最新-2018年中考数学一轮复习 圆与圆1 精品

圆与圆（一）

知识考点：

1、掌握圆与圆的五种位置关系与两圆的半径、圆心距之间的关系，掌握圆与圆的位置关系的三种判定方法。

2、掌握相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，相切两圆的连心线必过切点等性质。 精典例题：

【例1】 已知⊙O 1与⊙O 2的半径长分别为方程01492

=+-x x 的两根，若圆心距O 1O 2的长为5，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系如何？

分析：由方程01492

=+-x x 可解得21=x ，72=x ，故52712=-=-x x 与圆心距相等，则两圆内切。 解：设⊙O 1、⊙O 2的半径分别为R 、r （R ≥r ） 由由方程01492

=+-x x 有21=x ，72=x ∴7=R ，2=r 又∵d O O r R ===-521 ∴两圆的位置关系为内切。

变式：若方程变为01392

=+-x x ，则两圆的位置关系如何？

分析：显然此方程的两根不易直接求出，用求根公式又麻烦了，考虑到要判断两圆的位置关系，只须将两圆半径的和、差与圆心距比较即可，我们可以用韦达定理，设两圆的半径分别为R 、r （R ≥r ），则9=+r R ，13=⋅r R 。

∴2913494)()(222=⨯-=-+=-=

-Rr r R r R r R

而O 1O 2＝5＜29，∴两圆的位置关系为内含。

【例2】 如图，⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，AB 过P 点分别交⊙O 1和⊙O 2于A 、B 两点，BD 切⊙O 2于点B ，交⊙O 1于C 、D 两点，延长CP 交⊙O 2于Q 。

（1）求证：CQ CP

AD

PA =2

2； （2）设⊙O 2的半径为r ，⊙O 1的半径为R ，若BP ＝2，AD ＝34，求R

r

的值； （3）若AP ∶PB ＝3∶2，且C 为BD 的中点，求AD ∶BC 的值。

分析：此题要求的结论很多，只有采取“各个击破”的策略，抓住两圆外切的关键是过切点作两圆的公切线，它可以沟通两圆的弦切角、圆周角之间的关系。

（1）证明：先证∠APD ＝∠BPC ，又∠BCP ＝∠DAP

∴△CPB ∽△APD ，∴CB CP AD PA =，即2

2

22CB CP AD PA =

∵BC 切⊙O 2于O 2，∴CQ CP BC ⋅=2

∴CQ CP CQ CP CP AD

PA =⋅=22

2 （2）解：连结O 1 O 2、O 1 A 、O 2 B ，则O 1 O 2过P

点。证△AO 1P ∽△BO 2P ，∴

AP

BP

R r =，再证

AD

AP

AB AD =，∴

)2(2AP AP AP AB AD +=⋅=，AP AP 2)34(22+=，解得AP ＝6

∴

3

162==R r （3）解：∵C 为BD 的中点，∴BC ＝DC ，∴P C D PBC S S ∆∆=。

∵AP ∶PB ＝3∶2，∴D A P S ∆∶DPB S ∆＝3∶2，∴D A P S ∆∶PBC S ∆＝3∶1。∵△DAP ∽△BCP ，2

⎪⎭⎫

⎝⎛=∆∆BC DA S S PBC DAP ，∴

3=BC

DA 。 探索与创新：

【问题】如图1，已知⊙O 和⊙O '都经过点A 和B ，直线PQ 切⊙O 于点P ，交⊙O '于点Q 、M ，交AB 的延长线于点N 。

（1）求证：NQ NM PN ⋅=2

；

（2）若M 是PQ 的中点，设MQ ＝x ，MN ＝y ，求证：y x 3=；

（3）若⊙O '不动，把⊙O 向右或向左平移，分别得到图2、图3、图4，请你判断（直接写出判断结论，不需证明）：

①（1）题结论是否仍然成立；

②在图2中，（2）题结论是否仍然成立？在图3、图4中，若将（2）题条件改为：M 是PN 的中点，设MQ ＝x ，MN ＝y ，则y x 3=的结论是否仍然成立？

解：（1）HA NB PN ⋅=2

，又NQ NM NA NB ⋅=⋅，∴NQ NM PN ⋅=2

（2）∵PM ＝MQ ＝x ，MN ＝y ，NQ NM PN ⋅=2

∴)()(2y x y y x +=-，整理得xy x 32

=，∵0≠x ，∴y x 3=

（3）在图2、图3、图4中（1）题结论都成立，在图2中（2）题结论成立；在图3、图4中，按题意改变条

件后，y x 3=的结论仍然成立。理由是：PM ＝MN ＝y ，MQ ＝x ，依①的结论有：)()2(2

y x y y +=，化简得y x 3=。

2

O 1

O ∙

∙

例2图

T

Q

P D

C

B

A

∙

∙

O

O '

问题图1

N

M Q

P

B

A

)

(B A ∙

∙

O

O '

问题图2

N

M

Q

P

∙

∙

O

O '问题图3

A

B

N

M

Q

P

)

(B A ∙∙

O

O '问题图4

N

M

Q

P

跟踪训练：

一、选择题：

1、已知两圆的半径分别为3与5，圆心距为x ，且3)3(2

-=-x x ，x x -=-44，则两圆的公切线共有（ ）

A 、1条

B 、2条

C 、3条

D 、4条

2、两圆的半径分别为R 、r )(r R >，圆心距为d ，若关于x 的方程2

2)(2d R rx x -+- ＝0有两个相等的实数根，

则两圆的位置关系是（ ）

A 、一定内切

B 、一定外切

C 、相交

D 、内切或外切

3、已知两圆的半径分别为R 、r )(r R >，圆心距为d ，且dR r R d 22

22=-+，则两圆的位置关系是（ ） A 、相交 B 、内切 C 、外离 D 、外切或内切

4、若⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，⊙O 1与⊙O 2的半径分别为2和2，公共弦为2，则∠O 1AO 2的度数是（ ） A 、1180

B 、750

或150

C 、1180

或150

D 、150

5、已知两个同心圆的半径分别为R 和r ，其中r R >，则和两个同心圆都相切的圆的半径为（ ） A 、

2

r

R - B 、r R - C 、2r R -或2r R + D 、2

r R +

6、如图，⊙O 1与⊙O 2内切于点P ，⊙O 2弦AB 经过⊙O 1的圆心O 1，交⊙O 1于点C 、D ，若AC ∶CD ∶

DB ＝3∶4∶2，则⊙O 1与⊙O 2的直径之比为（ ）

A 、2∶7

B 、2∶5

C 、1∶4

D 、1∶3 二、填空题：

1、已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别是3 cm 和4cm ，若两圆不相交，则O 1O 2满足 。

2、△ABC 的三边长为7、8、9，以顶点A 、B 、C 为圆心的圆两两外切，则其中最大圆的半径为 。

∙

2

O 1

O ∙

选择第6题图

P

D C

B A