本数值分析习题课

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数值分析(第四版)课后习题及答案

0.30
0.39
0.45
0.53
yj
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条插值 S (x) 并满足条件
i) S(0.25) 1.0000, S(0.53) 0.6868; ii) S(0.25) S(0.53) 0.
25. 若 f (x) C2 a,b, S (x) 是三次样条函数,证明
12. 在 1,1 上利用插值极小化求 1 f (x) tg 1x 的三次近似最佳逼近多项式.
13. 设 f (x) ex 在 1,1 上的插值极小化近似最佳逼近多项式为 Ln (x) ,若 f Ln 有界,
证明对任何 n 1,存在常数 n 、 n ,使
改用另一等价公式
ln(x x2 1) ln(x x2 1)
计算,求对数时误差有多大?
x1 1010 x2 1010 ; x1 x2 2.
14. 试用消元法解方程组
假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
s 1 ab sin c,
0c
15. 已知三角形面积 2
n
x
k j

j1 f (xj )
0,0k n2; an1 ,k n1.
15. 证明 n 阶均差有下列性质:
i) 若 F (x) cf (x) ,则 F x0, x1,, xn cf x0, x1,, xn ;
ii) 若 F (x) f (x) g(x) ,则 F x0, x1,, xn f x0, x1,, xn g x0, x1,, xn .
5.
设 xk

x0

数值分析课后习题及答案

第一章绪论（12）第二章插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。

若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。

数值分析习题课PPT资料43页

历年考题
1、设，取x0=4,x1=9,x2=6.25,则差商 -0.0080808 。（结果保留5位有效数字）
2、给定如下数据： xi 1 2 3 4
f xi 0 5 6 3
试列出三阶差商表，求出f(x)的三次牛顿插值多项式，并利用该多项式计算f(0)的值。（保留三位有效数字）
0.9456909
由复合辛卜生公式可得如下计算公式
S4
1f(0)f(1)2(f(0.25 )f(0.5)f(0.75 ))
24
4(f(0.12)5 f(0.37)5 f(0.62)5 f(0.87)5)
0.9460832
（积分准确值I=0.9460831）
这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计
将区间逐次分半,令区间长度
hba (k0,1,2, ) 2k
计算
T2n
Tn 2
hn1
2k0
f(xk1 2
)
(n 2k )
③ 按加速公式求加速值
梯形加速公式：
Sn
T2n
T2n Tn 3
辛卜生加速公式：
Cn
S2n
S2n Sn 15
龙贝格求积公式：
Rn
C2n
C2n Cn 63
熟练掌握本课程重点方法计算过程）（注3：考试需携带计算器）
1、引论
误差与有效数字（重）p6：例1,2 数值运算的误差估计算法稳定性与病态条件数 p11：例6-8
作业 1、课本（清华版）p19，习题3、4. 2、知近似值x1=1.42，x2=-0.0184，x3=184*10-4
历年考题
1、已知 f( 1 )2 , f(1 ) 1 , f(2 ) 1 ，求f(x)的二次拉格朗日插值多项式，并利用该多项式计算的值。（保留三位有效数字）

数值分析习题课

例1-3 已知f(x) 的五组数据(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、 (5,116),求 N4 (x)。如果再增加一个节点(6,282),求出N5(x)，并计算 N4(1.5)、N5(1.5). 解：先由前五组数据列差商表 1 0 2 2 2 如果，再增加一点(6, 282), 3 12 10 4 就在上表中增加一行计算差商 4 42 30 10 2 5 116 74 22 4 0.5 0.1 6 282 166 46 8 1
结论：通过四舍五入原则求得的近似数，其有效数字就是从末尾到第一位非零数字之间的所有数字。
1 mn x x 10 2
*
例1-2 下列近似数是通过四舍五入的方法得到的，试判定它们各有几位有效数字： x1* =87540，x2*=8754×10, x3*=0.00345, x4*= 0.3450 ×10-2 解：我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数， 1 也可以通过绝对误差限来判断。 x x 10
解: 记f(x)以-1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式为 L3(x)．由插值余项定理有
所以
例4．证明由下列插值条件所确定的拉格朗日插值多项式是一个二次多项式． x0 x2 x4
该例说明了什么问题?( t8) 解: 以x0，x2，x4为插值节点作f(x)的2次插值多项式p(x)，则
容易验证因而6个点(xi, yi)，i＝0 1,…,5均在二次曲线p(x)＝x2-1 上．换句话说，满足所给插值条件的拉格朗日插值多项式为 p(x)＝x2-1.
f ( ) 1 R( x ) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) f ( ) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 3! 6 1 max f ( ) max ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) x0 x x 2 6 x0 x x 2

