万州二中高2015级高三3月考试数学(理)试卷

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2015年高考重庆理科数学试题与答案(word解析版)

2015 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（ 1）【 2015 年重庆，理 1】已知集合 A 1,2,3 ， B 2,3 ，则（）（A ）A B（B ）A B（ C ） A üB（D ） B ü A【答案】 D【解析】 A={1,2,2} ， B={2,3}B A 且 B A B A ，故选 D ．（ 2）【 2015 年重庆，理 2】在等差数列 a n 中，若 a 24 ， a 4 2 ，则 a 6（）（A ） 1 （B ） 0（C ）1（D ） 6【答案】 B【解析】利用 a 2 +a 6 2a 4 可求得 a 6 0 ，故选 B ．（ 3）【 2015 年重庆，理 3】重庆市 2013 年各月的平均气温（C ）数据的茎叶图如右，则这组数据的中位数是（）（ A ）19 （B ）20 （C ） 21.5 （D ）23【答案】 B【解析】这组数据是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32 ．中位数是20+2020 ，故选 B ．（ 4）【 2015 年重庆，理 4】“ x 1 ”是“ log 1x22”的（）2（ A ）充要条件（ B ）充分不必要条件（ C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】 B【解析】 log 1 (x2) 0 x1，故选 B ．2（ 5）【 2015 年重庆，理 5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A ）1（B ）2（C ）12（D ） 22【答案】 A 3 33 3【解析】该立体图形是由一个三棱锥和一个半圆柱拼接而成的，其体积为两部分体积之和：1 12 11( 12 ) 21 ，故选 A ．3223（ 6）【 2015 年重庆，理 6】若非零向量2 2b3a 2b ，则 a 与 b 的夹角为（）a, b 满足 | a |3| b |，且 a（ A ）4 （ B ）（C ）3（ D ）【答案】 A24【解析】 (ab)(3a 2b )(a b) (3a2b) 0 ，结合 | a |2 2| b |，可得 a b2| b | ，3 3cosa,ba b 2 , a, b [0, ] a,b 4，故选 A ．| a || b | 2（ 7）【 2015 年重庆，理 7】执行如图所示的程序框图，若输入 k 的值为 8，则判断框图可填入的条件是（）（ A ） s 3 5 （ C ） s 11 （ D ） s 154 （ B ） s 1224【答案】 C 6【解析】s 0,k0是k2， s1是，k4，s 1 + 1是，k 6，s 1 + 1 + 1 是22 42 4 61k 8， s 1 + 1 + 1 + 1否，判断框内应该填 s 1 + 1 + 1 =11，故选 C ．2 4 6 8 2 4 6 12（ 8）【 2015 年重庆，理 8】已知直线 l ：x ay 1 0 a R 是圆C ：2y 24 x 2 y 1 0 的对称轴，过点 A 4, ax作圆 C 的一条切线，切点为 B ，则|AB| （）（A ）2（B ）4 2（C ）6（D ） 2 10【答案】 C【解析】 C : x-22y-1 24 ，其圆心坐标为 C （2,1），半径 r2 ．由题意可知直线 l : x ay 10( a R) 是圆的直径所在直线，它过圆心，所以 2 a1 1 0 a1 A( 4,1)AC2 10 ．由几何图形可C （2,1）知， ABAC 2 r 240 46 ，故选 C ．cos(3 ) （ 9）【 2015 年重庆，理 9】若 tan2tan ，则10 ＝（）5sin()5（A ）1（B ） 2（C ）3（D ）4【答案】 C2sin【解析】tan 2 tansin5cos，5cos35cos() cos[() ] sin( ) sin cos cossin cos1052555sin(5 )sin( ) sin( ) sin coscossin cos5 355 5cos()10将式带入上式可得：3 ，故选 C ．sin()522（ 10）【 2015 年重庆，理 10】设双曲线xy1 a 0,b 0 的右焦点为 F ，右顶点为 A ，过 F 作 AF 的垂线a 2b 2 与双曲线交于 B,C 两点，过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线交于点 D ．若 D 到直线 BC 的距离小于 aa 2b 2 ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）（ A ） 1,00,1 （ B ）, 11,（ C ）2,00, 2（ D ）,22,【答案】 Ab 2AFca, BFb 2．在 Rt ABD中，由射影定理有：【解析】由题意可得： A(a,0), F (c,0), B(c, )a ba2BF 2AF DFDF BF 2 ( a )(ca)2 (c a)．即点 D 到直线 BC 的距离为 (c a) 2 ( ca)，由题AF ca2a 2a)2(ca意得：(c a)22a c 0b1．而双曲线的渐近线斜率a 2< aa babkk( 1,0)(0,1) ，故选 A ．a二、填空题：本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填在答题卡的相应位置．（ 11）【 2015 年重庆，理 11】设复数 a bi a, b R 的模为3 ，则 abi abi．【答案】 3【解析】复数a bi(a,b R) 的模为3a 2b 23a 2b 2 3 ． (abi)( a bi)a 2b 23 ．215（ 12）【 2015 年重庆，理 12】 x 32 的展开式中 x 8的系数是（用数字作答）．x【答案】527 rr35 r1r r 1157r3 1 5 8【解析】Tr 1) ( )2158 r 2 ．故 (xC 5 ( x2 C 52r x22 ) 的展开式中 x 的系数为xx2 15C 52．2 2（ 13）【 2015 年重庆，理 13】在 ABC 中，，AB2 P ABCAD3，则 ACB 120 的角平分线．，【答案】 6【解析】由正弦定理可得：ADABsin ADB2ADB 45BAD 15BAC 30 ，sin BsinADB2C 30 ，再由正弦定理可得： AC AB AC 6 ．sin B sin C考生注意：（ 14）、（ 15）、（ 16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．（ 14）【 2015 年重庆，理 14】如图，圆 O 的弦 AB,CD 相交于点 E ，过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P ，若 PA 6，AE9， PC3， CE: ED2:1 ，则 BE．【答案】 2【解析】由切割线定理可得： PA 2 PC PDPD 12 CD 9CE 6, ED 3 ．再由相交弦定理可得： AE BE CE DE BE 2 ．（ 15）【 2015 年重庆，理15】已知直线 l 的参数方程为x 1 ty1 （ t 为参数），以坐标原点为极t点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos24(350,) ．则直线44l 与曲线 C 的交点的极坐标为．【答案】 2,【解析】直线 l 的直角坐标方程为yx 2 ．2cos2 42(cos 2sin 2 ) 4 x 2 y 2 4. 由yx 2x222．由35． x 2y 24y 0 x y2 ysin0及 44 =故直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为（2, ．）（ 16）【 2015 年重庆，理 16】若函数 f ( x)x 1x a 的最小值为 5，则实数 a__．【答案】 4 或 -6【解析】分情况讨论：（ 1）当 a1时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知： f x 在 a 处取得最小值 5，所以 | a 1| 5a6 ；（ 2）当 a 1 时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：f x 在 a 处取得最小值 5， | a1| 5 a 4 ，综上，可得实数 a6 或 4．三、解答题：本大题共 6 题，共 75 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（ 17）【 2015 年重庆，理 17】（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 8 分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1 个的概率；（Ⅱ）设 X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．解：（Ⅰ）令A 表示事件“三种粽子各取到一个”，则P AC 21C 31C 51 1 ．C 1034（Ⅱ） X 所有可能取值为 0,1,2，且PXC 83 71 C 21C 827P X2C 22C 8113， P X3， 3．C 1015 C 1015C 1015故分布列见表：X123P7 7 1151515且 E X7 1 7 2 1 3（个）．1515 155（ 18【） 2015 年重庆，理 18（】本小题满分 13分，（ Ⅰ）小问 7 分，（Ⅱ）小问 6 分）设 f xsinx sin x3 cos 2 x ．2（Ⅰ）求 f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论 fx 在, 2 上的单调性．36解：（Ⅰ）由题 f xcos x sin x3cos 2x1sin 2x3 1 cos2 x sin2x33，故 fx 的最小正周期222T，最大值为22 3 ．（ Ⅱ ）由 x 2知 0 2x，从而当 0 2 x即 x 5 时， f x 单调递增；当,332126362 2 x3即5x 2 时， f x单调递减．因此， f x在6, 5单调递增，在 5 , 2单1231212 3 调递减．（ 19）【 2015 年重庆，理 19】（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 4 分，（Ⅱ）小问 9 分）如图，三棱锥 PABC 中，PC 平面 ABC ，PC3， ACB2 ，D, E 分别为线段 AB, BC 上的点，且 CDDE2 ，CE 2EB2 ．（Ⅰ）证明： DE 平面 PCD ；（Ⅱ）求二面角 A PD C 的余弦值．解：（Ⅰ）因 PC 平面 ABC ，DE 平面 ABC ，故 PC DE ．又 CD DE 2 ，CE 2 ，故 CDE为等腰直角三角形，且 CD DE ．因 PC CD C ， PC 平面 PCD ， CD 平面 PCD ，所以 DE 平面 PCD ．（Ⅱ）如图，取 CE 的中点 F ，连 DF ．由（Ⅰ）知CDE 为等腰直角三角形，故DFCE ， DF CFFE 1 ．又 ACB，故 DF / /AC ，因此 DFFB2，从而 AC3 ．2ACCB 32zP以 C 为原点， CA, CB, CP 的方向分别为 x, y, z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Cxyz ．则 C 0,0,0 ， A3,0,0 ，E 0,2,0 ， D 1,1,0 ， P 0,0,3 ，故 DA1, 1,0，22DP1, 1,3 ， DE1,1,0 ．设 n 1x 1 , y 1 , z 1 为平面 APD 的法向量，则n 1 DA 0n 1 DPCF EyBADxx 1 2y 1，取 y 11 得 n 12,1,1 ．由（Ⅰ）知 DE平面 PCD ，故 DE 即为平面 PCD 的法即y 1 3z 1 x 1 0向量．因cos n 1, DEn 1 DE 3 ，故所求二面角 A PD C 的余弦值为3 ．| n 1 | |DE|66（ 20）【 2015 年重庆，理 20】（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 7 分，（Ⅱ）小问 5 分）设函数 f x3x 2 ax a R ．e x（Ⅰ）若 f x 在 x 0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线y f x 在点 1, f 1处的切线方程；（Ⅱ）若 fx 在 3,上为减函数，求 a 的取值范围．解：（Ⅰ）由题 f x6x a e x3x 2ax e x3x 26 a x a ，因 f x 在 x0 处取得极值，故 f0 ，e2xex得 a 0 ．因此 fx3x 2 e x， fx6x 3x 2 e x．从而 f13， f13，所以曲线yf x 在ee4点 1, f 1 处的切线方程为 y3 3 x1 即 3x ey0 ．ee（Ⅱ）由题知f x0 对 x3 恒成立，故26 a x a 0 即 a3 3 x1 对 x3 恒成立．显然3xx 1g xx 33 x1在 3,单调递减，故 g max xg 39，所以 a 9 ，即 a 的取值范围为1 229．,2（ 21）【 2015 年重庆，理 21】（本题满分 12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分）如图，椭圆2 2x y 1 ab 0 的左右焦点分别为F 1, F 2 ，过 F 2 的直线交椭圆于 P, Q 两点，且22abPQ PF 1 ．（Ⅰ）若 | PF 1 | 2 2 ，|PF 2| 2 2 ，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若 | PF 1 | | PQ |，求椭圆的离心率e ．解：（Ⅰ）由题 2a |PF 1 | |PF 2|4 ，故 a2 ．又 4c 2 | PF 1 |2 | PF 2 |2 12 ，故 c23 ，因此 b2a2c 21 ，从2而椭圆方程为x2 1 ．4y（Ⅱ）连 F 1Q ，由题 4a |F 1P| |PQ|| QF 1 |2 2 |F 1 P ，|故 |F 1P| 2 2 2 a ，从而 | F 2P | 2a |F 1P|2 2 1 a ，因此 4c2| PF 1 |2| PF 2 |24 96 2 a 2，所以 e 2 9 6 2632，得 e6 3 ．（ 22）【 2015 年重庆，理 22】（本题满分 12 分，（Ⅰ）小问 4 分，（Ⅱ）小问 8 分）在数列a n 中， a 13 ，a n 1a n a n 120 n N ．a n（Ⅰ）若 0 ， 2 ，求数列 a n 的通项公式；（Ⅱ）若1 k 0 N , k 02 ，1 ，证明： 21 a k 0 1 21．k 03k 0 2k 011解：（Ⅰ）由0 ，2 得 a n 1an2a n 2 ．因 a 1 3 0 ，故 a n0 ，得 a n 1 2a n ．因此 a n 是首项为3 公比为2 的等比数列，从而a n3 2n 1 ．（Ⅱ）由题 a n 1 a n1 a n 2，因 a 1 3 0 ，故 3 a 1 a 2a n0．k 0因 a n 1a n 2 a n 1 11，即 a n 1a n111 ，1k 0k 0k 0 a n 1 k 0k 0 a n 1a nk 0故 a k1a 1k 0a i 1a i3k 01 1 1 3 k111 21 ，i 1i 1k 0 k 0 a i 1 i 1k 0 3k 0 13k 01因此 a 1a 2a k 0a k 0 12 ，从而 a k 013 k 0111 21．k 0 2k 011i 12k 0 综上可知 21 a k 121．3k 0 12k 015。

