弹塑性力学部分习题及答案
弹塑性力学习题解答
第一、二章作业
一、选择题：
1．弹性力学的研究对象是 B 。
A．刚体；B．可变形固体；C．一维构件； D．连续介质；2．弹性力学的研究对象是 C几何尺寸和形状。
A．受到…限制的物体； B．可能受到…限制的物体；
C．不受…限制的物体； D．只能是…受限制的任何连续介质；
3．判断一个张量的阶数是根据该张量的C确定的。
A．下标的数量； B．哑标的数量； C．自由标的数量； D．字母的数量。4．展开一个张量时，对于自由下标操作的原则是按其变程C。
A．一一罗列； B．先罗列再求和； C．只罗列不求和； D．一一求和。
5．展开一个张量时，对于哑脚标操作的原则是按其变程B。
A．一一罗列； B．先罗列再求和； C．只罗列不求和； D．一一求和。
6．在弹性力学中，对于固体材料（即研究对象）物性组成的均匀性以及结构上的连续性等问题，提出了基本假设。这些基本假设中最基本的一条是 A。
A．连续性假设； B．均匀性假设；
C．各向同性的假设； D．几何假设——小变形条件；
7．从一点应力状态的概念上讲，当我们谈及应力，必须表明的是D。
A．该应力的大小和指向，是正应力还是剪应力；
B．该应力是哪一点处的正应力和剪应力，还是全应力；
C．该应力是哪一点处的应力
D．该应力是哪一点处哪一微截面上的应力，是正应力还是剪应力。
8．表征受力物体内一点处的应力状态一般需要__B_应力分量，其中独立的应力分量有_C__。
A． 18个； B． 9个； C． 6个； D． 2个。9．一点应力状态的主应力作用截面上，剪应力的大小必定等于___D_________。
弹塑性力学习题答案
弹塑性力学习题答案
弹塑性力学习题答案
弹塑性力学是力学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下的弹性变形和塑
性变形。通过学习弹塑性力学，我们可以更好地理解材料的变形行为以及结构
的稳定性。下面是一些弹塑性力学学习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 什么是弹性变形和塑性变形？
弹性变形是指物体在外力作用下发生的可逆变形，当外力撤除后，物体可以恢
复到原来的形状。而塑性变形是指物体在外力作用下发生的不可逆变形，即使
外力撤除，物体也无法完全恢复到原来的形状。
2. 什么是弹性模量和塑性模量？
弹性模量是衡量物体抵抗弹性变形的能力的物理量，记作E。它的单位是帕斯
卡（Pa）。弹性模量越大，物体越难发生弹性变形。
塑性模量是衡量物体抵抗塑性变形的能力的物理量，记作G。它的单位也是帕
斯卡（Pa）。塑性模量越大，物体越难发生塑性变形。
3. 什么是屈服点和屈服强度？
屈服点是指物体在外力作用下发生塑性变形的临界点，即当外力超过一定程度时，物体开始发生塑性变形。
屈服强度是指物体在屈服点处所承受的最大外力，也就是物体开始发生塑性变
形时的外力大小。
4. 什么是弹性极限和断裂强度？
弹性极限是指物体在外力作用下能够恢复到原来形状的最大外力，也就是物体
发生弹性变形的临界点。
断裂强度是指物体在外力作用下发生断裂的最大外力，也就是物体完全破坏的外力大小。
5. 什么是杨氏模量和泊松比？
杨氏模量是衡量物体在弹性变形时应力和应变之间关系的物理量，记作Y。它的单位是帕斯卡（Pa）。杨氏模量越大，物体越难发生弹性变形。
泊松比是衡量物体在受到外力作用时，横向收缩相对于纵向伸长的比例关系的物理量，记作ν。它是一个无单位的数值，通常在0和0.5之间。泊松比越大，物体在受到外力作用时横向收缩的程度越大。
弹塑性力学作业
F
作业
1．矩形截面柱体（设厚度为1）承受偏心载荷F 作用，如图所示。如果不计柱体自身重量，
试求：
a. 应力分量和应变分量；
b. 假设O 点不动，且该点截面内的任意微分线段不能转动，求其位移分量；
c. 轴线的位移－挠曲线方程。
2．矩形截面梁（设厚度为1）上侧面受均布载荷q 的作用，如图所示。如果不计梁自身重
量，试求应力函数及应力分量。
3．矩形横截面的曲梁（四分之一圆环），一端固定，自由端处承受水平集中力F 的作用，
如图所示。试求曲梁应力。
4．双层厚壁筒内层（a r c ≤≤）的材料系数为E 1、ν 1，外层（c r b ≤≤c ）的材料系数为E 2、
ν 2，在r a =处作用有内压q 。如果要求设计尺寸a 、b 不允许变化，而c 允许变化。试用最
大切应力强度理论确定c 的最佳值（即：使筒承载内压最大）。
y
5．有一薄壁圆筒的平均半径为R，壁厚为t，两端受相等相反的扭矩M作用。现在圆筒上发现半径为a的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？
弹塑性力学习题集_很全有答案_
题 2—41 图
题 2—42 图
第三章 弹性变形·塑性变形·本构方程
