线性代数课件--08 向量组的线性关系
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1 1 1 1 1 2 1 0 1 , 2 , 3 , , 2 1 4 3 2 3 0 1
k1 1 k2 2 km m , 即 是向量组 A的线性组合，则称向量 能由向量 组 A 线性表示.
定义 设有两个向量组 A : 1 , 2,, m 和B : 1 , 2, , l ， 如果向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示. 如果向量组 A与向量组 B能互相线性表示，则称这 两个向量组等价.
12
若 C mn Aml Bl n ， 则矩阵 C 的列向量组能由 矩阵 A 的列向量组线性表示，B 为这一表示的系 数矩阵： b11 b12 b1n
b21 (c1 , c2 , cn ) ( 1 , 2 , l ) b l1 b22 bl 2 b2 n bln
j k1 j 1
k1 j k2 j k 2 j 2 k mj m ( 1 , 2, , m ) k mj
j 1,2,, l
11
k11 k12 k1 l k k k 2l ( 1 , 2,, l ) ( 1 , 2, , m ) 21 22 k m 1 k m 2 k ml
1
理解向量组能由向量组线性表示的概念及其矩 阵表示式，知道这一概念与矩阵方程的联系. 知道两个向量组等价的概念； 理解向量组线性相关、线性无关的概念，并熟 悉这一概念与齐次线性方程组的联系.
2
一、n 维向量
第 一 节 向 量 组 及 其 线 性 组 合
定义
n个有次序的数 a1 ,a 2 ,, an 所组成的数组 称为 n 维向量， n个数称为该向量的 n个 这
3
分量对应相同的列向量和行向量
a1 a2 T , (a1 ,a 2 ,, an ) a n
按定义是同一个向量，但是总看作是两个不同 的向量. 列向量常用小写黑体字母 a , b, c , 表示，或用 希腊字母 , , , , 表示. 行向量则用列向量 T T T 的转置表示. 如a , b , c ,, T , T , T , T , T
T
—— n维向量空间中的一个超平面
6
二、向量组
1.定义 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组. 例如 一个 m n矩阵的全体列向量就是一个含 n 个 m维 列向量的向量组； 一个 m n矩阵的全体行向量就是一个含 m个 n 维 行向量的向量组； 方程 Amn x 0 的全体解是一个 n 维列向量组成 的向量组. 注意 向量组可以是含有有限个向量，也可以是含 有无限个向量.
R { P ( x, y, z ) | x , y, z R} ——3维空间 3 T R {( x , y, z ) | x , y, z R} ——3维向量空间
3
5
{ P ( x , y , z ) | ax by cz d } a, b, c不全为 ） （ 0
16
例 题 讲 解
例1 设
证明向量 能由向量组 1 , 2 , 3线性表示，并求 出表示式. 解 析：此题的目的是运用定理1证明向量能否由一 个向量组线性表示，另外，此题涉及线性表示式的 求法. 由定义知，向量 能由向量组 1 , 2 , 3线性 表示 方程 x1 1 x2 2 x3 3有解，即 Ax 有解， 这表明 由向量组 1 , 2 , 3 线性表示的表 示式与方程 Ax 的解是一一对应的.
例 题 讲 解
记 A ( 1 , 2 , 3 ), B ( 1 , 2 , 3 , ),
1 1 1 1 1 1 r r 1 1 1 2 1 2 1 0 r3 2r1 0 1 2 1 B 2 1 4 3 r4 2r1 0 1 2 1 2 3 0 1 0 1 2 1 1 1 1 1 3 2 1 0 r3 r2 0 1 2 1 r r 1 2 0 1 2 1 r4 r2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4
“向量”几何术语，可以说，本章是介绍线性代 把线性方程组的理论、矩阵理论 数的几何理论. “翻 译”成几何语言. 可以把有向线段作为 n( n 3) 维向量的几何形象， 但是当 n 3时， 维向量就不再有这种几何形象了. n 点的集合通常称为“空间”，引入坐标系后，点的 坐标与向量之间有一一对应关系，因此,某些向量 的集合称为向量空间，沿用几何术语，如
同样地，矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组 线性表示， A 为这一表示的系数矩阵：
T 1 a11 T 2 a 21 T a m m1
a12 a 22 am 2
T a1l 1 T a 2 l 2 a ml lT
分量，第 i 个数 a i 称为第 i 个分量.
说明 向量分为实向量和复向量，分量全为实数的向量 称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. n个数组成的有序数组可以写一行，也可以写成 一列，写成一行称为行向量，写成一列称为列向 量，也就是行矩阵和列矩阵. 规定行向量和列向量 都按矩阵的运算规则进行运算.