2015届高三年级期末考试数学(理)含答案

2015届高三年级期末考试数学试题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．sin(210)-的值为A ．B ．C ．D ．2．设全集U R =，(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，A B =A ．B ．C ．{}1D ．{}0,13．设x R ∈，则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++”为纯虚数的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201312014a a a -<<-，则必定有 A ．201320140,0S S ><且 B ．201320140,0S S <>且 C ． 201320140,0a a ><且 D ．201320140,0a a <>且 5．若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 A.10 B.20 C.30 D.120 6．函数sin(2)3y x π=-+在区间[0,]π上的单调递增区间为A ．511[,]1212ππ B ．5[0,]12π C ．2[,]63ππ D ．2[,]3ππ 7．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是A ．143 B ．4 C ．103D ．38．A 、B 、C 三点不共线，D 为BC 的中点，对于平面ABC内任意一点O 都有11222OP OA OB OC =--，则A.AP AD =B.PA PD =C.DP DA =D.PA AD = 9．将边长为2的等边PAB 沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合(如图)，设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，关于函数()y f x =的有下列说法：①()f x 的值域为[]0,2； ②()f x 是周期函数； ③(4.1)()(2013)f f f π<<； ④69()2f x dx π=⎰. 其中正确的说法个数为A ．0B ．1C ．2D ．310．过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率为ABCD11．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含个小正方形．则等于正视图侧视图俯视图A ．761B ．762C ．841D ．84212．若a 、b 是方程lg 4x x +=，104xx +=的解，函数()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，则关于x 的方程()f x x =的解的个数是A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．） 13．下图是某中学甲、乙两名学生2014年篮球比赛每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两名学生得分的中位数之和是___________．14．已知平面α截一球面得圆M ,过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为5,圆M 的面积为9π,则圆N 的面积为______________.15．已知{(,)|||1,||1}x y x y Ω=≤≤，A 是曲线2y x =与12y x =围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________． 16．对于四面体，以下命题中，真命题的序号为（填上所有真命题的序号） ①若AB ＝AC ，BD ＝CD ，E 为BC 中点，则平面AED ⊥平面ABC ； ②若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则BD ⊥AC ；③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2:1； ④若以A 为端点的三条棱所在直线两两垂直，则A 在平面BCD 内的射影为△BCD 的垂心； ⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面。

重庆市万州二中高三数学3月月考试题理

万州二中高2014级高三3月考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．1. 已知全集}6,5,4,3,2,1,0{=U ,集合{1,2}A =,}5,2,0{=B ,则集合=B A C U )( A ．{}6,4,3 B ．{}5,3 C ．{}5,0 D ．{}4,2,02．复数ii +-1)1(2等于A ．1+i B.﹣1﹣i C. 1﹣i D.﹣1+i 3．设随机变量ξ服从正态分布N (3，7)，若(2)(2)P a P a ξξ>+=<-，则a = A ．1B ．2C ．3D ．44．已知0,10a b <-<<，那么下列不等式成立的是A ．2a ab ab>>B ．2ab ab a >>C. 2ab a ab >>D ．2ab ab a >> 5．一几何体的三视图如上图，它的体积为A ．2B ．52C ．32D ．43（第5题图）6．如右上图，已知k 为如图所示的程序框图输出的结果，二项式1k nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为A ．4B ．5C ．6D ．77．节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的月秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在4秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后它们第一次闪亮的时刻相差不超过1秒的概率是 A ．165 B ．169 C ．41 D ．1678．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+。

若存在两项,m n a a 使得14a =，则19mn+的最小值为A 83B114 C 145 D 176正视图侧视图∙第14题图 O CD BA9．设点P 是双曲线22197x y -=右支上一动点，,M N 分别是圆()2241x y ++=和()2241x y -+=上的动点，则PM PN -的取值范围是A ．[]4,8B ．[]2,6C ．[]6,8D ．[]8,1210．函数()f x 的定义域为A ,若存在非零实数t ，使得对于任意()x C C A ∈⊆有,x t A +∈且()()f x t f x +≤，则称()f x 为C 上的t 度低调函数.已知定义域为[)0+∞，的函数()=3f x mx --，且()f x 为[)0+∞，上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是 A.[]0,1 B. [)+∞1， C.(],0-∞ D.(][),01,-∞+∞二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．11．一个学校高三年级共有学生600人，其中男生有360人，女生有240人，为了调查高三学生的复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为50的样本，应抽取女1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，...，一直数到2013时，对应的指头是 ▲ (填指头的名称)．13．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。

万州二中数学试卷高三

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列函数中，在实数域内单调递增的是（）A. y = x^2B. y = -x^2C. y = 2xD. y = x^32. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项a10的值为（）A. 27B. 30C. 33D. 363. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 6xB. 3x^2 - 2xC. 3x^2 - 6x + 4D. 3x^2 - 2x + 44. 若复数z满足|z - 1| = 2，则复数z在复平面内的轨迹是（）A. 以(1,0)为圆心，2为半径的圆B. 以(1,0)为圆心，2为半径的圆的内部C. 以(1,0)为圆心，2为半径的圆的外部D. 以(1,0)为圆心，2为半径的圆的切线5. 已知向量a = (1, -2)，向量b = (2, 3)，则向量a·b的值为（）A. -1B. 1C. 0D. 26. 若等比数列{an}的首项为3，公比为-2，则第5项a5的值为（）A. -24B. 24C. 12D. -127. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 无定义8. 若函数g(x) = x^2 - 4x + 4在区间[1, 3]上单调递增，则g(x)的对称轴方程为（）A. x = 2B. x = 1C. x = 3D. x = 49. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，则f'(x)的零点为（）A. 0B. 1C. 2D. 310. 若复数z满足|z + 1| = 3，则复数z在复平面内的轨迹是（）A. 以(-1,0)为圆心，3为半径的圆B. 以(-1,0)为圆心，3为半径的圆的内部C. 以(-1,0)为圆心，3为半径的圆的外部D. 以(-1,0)为圆心，3为半径的圆的切线二、填空题（每小题5分，共25分）11. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[1, 3]上单调递增，则f(2)的值为______。