试证明在弹性变形时，关于一点的应力状态，下式成立。 1 （设ν = 0.5 ） (2) σ = kε (1) γ 8 = τ 8 ; G 3—2* 试以等值拉压应力状态与纯剪切应力状态的关系， 由应变能公式证明 G、 E、 ν之 间的关系为： 1 G= 2(1 + ν ) 1 1 3—3* 证明：如泊松比ν = ，则 G = E ， λ → ∞ ， k → ∞ , e = 0 ，并说明此时上述 2 3 各弹性常数的物理意义。 3—4* 如设材料屈服的原因是形状改变比能（畸形能）达到某一极值时发生，试根据 单向拉伸应力状态和纯剪切应力状态确定屈服极限 σ s 与 τ s 的关系。 3—5 试依据物体单向拉伸侧向不会膨胀，三向受拉体积不会缩小的体积应变规律来 1 证明泊松比ν 的上下限为： 0 < ν < 。 2 2 3—6* 试由物体三向等值压缩的应力状态来推证：K = λ + G 的关系， 并验证是否与 3 E K= 符合。 3(1 − 2v) 3—7 已知钢材弹性常数 E1 = 210Gpa，v1 = 0.3， 橡皮的弹性常数 E 2 =5MPa，v 2 = 0.47， 试比较它们的体积弹性常数（设 K1 为钢材，K2 为橡皮的体积弹性模量） 。 3—8 有一处于二向拉伸应力状态下的微分体（ σ 1 ≠ 0, σ 2 ≠ 0, σ 3 = 0 ） ，其主应变
弹塑性力学试卷及弹性力学教材习题及解答
二、填空题：（每空2分，共8分）
1、在表征确定一点应力状态时，只需该点应力状态的-------个独立的应力分量，它们分别是-------。（参照oxyz直角坐标系）。
2、在弹塑性力学应力理论中，联系应力分量与体力分量间关系的表达式叫---------方程，它的缩写式为-------。
三、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每小题4分，共16分。）
1、试根据由脆性材料制成的封闭圆柱形薄壁容器，受均匀内压作用，当压力过大时，容器出现破裂。裂纹展布的方向是：_________。
A、沿圆柱纵向（轴向）
B、沿圆柱横向（环向）
C、与纵向呈45°角
D、与纵向呈30°角
2、金属薄板受单轴向拉伸，板中有一穿透形小圆孔。该板危险点的最大拉应力是无孔板最大拉应力__________倍。
A、2
B、3
C、4
D、5
3、若物体中某一点之位移u、v、w均为零（u、v、w分别为物体内一点，沿x、y、z直角坐标系三轴线方向上的位移分量。）则在该点处的应变_________。
A、一定不为零
B、一定为零
C、可能为零
D、不能确定
4、以下________表示一个二阶张量。
A、B、C、D、
四、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（共8分）
1、；（i ，j = 1，2，3 ）；
2、；
五、计算题（共计64分。）
1、试说明下列应变状态是否可能存在：
；（）
上式中c为已知常数，且。
2、已知一受力物体中某点的应力状态为：
式中a为已知常数，且a＞0，试将该应力张量分解为球应力张量与偏应力张量
之和。为平均应力。并说明这样分解的物理意义。
弹塑性力学习题与答案
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本教材习题和参考答案及部分习题解答
第二章
2.1计算：<1>pi iq qj jk δδδδ,<2>pqi ijk jk e e A ,<3>ijp klp ki lj e e B B 。 答案<1>pi iq qj jk
pk δδδδδ=; 答案 <2>pqi ijk jk pq qp e e A A A =-;
解：<3>()ijp klp ki lj
ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。
2.2证明：若ij
ji a a =,则0ijk jk e a =。
〔需证明
2.3设a 、b 和c 是三个矢量,试证明：
证：因为1
231
111232221
2
33
3
3i i i i i i i i i i i i i i
i i
i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
, 所以
1
231111232221
2
33
3
3
1
231
111232221
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33
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第二章 应力理论和应变理论
2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为：
σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；
试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：
OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0
代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；
OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0
则：cos sin 0
cos sin 0x xy yx
y σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………
