高中数学人教版A版选修4-4教学课件：1-4- 1《柱坐标系》
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1.4《柱坐标系与球坐标系简介》 课件(人教A版选修4-4)
【解析】
6.球坐标系中，满足θ =
P(r,φ ,θ )的轨迹为( （A）点 （C）半平面
，r∈[0,+∞), φ ∈[0,π ]的动点 4
)
（B）直线 （D）半球面
【解析】选C.由于球坐标系中,θ=
φ∈[0,π]，故射线OM平分∠xOy,由球坐标系的意义，动点 P(r,φ,θ)的轨迹为二面角x-OP-y的平分面，这是半平面， 如图.
【解析】选D.由于点P的柱坐标为（ρ,θ,z）= (2, , 3) ，故 点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy的距离为 cos = 3 ,结合
6
图形，得P到直线Oy的距离为 ( 3)2 +( 3)2 = 6.
5.已知点M的球坐标为 (2 2, , ) ，则点M的柱坐标为(
6 4
)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标
对应的点在平面yOz内的是( )
【解析】选A.由点P的柱坐标（ρ,θ,z），当θ= 时，点P
在平面yOz内，故选A.
2
2.已知空间直角坐标系Oxyz中，点M在平面yOz内，若M的球坐
3 3 3 3
求|MN|. 【解析】方法一:由题意知, |OM|=|ON|=6，∠MON= ,
3
≨△MON为等边三角形，≨|MN|=6.
=1 12.（14分）在柱坐标系中，求满足 0 2 的动点M 0 z 2
（ρ ,θ ,z）围成的几何体的体积. 【解析】根据柱坐标系与点的柱坐 标的意义可知，满足ρ=1，0≤θ
≨PN⊥直线Oy.
答案：3
6
三、解答题（共40分） 10.（12分）在球坐标系中，方程r=1表示空间中的什么曲 面？方程φ = 表示空间中的什么曲面?
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
人教版高中数学选修4-4--第一讲-坐标系-1.4--柱坐标系与球坐标系简介ppt课件
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
人教版高中数学选修4-4第1讲 坐标系 4ppt课件
x＝rsin φcos θ＝2sin
34πcos
54π＝－1，
∴y＝rsin φsin θ＝2sin
3π 4 sin
54π＝－1，
z＝rcos φ＝2cos 34π＝－ 2，
∴(－1，－1，－ 2)为所求．
(2)∵(r，φ，θ)＝
6，π3，23π，
x＝rsin φcos θ＝
• 答案： B
3．设点 M 的柱坐标为2，π6，7，则它的直角坐标为
________． 解析：
x＝2cos
π6＝
3，
用坐标变换公式得y＝2sin π6＝1，
z＝7.
∴直角坐标为( 3，1,7)．
答案： ( 3，1,7)
4．设某点的球坐标为(r，φ，θ)＝2，34π，34π，求它的直 角坐标．
的柱坐标与球坐标． 解析： 结合图形知点 C 的直角坐标为(1,1,0)，柱坐标为
2，π4，0，球坐标为
2，π2，π4.
同样点 D 的直角坐标为(0,1,0)，柱坐标为1，π2，0，球坐
标为1，π2，π2.
• 1．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系 和区别？
[解题过程] 设点的直角坐标为(x，y，z)．
(1)∵(ρ，θ，z)＝2，56π，3，
x＝ρcos θ＝2cos
56π＝－
3，
∴y＝ρsin θ＝2sin 56π＝1，
z＝3，
∴(－ 3，1,3)为所求．
(2)∵(ρ，θ，z)＝
2，π4，5，
x＝ρcos θ＝
π 4cos
74π＝1，
∴y＝rsin φsin θ＝2sin
π 4sin
人教A版高中数学选修4-4课件 极坐标系的概念(人教A 版)
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个.
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度的正方向。 （通常取逆时针方向）.
O X
这样就建立了一个极坐标系.
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
人民教育出版社 高中/选修4-4
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2, 5)
6
6
O°
x
° O
x•
•M(-2, 5) M (, )
6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作,
将射线OP“反向延长”.
