2015高考函数专题复习5

合集下载

2015年高考数学试题专题练习：函数概念与基本初等函数doc

2015年高考数学试题专题练习：函数概念与基本初等函数1.函数f(x)=ln(x 2-x)的定义域为( )A.(0,1)B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)2.已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax 2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=( )A.1B.2C.3D.-1 3.函数f(x)=1)(log 122-x 的定义域为( )A. B.(2,+∞) C.∪(2,+∞) D.∪[2,+∞) 4.已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)5.若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a 的值为( )A.5或8B.-1或5C.-1或-4D.-4或86.设函数f(x)=若f(f(a))≤2,则实数a 的取值范围是 .7.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.1+=x y B.y=(x-1)2 C.y=2-xD.y=log 0.5(x+1) 8.已知实数x,y 满足a x <a y (0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )A.111122+>+y x B.ln(x 2+1)>ln(y 2+1) C.sin x>sin y D.x 3>y 3 9.下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( )A.f(x)=B.f(x)=x 3C.f(x)=D.f(x)=3x10.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.11.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数12.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( )A.-3B.-1C.1D.313.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时, f(x)=0,则 f=( )A. B. C.0 D.-14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R, f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.15.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时, f(x)=则f= .16.已知函数f(x)=e x+e-x,其中e是自然对数的底数.(1)证明:f(x)是R上的偶函数;(2)若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;(3)已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(-+3x0)成立.试比较e a-1与a e-1的大小,并证明你的结论.17.对于c>0,当非零实数a,b 满足4a 2-2ab+4b 2-c=0且使|2a+b|最大时, - + 的最小值为 .18.若函数f(x)=cos 2x+asin x 在区间是减函数,则a 的取值范围是 . 19.在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a (x>0),g(x)=log a x 的图象可能是( )20.已知a=,b=log 2,c=lo ,则( ) A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a21.函数f(x)=)4(log 221-x 的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)22.若函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )23.已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题:①f(-x)=-f(x);②f =2f(x);③|f(x)|≥2|x|. 其中的所有正确命题的序号是( )A.①②③B.②③C.①③D.①② 24.已知4a =2,lg x=a,则x= .25.函数f(x)=)2(log log 22x x ⋅的最小值为 .26.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为( )27.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( ) A. B. C.(1,2) D.(2,+∞)28.已知函数f(x)=x 2+e x 21 (x<0)与g(x)=x 2+ln(x+a)的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( ) A. B.(-∞,) C. D.29.已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=.若函数y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 .30.已知函数f(x)=|x 2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为 .31.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A. B. C. D.-1 32.如图,某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB,某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则tan θ的最大值是 .(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)33.已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|<|x-y|.若对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k恒成立,则k的最小值为( )A. B. C. D.34.设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a, f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为M f(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得M f(a,b)=c=,即M f(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)= (x>0)时,M f(a,b)为a,b的几何平均数;(2)当f(x)= (x>0)时,M f(a,b)为a,b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)35.已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是.36.以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D, f(a)=b”;②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)参考答案1. C2. A3. C4. D5. D6. (-∞,]7. A 8. D 9. D 10. (-1,3)11. C 12. C 13. A 14. B 15. 116.解析(1)证明:因为对任意x∈R,都有f(-x)=e-x+e-(-x)=e-x+e x=f(x),所以f(x)是R上的偶函数.(2)由条件知m(e x+e-x-1)≤e-x-1在(0,+∞)上恒成立,令t=e x(x>0),则t>1,所以m≤-=-对任意t>1成立.因为t-1++1≥2+1=3,所以-≥-,当且仅当t=2,即x=ln 2时等号成立.因此实数m的取值范围是.(3)令函数g(x)=e x+-a(-x3+3x),则g'(x)=e x-+3a(x2-1).当x≥1时,e x->0,x2-1≥0,又a>0,故g'(x)>0,所以g(x)是[1,+∞)上的单调增函数,因此g(x)在[1,+∞)上的最小值是g(1)=e+e-1-2a.由于存在x0∈[1,+∞),使+-a(-+3x0)<0成立,当且仅当最小值g(1)<0,故e+e-1-2a<0,即a>.令函数h(x)=x-(e-1)ln x-1,则h'(x)=1-.令h'(x)=0,得x=e-1.当x∈(0,e-1)时,h'(x)<0,故h(x)是(0,e-1)上的单调减函数;当x∈(e-1,+∞)时,h'(x)>0,故h(x)是(e-1,+∞)上的单调增函数.所以h(x)在(0,+∞)上的最小值是h(e-1).注意到h(1)=h(e)=0,所以当x∈(1,e-1)⊆(0,e-1)时,h(e-1)≤h(x)<h(1)=0;当x∈(e-1,e)⊆(e-1,+∞)时,h(x)<h(e)=0.所以h(x)<0对任意的x∈(1,e)成立.①当a∈⊆(1,e)时,h(a)<0,即a-1<(e-1)ln a,从而e a-1<a e-1;②当a=e时,e a-1=a e-1;③当a∈(e,+∞)⊆(e-1,+∞)时,h(a)>h(e)=0,即a-1>(e-1)ln a,故e a-1>a e-1.综上所述,当a∈时,e a-1<a e-1;当a=e时,e a-1=a e-1;当a∈(e,+∞)时,e a-1>a e-1.17. -2 18. (-∞,2] 19. D 20. C21. D 22. B 23. A 24. 25. -26. C 27. B 28. B 29.30. (0,1)∪(9,+∞) 31. D 32. 33. B 34. (1)(2)x 35. (2,+∞) 36. ①③④。

4---2015年高考真题-----函数

的图像关于直线 y x 对称，且
f (2) f (4) 1 ，则 a (
（A） 1 （B） 1
) （C） 2 （D） 4
）（D） y cos x ）
4、【2015 高考浙江文 5】函数 f x x

1 cos x （ x 且 x 0 ）的图象可能为（ x
A．
B．
C．）
D．
5、【2015 高考重庆文 3】函数 f (x) log 2 ( x 2 2 x 3) 的定义域是（ (A)
（C）
3 4
（D） )
1 4
D． y e e
x x
2、【2015 高考福建，文 3】下列函数为奇函数的是( A． y
x
B． y e
x
C． y cos x
3、【2015 高考安徽，文 4】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（（A） y ln x （B） y x 2 1 （C） y sin x
2015 年高考真题-----函数
2 x 1 2, x 1 1、【2015 高考新课标 1 文 10】已知函数 f ( x) ，且 f (a) 3 ，则 f (6 a) （ log 2 ( x 1), x 1
（A））
7 4
（B）
5 4
x 1
5) log 2 (3 x 1 2) 2 的解为
．
.
20、【2015 高考北京，文 10】 2 ， 3 2 ， log 2 5 三个数中最大数的是 21、【2015 高考安徽，文 11】 lg
5 1 2 lg 2 ( ) 1 2 2

2015高考真题函数汇编

A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
7.浙江理存在函数满足，对任意都有（）
A. B.
C. D.
【答案】D.
10.浙江理已知函数，则，的最小值是．
【答案】， .
12.浙江理若，则．
【答案】 .
5、浙江文函数（且）的图象可能为（）
A．B．C．D．
【答案】D
9、浙江文计算：，．
5、四川文下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
(A)y＝sin(2x＋ ) (B)y＝cos(2x＋ )
(C)y＝sin2x＋cos2x(D)y＝sinx＋cosx
【答案】B
12、四川文lg0.01＋log216＝_____________.
（7）天津文理已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，则的大小关系为
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
(13)新课标1理若函数f(x)＝xln(x＋ )为偶函数，则a＝
10、新课标1文已知函数，且，则
（A）（B）（C）（D）
【答案】A
12、新课标1文设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则 ( )
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
5．设函数 , ( )
A． B． C． D．
13.新课标2文已知函数的图像过点（-1,4）,则a=．
6.湖北文函数的定义域为
A． B．
C． D．
【答案】 .
13.湖北文函数的零点个数为_________.
【答案】 .
5.湖南文理设函数，则是（）
A.奇函数，且在上是增函数B.奇函数，且在上是减函数
C.偶函数，且在上是增函数D.偶函数，且在上是减函数

2015届高考数学总复习第三章第五节三角函数的图象与性质课时精练试题文(含解析)

1．下列函数中，周期为π2的是()A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos 4x解析：利用公式 T ＝2πω即可得到答案D.答案：D2．(2013·潮州二模)下列函数中，周期为1的奇函数是( )A ．y ＝1－2sin 2πx B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3C ．y ＝tan π2x D ．y ＝sin πx cos πx解析：因为y ＝1－2sin 2πx ＝cos 2πx ，为偶函数，排除A.因为对于函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3，f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2πx ＋π3≠－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3，不是奇函数，排除B.对于y ＝tan π2x ，T ＝ππ2＝2≠1，排除C.对于y ＝sin πx cos πx ＝12sin 2πx ，为奇函数，且T ＝2π2π＝1，满足条件．故选D.答案：D3．(2013·广州一模)函数y ＝(sin x ＋cos x )(sin x －cos x )是( )A ．奇函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增B ．奇函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增C ．偶函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增D ．偶函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增解析：y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，可见它是偶函数，并且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调递增的．答案：C4．(2013·肇庆二模)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(A ＞0，ω＞0，x ∈R )的最小正周期为2，且f (0)＝3，则函数f (3)＝( )A ．－ 3 B. 3 C ．－2 D ．2解析：由题意可得：函数的最小正周期T ＝2πω＝2，解得ω＝π，又f (0)＝A sin π6＝12A ＝3，可得A ＝23，故函数的解析式为：f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.故f (3)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－23sin π6＝－23×12＝－ 3.故选A. 答案：A5．(2013·东莞二模)已知函数y ＝sin x ＋cos x ，则下列结论正确的是( )A ．此函数的图象关于直线x ＝－π4对称B ．此函数的最大值为1C ．此函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上是增函数 D ．此函数的最小正周期为π解析：因为函数y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ＝－π4时函数值为0，函数不能取得最值，所以A 不正确；函数y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ＝π4时函数取得最大值为2，B 不正确；因为函数x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，即x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4上函数是增函数，所以函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上是增函数，C 正确．函数的周期是2π，D 不正确；故选C. 答案：C6．“φ＝π”是“函数f (x )＝sin(x ＋φ)是奇函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A7．(2013·惠州模拟)如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )解析：如图，取AP 的中点为D ，设∠DOA ＝θ，则d ＝2sin θ，又l ＝2θR ＝2θ，所以d ＝2sin l2，根据正弦函数的图象知，选项C 中的图象符合解析式．故选C.答案：C8．(2013·太原模拟)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．解析：因为T ＝πk ，所以1<πk <2，即π2<k <π，而k 为自然数，所以k ＝2或3.答案：2或39．(2013·苏州模拟)函数y ＝sin x ＋16－x 2的定义域为________．解析：因为sin x ≥0，所以2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，因为16－x 2≥0，所以－4≤x ≤4，取交集得[－4，－π]∪[0，π]．答案：[－4，－π]∪[0，π]10. (2012·广东两校联考)设M cos πx 3＋cos πx 5，sin πx 3＋sin πx5(x ∈R )为坐标平面内一点，O 为坐标原点，记f (x )＝|OM |，当x 变化时，函数f (x )的最小正周期是__________．解析：∵f (x )＝|OM |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos πx 3＋cos πx 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin πx 3＋sin πx 52＝2＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 3－πx 5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2πx 15＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos πx 15，画图易知函数f (x )的最小正周期为15. 答案：1511．函数y ＝sin 4x ＋cos 4x 的单调递增区间是____________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π4，k π2(k ∈Z )(开区间也可)12．(2013·潮州二模)已知函数f (x )＝3(sin 2x －cos 2x )－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，求f (x )的值域和单调递增区间．解析：(1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2x )－2sin x cos x＝－3cos 2x －sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴－π3≤2x ＋π3≤π， ∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1. ∴f (x )的值域为[－2，3]． ∵当y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3递减时，f (x )递增． ∴π2≤2x ＋π3≤π，即π12≤x ≤π3. 故f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3.13．(2013·南通质检)已知a >0，函数f (x )＝－2a sin2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．解析：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π6≤2x ＋π6≤76π，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，又∵a >0，－5≤f (x )≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2a ＋b ＝－5，a ＋2a ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5.(2)f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤32π＋2k π，得π6＋k π≤x ≤23π＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，23π＋k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )．14．已知向量a ＝(sin x ，cos x ), b ＝(sin x ，sin x )，c ＝(－1,0)．(1)若x ＝π3，求向量a 与c 的夹角θ；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π4，函数f (x )＝λa ·b 的最大值为12，求实数λ的值．解析：(1)当x ＝π3时，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以 cos θ＝a ·c |a ||c |＝－321×1＝－32.因而θ＝5π6.(2)f (x )＝λ(sin 2x ＋sin x cos x ) ＝λ2(1－cos 2x ＋sin 2x ) ＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π4，所以2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π4.当λ>0时，f (x )max ＝λ2()1＋1＝12，即λ＝12.当λ<0时，f (x )max ＝λ2()1－2＝12，即λ＝－1－ 2.所以λ＝12或λ＝－1－ 2.。