数值分析(课后习题答案详解).ppt

x x 41 2 0 . 25 0 . 5451 1 1 再解 3 x 0 . 875 ，得 x 1 . 2916 2 2 2 0 3 1 . 7083 . 5694 x x 3 3
4 41 2 T 故得 GG 分解： A 1 2 3 2 2 3 3 3 1 1 16 11 4 2 T 3 1 LDL 分解为： A 1 4 4 1 2 3 1 1 9 1 2 2
一.习题1（第10页）
1-1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.
x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6105.
解绝对误差限分别为: 1=0.510-3,2=0.510-4, 3=0.510-5,4=0.5,5=0.5104 . 相对误差限分别为: r1=0.510-3/5.420=0.00923%, r2=0.00923%,r3=0.0923%,4=0.0083%,5=8.3%. 有效数位分别为: 4位,4位,3位,4位,1位. 1-2.下列近似值的绝对误差限都是0.005,试问它们有
2 11 2 1 2 故得 Crout 分解： A 4 3 13 6 12 1 1
1 2 11 2 1 2 LDM 分解为： A 21 13 3 3 4 1 1 1
几位有效数字. a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032

数值分析课后习题答案 1

1 1 1 1
1 1 ∴ I n = ( − I n −1 ) 4 n
1
I0 = ∫
1 1 dx = ln 5 ≈ 0.402 1+ 4x 4 0
1 1 I1 = (1 − I 0 ) ≈ 0.150, I 2 = (1 − I 1 ) ≈ 0.213 4 4 1 1 I 3 = (1 − I 2 ) ≈ 0.197, I 4 = (1 − I 3 ) ≈ 0.201 4 4
1 (−1) n en = I n − I n = − ( I n −1 − I n −1 ) = ... = n e0 4 4
此算法是数值稳定的。此算法是数值稳定的。定的
f 4 ( x ) = 99 − 70 x , cond ( f 4 ( x )) | x =1.414 = 4949
由计算知，第一种算法误差最小。由计算知，第一种算法误差最小。
10、试导出计算积分 I n = 、 ∫
1ห้องสมุดไป่ตู้
1 1 xn dx ( n = 1, 2, 3, 4) 的递推计算公式 I n = ( − I n−1 ) ，用此递 4 n 1 + 4x 0
的近似值，利用以下四种计算格式， 7、计算 ( 2 − 1)6 的近似值，取 2 ≈ 1.414 。利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小。最小。（ 1）（ 3）
1 ( 2 + 1) 1 (3 + 2 2)3
6
（2） (3 − 2 2 )3 （4） 99 − 70 2
' 解：计算各项的条件数 cond ( f ( x )) =| xf ( x ) | f ( x)
f1 ( x ) =
1 , cond ( f1 ( x )) |x =1.414 = 20.4804 ( x + 1)6