高三数学-2015届高三3月综合测试数学试题

2015届高三3月综合测试数学试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.设复数122i ,i z z m =-=+(m ∈R ，i 为虚数单位),若12z z ⋅为实数,则m 的值为 ▲ ．【答案】2 【解析】试题分析：12(2i )(i)=(2m+1)+(2-m)i z z m ⋅=-+为实数,所以20, 2.m m -== 考点：复数概念，复数运算2.已知集合{2}A a =+，{1,1,3}B =-，且A B ⊆，则实数a 的值是 ▲ ．【答案】1 【解析】试题分析：由题意得：2,21,32,23,1a a a a ===或，解得1a = 考点：集合包含关系3.某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为 ▲ ．【答案】20 【解析】试题分析：松树苗的棵数为400150=203000⨯ 考点：分层抽样4.在ABC ∆的边AB 上随机取一点P , 记CAP ∆和CBP ∆的面积分别为1S 和2S ，则122S S >的概率是 ▲ ．【答案】13【解析】试题分析：当12=2S S 时，点P 为边AB 三等分点M （靠近B 点），所以122S S >的概率是13BM AB = 考点：几何概型概率5.已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲【解析】试题分析：双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为22220x y by x a b a-==±，，所以2,,a b c e ===考点：双曲线的离心率，双曲线渐近线6.右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ▲ ．【答案】25 【解析】试题分析：第一次循环： 1,3S n ==，第二次循环： 4,5S n ==，第三次循环： 9,7S n ==，第四次循环： 16,9S n ==，第五次循环： 25,1110S n ==>，结束循环，输出25S = 考点：循环结构流程图7.函数()lg(23)x x f x =-的定义域为 ▲ ．【答案】(,0)-∞ 【解析】试题分析：由题意得230,23,0x x x x x ->><，所以定义域为(,0)-∞ 考点：函数定义域8.1，则此三棱锥的体积为 ▲ ．【答案】16【解析】，体积为21136=考点：三棱锥的体积9.在△ABC 中，已知3AB =，o 120A =，且ABC ∆的面积为，则BC 边长为 ▲ ．【答案】7 【解析】1sin 153,52bc A bc c b =⨯⨯⇒=⇒==，由余弦定理得22212cos 25930()49,7.2a b c bc A a =+-=+-⨯-==考点：余弦定理，三角形面积10.已知函数()2f x x x =-，则不等式)(1)f x f ≤的解集为 ▲ ．【答案】[)1,-+∞ 【解析】试题分析：由题意得：()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，且1)(1)1f f ==，所以)(1)11f x f x x -⇔-+⇔≥-≤，即解集为[)1,-+∞考点：利用函数性质解不等式11.已知函数()2sin(2)(0)4f x x ωωπ=->的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在[11]-，上的单调增区间为 ▲ ．【答案】13[,]44-【解析】试题分析：由题意得：2222T ππωω==⇒=,所以22()242k x k k Z ππππππ-≤-≤+∈，即1322()44k x k k Z -≤≤+∈，又[11]x ∈-，，所以1344x -≤≤，即单调增区间为13[,]44- 考点：三角函数性质12.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若435a a a ，，成等差数列，且33k S =，163k S +=-，其中k *∈N ，则2k S +的值为 ▲ ．【答案】129【解析】试题分析：由题意得：23452=+21(),2a a a q q q q ⇒=+⇒==-舍，由33k S =，163k S +=-得112196192k k k k k a S S a a q ++++=-=-==，，所以263+192=129k S +=-考点：等比数列性质13.在平面四边形ABCD 中，已知3AB =，2DC =，点,E F 分别在边,AD BC 上，且3AD AE = ，3BC BF = ．若向量AB 与DC 的夹角为60，则AB EF ⋅ 的值为 ▲ ．【答案】7 【解析】试题分析：因为,EF EA AB BF EF ED DC CF =++=++ ，所以32EF AB DC =+，从而1293222733AB DC AB EF AB ⨯+⨯⨯+⋅=⋅== 考点：向量数量积14.在平面直角坐标系xOy 中，若动点(,)P a b 到两直线1l ：y x =和2l ：2y x =-+的距离之和为22a b +的最大值为 ▲ ．【答案】18 【解析】=|||2|4a b a b -++-=，其图像为一个正方形，四个顶点分别为(1,1),(1,3),(3,1),(3,3)A B C D ----, 而22a b +表示到原点距离的平方，所以22a b +的最大值为218OD = 考点：线性规划求最值二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分14分)已知向量(cos ,sin )θθ=a ，(2,1)=-b ． (1)若⊥a b ，求sin cos sin cos θθθθ-+的值；(2)若2-=a b ，(0,)2θπ∈，求sin()4θπ+的值．【答案】(1) 13【解析】试题分析：(1)先由向量垂直得到等量关系：sin 2cos θθ=，再代入式子化简即可：sin cos 2cos cos 1sin cos 2cos cos 3θθθθθθθθ--==++ (2)先由2-=a b得-ab 2=，化简得12cos sin 0θθ-+=，再根据平方关系22cos sin 1θθ+=解得3sin 54cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以34sin()cos )()455θθθπ+=+=+=试题解析：（2）由(cos 2,sin 1)θθ-=-+a b 可得，-ab 2=，即12cos sin 0θθ-+=， ① ………………………………………10分又22cos sin 1θθ+=，且(0,)2θπ∈ ②，由① ②可解得，3sin 54cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，……12分所以34sin()cos )()455θθθπ+=+=+=． ……………………14分考点：向量垂直，同角三角函数关系16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，点,E F 分别是棱,PC AC 的中点．(1)求证：PA //平面BEF ；(2)若平面PAB ⊥平面ABC ，PB BC ⊥，求证：BC PA ⊥．【答案】(1) 详见解析(2)详见解析【解析】试题分析：(1)证明线面平行，一般利用其判定定理，即从线线平行出发，利用中位线性质得到//PA EF ，再结合线面平行判定定理条件进行论证，(2)先将面面垂直条件转化为线面垂直，过点P 作PD AB ⊥，则PD ⊥平面ABC ,从而PD BC ⊥，又P B B C ⊥，从而BC ⊥平面PAB ,因此BC PA ⊥试题解析：（1）在PAC ∆中，E 、F 分别是PC 、AC 的中点，所以//PA EF ，又PA ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以//PA 平面BEF ．……………………………………6分（2）在平面PAB 内过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ．因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面ABC AB =，PD ⊂平面PAB ，所以PD ⊥平面ABC ,………………8分又BC ⊂平面ABC ，所以PD BC ⊥，…………………………10分考点：线面平行判定定理，面面垂直性质定理17.(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x 的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？【答案】(1) 10210xxθ+=+ (2) 1x = 【解析】试题分析：（1）将扇环面的两段弧长和直线段长分别用θ与x 表示后，利用其和为30列式，再解出θ即可；（2）将花坛的面积和装饰总费用分别用θ与x 表示，再利用第（1）问的结果消去x ，从而可得到y 关于x 函数，然后可利用导数或基本等式求其最小值，并确定y 取最小值时x 的值.试题解析：(1)设扇环的圆心角为，则()30102(10)x x θ=++-，所以10210xxθ+=+，…………………………………4分 (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．…………7分装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+， ……………………9分所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++， …11分令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t=18时取等号，此时121,11x θ==．答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．…………………14分 (注：对y 也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分) 考点：函数在实际问题中的应用，基本不等式的应用. 18.(本小题满分16分)已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为H ． (1)若直线l 过点C ，且被H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求C 的半径r 的取值范围．【答案】(1) 3x =或4360x y --=． (2) 【解析】试题分析：（1）求ABC ∆的外接圆方程可用待定系数法或利用两边垂直平分线的交点先求出圆心，再利用两点之间距离公式求出半径，求出圆的方程后再利用待定系数法求出直线的方程，此时要注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论；（2）可设出点,P N 的坐标，再把点M 的坐标用其表示，把点,M N 的坐标代入圆的方程，利用方程组恒有解去考察半径的取值范围，但要注意,,P N M 三点不能重合，即圆和线段BH 无公共点.试题解析：(1)线段AB 的垂直平分线方程为0x =，线段BC 的垂直平分线方程为30x y +-=，所以外接圆圆心(0,3)H，H 的方程为22(3)10x y +-=．………………4分设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被H 截得的弦长为2，所以3d =．当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即3x =为所求；…………………………6分当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为2(3)y k x -=-3=，解得43k =，综上，直线l 的方程为3x =或4360x y --=． ……………………………………8分 (2) 直线BH 的方程为330x y +-=，设(,)(01),(,)P m n m N x y ≤≤，因为点M 是点P ，N 的中点，所以(,)22m x n yM ++，又,M N 都在半径为r 的C 上，所以222222(3)(2),(3)(2).22x y r m x n y r ⎧-+-=⎪⎨++-+-=⎪⎩即222222(3)(2),(6)(4)4.x y r x m y n r ⎧-+-=⎪⎨+-++-=⎪⎩……………10分因为该关于,x y 的方程组有解，即以(3,2)为圆心r 为半径的圆与以(6,4)m n --为圆心2r 为半径的圆有公共点，所以2222(2)(36)(24)(2)r r m n r r -≤-++-+≤+， …12分又330m n +=－，所以2221012109r m m r +－≤≤对[01]m ∀∈，]成立．而()2101210f m m m =+－在上的值域为[325，10]，故2325r ≤且2r 10≤9． 15分又线段BH 与圆C 无公共点，所以222(3)(332)m m r -+-->对[01]m ∀∈，成立，即2325r <.故C 的半径r的取值范围为． ……………………………16分考点：圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.19.(本小题满分16分)已知函数325()2f x x x ax b =+++（,a b 为常数），其图象是曲线C ．（1）当2a =-时，求函数()f x 的单调减区间；（2）设函数()f x 的导函数为()f x '，若存在唯一的实数0x ，使得00()f x x =与0()0f x ='同时成立，求实数b 的取值范围；（3）已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线12,l l 的斜率分别为12,k k ．问：是否存在常数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）1(2,)3-；（2）71(,)(,)548-∞--+∞ ；（3）当2512a =时，存在常数4λ=，使214k k =；当2512a ≠时，不存在常数λ，使21k k λ=. 【解析】(3) 设00(,())A x f x ，则点A 处切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，与曲线C ：()y f x =联立方程组，得000()()()()f x f x f x x x '-=-，即2005()[(2)]02x x x x -++=，所以B 点的横坐标05(2)2B x x =-+． (12)分由题意知，21000()35k f x x x a '==++，22000525(2)122024k f x x x a '=--=+++，若存在常数λ，使得21k k λ=，则220000251220(35)4x x a x x a λ+++=++，即常数λ，使得20025(4)(35)(1)4x x a λλ-+=--，所以常数λ，使得40,25(1)0.4a λλ-=⎧⎪⎨--=⎪⎩解得常数λ，使得4λ=，2512a =． ………15分故当2512a =时，存在常数4λ=，使214k k =；当2512a ≠时，不存在常数λ，使21k k λ=．16分考点：函数与方程、导数的综合应用. 20.（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足1a x =，23a x =，2*1132(2,)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥，n S 是数列{}n a 的前n 项和．(1)若数列{}n a 为等差数列．（ⅰ）求数列的通项n a ；（ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =，数列{}n c 满足221n n n n c t b tb b ++=--，试比较数列{}n b 前n 项和n B 与{}n c 前n 项和n C 的大小；(2)若对任意*n ∈N ，1n n a a +<恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】（1）（ⅰ）21n a n =-；（ⅱ）详见解析；（2）137,156⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】试题分析：（1）（ⅰ）由12,a a 可得12,S S ，在递推关系式2*1132(2,)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥中，由12,S S 可求3S ，进而求出3a ，于是可利用{}n a 是等差数列求出x 的值，最后可求出{}n a 的通项公式，（ⅱ）易知()21641n n C t t B =--，所以要比较n C 和n B 的大小，只需确定n B 的符号和21641t t --和1的大小关系问题，前者易知为正，后者作差后判断符号即可；（2）本题可由递推关系式21132n n n S S S n +-++=+通过变形得出36(2)n n a a n +-=≥，于是可以看出任意*n ∈N ，1n n a a +<恒成立，须且只需12345a a a a a <<<<，从而可以求出x 的取值范围．试题解析：(1)（ⅰ）因为21132(2,*)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥，所以32114S S S ++=，即3212314a a a ++=，又12,3a x a x ==，所以3149a x =-， ……………………2分又因为数列{}n a 成等差数列，所以2132a a a =+，即()6149x x x =+-，解得1x =，所以()()()1111221*n a a n d n n n =+-=+-⨯=-∈N ； ……………………4分（ⅱ）因为()21*n a n n =-∈N ，所以21220n a n n b -==>，其前n 项和0n B >，又因为()22211641n n n n n c t b tb b t t b ++=--=--， …………………………………5分所以其前n 项和()21641n n C t t B =--，所以()22821n n n C B t t B -=--， ……7分当14t <-或12t >时，n n C B >；当14t =-或12t =时，n n C B =；当1142t -<<时，n n C B <．…………………………………………………………9分（2）由21132(2,*)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥知()221312(*)n n n S S S n n ++++=++∈N ，两式作差，得2163(2,*)n n n a a a n n n ++++=+∈N ≥， ……………………10分所以()321613(*)n n n a a a n n +++++=++∈N ,再作差得36(2,*)n n a a n n +-=∈N ≥，………………………………………………11分所以，当1n =时，.1n a a x ==；当31n k =-时，().31216366234n k a a a k x k n x -==+-⨯=+-=+-；当3n k =时，().331614966298n k a a a k x k n x ==+-⨯=-+-=-+；当31n k =+时，().314161666267n k a a a k x k n x +==+-⨯=++-=+-；……14分因为对任意*n ∈N ，1n n a a +<恒成立，所以12a a <且3133132k k k k a a a a -++<<<，所以363669869866566563x xk x k x k x k x k x k x<⎧⎪+-<-+⎪⎨-+<+-⎪⎪+-<+⎩，解得，137156x <<，故实数x 的取值范围为137,156⎛⎫⎪⎝⎭．…………………………………………………16分考点：等差数列、等比数列与函数、不等式的综合运用.附加题21.B (选修4—2：矩阵与变换)（本小题满分10分）设矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M （其中00a b ＞，＞），若曲线C ：221x y +=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线2214x C y '+=：，求a b +的值．【答案】3．【解析】试题分析：本题可先求出曲线C 在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '的方程再与方程2214x y +=加以比较得出a b ,的值，也可在曲线C 上取两特殊点经阵M 所对应的变换作用下得到点在曲线C '上，代入C '方程，求出a b ,的值. 试题解析：设曲线C ：221x y +=上任意一点(,)P x y ，在矩阵M 所对应的变换作用下得到点111(,)P x y ，则1100x a x b y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即11ax x by y =⎧⎨=⎩． …………………………………………………………5分又点111(,)P x y 在曲线2214x C y '+=：上，所以221114x y +=，则2214ax by +=为曲线C 的方程．又曲线C 的方程为221x y +=，故24a =，21b =，因为00a b ＞，＞，所以3a b +=． …………………………………………………………10分考点：矩阵与变换.21.C (选修4—4：坐标系与参数方程)（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程是x y ⎧⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，（t 为参数）；以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2cos()4ρθπ=+．由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．【答案】62．【解析】试题分析：先将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线上的点的坐标（含参数）代入，化为求函数的最值问题，也可将直线l 的参数方程化为普通方程，根据勾股定理转化为求圆心到直线上最小值的问题试题解析：因为圆C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 2-=，所以θρθρρsin 2cos 22-=，所以圆C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ，圆心为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,22,半径为1,…4分因为直线l的参数方程为,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），所以直线l上的点P +⎝向圆C 引切线长是所以直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62． ……………………………………10分考点：直线的参数方程和圆的极坐标方程，圆的切线长. 22.（本小题满分10分）某品牌汽车4S 店经销,,A B C 三种排量的汽车，其中,,A B C 三种排量的汽车依次有５，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能． (1)求该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率；(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）155；（2）详见解析．【解析】试题分析：(1)这是一个古典概型问题，先求出从15款车型中任买3辆共有多少种可能，再求出购买3辆车都为B 种车有多少种可能，即可求出结果；（2）X 的所有可能取值为1，2，3，对每种情况要准确分类，求出各种情况下有多少种可能，就可求出X 各种取值的概率，然后再求数学期望.试题解析：(1)设该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车为事件M ，则343121().55C P M C ==所以该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率为155． ………………………………4分 (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3.则3335433123(1),44C C C P X C ++===1115433123(3)11C C C P X C ===， 29(2)1(1)(3)44P X P X P X ==-=-==．所以X 的分布列为……………………………8分数学期望329397()12344441144E X =⨯+⨯+⨯=．………………………………………………10分考点：随机变量的概率分布. 23.（本小题满分10分）已知点(1,0)A -，(1,0)F ，动点P 满足2||AP AF FP ⋅=． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)在直线l ：22y x =+上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为,M N ．问：是否存在点Q ，使得直线MN //l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x =；（2）1(,1)2Q -．考点：曲线与方程.。

2015年高三三模试卷理科数学附答案

O ππ3π6112015年高三三模试卷理科数学一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.)1、设复数11221,2,z z i z ai z =+=+若为纯虚数，则实数a =（）A ．-2B ．2C ．-1D ．12、已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题:1,ln(1)x q x e x ∀>->+，则（） A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题 C.命题)(q p ⌝∧是真命题 D.命题)(q p ⌝∨是假命题3、已知某随机变量X 的概率密度函数为P (x )=⎩⎨⎧>≤-0,0,0x e x x ,则随机变量X 在区间(1,2)内的概率为( )A ．e 2+eB ．21e e + C ．e 2-e D ．21ee - 4．下列命题中正确的是（）A.如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B.过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C.平面α不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面βD.若直线l 不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l 垂直的直线 5．设0>ω，函数)sin(ϕω+=x y )(πϕπ<<-的图象向左平移3π个单位后，得到下面的图像，则ϕω,的值为（）（A ）32,1πϕω== （B ）32,2πϕω== （C ）3,1πϕω-== （D ）3,2πϕω-==6、ABCDEF 6个同学和1个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，A,B 和C,D 同学分别穿着白色和黑色文化衫，E 和F 分别穿着红色和橙色的文化衫.若老师站中间，穿着白色文化衫的不相邻，则不同的站法种数为( )A.72B.192C. 112D.1607、设函数)(x f 的导函数为)(x f '，对任意∈x R 都有)()(x f x f >'成立，则（）A ．3(ln 2)2(ln3)f f > B.3(ln 2)2(ln 3)f f =C ．3(ln 2)2(ln3)f f < D.3(ln 2)2(ln3)f f 与的大小不确定8、过双曲线2222x y a b-=1（a >0，b >0）的左焦点F 引圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若T 为线段FP 的中点，则该双曲线的渐近线方程为（） A ．x ±y =0B ．2x ±y =0C ．4x ±y =0D ．x ±2y =09、已知,40,tan 12sin sin 22πθθθθ<<=++k 则)4sin(πθ-的值( ) A ．随着k 的增大而增大 B ．有时随着k 的增大而增大，有时随着k 的增大而减小 C ．随着k 的增大而减小 D ．是一个与k 无关的常数10、已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数1()sgn(ln )(23)x f x x -=--的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.411、平面α、β、γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β、γ的距离都是3，P 是α内的动点，P 到β的距离是到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是( ) A ． 3－ 3B ．3+ 3C ．1D ．312、定义在R 上的函数)(x f y = 是增函数，且函数)3(-=x f y 的图像关于（3，0）成中心对称，若t s ,满足不等式22(2)(2)0f s s f t t -+-≥，则当14s ≤≤时，3t s +的取值范围是( ) A ．]10,2[- B ．[4，16] C ．]10,4[ D ．]16,2[-第II 卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13、右面程序框图中，已知f 0(x)=xe x ，则输出的结果是___ __；14、已知{x 1, x 2, x3, x 4}⊆{x >0|(x -3)sinπx =1}, 则x 1+x 2+x 3+x 4的最小值为___ __；15、ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=，则该ABC ∆的面积___ __；16、某几何体的三视图如图，若该几何体的各顶点都在一个球面上，则此球的表面积为___ __；（2sin aR A=，其中R 为三角形外接圆半径）三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17、（本小题满分12分）在各项均为正数的等比数列{}n a 中, 已知3212+=a a , 且23a ,4a ,35a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n a b 3log =,求数列{}n n b a 的前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）已知某几何体直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，60°3388主视图侧视图（1）求证：BN 11C B N ⊥平面；（2）11sin C N CNB θθ设为直线与平面所成的角,求的值；（3）设M 为AB 中点，在BC 边上找一点P ，使MP //平面1CNB 并求BPPC的值 19、（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：31()f x x =,2()5xf x =,3()2f x =，421()21x xf x -=+，5()sin()2f x x π=+，6()cos f x x x =. （Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。

