最优控制3-1

min ut min u j t q ˆ j t
u u j 1
m
(3-18)
因各控制分量 u j (t )
m
j 1,2,...m 的约束是相互独立的，故可交
换求最小与求和的次序，于是(3-18)式可化为
min ut { min u j t q ˆ j t }
n
18
H 1 f i x(t ), t i (t ) u j (t ){ bij x(t ), t i (t )}
i 1 j 1 i 1
n
m
n
边界条件是：在起始时刻 t0 有
x ˆt0 x0
ˆ f 成立 在终端时刻t
T ˆ tˆf λ v t t f xt f
u ( t )
m
ˆi (t ) u ˆi (t )} 1 f i x ˆ (t ), t ˆ j (t ){ bij x ˆ (t ), t
i 1 j 1 i 1
n
n
ˆi (t ) u j (t ){ bij x ˆi (t )} 1 f i x ˆ (t ), t ˆ (t ), t
j 1 i 1 j 1 i 1
m
n
m
n
分析（3-11） ，定义函数
ˆi (t ) q ˆ j t bij x ˆ (t ), t
i 1 n
j 1,2,..., m
(3-14)
或其等价的 m 维向量
ˆ t ˆ t B T x q ˆ t , t λ
(3-15)
于是(3-11)式可写成
ˆ j t q ˆ j t u j t q ˆ j t u
j 1 j 1 m m
(3-16)
9
(3-16)式意味着函数
ut u j t q ˆ j t
j 1 m
(3-17)
ˆ j (t ) 时达整体最小： 当u j (t ) u
t f
(3-12)
T v H 0 t f t f t t f
协态终值满足横截条件
T ˆ (t ˆf ) λ x t tˆf
(3-13)
T ˆ (t f ) x x
v t t f
8
ˆi (t )} u j t { bij x ˆi (t )} ˆ j t { bij x ˆ (t ), t ˆ (t ), t u
下列关系确定：
ˆ t } ˆ j t sgn{ bij x ˆ t , t u i
i 1 n
j 1,2,..., m
(3-26) (3-27)
方程(3-26)还可写成：
ˆ t } ˆ t } S G N u {q {B T x ˆ t S G N ˆ t , t λ
第三章 最短时间控制系统
1
最短时间控制问题，也叫做时间最优控制问题 由 于 其 性 能 指 标 特 别 简 单 ( 或 是 0, L 1 ; 或 是
t f , L 0 ，其中 t f 自由)，因而研究得最早，所得结果
也最为成熟。
22
§3-1 非线性系统的最短时间控制问题
研究一类非线性系统的最短时间控制问题
(3-30)
(3-31)
n i 1
ˆi t } ˆ j t sgn{ bij x ˆ t , t 3)沿时间最优轨线的哈密顿数是 u
ˆ (t ), u ˆi t bij x ˆi t Hx ˆ (t ), λ ˆ (t ), t 1 fi x ˆ t , t ˆ t , t
i 1 j 1 i 1


n
m
n
(3-32)
ˆ f 下列关系式成立： 4)在终端时刻t
T ˆ ˆ 1 f i x ˆ t , t i t bij x ˆ t , t i t t tˆf v t f i 1 j 1 i 1 n m n ˆf t t
ˆ (t) ，x ˆ (t ) 对λ ˆ (t ) 和 t 之间的确切关系。 不能推出u
16
定理3-1 砰砰原理
ˆ (t) 和 x 设u ˆ (t ) 是问题 3-1 的时间最优控制，并令 λ ˆ (t ) 是
相应的状态和协态。
ˆ 1 (t ), u ˆ 2 (t ),u ˆ m (t ) 应按 若问题是平凡的，则 u ˆ (t ) 各分量 u
i 1 j 1 i 1
n
m
n
(3-10)
ˆi (t )} u j t { bij x ˆi (t )} 即 u ˆ j t { bij x ˆ (t ), t ˆ (t ), t
j 1 i 1 j 1 i 1
m
n
m
n
(3-11)
7
在最优轨线终端处，哈密顿函数的终值是 T ˆ Hx ˆ (t ),λ (t ), u ˆ (t ), t t tˆf t tˆf