2015年高考数学函数奇偶性专题

函数奇偶性专题主编：宁老师主编单位：永辉中学生学习中心第一部分：判断函数的奇偶性一、方法：步骤一：求定义域，判断定义域是否关于原点对称；如果对称，继续进行步骤二，如果不对称，该函数为非奇非偶函数。

步骤二：求出)(x f -的解析式；步骤三：化简)(x f -的解析式，如果)(),()(x f x f x f =-是偶函数；如果)(),()(x f x f x f -=-是奇函数；如果)()(),()(x f x f x f x f -≠-≠-，)(x f 是非奇非偶函数。

二、难度：难度在于步骤三，化简)(x f -的解析式，当化简的时候无法达到与)(x f 相同，或者与)(x f 互为相反数，问题有可能存在于以下两个方面：1、有可能函数)(x f 本身就是一个非奇非偶的函数，那就自然不可能做到与)(x f 相同，或者与)(x f 互为相反数；2、有可能是学生的式子化简能力不足，化简功底好的学生可以做到，自己做不到。

面对以上两种相对矛盾的心理，我们在考场和做题过程中应该怎么办？我们可以根据定义域求取两对或者两对以上的函数值，看看它们的函数值之间是相等，还是互为相反数，或者两者都不是，就可以判断函数的奇偶性。

三、例题：例一：判断函数xxx f -+=11lg)(的奇偶性。

【解析】：求函数的定义域：011>-+xx)1,1(-∈⇒x 01≠-x 1≠⇒x所以定义域为：)1,1(-∈x ，定义域关于原点对称。

)(11lg )11lg(11lg )(1)(1lg)(1x f xxx x x x x x x f -=-+-=-+=+-=---+=--所以函数)(x f 是奇函数。

例二：判断函数xxee xf +-=11)(的奇偶性。

【解析】：函数)(x f 奇偶性为R x ∈，定义域关于原点对称。

)(1111111111)(x f e e e e e e e e x f x x x x x x xx-=+--=+-=+-=+-=--- 所以函数)(x f 是奇函数。

2015届高考数学总复习第二章函数与导数第5课时函数的图象课时训练

第二章函数与导数第5课时函数的图象1. 函数f(x)＝2x ＋1x －1图象的对称中心的坐标是________．答案：(1，2)解析：f(x)＝2＋3x －1.2. 函数f(x)＝(2－a 2)x ＋a 的图象在区间[0，1]上恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是________．答案：(0，2)解析：由题意，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）>0，即可．3. 设函数y ＝f(x)是定义在R 上，则函数y ＝f(x －1)与y ＝f(1－x)的图象关于直线________对称．答案：x ＝1解析：由y ＝f(1－x)＝f[－(x －1)]，知y ＝f(1－x)的图象是由y ＝f(－x)的图象向右平移1个单位而得，而函数y ＝f(x －1)的图象是由y ＝f(x)的图象向右平移1个单位而得，函数y ＝f(－x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝0对称，所以函数y ＝f(x －1)与y ＝f(1－x)的图象关于直线x ＝1对称．4. 函数f(x)＝|x 2－ax ＋a|(a>0)的单调递增区间是________．答案：⎣⎡⎦⎤－a 2，0和⎣⎡⎭⎫a2，＋∞ 5. 不等式lg(－x)<x ＋1的解集是________．答案：(－1，0)6. 任取x 1、x 2∈(a ，b)，且x 1≠x 2，若f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>12[f(x 1)＋f(x 2)]，则称f(x)是(a ，b)上的凸函数．在下列图象中，是凸函数图象的是________．(填序号)答案：④7. 已知函数y ＝f(x)的周期为2，当x ∈[－1，1]时 f(x)＝x 2，那么函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝|lgx|的图象的交点共有________个．答案：10解析：根据f(x)的性质及f(x)在[－1，1]上的解析式可作图如下：可验证当x ＝10时，y ＝|lg10|＝1；当0<x<10时，|lgx|<1；x>10时，|lgx|>1.因此结合图象及数据特点y ＝f(x)与y ＝|lgx|的图象交点共有10个．8. 已知a ＞0，且a ≠1，f(x)＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f(x)＜12，则实数a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫12，1∪(1，2]解析：由题知，当x ∈(－1，1)时，f(x)＝x 2－a x ＜12，即x 2－12＜a x .在同一坐标系中分别作出二次函数y ＝x 2－12，指数函数y ＝a x 的图象，如图，当x ∈(－1，1)时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，只需12≤a ≤2且a ≠1.故实数a 的取值范围是12≤a ＜1或1＜a ≤2.9. 作出下列函数的图象，并根据图象说出函数的单调区间． (1) y ＝|3x －1|；(2) y ＝|x －2|(x ＋1)．解：(1) y ＝|3x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ≥0，1－3x，x<0，图象如下，其单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0)．(2) 由y ＝|x －2|(x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，x<2，⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ≥2，图象如下，其单调增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，12和(2，＋∞)，单调减区间是⎝⎛⎭⎫12，2.10. 已知定理：“若a 、b 为常数，g(x)满足g(a ＋x)＋g(a －x)＝2b ，则函数y ＝g(x)的图象关于点(a ，b)中心对称”．已知函数f(x)＝－1＋1a －x.(1) 试证明函数f(x)的图象关于点(a ，－1)中心对称；(2) 当x ∈[a －2，a －1]时，求证：f(x)∈⎣⎡⎦⎤－12，0.证明：(1) ∵ f(a ＋x)＋f(a －x)＝⎣⎡⎦⎤－1＋1a －（a ＋x ）＋⎣⎡⎦⎤－1＋1a －（a －x ）＝－2，∴ 函数f(x)的图象关于点(a ，－1)中心对称．(2) 由f(x)＝－1＋1a －x ＝－1－1x －a，知f(x)在(－∞，a)和(a ，＋∞)上均为增函数，∴ f(x)在[a －2，a －1]上单调递增，从而f(x)∈[f(a －2)，f(a －1)]，即f(x)∈⎣⎡⎦⎤－12，0. 11. 已知a 、b 是实数，函数f(x)＝ax ＋b|x －1|(x ∈R )．(1) 若a 、b ∈(－2，2)，且函数f(x)在(0，＋∞)内存在最大值，试在平面直角坐标系xOy 内，求出动点(a ，b)运动区域的面积；(2) 若b>0，且关于x 的不等式f(x)<0的解集中的整数恰有2个，试求ab的取值范围．解：(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －b ）x ＋b ，x ≤1，（a ＋b ）x －b ，x>1，结合f(x)的图象知，f(x)在(0，＋∞)内存在最大值的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a －b ≥0，a ＋b ≤0，且两个等号不同时成立．当a 、b ∈(－2，2)时，点(a ，b)运动区域的面积为4.(2) f(x)<0b|x －1|<－ax ，即|x －1|<－abx.在同一坐标系内作出函数p(x)＝|x －1|和q(x)＝－a b x 的图象，由图可知，－23≤a b <－12.。

2015高考函数专题复习5

2015函数专题五：函数的单调性与奇偶性【一】基础知识1．函数的单调性（1）定义：（2）判定方法（i ）定义法（ii ）图象法（iii ）根据已知函数的单调性（iv ）导数法（3）复合函数的单调性2. 函数的奇偶性（1）定义（2）性质：偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称。

（2）判断方法：（i ）定义法（ii ）图象法(iii)若两个函数的定义域相同，则a. 两个偶函数的和为偶函数；b. 两个奇函数的和为奇函数；c. 两个奇函数的积为偶函数；d. 两个偶函数的积为偶函数；e. 一个奇函数和一个偶函数的积是奇函数。

（3）定义域关于原点对称是一个函数为偶函数或奇函数的必要条件。

【二】例题讲析例1．判断下列函数的奇偶性（1）11log )(2+-=x x x f （2）11)(-+-=x x x f（3）11)(22-+-=x x x f （4）)21121()(+-=x x x f 例2．已知函数是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程的所有实根之和是（）(A) 4 (B) 2 (C) 6 (D)0例3．（1）设f(x)是偶函数，且在[)+∞,0上为增函数，则其在(]0,∞-上单调性如何？奇函数呢？（2）设)(x f 为偶函数，且在[)+∞,0上存在最大值，则在(]0,∞-上有最大值吗？奇函数呢？例4．设f(x)在R 上是偶函数，在区间)0,(-∞上递增，且)12(2++a a f ),123(2+-<a a f 求a 的取值范围。

例5．已知)(x f 是奇函数，且0>x 当时，),2()(-=x x x f 求0<x 时，)(x f 的表达式。

例6．求函数)34(log 221+-=x x y 的单调递增区间。

例7．求函数5223++-=x x x y 的单调区间。

【三】能力训练：1．函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间)4,(-∞上是减函数，实数a 的取值范围是（）(A) 3≥a (B) 3-≤a (C) 3-≥a (D) 5≤a2．函数,),(R x x f y ∈=下列命题正确的是（）(A)若x 在)0,(-∞和),0(+∞上都是增函数，则)(x f 是增函数。

2015届高考数学总复习配套题型精练：常考题型强化练——函数(共29张PPT)