2015高三3月联考数学(理)试题附答案

理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数ib ia 3-+（Rb a ∈,）对应的点在虚轴上，则ab 的值是 A.15- B. 3 C. 3- D. 152．设抛物线214y x =上的一点P 到x 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离为 A.3 B.4 C.5 D.6 3．下列命题是假命题的是A. ,a b R +∀∈，lg()lg lg a b a b +≠+B. R ϕ∃∈，使得函数()sin(2)f x x ϕ=+是偶函数C. ,R αβ∃∈，使得cos()cos cos αβαβ+=+D. m R ∃∈，使243()(1)m m f x m x -+=-⋅是幂函数，且在(0,)+∞上递减4．设函数()sin cos f x x x x =+的图像在点(,())t f t 处切线的斜率为k ，则函数()k g t =的部分图像为5．由直线x y e x y 2,,0===及曲线xy 2=所围成的封闭的图形的面积为 A. 2ln 23+B. 3C. 322-eD. e6．已知函数()|lg |f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于A. B. C. 2+ D.7．已知数列{}n a 是等差数列，1tan 225a =，5113a a =，设n S 为数列{(1)}n n a -的前n 项和，则2015S =A.2015B.2015-C. 3024D.3022-8．已知a 、b 为平面向量，若+a b 与a 的夹角为3π，+a b 与b 的夹角为4π，则||||=a b9．已知1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为C.2D.310．定义在R 上的函数()f x 满足1(2)()2f x f x +=，当[0,2)x ∈时，231||212,01,2()2,1 2.x x x f x x --⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤<⎩函数32()3g x x x m =++．若[4,2)s ∀∈--，[4,2)t ∃∈--，不等式()()0f s g t -≥成立，则实数m 的取值范围是 A. (,12]-∞-B. (,4]-∞-C. (,8]-∞D. 31(,]2-∞第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知直线1:260l ax y ++=，()22:110l x a y a +-+-=，若12l l ⊥，则a =________．12．设1m >,在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下,目标函数z x my =+的最大值等于2,则m =_________．13．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为．14．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，3()log (1)=+f x x ．若关于x 的不等式2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+的解集为A ，函数()f x 在[8,8]-上的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是．15．已知曲线C ：22y x a =+在点n P (n （0,a n >∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线n l 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y，且00=xy ．给出以下结论：①1a =；②当*n ∈N 时，n y 的最小值为54； ③当*n ∈N时，n k < ④当*n ∈N 时，记数列{}n k 的前n 项和为n S ，则1)n S ．其中，正确的结论有．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数2()sin (2cos sin)cos f x x x x x =⋅-+． (Ⅰ)讨论函数()f x 在[0,]π上的单调性；(Ⅱ)设42ππα<<，且()f α=sin 2α的值．17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、sin cC=，（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若6=a ，求b c +的取值范围.19.（本小题满分13分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n a S n n N *+=++∈且2514,,a a a 恰好是等比数列{}n b 的前三项．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对任意的*n N ∈，3()362n T k n +≥-恒成立，求实数k 的取值范围．20.（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为，且经过点．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)A 是椭圆E 与y 轴正半轴的交点, 椭圆E 上是否存在两点M 、N ，使得AMN ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分13分）已知函数()e x f x ax a =--（其中a ∈R ，e 是自然对数的底数， 2.71828e =）． (Ⅰ)当a e =时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)若()0f x≥恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅲ)求证：对任意正整数n，都有222221 212121enn⨯⨯⨯>+++．1-5：BCABB 6-10:ADDCC11．4312．1．20a -≤≤ 15．①③④ 16.（本小题满分12分）解析：(Ⅰ) 22()sin 2sin cos f x x x x =-+sin 2cos 2x x =+)4x π+， ·············· 2分由[0,]x π∈得92[,]444x πππ+∈，当2[,]442x πππ+∈即[0,]8x π∈时，()f x 递增；当32[,]422x πππ+∈即5[,]88x ππ∈时，()f x 递减；当392[,]424x πππ+∈即5[,]8x ππ∈时，()f x 递增．综上，函数()f x 在区间[0,]8π、5[,]8ππ上递增，在区间5[,]88ππ上递减． ············· 6分(Ⅱ)由()f α=)4πα+=，得5sin(2)413πα+=-， ················· 7分因为42ππα<<，所以35244πππα<+<，可得12cos(2)413πα+=-， ······················· 9分则sin 2αsin[(2)]4ππα=+-))44ππαα=++ ································· 11分512()()1313=--=． ······················································································· 12分18.（本小题满分12分）19（本小题满分12分）(Ⅱ) 11(1)3(13)331132n n n n b q T q +---===--， 1333()3622n k n +-∴+≥-对*n N ∈恒成立， 243nn k -∴≥对*n N ∈恒成立，----9分，20.（本小题满分13分）(Ⅰ)由题22223,131,4a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩解得24a =，21b =．所以椭圆Ω的方程为2214x y +=． ················································································· 4分(Ⅱ)由题意可知，直角边AM ，AN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设AM 所在直线的方程为1y kx =+，不妨设0k >，则直线AN 所在的方程为11y x k=-+． ······················································· 5分联立方程221,44,y kx x y =+⎧⎨+=⎩消去y 整理得22(14)80k x kx ++=，解得2814M k x k =-+， ·· 6分将2814M k x k =-+代入1y kx =+可得228114M k y k -=++，故点M 22288(,1)1414k k k k --+++.所以AM ·················································· 8分同理可得AN =AM AN =，得22(4)14k k k +=+， ·························· 10分所以324410k k k -+-=，则2(1)(31)0k k k --+=，解得1k =或k =． ······ 12分当AM 斜率1k =时，AN 斜率1-；当AM斜率k =时，AN；当AM斜率k =时，AN．综上所述，符合条件的三角形有3个. ·········································································· 13分21.（本小题满分13分）解析：(Ⅰ) 当e a =时，()e e e x f x x =--，()e e x f x '=-，当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以函数()f x 在1x =处取得极小值(1)e f =-，函数()f x 无极大值． ····················· 3分(Ⅱ)由()e x f x ax a =--，()e x f x a '=-，若0a <，则()0f x '>，函数()f x 单调递增，当x 趋近于负无穷大时，()f x 趋近于负无穷大；当x 趋近于正无穷大时，()f x 趋近于正无穷大，故函数()f x 存在唯一零点0x ，当0x x <时，()0f x <；当0x x >时，()0f x >．故0a <不满足条件． ···························································································· 5分若0a =，()e 0x f x =≥恒成立，满足条件． ································································· 6分若0a >，由()0f x '=，得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>，所以函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，所以函数()f x 在ln x a =处取得极小值(ln )f a ln e ln ln a a a a a a =-⋅-=-⋅，由(ln )0f a ≥得ln 0a a -⋅≥，解得01a <≤．综上，满足()0f x ≥恒成立时实数a 的取值范围是[0,1]． ········································· 8分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，当1a =时，()0f x ≥恒成立，所以()e 10x f x x =--≥恒成立，即e 1x x ≥+，所以ln(1)x x +≤， ···························································································· 9分令12n x =(*n ∈N )，得11ln(1)22n n +<， ·········································································· 10分则有2111ln(1)ln(1)ln(1)222n ++++++211[1()]1111221()1222212n n n -<+++==-<-，…………11分所以2111(1)(1)(1)e 222n ++⋅⋅+<，所以11111e (1)(1)(1)222n >++⋅⋅+，即222221212121e n n ⨯⨯⨯>+++． ······················ 13分。

2015届高三统测(三)理科答案

高三统测试卷（三）答案理科第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合}02|{≥-=x x A ，|{x B =0＜x 2log ＜2},则)(B A C R ⋂是（）A ．|{x 2＜x ＜4}B ．}2|{≥x xC ．}4,2|{≥≤x x x 或D ． ,2|{〈x x 或}4≥x 2. 在ABC ∆中，“3π=A ”是“1cos 2A =”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ=+-+∈，则函数()f x 是（）A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数4．已知)4sin(cos 22sin ,2,21)4tan(2παααπαππα--<<-=+则且等于（）A ．552- B ．1053- C ．552 D ．101035. 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（）A ．sin()6y x π=+ B. sin(2)6y x π=- C. cos(4)3y x π=- D. cos(2)6y x π=-6．由直线x =1，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为（）A ．47B ．411C ．ln2D ．2ln 27. 为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,可以将函数cos 2y x =的图象（）A. 向左平移3π个单位 B. 向右平移6π个单位 C. 向右平移3π个单位 D. 向左平移6π个单位 8. 定义在R 上的偶函数，f (x )满足：对任意的x 1, x 2∈(],0-∞(x 1≠x 2), 有(x 1-x 2)[f (x 2)-f (x 1)]>0,则当n *N ∈时，有（）A ．f (-n)<f (n-1)<f (n+1) B. f (n -1)<f (-n )<f (n +1)C. f (n +1)<f (-n )<f (n -1)D. f (n +1)<f (n -1)<f (-n )9. 函数1|log |3)(21-=x x f x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．4D ．210．函数12,41()),3),7),2(2),4x x f x a f b f c f x f x x ⎧->⎪====⎨⎪+≤⎩记则（）A ．a >c >bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a >b >c11. )0)()((),(≠x g x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()f x g x f x g x ''<，且0)()(,0)3(<=-x g x f f的解集为（）A ．（－∞，－3）∪（3，+∞）B ．（－3，0）∪（0，3）C ．（－3，0）∪（3，+∞）D ．（－∞，－3）∪（0，3）12．已知定义在R 上的偶函数f (x )在［0，+∞］上是增函数，不等式f (ax + 1)≤f (x –2) 对任意x ∈[21，1]恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．［–3，–1］B ．［–2，0］C ．［–5，1］D ．［–2，1］第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 设定义在R 上的函数f （x ）满足7)()2(=∙+x f x f ，若f （1）=2，则f （107）=__________.14．已知直线y =2x +1与曲线)ln(a x y +=相切，则a 的值为．15. 下列几个命题：①函数y =是偶函数，但不是奇函数；②“⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a ”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③ 设函数()y f x =定义域为R ,则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称； ④若函数)0)(cos(≠+=A x A y ϕω为奇函数，则)(2Z k k ∈+=ππϕ；⑤已知x ∈（0，π），则y =sin x +xsin 2的最小值为。

2015-2016学年重庆市万州二中高三(上)期中数学试卷和答案(理科)