7
2.含有限个向量的有序向量组与矩阵的联系
矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个 向量的向量组；反之，一个含有有限个向量的 向量组总可以构成一个矩阵. 列向量组A : 1 , 2,, m A ( , ,, ) 1 2 m
T T T 行向量组B : 1 , 2 , , m
பைடு நூலகம்
B P 1 A B 的行向量组能由 A的行向量组线性表示.
14
五、线性表示与方程的联系
根据以上说明，线性表示与方程的联系为：
向量 能由向量组 1 , 2,, m 线性表示 线性方程 x1 1 x2 2 xm m 有解.
向量组 1 , 2,, l能由向量组 1 , 2,, m线性表示 矩阵方程 ( 1 , 2,, l ) ( 1 , 2,, m ) X有解.
——3维空间中的一个平面
{( x, y, z ) | ax by cz d } a, b, c不全为 ） （ 0
T
——3维向量空间中的一个平面
R {( x1 , x2 , xn ) | x1 , x2 , xn R}
n T
—— n维向量空间
{( x1 , x2 , xn ) | a1 x1 a2 x2 an xn b}
10
说明
向量 能由向量组 1 , 2,, m 线性表示，就是存 在 k1 ,k 2,, km ，使 k1 1 k2 2 km m , 也就是线性方程 x1 1 x2 2 xm m 有解. 向量组 1 , 2,, l 能由向量组 1 , 2,, m 线性 表示，就是存在 l 组数k1 j ,k 2 j , , k mj ( j 1,2,, l ), 使得
向量组 1 , 2,, l 与向量组 1 , 2,, m 等价 矩阵方程 ( 1 , 2,, l ) ( 1 , 2,, m ) X有解, 而且矩阵方程 ( 1 , 2,, m ) ( 1 , 2,, l )Y也有解.
15
T 1 T 2 B T m
所以， 含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应.
8
三、向量组的线性组合
定义 给定向量组 A : 1 , 2,, m ，对于任何一组 实数 k1 ,k 2,, km ，表达式
k1 1 k2 2 km m
六、线性表示的判定
根据线性表示与方程的联系和方程组的理论，得 定理1 向量 能由向量组 1 , 2,, m 线性表示 的充分必要条件是矩阵 A ( 1 , 2,, m )的秩等 于矩阵 B ( 1 , 2,, m , )的秩. （上章定理5） 定理2 向量组 1 , 2,, l能由向量组 1 , 2,, m 线性表示的充分必要条件是矩阵 A ( 1 , 2,, m ) 的秩等于矩阵 ( A, B) ( 1 ,, m , 1 ,, l )的秩， 即 R( A) R( A, B ). （上章定理7） 推论 向量组 1 , 2,, l与向量组 1 , 2,, m等 价 的充分必要条件是 R( A) R( B ) R( A, B ), 其中 A和B分别时向量组 1 , 2,, m和 1 , 2,, l 证明 所构成的矩阵.
18
可见 R( A) R( B ), 因此，向量 能由向量组 1 , 2 , 3 线性表示.
主要内容
第 八 讲
向 量 组 的 线 性 关 系
n维向量、向量组的概念 线性组合与线性表示； 线性相关与线性无关； 向量组线性相关性的重要结论.
基本要求
理解 n维向量的概念，理解向量组的概念及向量 组与矩阵的对应； 理解向量组的线性组合的概念，理解一个向量能 由一个向量组线性表示的概念并熟悉这一概念与 线性方程组的联系；
记作 B AK ml , 这就是向量组 1 , 2 ,, l 由向 量组 1 , 2 ,, l 线性表示的矩阵表示式. 其中矩阵 K 称为这一线性表示的系数矩阵. 即向量组 1 , 2,, l 能由向量组 1 , 2,, m 线 性表示，就是存在矩阵K m l ，使得 B AK , 也就是矩阵方程 AX B有解.
称为向量组 A 的一个线性组合， 1 ,k 2,, km 称为这 k 个线性组合的系数. 说明 向量组的线性组合就是向量的线性运算的表达式. 线性组合的系数可以是任意实数.
9
四、线性表示的概念
定义 给定向量组 A : 1 , 2,, m 和向量 ，如果 存在一组数 k1 ,k 2,, km，使得
13
若矩阵 A与矩阵 B 行等价，则 A的行向量组与 B 的行向量组等价； 若矩阵 A与矩阵 B列等价，则 A的列向量组与 B 的列向量组等价.
