地理信息系统算法第三章

椭圆的长半轴： a 椭圆的短半轴： b 椭圆的扁率： a − b α=
a
a、b称为长度元素
扁率反映了椭球体的 扁平程度
椭圆的第一偏心率：
a2 −b2 e′ = b 椭圆的第二偏心率：
e= a2 −b2 a
e和e’反映椭球体的扁平程 和 反映椭球体的扁平程 偏心率越大， 度，偏心率越大，椭球愈 扁
3.4.2 地球椭球体的相关公式
W
W 顾及 a = c 1−e2 和 =V 1−e2，则上式又可写为
c N= V (3-13) (3-
卯酉圈曲率半径
由图看出, 由图看出, (3(3-14) 也就是说，卯酉圈曲率半径恰好等于椭球面和短轴之间的一段法线 的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位于椭球的旋转轴上。 N与B有关，是纬度B的函数,且随B的增大而增大，变化规律如下表 有关，是纬度B的函数,且随B
3.4.2 地球椭球体的相关公式
2.地球椭球参数间的相互关系 2.地球椭球参数间的相互关系
由前面式子得：
a2 − b2 e2 = a2
a2 − b2 e'2 = b2
b2 2 1− e = 2 a
a2 1+ e = 2 b
2
并得： 推得：
(1− e2 )(1+ e'2 ) = 1
e2 e2 ' = 1+ e 2 '
e2 '
e2 = 1− e2
同理可得： a = b 1+ e'2 L L = a 1− e2 L b
c = a 1+ e'2 L L = c 1− e2 L a
e' = e 1+ e'2 L L = e' 1− e2 L e
V =W 1+ e 2 L L =V 1− e2 L W
椭球面上的常用坐标系及其相互关系
第三章 空间数据的变换算法
3.1 3.2 3.3 3.4 平面坐标变换 球面坐标变换 仿射变换 地图投影变换
3.4 地图投影变换
3.4.1 概述 3.4.2 地球椭球体的相关公式 3.4.3 地图投影变换
3.4.1 概述
地图投影变换的实质是建立两平场之间的一一对应关系。
x = f1(ϑ,γ ) y = f2(ϑ,γ )
子午圈曲率半径
在子午椭圆的一部分上取一微分弧长DK=dS，相应地有( 在子午椭圆的一部分上取一微分弧长DK=dS，相应地有(子午 面直角坐标系)坐标增量dx，点n是微分弧dS的曲率中心，则 面直角坐标系)坐标增量dx，点n是微分弧dS的曲率中心，则 线段Dn及Kn即是子午圈曲率半径，用M 线段Dn及Kn即是子午圈曲率半径，用M表示。 由平面曲线的曲率半径定义公式可得： dS M = (3(3-1)
(3(3-5)
上式代入(3-4)式得， 上式代入(3-4)式得， (3(3-6) 1 e2 cos2 B dx asin B 2 2 2 = −asin B − (W − e cos B) =− dB W W3 W3 又 则有
W2 = 1− e2 sin2 B
dx asin B =− (1− e2 sin2 B − e2 cos2 B) dB W3
∑ ∑
三、 数值解析变换法
当已知新投影的公式，但不知原投影的公式时，可先通过 数值变换求出原投影点的地理坐标φ 数值变换求出原投影点的地理坐标φ，λ，然后代入新投影公 式中，求出新投影点的坐标。即：
x,y
数值变换
Φ,λ
解析变换
X,Y
地球椭球的基本几何参数及相互关系
1.地球椭球的基本几何参数 1.地球椭球的基本几何参数 五个基本几何参数
WGS-84系椭球 WGS-84系椭球 6378137 6356752.3142 6399593.6258 1/298.257223563 0.0066943799013 0.00673949674227
α
e2
e′2
0.006693421622966 0.006738525414683
我国所采用的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球 我国所采用的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球 1954 参数；以后采用的1980国家大地坐标系应用的是1975 1980国家大地坐标系应用的是1975国际椭 参数；以后采用的1980国家大地坐标系应用的是1975国际椭 球参数； GPS应用的是WGS-84系椭球参数 应用的是WGS 系椭球参数。 球参数；而GPS应用的是WGS-84系椭球参数。
dx 1 M =− ⋅ dB sin B
(3(3-3)
子午圈曲率半径
a cos B 由 x= 式可求得 = 2 2 W 1− e sin B
dW − sin BW − cosB dx dB = a dB W2
acos B
(3(3-4)
