江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校高中数学简单的逻辑联结词,全称量词和存在量词学案苏教版选修23

简单的逻辑联结词，全称量词和存在性量词

备考方向：

一.明确考什么？

1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．

2.理解全称量词与存在量词的意义．

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

二.知道怎么考？

1.对三个逻辑联结词的要求虽然只是了解，但这三个逻辑联结词却是高考试题中的常客，其中，综合其他知识对含有这几个逻辑联结词的命题的运用是高考的热点．

2.对全称量词与存在量词的考查，主要是结合其他知识点考查含有全称量词与存在量词的命题的判断，多为填空题也有解答题，试题难度不一，如2010年高考T19.

基本知识点：

1.正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”以及命题p∧q、p∨q、非p的真假判定

2.全称量词和存在量词

3.含有一个量词的命题的否定

考点一：命题p∧q、p∨q、非p的真假判定

例1.已知命题p：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1

①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧非q”是假命题；

③命题“非p∨q”是真命题；

④命题“非p∨非q”是假命题．其中正确的是_______．

判断“p∧q”、“p∨q”、“非p”形式命题真假的步骤

(1)准确判断简单命题p、q的真假；

(2)根据真值表判断“p∧q”、“p∨q”、“非p”命题的真假．

跟踪训练：

(2013·长春名校联考)命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．则p 或q 是________命题(填写“真”或“假”)．

考点二：全称命题和存在性命题的真假判断

例2.(1)下列命题中，真命题是________．

①∃x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，π2，sin x ＋cos x ≥2; ②∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1; ③∃x ∈R ，x 2

＋x ＝－1; ④∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x >sin x. (2)已知a >0，函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c ，若m 满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项中的命题为假命题的是________．

①∃x ∈R，f (x )≤f (m ); ②∃x ∈R，f (x )≥f (m );

③∀x ∈R，f (x )≤f (m ); ④∀x ∈R，f (x )≥f (m ).

思考：在本例(2)中，若将“a >0”改为“a <0”，其他条件不变，则如何选择？

方法总结：

1．全称命题真假的判断方法

(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立．

(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可．

2．存在性命题真假的判断方法

要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一存在性命题就是假命题．

跟踪训练：

下列命题中，真命题是________．

①∃m ∈R，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R)是偶函数;

②∃m ∈R，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R)是奇函数;

③∀m ∈R，函数f (x )＝x 2

＋mx (x ∈R)都是偶函数;

④∀m ∈R，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R)都是奇函数.

考点三：含有一个量词的命题的否定

例3.写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14

≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；

(3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；

(4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0. 对含有一个量词的命题进行否定的方法：

一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是存在性命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论.

跟踪训练：命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是_____．

考点四：根据命题真假确定参数的取值范围

例4.(2013·济宁模拟改编)已知命题p ：关于x 的方程x 2

－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是____________．

思考：保持本例条件不变，若p ∧q 为真，则结果如何？

根据命题真假求参数的方法步骤：

(1)应先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；

(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；

(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．

跟踪训练：

已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．

当堂检测：

1.命题“存在x ∈R,2x

≤0”的否定是______________．

2.用含有逻辑连结词的命题，表示命题“xy ＝0”的否定是________．

3.已知命题：

p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，

p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，

p 1∧(非p 2)中，真命题是________．

4.已知命题p ：方程x 2－(2＋a )x ＋2a ＝0在[－1,1]上有且仅有一解；命题q ：存在实数x

使不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0成立．若命题“p ∧q ”是真命题，求a 的取值范围．