证
矩阵 A与矩阵 B 行等价 存在可逆矩阵 P ，使得 A PB A 的行向量组能由 B的行向量组线性表示； 矩阵 A与矩阵 B 行等价 存在可逆矩阵 P ，使得 A PB
1 1 1 1 1 2 1 0 1 , 2 , 3 , , 2 1 4 3 2 3 0 1
k1 1 k2 2 km m , 即 是向量组 A的线性组合，则称向量 能由向量 组 A 线性表示.
定义 设有两个向量组 A : 1 , 2,, m 和B : 1 , 2, , l ， 如果向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示. 如果向量组 A与向量组 B能互相线性表示，则称这 两个向量组等价.
12
若 C mn Aml Bl n ， 则矩阵 C 的列向量组能由 矩阵 A 的列向量组线性表示，B 为这一表示的系 数矩阵： b11 b12 b1n
b21 (c1 , c2 , cn ) ( 1 , 2 , l ) b l1 b22 bl 2 b2 n bln
j k1 j 1
k1 j k2 j k 2 j 2 k mj m ( 1 , 2, , m ) k mj
j 1,2,, l
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k11 k12 k1 l k k k 2l ( 1 , 2,, l ) ( 1 , 2, , m ) 21 22 k m 1 k m 2 k ml
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理解向量组能由向量组线性表示的概念及其矩 阵表示式，知道这一概念与矩阵方程的联系. 知道两个向量组等价的概念； 理解向量组线性相关、线性无关的概念，并熟 悉这一概念与齐次线性方程组的联系.
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一、n 维向量
第 一 节 向 量 组 及 其 线 性 组 合
定义
n个有次序的数 a1 ,a 2 ,, an 所组成的数组 称为 n 维向量， n个数称为该向量的 n个 这
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分量对应相同的列向量和行向量
a1 a2 T , (a1 ,a 2 ,, an ) a n
按定义是同一个向量，但是总看作是两个不同 的向量. 列向量常用小写黑体字母 a , b, c , 表示，或用 希腊字母 , , , , 表示. 行向量则用列向量 T T T 的转置表示. 如a , b , c ,, T , T , T , T , T
T
—— n维向量空间中的一个超平面
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二、向量组
1.定义 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组. 例如 一个 m n矩阵的全体列向量就是一个含 n 个 m维 列向量的向量组； 一个 m n矩阵的全体行向量就是一个含 m个 n 维 行向量的向量组； 方程 Amn x 0 的全体解是一个 n 维列向量组成 的向量组. 注意 向量组可以是含有有限个向量，也可以是含 有无限个向量.
R { P ( x, y, z ) | x , y, z R} ——3维空间 3 T R {( x , y, z ) | x , y, z R} ——3维向量空间
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{ P ( x , y , z ) | ax by cz d } a, b, c不全为 ） （ 0
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例 题 讲 解
例1 设
证明向量 能由向量组 1 , 2 , 3线性表示，并求 出表示式. 解 析：此题的目的是运用定理1证明向量能否由一 个向量组线性表示，另外，此题涉及线性表示式的 求法. 由定义知，向量 能由向量组 1 , 2 , 3线性 表示 方程 x1 1 x2 2 x3 3有解，即 Ax 有解， 这表明 由向量组 1 , 2 , 3 线性表示的表 示式与方程 Ax 的解是一一对应的.
例 题 讲 解
记 A ( 1 , 2 , 3 ), B ( 1 , 2 , 3 , ),
1 1 1 1 1 1 r r 1 1 1 2 1 2 1 0 r3 2r1 0 1 2 1 B 2 1 4 3 r4 2r1 0 1 2 1 2 3 0 1 0 1 2 1 1 1 1 1 3 2 1 0 r3 r2 0 1 2 1 r r 1 2 0 1 2 1 r4 r2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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“向量”几何术语，可以说，本章是介绍线性代 把线性方程组的理论、矩阵理论 数的几何理论. “翻 译”成几何语言. 可以把有向线段作为 n( n 3) 维向量的几何形象， 但是当 n 3时， 维向量就不再有这种几何形象了. n 点的集合通常称为“空间”，引入坐标系后，点的 坐标与向量之间有一一对应关系，因此,某些向量 的集合称为向量空间，沿用几何术语，如
同样地，矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组 线性表示， A 为这一表示的系数矩阵：
T 1 a11 T 2 a 21 T a m m1
a12 a 22 am 2
T a1l 1 T a 2 l 2 a ml lT
分量，第 i 个数 a i 称为第 i 个分量.
说明 向量分为实向量和复向量，分量全为实数的向量 称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. n个数组成的有序数组可以写一行，也可以写成 一列，写成一行称为行向量，写成一列称为列向 量，也就是行矩阵和列矩阵. 规定行向量和列向量 都按矩阵的运算规则进行运算.