2
3•
F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
- 人民教育出版社 高中/选修4-4
A( 4,0)
4
B(3, 56)
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
思考：在本节开头关于修建高速公路的问题中能否
在极坐标系中解题。
人民教育出版社 高中/选修4-4
数学运用
例3. 已知点Q(, )，分别按下列条件求出点P的坐标：
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度的正方向。 （通常取逆时针方向）.
O X
这样就建立了一个极坐标系.
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
人民教育出版社 高中/选修4-4
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2, 5)
6
6
O°
x
° O
x•
•M(-2, 5) M (, )
6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作,
将射线OP“反向延长”.
2
3•
F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
- 人民教育出版社 高中/选修4-4
A( 4,0)
4
B(3, 56)
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
思考：在本节开头关于修建高速公路的问题中能否
在极坐标系中解题。
人民教育出版社 高中/选修4-4
数学运用
例3. 已知点Q(, )，分别按下列条件求出点P的坐标：
人教版高中数学选修4-4(1.4)柱坐标系与球坐标系简介ppt课件
2019/7/8
最新中小学教学课件
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2019/7/8
最新中小学教学课件
如图所示，点C1的(x，y，z)分别对应着CD，BC，CC1；点C1的(ρ，θ，z) 应着CA，∠BAC，CC1；点C1的(r，φ，θ)分别对应着AC1，∠A1AC1，∠BAC.
标为解 (12析，π6：， 点1C21)， 的点 空间 C1直的角球坐坐标标为为((612
,，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
解析：将 P，Q 两点球的坐标转化为直角坐标，得
点 P：x＝3sin
π 6cos
4π＝3 4 2，
y＝3sin
π 6sin
π4＝3 4 2，
z＝3cos π6＝3 2 3，
∴点 P 的直角坐标为3 4 2，3 4 2，3 2 3.
点 Q：x＝3sin
π 6cos
34π＝－3 4 2，
1.4《柱坐标系与球坐标系简介》 课件(人教A版选修4-4)
一、选择题（每小题列柱坐标
对应的点在平面yOz内的是( )
【解析】选A.由点P的柱坐标（ρ,θ,z），当θ= 时，点P
在平面yOz内，故选A.
2
2.已知空间直角坐标系Oxyz中，点M在平面yOz内，若M的球坐
0≤φ≤π,0≤θ<2π.
答案： , ) (4,
6 3
9.已知柱坐标系中,点M的柱坐标为 (2, 2 , 5) ,且点M在数轴Oy
上的射影为N,则|OM|=______,|MN|=______.
【解析】设点M在平面Oxy上的射影为P,连结PN, 则PN为线段MN在平面Oxy上的射影.
3
≧MN⊥直线Oy,MP⊥平面xOy，
)
2=cos 【解析】选A.设M的柱坐标为(ρ,θ,z)，由 0=sin , z=2 =2 解得 =0, ≨点M的柱坐标为（2,0,2）. z=2
4.若点P的柱坐标为 (2, , 3)，则P到直线Oy的距离为(
6
)
（A）1
（B）2
（C） 3
（D） 6
6
＜2π，0≤z≤2的动点M（ρ,θ,
z）的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面 为正方形的圆柱，如图所示,圆柱的
底面半径r=1,h=2,≨V=Sh=πr2h=
2π(体积单位).
标为(r,φ ,θ ),则应有( )
【解析】选D.由点M向平面xOy作垂线，垂足N一定在直线Oy
上，由极坐标系的意义知θ= 或 3 .
2 2
3.设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为( (A)(2,0,2) (C)( 2,0,2) (B)(2,π ,2) (D)( 2,π ,2)
3 3 3 3
求|MN|. 【解析】方法一:由题意知, |OM|=|ON|=6，∠MON= ,
对应的点在平面yOz内的是( )
【解析】选A.由点P的柱坐标（ρ,θ,z），当θ= 时，点P
在平面yOz内，故选A.