(3-1)
或其等价的向量形式
x t f x t , t Bx (t ), t u (t )
其中 f i xt , t 和bij xt , t 对 x(t)和 t 连续可微。寻找一 m 维有 界闭集中的控制向量，满足下列不等式约束
u j (t ) 1 j 1,2,...m
因此， 在问题是平凡的情况下， 时间最优控制的各个分量， 都是时间的分段恒值函数。
17
定理3-2
ˆ (t) 和 x ˆ (t ) 是问题 3-1 的时间最优控制， ˆ (t ) 是其相 λ 定理 3-2 设u
ˆf 是最短时间。若问题是平凡的，则实现最 t 应的状态和协态，
短时间控制的必要条件是： 1)满足定理 3-1
11
平凡时间最优问题
定义 3-1 平凡时间最优问题
设在区间[t0 , tˆf ]中，存在一时间的可数集
ˆf t1 j , t2 j ,....trj t0 , t r 1,2,...; j 1,2,..., m
(3-23)
使得对所有的 j 1,2,..., m，有
0 ˆ q ˆ j t bij x ˆ (t ), t i (t ) i 1 0
ˆ (t ) 满足规范方程组：(3-8)和(3-9) ˆ (t) 和协态 x 2)状态λ
ˆi t } x ˆk t f k x ˆ t , t bkj x ˆ t , t sgn{ bij x ˆ t , t
j 1 i 1
m
n
(3-28)
13
非平凡时间最优问题
定义 3-2 非平凡时间最优问题
设在区间[t0 , tˆf ]中，至少对一个分量，存在一个(或多个)子 区间 t1 , t2 j , t1 , t2 j t0 , tˆf ，使得对所有 t t1, t2 ，有
ˆi (t ) 0 q ˆ j t bij x ˆ (t ), t
i n
(3-25)
则称时间最优问题是非平凡的，而区间t1, t2 则称为非平凡区 间。
14
ˆ j (t ) 在整个子区间t1 , t2 上取零值， 在图 3-2 中，函数q
因而是一非平凡时间最优问题。
15
可见在一非平凡时间最优问题中，存在至少一个这样的时 间子区间，使得由关系式
ˆi t } u ˆ j t sgn{ bij x ˆ t , t
ˆk t
m
(3-29) n n b x t , t ˆ ˆi t } ij ˆi t sgn{ bij x ˆ t , t xk i 1 j 1 i 1 式中 k＝1，2，…，n
f i x ˆ t , t ˆ i t i 1 xk t
u j 1 u j t 1
(3-19)
10
不难看出
u j t 1
min {u j t q ˆ j t } q ˆ j t
(3-20)
ˆ j t 是 q ˆ j t 的下列函数 ： (3-20)式表明，最优控制 u u ˆ j t 1 u ˆ j t 1 u ˆ j t 不定 ˆ j t 0 若q ˆ j t 0 若q ˆ j t 0 若q
T T T
(3-6)
或：
H 1 fi x(t ), t i (t ) u j (t ){ bij x(t ), t i (t )}
i 1 j 1 i 1 n m n
(3-7)
求规范方程组：
m H x f k x ˆ k (t ) ˆ (t ), t bkj x ˆ (t ), t u ˆ j (t ) k j 1
(3-8) (3-9)
n m n b H f ij ˆ i ˆk (t ) ˆi i u i t ˆ j t xk i 1 xk j 1 i 1 xk
6
ˆ (t ), u ˆ (t ), u(t ), t 可得 由 Hx ˆ (t ),λ ˆ (t ), t min Hx ˆ (t ),λ
特点：状态方程的右边对控制 u(t ) 是一次的。
引出平凡系统和非平凡系统的概念 阐明最短时间控制制系统的基本特征。
3
最短时间控制问题的提法
问题 3-1 已知系统的状态方程
x i t f i xt , t bij xt , t u j t
j 1 m
i 1,2,..., n
i 1 n
ˆ (t ) 的函数的最优控制。 ˆ (t ) 和λ 不能定义出作为x
注意：非平凡情况的出现，既不意味着时间最优控制不存