数学物理方法PPT课件
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数学物理方法
x l
2、第二类边界条件 A）、如细 杆的纵振动，
x=a 处受力 0
f(t)
如杆端自由 f(t)=0
x a
B）、热传导 如细杆热传导端
点有热量流出 0
如细杆热传导端 点有热量流入
x a
3、第三类边界条件
如细杆热传导，
一端自由冷却
0
x a
则热流强度与杆端 u|x=a 和周围介质温度差有关系
H k/h
考虑弦的振动方程 表示为：
或：
令：
令：
再积分
对积分
表示以速度a沿x正负方向的行波
函数 f1 和 f2 的确定
考虑定解问题
求导有
积分有
（二）、端点反射
例：求一端固定弦的振动情况 （反射波定解问题）
O
x
代入初始条件
代入边界条件 令
（1）、x at, 即 x - at 0
（2）、x at, 即 x -at 0
例：求解半无限长问题
杆端点自由， 相对伸长量 为0 提示无限长杆u(x,t)是偶函数
提示无限长杆初始位移 (x)和初始 (x)是偶函数
修改为
代入边界条件
令：
例：求定解问题
（ห้องสมุดไป่ตู้）
解：方程（1）对t求导后减去（1）对x求导变化为
解为 代入（1）式有
即
物理意义：
解与达朗贝尔解一致，说明端点的 影响未传到。
为讨论方便计设初速为0
O
x
为入射波。
为反射波。
x =0处为波节。
x =0处入射波与反射波位相相反，有半波损失。
（三）、延拓 半无限长问题
求解中有 提示无限长杆u(x,t)是奇函数
理学数学物理方法PPT课件
z0 | z |
第26页/共30页
复变函数的连续性
称函数w=f(z)在z=z0点连续，如果
1.
f(z0)存在；2.
lim
zz0
f
(z)存在;
3. lim理
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z=x0+iy0，那么f(z)在 z=z0点连续的充分必要条件是函数u(x,y)和 v(x,y)皆在(x0,y0)点连续。
举例
0， z 0
讨论函数
f
(z)
Re | z
z |
,
的连续性 z0
作业：P14 1，2，4
第29页/共30页
感谢观看！
第30页/共30页
无穷远点
第11页/共30页
复数的代数运算
运算
加减法
(x1+ iy1)±(x2+ iy2) = (x1±x2) + i(y1±y2) 由几何图形可知 | z1 | | z2 || z1 z2 |
乘除法
|| z1 | | z2 ||| z1 z2 |
r1eiφ1× r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1+φ2) r1eiφ1/ [r2eiφ2] =( r1/r2 )ei(φ1 -φ2)
有| f(z)-A |< ，则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限，
记为
lim f (z) A
zz0
注意 与实函数的差别?
第25页/共30页
例
证明极限
z lim z0 | z |
不存在.
【 证 明 】 令 z x iy ， 则 沿 正 实 轴 趋 于 零 时 ， lim z lim x 1 ； 而 沿 负 实 轴 趋 于 零 时 ， z0 | z | x x0 lim z lim x 1 ；不同的趋向得到不同的极限值，故原极 z0 | z | x0 (x) 限 lim z 不存在.
第26页/共30页
复变函数的连续性
称函数w=f(z)在z=z0点连续，如果
1.
f(z0)存在；2.
lim
zz0
f
(z)存在;
3. lim理
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z=x0+iy0，那么f(z)在 z=z0点连续的充分必要条件是函数u(x,y)和 v(x,y)皆在(x0,y0)点连续。
举例
0， z 0
讨论函数
f
(z)
Re | z
z |
,
的连续性 z0
作业：P14 1，2，4
第29页/共30页
感谢观看！
第30页/共30页
无穷远点
第11页/共30页
复数的代数运算
运算
加减法
(x1+ iy1)±(x2+ iy2) = (x1±x2) + i(y1±y2) 由几何图形可知 | z1 | | z2 || z1 z2 |
乘除法
|| z1 | | z2 ||| z1 z2 |
r1eiφ1× r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1+φ2) r1eiφ1/ [r2eiφ2] =( r1/r2 )ei(φ1 -φ2)
有| f(z)-A |< ，则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限，
记为
lim f (z) A
zz0
注意 与实函数的差别?
第25页/共30页
例
证明极限
z lim z0 | z |
不存在.
