2012高考数学(理)二轮备考试题：第一部分专题1第三讲专题针对训练
2012届高三二模考试数学试卷(理)及答案
2012届高三模拟考试数学试题数学试题（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数(1)i ai ⋅+是纯虚数，则实数a 的值是（ ）A. 1B. 1-C.0D. 0或1-2．已知集合{||2,A x x x =≤∈R },{2,B x x =≤∈Z },则A B = （ ）A. (0,2)B. [0,2]C. {0, 2}D. {0,1,2}3．设25025..12,25,()2.a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（C ）A.a c b >>B. c a b >>C. a b c >>D.b a c >>4．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为. A. 1 B. 3 C 6 D. 25．设向量(1,0)a = ，11(,)22b = ，则下列结论正确的是 ( )A.a b =B.2a b ⋅= C. a ∥b D. a b - 与b 垂直6．执行如图1所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围（ ）A.715816P <≤ B. 1516P > C. 715816P ≤< D.3748P <≤ 7. 下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>； ③从总体中抽取的样本12221111(,),(,),,(,),,n nn n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑ 若记，则回归直线y =bx a +必过点（,x y ）④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>= 其中正确的个数有： （ ）A ．0个B ． 1 个C ．2 个D ．3个8. 定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设111sgn()1sgn()122()()22x x f x f x -+-+=⋅+2()f x ⋅，[0,1]x ∈，其中1()f x =12x +, 2()f x ⋅=2(1)x -, 若1[()][0,)2f f a ∈，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(0,]4B. 11(,)42C. 11(,]42D. 3[0,]8二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分.(一)必做题(9～13题)9．. 已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记AOB α∠=, 若点A的纵坐标为35．则s i n α=_____________;tan(2)πα-=_______________.10．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且被y 轴截得的弦长等于2的圆的方程为__________________.11．从如图所示的长方形区域内任取一个点()y x M ,，则点M 取自阴影部分的概率为____________.12．已知,x y 满足约束条件5000x y x y y ++⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则24z x y =+的最小值是_________.13.设()11f x x x =-++，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______________________.(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，DE AD =，6,8==BD AB ,则ADAC= ;15．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 方程是11x ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数），,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为1ρ=，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =，且1S ，22S ，33S 成等差数列. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 前n 项和n T ．17．(本小题满分14分) 有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为ξ. （１）求0ξ=的概率； （２）求ξ的分布列和数学期望.18．(本小题满分14分)如图5(1)中矩形ABCD 中，已知2AB =，AD =MN 分别为AD 和BC 的中点，对角线BD 与MN 交于O 点，沿MN 把矩形ABNM 折起，使平面ABNM 与平面MNCD 所成角为60 ，如图5(2).（1） 求证：BO DO ⊥；（2） 求AO 与平面BOD 所成角的正弦值.OABDC MNABDCMNO图6B A19．(本小题满分12分)在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中2c =，且cos cos 1A bB a == (1)求证：ABC ∆是直角三角形；(2)如图6，设圆O 过,,A B C 三点，点P 位于劣弧AC ︿上，求PAC ∆面积最大值.20.(本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线2x =的距离之比是2，设动点P 的轨迹为1C ，Q 是动圆2222:C x y r +=(12)r <<上一点. （1）求动点P 的轨迹1C 的方程； （2）设曲线1C上的三点1122(,),(,)A x y B C x y 与点F 的距离成等差数列，若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ；（3）若直线PQ 与1C 和动圆2C 均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距离PQ 的最大值.21．(本小题满分14分)已知函数()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值. （１）求实数m 的值；（２）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在，且1a >-，则存在0(,)x a b ∈，使得0()()()f b f a f x b a-'=-.试用这个结论证明：若121x x -<<，函数121112()()()()()f x f x g x x x f x x x -=-+-，则对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >；（３）已知正数12,,,n λλλL ，满足121n λλλ+++=L ，求证：当2n ≥，n N ∈时，对任意大于1-，且互不相等的实数12,,,nx x x L ，都有1122()n n f x x x λλλ+++>L 1122()()()n n f x f x f x λλλ+++L .2012届高考模拟测试数学试题(理科)参考答案和评分标准一．选择题：CACBD ABB二填空题：9.35（2分）247（3分） 10. 22(1)2x y -+= 11. 13 12. 15- 13. 33(,][,)22-∞-+∞ 14. 4315.1三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本题满分14分)解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，……………1分若1q =，则111S a ==，21244S a ==，31399S a ==，故13231022S S S +=≠⨯，与已知矛盾，故1q ≠，………………………………………………2分从而得1(1)111n nn a q q S q q--==--，………………………………………………4分由1S ，22S ，33S 成等差数列，得132322S S S +=⨯，即321113411q q q q--+⨯=⨯--， 解得13q =……………………………………………5分 所以11113n n n a a q--⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.………………………………………………6分（2）由（１）得，11()3n n n b a n n -=+=+，………………………………7分 所以12(1)(2)()n n T a a a n =++++++1(1)(1)(12)12n n b q n nS n q -+=++++=+- ………………………………10分2111()(1)333.12213n n n n n n --+++-=+=-……………………………12分 17．