2015-2016学年重庆市万州二中高三（上）期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，则A∩∁R B=（）A．{x|x≤0}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x＜1或x＞2} D．{x|0≤x＜1或x≥2} 2．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+e x3．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n04．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．125．（5分）已知向量，满足||=3，||=2，且⊥（），则与的夹角为（）A．B． C． D．6．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．7．（5分）设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90°B．60°C．45°D．30°8．（5分）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件9．（5分）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．2110．（5分）若数列{a n}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．811．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（3，+∞）12．（5分）已知函数f（x）=，若g（x）=|f（x）|﹣2ax﹣2a的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．[，）C．（0，）D．[，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为．14．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（2）=．15．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为．16．（5分）定义函数f（x）={x•{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.5}=2，{﹣2.5}=﹣2．当x∈（0，n]，n∈N*时，函数f（x）的值域为A n，记集合A n中元素的个数为a n，则=．三．解答题：本大题共5小题，共80分.17．（12分）已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f （x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．18．（12分）已知等差数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n且满足条件：=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的前n项和为T n，且有=1（n∈N*），b1=3，证明：数列{b n﹣1}是等比数列，并求数列{b n}的通项公式．19．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣m（x∈R），函数f（x）的最大值为2．（1）求实数m的值；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c，．若A为锐角，且满足f（A）=0，sinB=3sinC，△ABC的面积为，求边长a．20．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2，若方程f（x）+m=0在区间[，e]内有两个不等实根，则实数m的取值范围是（其中e为自然对数的底数）．21．（12分）函数f（x）=，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的单调区间和极值．（2）求证：当x＞1时，＞．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB 交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．[选修4--4；坐标系与参数方程]23．（10分）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．[选修4--5；不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2015-2016学年重庆市万州二中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，则A∩∁R B=（）A．{x|x≤0}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x＜1或x＞2} D．{x|0≤x＜1或x≥2}【解答】解：∵全集为R，集合A={x|2x≥1}={x|x≥0}，B={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴∁R B={x|x＜1或x＞2}，∴A∩∁R B={x|0≤x＜1或x＞2}故选：C．2．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+e x【解答】解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．3．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．4．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选：C．5．（5分）已知向量，满足||=3，||=2，且⊥（），则与的夹角为（）A．B． C． D．【解答】解：设与的夹角为θ，∵⊥（），则•（）=0，∴||2+•=0，即||2+||•||•cosθ=0，又∵||=3，||=2，∴32+3×2•cosθ=0，则cosθ=﹣，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故与的夹角为．故选：D．6．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．另解：f（x）=sin2x，g（x）=sin（2x﹣2φ），设2x1=2kπ+，k∈Z，2x2﹣2φ=﹣+2mπ，m∈Z，x1﹣x2=﹣φ+（k﹣m）π，由|x1﹣x2|min=，可得﹣φ=，解得φ=，故选：D．7．（5分）设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴，可得．又∵，∴移项化简，得．由平面向量基本定理，得，可得a=b=c，设c=，可得a=b=1，由余弦定理得cosA===，∵A为三角形的内角，得0°＜A＜180°，∴A=30°．故选：D．8．（5分）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【解答】解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3．运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列．故p是q的充分不必要条件．故选：A．9．（5分）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣4（﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4t+），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（4t+）≤17﹣4=13，当且仅当4t=即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．10．（5分）若数列{a n}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：依题意可得b n=qb n，则数列{b n}为等比数列．+1又，则b50=2．∴，当且仅当b8=b92，即该数列为常数列时取等号．故选：B．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f'（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=，若g（x）=|f（x）|﹣2ax﹣2a的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．[，）C．（0，）D．[，）【解答】解：g（x）=|f（x）|﹣2ax﹣2a的图象与x轴有3个不同的交点，则|f（x）|=2a（x+1）有3个不同的实根，即有函数y=|f（x）|与y=2a（x+1）的图象有3个交点，作出函数y=|f（x）|与y=2a（x+1）的图象，当直线经过点（2，ln3）两图象有3个交点，即有2a=，即a=；当直线与y=ln（x+1）（0＜x≤2）相切时，两图象有2个交点．设切点为（m，n），则切线的斜率为=2a，又n=2a（m+1），n=ln（m+1）．解得a=，m=e﹣1＜2，则图象与x轴有3个不同的交点，即有a的取值范围是[，）．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为8．【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA==．∵S==bc=，化为bc=24，△ABC又b﹣c=2，解得b=6，c=4．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．解得a=8．故答案为：8．14．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（2）=﹣．【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象可得•T=•=3﹣1，ω=．再根据五点法作图可得×1+φ=，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣），∴f（2）=sin（﹣）=sin=﹣sin=﹣，故答案为：﹣．15．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为．【解答】解：由题意，得到AD=BC=CD=1，所以•=（）•（）=（）•（）==2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+×2×1+×1×1×cos120°=1++﹣≥+=（当且仅当时等号成立）；故答案为：．16．（5分）定义函数f（x）={x•{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.5}=2，{﹣2.5}=﹣2．当x∈（0，n]，n∈N*时，函数f（x）的值域为A n，记集合A n中元素的个数为a n，则=．【解答】解：由题意易知：当n=1时，因为x∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以A1={1}，a1=1；当n=2时，因为x∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，所以A2={1，3，4}，a2=3；当n=3时，因为x∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，所以A3={1，3，4，7，8，9}，a3=6；当n=4时，因为x∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，所以A4={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16}，a4=10；当n=5时，因为x∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，所以A5={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，25}，a5=15，由此类推：a n=a n﹣1+n，所以a n﹣a n﹣1=n，即a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，…，a n﹣a n﹣1=n，以上n﹣1个式子相加得，a n﹣a1=，解得，所以，则，故答案为：．三．解答题：本大题共5小题，共80分.17．（12分）已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f （x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）==（cosx，﹣）•（sinx，cos2x）=sinxcosx=sin（2x﹣）最小正周期为：T==π．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈，由正弦函数y=sinx在的性质可知，sinx，∴sin（2x﹣），∴f（x）∈[﹣，1]，所以函数f （x）在[0，]上的最大值和最小值分别为：1，﹣．18．（12分）已知等差数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n且满足条件：=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的前n项和为T n，且有=1（n∈N*），b1=3，证明：数列{b n﹣1}是等比数列，并求数列{b n}的通项公式．【解答】（本题满分12分）解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n且满足条件：=（n ∈N*），∴当n=1时，，∴，∴a2=2，∴d=a2﹣a1=1，∴a n=1+（n﹣1）×1=n，∴a n=n．…（6分）证明（2）∵数列{b n}的前n项和为T n，且有=1（n∈N*），b1=3，∴T n﹣b n+1=T n+b n，+1﹣T n=2b n﹣1，b n+1=2b n﹣1，∴b n+1﹣1﹣2（b n﹣1），∴T n+1∴{b n﹣1}是等比数列，且b1﹣1=2，公比q=2，∴，∴．…（12分）19．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣m（x∈R），函数f（x）的最大值为2．（1）求实数m的值；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c，．若A为锐角，且满足f（A）=0，sinB=3sinC，△ABC的面积为，求边长a．【解答】解：（1）∵f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣m=（cos2x+1）+sin2x﹣m=2sin （2x+）+﹣m，∴函数f（x）在2x+=时取得最大值，即2+﹣m=2，解得：m=；（2）∵f（A）=0，∴2sin（2A+）=0，即sin（2A+）=0，由A为锐角，解得：A=，∵sinB=3sinC，由正弦定理得b=3c①，∵△ABC的面积为，=bcsinA=bcsin=，即bc=3②，∴S△ABC联立①②，解得：b=3，c=1，∵a2=b2+c2﹣2bc•cosA=32+12﹣2×3×1×cos，∴a=．20．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2，若方程f（x）+m=0在区间[，e]内有两个不等实根，则实数m的取值范围是（1，2+] （其中e为自然对数的底数）．【解答】解：函数f（x）=alnx﹣bx2的导数f′（x）=﹣2bx，由切线方程得f′（2）=﹣4b，f（2）=aln2﹣4b．∴﹣4b=﹣3，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2=2ln2﹣4．解得a=2，b=1．则f（x）=2lnx﹣x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，则h′（x）=﹣2x，令h'（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．在[，e]内，当x∈[，1）时，h'（x）＞0，即h（x）是增函数；当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，即h（x）是减函数．则方程h（x）=0在[，e]内有两个不等实根的充要条件是，即1＜m≤2+．故答案为：（1，2+]．21．（12分）函数f（x）=，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的单调区间和极值．（2）求证：当x＞1时，＞．【解答】解：（1）∵f′（x）=，f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为﹣，由切线与直线e2x﹣y+e=0垂直，可得f′（e）=﹣，即有﹣=﹣，解得a=1，∴f（x）=，f′（x）=﹣（x＞0）当0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．∴x=1是函数f（x）的极大值点，极大值为f（1）=1，无极小值，（2）不等式＞．即为•＞令g（x）=则g′（x）=，再令φ（x）=x﹣lnx，则φ′（x）=1﹣=，∵x＞1∴φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上是增函数，∴x＞1时，g（x）＞g（1）=2，故＞故令h（x）=，则h′（x）=，∵x＞1∴1﹣e x＜0，h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）上是减函数∴x＞1时，h（x）＜h（1）=，∴＞h（x），∴当x＞1时，＞．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB 交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．【解答】证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，∴MN2=PN2=NA•NB，∴=，又∵∠PNA=∠BNP，∴△PNA∽△BNP，∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．∵MC=BC，∴∠MAC=∠BAC，∴∠MAP=∠PAB，∴△APM∽△ABP…（5分）（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，∴PM∥CD．∵△APM∽△ABP，∴∠PMA=∠BPA∵PM是圆O的切线，∴∠PMA=∠MCP，∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，∴MC∥PD，∴四边形PMCD是平行四边形．…（10分）[选修4--4；坐标系与参数方程]23．（10分）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l 交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 …（5分）（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…（10分）[选修4--5；不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．第21页（共21页）。

2015届高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}06|2<-+∈=x x R x M ，{}2|1||≤-∈=x R x N . 则N M = A ．(-3，-2] B ． B ． C ． D ． 7．执行如图所示的程序框图,则输出的结果为A ．2B ．1C ．21D ．1- 8．变量X 与Y 相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）变量U 与V 相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则 A ．210r r << B ． 210r r <<C ． 210r r <<D ．21r r =9．在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别是c b a ，，.若223sin 2sin ,2B C a b bc =-=,则角A 等于 A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 10. 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积为（单位：m 2）A.π）（2411+ B. π）（2412+ C.π）（2413+ D. π）（2414+ 11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，设A ，B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，直线AB的斜率为7，则双曲线的离心率为A. 4B. 2C.D.12．已知函数,cos sin 3sin )(2R x x x x f ∈⋅+=αωωω，又　,21)(-=αf 21)(=βf .若βα-的最小值为43π，则正数ω的值为 A.21 B. 31 C. 41D. 51二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量=（1），=（0，-1），=（k.若2-与共线，则k=______________. 14．若曲线）（R 1∈+=ααx y 在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________. 15．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数．当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为________________.16．如图，在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝3，PB ＝2，PC ＝1.设M 是底面ABC 内的一点，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m 、n 、 p 分别是三棱锥M —PAB 、三棱锥M —PBC 、三棱锥M —PCA 的体积．若),,21()(y x M f =，且81≥+yax 恒成立，则正实数a 的最小值为________．三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项13,0a d =≠公差,其前n 项和为n S ,且1413,,a a a 分别是等比数列{}n b 的第2项,第3项,第4项.(I)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; (II)证明1211113.34n S S S ≤++⋅⋅⋅+< 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为32的菱形，且∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝2 6，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2) 过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值．19．（本小题满分12分）甲、乙、丙三位同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均合格者将成为该校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三位同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三位同学能通过笔试的概率分别是0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是0.5,0.6,0.75.(1)求甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试的概率;(2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望)(X E .20．（本小题满分12分）已知椭圆）（012222>>=+b a by a x 的一个焦点与抛物线x y 342=的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形．(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m,0)，使PE →·QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数2ln )(x x a x f += (a 为实常数) .(1)当4-=a 时,求函数)(x f 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值; (2)当[]e x ,1∈时,讨论方程()0=x f 根的个数.(3)若0>a ,且对任意的[]12,1,x x e ∈,都有()()212111x x x f x f -≤-,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CE CB =（1）证明：E D ∠=∠;（2）设AD 不是圆O 的直径，AD 的中点为M ，且MC MB =，证明：△ADE 为等边三角形.23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴。

重庆市万州区分水中学2014-2015学年高二3月月考数学(理)试题及答案

数学第I 卷（选择题）一、选择题（本题共10道小题，每小题0分，共0分）1.32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（） A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 2.函数21()ln 2f x x x =-的单调递减区间为（） A ．)1,1(- B ．)1,(-∞ C ．)1,0( D ．),1(+∞3.过曲线13+=x y 上一点（1，0）且与该点处的切线垂直的直线方程是（） A 、33-=x y B 、3131-=x y C 、3131+-=x y D 、33+-=x y4.设b a ,为两条直线，βα,为两个平面，下列四个命题中，真命题为（） A ．若b a ,与α所成角相等，则b a //B ．若βαβα//,//,//b a ，则b a //C ．若b a b a //,,βα⊂⊂，则βα//D ．若βαβα⊥⊥⊥,,b a ，则b a ⊥5.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为( )A ．13 BC ．1 D6.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为26，则此双曲线的渐近线方程为（）A ．x 2y ±=B ．x y 2±=C ．x y 22±= D ．x y 21±=7.已知函数)(x f y =的图象在点（1，(1)f ）处的切线方程是)1(2)1(,012f f y x '+=+-则的值是（）A ．21B ．1C ． 23D ．28.若32()132x a f x x x =-++函数在区间1,43⎛⎫⎪⎝⎭上有极值点,则实数a 的取值范围是( )A ．102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1017,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．172,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ 9.函数3()3f x x x =-+在区间2(12,)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（）A 、(-B 、(1,2)-C 、(1,2]-D 、(1,4)10.已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''>，且()()x f x a g x =(0a >，且1)a ≠，(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-．若数列(){}()f n g n 的前n 项和大于62，则n 的最小值为（）A ．6B ．7C ．8D ． 9第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共5道小题，每小题0分，共0分）11.椭圆1162522=+y x 的半焦距是___________。