《数值分析》习题课

1 1 1 = 1− + − +L 4 3 5 7
∑ ( −1)
k =1
n
k −1
1 | S n − |≤ 4 2n + 1
π
1 2k − 1
10/18
应用牛顿迭代法于方程 x3 – a = 0, 导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛性并讨论其收敛性。导出求立方根的迭代公式并讨论其收敛性。2-6* * Nhomakorabea*
13/18
练习1 练习将割线法修改为单点迭代公式 f ( xn ) x n+1 = x n − ( x n − x0 ) f ( xn ) − f ( x0 ) 试分析该算法的收敛性. 试分析该算法的收敛性
14/18
练习2 设计多项式乘积(卷积卷积)算法练习设计多项式乘积卷积算法 Pn(x)=a1xn + a2xn-1+ ···+ anx + an+1 Pm(x)=b1xm + b2xm-1+ ···+ bmx + bm+1 表示P 用 [a1 a2 ··· an an+1] 表示 n(x) 用 [b1 b2 ··· bm bm+1] 表示 m(x) 表示P 用 [c1 c2 ··· cn+m cn+m+1] 表示 Pn(x)×Pm(x)
2k
1 f ( x) = − a = 0 x
1 − axk = (1 − ax0 )
1 2k x k = [1 − (1 − ax 0 ) ] a
12/18
所以,当迭代公式收敛。所以当| 1 – a x0| < 1 时，迭代公式收敛。
的二重根,分析牛顿迭代法的例5. 若 x*是f(x)=0的二重根分析牛顿迭代法的的二重根收敛性？收敛性？解: 由于 f(x)=(x – x*)2g(x)

数值分析第一次习题课

第一次习题课
1、已知函数)(x f y =的数据如下表
试作一个三次插值多项式P 3(x ),利用P 3(x )计算3。

2、已知由数据（0，0），（0.5，y ），（1，3）和（2，2）构造出的三次插值多项式(x)的x 3的系数是6，试确定数据y 。

3、求一个次数不高于4次的多项式()p x ,使它满足: (0)0p =，'(0)0p =，
(1)1p =，'(1)1p =，(2)1p =，并写出其余项表达式。

4、已知
010()n
i
i i x x l x x x =-=-∏
，i
x 互异，证明：
1
00
1
1
()1k
n j k j j x x l x x
x -==+-=+-∑
∏。

5、求区间[]0,1 上，带权函数(x)lnx ρ=-的正交多项式序列的前三项。

6、求函数432()251f x x x x =+++在[]1,1-上的3次最佳一致逼近多项式。

7、求函数()f x =[]0,1上的一次最佳平方逼近多项式。

8、已知(),(i 1,2,3,4)i i x y =的观测值为
用最小二乘法求这些数据拟合的二次曲线2012()b f x
b x b x =++ 9、用最小二乘法求一个形如 y A e B x =的经验公式，使与下列数据相拟合
值。

数值分析课后习题答案

x2 6.6667x2 8.205
再解
1
15 56
x31.785,7得 x35.769
1 25069x4 0.47847x4 1.4872
1 x5 5.3718 x5 5.3718
2-10.证明下列不等式:
(1)x-yx-z+z-y; (2)|x-y|x-y;
证明 (1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y
b.用Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=0.
102 x Байду номын сангаасy 1
100y 100
再用列主元Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=1.
x y
y 1
2
2-8.用追赶法求解方程组:
4 1
x1 100
1 4 1
x2 0
3-8.判定求解下列方程组的SOR方法的收敛性.
2 1 0 0 x1 1
1
0 0
2 1 0
1 2 1
0 12
x2 x3 x4
0 00
解直接可验证系数矩阵A是负定矩阵,所以-A是对称
1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位有效数字?
解因为101/2=3.162…=0.3162…10,若具有n位有效数字,则其绝对误差限为0.5 101-n ,于是有
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
1 2
0
12 1,
1 2
1 2
0
12