【 证 明 】 令 z x iy ， 则 沿 正 实 轴 趋 于 零 时 ， lim z lim x 1 ； 而 沿 负 实 轴 趋 于 零 时 ， z0 | z | x x0 lim z lim x 1 ；不同的趋向得到不同的极限值，故原极 z0 | z | x0 (x) 限 lim z 不存在.
符号法《数学物理方法》课件-完整清晰
故 L[est ] 1 ps
数学物理方法
例 6.1.4 计算 L[test ] ， s 为常数
解：在 Re p Re s 的半平面上
teste pt dt te( ps)t dt
0
0
1 ps
[te( ps)t ]0
e( ps)t dt
dp
dp 0
0 dp
此可见 f ( p) 在上处处可导，因而是解析的。
数学物理方法
（2）当 p ，而 Argp ( 0) 时， f ( p) 存
2 在且满足 lim f ( p) 0 。
p
证明：
f ( p) f (t)e ptdt f (t)e pt dt
Me 0 tdt M
0
, 0
数学物理方法
6.2.4 拉氏变换基本性质
由 f ( p) f (t)e ptdt 定义的拉氏变换存在如下性质： 0
（1） f ( p) 是在 Re p 0 的半平面上的解析函数。
证明：考察积分 d [ f (t)e pt ]dt ，利用
傅里叶变换，它是一种单 边广义傅里叶变换 。单边指积
分区间为 (0, ) ，广义指它要乘上 et H (t)( 0) 再做
傅里叶变换。
例 6.1.1 计算 L[1] 。
解：在 Re p 0（即 0 ）的半平面上
L[1] 1 e ptdt 1 (Re p 0)
或者
f ( p) f (t) （6.2.7） f (t)≒ f ( p) (6.2.8) （注：有的书上为 f (t) f ( p) ） 注意：原函数 f (t) 应该理解为 f (t)H (t) ，通常 H (t) 省
数学物理方法概论课件
(1) ()x (x) (x) (2) (x y) xy (3) ( )x xx
§ 2.1 线性空间
§ 2 线性空间
四、线性子空间
设V是F上的线性空间，如果 V V
（即 V 是V中的某些向量的集合），且满足：
（1）对任意的 x,y V ,(xy) V
（2）对任意的 F ,x V ,则 x V
定V中的一个元素y, 记为 y x ,数乘满足：
1x x ( ) x ( x ) ( ) x x x (x y) x y
数1的数乘 结合律 左分配律 右分配律
则称V是数域F上的线性空间（向量空间），记为V(F)。 （以上8个公式为线性空间的8个公理）
§ 2.1 线性空间
数学物理方法概论课件
§ 2.1 线性空间
§ 2 线性空间
一、群
设G是一元素集，“.”是某种定义在G上的运算，对任意
aG,bG有 abG 这种运算称为封闭运算。
定义：群为由集合G和封闭运算“.”所组成的系统，记为 G ,
它满足以下三个公理：
（1）运算满足结合律： (ab)ca(bc)
（2） 存在单位元素e，有 e a a e a
§ 2 线性空间
例：n个对象置换的集合。不满足交换律，不是Abel群。 以n=3 为例。该集合包含3！=6个元素，可以表示为
1 1
2 2
33=I
1 3
2 1
23=F
1 2
2 3
13=D
1 2
2 1
33=A
1 1
2 3
23=C
1 3
2 2
13=B
定义一个乘法“*”，其法则是两个置换的乘积仍是一个置换， 运算由右至左连续施行两次。
§ 2.1 线性空间
§ 2 线性空间
四、线性子空间
设V是F上的线性空间，如果 V V
（即 V 是V中的某些向量的集合），且满足：
（1）对任意的 x,y V ,(xy) V
（2）对任意的 F ,x V ,则 x V
定V中的一个元素y, 记为 y x ,数乘满足：
1x x ( ) x ( x ) ( ) x x x (x y) x y
数1的数乘 结合律 左分配律 右分配律
则称V是数域F上的线性空间（向量空间），记为V(F)。 （以上8个公式为线性空间的8个公理）
§ 2.1 线性空间
数学物理方法概论课件
§ 2.1 线性空间
§ 2 线性空间
一、群
设G是一元素集，“.”是某种定义在G上的运算，对任意
aG,bG有 abG 这种运算称为封闭运算。
定义：群为由集合G和封闭运算“.”所组成的系统，记为 G ,
它满足以下三个公理：
（1）运算满足结合律： (ab)ca(bc)
（2） 存在单位元素e，有 e a a e a
§ 2 线性空间
例：n个对象置换的集合。不满足交换律，不是Abel群。 以n=3 为例。该集合包含3！=6个元素，可以表示为
1 1
2 2
33=I
1 3
2 1
23=F
1 2
2 3
13=D
1 2
2 1
33=A
1 1
2 3
23=C
1 3
2 2
13=B
定义一个乘法“*”，其法则是两个置换的乘积仍是一个置换， 运算由右至左连续施行两次。
《数学物理方法》课件
弹性力学方程的求解
总结词
弹性力学方程是描述弹性物体变形和应力分布的偏微分方程 ，通过求解该方程可以了解物体的弹性和稳定性。
详细描述
弹性力学方程的一般形式为 $nabla cdot sigma = f$，其中 $sigma$ 是应力张量，$f$ 是体力密度，$nabla cdot$ 是散 度算子。求解该方程可以得到应力分布、应变能和弹性常数 等。
在工程学中的应用
机械工程
数学物理方法在机械工程 中广泛应用于分析力学、 热传导、流体力学等问题 。
电子工程
在电子工程中，数学物理 方法用于描述电磁波的传 播、散射和吸收等。
土木工程
在土木工程中，数学物理 方法用于分析结构力学、 地震工程等问题。