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2.含有限个向量的有序向量组与矩阵的联系
矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个 向量的向量组；反之，一个含有有限个向量的 向量组总可以构成一个矩阵. 列向量组A : 1 , 2,, m A ( , ,, ) 1 2 m
T T T 行向量组B : 1 , 2 , , m
பைடு நூலகம்
B P 1 A B 的行向量组能由 A的行向量组线性表示.
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五、线性表示与方程的联系
根据以上说明，线性表示与方程的联系为：
向量 能由向量组 1 , 2,, m 线性表示 线性方程 x1 1 x2 2 xm m 有解.
向量组 1 , 2,, l能由向量组 1 , 2,, m线性表示 矩阵方程 ( 1 , 2,, l ) ( 1 , 2,, m ) X有解.
——3维空间中的一个平面
{( x, y, z ) | ax by cz d } a, b, c不全为 ） （ 0
T
——3维向量空间中的一个平面
R {( x1 , x2 , xn ) | x1 , x2 , xn R}
n T
—— n维向量空间
{( x1 , x2 , xn ) | a1 x1 a2 x2 an xn b}
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说明
向量 能由向量组 1 , 2,, m 线性表示，就是存 在 k1 ,k 2,, km ，使 k1 1 k2 2 km m , 也就是线性方程 x1 1 x2 2 xm m 有解. 向量组 1 , 2,, l 能由向量组 1 , 2,, m 线性 表示，就是存在 l 组数k1 j ,k 2 j , , k mj ( j 1,2,, l ), 使得
向量组 1 , 2,, l 与向量组 1 , 2,, m 等价 矩阵方程 ( 1 , 2,, l ) ( 1 , 2,, m ) X有解, 而且矩阵方程 ( 1 , 2,, m ) ( 1 , 2,, l )Y也有解.
15
T 1 T 2 B T m
所以， 含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应.
8
三、向量组的线性组合
定义 给定向量组 A : 1 , 2,, m ，对于任何一组 实数 k1 ,k 2,, km ，表达式
k1 1 k2 2 km m
六、线性表示的判定
根据线性表示与方程的联系和方程组的理论，得 定理1 向量 能由向量组 1 , 2,, m 线性表示 的充分必要条件是矩阵 A ( 1 , 2,, m )的秩等 于矩阵 B ( 1 , 2,, m , )的秩. （上章定理5） 定理2 向量组 1 , 2,, l能由向量组 1 , 2,, m 线性表示的充分必要条件是矩阵 A ( 1 , 2,, m ) 的秩等于矩阵 ( A, B) ( 1 ,, m , 1 ,, l )的秩， 即 R( A) R( A, B ). （上章定理7） 推论 向量组 1 , 2,, l与向量组 1 , 2,, m等 价 的充分必要条件是 R( A) R( B ) R( A, B ), 其中 A和B分别时向量组 1 , 2,, m和 1 , 2,, l 证明 所构成的矩阵.
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可见 R( A) R( B ), 因此，向量 能由向量组 1 , 2 , 3 线性表示.
主要内容
第 八 讲
向 量 组 的 线 性 关 系
n维向量、向量组的概念 线性组合与线性表示； 线性相关与线性无关； 向量组线性相关性的重要结论.
基本要求
理解 n维向量的概念，理解向量组的概念及向量 组与矩阵的对应； 理解向量组的线性组合的概念，理解一个向量能 由一个向量组线性表示的概念并熟悉这一概念与 线性方程组的联系；
记作 B AK ml , 这就是向量组 1 , 2 ,, l 由向 量组 1 , 2 ,, l 线性表示的矩阵表示式. 其中矩阵 K 称为这一线性表示的系数矩阵. 即向量组 1 , 2,, l 能由向量组 1 , 2,, m 线 性表示，就是存在矩阵K m l ，使得 B AK , 也就是矩阵方程 AX B有解.
称为向量组 A 的一个线性组合， 1 ,k 2,, km 称为这 k 个线性组合的系数. 说明 向量组的线性组合就是向量的线性运算的表达式. 线性组合的系数可以是任意实数.
9
四、线性表示的概念
定义 给定向量组 A : 1 , 2,, m 和向量 ，如果 存在一组数 k1 ,k 2,, km，使得
13
若矩阵 A与矩阵 B 行等价，则 A的行向量组与 B 的行向量组等价； 若矩阵 A与矩阵 B列等价，则 A的列向量组与 B 的列向量组等价.
证
矩阵 A与矩阵 B 行等价 存在可逆矩阵 P ，使得 A PB A 的行向量组能由 B的行向量组线性表示； 矩阵 A与矩阵 B 行等价 存在可逆矩阵 P ，使得 A PB