋4，∴函数的值域为[1,32＋4]．(4)(数形结合法)如图，函数y ＝(x ＋3)2＋16＋(x －5)2＋4的几何意义为平面内一点P (x,0)到点A (－3,4)和点B (5,2)的距离之和．由平面解析几何知识，找出B 关于x 轴的对称点B ′(5，－2)，连接AB ′交x 轴于点P ，此时距离之和最小，∴y min ＝|AB ′|＝82＋62＝10，又y 无最大值，∴函数的值域为[10，＋∞)．四函数单调性的应用(1)含“f ”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．(2)比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．(3)求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．【例4】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数，若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( D )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3](2)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( D )A ．⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ B ．⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ C ．⎣⎡⎭⎫－14，0 D ．⎣⎡⎦⎤－14，0 (3)若函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则实数a 的取值范围是( B ) A ．(0,1) B ．(1,3) C ．(1,3]D ．[3，＋∞)解析 (1)∵函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且f (1)＝－1， ∴f (－1)＝－f (1)，由－1≤f (x －2)≤1，得－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3，故选D ．(2)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，得－14≤a <0.综上所述，得－14≤a ≤0.故选D ．(3)因为函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则有a >1且6－2a >0，解得1<a <3，故选B ．1．已知偶函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( A )A ．⎝⎛⎭⎫13，23B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析由函数f (x )为偶函数且在区间(－∞，0]上单调递减，得函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，于是将不等式f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13转化为f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13.根据单调性，知|2x －1|<13，解得13<x <23，故选A ．2．(2017·浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( B )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a24＋b ， ①当0≤－a 2≤1，f (x )min ＝m ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 有关，与b 无关；③当－a2>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B ．3．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝__－6__.解析由图象的对称性，知函数f (x )＝|2x ＋a |关于直线x ＝－a2对称，因为函数f (x )＝|2x＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，所以－a2＝3，即a ＝－6.4．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为！！！ 14###.解析令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，结合图象知，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.易错点1 忽视函数的定义域错因分析：不能忽略函数问题定义域优先原则；复合函数的“同增异减”原则；含绝对值函数和分段函数要分段讨论原则．【例1】函数y ＝－x 2＋2x 的单调增区间为__________，减区间为__________. 解析由－x 2＋2x ≥0得函数的定义域为[0,2]．∵t ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1在[0,1)上是增函数，在[1,2]上是减函数，又y ＝t 在[0，＋∞)上是增函数，∴函数y ＝－x 2＋2x 的单调增区间为[0,1)，减区间为[1,2]．答案 [0,1) [1,2]【跟踪训练1】若函数f (x )＝a |b －x |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a ，b 的取值范围分别为__(0，＋∞)，(－∞，0]__.解析 ∵|b －x |＝|x －b |，y ＝|x －b |的图象如下．∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴b ≤0，a >0. 易错点2 忽视分段函数的分界点错因分析：单调递增(减)区间上的函数图象自左往右整体呈上升(下降)趋势，中间可能断开．【例2】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log ax ，x ≥1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝⎛⎭⎫0，13 C ．⎣⎡⎭⎫17，13D ．⎣⎡⎭⎫17，1解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，0<a <1，(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，解得17≤a <13.答案 C【跟踪训练2】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是 ⎣⎡⎭⎫32，2 .解析由已知条件得f (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2，∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2. 课时达标第5讲[解密考纲]本考点考查函数的单调性．单独命题多以选择题的形式呈现，排在中间靠前的位置，题目难度系数属于中等或中等偏上；另外，函数的性质也常常与三角函数、向量、不等式、导数等相结合出解答题，有一定难度．一、选择题1．下列函数中，在区间(0,1]上是增函数且最大值为－1的为( C ) A ．y ＝－x 2 B ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xC ．y ＝－1xD ．y ＝2x解析 y ＝－x 2在区间(0,1]上是减函数，不满足条件；y ＝⎝⎛⎭⎫12x在区间(0,1]上是减函数，不满足条件；y ＝－1x 在区间(0,1]上是增函数，最大值为y ＝－1，满足条件；y ＝2x 在区间(0,1]上是增函数，最大值为y ＝2，不满足条件，故选C ．2．(2018·黑龙江牡丹江一中期中)函数y ＝3x 2－3x ＋2，x ∈[－1,2]的值域是( B ) A ．R B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤143，729C ．[9,243]D ．[3，＋∞)解析令t ＝x 2－3x ＋2，∵x ∈[－1,2]， ∴t ＝x 2－3x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x －322－14∈⎣⎡⎦⎤－14，6. 又y ＝3t 在⎣⎡⎦⎤－14，6上单调递增，则y ＝3t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤143，729.∴函数y ＝3x 2－3x ＋2，x ∈[－1,2]的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤143，729.3．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x－1，则( B )A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23B ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32D ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13解析由题设知，当x <1时，f (x )单调递减，当x ≥1时，f (x )单调递增，而x ＝1为对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12，又13<12<23<1，∴f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫12>f ⎝⎛⎭⎫23，即f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫23，故选B ．4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( B )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析 ∵f (x )是R 上的增函数，∴a >1且4－a 2>0且a ≥4－a2＋2，解得，4≤a <8，故选B ．5．(2018·天津河西区一模)函数f (x )＝ln(x 2－2x －3)的单调递减区间为( C ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(3，＋∞)解析要使函数有意义，则x 2－2x －3>0，即x >3或x <－1．设t ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，当x >3时，函数t ＝x 2－2x －3单调递增；当x <－1时，函数t ＝x 2－2x －3单调递减． ∵函数y ＝ln t 在定义域上为单调递增函数， ∴f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，故选C ．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，)若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4，x ≥04x －x 2＝－(x －2)2＋4，x <0，由f (x )的图象可知f (x )在R 上是增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1．二、填空题7．(2018·山东日照调研)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为__2__.解析当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.8．函数f (x )＝x ＋21－x 的最大值为__2__. 解析设1－x ＝t ，则x ＝1－t 2(t ≥0)．所以y ＝x ＋21－x ＝1－t 2＋2t ＝－t 2＋2t ＋1＝－(t －1)2＋2. 所以当t ＝1，即x ＝0时，y max ＝2.9．(2017·浙江卷)已知函数f (x )＝ln(x ＋1＋x 2)＋3e x ＋1e x ＋1在区间[－k ，k ](k >0)上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝__4__.解析 ∵f (x )＝ln(x ＋1＋x 2)＋3e x ＋1e x ＋1＝ln(x ＋1＋x 2)＋3－2e x ＋1，∴函数f (x )在R 上为单调递增，∴M ＝f (k )＝ln(k ＋1＋k 2)＋3－2e k＋1， m ＝f (－k )＝ln(－k ＋1＋k 2)＋3－2e －k ＋1，∴M ＋m ＝f (k )＋f (－k )＝ln 1＋6－2⎝⎛⎭⎫1e k ＋1＋1e －k ＋1＝6－2＝4.三、解答题10．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值．解析设x 1，x 2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－⎝⎛⎭⎫－2x 2＋1＝－2(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1). 由0≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在区间[0,2]上是增函数．因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23.11．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，满足f (x )＋f (y )＝f (xy )． (1)求证：f (x )－f (y )＝f ⎝⎛⎭⎫x y ；(2)若f (4)＝－4，解不等式f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x －12≥－12.解析 (1)证明：由条件f (x )＋f (y )＝f (xy )可得f ⎝⎛⎭⎫x y ＋f (y )＝f ⎝⎛⎭⎫x y ·y ＝f (x )，所以f (x )－f (y )＝f ⎝⎛⎭⎫x y .(2)因为f (4)＝－4，所以f (4)＋f (4)＝f (16)＝－8， f (4)＋f (16)＝f (64)＝－12.由(1)得f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x －12＝f (x (x －12))，又f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数， ⎩⎪⎨⎪⎧x >01x －12>0⇒x >12，由f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x －12≥－12，有f (x (x －12))≥f (64)，所以x (x －12)≤64. 所以x 2－12x －64＝(x －16)(x ＋4)≤0，得－4≤x ≤16，又x >12，所以x ∈(12,16]． 12．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若∀x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解析 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，任取1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫12x 1－12x 2＝ (x 1－x 2)(2x 1x 2－1)2x 1x 2，∵1≤x 1<x 2，∴x 1x 2>1，∴2x 1x 2－1>0.又x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)∵在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax>0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋a >0，x ≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >－(x 2＋2x )，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．∵φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴当x ＝1时，φ(x )取最大值为φ(1)＝－3，∴a >－3，故a 的取值范围是(－3，＋∞)．。