（a ）
将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：
()
()()
1cos sin 0cos sin 0
y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩
化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；
化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β
2—17.己知一点处的应力张量为3
1260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦
试求该点的最大主应力及其主方向。
解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×
103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：
(()()
3
1.2333
弹塑性力学部分习题及答案
02
弹塑性力学基础知识
应力和应变
基本概念
详细描述：应力和应变是弹塑性力学中的基本概念。应力表示物体内部相邻部分之间的相互作用力，而应变则表示物体在应 力作用下的变形程度。
屈服条件与应力-应变关系
屈服准则与流动法则
详细描述：屈服条件决定了材料在应力作用下的屈服点，是判断材料是否进入塑性状态的重要依据。 应力-应变关系则描述了材料在受力过程中应力与应变的变化规律。
详细描述
平面应力问题涉及到二维平面上应力和应变的分析，通常涉及到薄板、薄壳等结构的分 析。在解题过程中，需要运用弹塑性力学的相关理论，如屈服准则、流动法则等，来求
解结构的应力分布和变形情况。
圆筒应力问题
总结词
圆筒应力问题主要考察了弹塑性力学中 关于旋转对称应力的计算和分布。
VS
详细描述
圆筒应力问题涉及到旋转对称结构，如圆 筒、圆柱等，在受到内压、外压或其他复 杂载荷作用时的应力分布和变形情况。在 解题过程中，需要运用弹塑性力学的相关 理论，如应力分析、应变分析等，来求解 结构的应力分布和变形情况。
厚壁筒应力问题
要点一
总结词
厚壁筒应力问题主要考察了弹塑性力学中厚壁筒结构的应 力分析和变形计算。
要点二
详细描述
厚壁筒应力问题涉及到厚壁筒结构在受到内压、外压或其 他复杂载荷作用时的应力分布和变形情况。在解题过程中 ，需要运用弹塑性力学的相关理论，如应力分析、应变分 析等，来求解结构的应力分布和变形情况。同时，还需要 考虑厚壁筒结构的特殊性，如不同材料的组合、多层结构 等，对结构应力和变形的影响。
弹塑性力学习题集 很全有答案
10 4 − 2
ε ij
=
4
5
3
×
10
−4
− 2 3 − 1
试确定主应变及最大主应变的方向。 2—36* 某一应变状态的应变分量 γ xy 和 γ yz =0，试证明此条件能否表示 ε x 、ε y 、ε z 中
之一为主应变？ 2—37 已知下列应变状态是物体变形时产生的：
题 2—4 图
2—5* 如题 2—5 图，刚架 ABC 在拐角 B 点处受 P 力，已知刚架的 EJ，求 B、C 点的 转角和位移。（E 为弹性模量、J 为惯性矩）
2—6 悬挂的等直杆在自重 W 的作用下如题 2—6 图所示。材料比重为 γ ，弹性模量为 E，横截面积为 A。试求离固定端 z 处一点 c 的应变 ε z 与杆的总伸长 ∆l 。
P8 ，正应力 σ 8 ，剪应力τ 8 。 2—25 试求各主剪应力τ1 、τ 2 、τ 3 作用面上的正应力。 2—26* 用应力圆求下列(a)、(b) 图示应力状态的主应力及最大剪应力，并讨论若(b)
图中有虚线所示的剪应力τ ′ 时，能否应用平面应力圆求解。
题 2—26 图
2—27* 试求：如(a) 图所示，ABC 微截面与 x、y、z 轴等倾斜，但τ xy ≠ 0, τ yz ≠ 0, τ zx ≠ 0, 试问该截面是否为八面体截面？如图(b) 所示，八面体各截面上的τ 8 指向是否垂直棱边？
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第二章 应力理论和应变理论
2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为：
σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；
试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：
OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0
代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；
OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0
则：cos sin 0
cos sin 0x xy yx
y σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………
（a ）