∴ab＝2b∈(20，
2
1 2
]＝(1，
2]，故应选 A.
第八页，编辑于星期五：十点十七分。
A组专项基础训练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5．已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，
f(x)＝x3－x，则函数 y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点
的个数为
得最小值 b，则函数 g(x)＝1a|x＋b|的图象为
()
解析
由基本不等式得
f(x)
＝
x
＋
1
＋
9 x＋1
－
5≥2 x＋1×x＋9 1－5＝1，当且仅当 x＋1＝x＋9 1，
即 x＝2 时取得最小值 1，故 a＝2，b＝1，
第四页，编辑于星期五：十点十七分。
A组专项基础训练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B.－12，＋∞
C.－12，0∪(0，＋∞)
D.－12，2
9
10
(C )
解析
由已知得l2oxg＋11>20x，＋1≠0，
2
∴x>－12， 2x＋1≠1，
即 x>－12且 x≠0，∴选 C.
第三页，编辑于星期五：十点十七分。
A组专项基础训练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2．已知函数 f(x)＝x－4＋x＋9 1，x∈(0,4)，当 x＝a 时，f(x)取
A组专项基础训练

2015届高考数学(理)二轮复习方案测评手册：第5讲函数的单调性与最值(人教B版)

课时作业(五) [第5讲函数的单调性与最值](时间：45分钟分值：100分)1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)2．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋3－b (a >0)在[1，3]上有最大值5和最小值2，则a ＋b＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．23．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (1x)>f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)4．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b ＋1(a ，b ∈R )对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立．若当x ∈[－1，1]时，f (x )>0恒成立，则实数b 的取值范围是( )A ．－12D ．不能确定5．函数y ＝x ＋1－x －1的值域为( )A ．(－∞，2]B ．(0，2]C ．[2，＋∞)D ．[0，＋∞)6．已知m >2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图像上，则( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 2<y 1<y 3D ．y 3<y 2<y 17．[2013·安庆一中三模] 定义在R 上的函数f (x )＝e x ＋e －x ＋|x |，则满足f (2x －1)<f (3)的x 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(－1，2)8．[2013·金华模拟] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6，x ≥0，3x ＋4，x <0.若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤203，263 B. (203，263) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤113，6 D. (113，6) 9．设g (x )是定义在R 上以1为周期的函数．若f (x )＝x ＋g (x )在[3，4]上的值域为[－2，5]，则f (x )在区间[－10，10]上的值域为( )A ．[－15，11]B ．[－15，12]C ．[－19，10]D ．[－12，15]10．函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值和最小值分别是________．11．函数f (x )＝x 2－|x |的单调递减区间是________．12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________． 13．[2013·茂名二模] 若对∀x ∈A ，y ∈B (A ⊆R ，B ⊆R )有唯一确定的f (x ，y )与之对应，则称f (x ，y )为关于x ，y 的二元函数．定义满足下列性质的二元函数f (x ，y )为关于x ，y 的广义“距离”：(1)非负性：f (x ，y )≥0，当且仅当x ＝y 时取等号；(2)对称性：f (x ，y )＝f (y ，x )；(3)三角不等式：f (x ，y )≤f (x ，z )＋f (z ，y )对任意的实数z 均成立．现给出三个二元函数：①f (x ，y )＝|x －y |；②f (x ，y )＝(x －y )2；③f (x ，y )＝x －y .请选出所有能够成为关于x ，y 的广义“距离”的函数序号：________．14．(10分)函数f (x )＝log 9(x ＋8－a x )在[1，＋∞)上是增函数，求a 的取值范围．15．(13分)利用单调性的定义证明：函数f (x )＝x ＋2在[－2，＋∞)上是增函数．。

2015届高考苏教语文训练5 函数的单调性与最值(带解析)V

1.根据课文默写。

（10分）①__________，君子好逑。

（《诗经·关雎》）②晓战随金鼓，。

（李白《塞下曲》）③芳草鲜美，。

（陶渊明《桃花源记》④__________，在水一方。

（《诗经·蒹葭》）⑤，猛浪若奔。

（吴均《与朱元思书》⑥月黑雁飞高，。

（卢纶《塞下曲》）⑦蒌蒿满地芦芽短，。

（苏轼《惠崇<春江晚景>》）⑧__________，春风不度玉门关。

（王之涣《凉州词》）⑨故曰，__________，固国不以山溪之险。

（孟子《得道多助，失道寡助》）⑩且壮士不死即已，死即举大名耳，！（司马迁《陈涉世家》）1.阅读《低些，再低些》选段，完成小题。

（16分）一个女孩给远方打工的爸爸拨电话：“爸爸，我这次月考得了班级第6名！”小雨中，爸爸沾满泥灰的手拿着旧手机，开心了：“不错了，祝贺你，我不在家，你还考这么好！”“爸爸，我想在下一次考班级第一名！”女儿自信地说。

爸爸说：“听了你的话，我心里很不高兴。

”孩子以为爸爸有更高的要求，不敢说话了。

“我不要你考第一名，谁能保证总会考第一？总是不掉队？”爸爸很严肃地说。

“你和妈妈什么时候要我一年必须挣几万元钱的？”爸爸又反问道。

“没有，只要你平安就好了。

”孩子的眼睛立即有点模糊了，有些抽泣。

“对啊。

”爸爸笑了，“不要流泪啦。

考多少分不要紧，只要你尽力了，哪怕考不好，爸爸也高兴！”一个月后，孩子又打电话了，喊上了：“爸爸，我这次考了全班第一了！”爸爸很平静：“丫头，有没有太用功？有没有长身体啊？”“没有啊，我连感冒都没有得过。