高三数学一轮复习集合与函数第5课时函数值域与最值(无答案)

第5课时函数的值域与最值1、函数f(x)＝(x －1)2－1，x∈{－1,0,1,2,3}的值域是________；2、函数y ＝x 2－2x －3，x∈(－1,4] 的值域是_____________； 3、函数y=2x 3-3x 2，x ∈[-1，1]的值域为___________； 4、对a ，b ∈R ，记max{a ，b}=⎩⎨⎧<≥)()(b a b b a a ，则函数f(x)=max{|x+1|，|x-2|}，x ∈R 的最小值为__________；5、函数y=x-4x 在[0，1]上的最小值为________；6、函数y=sinx+xsin 2，x ∈(0，π)的值域___________；四、典型例题例1、求下列函数的值域：(1) y=221-x ； (2) y=2x-1-x 413-； (3) 2y =;(4) y =x x213+-（x ≥0）； (5)6322+++=x x x y ； (6) 2216x x y x x +-=++。

变式1：（1）已知,m n 满足2,13,02m n m n +=≤≤≤≤，则223m n ++的取值范围为；（2）若函数()32-+=x ax x f 在()+∞,3上单调递增，则实数a 的取值范围是；（3）若函数()12++=x bax x f 的最大值为4，最小值为1-，则a b +的值为__ __．例2、已知函数f(x)＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a 的值；(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a ＋3|的值域．变式2：若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩ （0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是。