数值分析课后部分习题答案

证明由差商的定义 (a) 如果 F ( x ) = cf ( x ) ，则
F [ x0 , x1 ,⋯ , xn ] =
=
F [ x1 , x2 ,⋯ , xn ]-F [ x0 , x1 ,⋯ , xn− 1 ] x n − x0
cf [ x1 , x2 , ⋯ , xn ]-cf [ x0 , x1 ,⋯ , xn −1 ] x n − x0 f [ x1 , x2 , ⋯ , xn ]-f [ x0 , x1 ,⋯ , xn−1 ] = cf [ x0 , x1 , ⋯ , xn ] . x n − x0
1 1 1 1 |e( x*)| ≤ × 10m − n = × 10−2 ， |e( y*)| ≤ × 10m − n = × 10 −2 ， 2 2 2 2 1 1 |e( z*)| ≤ × 10 m − n = × 10 −2 ， 2 2 | e( y * z*) |≈| z * e ( y*) + y * e ( z *) |≤ z * | e ( y *) | + y * | e (z *) |
m − n = −3 ，所以， n = 4 ； z * = 0.00052 = 0.52 × 10−3 ，即 m = −3
1 1 × 10m − n = × 10−3 ， 2 2
由有效数字与绝对误差的关系得即
m − n = −3 ，所以， n = 0 .
1 1 × 10m − n = × 10−3 ， 2 2
1 1 ≤ 2.35 × × 10−2 + 1.84 × × 10−2 = 2.095 × 10−2 ， 2 2 1 | e( x * + y * z*) |≈| e( x*) + e( y * z*) |≤ × 10 −2 + 2.095 × 10−2 2 1 = 0.2595 × 10−1 ≤ × 10−1 ， 2