”女儿很自豪。

爸爸说：“我回家过年给你买城里的孩子都有的MP3奖励你，要不要？”“爸爸，我不要MP3。

”孩子立即拒绝了，“我没有兴趣听。

有时间我要帮妈妈做家务。

”爸爸又严肃地说：“这次考了第一名，下次放松一点，以后不要考第一，压力太大了。

”孩子说：“我知道了，以后不会考第一了。

”一年后的寒假前，爸爸接到了老师的电话：“祝贺你啊，你的孩子，考了全年级第三名！全年级一千多学生呢。

2015届高考数学一轮总复习 2-5对数与对数函数

2015届高考数学一轮总复习 2-5对数与对数函数基础巩固强化一、选择题1．(2013·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >32x －3＋1，x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32 D ．1[答案] C[解析] ∵f (a )＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，2a －3＋1＝3， ①或⎩⎪⎨⎪⎧a >3，log 2(a ＋1)＝3. ② ①无解，由②得，a ＝7，所以f (a －5)＝22－3＋1＝32，选C.2．(文)已知0<a <1，log a m <log a n <0，则( ) A ．1<n <m B ．1<m <n C ．m <n <1 D ．n <m <1[答案] A[解析] 由0<a <1得函数y ＝log a x 为减函数．又由log a m <log a n <0＝log a 1，得m >n >1，故应选A. (理)(2013·山东威海期末)下列四个数中最大的是( ) A ．(ln2)2 B ．ln(ln2) C ．ln 2 D ．ln2[答案] D[解析] 由0<ln2<1，得ln(ln2)<0，因此ln(ln2)是最小的一个；由于y ＝ln x 为增函数，因此ln 2<ln2；那么最大的只能是A 或D ；因为0<ln2<1，故(ln2)2<ln2.3．(文)(2013·宣城二模)若a ＝ln 264，b ＝ln2·ln3，c ＝ln 2π4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．b >a >c[答案] A[解析] ∵ln6>lnπ>1，∴a >c ，排除B ，C ；b ＝ln2·ln3<(ln2＋ln32)2＝ln 264＝a ，排除D ，故选A.(理)若x ∈(110，1)，a ＝lg x ，b ＝lg 2x ，c ＝12lg x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <c <a[答案] B[解析] ∵110<x <1，∴－1<lg x <0，∴0<lg 2x <1，∵a －c ＝lg x －12lg x ＝12lg x <0，∴a <c ，故a <c <b ，故选B.4．(文)(2013·开封一模)已知f (x )是奇函数，且f (2－x )＝f (x )，当x ∈(2,3)时，f (x )＝log 2(x －1)，则当x ∈(1,2)时，f (x )＝( )A ．－log 2(4－x )B ．log 2(4－x )C ．－log 2(3－x )D ．log 2(3－x ) [答案] C[解析] 依题意得f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈(1,2)时，x －4∈(－3，－2)，4－x ∈(2,3)，故f (x )＝f (x －4)＝－f (4－x )＝－log 2(4－x －1)＝－log 2(3－x )，选C.(理)(2013·乌鲁木齐第一次诊断)函数f (x )＝log 2(1＋x )，g (x )＝log 2(1－x )，则f (x )－g (x )( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既不是奇函数又不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 [答案] A[解析] f (x )－g (x )的定义域为(－1,1)，记F (x )＝f (x )－g (x )＝log 21＋x 1－x ，则F (－x )＝log 21－x1＋x＝log 2(1＋x 1－x )－1＝－log 21＋x1－x＝－F (x )，故f (x )－g (x )是奇函数．5．(文)函数f (x )＝|log 12x |的图象是( )[答案] A[解析] f (x )＝|log 12x |＝|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x ≥1)，－log 2x (0<x <1).故选A. [点评] 可用筛选取求解，f (x )的定义域为{x |x >0}，排除B 、D ，f (x )≥0，排除C ，故选A. (理)(2012·河南豫东、豫北十所名校段测)函数y ＝ln|1x |与y ＝－x 2＋1在同一平面直角坐标系内的大致图象为( )[答案] C[解析] y ＝ln|1x |为偶函数，当x >0时，y ＝ln 1x ＝－ln x 为减函数，故排除A 、B ；y ＝－x 2＋1≤0，其图象在x 轴下方，排除D ，故选C.6．(文)(2012·湖南文，7)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ； ②ac log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③[答案] D[解析] 本题考查不等式性质，比较大小．c a －c b ＝c (b －a )ab ，∵a >b >1，c <0，∴c (b －a )ab >0，c a >cb ，①正确；a >b >1，ac b －c >1，∴log b (a －c )>log b (b －c )>log a (b －c )，③正确． [点评] 比较大小的方法有作差法、单调性法等．(理)(2013·北京东城区检测)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12 ，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有3个是增函数；②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x－1)的图象关于点A (1,0)对称；④已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x ≤2log 3(x －1)，x >2，则方程f (x )＝12有2个实数根，其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 命题①中，在(0，＋∞)上只有y ＝x 12，y ＝x 3为增函数，故①不正确；②中第1个不等式等价于log 31>log 3m >log 3n ，故0<n <m <1，②正确；③中函数y ＝f (x －1)的图象是把y ＝f (x )的图象向右平移1个单位得到的，由于函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点对称，故函数y ＝f (x －1)的图象关于点A (1,0)对称，③正确；④中当3x －2＝12时，x ＝2＋log 312<2，当log 3(x －1)＝12时，x ＝1＋3>2，故方程f (x )＝12有2个实数根，④正确．故选C.二、填空题 7．(文)函数y ＝log 23－x 2的定义域为________． [答案] {x |1≤x <2或－2<x ≤－1}[解析] 要使函数有意义，应满足log 23 (2－x 2)≥0，∵y ＝log 23 x 为减函数，∴0<2－x 2≤1，∴1≤x 2<2，∴1≤x <2或－2<x ≤－1.(理)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1的定义域是________．[答案] (－∞，0)∪(1，＋∞)[解析] 要使f (x )有意义，应有1＋1x －1>0，∴xx －1>0，∴x <0或x >1. 8．(文)(2013·河南鹤壁一模)若正整数m 满足10m －1<2512<10m ，则m ＝________.(lg2≈0.3010) [答案] 155[解析] 不等式10m－1<2512<10m 两边同时取以10为底的对数，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1<512lg2，m >512lg2，∴154.112<m <155.112，∴m ＝155.(理)(2013·天津塘沽一模)若f (x )＝ax －12，且f (lg a )＝10，则a ＝________.[答案] 10或1010[解析]9．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________． [答案] x ＝5[解析] 原方程化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )，由于log 3x 在(0，＋∞)上严格单增，则x 2－10＝3x ，解之得x 1＝5，x 2＝－2.∵要使log 3x 有意义，应有x >0，∴x ＝5.三、解答题10．(文)(2013·广西桂林一模)已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)． (1)证明函数f (x )的图象在y 轴的一侧；(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)(x 1<x 2)是f (x )图象上两点，证明直线AB 的斜率大于0. [证明] (1)由a x －1>0，得a x >1.当a >1时，解得x >0，此时f (x )的图象在y 轴右侧；当0<a <1时，解得x <0，此时f (x )的图象在y 轴左侧． ∴对a >0且a ≠1的任意实数a ，f (x )的图象总在y 轴一侧．(理)(2013·北京朝阳期末)已知f (x )＝log 3x 2＋ax ＋b x ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列条件：①在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；②f (x )的最小值是1.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．[解析] 假设存在实数a ，b 使命题成立，∵f (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )取得最小值1， ∴log 31＋a ＋b 1＝1，∴a ＋b ＝2.∵f (x )在(0,1)上是减函数，设0<x 1<x 2<1， ∴f (x 1)>f (x 2)恒成立，即x 21＋ax 1＋b x 1>x 22＋ax 2＋b x 2恒成立，整理得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2>0恒成立．∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0， ∴x 1x 2－b <0恒成立，即x 1x 20，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x的零点个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] C[解析] 由题意得f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln 2x ， x >1，－ln 2x ， x ＝1，－1－ln 2x ， 0<x <1，则令1－ln 2x ＝0⇒x ＝e 或x ＝1e(舍去)；令－ln 2x ＝0⇒x ＝1；当－1－ln 2x ＝0时，方程无解，所以f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 有两个零点，故选C.(理)已知函数f (x )＝(15)x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．不小于0B ．恒为正数C ．恒为负数D ．不大于0[答案] B[解析] 若实数x 0是方程f (x )＝0的解，即x 0是函数y ＝(15)x 和y ＝log 3x 的图象的交点的横坐标，因为0<x 1<x 0，画图易知(15)x 1>log 3x 1，所以f (x 1)恒为正数．12．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2014x ＋log 2014x ，则方程f (x )＝0的实根的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．5 [答案] C[解析] 当x >0时，f (x )＝0即2014x ＝－log 2014x ，在同一坐标系下分别画出函数f 1(x )＝2014x ，f 2(x )＝－log 2014x 的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f (x )＝0只有一个实根，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x <0时，方程f (x )＝0也有一个实根，又因为f (0)＝0，所以方程f (x )＝0的实根的个数为3.13．(2013·湖南张家界一模)若log m n ＝－1，则m ＋3n 的最小值是( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．2 D.52[答案] B[解析] 由log m n ＝－1，得m －1＝n ，则mn ＝1.由于m >0，n >0，∴m ＋3n ≥23mn ＝2 3.故选B. 二、填空题14．(文)(2013·安徽师大附中、安庆一中联考)已知函数f (x )的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．若g (x )＝x ＋m ＋ln x 的保值区间是[e ，＋∞)，则m 的值为________．[答案] －1[解析] 由题意得，g (x )的值域为[e ，＋∞)，由x ≥e 时，g ′(x )＝1＋1x >0，所以当x ≥e 时，g (x )为增函数，由题意可得g (e)＝e ＋m ＋1＝e ，解得m ＝－1.(理)对任意实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，(a ≤b )，b ，(a >b ).则函数f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x的值域为________．[答案] (－∞，0][解析] 易知函数f (x )的定义域为(23，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝log 12 (3x －2)和y ＝log 2x 的图象，由a *b 的定义可知，f (x )的图象为图中实线部分，∴由图象可得f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，(23<x ≤1)，log 12(3x －2)，(x >1).的值域为(－∞，0]．15．(文)(2013·四川)lg 5＋lg 20的值是________．[答案] 1[解析] lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg10＝1.(理)(2013·北京)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12 x ，x ≥12x ， x <1的值域为________．[答案] (－∞，2)[解析] 当x ≥1时，log 12 x ≤log 12 1，即log 12 x ≤0；当x <1时，0<2x <21，即0<2x <2.故f (x )的值域为(－∞，2)．三、解答题16．(文)已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意，3－ax >0对一切x ∈[0,2]恒成立，∵a >0且a ≠1，∴g (x )＝3－ax 在[0,2]上是减函数，从而g (2)＝3－2a >0得a <32.∴a 的取值范围为(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 由题设f (1)＝1，即log a (3－a )＝1，∴a ＝32，此时f (x )＝log 32 ⎝⎛⎭⎫3－32x ，当x ＝2时，函数f (x )没有意义，故这样的实数a 不存在． (理)已知函数f (x )＝log 12 2－axx －1(a 是常数且a <2)．(1)求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2,4)上是增函数，求a 的取值范围． [解析] (1)∵2－axx －1>0，∴(ax －2)(x －1)<0，①当a <0时，函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，2a ∪(1，＋∞)； ②当a ＝0时，函数的定义域为(1，＋∞)； ③当0<a <2时，函数的定义域为⎝⎛⎭⎫1，2a .(2)∵f (x )在(2,4)上是增函数，∴只要使2－axx －1在(2,4)上是减函数且恒为正即可．令g (x )＝2－axx －1，即当x ∈(2,4)时g ′(x )≤0恒成立且g (4)≥0. 解法一：g ′(x )＝－a (x －1)－(2－ax )(x －1)2＝a －2(x －1)2，∴当a －2<0，即a <2时，g ′(x )≤0.g (4)≥0，即1－2a ≥0，∴a ≤12，∴a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，12. 解法二：∵g (x )＝2－ax x －1＝－a ＋2－ax －1，∴要使g (x )＝－a ＋2－ax ＋1在(2,4)上是减函数，只需2－a >0，∴a <2，以下步骤同解法一．考纲要求1．理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，且a ≠1)．补充说明1．掌握对数函数图象过定点(1,0)且过(a,1)；熟悉对数的性质、运算法则和换底公式；会用对数函数单调性比较对数式的大小和解对数不等式；熟练进行指对互化；清楚对数函数图象的分布规律．2．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 3．忽视对数函数的定义域是解题过程中常犯的错误，要引起足够重视． [例] 函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(0，13)D ．(3，＋∞)[错解] 由于a >0，且a ≠1，∴y ＝ax －3是增函数，若函数f (x )为增函数，则y ＝log a x 必为增函数，所以a >1，故选A. [错因分析] 本题解答出错的根源就在于忽视了“函数在[1,3]上单调递增”这一条件，即要求函数f (x )在[1,3]上需有意义，也就是需使y ＝ax －3在[1,3]上恒大于零．[正确解答] 由于a >0，且a ≠1，∴y ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则y ＝log a x 必为增函数，因此a >1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正， ∴a －3>0，即a >3，故选D.4．(1)同底数的对数比较大小用单调性．(2)同真数的对数比较大小用图象或换底或转化为指数式． (3)作差或作商法(4)利用中间量0、1比较．5．对数函数图象在第一象限内底数越小，图象越靠近y 轴(逆时针底数依次变小)，在直线x ＝1右侧，底大图低(区分x 轴上方与下方)．6．在对数运算中，常常先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指对互化的运用．备选习题1．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 [答案] C[解析] ∵函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过点(－2，－1)，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，于是1m ＋2n ＝(1m ＋2n )(2m ＋n )＝2＋2＋n m ＋4m n ≥8.等号在n ＝12，m ＝14时成立．2．(2013·湖南)函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 [答案] C[解析] 画出两函数的大致图象，可得两图象的交点个数为2. 3．已知函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上恒有|f (x )|>1，则( ) A ．0<a <12或1<a <2B ．0<a <12或a >2C.12<a <1或1<a <2 D.12<a <1或a >2 [答案] C[解析] ①若a >1，则f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上是增函数，且当x ≥2时，f (x )>0. 由|f (x )|>1得f (x )>1，即log a x >1. ∵当x ∈[2，＋∞)时，log a x >1恒成立， ∴log a 2>1，∴log a 2>log a a ，∴1<a <2.②若0<a <1，则f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上是减函数．11 同理可得12<a <1. [点评] 用数形结合法解更简便些．4．(2013·江西省七校联考)设a ＝0.64.2，b ＝70.6，c ＝log 0.67，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c 70＝1，log 0.67<log 0.61＝0，因此c <a <b ，选B.5．设f (x )＝lg(21－x＋a )是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数是( ) A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数[答案] D[解析] 由题意可知，f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0，解得a ＝－1，故f (x )＝lg 1＋x 1－x，函数f (x )的定义域是(－1,1)，在此定义域内f (x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg(1＋x )－lg(1－x )，函数y 1＝lg(1＋x )是增函数，函数y 2＝lg(1－x )是减函数，故f (x )＝y 1－y 2是增函数．选D.。

2015高考复习基本初等函数

2014高考第一轮复习——基本初等函数（概念与性质）第一部分函数的概念考纲解读：1、通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，了解函数的概念。

2、了解构成函数的要素，了解映射的概念3、掌握求函数定义域和值域的基本方法4、了解函数的构成要素，掌握表示函数的基本方法。

掌握求函数解析式的基本方法5、掌握作函数图象的两种基本方法是描点法和图象变换法。

学会运用函数的图象解决相关问题，理解和研究函数的性质。

6、了解简单的分段函数，并能简单的应用。

一、考点知识清单1、函数的表示方法表示函数的方法，常用的有_______、_______、_______三种。

（1）解析法：就是把两个把变量的函数关系，______ ____来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式，中学研究的函数主要是用解析式表示的函数。

（2）列表法：就是______ ____来表示两个变量的函数关系。

（3）图象法：就是______ ____来表示两个变量之间的关系。

2、有些函数在其定义域中对自变量x不同的取值范围对应的关系不同，这样的函数通常称为__________。

分段函数虽由几个部分构成，但它代表的是一个函数。

基本函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等3、函数的图象描点法作图：函数图象的作法图象变换法作图：二、考点分析【考点1】映射1、映射定义的理解（1）集合A 、B 不加约束，可以是数集，也可以是点集或者其他类元素构成的集合；（2）集合A 、B 与对应法则是确定的，是一个系统；（3）对应法则具有方向性，即A 到B 的映射与B 到A 的映射是不同的；（4）定义中强调A 中元素的任意性和B 中元素的唯一性；（5）映射允许A 中的不同元素在B 中有相同的象，但不要求B 中的元素都有原象。

