函数法的妙用

函数法的妙用

数学是一门丰富多彩而又博大精深的科学，而数学的心脏是问题。学了数学知识，就要用这些知识去解决相应的实际问题、理论问题。同一个数学问题常常有不同的解法，而有些解法往往妙不可言，令人拍案叫绝，这也是数学解题的魅力所在。在本文里，笔者对利用函数法来解决数学问题做了一些探究。所谓函数法，就是将非函数问题函数化，经过转化后往往能取得化繁为简、化难为易的效果。在数学解题方法中，函数法是一种处理数学问题的重要思路，是将静态的数学问题转化为动态数学问题的有效途径。在很多数学问题解决中，函数法都有着神奇的妙用。

一、函数的单调性在不等式证明中的妙用

【例1】

<

分析：对于这个不等式的常规证明方法是两边平方，然后比较两边的大小。虽然常规解法中规中矩，易于掌握，但如果根号下的数字比较大或根号下的是字母，则常规解法运算量较大，而且比较繁琐，我们看看利用函数的单调性来证明。

证：考虑函数()0)

=≥，

f x x

则()

f x==[]

0,5上递增，

因此(3)(5)

f f

<<

同时，我们由函数()0)

0,5是递增，有

=≥在区间[]

f x x

f f f f f

<<<<，于是我们可以证得有：

(1)(2)(3)(4)(5)

<<<<，

一般地，若1234,,,a a a a R +∈，且满足12341423,a a a a a a a a A <≤<+=+=，

则由函数()0)f x x ==≥在区间0,2A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上递增，显然12,0,2A a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

，从而有12()()f a f a <，于是我们可以证得

<，可想而知，如果按常规方法来证明这个全

由字母组成的式子，将会是一个很繁琐的过程，而我们通过利用函数的单调性，把这一种类型的问题解决了，简单明了。

【例2】 已知0a b >><分析：显然，我们可以通过两边平方，进而比较两边的大小，从而证得不等式。但是如果不是开平方，而是开立方，甚至是开4次方，5次方，那就是很难用这样的常规方法证明了。下面我们利用函数的单调性来证明。

证：考虑幂函数1()(0,01),(0)p p f x x x p x x -=≥<<≥则为减函数，即 ()f x x

在[)0,+∞上为减函数，可推知当[)12,0,x x ∈+∞时，有1212()p p p x x x x +>+

取

120,0,a b x b x =->=>则当12p =>

即证得

<，

同时，我们也可以很容易的证得开立方，开4次方，甚至是开n 次方的情况。 取1

3

p =时，><

取14

p =时，有>，即可证得开4次方的情况：

<

取1p n =

时，有>，即可证得开n 次方的情况：

<一对比开多次方的时候，显然，利用函数的单调性证明本题比常规的方法更行之有效。可以说一次过把这类问题全部证明了。

【例3】 已知三角形的三边长分别为,,a b c ，求证：111a b c a b c +>+++ 分析：这道题当中，我们乍一看，,,a b c 大小是不知道的，无法利用函数的单调性，但是我们仔细一分析，,,a b c 为三角形的三边，所以有

a b c +>，

有了这个关系，我们就可以利用函数的单调性来证明这个不等式了。 证明：考虑函数1()1(0)11x f x x x x

==-<<+∞++，则()f x 在()0,+∞是增函 数，于是由a b c +>可得()()f c f a b <+，

即

111111c a b a b a b c a b a b a b a b

+<=+<++++++++++ 即可证得 111a b c a b c +>+++ 证完这道题后我们来思考一下，假如分母当中的1换成其他数，不等开是否成立呢？当我们用(0)m m >来替换分母中的1,不等式变为

a b c m a m b m c +>+++， 易知函数()x f x m x

=+在()0,+∞是增函数，所以由a b c +>可得()()f c f a b <+，

即

c a b a b a b m c m a b m a b m a b m a m b

+<=+<++++++++++， 即 a b c m a m b m c +>+++也成立 我们继续来研究这个不等式，如果令m a b c =++，显然有

222a b c a b c a b c a b c

+>++++++

笔者在研究过程中更发现当m a b c =++时，这个不等式更深层次的性质： 32224

a b c a b c a b c a b c ++≤++++++， 下面我们还是利用函数的单调性来证明，

我们把m a b c =++代回上面的不等式得：

34a b c m a m b m c ++≤+++ 考虑函数()x f x m x

=+，则 ()11()x m m m f x m g x m x m x

+-==-=-•++， 其中，1()g x m x =+在区间()0,+∞上单调递减，取12,,3

m x a x ==从而有 ()()033m m a g a g ⎛⎫⎡⎤-•-≤ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎣⎦， 即13034m a m a m ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭

， 亦即

330,3()4a m a m m a m ---≤+ 于是33()4a m a m m a m a m

-≤+++ 同理，

33()4b m b m m b m b m -≤+++，33()4c m c m m c m c m -≤+++， 以上三式相加，并注意3333a b c m ++=，有

13334a b c m m m m m m a m b m c m a m b m c m

-⎛⎫++≤+++ ⎪++++++⎝⎭ ＝13()3a b c m a m b m c ⎡⎤-++⎢⎥+++⎣⎦

因此，我们可以得到

34

a b c m a m b m c ++≤+++ 即有32224a b c a b c a b c a b c ++≤++++++成立。

二、 函数法在求数列和中的妙用