(完整版)数值分析课后习题答案

第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。

线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。

数值分析课后习题答案4

第一章题12给定节点01x =−，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项：（1）（1）3()432f x x x =−+（2）（2）43()2f x x x =−解（1）(4)()0f x =，由拉格朗日插值余项得(4)0123()()()()()()()04!f f x p x x x x x x x x x ξ−=−−−−=；（2）(4)()4!f x =由拉格朗日插值余项得01234!()()()()()()4!f x p x x x x x x x x x −=−−−−(1)(1)(3)(4)x x x x =+−−−.题15证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差01210()()()max ()8x x x x x f x p x f x ≤≤−′′−≤.证由拉格朗日插值余项得01()()()()()2!f f x p x x x x x ξ′′−=−−，其中01x x ξ≤≤，010101max ()()()()()()()()2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤′′′′−=−−≤−−01210()max ()8x x x x x f x ≤≤−′′≤.题22采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p ′==，(1)(1)1p p ′==的插值多项式()p x ：（1）（1）用待定系数法；（2）（2）利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)1p =的插值多项式()p x .解（1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2123()23p x a a x a x ′=++，代入得方程组001231123010231a a a a a a a a a =⎧⎪+++=⎪⎨=⎪⎪++=⎩解之，得01230021a a a a =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=−⎩23()2p x x x ∴=−；（2）先求满足插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)1p =的插值多项式()p x ，由0为二重零点，可设2()p x ax =，代入(1)1p =，得1a =，2()p x x ∴=；再求满足插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)(1)1p p ′==的插值多项式()p x ，可设22()(1)p x x bx x =+−，2()22(1)p x x bx x bx ′=+−+∵，代入(1)1p ′=，得1b =−，2223()(1)2p x x x x x x ∴=−−=−.题33设分段多项式323201()2112x x x S x x bx cx x ⎧+≤≤=⎨++−≤≤⎩是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数,b c 的值.解由(1)2S =得212b c ++−=，1b c ∴+=；223201()6212x x x S x x bx c x ⎧+<<′=⎨++<<⎩，由(1)5S ′=得625b c ++=，21b c ∴+=−；联立两方程，得2,3b c =−=，且此时6201()12212x x S x x b x +<<⎧′′=⎨+<<⎩，(1)8(1)S S −+′′′′==，()S x 是以0,1,2为节点的三次样条函数.题35用最小二乘法解下列超定方程组：24113532627x y x y x y x y +=⎧⎪−=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩.解记残差的平方和为2222(,)(2411)(353)(26)(27)f x y x y x y x y x y =+−+−−++−++−令00f x f y ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，得3661020692960x y x y −−=⎧⎨−+−=⎩，解之得83027311391x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.题37用最小二乘法求形如2y a bx =+的多项式，使与下列数据相拟合：x1925313844y19.032.349.073.397.8解拟合曲线中的基函数为0()1x ϕ=，20()x x ϕ=，其法方程组为0001010001(,)(,)(,)(,)(,)(,)f a f b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠，其中00(,)5ϕϕ=，0110(,)(,)5327ϕϕϕϕ==，11(,)7277699ϕϕ=，0(,)271.4f ϕ=，1(,)369321.5f ϕ=，解之得5320.97265472850.055696a b ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，20.97260.05y x ∴=+.第二章题3确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量地高，并指明求积公式所具有的代数精度：（2）10120113()(()()424f x dx A f A f A f ≈++∫（2）从结论“在机械求积公式中，代数精度最高的是插值型的求积公式”出发，11000013()(224()11133()()4244x x A l x dx dx −−===−−∫∫，11110013()()144()11133()()2424x x A l x dx dx −−===−−−∫∫，11220011()242()31313()4442x x A l x dx dx −−===−−∫∫，10211123()()()(343234f x dx f f f ∴≈−+∫，当3()f x x =时，有左边＝113001()d d 4f x x x x ==∫∫，右边＝3332111232111231()()()()()()3432343432344f f f −+=⋅−⋅+⋅=，左边＝右边，当4()f x x =时，有左边＝114001()d d 5f x x x x ==∫∫，右边＝44421112321112337()()()()()()343234343234192f f f −+=⋅−⋅+⋅=，左边≠右边，所以该求积公式的代数精度为3.题8已知数据表x 1.11.3 1.5xe3.00423.66934.4817试分别用辛甫生法与复化梯形法计算积分 1.51.1x e dx∫.解辛甫生法1.51.1xe dx ∫()1.5 1.13.00424 3.66934.4817 1.477546−≈+×+=；复化梯形法1.51.1xe dx ∫()0.23.00422 3.66934.4817 1.482452≈+×+=.题17用三点高斯公式求下列积分值12041dxx π=+∫.解先做变量代换，设)(1+21=t x ，则1204d 1x x +∫＝112112418d d 124(1)1(1)4t t t t −−⋅=++++∫∫()2225888589994014141≈×+×+×++⎛⎞⎞++⎜⎟⎟⎝⎠⎠3.141068=.