即A 中元素在B 中象的集合是B 的子集。

2、判断一个对应是映射的方法要判断一个对应是否是映射，只看第一个集合A ，集合A 中的每一个元素是否都有对应元素,且对应元素是否唯一，至于第二个集合B 中的每一个元素是否都有原象不作要求。

2015年山东省高考(理)一轮专题复习特训：函数【含答案】

山东省2015年高考数学一轮专题复习特训函数一、选择题1、(2014山东理)(3)函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（）A. )21,0(B. ),2(+∞C. ),2()21,0(+∞D. ),2[]21,0(+∞答案：C2、(2014山东理)(8)已知函数()21,().f x x g x kx =-+=若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（）A.1(0,)2B.1(,1)2 C.(1,2) D.(2,)+∞答案：B3、（2013山东理）3．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x =+，则(1)f -=(A) 2- (B) 0 (C) 1 (D) 2 答案：3．A4、（2011山东理数5）对于函数,“的图象关于y 轴对称”是“=是奇函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要答案：B5、（2011山东理数10）10．已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为A ．6B ．7C ．8D ．9 答案：B 1 6．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）函数221()1(32)34f x n x x x x x =-++--+的定义域为（）A ．(,4][2,)-∞-+∞B ．(4,0)(0,1)-⋃(),y f x x R =∈|()|y f x =y ()f x ()f x R 02x ≤<3()f x x x =-()y f x =xC ．[4,0)(0,1]-D ．[4,0)(0,1]-⋃【答案】D 7．（山东省日照市第一中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知函数,当x=a 时,取得最小值,则在直角坐标系中,函数的大致图象为【答案】B,因为,所以,所以由均值不等式得,当且仅当,即,所以时取等号,所以,所以,又,所以选 B ．82．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）函数()xx x f 2log 12-=的定义域为（） A ．()+∞,0 B ．()+∞,1 C ．()1,0 D ．()()+∞,11,0【答案】D 93．（山东省聊城市某重点高中2014届高三上学期期初分班教学测试数学（理）试题）函数||x y x x=+的图象是【答案】C 函数与图象配伍问题,要注意定义域.值域.奇偶性(对称性).单调性等.该函数是奇函数,图象关于原点对称.所以,选 C ． 104．（山东省桓台第二中学2014届高三9月月考数学（理）试题）设函数则)]1([-f f = （）A ．2B ．1C ．-2D ．-1 【答案】D 5 11．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）已知函数2()21,()1x f x g x x =-=-,构造函数()F x 的定义如下:当|()|()f x g x ≥时,()|()|F x f x =,当|()|()f x g x <时,()()F x g x =-,则()F x （）A ．有最小值0,无最大值B ．有最小值-1,无最大值C ．有最大值1,无最小值D ．无最大值,也无最小值【答案】B 6 12．（山东省日照市第一中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知函数的定义域为,且为偶函数,则实数的值可以是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 因为函数为偶函数,所以,即函数关于对称,所以区间关于对称,所以,即,所以选 B ．137．（山东省德州市平原一中2014届高三9月月考数学（理）试题）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(2,)2()(x x x a x f x 满足对任意的实数21x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f 成立,则实数a 的取值范围为（）()22,0log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞ C ．]2,(-∞ D ．)2,813[ 【答案】B [来源:][来源: 数理化网] 148．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上是减函数,则实数a 的取值范围是（） A ．(,3]-∞- B ．(,4]-∞ C ．(,5]-∞ D ．[3,)+∞【答案】A 159．（山东省郯城一中2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知函数f(x)=⎩⎨⎧ax ， x<0，(a －3)x ＋4a ， x ≥0.满足对任意x1≠x2,都有f(x1)－f(x2)x1－x2<0成立,则a 的取值范围是（） A ．(0,3) B ．(1,3) C ．(0,14] D ．(-∞,3)【答案】 C ． 1610．（山东省德州市平原一中2014届高三9月月考数学（理）试题）奇函数f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数,且f(2)=0,则不等式3fx 2fx5x ≤0的解集为（）A ．(-∞,-2]∪(0,2]B ．[-2,0]∪[2,+∞)C ．(-∞,-2]∪[2,+∞)D ．[-2,0)∪(0,2] 【答案】D11 17．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）已知()f x 在R 上是奇函数,且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则（） A ．-2 B ．2 C ．-98 D ．98 【答案】A 1812．（山东省德州市平原一中2014届高三9月月考数学（理）试题）已知函数()x f 是R 上的奇函数,当0≥x 时,()b x x f x ++=22(b 为常数),则()1-f 的值是（）A ．3B ．-3C ．-1D ．1 【答案】B1913．（山东省桓台第二中学2014届高三9月月考数学（理）试题）已知函数是定义在R 上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a 满足, 则a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 因为函数是定义在R 上的偶函数,且,所以,即,因为函数在区间单调递增,所以,即,所以,解得,即a 的取值范围是,选C 2014．（山东省桓台第二中学2014届高三9月月考数学（理）试题）在R上是奇函数,.（）A ．-2B ．2C ．-98D ．98【答案】A 由,得,所以函数的周期是4.所以,选A2115．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）下列函数中,既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（）A ．1y x=- B ．2lg(4)y x =- C ．||e x y = D ．cos y x =【答案】C 2216．（山东省威海市乳山一中2014届高三上学期第一次质量检测数学试题）已知对任意实数,有,,且时,,,则时（）A ．,B ．,C ．,D ．,【答案】B 2317．（山东省聊城市某重点高中2014届高三上学期期初分班教学测试数学（理）试题）函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且对任意的x R ∈,都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时,2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的()f x 122log log a a=-222122(log )(log )(log )(log )2(log )2(1)f a f a f a f a f a f +=+-=≤2(log )(1)f a f ≤[0,)+∞2(log )(1)f a f ≤2log 1a ≤21log 1a -≤≤122a ≤≤1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x )()2(x f x f -=+2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则)()2(x f x f -=+(4)()f x f x +=()f x (7)(1)(1)2f f f =-=-=-x ()()f x f x -=-()()g x g x -=0x >()0f x '>()0g x '>0x <()0f x '>()0g x '>()0f x '>()0g x '<()0f x '<()0g x '>()0f x '<()0g x '<公共点,则实数a 的值为（） A ．n ()n ∈Z B ．2n ()n ∈Z C ．2n 或124n -()n ∈Z D ．n 或14n -()n ∈Z 【答案】C 因为,函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且对任意的x R ∈,都有(2)()f x f x +=.所以,函数()f x 周期为2,又当01x ≤≤时,2()f x x =.结合其图象及直线y x a =+可知,直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点,包括相交.一切一交等两种情况,结合选项,选C ．2418．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数.偶函数,且满足()()x f x g x e -=,则有（） A ．(2)(3)(0)f f g <x 时,1)(+-=x x f ,则当0<x 时,()f x 的表达式为（）A ．1+-xB ．1--xC ．1+xD ．1-x 【答案】B 二、填空题 120．（山东省临朐七中2014届高三暑假自主学习效果抽测（二）数学试题）设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________________. 【答案】1516221．（山东省郯城一中2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）若函数41(),10(),(log 3)44,01xx x f x f x ⎧-≤<⎪==⎨⎪≤≤⎩则_____________.【答案】3322．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）已知2(3)4log 31990x f x =+,则(64)f 的值等于____________.【答案】2014 . 423．（山东省德州市平原一中2014届高三9月月考数学（理）试题）函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________________. 【答案】524．（山东省桓台第二中学2014届高三9月月考数学（理）试题）函数f(x)=12log ,12,1x x x x ≥⎧⎪⎨⎪<⎩的值域为_________ 【答案】(,2)-∞625．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）若f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则()0x f x <的解集是___★___.【答案】(-3,0)U(0,3)726．（山东省郯城一中2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）设R b a ∈,,且2≠a ,若定义在区间),(b b -内的函数xaxx f 211lg )(++=是奇函数,则b a +的取值范围是_______________【答案】(-2,23-]三、解答题 127．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）已知函数21(0)()21(1)x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩ ≤ 满足29()8f c =.(1)求常数c 的值 ; (2)解不等式2()18f x >+. 【答案】解:(1)因为01c <<,所以2c c <;由29()8f c =,即3918c +=,∴12c =(2)由(1)得411122()211x x x f x x -⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩，，≤,由2()18f x >+得,当102x <<时,解得2142x <<; 当112x <≤时,解得1528x <≤ 所以2()18f x >+的解集为2548xx ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 228．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）设a 为实数,记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为)(a g .(1)设t=x x -++11,求t 的取值范围,并把f(x)表示为t 的函数m(t) ; (2)求)(a g ;(3)试求满足)1()(ag a g =的所有实数a.【答案】解:(1)∵x x t -++=11,∴要使t 有意义,必须01≥+x 且01≥-x ,即11≤≤-x .∵]4,2[12222∈-+=x t ,且0≥t ① ∴t 的取值范围是]2,2[, 由①得:121122-=-t x ,∴t t a t m +-=)121()(2a t at -+=221,]2,2[∈t(2)由题意知)(a g 即为函数)(t m a t at -+=221,]2,2[∈t 的最大值,∵直线a t 1-=是抛物线)(t m a t at -+=221的对称轴,∴可分以下几种情况进行讨论:①当0>a 时,函数)(t m y =,]2,2[∈t 的图象是开口向上的抛物线的一段, 由01<-=at 知)(t m 在]2,2[∈t 上单调递增,故)(a g )2(m =2+=a ; ②当0=a 时,t t m =)(,]2,2[∈t ,有)(a g =2;③当0<a 时,,函数)(t m y =,]2,2[∈t 的图象是开口向下的抛物线的一段, 若a t 1-=]2,0(∈即22-≤a 时,)(a g 2)2(==m , 若a t 1-=]2,2(∈即]21,22(--∈a 时,)(a g a a a m 21)1(--=-=, 若a t 1-=),2(+∞∈即)0,21(-∈a 时,)(a g )2(m =2+=a . 综上所述,有)(a g =12,,2121,,22222,.2a a a a a a ⎧+>-⎪⎪⎪---<≤-⎨⎪⎪≤-⎪⎩(3)当21->a 时,)(a g 2+=a 223>>;当2122-≤<-a 时,)22,21[∈-a ,]1,22(21∈-a ,∴a a 21-≠-, )(a g 2)21()(221=-⋅->--=aa a a ,故当22->a 时,)(a g 2>;当0>a 时,01>a ,由)(a g )1(a g =知:2+a 21+=a ,故1=a ; 当0<a 时,11=⋅a a ,故1-≤a 或11-≤a ,从而有2)(=a g 或2)1(=ag ,要使)(a g )1(a g =,必须有22-≤a ,221-≤a ,即222-≤≤-a ,此时,2)(=a g )1(ag =.329．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）定义在D 上的函数f(x),如果满足:对任意x ∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M 成立,则称f(x)是D 上的有界函数,其中M 称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x+⎝ ⎛⎭⎪⎫14x.(1)当a=1时,求函数f(x)在(-∞,0]上的值域,并判断函数f(x)在(-∞,0]上是否为有界函数,请说明理由;(2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a 的取值范围. 【答案】[解析] (1)当a=1时,f(x)=1+⎝ ⎛⎭⎪⎫12x+⎝ ⎛⎭⎪⎫14x.因为f(x)在(-∞,0]上递减,所以f(x) ≥f(0)=3, 即f(x)在(-∞,0]上的值域为[3,+∞) 故不存在常数M>0,使|f(x)|≤M 成立.所以函数f(x)在(-∞,0]上不是有界函数(2)由题意知,|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立. ∴-3≤f(x)≤3,即-4-⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤2-⎝ ⎛⎭⎪⎫14x,∴-4·2x-⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤a ≤2·2x-⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在[0,+∞)上恒成立,设2x=t,h(t)=-4t-1t ,p(t)=2t-1t ,由x ∈[0,+∞)得t ≥1, 设1≤t1<t2,h(t1)-h(t2)=t2－t14t1t2－1t1t2>0p(t1)-p(t2)=t1－t22t1t2＋1t1t2<0所以h(t)在[1,+∞)上递减,p(t)在[1,+∞)上递增,h(t)在[1,+∞)上的最大值为h(1)=-5,p(t)在[1,+∞)上的最小值为p(1)=1, 所以实数a 的取值范围为[-5,1]430．（山东省枣庄三中2014届高三10月学情调查数学（理）试题）已知函数()f x 对任意的实数x 、y 都有()()()1f x y f x f y +=+-,且当0x >时,()1f x >. (1)求证:函数()f x 在R 上是增函数;(2)若关于x 的不等式()()25f x ax a f m -+<的解集为{}|32x x -<<,求m 的值.(3)若()12f =,求()2013f 的值.【答案】(1)证明:设12x x >,则120x x ->,从而()121f x x ->,即()1210f x x --> ()()()()()121221221f x f x x x f x f x x f x =+-=+-->⎡⎤⎣⎦,故()f x 在R 上是增函数.4分(2)设()2f b =,于是不等式为()()25f x ax a f m -+<.则25x ax a m -+<, 即250x ax a m -+-<∵不等式()()25f x ax a f m -+<的解集为{}|32x x -<<,∴方程250x ax a m -+-=的两根为3-和2,于是32325a a b -+=⎧⎨-⨯=-⎩,解得1,1.a m =-⎧⎨=⎩(3)在已知等式中令,1x n y ==,得()()1 1.f n f n +-=所以累加可得,()()2111f n n n =+-⨯=+, 故()20132014f =531．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）已知函数[]6,2,12)(∈-=x x x f ,试判断此函数)(x f 在[]2,6x ∈上的单调性,并求此函数)(x f在[]2,6x ∈上的最大值和最小值.【答案】解:设x1.x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2,则)()(21x f x f -=121-x -122-x =)1)(1()]1()1[(22112-----x x x x =)1)(1()(22112---x x x x 由于2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是0)()(21>-x f x f ,即()()21x f x f > 所以函数12)(-=x x f 是区间[2,6]上的减函数因此函数12)(-=x x f 在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值,.52)6()(,2)2()(min max ====∴f x f f x f 故函数)(x f 在[]2,6x ∈上的最大值和最小值分别为2和52632．（山东省德州市平原一中2014届高三9月月考数学（理）试题）已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,在[0,1]上()()2ln 11x f x x =++-(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;并判断()f x 在[]1,1-上的单调性(不要求证明) (Ⅱ)解不等式2(21)(1)0f x f x -+-≥【答案】。

