地理信息系统算法第三章

1.常用的四种坐标系 1.常用的四种坐标系 大地坐标系 空间直角坐标系 子午平面直角坐标系 大地极坐标系
（1）大地坐标系
P点的子午面NPS与起始子午面 NGS所构成的二面角叫做P点大地 经度，P点的法线Pn与赤道面的 夹角B叫P点的大地纬度，P点的 位置用（L、B）表示
（2）空间直角坐标系
以椭球中心O为原点，起始子午面 与赤道面交线为X轴，在赤道面上 与X轴正交的方向为Y轴，椭球体的 旋转轴为Z轴，构成右手坐标系OXYZ，在该坐标系中，P点的位置用 X、Y、Z表示
W
W 顾及 a = c 1−e2 和 =V 1−e2，则上式又可写为
c N= V (3-13) (3-
卯酉圈曲率半径
由图看出, 由图看出, (3(3-14) 也就是说，卯酉圈曲率半径恰好等于椭球面和短轴之间的一段法线 的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位于椭球的旋转轴上。 N与B有关，是纬度B的函数,且随B的增大而增大，变化规律如下表 有关，是纬度B的函数,且随B
各种坐标系间的关系
子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系
acos B x= = 2 2 W 1− e sin B
y= a(1− e2 )sin B 1− e2 sin2 B = a bsin B (1− e2 )sin B = W V
来自百度文库
acos B
(e)
（f）
（e）（f）两式即为子午面直角坐标x、y同大地纬度B的关系式。
∑ ∑
三、 数值解析变换法
当已知新投影的公式，但不知原投影的公式时，可先通过 数值变换求出原投影点的地理坐标φ 数值变换求出原投影点的地理坐标φ，λ，然后代入新投影公 式中，求出新投影点的坐标。即：
x,y
数值变换
Φ,λ
解析变换
X,Y
地球椭球的基本几何参数及相互关系
1.地球椭球的基本几何参数 1.地球椭球的基本几何参数 五个基本几何参数
子午圈曲率半径
在子午椭圆的一部分上取一微分弧长DK=dS，相应地有( 在子午椭圆的一部分上取一微分弧长DK=dS，相应地有(子午 面直角坐标系)坐标增量dx，点n是微分弧dS的曲率中心，则 面直角坐标系)坐标增量dx，点n是微分弧dS的曲率中心，则 线段Dn及Kn即是子午圈曲率半径，用M 线段Dn及Kn即是子午圈曲率半径，用M表示。 由平面曲线的曲率半径定义公式可得： dS M = (3(3-1)
x,y
X,Y
Φ, λ
正解变换法（又称直接变换法）是一种不需要反解出原地 图投影点的地理坐标的解析公式，而是直接求出两种投影点的 图投影点的地理坐标的解析公式，而是直接求出两种投影点的 直角坐标关系式。即：
x,y
Φ,λ
二、 数值变换法
如果原投影点的坐标解析式不知道，或不易求出两投影 之间坐标的直接关系，可以采用多项式逼近的方法，即用数 值变换法来建立两投影间的变换关系式。例如，可采用二元 三次多项式进行变换。二元三次多项式为：
3.4.2 地球椭球体的相关公式
2.地球椭球参数间的相互关系 2.地球椭球参数间的相互关系
由前面式子得：
a2 − b2 e2 = a2
a2 − b2 e'2 = b2
b2 2 1− e = 2 a
a2 1+ e = 2 b
2
并得： 推得：
(1− e2 )(1+ e'2 ) = 1
e2 e2 ' = 1+ e 2 '
e2 '
e2 = 1− e2
同理可得： a = b 1+ e'2 L L = a 1− e2 L b
c = a 1+ e'2 L L = c 1− e2 L a
e' = e 1+ e'2 L L = e' 1− e2 L e
V =W 1+ e 2 L L =V 1− e2 L W
椭球面上的常用坐标系及其相互关系
B=0Β B=0Β（在赤道处） 0Β〈B〈90Β 90Β B=90Β B=90Β（在极点处）
M
M0 = a(1− e2 ) = a(1− e2 ) < M < c a M90 = =c 2 1− e c (1+ e'2 )3
(3-10) 说(3-明