将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：
()
()()
1cos sin 0cos sin 0
y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩
化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；
化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β
2—17.己知一点处的应力张量为3
1260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦
试求该点的最大主应力及其主方向。
解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×
103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：
(()()
3
1.2333
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第二章 应力理论和应变理论
2— 15.如 所示三角形截面水 材料的比重 γ，水的比重 γ 1。己求得 力解 ：
σ x = ax+by ， σy =cx+dy- γy ， τxy =-dx-ay ；
根据直 及斜 上的 界条件，确定常数 a 、b 、c 、 d 。
解：首先列出
OA 、 OB 两 的 力 界条件：
OA ：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x= γ1 y ； T y =0
σx =-γ1y ； τ
xy =0
代入： σx =ax+by ； τxy =-dx-ay 并 注 意 此 ： x =0
得 ： b=- γ1； a=0；
OB ： l 1=cos β ； l 2=-sin β， T x =T y =0
：
x cos
xy sin
0 yx cos
y sin
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
（ a ）
将己知条件： σ x=
1
xy
=-dx
y
γ y
-γ y ； τ
； σ =cx+dy-
代入（ a ）式得：
1 y cos dx sin
0L L L L L L L L L b
dx coscx
dy
y sin L L L L L L L L L
化 （ b ）式得： d = γ1
2
β；
ctg
T
4
n
2
τ 30° δ 30°
30°
化 （ c ）式得： c =γctg β -2γ 1
3
y
10
x
10
O
x
12 6
τxy
103 Pa
2— 17.己知一点 的 力 量
6 10 0
0 0
δ y
求 点的最大主 力及其主方向。
x
题1-3 图
解：由 意知 点 于平面 力状 ，且知：
σx =12×
O
103
σ y =10× 103 τ xy =6× 103，且 点的主 力可由下
弹塑性力学部分习题及答案
习题一答案及解析
答案 选择题 1. A
习题一答案及解析
填空题
3. C
2. B
01
03 02
习题一答案及解析
01
1. 100N
02
2. 50N
03
3. 150N
习题一答案及解析
1. 解
根据胡克定律，F = kx，其中F为力，k为弹性系数，x为形变量。代入题目给 定的数据，得F = 2000x。当x = 0.02m时，F = 40N。
选择题主要考察基本概念的理解，如 材料力学的
VS
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THANKS
习题三：弹性稳定性分析题
要点一
题目
要点二
答案
一细长杆在压力作用下弯曲，求其临界压力。
对于一细长杆在压力作用下弯曲的问题，临界压力的计算 需要考虑其稳定性。当压力达到某一值时，杆会发生失稳 ，即发生弯曲变形。这一临界压力可以通过求解相应的微 分方程得到，具体解法可以参考相关教材或文献。
05
习题答案及解析
厚壁圆筒问题
总结词
厚壁圆筒问题主要研究厚壁圆筒在承受内压 和外压作用下的应力和变形情况。
详细描述
厚壁圆筒是实际工程中常见的一种结构形式 ，其特点是具有较厚的壁厚。在承受内压和 外压的作用下，厚壁圆筒会发生变形和应力 分布。解决这类问题时，需要考虑圆筒的几 何形状、材料属性以及压力分布等因素，利 用弹塑性力学的基本原理，求出圆筒的应力
弹塑性力学习题集_很全有答案_
题 2—12 图
2—13 设题 2—13 图中之短柱体，处于平面受力状态，试证明在尖端 C 处于零应力状
题 2 —2 图
题 2 —3 图
2—3 求题 2—3 图所示单元体斜截面上的正应力和剪应力（应力单位为 MPa） ，并说 明使用材料力学求斜截面应力的公式应用于弹塑性力学计算时，该式应作如何修正。 2—4 已知平面问题单元体的主应力如题 2—4 图(a)、(b)、(c)所示，应力单位为 MPa。 试求最大剪应力，并分别画出最大剪应力作用面（每组可画一个面）及面上的应力。
题 2 —5 图
题 2 —6 图
G=
E 2(1 + v)