2015届高考数学总复习第二章第五节指数与指数函数课件理

6
2×3＝6.
指数函数图象特征及单调性的应用【例2】可能是( (1)(2012· 四川卷)函数y＝ax－ ) (a>思路点拨：本题主要考查指数函数的图象特征及利用指数函数的单调性比较大小的基本方法．自主解答：
(1)解析：(法一)当a>1时，函数y＝ax－而当x＝0时，y＝a0－＝1－ 0<1－
x × x
3 5
x x
x x
(x>0)；
(2)2 3× 1.5× 12.
15 解析：(1)原式＝ 10
x × x
6 15
x x
10 × 6
x x
＝1.
3 3 6 2 (2)2 3× 1.5× 12＝2× 3× × 2 ×3＝ 2 3 6
2 6 32 6 6 3 2 3 2 2× 33× 3 × 2× 2 ×3＝2× 2×2 ×3＝ 2 2
h(x)，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有
解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. (3) 由指数函数的性质知，要使 y ＝
h(x) 的值域为 (0 ，＋
∞)．应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0.(因为若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不
或用换元法．
解析：(1)设2x＝t，则原方程可化为2t2－9t＋4＝0，解得t＝或4，即2x＝＝2－1或2x＝4＝22， ∴x＝－1或2，即原方程的解集为{－1,2}． (2)设y＝5－|x＋1|，则0＜y≤1，问题转化为方程 y2－4y－m＝0在 (0,1]内有实根． (法一)设f(y)＝y2－4y－m，其对称轴为y＝2，

3-5第五节三角恒等变换(2015年高考总复习)

考源教学资源网
第25页
返回导航
第三章
第五节
名师一号高考总复习模块新课标
新课标A版数学
变式思考 1
4
化简：(1) 2＋2cos8＋2 1－sin8；
2
1 2cos x－2cos x＋ 2 (2) . π π 2tan4－xsin2x＋4
考源教学资源网
考源教学资源网
第8页
返回导航
第三章
第五节
名师一号高考总复习模块新课标
新课标A版数学
疑点清源 1．两角和与差的三角函数公式的理解 (1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”． “符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号． (2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．
答案
3
考源教学资源网
第19页
返回导航
第三章
第五节
名师一号高考总复习模块新课标
新课标A版数学
Y 研考点· 知规律
探究悟道点拨技法
考源教学资源网
第20页
返回导航
第三章
第五节
名师一号高考总复习模块新课标
新课标A版数学
题型一【例 1】
名师一号高考总复习模块新课标
新课标A版数学
第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形
考源教学资源网
第1页
返回导航
第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形
名师一号高考总复习模块新课标
新课标A版数学
第五节 ►►三角恒等变换
读教材· 抓基础
研考点· 知规律
拓思维· 培能力
2 ＝ 1－2sin α
2 2 2 (2)C2α：cos2α＝cos α－sin α＝ 2cos α－1

2015年高考函数的图像专题讲义

2015年高考函数的图像专题讲义河南省三门峡市卢氏县第一高级中学山永峰图像是函数刻画变量之间的函数关系的一个重要途径，是研究函数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据。

在今后的高考中将会加大对函数图像的考查力度。

主要以选择题、填空题的形式出现，属于中偏高档题。

主要考查形式有：知图选式、知式选图、图像变换（平移、对称、翻折、伸缩变换），以及自觉的运用图像解题。

因此要注意识图、读图能力的提高以及数形结合思想的灵活运用。

笔者以近几年高考题为载体，结合自己的教学经验整理如下，不足之处敬请斧正！[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换：y ＝f (x )―――――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )―――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b . (2)伸缩变换：y ＝f (x )1011ωωωω−−−−−−−−→＜＜，伸长为原来的倍＞1，缩短为原来的 y ＝f (ωx )； y ＝f (x )―――――――――→A >1，伸为原来的A 倍0<A <1，缩为原来的A 倍y ＝Af (x )． (3)对称变换：y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )； y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )；y ＝f (x )――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )． (4)翻折变换：y ＝f (x )――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )―――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|.[探究] 1.函数y＝f(x)的图象关于原点对称与函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称一致吗？2．一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称有何区别？提示：一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称不是一回事．函数y＝f(x)的图象关于y轴对称是自身对称，说明该函数为偶函数；而函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，是两个函数的图象对称．3．若函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)(a>0)对称，那么其图象如何变换才能使它变为奇函数？其解析式变为什么？提示：向左平移a个单位即可；解析式变为y＝f(x＋a)．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车行驶的路程s看作时间t的函数，其图象可能是()2．函数y＝x|x|的图象经描点确定后的形状大致是()3．函数y＝ln(1－x)的图象大致为()4．已知下图(1)中的图象对应的函数为y＝f(x)，则下图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________(填序号)．①y＝f(|x|)；②y＝|f(x)|；③y＝－f(|x|)；④y＝f(－|x|)．5．(2012·镇江模拟)函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x<0的解集为________．考点一：作函数的图象[例1]分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2.画函数图象的一般方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论. 强化训练： 1．分别画出下列函数的图象．(1)y ＝|x 2－4x ＋3|；(2)y ＝2x ＋1x ＋1；(3)y ＝10|lg x |. 考点二：识图与辨图[例2] (1)(2012·山东高考)函数y ＝cos 6x 2x －2－x的图象大致为( )(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )例3:[2014年福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( )图1-1 A BC D寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法(1)知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．(2)知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；结合图像的特殊点（极值点、与坐标轴的交点等）。