M小于赤道a 小于赤道a M随B的增大而增大 M等于极点曲率半径
WGS-84系椭球 WGS-84系椭球 6378137 6356752.3142 6399593.6258 1/298.257223563 0.0066943799013 0.00673949674227
α
e2
e′2
0.006693421622966 0.006738525414683
我国所采用的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球 我国所采用的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球 1954 参数；以后采用的1980国家大地坐标系应用的是1975 1980国家大地坐标系应用的是1975国际椭 参数；以后采用的1980国家大地坐标系应用的是1975国际椭 球参数； GPS应用的是WGS-84系椭球参数 应用的是WGS 系椭球参数。 球参数；而GPS应用的是WGS-84系椭球参数。
B B=00 00<B<900 B=900 N 说明
PO′ r Pn = N = = cos B cos B
(3(3-5)
上式代入(3-4)式得， 上式代入(3-4)式得， (3(3-6) 1 e2 cos2 B dx asin B 2 2 2 = −asin B − (W − e cos B) =− dB W W3 W3 又 则有
W2 = 1− e2 sin2 B
dx asin B =− (1− e2 sin2 B − e2 cos2 B) dB W3
X = xc s L o Y = xsi L n Z=y
X (N + H) cos Bcos L ρ = Y = (N + H) cos Bsin L 2 Z N(1− e ) + H sin B
[
]
Y L = r t a c g X
通过选择10个以上的两种投影之间的共同点，并组成最小 通过选择10个以上的两种投影之间的共同点，并组成最小 二乘法的条件式，即： n n为点数；Xi、Yi为新投影的实际 为点数；X ′ ( Xi − Xi )2 = min 变换值； Xi’、Yi’为新投影的理论值。 i =1 n 根据求极值原理，可得到两组线性方 (Y −Y′)2 = min i i i =1 程，即可求得各系数的值。
第三章 空间数据的变换算法
3.1 3.2 3.3 3.4 平面坐标变换 球面坐标变换 仿射变换 地图投影变换
3.4 地图投影变换
3.4.1 概述 3.4.2 地球椭球体的相关公式 3.4.3 地图投影变换
3.4.1 概述
地图投影变换的实质是建立两平场之间的一一对应关系。
x = f1(ϑ,γ ) y = f2(ϑ,γ )
dB
由微分三角形DKE可得： 由微分三角形DKE可得： DE −dx dS = = sin B sin B
(3(3-2)
（dx取负号，是因为在子午面直角坐标系中，点的横坐标随 dx取负号，是因为在子午面直角坐标系中，点的横坐标随 纬度B的增大而缩小），(3-1)式代入(3-2)式， 纬度B的增大而缩小），(3-1)式代入(3-2)式，
dx 1 M =− ⋅ dB sin B
(3(3-3)
子午圈曲率半径
a cos B 由 x= 式可求得 = 2 2 W 1− e sin B
dW − sin BW − cosB dx dB = a dB W2
acos B
(3(3-4)
dW d 1− e2 sin2 B − 2e2 sin Bcos B − e2 sin Bcos B = = = 2 2 dB dB W 2 1− e sin B
椭圆的长半轴： a 椭圆的短半轴： b 椭圆的扁率： a − b α=
a
a、b称为长度元素
扁率反映了椭球体的 扁平程度
椭圆的第一偏心率：
a2 −b2 e′ = b 椭圆的第二偏心率：
e= a2 −b2 a
e和e’反映椭球体的扁平程 和 反映椭球体的扁平程 偏心率越大， 度，偏心率越大，椭球愈 扁
3.4.2 地球椭球体的相关公式
（3）子午面直角坐标系
设P点的大地经度为L，在过P点 的子午面上，以子午圈椭圆中心 为原点，建立x，y平面直角坐标 系。在该坐标系中，P点的位置 用L，x，y表示