第三章用欧拉方法求解初值问题y ax b ′=+，(0)0y =：（1）试导出近似解n y的显式表达式；解（1）其显示的Euler 格式为：11111(,)()n n n n n n y y hf x y y h ax b −−−−−=+=+⋅+故122()n n n y y h ax b −−−=+⋅+⋯⋯100()y y h ax b =+⋅+将上组式子左右累加，得0021()n n n y y ah x x x nhb−−=+++++⋯(02(2)(1))ah h h n h n h nhb =+++−+−+⋯2(1)/2ah n n nhb=−+题10选取参数p 、q ，使下列差分格式具有二阶精度：1111(,)n n n n y y hK K f x ph y qhK +=+⎧⎨=++⎩.解将1K 在点(,)n n x y 处作一次泰勒展开，得11(,)n n K f x ph y qhK =++21(,)(,)(,)()n n x n n y n n f x y phf x y qhK f x y O h =+++()221(,)(,)(,)(,)(,)()(,)()n n x n n n n x n n y n n y n n f x y phf x y qh f x y phf x y qhK f x y O h f x y O h =++++++2(,)(,)(,)(,)()n n x n n n n y n n f x y phf x y qhf x y f x y O h =+++代入，得()21(,)(,)(,)(,)()n n n n x n n n n y n n y y h f x y phf x y qhf x y f x y O h +=++++2231(,)(,)(,)(,)()n n n n x n n n n y n n y y hf x y ph f x y qh f x y f x y O h +=++++而231()()()()()()2n n n n n h y x y x h y x hy x y x O h +′′′=+=+++23()(,())(,())(,())(,())()2n n n x n n n n y n n h y x hf x y x f x y x f x y x f x y x O h ⎡⎤=++++⎣⎦考虑其局部截断误差，设()n n y y x =，比较上两式，当12p =，12q =时，311()()n n y x y O h ++−=.第四章题2证明方程1cos 2x x=有且仅有一实根；试确定这样的区间[,]a b ，使迭代过程11cos 2k kx x +=对一切0[,]x a b ∈均收敛.解设1()cos 2f x x x=−，则()f x 在区间(,)−∞+∞上连续，且11(0)cos 0022f =−=−<，1(cos 022222f ππππ=−=>，所以()f x 在[0,]2π上至少有一根；又1()1sin 02f x x ′=+>，所以()f x 单调递增，故()f x 在[0,]2π上仅有一根.迭代过程11cos 2k k x x +=，其迭代函数为1()cos 2g x x=，[0,]2x π∀∈，110()cos 222g x x π≤=≤≤，()[0,]2g x π∴∈；1()sin 2g x x ′=−，1()12g x ′≤<，由压缩映像原理知0[0,2x π∀∈，11cos 2k kx x +=均收敛.注这里取[,]a b 为区间[0,]2π，也可取[,]a b 为区间(,)−∞+∞等.题5考察求解方程1232cos 0x x −+=的迭代法124cos 3k kx x +=+（１）（１）证明它对于任意初值0x 均收敛；（２）证明它具有线性收敛性；证（1）迭代函数为2()4cos 3g x x=+，(,)x ∀∈−∞+∞，()(,)g x ∈−∞+∞；又22()sin 133g x x ′=−≤<，由压缩映像原理知0x ∀，124cos 3k k x x +=+均收敛；（2）***1*2lim ()sin 03k k k x x g x x x x +→∞−′==−≠−（否则，若*sin 0x =，则*,x m m Z π=∈，不满足方程），所以迭代124cos 3k kx x +=+具有线性收敛速度；题7求方程3210x x −−=在0 1.5x =附近的一个根，证明下列两种迭代过程在区间[1.3,1.6]上均收敛：（１）（１）改写方程为211x x =+，相应的迭代公式为1211k k x x +=+；（２）（２）改写方程为321x x =+，相应的迭代公式为1k x +=解（1）3232211011x x x x x x −−=⇔=+⇔=+，迭代公式为1211k k x x +=+，其迭代函数为21()1g x x =+[1.3,1.6]x ∀∈，2221111.3 1.3906111 1.5917 1.61.6 1.3x ≤≈+≤+≤+≈<，()[1.3,1.6]g x ∴∈；又32()g x x ′=−，333222-0.9103==-0.48831.3 1.6x −−−≤≤，()0.91031g x ′≤<，由大范围收敛定理知0[1.3,1.6]x ∀∈，1211k k x x +=+均收敛；（2）3232101x x x x x −−=⇔=+⇔=1k x +=其迭代函数为()g x =[1.3,1.6]x ∀∈，1.3 1.3908 1.5269 1.6≤≈≤≤≈<，()[1.3,1.6]g x ∴∈；又()g x ′=，00.4912≤≤≤=，()0.49121g x ′≤<，由大范围收敛定理知0[1.3,1.6]x ∀∈，1k x +=均收敛.题5分别用雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代求解下列方程组：1231231235325242511x x x x x x x x x +−=⎧⎪−+=⎨⎪+−=−⎩（2）其雅可比迭代格式为(1)()()123(1)()()213(1)()()312253512221121555k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧⎪=−+⎪⎪=−++⎨⎪⎪=++⎪⎩，取初始向量(0)000x ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，迭代发散；其高斯-塞德尔迭代格式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312253512221121555k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧⎪=−+⎪⎪=−++⎨⎪⎪=++⎪⎩，取初始向量(0)000x ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，迭代发散.第六章题2用主元消去法解下列方程组）12312312323553476335x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解（2）对其增广矩阵进行列主元消元得23553476347634763476235501/31/3105/32/331335133505/32/3301/31/31⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟→→→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠347605/32/33001/52/5⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠回代求解上三角方程组1232333476523331255x x x x x x ⎧⎪++=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩得321214x x x =⎧⎪=⎨⎪=−⎩，所以412x −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠.。

