一元二次方程实数根的分布

第一课时：一元二次方程实数根的分布

教学目标：使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理，加强求解一

元二次不等式及不等式组，初步训练学生的数形结合能力。

教学重点：利用二次函数的图象，把一元二次方程根的分布−−→

−转化

图形问题−−→

−转化代数表达式（不等式组）−−→−计算

参数取值范围。

教学难点：图形问题转化成代数表达式(不等式组)并求解。

一、问题的提出

若方程0)5()2(2=++++m x m x 的两根均为正数，求实数m 的取值范围.

变式1：两根一正一负时情况怎样？ 变式2：两实根均大于5时情况又怎样？ 变式3：一根大于2，另一根小于-1时情况又怎样？

问题：能否从二次函数图形角度去观察理解？若能试比较两种方法的优劣.

方程)0(02≠=++a c bx ax 的实根，如若从二次函数图形角度去观察理解，其实质就是对应的二次函数2()0(0)f x ax bx c a =++=≠ 的抛物线与x 轴交点的横坐标.

一元二次方程实根分布，实质上就是方程的根与某些确定的常数大小关系比较.

二、一元二次方程实根分布

仿上完成下表

一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 实根分布图解

根的分部

2

1x x m ≤<

21x m x <<

m x x n <≤<21

2

1x m n x <<<

图 象

等价的代数不等式

三、练习

1.m 为何实数时，方程02)1(2=+++m x m x 的两根都在-1与1之间.

2、若方程0)3()1(2

=-++-a x a x 的两根中，一

根小于0，另一根大于2，求a 的取值范围.

四、小结

基本类型与相应方法：

设 )0()(2

≠++=a c bx ax x f ，则方程0)(=x f 的实根分布的基本类型及相应方法如下表：

五作业：

1．关于x 的一元二次方程2

22320ax x a ---=的一根大于1，另一根小于1.则a 的值是 （ ）

（A ）0a >或4a <- （B ）4a <- （C ）0a > （D ）40a -<< 2．方程2

2

7(13)20(x k x k k k -++--=为常数）有两实根,αβ，且01α<<，

12β<<，那么k 的取值范围是 （ ）

（A ）34k << （B ）21k -<<- （C ）21a -<<-或34k << （D ）无解

3．设m 是整数，且方程2

320x mx +-=的两根都大于95-

而小于3

7

，则m = .

4.若关于x 的方程2

2

(1)210m x mx -+-=的所有根都是比1小的正实数，则实数

m 的取值范围是m ＝

5. 方程2

(21)(6)0x m x m +-+-=的一根不大于－1，另一根不小于1.试求： （1）参数m 的取值范围；（2）方程两根的平方和的最大值和最小值.

第二课时 一元二次方程实数根分布的应用

一复习

根的分部

21x x m ≤<

2

1x m x <<

m x x n <≤<21 2

1x m n x <<<

图 象

等价的代数不等式

二、例子

例1 已知实数a 、b 、c 满足22211a b c a b c a b c ⎧>>⎪

++=⎨⎪++=⎩

，求a b +的取值范围.

解 由已知得1a b c +=-且

222222()()(1)(1)22

a b a b c c ab c c +-+---===-.

所以,a b 是一元二次方程22(1)()0x c x c c --+-=的两根. 由a b c >>问题可转化为方程22(1)()0x c x c c --+-=的二根都大于c .令

()f x =22(1)()x c x c c --+-，有

2212()0(1)4()0c c f c c c c -⎧>⎪⎪

>⎨⎪∆=--->⎪⎩

即 2

2123203210c c c c c c ->⎧⎪->⎨⎪--<⎩

， 求得103c -<<，因此4(1,)3a b +∈.

例2已知点(0,4)A 、(4,0)B .若抛物线21y x mx m =-++与线段AB (不包括端点A 及B )有两个不同的交点，则m 的取值范围是 . (1997

年上海市高中数学竞赛)

解： 显然直线AB 的方程为1(04)44x y

x +=<<即4y x =-，代入抛物

线方程并整理得2(1)(3)0x m x m +-+-=.

设2()(1)(3)f x x m x m =+-+-，问题转化函数()y f x =的图象和x 轴在0到4之间有两个不同的交点，即方程2(1)(3)0x m x m +-+-=在(0,4)上有两个不相等的实根. 所以

2(1)4(3)0

(0)30(4)164(1)3010 4.2

m m f m f m m m ⎧∆=--->⎪

=->⎪⎪

⎨=--+->⎪

-⎪<<⎪⎩

解得m 的取值范围是17

33

m <<.

例3关于x 的实系数二次方程20x ax b ++=的两个实数根为,αβ，证明：①如果||2,||2αβ<<，那么2||4a b <+且||4b <；②如果 2||4a b <+且||4b <，那么||2,||2αβ<<.(1993年全国高考题)