2
2.已知空间直角坐标系Oxyz中，点M在平面yOz内，若M的球坐
0≤φ≤π,0≤θ<2π.
答案： , ) (4,
6 3
9.已知柱坐标系中,点M的柱坐标为 (2, 2 , 5) ,且点M在数轴Oy
上的射影为N,则|OM|=______,|MN|=______.
【解析】设点M在平面Oxy上的射影为P,连结PN, 则PN为线段MN在平面Oxy上的射影.
3
≧MN⊥直线Oy,MP⊥平面xOy，
)
2=cos 【解析】选A.设M的柱坐标为(ρ,θ,z)，由 0=sin , z=2 =2 解得 =0, ≨点M的柱坐标为（2,0,2）. z=2
4.若点P的柱坐标为 (2, , 3)，则P到直线Oy的距离为(
6
)
（A）1
（B）2
（C） 3
（D） 6
6
＜2π，0≤z≤2的动点M（ρ,θ,
z）的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面 为正方形的圆柱，如图所示,圆柱的
底面半径r=1,h=2,≨V=Sh=πr2h=
2π(体积单位).
标为(r,φ ,θ ),则应有( )
【解析】选D.由点M向平面xOy作垂线，垂足N一定在直线Oy
上，由极坐标系的意义知θ= 或 3 .
2 2
3.设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为( (A)(2,0,2) (C)( 2,0,2) (B)(2,π ,2) (D)( 2,π ,2)
3 3 3 3
求|MN|. 【解析】方法一:由题意知, |OM|=|ON|=6，∠MON= ,
人教A版高中数学选修4-4课件1.4柱坐标系与球坐标系.pptx
z
注：坐标与点的位置有关 o
x
y
练习：
1、设点M的直角坐标是(1, 3,3),则它的柱 坐标是？
(2, 4 ,3)
3
2、设点M的柱坐标为(2, ,7),求它的直角坐标。
6
( 3,1,7)
阅读课本P18 了解球坐标系的概念以及在球坐标 系中点的确定
z 设P是空间任意一点，
在oxy平面的射影为Q， 连接OP，记| OP |=r，
z
P(r,φ,θ)
z r cos
oφ r θ
y
x
Q
设点的球坐标为(2，3 ，3 )，求
它的直角坐标.
44
x
2sin
3
4
cos
3
4
2
2 （－
2
2）－1
2
y
2sin
3
4
sin
3
4
2
2 2
2 1 2
z
2cos
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
阅读课本P16---17 了解柱坐标系的定义, 以及如何用 柱坐标系描述空间中的点.
设P是空间任意一点， 在oxy平面的射影为Q，
z P(ρ,θ,Z)
用(ρ ,θ )(ρ ≥0,
0≤θ上的极坐标， θ
y
点P的位置可用有 序数组(ρ ,θ ,z)表示. x
oφ
r
OP与OZ轴正向所
θ
夹的角为φ. 设P x
在Oxo轴xy按平逆面时上的射影为Q，
P(r,φ,θ)
y
Q
针方向旋转到OQ时所转过的最小正角
注：坐标与点的位置有关 o
x
y
练习：
1、设点M的直角坐标是(1, 3,3),则它的柱 坐标是？
(2, 4 ,3)
3
2、设点M的柱坐标为(2, ,7),求它的直角坐标。
6
( 3,1,7)
阅读课本P18 了解球坐标系的概念以及在球坐标 系中点的确定
z 设P是空间任意一点，
在oxy平面的射影为Q， 连接OP，记| OP |=r，
z
P(r,φ,θ)
z r cos
oφ r θ
y
x
Q
设点的球坐标为(2，3 ，3 )，求
它的直角坐标.
44
x
2sin
3
4
cos
3
4
2
2 （－
2
2）－1
2
y
2sin
3
4
sin
3
4
2
2 2
2 1 2
z
2cos
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
阅读课本P16---17 了解柱坐标系的定义, 以及如何用 柱坐标系描述空间中的点.