数值分析习题-答案

答案：1.1 求下列各数的具有四位有效数字的近似值, 并指出其绝对误差限和相对误差限根据绝对误差计算相对误差的公式：*2121**.0105.010.01021r n n mn nm a a a a a a x x x ε=⨯≤⨯⨯≤--- (1) 05.10,0498756.10101*11===x x5****52310975.410211012437.005.10101---⨯<==⨯<⨯=-xr εεε(2) 2*22109901.0,990099009900.01011-⨯===x x 5****528-10055.01021109909900.0990100.01011---⨯<==⨯<⨯=-x r εεε(3) 111211==x4***42*310545.4,01021,01112111121--⨯==⨯==-==或或x x r εεε(4) 303.2,302585.2-)1.0ln(*41-===x x4****41310117.2102110414907.0330.2--)1.0ln(---⨯<==⨯<⨯=x r εεε ）（1.2 1.2下列各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似值, 指出它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数。

位效数字，有，位效数字或精确值，有位效数字，有位效数字，有位效数字，有2101,1021100.54101,1021,5000410159.0,1021,50.31410166.0,1021,3015.0310159.0,1021,0315.02*24*3*54*44**44*42**34*40**23*31**1-----------⨯=⨯=⨯=⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯==r r r r r x x x x x εεεεεεεεεε1.3 为了使31的近似值的相对误差不超过0.1%, 问应取几位有效数字? %1.010105.1333.0105.03--**=≤=⨯=⨯≤--n nxx x ，取n=4位有效数字 1.4 怎样计算下列各题才能使得结果比较精确?(1) 2sin)2cos(2sin )sin(εεε+=-+x x x(2) )1(11arctan arctan )1arctan(112++=-+=+⎰+N N N N xdx N N或2)5.0(11++N三个公式计算结果比较1e+001 9.00876529e-003 9.00876529e-003 8.98876404e-003 1e+002 9.90000987e-005 9.90000987e-005 9.89976488e-0051e+003 9.99000001e-007 9.99000001e-007 9.98999751e-007 1e+004 9.99899998e-009 9.99900000e-009 9.99899998e-009 1e+005 9.99991042e-011 9.99990000e-011 9.99990000e-011 1e+006 1.00010961e-012 9.99999000e-013 9.99999000e-013 1e+007 1.00944643e-014 9.99999900e-015 9.99999900e-015 1e+008 -4.33680869e-019 9.99999990e-017 9.99999990e-017 1e+009 7.80625564e-017 9.99999999e-019 9.99999999e-019 1e+010 -6.94973593e-017 1.00000000e-020 1.00000000e-020(3) xx x x x x x x x x x cos 1sin sin )cos 1(sin sin )cos 1()cos 1)(cos 1(sin cos 12+=+=++-=- (4) oo oo o o o21sin 21cos 11cos 11sin 1cos 11cos 11cos 1222=-+=+-=-或 (5) +⨯+⨯+=-9-6-3-001.010311021101！！e(6))11010ln()11010(1ln)11010()11010)(11010(ln)11010ln(848484848484-+-=-+=-+-+--=--1.5 求方程01562=+-x x 的两个根, 使至少具有四位有效数字。

数值分析课后习题及答案

数值分析课后习题及答案第一章绪论（12）第二章插值法（40-42）2、当时，，求的二次插值多项式。

[解]。

3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 [解]若取，，则，，则，从而。

若取，，，则，，，则，从而补充题：1、令，，写出的一次插值多项式，并估计插值余项。

[解]由，可知，，余项为，故。

2、设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。

[解]由插值余项定理，有，从而。

5、给定数据表：，1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。

[解]一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 1 42 1 -34 0 6 17 1 0 由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为。