重庆市万州区2015届高三数学第一次诊断性监测试题理

高2015级一诊考试试卷数学（理工农医类）本试卷分第一部分试题卷和第二部分答题卷两部分，共150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的某某、某某号、考试科目涂写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号。

3．答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 选出正确的答案，并将其字母代号填在答题卡规定的位置上.1．设集合},5,4,1{},5,3{},5,4,3,2,1{===N M U 则()UMN =（）A ．{5}B ．{3}C ．{2，3，5}D ．{1，3，4，5} 2．已知等差数列{}n a 中，4,04111073=-=-+a a a a a ，记nn a a a S +++= 21，则＝13S ( )A ．52B ．56C ．68D ．783．抛物线28y x =的焦点到直线30x y -=的距离是 ( ) A.23B.2C.3D.14．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x2＋y2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 5．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（） A ．－3 B ．－12 C. 2D ．136. 8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有（）A ．C38C ．C38A 38B ．C38A 22D ．3C387．,x y 满足约束条件20220220x y y x x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≥⎩ ,若2z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为 ( )A.12或1-B.1或12-C.2或1D.2或1-8．已知函数)2015(,4)20151(2log log )(32f f x b x a x f 则且=++=的值为（）A ．－4B ．2C ．0D ．－29．)sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（） A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数 C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数10.已知O 是△ABC 的外心，AB = 6，AC = 10，若AC y AB x AO +=，且5102=+y x ，则△ABC 的面积为（）A ．24B ．3220C ．18或3220 D ． 24或220第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）把答案填写在答题卷相应的位置上，其中11～13是必做题，14～16是选做题. （一）必做题（11～13题）11．若复数i ia -+3是纯虚数，则实数a ＝．12. 设双曲线的两个焦点分别为21,F F ，若双曲线上存在点P 满足3:5:6::2211=PF F F PF ，则双曲线的离心率等于．13．已知函数f(x)＝x2＋ex －12(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x ＋a)的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值X 围是．（二）选做题（14～16题，考生只能从中选做两题，三题全答的，只计算前两题的得分） 14.(选修4-1：平面几何选讲)如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若QC ＝1，CD ＝3，则PB ＝________． 15.(选修4-4：极坐标与参数方程)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1的距离是________．16.(选修4-5：不等式选讲)已知关于x 的不等式|x ＋1|＋|x －2|≤⎝⎛⎭⎫a ＋1b ⎝⎛⎭⎫1a ＋b 对任意正实数a 、b 恒成立，则实数x 的取值X 围是.三．解答题 (本大题共6小题，共75分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答写在答题卷的指定区域内. 17．(本题满分13分)首届某某三峡银行•长江杯乒乓球比赛于2014年11月14-16日在万州三峡之星举行，决赛中国家乒乓队队员X 超和国家青年队队员夏易正进行一场比赛．根据以往经验，单局比赛X 超获胜的概率为32，夏易正获胜的概率为31，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的人获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．试求：（1）比赛以X 超3胜1败而宣告结束的概率；（2）令ξ为本场比赛的局数．求ξ的概率分布和数学期望．18．(本题满分13分) 等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，已知1210,a a =为整数，且在前n 项和中4S 最大.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设113,3nn n a b n N *+-=∈.① 求证：113n n b b +<≤； ② 求数列2{}n b 的前n 项和n T .19．(本题满分13分)函数R x x m m x f x ∈>+=21,),0(41)(，当121=+x x 时，21)()(21=+x f x f . (1)求m 的值；(2)解不等式)23)1((log )1)1((log 212-->--x f x f ．20．(本题满分12分)已知函数()22sin sin cos 33f x x x x xπ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.(1)若函数()y f x =的图像关于直线()0x a a =>对称，求a 的最小值；(2)若函数2)()(-=x mf x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,0π上有零点，某某数m 的取值X 围.21．(本题满分12分)如图，椭圆长轴端点为B A ,,O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点, 1=⋅FB AF ，且斜率为22的直线m 与椭圆交于不同的两点, 这两点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于Q P ,两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为PQM ∆的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.22．(本题满分12分)设函数)1ln()(2++=x a x x f 有两个极值点21,x x ,且21x x <. (1) 某某数a 的取值X 围，并讨论函数)(x f 的单调性；(2) 若对任意的),(1+∞∈x x ,都有k x f >)(成立,某某数k 的取值X 围．高2015级一诊理科数学试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1～5 BADAC 6～10 BBCDD二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）（一）必做题（11～13题）11．31； 12．35； 13．(－∞，e)；（二）选做题（14～16题，考生只能从中选做两题，三题全答的，只计算前两题的得分）14． 4；15．1； 16． ⎣⎡⎦⎤－32，52.三．解答题：(本大题共6小题，共75分)17. (本题满分13分)解：(1)以X 超3胜1负而结束比赛,则X 超第4局必胜而前3局必有1局败.∴所求概率为133228(1)()3327P C =-⨯=…………………5分 (2) ξ的所有取值为3,4,5 …………………6分P(ξ=3)=31)31()32()31()32(30030333=+C C P(ξ=4)=2710)31()31()32()32()31()32(21131223=+C C P(ξ=5)=278)31()32(2224=C ∴ξ∴E ξ=3×31+4×2710+5×278=27107…………………13分18. (本题满分13分) 解：（1）由1210,a a =为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数 ………1分又4n S S ≤，故450,0a a ≥≤，即1030,1040d d +≥+≤ …………………3分解得10532d -≤≤-…………………4分因此3d =- …………………5分数列{}n a 的通项公式为133n a n =- …………………………6分（2）①由题意知1333n n n n n b +==，111203n nn nb b ++-∴-=< ………………………8分∴数列{}n b 是单调递减数列，{}n b 的最大项为113b =，所以113n n b b +<≤…………9分 ②2324629999n n n T =++++①23411246299999n n nT +=++++②①-②得1231822222999999n n n n T +=++++-11211(1())1()22999194919n nn n n n ++--=-=-- …………………11分99832329n n n T +∴=-⋅…………………13分19. (本题满分13分)解：(1)由21)()(21=+x f x f 得 21414121=+++m m x x∴[]2)44(421244212121m m m x x x x x x +++=+++∵121=+x x∴2)2()44)(2(21-=+-m m x x …………………4分∴m x x -=+24421或02=-m∵44244244212121==•≥++x x x x x x 而0>m 时22<-m∴m x x -≠+24421∴2=m …………………7分 (2)由(1)知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数 …………………8分由)23)1((log )1)1((log 212-->--x f x f 得⎪⎩⎪⎨⎧>---<--0123)1(log 1)1(log 212x x x ∴28114+<<x …………………11分 ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<28114x x …………………13分 20. (本题满分12分)解：(1)()22sin sin cos 3f x x x x xπ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()2sin sin cos x x x x x =+()22sin cos x x x x=)222sin cos cos sin x x x x =-sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭……… 3分 ()232a k k Z πππ+=+∈，,212k a k Z ππ∴=+∈又0a >∴a 的最小值为12π…………………6分(2)∵函数2)()(-=x mf x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,0π上有零点 ∴方程02)(=-x mf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,0π上有解，)32sin(1)(202)(π+==⇒=-x x f m x mf∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,0πx ， ∴67323πππ≤+≤x …………………8分 ∴1)32sin(21≤+≤-πx …………………10分则(][),21,m ∈-∞-+∞………………… 12分21. (本题满分12分)解：（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>∵1=⋅FB AF 即 22()()1a c a c a c +⋅-==-∴1222=-=c a b (1) ……………2分由题意知,直线m 的方程为x y 22=，对于x y 22= 当c x =时 c y 22=由已知得,点)22,(c c 在椭圆上 ∴1)22(222=+c a c (2) ……………4分由(1)(2)得 12=c ∴22a=故椭圆方程为2212x y += ……………………6分（2）假设存在直线l 交椭圆于Q P ,两点，且F 恰为PQM ∆的垂心，则设1122(,),(,)P x y Q x y ，∵(0,1),(1,0)M F ，故 1=PQ k ………………………7分于是设直线l 为 y x m =+，由2222y x mx y =+⎧⎨+=⎩得 2234220x mx m ++-=(*)……………………8分∴3421mx x -=+322221-=m x x∵12210(1)(1)MP FQ x x y y ⋅==-+- 又(1,2)i i y x m i =+=得1221(1)()(1)0x x x m x m -+++-= 即212122()(1)0x x x x m m m ++-+-= ∴222242(1)033m m m m m -⋅--+-=化简得0432=-+m m 解得43m =-或1m = ……………………10分经检验1m =不符合条件,故舍去,43m =-符合条件………………………11分则直线l 的方程为:34-=x y ……………………………12分22. (本题满分12分)解:(1)由)1ln()(2++=x a x x f 可得12212)('2+++=++=x ax x x a x x f )1(->x令a x x x g ++=22)(2)1(->x ,则其对称轴为21-=x ,故由题意可知21,x x 是方程0)(=x g 的两个均大于1-的不相等的实数根,其充要条件为⎩⎨⎧>=->-=∆0)1(084a g a解得210<<a ……………………4分可知1))((2122)('212+--=+++=x x x x x x a x x x f ,其中211x x <<-,故①当),1(1x x -∈时,0)('>x f ,即)(x f 在区间),1(1x -上单调递增 ②当),(21x x x ∈时,0)('<x f ,即)(x f 在区间),(21x x 上单调递减③当),(2+∞∈x x 时,0)('>x f ,即)(x f 在区间),(2+∞x 上单调递增………7分 (2)由(1)可知)(x f 在区间),(1+∞x 上的最小值为)(2x f又由于0)0(>=a g ,因此0212<<-x .又由022)(2222=++=a x x x g 可得)22(222x x a +-=,从而)1ln()22()1ln()(2222222222++-=++=x x x x x a x x f 设)1ln()22()(22++-=x x x x x h ,其中021<<-x则)1ln()12(22)1ln()12(22)('++-=-++-=x x x x x x x h由021<<-x 知:012>+x ,0)1ln(<+x ,故0)('>x h ,故)(x h 在)0,21(-上单调递增所以,42ln 21)21()()(22-=->=h x h x f所以,实数k 的取值X 围为42ln 21-≤k ……………………………12分。

重庆市万州第二高级中学2023届高三下学期3月月考数学试题(解析版)