2—8 用材料力学方法试求出如题 2—8 图所示受均布载荷作用简支梁内一点的应力状 态，并校核所得结果是否满足平衡微分方程。
题 2 —8 图
2—9
已知一点的应力张量为： 50 80 50 σ ij = 0 − 75 MPa − 30 (对称)
应力Βιβλιοθήκη Baiduτ 8 。
2 —24* 一点的主应力为： σ 1 = 75a, σ 2 = 50a, σ 3 = −50a ，试求八面体面上的全应力
弹塑性力学习题集_很全有答案_
1 γ xy 。 （用弹塑性力学转轴公式来证明） 2
题 2—33 图
2 — 34
设 一 点 的 应 变 分 量 为 ε x = 1.0 × 10 −4 ， ε y = 5.0 × 10 −4 ， ε z = 1.0 × 10 −4 ，
ε xy = ε yz = 1.0 × 10 −4 ， ε zx = 3.0 × 10 −4 ，试计算主应变。
题 2 —5 图
题 2 —6 图
G=
Fra Baidu bibliotek
E 2(1 + v)
2—8 用材料力学方法试求出如题 2—8 图所示受均布载荷作用简支梁内一点的应力状 态，并校核所得结果是否满足平衡微分方程。
题 2 —8 图
2—9
已知一点的应力张量为： 50 80 50 σ ij = 0 − 75 MPa − 30 (对称)
2—35* 已知物体中一点的应变分量为
10 4 − 2 −4 ε ij = 4 5 3 × 10 − 2 3 − 1
试确定主应变及最大主应变的方向。 2—36* 某一应变状态的应变分量 γ xy 和 γ yz =0， 试证明此条件能否表示 ε x 、ε y 、ε z 中 之一为主应变？ 2—37 已知下列应变状态是物体变形时产生的：
3—1
为 ε 1 = 1.7 × 10 −4 ， ε 2 = 0.4 × 10 −4 。已知ν = 0.3，试求主应变 ε 3 。
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X = −ax,Y = a(2x−h)
13
题1-9
2、求边界力
l1σx +l2τyx = X l1τxy +l2σy =Y
o
450
l
y
h
l1= l2 = cos450 +h边界 边界： 在 x+y=l +h边界：
x
σx=ax、σy=ax、τxy= -ax
3、求应变
X =0,Y =0
1 εx = (σx −νσy ) E 1 εy = (σy −νσx) E 1 γ xy = τxy G
y
l h h
2E
E
式中 E、ν 为弹性模量和泊松系数。 为弹性模量和泊松系数。 试（1）求应力分量和体积力分量； ）求应力分量和体积力分量； （2）确定各边界上的面力。 ）确定各边界上的面力。
x
解： 1、求应变 ∂u ρg ∂v ρgν εx = = (l −x), εy = = − (l −x ) ∂x E ∂y E
ν E σij = ( εij + eδij ) (1+ν) 1−2ν
4
题1-3
E ν σij = ( εij + eδij ) (1+ν) 1−2ν
e =εkk
(i, j =12,3) ,
(i, j =12,3) ,
σji, j
而 则
E ν = ( εji, j + εkk, jδij ) (1+ν) 1−2ν
∂φ ∂φ ∂φ σx = 2 +V,σy = 2 +V,τxy = − ∂y ∂x ∂x∂y
2 2 2
20112011-2-17 19
题1-13 试分析下列应力函数能解决什么 问题？设无体力作用。 问题？设无体力作用。
o x
3F xy q 2 Φ= xy− 2 + y 4c 3 2 c
3
2c
l
y
解： 1、将 Φ 代入
∇ 4Φ =0 满足, 为应力函数。 满足, Φ 为应力函数。
2、求应力（无体力） 求应力（无体力）
20112011-2-17 20
题1-13 3 3F xy q 2 Φ= xy− 2 + y 4c 3 2 c
2
o
x
2c
l
y
2
∂φ 3F xy ∂φ σx = 2 = − 3 +q, σy = 2 =0, ∂y 2c ∂x y2 ∂φ 3F τxy =− = − 1− 2 ∂x∂y 4c c
20112011-2-17
E σx = (εx +νεy ) 2 1−ν E σy = νε ( x +εy ) 2 1−ν τxy =G xy γ
16
题1-10
O
y
l h h
3、求体积力
F =ρg, F =0 bx by
x
∂σx ∂τyx + +F =0 bx ∂y ∂x ∂τxy ∂σy + +F =0 by ∂y ∂x
αα
x q
y
20112011-2-17 11
题1-9 图示悬臂薄板，已知板内的应力分 图示悬臂薄板， =a(2x+y量为 σx=ax、σy=a(2x+y-l-h)、τxy=-ax, 其 为常数（ 其余应力分量为零。 中a为常数（设a> 0）。其余应力分量为零。 求此薄板所受的体力、边界荷载和应变。 求此薄板所受的体力、边界荷载和应变。 的体力
20112011-2-17 15
题1-10
O
∂u ρg ∂v ρgν εx = = (l −x), εy = = − (l −x ) ∂x E ∂y E
y
l h h
∂u ∂v γxy = + =0 ∂y ∂x