设P是空间任意一点， 在oxy平面的射影为Q，
z P(ρ,θ,Z)
用(ρ ,θ )(ρ ≥0,
0≤θ上的极坐标， θ
y
点P的位置可用有 序数组(ρ ,θ ,z)表示. x
oφ
r
OP与OZ轴正向所
θ
夹的角为φ. 设P x
在Oxo轴xy按平逆面时上的射影为Q，
P(r,φ,θ)
y
Q
针方向旋转到OQ时所转过的最小正角
高中数学人教A版选修4-4课件：1-4柱坐标系与球坐标系简介
HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
D典例透析
1.空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别 剖析它们都是三维的坐标系,球坐标系与柱坐标系都是在空间直 角坐标系的基础上建立的. 在空间直角坐标中,我们需要三个长度x,y,z,而在柱坐标与球坐标 中,我们不仅需要长度,还需要角度.它们是从长度、方向来描述一 个点的位置,需要ρ,θ,z或者r,φ,θ. 在空间直角坐标系中,设点M为空间中的一个已知点.我们过点M 作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴,它们与x轴、y轴、z轴的交 点依次为P,Q,R,这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x,y,z.于是空 间的一点M就唯一地确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做 点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标(如 图所示).
������ 2 + ������ 2 + ������ 2 , ������ =∠ROM,θ=∠ POA,其中 θ 与柱坐标中的 θ 相 同 ,x,y,z 的值与直角坐标中的相同 .
几种三维坐标互不相同,互有联系,互相能够转化,都用来刻画空 间一点的位置,只是描述的角度不同.
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
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HISHISHULI
HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
D典例透析
在柱坐标 M(ρ,θ,z)中 ,结合上图知,ρ=|OA|=
|������������ |2 + |������������ |2 =
������ 2 + ������ 2 , ������ =∠POA,其中 x,y,z 的值与直角坐标中的相同.在球坐标 M(r,φ,θ)中 ,结合上图知 ,r=|OM|= |������������ |2 + |������������ |2 =1-
推荐-高中数学人教A版选修4-4课件1.4 柱坐标系与球坐标系简介(1)
四 柱坐标系与球坐标系简介
-1-
目标导航
1.借助具体实例了解柱坐标系、球坐标系中刻画空间点的位置 的方法.
2.与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较,体会它们的 区别与联系.
知识梳理
知识梳理
知识梳理
知识梳理
重难聚焦
1.空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别 剖析:它们都是三维的坐标系,球坐标系与柱坐标系都是在空间 直角坐标系的基础上建立的. 在空间直角坐标中,我们需要三个长度x,y,z,而在柱坐标与球坐标 中,我们不仅需要长度,还需要角度.它们是从长度、方向来描述一 个点的位置,需要ρ,θ,z或者r,φ,θ. 在空间直角坐标系中,设点M为空间中的一个已知点.我们过点M 作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴,它们与x轴、y轴、z轴的交 点依次为P,Q,R,这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x,y,z.于是空 间的
2,
π 4
,1
.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
典例透析
π
1
������ = 4cos 3 = 4 × 2 = 2,
π
3
������ = 4sin 3 = 4 × 2 = 2 3,
������ = 4.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
典例透析
题型一
题型二
题型三
某航天器离地球表面 2 384 km,地球的半径为 6 371 km,它所处的位
置是东经 80°,北纬 75°.试建立适当的坐标系,确定出此时航天器 P
的球坐标.
解:在赤道平面上,选取地球球心 O 为极点,以 O 为原点且与零子
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1.借助具体实例了解柱坐标系、球坐标系中刻画空间点的位置 的方法.
2.与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较,体会它们的 区别与联系.