五、反馈练习1、函数y =|x |21x -的值域是___________；2、设函数g(x)＝x 2－2(x∈R )，()4,()()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-≥⎩，则f(x)的值域是________；3、已知函数()122++=ax ax x f 在［－3，2］上有最大值4，则a 的值是________；4、定义区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1.已知函数()12log f x x =的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差为；5、不等式2220x ax a +--≥在[]1,1x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是；6、设f(x)=lg(ax 2-2x+a) （1）若f(x)定义域为R ，求a 的范围。

高考数学一轮总复习第二章函数第5讲函数的值域及最值课件文新人教A版

对于选项
C
，
y
＝
x2
＋
x
＋
1
＝
x＋12
2
＋
3 4
≥
3 4
，
其
值
域
为34，＋∞；ຫໍສະໝຸດ 于选项D，y＝13 x1
中x＋1 1≠0，故 y≠1，
其值域不是(0，＋∞).
第五页，共30页。
4. 函数 f(x) ＝－ x2 ＋ 2x ＋ 8 在区间 [ － 1 ， 4] 上值域
为 [0，9]
.
【解析】f(x)＝－x2＋2x＋8＝－(x－1)2＋9，所以 f(x)在 [－1，1]上单调递增，在(1，4]单调递减，所以 f(x)max＝f(1) ＝9，f(x)min＝f(4)＝0，所以值域为[0，9].
第二十四页，共30页。
5.函数 f(x)＝
x2＋x＋4x1＋7的值域为
0，
66
.
【解析】函数 f(x)＝ x2＋x＋4x1＋7的定义域为{x|x≥－1}，则当 x＝－1 时，f(－1)＝0，
当 x> － 1 时， f(x) ＝
x＋1 x2＋4x＋7
＝
（x＋1）2＋x＋2（1 x＋1）＋4＝
x＋1＋x1＋4 1＋2，
∵x＋1＋x＋4 1≥4，当且仅当 x＝1 时等号成立，
∴
x＋1＋x1＋4 1＋2≤
61＝ 66，
故函数 f(x)＝ x2＋x＋4x1＋7的值域为0， 66.
第二十五页，共30页。
6.已知 f(x)＝x3＋3x2＋a(a 为常数)，在[－3，3]上有最小值 3，那么在[－3，3]上 f(x)的最大值是_5_7__.
第十一页，共30页。

2019年《·高考总复习》数学：第二章第5讲函数的单调性与最值

解析：选项 A，B 中的函数在定义域内均为单调递增函数，选项 D 在定义域内为单调递减函数，选项 C 中，设 x1＜x2(x1， x2≠0)，则 y2－y1＝x12－x11＝x1x－1x2x2，因为 x1－x2＜0，当 x1，x2 同号时 x1x2＞0，x12－x11＜0，当 x1，x2 异号时 x1x2＜0，x12－x11＞0，所以函数 y＝1x在定义域上不是单调函数.故选 C.
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22
考点 3 函数的最值与值域
例 6：求下列函数的值域：
(1)y＝3xx－＋22；
(2)y＝x2x－2－x＋x 1；
(3)y＝x＋4x；
(4)y＝32－－ccooss
x x.
2019பைடு நூலகம்8月10日
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21
(4)(2017 年河南郑州模拟)设函数 f(x)＝－ 2x，x＋x≥a，1 x＜1，
的最小值为 2，则实数 a 的取值范围是________. 解析：当 x≥1 时，f(x)≥2，当 x＜1 时，f(x)＞a－1.由题意
知 a－1≥2，∴a≥3. 答案：[3，＋∞)
2019年8月10日
D.b<c<a
解析：因为函数 y ＝ 0.6x 是减函数， 0<0.6<1.5 ，所以 1>0.60.6>0.61.5，即b<a<1.因为函数y＝x0.6在(0，＋∞)上是增函数， 1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c>1.综上所述，b<a<c.
答案：C
2019年8月10日

高二下学期数学《一轮复习_第2章第5讲函数的值域与最值》课件(共13张PPT)

C．－2 D．2
上的最大值是(
知识要点
1．函数的最值
定义
图象描述
增函数
减函数
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,且D⊆I,如果对任意x1,x2∈D
当x1<x2时,都有① f(x1)< f(x2) (x)在区间D上是增函数
,那么就称y=f 当x1< x2时,都有② f(x1)> f(x2)
y= f(x)在区间D上是减函数
（）
(2)函数=1/x的值域是(0,+00).
（）
（3）闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点取到 . （）
教材改编
⒉[必修1 p39B组 T1]函数f(x)=x²-2x的值域是
3.[必修1p31例4]函数
在[2,3]上的最大值是
易错提醒
4.函数f(x)＝－x＋1/x在
)
A．3/2
B．-8/3
注意 (1)求函数的最值时,应先确定函数的定义域. (2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值.
2．函数的值域
函数f(x)的值域是（）的集合，记为{y｜y=f（x），x∈A}, 其中A为f（x）的定义域
求函数最值的五种常用方法: (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. (5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元将其转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.