万州二中2022-2023年高三下期3月月考数学试题注意事项：1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4．全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45-B.35-C.35D.45【答案】B 【解析】【分析】先用诱导公式化简,再借助三角函数的定义即可解得.【详解】因为角α的终边经过点(4,3)-,则有3sin =5a ,所以3cos sin 25-=-παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选:B.【点睛】本题考查诱导公式,考查三角函数的定义求函数值,难度容易.2.已知α，β，γ是三个不同的平面，m αβ= ，n βγ= .则下列命题成立的是（）A.若//m n ，则//αγB.若//αγ，则//m nC.若m n ⊥，则αγ⊥D.若αγ⊥，则m n⊥【答案】B 【解析】【分析】根据线面以及面面关系，逐项分析判断即可得解.【详解】对A ，平面α和γ可以相交，对B ，根据定理，一个平面和另外两个平行平面相交，则交线平行，故B 正确；对C ，平面内的一条直线和令一个平面内的一条直线垂直，不能证明线面垂直，即不能证明面面垂直，故C 错误，对D ，若两个面垂直，第三个平面和该两个面相交，交线并不一定垂直，故D 错误.故选：B3.定义在R 上的函数()f x 的反函数为1()f x -，且对任意的x 都有()()62f x f x +-=，若100ab =,则()()11lg lg f a f b --+=（）A.2B.3C.4D.6【答案】D 【解析】【分析】根据题意得到()f x 的对称中心，从而得到反函数的对称中心，然后对所求的式子进行化简，符合反函数的对称的式子，得到答案.【详解】因为()f x 对任意的x 都有()()62f x f x +-=，所以()f x 关于点()3,1成中心对称，所以()f x 的反函数1()f x -关于点()1,3成中心对称，即()()1126fx f x --+-=因为100ab =所以100lg lg 2lg b a a==-，所以()()()()1111lg lg lg 2lg 6fa fb f a f a ----+=+-=，故选D 项.【点睛】本题考查函数与反函数之间的关系，函数的中心对称，属于简单题.4.若()()313x a x --的展开式的各项系数和为8，则=a（）A.1B.1-C.2D.2-【答案】C 【解析】【分析】直接令1x =计算可得答案.【详解】令1x =得()()31138a --=，解得2a =故选：C.5.过抛物线C ：24y x =的焦点F 的直线交抛物线C 于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，以线段AB 为直径的圆的圆心为1O ，半径为r .点1O 到C 的准线l 的距离与r 之积为25，则12()r x x +=（）A.40 B.30C.25D.20【答案】A 【解析】【详解】由抛物线的性质知，点1O 到C 的准线l 的距离为12AB r =，依题意得2255r r =⇒=，又点1O 到C 的准线l 的距离为121(2)52x x r ++==，则有128x x +=，故12()40r x x +=，故选：A．6.已知抛物线24y x =的焦点F ，点()43A ，，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF上，则PAF △周长取最小值时，线段PF 的长为A.1 B.134C.5D.214【答案】B 【解析】【分析】求△PAF 周长的最小值，即求|PA |+|PF |的最小值．设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义，可知|PF |＝|PD |．因此问题转化为求|PA |+|PD |的最小值，根据平面几何知识，当D 、P 、A 三点共线时|PA |+|PD |最小，由此即可求出P 的坐标，然后求解PF 长度．【详解】求△PAF 周长的最小值，即求|PA |+|PF |的最小值，设点P 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义，可知|PF |＝|PD |因此，|PA |+|PF |的最小值，即|PA |+|PD |的最小值根据平面几何知识，可得当D ，P ，A 三点共线时|PA |+|PD |最小，此时P （94，3），F （1，0）PF 的长为913144+=，故选B ．【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，P ，A 三点共线时|PA |+|PD |最小，是解题的关键．7.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱11C D 、11B C 的中点，P 是上底面1111D C B A 内一点，若//AP 平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（）A.522⎣B.325,42⎡⎢⎣⎦C.3252⎡⎢⎣ D.3224⎡⎢⎣【答案】C 【解析】【分析】分别取11A D 、11A B 的中点M 、N ，连接AM 、AN 、MN 、FM ，推导出平面//AMN 平面BDEF ，可得出点P 的轨迹为线段MN ，进而可求得线段AP 长度的取值范围.【详解】如下图所示，分别取11A D 、11A B 的中点M 、N ，连接AM 、AN 、MN 、FM ，因为四边形1111D C B A 为正方形，则1111//B A C D 且1111A D B C =，因为M 、F 分别为11A D 、11B C 的中点，则11//A M B F 且11A M B F =，所以，四边形11A B FM 为平行四边形，则11//A B MF 且11A B MF =，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，//AB MF ∴且AB MF =，所以四边形ABFM 为平行四边形，可得//AM BF ，AM ⊄ 平面BDEF ，BF ⊂平面BDEF ，//AM ∴平面BDEF ，同理可证//AN 平面BDEF ，AM AN A = ，所以，平面//AMN 平面BDEF ，在线段MN 上任取一点P ，则AP ⊂平面AMN ，//AP ∴平面BDEF ，即点P 的轨迹为线段MN ，在AMN 中，AM AN ===MN ==，当AP MN ⊥时，即当P 为MN 的中点，AP 的长度取最小值，即min322AP ==，当点P 与点M 或点N 的重合时，AP 的长度取最大值，即max AP AM ==.因此，线段AP 长度的取值范围是322⎡⎢⎣.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度取值范围的求解，解题的关键就是利用//AP 平面BDEF 推测出点P 的轨迹，一般利用线面平行的性质或面面平行的性质来找出动点P 的轨迹，在确定点P 的轨迹后，再利用几何知识求解.8.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某三棱锥的三视图，则该三棱锥的内切球表面积为（）A.32327B.163π C.48πD.【答案】B 【解析】【分析】由几何体的三视图，可得该几何体表示一个棱长为公式，求得内切球的半径，最后利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由几何体的三视图，可得该几何体表示一个棱长为的正四面体，（其中该正四面体是棱长为4的正方体的一部分）如图所示，则该正四面体的体积为116444444444323D BCE V V V -=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=正方体，正四面体的表面积为2444ABC S S ∆==⨯=，设正四面体的内切球的球心为O ，半径为r ，则16433S r ⋅=，即16433r ⨯=，解得233r =，所以内切球的表面积为22231644(33r πππ=⨯=.故选：B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键，同时注意球的组合体性质的应用．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.已知平面向量()2,3a =- ，()1,b λ=-r ，且a ，b的夹角是钝角，则λ可以是（）A.-1B.12C.32D.2【答案】BD 【解析】【分析】根据题意得出a 0b ⋅< 且a 与b不共线，运算即可.【详解】因为a 与b的夹角为钝角，所以a 0b ⋅< 且a 与b不共线，即230λ--<且23λ≠，所以23λ>-且32λ≠故选：BD10.2011年至2020年是中国电力工业发展的黄金十年，煤电产能结构持续优化，新能源发展突飞猛进.如图是2011年至2021年每年1~8月份全国用电总量统计数据，则下列说法正确的是（）A.2021年1~8月份的全国用电总量最大B.2020年1~8月份的全国用电总量同比增长最低C.2016年1~8月份的全国用电总量为2011年至2021年每年1~8月份全国用电总量的中位数D.2011年至2015年每年1~8月份的全国用电总量同比增长的极差大于2016年至2021年每年1~8月份的全国用电总量同比增长的极差【答案】ABC 【解析】【分析】根据统计图形逐项判断可得出合适的选项.【详解】观察统计图可知，2011年至2021年每年1~8月份的全国用电总量逐年增长，所以选项A 正确；2020年1~8月份的全国用电总量同比增长最低，所以选项B 正确；2016年1~8月份的全国用电总量为2011年至2021年每年1~8月份全国用电总量的中位数，所以选项C正确；由图可知，2011年至2015年每年1~8月份的全国用电总量同比增长的极差小于2016年至2021年每年1~8月份的全国用电总量同比增长的极差，D 错.故选：ABC.11.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 的图象向右平移()0m m >个单位长度后得到函数()()sin 2g x A x ωϕ=-的图象，则m 的值可以是（）A.π4B.π3C.4π3D.9π4【答案】AD 【解析】【分析】根据函数图象可确定A 和最小正周期T ，由此可得ω，结合π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得ϕ，从而得到()(),f x g x 的解析式，根据()()f x m g x -=可构造方程求得()ππ4m k k =-∈Z ，由此可得m 可能的取值.【详解】由图象可知：2A =，最小正周期5ππ4π126T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，2π2T ω∴==，ππ2sin 263f ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()ππ2π32k k ϕ∴+=+∈Z ，解得：()π2π6k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，π6ϕ∴=，()π2sin 26f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()π2sin 23g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()()π2sin 226f x m x m g x ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭ ，()ππ22π63m k k ∴-+=-+∈Z ，解得：()ππ4m k k =-∈Z ，当0k =时，π4m =；当2k =-时，9π4m =.故选：AD.12.已知0,0a b >>，且221a b +=，则（）A.a b +≥B.()55111a ba b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭C.22log log 1a b +≤-D.1ab a b+>+【答案】BCD 【解析】【分析】根据特殊值法，可排除A ；利用基本不等式，可判断BC 正确；由作差法，可判断D 正确.【详解】对于A ，令10310,1010a b ==，则2105a b +==，故A 不正确；对于B ，()()5525522222211220a b a b a b a b a b a b b a ⎛⎫++-+=+-≥ ⎪⎭=⎝，当且仅当55a b b a=，即22a b ==时，等号成立；故B 正确；对于C ，222222log log log log 12a b a b ab ++=≤=-，当且仅当2a b ==时，等号成立，故C 正确；对于D ，由221a b +=，所以01a <<，01b <<，则()()1110ab a b a b +--=-->，故D 正确.故选：BCD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数21iz =+，则z =__________．【解析】【分析】根据复数的除法运算可得1i z =-，结合复数的几何意义即可求出模.【详解】由21iz =+，得22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，所以z ==14.设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= _________．【答案】11【解析】【分析】设a 与b的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅ ，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a = ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= ，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= ．故答案为：11．15.设()f x 为偶函数，且当(]2,0x ∈-时，()()2f x x x =-+；当[)2x ∈+∞，时，()()()2f x a x x =--．关于函数()()g x f x m =-的零点，有下列三个命题：①当4a =时，存在实数m ，使函数()g x 恰有5个不同的零点；②若[]01m ∀∈，，函数()g x 的零点不超过4个，则2a ≤；③对()1m ∀∈+∞，，()4a ∃∈+∞，，函数()g x 恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列．其中，正确命题的序号是_______．【答案】①②③【解析】【分析】根据偶函数的图象关于y 轴对称，利用已知中的条件作出偶函数的图象，利用图象对各个选项进行判断即可.【详解】解：当4a =时()()[)()()[)20,2422,x x x f x x x x ⎧--∈⎪=⎨--∈+∞⎪⎩又因为()f x 为偶函数∴可画出()f x 的图象，如下所示：可知当0m =时()()g x f x m =-有5个不同的零点；故①正确；若[]01m ∀∈，，函数()g x 的零点不超过4个，即[]01m ∀∈，，()y f x =与y m =的交点不超过4个，2x ∴≥时()0f x ≤恒成立又当[)2x ∈+∞，时，()()()2f x a x x =--0a x ∴-≤在[)2x ∈+∞，上恒成立a x ∴≤在[)2x ∈+∞，上恒成立2a ∴≤由于偶函数()f x 的图象，如下所示：直线l 与图象的公共点不超过4个，则2a ≤，故②正确；对()1m ∀∈+∞，，偶函数()f x 的图象，如下所示：()4a ∃∈+∞，，使得直线l 与()g x 恰有4个不同的交点点，且相邻点之间的距离相等，故③正确．故答案为：①②③【点睛】本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于难题.16.已知菱形ABCD 的边长为1，60BAD ∠=，()0AP AB λλ=> .当12λ=时，AD AP ⋅= ___________；当AP DP ⋅取得最小值时，λ=___________.【答案】①.14②.14【解析】【分析】取AB 中点O ，以O 为坐标原点可建立平面直角坐标系，由向量数量积的坐标运算可求得AD AP ⋅；设(),P x y ，由AP AB λ=uu u r uu u r 可表示出1,02P λ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由此得到,AP DP ，由向量数量积坐标运算可将AP DP ⋅ 表示为关于λ的函数，由二次函数性质可得结果.【详解】取AB 中点O ，连接DO ，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠= ，ABD ∴ 为等边三角形，DO AB ∴⊥，则以O为坐标原点可建立如下图所示的平面直角坐标系，则1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，30,2D ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，当12λ=，即12AP AB = 时，点P 为AB 中点，即为坐标原点O ，()0,0P ∴，13,22AD ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，1,02AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，14AD AP ∴⋅= ；设(),P x y ，则1,2AP x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，又()1,0AB = ，120x y λ⎧+=⎪∴⎨⎪=⎩，解得：120x y λ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，1,02P λ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，(),0AP λ∴=，1,22DP λ⎛=-- ⎝⎭ ，21122AP DP λλλλ⎛⎫∴⋅=-=- ⎪⎝⎭ ，则当14λ=时，AP DP ⋅ 取得最小值116-.故答案为：14；14.【点睛】方法点睛：求解平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种：（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆C 的圆心坐标为()2,1，且点()1,3P --在圆C 上.（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线2y kx m k =+-与圆相交于A ､B 两点，当k 变化时，线段AB 的最小值为6，求m 的值.【答案】（1）()()222125x y -+-=（2）5m =或3m =-【解析】【分析】（1）由两点间的距离公式求出圆的半径即可；（2）根据线段AB 的最小值为6，可知圆心到直线的距离为4，利用点到直线的距离公式求解即可.【小问1详解】由题意得5r CP ==∴圆C 的标准方程为()()222125x y -+-=.【小问2详解】若6AB ≥，可知圆心到直线的距离为4，而圆心到直线的距离d =当0k =时，线段AB 的最小值为6，此时14d m =-=，∴5m =或3m =-.18.为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者最担心接种疫苗后会有副作用.其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用.在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现.为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下：无疲乏症状有疲乏症状总计未接种疫苗10020120接种疫苗xyn总计160m200（1）求22⨯列联表中的数据x ，y ，m ，n 的值，并确定能否有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.（2）从接种疫苗的n 人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，设得分结果总和为X ，求X 的分布列和数学期望.()20P K k ≥0.1500.1000.0500.0250.0100k 2.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）60，20，40，80，有；（2）分布列见解析，554.【解析】【分析】（1）根据所给数据补全未知量，再代入公式，根据所得结果比对数据表，即可得解；（2）求出得分结果总和X 的所有可能，然后求出对应的概率，利用期望公式直接求解即可.【详解】（1）由题意得：20016040m =-=，2020y m =-=，16010060x =-=，602080n x y =+=+=，因为()2220010*********2.083 2.072160401208012K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.（2）从接种疫苗的n 人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，可知8人中无疲乏症状的有6人，有疲乏症状的有2人，再从8人中随机抽取3人，当这3人中恰有2人有疲乏症状时，10X =；当这3人中恰有1人有疲乏症状时，13X =；当这3人中没有人有疲乏症状时，16X =.因为()21263831028C C P X C ===；()122638151328C C P X C ===；()03263851614C C P X C ===.所以X 的分布列如下：X101316P3281528514期望()3155551013162828144E X =⨯+⨯+⨯=.19.如图是一个四棱柱被一个平面所截的几何体，底面ABCD 是正方形，M 是CD 的中点，2,1,AD AE DE CG BF EM BD =====⊥.（1）证明：平面EMG ⊥平面ABCD ；（2）求直线EF 与平面EMG 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）104【解析】【分析】（1）证明面面垂直即证线面垂直，证明线面垂直即证线线垂直；（2）利用空间直角坐标系，求平面的法向量以及直线的方向向量，运用公式求解.也可以运用几何法将线面角作出进行求解；也可以运用等体积法进行求解.【小问1详解】法一：证明：连AC ，因为//,AE CG AE CG =，所以四边形AEGC 是平行四边形，所以//AC EG ，又BD AC ⊥，所以BD EG ⊥，而,EM BD EG EM E ⊥= ，所以BD ⊥平面EMG ，又BD ⊂面ABCD ，所以平面EMG ⊥平面ABCD ；法二：证明：取AD 中点O ，连,,EO OM AC ，则////OM AC EG ，所以E ，G ，M ，O 四点共面，又BD AC ⊥，所以BD OM ⊥，而,EM BD OM EM M ⊥= ，所以BD ⊥平面EMG ，又BD ⊂面ABCD ，所以平面EMG ⊥平面ABCD ；【小问2详解】法一（向量法一）：取AD 中点O ，连,EO OM ，则////OM AC EG ，所以E ，G ，M ，O 四点共面，又BD ⊥平面EMG ，所以BD EO ⊥，又,EO AD BD AD D ⊥= ，所以EO ⊥面ABCD ，以O 为原点，过O 垂直于AD 的向外的射线为x 轴，OD 为y 轴，OE 为z 建立如图空间直角坐标系，则(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0),A D B E --，由110,,222BF AE ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以12,,22F ⎛-⎝⎭，所以2,2,2EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，又(2,2,0)=-BD 是平面EMG 的法向量，所以sin cos ,4EF BD EF BD EFBD θ⋅===⋅.法二（向量法二）：以A 为原点，分别以射线,AB AD 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,2,0)A B D M ，设(,,)(0),(2,2,0),(1,2,0)E x y z z BD ME x y >=-=--，由222(1)2(2)0⎧==⎪⎪==⎨⎪⋅=--+-=⎪⎩B AE DE E x D y M，得E ，又110,,222BF AE ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以132,,22F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以12,,22EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又(2,2,0)=-BD 是平面EMG 的法向量，所以10sin cos ,4EF BD EF BD EFBD θ⋅===⋅法三（几何法）：取AE 中点N ，连,BN ND ，因为//,BF NE BF NE =，所以四边形BFEN 是平行四边形，所以//EF BN ，于是，问题转化为求BN 与平面EMG 所成角的正弦值，又因为BD ⊥平面EMG ，所以NBD ∠（或其补角）就是EG 与平面EMG 所成角的余角，取AD 中点O ，连,EO OM ，则////OM AC EG ，所以E ，G ，M ，O 四点共面，又BD ⊥平面EMG ，所以BD EO ⊥，又,EO AD BD AD D ⊥= ，所以EO ⊥平面ABCD ，所以EO AB ⊥，又,AB AD EO AD O ⊥= ，所以AB ⊥面EAD ，所以AB AE ⊥，3,5,2ND BN BD ===10cos 4NBD ∠=.所以EF 与平面EMG 所成角的正弦值为104.20.已知数列{}n a 满足120a =，27a =，22n n a a +-=-（*n ∈N ）．（1）求3a ，4a ，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前2n 项和为2n S ，当2n S 取最大值时，求n 的值．【答案】（1）318a =,45a =,21,219,2.n n n k a n n k -=-⎧=⎨-=⎩，其中N k *∈；（2）7n =.【解析】【分析】（1）由12220,72n n a a a a +==-=-,令1,2n =即可求得34,a a ,根据题意可得数列{}n a 奇数项,偶数项分别是以2-为公差的等差数列,结合等差数列的通项公式分别求出n a ；（2）由2122n n S a a a =++⋯+132122()()n n a a a a a -=++⋯+++⋯+,分组利用等差数列的求和公式求和.【详解】解：（1）∵120a =，27a =，22n n a a +-=-，∴318a =，45a =，由题意可得，数列{}n a 的奇数项、偶数项分别是以2-为公差的等差数列．当n 为奇数时，11(1)(2)212n n a a n +=+-⨯-=-，当n 为偶数时，2(1)(2)92n na a n =+-⨯-=-，∴21,219,2.n n n k a n n k -=-⎧=⎨-=⎩，其中N k *∈；（2）2122n n S a a a =++⋯+132122()()n n a a a a a -=++⋯+++⋯+12(1)(1)(2)(2)22n n n n na na --=+⨯-++⨯-2229n n =-+．结合二次函数的性质可知，当7n =时，2n S 取最大值．21.已知函数()21ln 22f x m x x x =+-.（1）若0m <,曲线()=y f x 在点()(1,1f 处的切线在两坐标轴上的截距之和为2,求m 的值（2）若对于任意的1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及任意的[]1212,2,e ,x x x x ∈≠总有121212()()f x f x t x x x x ->-成立.求t 的取值范围.【答案】（1）2m =-（2）(],1t ∈-∞【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求解，（2）化简后构造函数()()t g x f x x =+，由()g x 的单调性转化为不等式恒成立后求解，【小问1详解】因为()21ln 22f x m x x x =+-所以()()2,11m f x x f m x''=+-=-.又因为切点坐标为31,2⎛⎫-⎪⎝⎭，所以切线方程为()112y m x m =---.令=0x ，得212m y +=-；令=0y ，得()2121m x m +=-.由()21212212m m m ++-=-，化简得2260m m +-=.解得2m =-或32m =，又0m <，所以2m =-.【小问2详解】设12x x >，由（1）知，()2m f x x x '=+-，在11,2e 2m x ≤≤≤≤时，()0f x '>，所以()()121212f x f x t x x x x ->-等价于()()()121212t x x f x f x x x -->.即()()122111f x f x t x x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，所以()()1212t t f x f x x x +>+.设()()t g x f x x =+，则()()12g x g x >，所以()g x 在[]2,e 上为单调递增函数.因此()220m t g x x x x '=+--≥，对于1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.所以2120,2t x x x +--≥即3222x t x x ≤-+对于[]2,e x ∈恒成立.设()()3222e 2x h x x x x =-+≤≤，则()()2113434+022h x x x x x '=-+=->.所以()h x 在[]2,e 上单调递增，()()min 21h x h ==.因此，1t ≤，即(],1t ∈-∞22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，P 是椭圆上一动点(与左右顶点不重合)，已知12PF F △的内切圆半径的最大值是3,3椭圆的离心率是12.（1）求椭圆C 的方程；（2）过()4,0H 作斜率不为0的直线l 交椭圆于,A B 两点，过B 作垂直于x 轴的直线交椭圆于另一点Q ，连接AQ ，设ABQ 的外心为G ，求证：2AQ GF 为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据12PF F △面积最大时，r 最大可得出等量关系求解；（2）设出直线方程，与椭圆联立，设()()1122,,,A x y B x y ，得出韦达定理，表示出AB 的中点坐标，求得AB 的垂直平分线方程，得出点G 坐标，即可表示出2,AQ GF ，即可得出定值.【详解】（1）由题意知∶12c a =，∴a =2c ，222b a c =-，b =设△12PF F 的内切圆半径为r ，则12121211(||||||)2)()22PF F S PF PF F F r a c r a c r =++⋅=+⋅=+⋅ .故当12PF F △面积最大时，r 最大，即P 点位于椭圆短轴顶点时33r =，所以3()3a c bc +=，把a =2c，b =代入，解得∶a =2，b =，所以椭圆方程为22143x y +=（2）由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 为4x ty =+，代入椭圆方程得()223424360t y ty +++=.()()222Δ(24)1443414440t t t =-+=->，设()()1122,,,A x y B x y ，则1222434t y y t -+=+，1223634y y t =+，因此可得1223234x x t +=+所以AB 的中点坐标为(21634t +，21234t t -+)因为G 是△ABQ 的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段BQ 的垂直平分线的交点，由题意可知B ，Q 关于y 轴对称，故()22,Q x y -，AB 的垂直平分线方程为221612(3434t t x y t t --=+++令y =0，得2434x t =+，即G (2434t +，0)，所以222243|||1|3434t GF t t =-=++又||AQ =221234t t +故2||4||AQ GF =，所以2||||AB GF 为定值，定值为4.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x 形式；（5）代入韦达定理求解.。