2015年高考数学(理科)函数及其表示

第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示[考情展望] 1.考查给定函数(或抽象函数)的定义域.2.以分段函数为载体，考查函数的求值、值域及参数的范围等问题.3.以新定义、新情景为载体，考查函数的表示方法、最值等问题．一、函数及映射的概念函数映射两集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射二、函数的定义域、值域、相等函数1．定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域．2．值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．3．相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．三、函数的表示方法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．四、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数三要点(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数．分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式．(3)求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集．1．给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝x－3＋2－x是一个函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝lg x2与g(x)＝2lg x是同一函数．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】由函数的定义知①正确．∵满足f(x)＝x－3＋2－x的x不存在，∴②不正确．又∵y＝2x(x∈N)的图象是位于直线y＝2x上的一群孤立的点，∴③不正确．又∵f(x)与g(x)的定义域不同，∴④也不正确．【答案】 A2．下列函数中，与函数y＝x相同的是()A．y＝x2x B．y＝(x)2C ．y ＝lg 10xD ．y ＝2log 2x【解析】因为y ＝x 2x ＝x (x ≠0)；y ＝(x )2＝x (x ≥0)； y ＝lg 10x ＝x (x ∈R)；y ＝2log 2x ＝x (x ＞0)，故选C. 【答案】 C3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.【解析】令1x ＝t ，(t ≠0)，则x ＝1t ，故f (t )＝1t 2＋5t ，所以f (x )＝1x 2＋5x (x ≠0)．【答案】 1x 2＋5x (x ≠0) 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝________.【解析】由题意知f (3)＝23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝139.【答案】 1395．(2013·陕西高考)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 的定义域为M ，则∁R M为()A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)【解析】函数f(x)的定义域M＝(－∞，1]，则∁R M＝(1，＋∞)．【答案】 B6．(2013·浙江高考)已知函数f(x)＝x－1.若f(a)＝3，则实数a＝________.【解析】因为f(a)＝a－1＝3，所以a－1＝9，即a＝10.【答案】10考向一[010]求函数的定义域(1)(2014·郑州模拟)函数y ＝lg (2－x )12＋x －x2＋(x －1)0的定义域是( ) A ．[－3,1)∪(1,2] B ．(－3,2) C ．(－3,1)∪(1,2)D ．[－3,1)∪(1,2)(2)(2013·大纲全国卷)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 【思路点拨】 (1)求解本例(1)可从以下几方面入手：①真数大于0；②分母不为0；③被开方数有意义；④(x －1)0有意义． (2)用2x ＋1代替f (x )中的x ，求解x 便可．【尝试解答】 (1)要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＞0，12＋x －x 2＞0，x －1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，－3＜x ＜4，x ≠1，所以－3＜x ＜2且x ≠1，故所求函数的定义域为{x |－3＜x ＜2且x ≠1}．(2)因为函数f (x )的定义域为(－1,0)，所以要使函数有意义，需满足－1＜2x ＋1＜0，解得－1＜x ＜－12，即所求函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.【答案】 (1)C (2)B 规律方法11.本例(1)在求解中，常因遗忘“00无意义”而错选B ；本例(2)在求解中；常因不理解f (x )与f (2x ＋1)的关系而错选A 或C.2.(1)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题，取交集时可借助数轴，并注意端点值的取舍.,(2)对抽象函数：①若函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出.②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域.对点训练 (1)函数f (x )＝ln (2＋x －x 2)|x |－x 的定义域为( )A ．(－1,2)B ．(－1,0)∪(0,2)C ．(－1,0)D ．(0,2)(2)已知函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则f (x )的定义域为________．【解析】 (1)f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x －x 2＞0，|x |－x ≠0.解之得⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜2，x ＜0，∴－1＜x ＜0，∴f (x )的定义域为(－1,0)．(2)∵f (2x )的定义域为[－1,1]，即－1≤x ≤1， ∴12≤2x ≤2，故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.【答案】 (1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2考向二 [011] 求函数的解析式(1)已知f (x ＋1)＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )； (3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )．【思路点拨】 (1)用换元法，令x ＋1＝t ；(2)本题已给出函数的基本特征，可采用待定系数法求解． (3)用1x 代入，构造方程求解．【尝试解答】 (1)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴f (t )＝lg(t －1)． ∴f (x )＝lg(x －1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2， f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2. (3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x . 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x ，得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．规律方法2 求函数解析式常用以下解法：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ).对点训练 (1)已知f (1－cos x )＝sin 2x ，求f (x )的解析式；(2)若函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是正比例函数，g (x )是反比例函数，且F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，F (1)＝8，求F (x )的解析式． (3)已知2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，x ∈(－1,1)，求f (x )的解析式．【解】 (1) 令t ＝1－cos x ，则cos x ＝1－t,0≤t ≤2， ∴f (t )＝1－(1－t )2＝－t 2＋2t ，即f (x )＝－x 2＋2x (0≤x ≤2)．(2)由题意设f (x )＝kx (k ≠0)，g (x )＝m x (m ≠0)，则F (x )＝kx ＋mx . 由F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，F (1)＝8，得⎩⎨⎧13k ＋3m ＝16，k ＋m ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，m ＝5，所以F (x )＝3x ＋5x .(3)∵2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，∴2f (－x )－f (x )＝lg(1－x )．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝lg (x ＋1)2f (－x )－f (x )＝lg (1－x )得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1＜x ＜1)．考向三 [012] 分段函数及其应用(1)(2013·福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，若f (x )＞4，则x 的取值范围是________．【思路点拨】 (1)先计算f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，再计算f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)在(－∞，1)及[1，＋∞)上分别解f (x )＞4，然后取并集；或者画出函数f (x )的图象，借助图象求解．【尝试解答】 (1)∵π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. (2)方法一：①当x ＜1时，由2－x ＞4得x ＜－2. ②当x ≥1时，由x 2＞4得x ＞2.综上可知，所求x 的范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．方法二：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈(－∞，1)x 2，x ∈[1，＋∞).的图象如图所示，由图可知f (x )＞4的x 的取值范围是x ＞2或x ＜－2. 【答案】 (1)－2 (2)(－∞，－2)∪(2，＋∞)．规律方法3应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论.对点训练 (1)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x ＜A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1(－1≤x ＜0)，－x ＋1(0＜x ≤1).则f (x )－f (－x )＞－1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12∪(0,1) 【解析】 (1)因为组装第A 件产品用时15分钟，所以cA＝15，① 所以必有4＜A ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.(2)方法一：①当－1≤x ＜0时，0＜－x ≤1，此时f (x )＝－x －1，f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1， ∴f (x )－f (－x )＞－1化为－2x －2＞－1，得x ＜－12，则－1≤x ＜－12. ②当0＜x ≤1时，－1≤－x ＜0，此时，f (x )＝－x ＋1，f (－x )＝－(－x )－1＝x －1， ∴f (x )－f (－x )＞－1化为－x ＋1－(x －1)＞－1，解得x ＜32，则0＜x ≤1.故所求不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0,1]．方法二：画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1(－1≤x ＜0)－x ＋1(0＜x ≤1)的图象如图所示．由图可知f(x)为奇函数，从而由f(x)－f(－x)＞－1，可知f(x)＞－12，解得－1≤x≤－12或0＜x≤1.【答案】(1)D(2)B思想方法之二分段函数求值妙招——分类讨论思想分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数求值问题时应注意以下三点：(1)明确分段函数的分段区间．(2)依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立等量或不等量关系． (3)在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内．——— [1个示范例] ——— [1个对点练] ———(2014·洛阳模拟)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．【解析】当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ； f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2，所以a ＝－34.当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ；f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1. 因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去)．综上，满足条件的a ＝－34.(2014·安庆模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧lg x ，x ＞0，x ＋3，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为( ) A ．－3 B ．－3或1 C ．1D ．－1或3【解析】 ∵f (1)＝lg 1＝0，∴f (a )＝0. 当a ＞0时，lg a ＝0，a ＝1. 当a ≤0时，a ＋3＝0，a ＝－3. 所以a ＝－3或1. 【答案】 B第二节函数的单调性与最值[考情展望] 1.考查函数的单调性及最值的基本求法.2.利用函数的单调性求单调区间.3.利用函数的单调性求最值和参数的取值范围.4.函数的单调性和其它知识相结合考查求函数的最值、比较大小、解不等式等相关问题．一、增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，则都有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)＜f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)＞f(x2)．设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么(1)f(x1)－f(x2)x1－x2＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(2)f(x1)－f(x2)x1－x2＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．二、单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．求函数单调区间的两个注意点(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．三、函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值函数最值存在的两条定论1．闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．2．开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．1．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( )A ．a ＝－2B ．a ＝2C ．a ≤－2D ．a ≥2【解析】二次函数的对称轴方程为x ＝－a －13，由题意知－a －13≥1，即a ≤－2. 【答案】 C2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝1x C ．y ＝－x 2＋4D ．y ＝|x |【解析】结合函数的图象易知选D. 【答案】 D3．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在x ∈R 上是减函数，则k 的取值范围是( ) A ．k ＞12 B ．k ＜12 C ．k ＞－12D ．k ＜－12【解析】由2k ＋1＜0得k ＜－12，故选D. 【答案】 D4．f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的单调增区间为________，f (x )max ＝________. 【解析】 f (x )＝(x －1)2－1，故f (x )的单调增区间为[1,3]，f (x )max ＝f (－2)＝8.【答案】 [1,3] 85．(2013·重庆高考)(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.322 【解析】 (3－a )(a ＋6)＝－a 2－3a ＋18＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋3a ＋94＋814 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814，由于－6≤a ≤3， ∴当a ＝－32时，(3－a )(a ＋6)有最大值92.【答案】 B6．(2013·安徽高考)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当a＝0时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；当a＜0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示：当a＞0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．【答案】 C考向一[013]函数单调性的判定判断函数f(x)＝x＋ax(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性．【思路点拨】借助单调性的定义或导数法证明．【尝试解答】方法一：(定义法) 设x 1，x 2是任意两个正数，且0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )．当0＜x 1＜x 2≤a 时，0＜x 1x 2＜a ，又x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数；当a ≤x 1＜x 2时，x 1x 2＞a ，又x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．方法二(导数法)：∵f (x )＝x ＋a x ，∴f ′(x )＝1－ax 2.由f ′(x )＞0得1－ax 2＞0，即x 2＞a ，解得x ＞a . 由f ′(x )＜0得1－ax 2＜0，即x 2＜a ，解得0＜x ＜a . 所以f (x )在(0，a )上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数．规律方法1 对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：,(1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；,(2)可导函数则可以利用导数证明.考向二 [014] 图象法求函数的单调区间求下列函数的单调区间，并确定每一区间上的单调性．(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；(2)f(x)＝|x2－4x＋3|.【思路点拨】画出f(x)的图象，结合图象求单调区间．【尝试解答】(1)依题意，可得当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x＜0时，f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.由二次函数的图象知，函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．(2)先作出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数的图象．如图所示．由图可知，函数的增区间为[1,2]，(3，＋∞)，减区间为(－∞，1)，(2,3]．规律方法2求函数单调区间的两种常用方法,(1)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.(2)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间.对点训练 (2014·西安模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≤k ，k ，f (x )＞k .取函数f (x )＝2－|x |，当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)【解析】由f (x )＞12，得－1＜x ＜1，由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1.其函数图象如图所示：故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．【答案】 C考向三 [015] 函数单调性的应用(1)函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值为13，则a ＋b ＝________.(2)若f (x )为R 上的增函数，则满足f (2－m )＜f (m 2)的实数m 的取值范围是________．(3)(2014·郑州模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＞1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)【思路点拨】 (1)区间[a ，b ]――→f (x )的单调性f (x )的值域―→建立a ，b 的等量关系―→求a ，b 的值．(2)f (2－m )＜f (m 2)――→f (x )的单调性去“f ”―→解不等式．(3)先分析f (x )＝a x 及f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2分别为递增函数的条件，再结合单调性的定义求解．【尝试解答】 (1)由题意知x －1＞0，又x ∈[a ，b ]，∴a ＞1.则f (x )＝1x －1在[a ，b ]上为减函数，则f (a )＝1a －1＝1且f (b )＝1b －1＝13，∴a ＝2，b ＝4，a ＋b ＝6.(2)∵f (x )为R 上的增函数，且f (2－m )＜f (m 2)， ∴2－m ＜m 2，∴m 2＋m －2＞0，解得m ＞1或m ＜－2. 即m 的范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)． (3)因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥4－a 2＋2，解得4≤a ＜8.【答案】 (1)6 (2)(－∞，－2)∪(1，＋∞) (3)B 规律方法31.本例(3)在求解中，常因忽略考虑“f (x )在(－∞，1]上的最大值小于等于f (x )在(1，＋∞)上的最小值”致误.2.含“f ”号不等式的解法,首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内.对点训练 (1)(2014·德州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x ＜2，满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 (2)(2014·沈阳模拟)已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，构造函数F (x )的定义如下：当|f (x )|≥g (x )时，F (x )＝|f (x )|，当|f (x )|＜g (x )时，F (x )＝－g (x )，则F (x )( )A ．有最小值0，无最大值B ．有最小值－1，无最大值C ．有最大值1，无最小值D ．无最大值，也无最小值【解析】 (1)由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0可知f (x )在R 上是减函数，故⎩⎨⎧a －2＜0，⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1≥2(a －2)，解得a ≤138. (2)F (x )的图象如图所示，由图可知F (x )有最小值－1，无最大值．【答案】(1)B(2)B规范解答之一解不等式巧用函数的单调性解函数不等式问题的一般步骤：第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为f(M)＜f(N)的形式；第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：解不等式或不等式组确定解集；第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范．———[1个示范例]———[1个规范练]———(12分)(2014·郑州模拟)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0时，恒有f(x)＞1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2.【规范解答】(1)设x1＜x2，∴x2－x1＞0.∵当x＞0时，f(x)＞1，∴f(x2－x1)＞1.2分f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，4分∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0⇒f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上为增函数.6分(2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，8分f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，f(2)＝2×2－1＝3，∴f(a2＋a－5)＜2＝f(1).10分∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5＜1⇒－3＜a＜2，即a∈(－3,2).12分【名师寄语】 (1)抽象函数的单调性证明只能用定义，在证明时应根据所给等式的特点对x 1或x 2进行适当变形，如x 2＝(x 2－x 1)＋x 1或x 1＝x 2·x 1x 2等.(2)求解含“f ”的不等式，应先将不等式转化为f (M )＜f (N )的形式，然后再根据函数f (x )的单调性去掉“f ”，此时应注意M 、N 应在定义域内取值.已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，f (2)＝1，解不等式：f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －3≤2.【解】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，∴f (y )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )，在以上等式中取x ＝4，y ＝2，则有f (2)＋f (2)＝f (4)．∵f (2)＝1，∴f (4)＝2. ∴f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －3≤2可变形为f (x (x －3))≤f (4)．又∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x (x －3)≤4，x ＞0，x －3＞0，解得3＜x ≤4.∴原不等式的解集为{x |3＜x ≤4}．第三节函数的奇偶性与周期性[考情展望] 1.考查函数奇偶性的判断.2.利用函数的奇偶性、周期性求函数值.3.与函数的对称性相结合，综合考查知识的灵活应用能力．一、奇(偶)函数的定义及图象特征1．奇、偶函数的定义对于函数f(x)的定义域内的任意一个x.(1)f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)；(2)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．2．奇、偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．1．奇、偶函数对称区间上的单调性奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．2．奇函数图象与原点的关系：如果奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)＝0.二、周期性1．周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：①T≠0；②f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意x都成立．2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．周期性常用的结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a.(4)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．(5)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a－b|.1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13 B.13 C.12D．－12【解析】依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0且a＝13，则a＋b＝13.【答案】 B2．下列函数为偶函数的是()A．y＝sin x B．y＝x3C．y＝e x D．y＝ln x2＋1【解析】由函数奇偶性的定义知A、B项为奇函数，C项为非奇非偶函数，D项为偶函数．【答案】 D3．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为()A．－1 B．0 C．1 D．2【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(8)＝f(0)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(8)＝f(0)＝0，故选B.【答案】 B4．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________. 【解析】因为y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a由题意可知1－a＝0，即a＝1.【答案】 15．(2013·山东高考)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝()A．2 B．1 C．0 D．－2【解析】利用奇函数的性质f(－x)＝－f(x)求解．当x＞0时，f(x)＝x2＋1x ，∴f(1)＝12＋11＝2.∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.【答案】 D6．(2013·北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝1x B．y＝e－xC．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|【解析】A项，y＝1x是奇函数，故不正确；B项，y＝e－x为非奇非偶函数，故不正确；C，D两项中的两个函数都是偶函数，且y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增函数，故选C.【答案】 C考向一[016]函数奇偶性的判断判断下列各函数的奇偶性：(1) f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x x ＜0－x 2＋x x ＞0.【思路点拨】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，带绝对值符号的要尽量去掉，分段函数要分情况判断．【尝试解答】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≠0，1－x1＋x ≥0得，定义域为(－1,1]，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0|x －2|≠2得，定义域为(－1,0)∪(0,1)．∴x －2＜0，∴|x －2|－2＝－x ， ∴f (x )＝lg (1－x 2)－x.又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝－lg (1－x 2)－x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数． (3)显然函数f (x )的定义域为：(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数．规律方法1 1.本例第(1)题，若盲目化简：f (x )＝(x ＋1)2·x －1x ＋1＝x 2－1 将扩大函数的定义域，作出错误判断.第(2)题易忽视定义域无从入手. 2.判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断，对于分段函数，应分情况判断.考向二[017]函数奇偶性的应用(1)设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)x为奇函数，则实数a的值为________．(2)已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式为________．(3)设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式f(x)＋f(－x)x＞0的解集为________．【思路点拨】(1)利用奇函数定义或特值法求解．(2)设x ＜0，则－x ＞0，借助偶函数定义求其解析式． (3)分“x ＞0”和“x ＜0”两类分别解不等式，取并集即可．【尝试解答】 (1)方法一：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即(－x ＋1)(－x ＋a )－x＝－(x ＋1)(x ＋a )x，∴a ＝－1.方法二：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，∴f (1)＋f (－1)＝0，即(1＋1)(1＋a )1＋(－1＋1)(－1＋a )－1＝0，∴a ＝－1.(2)设x ＜0，则－x ＞0， ∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x . 又y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2＋2x (x ＜0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0.(3)因为f (x )为偶函数，所以不等式f (x )＋f (－x )x ＞0，等价于f (x )x ＞0. ①当x ＞0时，f (x )x ＞0等价于f (x )＞0，又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0.所以f (x )＞0的解集为{x |0＜x ＜2}． ②当x ＜0时，f (x )x ＞0等价于f (x )＜0，又f (x )在(－∞，0)上为增函数，且f (－2)＝f (2)＝0. 所以f (x )＜0的解集为{x |x ＜－2}．综上可知，不等式f (x )＋f (－x )x的解集为{x |x ＜－2或0＜x ＜2}．【答案】 (1)－1 (2)f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0 (3){x |x ＜－2或0＜x ＜2}规律方法2 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式，常利用奇偶性构造关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式.(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值.(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.对点训练 (1)(2014·郑州模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a ＞0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 B.154 C.174 D ．a 2(2)已知定义在R 上的奇函数满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－a 2)＞f (2a )，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数， ∴f (－2)＝－f (2)，g (－2)＝g (2)＝a ， ∵f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，①∴f (－2)＋g (－2)＝g (2)－f (2)＝a －2－a 2＋2，②由①、②联立，g(2)＝a＝2，f(2)＝a2－a－2＝154. (2)当x≥0时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1∴函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴函数f(x)在R上是增函数．由f(3－a2)＞f(2a)得3－a2＞2a.解得－3＜a＜1.【答案】(1)B(2)(－3,1)考向三[018]函数的周期性及其应用设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)．【思路点拨】(1)证明f(x＋4)＝f(x)(2)先求[－2,0]上的解析式，再求[2,4]上的解析式；(3)根据周期性求解．【尝试解答】(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.所以x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0＋1＋0＋(－1)＝0.规律方法3(1)本例(2)在求解中先借助周期把区间[2，4]转换到区间[－2，0]上，然后借助奇函数实现[－2，0]与[0，2]间的转化.(2)证明一个函数f(x)是周期函数的关键是借助已知条件探寻使“f(x＋T)＝f(x)”成立的非零常数T.(3)周期性与奇偶性相结合的综合问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号的作用.对点训练(1)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[1,3]上是()A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 013)＋f(2 015)＝________.【解析】(1)由f(x)在[－1,0]上是减函数，又f(x)是R上的偶函数，所以f(x)在[0,1]上是增函数．由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)，故2是函数f(x)的一个周期．结合以上性质，模拟画出f(x)的部分图象，如图．由图象可以观察出，f(x)在[1,2]上为减函数，在[2,3]上为增函数．(2)当x≥0时，f(x＋2)＝－1f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f(2 013)＝f(1)＝log22＝1，f(－2 013)＝f(2 013)＝1，f(2 015)＝f(3)＝－1f(1)＝－1，∴f(－2 013)＋f(2 015)＝0. 【答案】(1)D(2)0思想方法之三利用奇偶性求值——“方程思想”闪光芒方程思想就是通过分析问题中的各个量及其关系，列出方程(组)、或者构造方程(组)，通过求方程(组)、或讨论方程(组)的解的情况，使问题得以解决．在函数的奇偶性中，方程思想的具体体现如下：(1)函数奇偶性的判断，即验证等式“f(x)±f(－x)＝0”是否对定义域中的每个x均成立．(2)求解析式，在同时含有f(x)与f(－x)的表达式中，如bf(x)＋f(－x)＝a(ab≠0)中，常用“－x”代式子中的“x”，重新构建方程，联立求解f(x)．(3)求值，已知f(a)的值探求f(－a)的值，其方法如同(2)．————[1个示范例]———[1个对点练]———(2013·湖南高考)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于() A．4B．3C．2D．1【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．又g(x)是偶函数，∴g(－1)＝g(1)．∵f(－1)＋g(1)＝2，∴g(1)－f(1)＝2.①又f(1)＋g(－1)＝4，∴f(1)＋g(1)＝4.②由①②，得g(1)＝3.(2013·重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋b sin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))＝()A．－5B．－1C．3D．4【解析】因为log210与lg 2(即log102)互为倒数，所以lg(log210)与lg(lg 2)互为相反数．不妨令lg(log210)＝x，则lg(lg 2)＝－x，而f(x)＋f(－x)＝(ax3＋b sin x＋4)＋[a(－x)3＋b sin(－x)＋4]＝8，故f(－x)＝8－f(x)＝8－5＝3，故选C.【答案】 C第四节二次函数与幂函数[考情展望] 1.利用幂函数的图象和性质解决幂的大小比较和图象识别等问题.2.考查二次函数的解析式求法、图象特征及最值.3.运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系去分析和解决问题．。