2、求应力（平面应力问题） 求应力（平面应力问题）
x
σx =ρ (l −x) g
σy = 0, τxy = 0
2
在 y= -c 边界：l1= 0 , l2 = -1 边界： 边界： 在 y= c 边界： l1= 0 , l2 = 1
20112011-2-17
X =0,Y =0 X =0,Y =0
22
o
x
题1-13
2
2c
l1σx +l2τyx = X l1τxy +l2σy =Y
2
l
y
∂φ 3F xy ∂φ σx = 2 = − 3 +q, σy = 2 =0, ∂y 2c ∂x y2 ∂φ 3F τxy =− = − 1− 2 ∂x∂y 4c c
3 2 2
o
α
3
y
试（1）列出求解的待定 系数的方程式，（ ，（2 系数的方程式，（2）写 出应力分量表达式。 出应力分量表达式。 解： 1、将 Φ 代入
20112011-2-17
q x
∇ 4Φ =0
满足, 为应力函数。 满足, Φ 为应力函数。
26
Baidu Nhomakorabea 题1-14
φ = ax +bx y + cxy + ey
ρg
b
o
x
2
位移解为
ρg(1−ν ) y( y −b) u =0,v = 2E
18
20112011-2-17
题1-12 试证明，如果体力虽然不是常量， 试证明，如果体力虽然不是常量， 但却是有势力， 但却是有势力，即
∂V X =− , ∂x ∂V Y =− ∂y
其中 V 是势函数，则应力分量亦可用应 势函数， 力函数表示为
e 为体积应变
[
]
20112011-2-17
2
题1-2 证明下面各式成立， 证明下面各式成立 下面各式成立，
（1）. eijk ai aj = 0 （2）.若 εij = εji , ωij = - ωj i ,
则 εij ωij = 0
题1-3
2
利用指标符号推导位移法基本方程
G ui +(λ+G)uj, ji +F =0 ∇ bi
1 εij = (ui, j +uj,i ) 2
σji, j
(i, j =12,3) ,
E 1 ν = 2(uj,ij +ui, jj ) +1−2νuk,kjδij (1+ν)
5
20112011-2-17
题1-3
E 1 ν (uj,ij +ui,jj ) + σji, j = uk,ki 2 (1+ν) 1−2ν
弹塑性力学部分习题解答
第一部分 静力法内容
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1
题 1-1 将下面各式展开
（ 1） . （ 2） . （ 3） .
1 εij = (ui, j +uj,i ) (i, j =1,2,3) 2 1 U0 = σijεij (i, j =12,3 , ) 2
F = ni G(ui, j +uj,i ) +δijλe i
z l y
F = −ρg bz
x
x
20112011-2-17
8
题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴 等截面直杆（无体力作用），杆轴 ）， 方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u =−kyz v =kxz
w=k ( x, y) ψ
为待定常数， 其中 k 为待定常数，ψ(x‚y)为待定函数， 为待定函数 试写出应力分量的表达式和位移法方程。 试写出应力分量的表达式和位移法方程。
o
450
l
y
h
σx=ax、σy=a(2x+y-l-h)、τxy= -ax =a(2x+y在 x=0 边界： 边界： l1= -1 , l2 = 0
x
σx= 0、τxy= 0
在 y=l 边界： 边界：
X =0,Y =0
l1= 0 , l2 = 1
σy=a(2x-h)、τxy= =a(2xax
20112011-2-17
解： 1、求体积力
o
450
l
y
h
x
F = −a, F = 0 bx by
20112011-2-17
∂σx ∂τyx + +F =0 bx ∂x ∂y ∂τxy ∂σy + +F =0 by ∂x ∂y
12
题1-9
2、求边界力
l1σx +l2τyx = X l1τxy +l2σy =Y
2
在 x = l 边界：l1= 1 , l2 = 0 边界： 3Fly 3F y2 X = q− 3 , Y = − 1− 2 2c 4c c
20112011-2-17 24
题1-13 在 x = l 边界：l = 1 , l = 0 边界： 1 2
3Fly X = q− 3 , 2c
注意哑标可换标
σji, j
E 1 ν (uj,ij +ui,jj ) + = uj, ji 2 (1+ν) 1−2ν
E 1 1 σji, j = 2(1−2ν) uj, ji + 2ui, jj (1+ν)
20112011-2-17 6
题1-3
E 1 1 σji, j = 2(1−2ν) uj, ji + 2ui, jj (1+ν)
20112011-2-17
9
题1-6 半空间体在自重 ρg 和表面均布压力 q 作用下的位移解为 u = v = 0, 作用下的位移解为
1 ρg 2 2 w= q(h−z) + h −z 2 λ +2G
(
)
试求 σx/σz (应力比). 应力比).