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重难聚焦
1.空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别 剖析:它们都是三维的坐标系,球坐标系与柱坐标系都是在空间 直角坐标系的基础上建立的. 在空间直角坐标中,我们需要三个长度x,y,z,而在柱坐标与球坐标 中,我们不仅需要长度,还需要角度.它们是从长度、方向来描述一 个点的位置,需要ρ,θ,z或者r,φ,θ. 在空间直角坐标系中,设点M为空间中的一个已知点.我们过点M 作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴,它们与x轴、y轴、z轴的交 点依次为P,Q,R,这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x,y,z.于是空 间的
2,
π 4
,1
.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
典例透析
π
1
������ = 4cos 3 = 4 × 2 = 2,
π
3
������ = 4sin 3 = 4 × 2 = 2 3,
������ = 4.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
典例透析
题型一
题型二
题型三
某航天器离地球表面 2 384 km,地球的半径为 6 371 km,它所处的位
置是东经 80°,北纬 75°.试建立适当的坐标系,确定出此时航天器 P
的球坐标.
解:在赤道平面上,选取地球球心 O 为极点,以 O 为原点且与零子
高中数学人教A版选修4-4课件 第一讲坐标系
解： (1)由 C1:ρ=10,得 ρ2= 100, 所以 x2+y2=100,即 C1 为圆心在 (0,0),半径等于 10 的圆 . 由 C2:ρsin ������π 3
=6,得 ρ
1 3 sin������- cos������ 2 2
=6.
所以 y- 3x=12,即 3x-y+12=0. 故 C243;12=0 的距离为 d=
专题一
专题二
专题三
例1在同一平面直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换: (1)曲线x2-y2-2x=0变成曲线x'2-16y'2-4x'=0;
2 ������ ' (2)曲线 x2+y 2=4 变成曲线 4
������'2 + =1. 27
分析：设出伸缩变换公式,代入方程,比较系数即得. ������' = ������������(������ > 0), 解： (1)设所求的伸缩变换为 ������' = ������������(������ > 0), 则 x'2-16y'2-4x'=0 可化为 λ2x2-16μ2y 2-4λx=0,
4 即 x - 2 y - x=0. ������ ������ 4 = 2, ������ ∵x2-y2-2x= 0,∴ 16������2
2 2
16������2
������
2
= 1.
∴
1 2
������ = 2, ������ = .
1 2
∴所求的伸缩变换为
������' = 2������, ������' = ������.
人教A版高中数学选修4-4课件：第一讲 坐标系 (共6份)
乐观者在灾祸中看到机会，悲观者在机会中看到灾祸。 有志始知蓬莱近，无为总觉咫尺远。 知道自己目的地的人，才是旅行得最远的人。 对于攀登者来说，失掉往昔的足迹并不可惜，迷失了继续前时的方向却很危险。 人的一生，可以有所作为的时机只有一次，那就是现在。 崇高的理想就象生长在高山上的鲜花。如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。 别拿自己的无知说成是别人的愚昧！ 为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路 遥知马力，日久见人心！ 付出了不一定有回报，但不付出永远没有回报。 觉得自己做得到和做不到，其实只在一念之间。 每个人的一生都有许多梦想，但如果其中一个不断搅扰着你，剩下的就仅仅是行动了。 大器不必晚成，趁着年轻，努力让自己的才能创造最大的价值。 道德修养能达到的最高价段，是认识到我们应该控制我们的思想。--达尔文 天空的高度是鸟儿飞出来的，水无论有多深是鱼儿游出来的。 当你无法从一楼蹦到三楼时，不要忘记走楼梯。要记住伟大的成功往往不是一蹴而就的，必须学会分解你的目标，逐步实施。 善良的人永远是受苦的，那忧苦的重担似乎是与生俱来的，因此只有忍耐。 你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。 不要因为众生的愚疑，而带来了自己的烦恼。不要因为众生的无知，而痛苦了你自己。 钱可以帮穷人思维的人解决温饱，却可以帮富人思维的人制造财富。
高二数学人教A版选修4-4课件：1.4 柱坐标系与球坐标系简介
������ 6
������������������
������ 3
=
1 2
,
y
=
r������������������φ������������������θ
=
2������������������
������ 6
������������������
������ 3
=
3 2
,
z
=
r������������������φ
=
2������������������
������ 3
=
1,
y
=
r������������������θ
=
2������������������
������ 3
=
3,
z = 7.
所以点 P 的直角坐标为(1, 3,7).