2010-2023历年重庆市万州二中高三月考理科数学卷

2010-2023历年重庆市万州二中高三月考理科数学卷第1卷一.参考题库(共20题)1.（本小题满分12分）对于函数，若存在R，使成立，则称为的不动点.如果函数N*有且仅有两个不动点0和2，且（1）求实数，的值；（2）已知各项不为零的数列，并且，求数列的通项公式；；（3）求证：.2.（本小题满分13分）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离为，求该圆的方程．3.（本小题满分12分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（1）求双曲线的方程；（2）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.4.（本小题满分13分）已知函数，存在实数满足下列条件：①；②；③（1）证明：；（2）求b的取值范围.5.已椭圆与双曲线有相同的焦点和，若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率e = A．B．C．D．6.设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为A．B．C．D．不能确定7.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．8.（本小题满分13分）已知且，求：（1）的最小值；（2）若直线与轴、轴分别交于、，求（O为坐标原点）面积的最小值．9.过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有A．16条B．17条C．32条D．34条10.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P点的轨迹一定通过△ABC的A．重心B．垂心C．内心D．外心11.（本小题满分12分）已知F1、F2分别是双曲线x2-y2＝1的两个焦点，O为坐标原点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx+b (b>0)与圆O相切，并与双曲线相交于A、B两点. （1）根据条件求出b和k满足的关系式；（2）向量在向量方向的投影是p，当(×)p2＝1时，求直线l的方程；（3）当(×)p2=m且满足2≤m≤4时，求DAOB面积的取值范围.12.椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是A．B．C．D．13.若抛物线y2 = 2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为A．－2B．2C．－4D．414.在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是__ ▲__15.设直线系,对于下列四个命题：．存在一个圆与所有直线相交．存在一个圆与所有直线不相交．存在一个圆与所有直线相切．中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是▲（写出所有真命题的代号）．16.若直线、N两点，且M、N两点关于直线对称，则不等式组表示的平面区域的面积是▲17.函数的图像恒过定点，若点在直线上，则的最小值为▲．18.已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则▲19.已知，则的最小值是A．B．C．D．20.如果，那么下列不等式中正确的是A．B．C．D．第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案：（1）c="2 " b=2（2）（）（3）略2.参考答案：，或3.参考答案：（1）（2）证明略4.参考答案：（1）略（2）5.参考答案：D6.参考答案：B7.参考答案：A8.参考答案：（1）（2）49.参考答案：C10.参考答案：A11.参考答案：（1）b2="2(k2+1) " (k¹±1,b>0) （2）y=±x+（3）[3]12.参考答案：D13.参考答案：D14.参考答案：（-13，,13）15.参考答案：ABC16.参考答案：17.参考答案：418.参考答案：19.参考答案：D20.参考答案：A。

万州二中数学试卷高三答案

一、选择题1. 答案：D解析：本题考查函数的单调性。

由题意知，函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减。

故选D。

2. 答案：A解析：本题考查数列的通项公式。

由题意知，数列{an}的通项公式为an = n^2 - 1。

故选A。

3. 答案：C解析：本题考查复数的运算。

由题意知，复数z = 2 + 3i的模长为√(2^2 + 3^2) = √13。

故选C。

4. 答案：B解析：本题考查三角函数的性质。

由题意知，正弦函数在第二象限为正，在第三象限为负。

故选B。

5. 答案：D解析：本题考查数列的极限。

由题意知，数列{an}的极限为0。

故选D。

二、填空题6. 答案：-2解析：本题考查指数函数的图象和性质。

由题意知，指数函数f(x) = a^x在x = -1时取得最小值，即a^(-1) = 1/2。

解得a = 2。

故答案为-2。

7. 答案：3解析：本题考查排列组合。

由题意知，从5个不同的数中任取3个数的排列数为A_5^3 = 5×4×3 = 60。

故答案为3。

8. 答案：√2解析：本题考查三角函数的求值。

由题意知，sin(α + β) = sinαcosβ +cosαsinβ。

代入已知条件，得sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ =√2/2。

故答案为√2。

9. 答案：-3解析：本题考查一元二次方程的根与系数的关系。

由题意知，一元二次方程ax^2+ bx + c = 0的根为x1 = 1，x2 = 2。

根据韦达定理，有x1 + x2 = -b/a，x1x2 = c/a。

代入已知条件，得1 + 2 = -b/a，1×2 = c/a。

解得b = -3，a = 1。

故答案为-3。

10. 答案：2解析：本题考查数列的求和。

由题意知，数列{an}的求和公式为S_n = n^2 + n。

代入n = 10，得S_10 = 10^2 + 10 = 110。