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10
2
l 在 x = 0 边界： 1= -1 , l2 = 0 边界：
3F y X =−q,Y = 1− 2 4c c
2
20112011-2-17
∫ Ydy = F
−c
23
c
o
x
题1-13
2
2c
l1σx +l2τyx = X l1τxy +l2σy =Y
2
l
y
∂φ 3F xy ∂φ σx = 2 = − 3 +q, σy = 2 =0, ∂y 2c ∂x y2 ∂φ 3F τxy =− = − 1− 2 ∂x∂y 4c c
y2 3F Y = − 1− 2 4c c
q q
F
y o x
∫ Xdy =2qc
−c c
c
∫ Ydy =−F
−c
c
Fl l F
∫
−c
Xydy =−F l
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25
题1-14 图示无限大楔形体受水平的常体 作用, 积力 q 作用,设应力函数为
φ = ax +bx y + cxy + ey
14
σx=ax、σy=a(2x+y-l-h)、 =a(2x+yτxy= -ax
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可得应变表达式。 可得应变表达式。
题1-10 图示矩形薄板，厚度为单位1。 图示矩形薄板，厚度为单位1 已知其位移分量表达式为 ρg ρg ν 2 2 2lx−(x +ν y ), v =− u= ( l −x) y O
3 2 2
o
α
3
2、求应力（有常体积力） 求应力（有常体积力） 体积力
∂2φ σx = 2 = 2cx+6ey, ∂y
2
y
F =0, F = −q bx by
20112011-2-17
在上 V
3
题1-3
2
利用指标符号推导位移法基本方程
G ui +(λ+G)uj, ji +F =0 ∇ bi
在上 V
解：位移法基本方程为用位移表示的平衡微分方程
σ ji, j +F =0 bi
e =εkk
20112011-2-17
(i, j =12,3) ,
(i, j =12,3) ,
O
题1-7 图示梯形截面墙体完 h A 全置于水中，设水的密度为ρ 全置于水中，设水的密度为ρ， C 试写出墙体各边的边界条件。 试写出墙体各边的边界条件。
h B
x
α
D
y
题1-8 图示薄板两端受均匀拉力作用，试 图示薄板两端受均匀拉力作用， 点和O点的应力值。 确定边界上 A点和O点的应力值。
o A q
=(λ+G)uj, ji +G i, jj u
代入 得
2
σ ji, j +F =0 bi
(i, j =12,3) ,
在上 V
7
G ui +(λ+G)uj, ji +F =0 ∇ bi
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题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为 等截面柱体在自重作用下， 试求位移。 σx=σy=τxy=τyz=τzx=0 , σz=ρgz，试求位移。
边界力 4、求边界力
σx =ρ (l −x) g
σy = 0, τxy = 0
左右边界和下边界无面力； 左右边界和下边界无面力；上 边界面力为均匀拉力 ρgl 。
20112011-2-17
17
题1-11 设有一无限长的薄板，上下两端固 设有一无限长的薄板， 仅受竖向重力作用。求其位移解答。 定，仅受竖向重力作用。求其位移解答。 设： u = 0、 v = v(y) y
2
3、求边界力
20112011-2-17 21
题1-13
2
o
x
2c
l1σx +l2τyx = X l1τxy +l2σy =Y
2
l
y
∂φ 3F xy ∂φ σx = 2 = − 3 +q, σy = 2 =0, ∂y 2c ∂x y2 ∂φ 3F τxy =− = − 1− 2 ∂x∂y 4c c