在经济学中的应用
金融建模
数学物理方法在金融领域中用于 建立复杂的金融模型，如期权定
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数学物理方法将进一步发展，以适应未来科技发展的需求 ，特别是在能源、环境、生物医学等领域。
在此添加您的文本16字
随着人工智能和机器学习的发展，数学物理方法将与这些 技术相结合，以实现更高效、精确的问题解决方案。
06 数学物理方法的实际案例分析
一维波动方程的求解
总结词
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方程，通过求解该方程可以了解波的传播规律 。
这些概念在描述物理现象的变化规律 和求解物理问题中发挥着关键作用， 例如在描述速度、加速度、功和能量 等物理量时。
微积分中的基本概念包括极限、连续 性、导数和积分等。
微分方程
微分方程是描述物理现象变化规律的数学工具，它表示一个或多个未知函数的导数 之间的关系。
微分方程的基本类型包括常微分方程、偏微分方程和积分微分方程等。
数学物理方法第三版.ppt
在极坐标下，先令z沿径向逼近零，
即z ei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
lim
0
u iv
ei
u
i
v
e
i
再令z沿横向逼近于零，
即z ei iei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
i ei lim u iv
u(x, x
y)
v( x, y
y)
v(x, y) u(x, y)
x
y
以上条件为复数z可导的必要条件，又称 为柯西—黎曼条件（简称C-R条件）。
极坐标系下的C-R条件
u
v
u
v
推导极坐标下的C-R方程
证明：由定义可知
u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,)
习题
例一
求解析函数u(x, y) x2 y2的虚部v(x, y)
解：因为：u 2x，u 2 y
x
y
所以：v 2 y，v 2x
x
y
即dv 2 ydx 2xdy
v 2 ydx 2xdy c
既然积分与路径无关，为方便计 算，取如图所示路径积分可得：
Y
(X,Y)
0
(X,0)
X
v
外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则 该点叫作E的外点。
境界线：若Zo及其邻域内既有属于E的点， 也有不属于E的点，则该点为境界 点，境界点的全体称为境界线。
境界线 内点 境界点 外点
区域
区域：（1）点集中的每个点都是内点 （2）点集是连通的，即点集中
的任何两点都可以用一条曲线连接起来 ，且线上的点全属于该点集。
cos z 1 (e2y e2 y ) 2(cos2 x sin2 x) 2
即z ei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
lim
0
u iv
ei
u
i
v
e
i
再令z沿横向逼近于零，
即z ei iei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
i ei lim u iv
u(x, x
y)
v( x, y
y)
v(x, y) u(x, y)
x
y
以上条件为复数z可导的必要条件，又称 为柯西—黎曼条件（简称C-R条件）。
极坐标系下的C-R条件
u
v
u
v
推导极坐标下的C-R方程
证明：由定义可知
u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,)
习题
例一
求解析函数u(x, y) x2 y2的虚部v(x, y)
解：因为：u 2x，u 2 y
x
y
所以：v 2 y，v 2x
x
y
即dv 2 ydx 2xdy
v 2 ydx 2xdy c
既然积分与路径无关，为方便计 算，取如图所示路径积分可得：
Y
(X,Y)
0
(X,0)
X
v
外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则 该点叫作E的外点。
境界线：若Zo及其邻域内既有属于E的点， 也有不属于E的点，则该点为境界 点，境界点的全体称为境界线。
境界线 内点 境界点 外点
区域
区域：（1）点集中的每个点都是内点 （2）点集是连通的，即点集中
的任何两点都可以用一条曲线连接起来 ，且线上的点全属于该点集。
cos z 1 (e2y e2 y ) 2(cos2 x sin2 x) 2
《数学物理方法》第一章.ppt
一元三次方程 x3 px q 0 (其中 p,q 为实数)的求根公
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数，
其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别
为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算？
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
复平面
（几何表示） 虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢？
复数不能 比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=reiθ
i
sin
2
n
wn ?