（4）大地极坐标系
M为椭圆体面上任意一点，MN为 过M点的子午线，S为连结MP的 大地线长，A为大地线在M点的 大地方位角。以M为极点、MN为 极轴、S为极径、A为极角，就构 成了大地极坐标系。P点位置用S、 A表示。
卯酉圈曲率半径
由麦尼尔定理知，假设通过曲面上一点引两条截弧，一条为法 截弧、一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜 截弧在该点的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘于两截弧平面夹角 的余弦。即： r = N cos B (3(3-10) 平行圈平面与卯酉圈平面之间的夹角即为大地纬度B,平行圈半径r 平行圈平面与卯酉圈平面之间的夹角即为大地纬度B,平行圈半径r 就等于P点的横坐标x 就等于P点的横坐标x，即： a cos B x =r = (3(3-11) W 由此可得卯酉圈半径为： a N= (3(3-12)
卯酉圈曲率半径
过椭球面上一点的法线，可作无数个 法截面，其中一个与该点子午面相垂直 的法截面同椭球面相截所形成的闭合圈 称之为卯酉圈。PEE/即为过P 称之为卯酉圈。PEE/即为过P点的卯酉 圈，半径用N 圈，半径用N表示。 过P点作以O’为中心的平行圈PHK的切线PT，该切线位于垂直于 点作以O’为中心的平行圈PHK的切线PT，该切线位于垂直于 子午面的平行圈平面内。因卯酉圈也垂直于子午面，故PT也是卯酉 子午面的平行圈平面内。因卯酉圈也垂直于子午面，故PT也是卯酉 圈在P点处的切线，即PT垂直于Pn。所以PT是平行圈PHK及卯酉圈在 圈在P点处的切线，即PT垂直于Pn。所以PT是平行圈PHK及卯酉圈在 P点处的公切线。
(3(3-7)
子午圈曲率半径
或
dx asin B =− (1− e2 ) 3 dB W
(3(3-8)
(3-8)代入(3-3)则曲率半径为: (3-8)代入(3-3)则曲率半径为:
a(1− e2 ) M= W3
(3(3-9)
由前面 c = a 1+ e'2 L L = c 1− e2 L a c 又可简化为：M = 3 2 2 V V =W 1+ e L L =V 1− e L W B
tg = B 或 c B= tg X 2 +Y 2 − N 2 c s B e o Z Z + N 2 sn B e i X 2 +Y 2
Z H= − N( − e2 ) 1 si B n H= X 2 +Y 2 −N cos B
椭球面上的几种曲率半径
过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条 法线的平面叫做法截面 法截面；法截面与椭球面的交线叫法截弧（线）。 法截弧（ 法截面 法截弧 包含椭球面一点的法线可作无数个法截面，相应有无数个法截 弧。椭球面上法截线的曲率半径不同于球面上的法截线（大园弧） 曲率半径（都等于圆球的半径），而是不同方向的法截弧的曲率半 径都不相同。
实现一种地图投影点的坐标变换为另一种地图投影点的坐标 就是要找出上述关系式，其方法为：
解析变换法
数值变换法 数值解析变换法
一、 解析变换法
这类方法是找出两投影间坐标变换的解析计算公式。由于所 反解变换法和 采用的计算方法不同，又可分为反解变换法 正解变换法。 采用的计算方法不同，又可分为反解变换法和正解变换法。 反解变换法（又称间接变换法）是一种中间过渡的方法， 即先解出原地图投影点的地理坐标X 即先解出原地图投影点的地理坐标X、Y，对于x、y的解析关 ，对于x 系式，将其代入新图的投影公式中求得其坐标。即：
克拉索夫斯基椭球 a b c 6378245 6356863.0187730473 6399698.9017827110 1/298.3
α
1975国际椭球 1975国际椭球 6378140 6356755.2881575287 6399596.6519880105 1/298.257 0.006694384999588 0.006739501819473