2015高考函数专题复习5

最新高考文科数学函数专题训练(附答案)

2015年高考数学试题专题练习：函数概念与基本初等函数doc

4---2015年高考真题-----函数

2015高考真题函数汇编

2015届高考数学总复习 第三章 第五节三角函数的图象与性质课时精练试题 文(含解析)

2015年高考数学函数奇偶性专题

2015届高考数学总复习第二章 函数与导数第5课时 函数的图象课时训练

2015高考函数专题复习5

2015届高考数学总复习配套题型精练：常考题型强化练——函数(共29张PPT)

2015届高考数学(理)二轮复习方案测评手册：第5讲 函数的单调性与最值(人教B版)

2015届高考苏教语文训练5 函数的单调性与最值(带解析)V

2015届高考数学一轮总复习 2-5对数与对数函数

2015高考复习基本初等函数

2015年山东省高考(理)一轮专题复习特训：函数【含答案】

2015届高考数学总复习第二章 第五节指数与指数函数课件 理

3-5第五节 三角恒等变换(2015年高考总复习)

2015年高考函数的图像专题讲义

2015年高考数学(理科)函数及其表示

2015届高考数学总复习第三章第五节三角函数的图象与性质课时精练试题文(含解析)

2015届高考数学总复习第二章函数与导数第5课时函数的图象课时训练

2015届高考数学(理)二轮复习方案测评手册：第5讲函数的单调性与最值(人教B版)

2015届高考数学总复习第二章第五节指数与指数函数课件理

3-5第五节三角恒等变换(2015年高考总复习)