注意 根式函数是多值函数
例如 记
z
r
cos
2k
2
i sin
2k
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数，
其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别
为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算？
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
复平面
（几何表示） 虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢？
复数不能 比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=reiθ
i
sin
2
n
wn ?
注意 根式函数是多值函数
例如 记
z
r
cos
2k
2
i sin
2k
数学物理方法-绪论PPT课件
-
2
1.数学物理方程（50学时）
Chap.7 数学物理定解问题 (10) Chap.8 分离变数法(12) Chap.9 二阶常微分方程级数解法(10) Chap.10 球函数(10) Chap.11 柱函数(8)
-
3
2.矢量分析与场论(14学时）
Chap.1矢量分析(6) Chap.2场论(8)
2.熟练掌握不同定解条件(初始和边界) 下三类典型偏微分方程的解法 (分离变 数法) 3.掌握基本特殊函数的主要性质和应用
4.掌握矢性函数的计算和场的描述方法
-
6
教材
1.《数学物理方法》梁昆淼 编 2. 矢量分析与场论 谢树艺 编 参考书 1.《数学物理方法》吴崇试 编著 北大 2.《数学物理方程》谷超豪等 编著 复旦 3.《数学物理方法》邵惠民 编著 南大 3.《数学物理方程》季-孝达等编 中科大 7
数学物理方法(Ⅱ)
——是物理和数学相结合的一 门边缘科学,任务是研究物理 对象在数学中的描述
-
1
绪论
一、内容简介
1.数学物理方程（50学时）
——常微分方程、微分积分方程、 偏微分方程（反映物理量在空间中 的分布和随时间的变化规律）
2.矢量分析与场论(14学时）
——矢性函数的运算、标量场和矢
量场的描述方法
-
4
二、课程特点
1.涉及到的数学知识广泛（高等数学、 常微分方程、复变函数、线性代数）
2.涉及到的物理概念多（力学、热学、 电磁学…）
3.应用广泛(电动力学、量子力学、电磁场 理论）
4.计算较繁、计算量较大（掌握常规的分析步骤）
-
Байду номын сангаас
5
三、学习目标
《数学物理方法》第10讲.ppt
4. xJm'(x) mJm(x) xJm1(x);
5.
mJm ( x)
x 2
[J
m
1
(
x)
Jm1( x)];
6.
J
m
'(
x
)
1 2
[J
m
1
(
x)
J
m
1(
x)]
.
证明
d dx
J
m
x
(x
m
)
J
m1( xm
x)
.
Jm(x) xm
k0
k
(1)k (1)2k m !(m k)! 2
x2k
.
d dx
由定解条件及温度有限知
R(b) R( 0)
0
因此
.
Qm
0,
且
R( )
Pm Jm (
)
(0 b)
()
R(b) 0.