第三章函数逼近与计算（80-82）26、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。

19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8[解]由。

又，，，故法方程为，解得。

均方误差为。

27、观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t（秒）0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s（米）0 10 30 5080 110 [解]设直线运动为二次多项式，则由。

，。

又，，，故法方程为，解得。

故直线运动为。

补充题：1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表：I ……U ……试用最小二乘原理确定电阻R的大小。

[解]电流、电阻与电压之间满足如下关系：。

应用最小二乘原理，求R使得达到最小。

对求导得到：。

令，得到电阻R为。

2、对于某个长度测量了n次，得到n个近似值，通常取平均值作为所求长度，请说明理由。

[解]令，求x使得达到最小。

对求导得到：，令，得到，这说明取平均值在最小二乘意义下误差达到最小。

数值分析习题课

1
y?
式时应转变成
x ? 1 ? x 计算。
2、插值法
? 线性插值（重）p28：例2 ? 抛物线插值 ? 拉格朗日插值多项式 ? 均差（重）p31：均差表，p32：例题4 ? 均差与牛顿插值（重） ? 诶尔米特插值 ? 分段线性插值 ? 三次样条插值（重）p44：例7与课件中例题的区别
复习题
1.构造拉格朗日多项式p(x) 逼近f(x)=x 3，要求：（1）节点x为-1,1，做线性插值。（2）节点x为-1,0,1，做抛物插值。（3）节点x为-1,0,1,2，做三次插值。
1
R2 ? 63 C4 ? 63 C2 ? 3.14159
由于 R2 ? R1 ? 0.00001 ，于是有
14
? I ? 0 1 ? x2 dx ? 3.14159
4、解线性方程组直接法
? 高斯消去法（重：p143，例2） ? 列主消元法（重：p148，例4） ? LU分解 ? 平方根法 ? 追赶法 ? 向量和矩阵范数（重） ? 矩阵的条件数（重）
辛卜生公式计算定积分
1 sin x
I ? ?0 x dx
解:首先计算出所需各节点的函数值 ,n=8时，
h ? 1 ? 0.125 8
由复合梯形公式可得如下计算公式：
T8
?
1 ?f
16
(0)
?
2f
(0.125)
?
2f
(0.25)
?
2f
(0.375)
?
2
f
(0.5)
? 2 f (0.625) ? 2 f (0.75) ? 2 f (0.875) ? f (1)?
历年考题
? 1、设，取x0=4,x1=9,x2=6.25,则差商 -0.0080808 。（结果保留5位有效数字）

数值分析ex12-13《数值分析》习题课 II

J
1

1
2 1
2 2
假设
则有
J
k
k
k
k
k 1 k

k 1 k

k 1 1
k ( k 1 ) k 1
(3)对矩阵序列{ Xk }，有误差估计式
|| X
k
A
1
||
1 1 q
|| X
k 1
X
k
||
18/20
| a kk |
|a
j1 j k
n
kj
|
这与主对角占优矛盾, 故det(A) ≠0。
Ex2.设A对称且a11≠ 0,经过高斯消元法一步后,A约
化为
a 11 0
a 11 A 1
1
T
A2
m1
1 a 11
1
证明A2 也是对称矩阵。证明:设
T 1
|(D– L ) – U | = 0
a 12
行列式对应的矩阵为
a 11 a 21 C ( ) a n1
a 22

a n2
a 1n a 2n a nn
当| | > 1时，利用A矩阵的主对角占优性质，得
1 a 11

T
所以, A2 = A2T
思考:
1.若A是对称正定矩阵,经高斯消元一步后,右下角子矩阵A2也是对称正定矩阵; 2.若A为对角占优矩阵，经过高斯消元法一步后，右下角子矩阵A2也是对角占优矩阵。
5/20
Ex3.对任何一种矩阵的算子范数,证明矩阵A的谱半

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