dW d 1− e2 sin2 B − 2e2 sin Bcos B − e2 sin Bcos B = = = 2 2 dB dB W 2 1− e sin B
B=0Β B=0Β（在赤道处） 0Β〈B〈90Β 90Β B=90Β B=90Β（在极点处）
M
M0 = a(1− e2 ) = a(1− e2 ) < M < c a M90 = =c 2 1− e c (1+ e'2 )3
(3-10) 说(3-明
M小于赤道a 小于赤道a M随B的增大而增大 M等于极点曲率半径
1.常用的四种坐标系 1.常用的四种坐标系 大地坐标系 空间直角坐标系 子午平面直角坐标系 大地极坐标系
（1）大地坐标系
P点的子午面NPS与起始子午面 NGS所构成的二面角叫做P点大地 经度，P点的法线Pn与赤道面的 夹角B叫P点的大地纬度，P点的 位置用（L、B）表示
（2）空间直角坐标系
以椭球中心O为原点，起始子午面 与赤道面交线为X轴，在赤道面上 与X轴正交的方向为Y轴，椭球体的 旋转轴为Z轴，构成右手坐标系OXYZ，在该坐标系中，P点的位置用 X、Y、Z表示
（3）子午面直角坐标系
设P点的大地经度为L，在过P点 的子午面上，以子午圈椭圆中心 为原点，建立x，y平面直角坐标 系。在该坐标系中，P点的位置 用L，x，y表示
（4）大地极坐标系
M为椭圆体面上任意一点，MN为 过M点的子午线，S为连结MP的 大地线长，A为大地线在M点的 大地方位角。以M为极点、MN为 极轴、S为极径、A为极角，就构 成了大地极坐标系。P点位置用S、 A表示。
X = xc s L o Y = xsi L n Z=y
X (N + H) cos Bcos L ρ = Y = (N + H) cos Bsin L 2 Z N(1− e ) + H sin B
[
]
Y L = r t a c g X
(3(3-7)
子午圈曲率半径
或
dx asin B =− (1− e2 ) 3 dB W
(3(3-8)
(3-8)代入(3-3)则曲率半径为: (3-8)代入(3-3)则曲率半径为:
a(1− e2 ) M= W3
(3(3-9)
由前面 c = a 1+ e'2 L L = c 1− e2 L a c 又可简化为：M = 3 2 2 V V =W 1+ e L L =V 1− e L W B
实现一种地图投影点的坐标变换为另一种地图投影点的坐标 就是要找出上述关系式，其方法为：
解析变换法
数值变换法 数值解析变换法
一、 解析变换法
这类方法是找出两投影间坐标变换的解析计算公式。由于所 反解变换法和 采用的计算方法不同，又可分为反解变换法 正解变换法。 采用的计算方法不同，又可分为反解变换法和正解变换法。 反解变换法（又称间接变换法）是一种中间过渡的方法， 即先解出原地图投影点的地理坐标X 即先解出原地图投影点的地理坐标X、Y，对于x、y的解析关 ，对于x 系式，将其代入新图的投影公式中求得其坐标。即：
各种坐标系间的关系
子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系
acos B x= = 2 2 W 1− e sin B
y= a(1− e2 )sin B 1− e2 sin2 B = a bsin B (1− e2 )sin B = W V
acos B
(e)
（f）
（e）（f）两式即为子午面直角坐标x、y同大地纬度B的关系式。
克拉索夫斯基椭球 a b c 6378245 6356863.0187730473 6399698.9017827110 1/298.3
α
1975国际椭球 1975国际椭球 6378140 6356755.2881575287 6399596.6519880105 1/298.257 0.006694384999588 0.006739501819473
通过选择10个以上的两种投影之间的共同点，并组成最小 通过选择10个以上的两种投影之间的共同点，并组成最小 二乘法的条件式，即： n n为点数；Xi、Yi为新投影的实际 为点数；X ′ ( Xi − Xi )2 = min 变换值； Xi’、Yi’为新投影的理论值。 i =1 n 根据求极值原理，可得到两组线性方 (Y −Y′)2 = min i i i =1 程，即可求得各系数的值。
x,y
X,Y
Φ, λ
正解变换法（又称直接变换法）是一种不需要反解出原地 图投影点的地理坐标的解析公式，而是直接求出两种投影点的 图投影点的地理坐标的解析公式，而是直接求出两种投影点的 直角坐标关系式。即：
x,y
Φ,λ
二、 数值变换法
如果原投影点的坐标解析式不知道，或不易求出两投影 之间坐标的直接关系，可以采用多项式逼近的方法，即用数 值变换法来建立两投影间的变换关系式。例如，可采用二元 三次多项式进行变换。二元三次多项式为：