此为第一类边界条件下Bessel函数的本征值问题，
进一步的讨论涉及 Bessel 函数的零点等问题。
若 0, (**)式化为 2R '' R m2R 0 .其通解为
方程。它须满足条件 v |x2 y2 b2 0 . 为求其解，将方程 和条件写成极坐标形式。
v
1
v
1
2
v
v
0
,
( b)
v
|
b
Hale Waihona Puke 0.再令 v R( ) ( ) , 代入上式得 '' 0 ()
2R '' R '( 2 ) R 0 . ()
由(*)式及周期条件 ( 2 ) 得特征值 m2 ,
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16.04.2021
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
7
复变函数
更多的例子
w = az2 w = az2 + bz +c w = 1/(az + b) w = √(az + b) w = Ln(az + b) w = sin z w = Arccos z w = ∑ an zn w = ∑ an sin(nωz) w = ∏(1-z2/n2 2) w = ∫exp(-z2)dz
16.04.2021
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
11
复变函数
结构
相同点：
复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。
不同点：
基本实变函数 ▪ xn, x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x)
基本复变函数 ▪ zn, z1/n,exp(z),ln(z)
原因 ▪ cos(z)=(eiz +e-iz)/2, sin(z)=(eiz -e-iz)/2i
乘除法 r1exp(iφ1)× r2exp(iφ2) = r1r2 exp[i(φ1+φ2)]
幂和开方 [r exp(iφ)]n = rn exp(inφ) [r exp(iφ)]1/n = r1/n exp(iφ/n)
复共轭 z = x + iy → z* = x – iy z = r exp(iφ) → z* = r exp(-iφ)
10 -10
u + iv = (x+iy)3 = x3 +3ix2y3xy2 -iy3
u = x3 – 3xy2 ,
v = 3x2y - y3
性质
对称性 无周期性
2000 1000
0 -1000 -2000
-10
10 5 0
无界性
-5
0
-5
单值性
5 10 -10
16.04.2021
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
16.04.2021
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
4
复数
几何表示
关系
x = r cosφ y = r sinφ r = √(x2+y2) φ= Arctan(y/x)
特点
无序性
复数无大小
矢量性
复数有方向
16.04.2021
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
5
复数
运算
加减法 (x1+ iy1)±(x2+ iy2) = (x1±x2) + i(y1±y2)
16.04.2021
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
12
复变函数
100
基本函数
二次函数
定义
w = z2
分析
50 0
-50 -100
-10 -5 0
10 5 0 -5
5 -10
10
u + iv = (x+iy)2 = x2 +2ixy -y2
u = x2 -y2 ,
16.04.2021
周期性
4
▪ exp(z+2 i)= exp(z) 无界性 单值性
2 0 -2 -4
-2
5 2.5 0
-1 0
-2.5
16.04.2021
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
1
-5 2
15
复变= Ln(z)
分析
u + iv = Ln [ r × exp(iφ)] = ln r + iφ
14
复变函数
5
指数函数
定义
w = exp(z)
分析
2.5 0
-2.5 -5
-2 -1 0
5 2.5 0 -2.5
u + iv = exp(x+iy) = exp(x)[cosy +i siny]
1
-5
2
u = exp(x) cos y ,
v = exp(x) sin y
性质
不对称性
映射
相同点
在形式上：y = f(x), w = f(z)
不同点
在变量上：z = x+iy, w = u+iv 在描述上：
▪ 实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表示； ▪ 复变函数不能用一个图形完全表示。
联系
u = u(x,y), v = v(x,y) 可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。
数学物理方法
复变函数论
16.04.2021
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
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复变函数论
复数 复变函数 导数 解析函数 本章小结
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复数
数的扩张（完善化）
自然数 减法不封闭→整数 除法不封闭→有理数 不完备 2 →实数 方程可解性→复数
v = 2xy
性质
对称性 无周期性 无界性 单值性
200 100
0 -100 -200
-10 -5 0
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10
5
0
-5 5
-10 10
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复变函数
三次函数
定义
w = z3
分析
2000 1000
0 -1000 -2000
-10 -5 0
10 5 0
-5 5
定义域和值域
相同点：
都是数集
不同点：
实数集是一维的，可以在(直)线上表示； 复数集是二维的，必须在(平)面上表示。
典型例子：
|x|<2 是连通的， 1<|x|是不连通的； |z|<2是单连通的， 1<|z|是复连通的。
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复变函数
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复数
复数的表示
代数表示
z = x + iy
x = Real(z), y = Imagine(z)
三角表示
z = r (cosφ + i sinφ)
r = |z|, φ= Arg(z)
指数表示
z = r exp(iφ)
exp(iφ) = cosφ + i sinφ
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复变函数
概念
定义
函数：从一个数域(定义域）到另一个数域（值域） 的映射
实变函数：f:x→y 复变函数：f:z→w
举例
f(n) = fn = (1+i)n, n∈N f(z) = zn f(z) = exp(z) f(z) = ln(z)
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复 变 函 数
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复变函数的分类
复变函数（广义）
复数数列
复变函数（狭义）
初等函数
非初等函数
代数函数
超越函数
无限次运算
无限次复合
有理函数
无理函数
级数
无穷乘积
整式
分式
幂级数
傅立叶级数
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9
复变函数
分析与比较