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Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
四 柱坐标系与球坐标系简介
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S 随堂练习 UITANG LIANXI
课程目标
学习脉络
1.借助具体实例了解柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点 的位置的方法. 2.与空间直角坐标系中刻画点的位置方法相比较,体会它 们的区别与联系.
探究一
探究二
探究三
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探究四
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Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
(2)设点 P 的直角坐标为(x,y,z),
人教高中数学 选修4-4-第一讲-坐标系(实用资料)ppt
设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标
x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P’(x’, y’),
坐标对应关系为：
x x
y
3
y
②
我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?
y
在正弦曲线y=sinx上任取一
点P(x, y)，保持纵坐标不变，将
故|PA|－ |PB|=340×4=1360
由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线
x2 a2
y2 b2
1
上
a=680, c=1020, b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.
所以双曲线的方程为： 6x2 82 05y3242 0 1(x0)
用y=－x代入上式，得 x6850,y6850,
例2 圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P 分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN (M、N分别为切点), 使得PM= 2 PN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹
方程。
解：以直线O1O2为x轴，线段 O1O2的垂直平分线为y轴，建立平 M 面直角坐标系，
yP NX
则两圆的圆心坐标分别为
坐标法 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系，
注意以下原则：
(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
(3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
例1.已知△ABC的三边a, b, c满足yb2+c2=5a2,BE,CF分
别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探
x
1
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1．点A的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标．
解：ρ2＝x2＋y2＝12＋12＝2，∴ρ＝ 2， 又 tan θ＝1，x>0，y>0，点在第一象限． π ∴ θ＝ ， 4 π ∴点 A 的柱坐标为( 2， ，1)． 4
2．点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标．
解：ρ＝ x2＋y2＝ 02＋12＝1. π ∵x＝0，y＞0，∴θ＝ . 2 π ∴点 M 的柱坐标为(1， ，2). 2
柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系O xyz，设P是空间任意 一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来
表示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可用有序数
组 (ρ，θ(， z)R)表示，这样，我们建立了空间的点与有 z∈ 序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系 的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐 标，记作 P(ρ ， θ， z) ，其中 ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R
即 ρ2＝12＋( 3)2＝4，∴ρ＝2. y tan θ＝x＝ 3，又 x>0，y>0，点在第一象限． π π ∴θ＝ ，∴点 A 的柱坐标为(2， ，5)． 3 3
知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定 ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点
M所在象限确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．
.
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之
x＝ρcos θ 间的变换公式为 . y＝ρsin θ z＝z
[例 1]
设点 A 的直角坐标为(1， 3，5)，求它的柱坐标．
y [思路点拨] 由公式求出 ρ，再由 tan θ＝x求 θ. x＝ρcos θ， [解] 由公式y＝ρsin θ， 得 ρ2＝x2＋y2， z＝z，
解：由 x＝ρcos θ 得：x＝cos π＝－1. 由 y＝ρsin θ 得：y＝sin π＝0. ∴A 点的直角坐标为(－1,0,2)． 同理：B 点的直角坐标为(0,2,1)． ∴|AB|＝ －1－02＋0－22＋2－12＝ 6. 故 A、B 两点间的距离为 6.
即可．
3．点N的柱坐标为(2，，3)，求它的直角坐标．
x＝ρcos θ， 解：由变换公式y＝ρsin θ， z ＝ z，
得
π π x＝ρcos θ＝2cos ＝0，y＝ρsin θ＝2· sin ＝2， 2 2 故点 N 的直角坐标为(0,2,3)．
π 4．已知点 A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为(2， ，1)， 2 求 A、B 两点间距离．
[例 2]
π 已知点 P 的柱坐标为(4， ，8)求它的直角坐标． 3 直接利用公式求解．
[思路点拨]
[解]
x＝ρcos θ， 由变换公式y＝ρsin θ， z＝z
得：
π π x＝4cos ＝2.y＝4sin ＝2 3.z＝8. 3 3 ∴点 P 的直角坐标为(2,2 3，8)．
பைடு நூலகம்
知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z