(本题满分12分)（１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，61(0)6010P ξ=== … （3分） （２）由（1）可知1(0)10P ξ==；11(1)30P ξ==；2(2)5P ξ==；2(3)15P ξ== … （7分）… （10分）E ξ=0×110+1×1130+2×25+3×215=4730 …（12分）18(本题满分14分)解：（1）由题设，M ，N 是矩形的边AD 和BC 的中点，所以AM ⊥MN, BC ⊥MN, 折叠垂直关系不变，所以∠AMD 是平面ABNM 与平面MNCD 的平面角，依题意，所以∠AMD=60o ， ………………………………………………………………………………………………………２分 由AM=DM ，可知△MAD 是正三角形，所以AD=2，在矩形ABCD 中，AB=2,AD=所以，，由题可知，由勾股定理可知三角形BOD 是直角三角形，所以BO ⊥DO ……………………………………………………………………………………… 5分解（２）设E ，F 是BD ，CD 的中点，则EF ⊥CD, OF ⊥CD, 所以，CD ⊥面OEF, OE CD⊥ 又BO=OD ，所以OE ⊥BD, OE⊥面ABCD, OE ⊂面BOD , 平面BOD ⊥平面ABCD过A 作AH ⊥BD ，由面面垂直的性质定理,可得AH ⊥平面BOD ，连结OH ，…………………… 8分 所以OH 是AO 在平面BOD 的投影，所以∠AOH 为所求的角,即AO 与平面BOD 所成角。
2012大纲全国卷高考数学(理)试题及答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。
考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
第I卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题1、复数131ii-++=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A＝{1.3. }，B＝{1，m} ,A B＝A, 则m=A 0B 0或3C 1D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A 2BCD 1（5）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100（6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B ） (C) (D)（7）已知α为第二象限角，sin α＋sin βcos2α=(A) -3 （B ）-9 (C) 9 (D)3（8）已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45（9）已知x=ln π，y=log 52，12z=e ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x (10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝ （A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73。
(推荐)2012高考全国2卷数学理科试题及答案详解
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理科数学(全国二卷）一、选择题1、 复数131i i-++= A 2+i B 2-i C 1+2i D 1- 2i2、已知集合A ＝}，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m=A 0B 0或3C 1D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24y =14 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列1n a 1+n a 的前100项和为 (A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a CB =→,b CA=→,a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则=→AD (A)b a 31-31（B ）b a 32-32 (C)b a 53-53 (D)b a 54-54（7）已知α为第二象限角，sin α＋sin β=3，则cos2α=(A) （B ） （8）已知F 1、F 2为双曲线C ：2-x 22=y 的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45（9）已知x=ln π，y=log 52，12z=e ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x(10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73。
2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）一、 选择题（1）、复数131i i-++= A. 2 B. 2 C. 12 D. 12i i i i +-+- 【考点】复数的计算【难度】容易【答案】C 【解析】13(13)(1)24121(1)(1)2i i i i i i i i -+-+-+===+++-. 【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
（2）、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m } ,A B ＝A , 则m =A. 0或3B. 0或3C. 1或3D. 1或3【考点】集合【难度】容易【答案】B【解析】(1,3,),(1,)30,1()3A B A B A A m B m m A m m m m m m ⋃=∴⊆==∴∈∴==∴===或舍去.【点评】本题考查集合之间的运算关系，及集合元素的性质。
在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。
（3） 椭圆的中心在原点，焦距为4， 一条准线为x =﹣4 ，则该椭圆的方程为 A. 216x +212y =1 B. 212x +28y =1 C. 28x +24y =1 D. 212x +24y =1 【考点】椭圆的基本方程【难度】容易【答案】C【解析】椭圆的一条准线为x =﹣4,∴2a =4c 且焦点在x 轴上，∵2c =4∴c =2，a =22∴椭圆的方程为22=184x y + 【点评】本题考查椭圆的基本方程，根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。
在高二数学（理）强化提高班，第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解，其中在第02讲有相似题目的详细讲解。
高考数学(理)二轮备考试题：第一部分专题5第二讲专题针对训练
专题针对训练一、选择题1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y －2＝0，则a 的值是( )A.18B ．－18C ．8D ．－8解析：选B.将抛物线的方程化为标准形式x 2＝1a y ，其准线方程是y ＝－14a ＝2，得a ＝－18. 2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( ) A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1 解析：选B.椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为(±3，0)，因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除A 、C.又双曲线x 22－y 2＝1经过点(2,1)，故选 B.3．(2011年高考辽宁卷)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34B ．1C.54D.74解析：选C.∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54. 4．(2011年湖南湘西联考)已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20解析：选B.由双曲线的定义可知，|AF 2|－|AF 1|＝2m ，|BF 2|－|BF 1|＝2m ，所以(|AF 2|＋|BF 2|)－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4m ，|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4m ，|AF 2|＋|BF 2|＝4＋4m .又|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝20，即4＋4m ＋4＝20.所以m ＝9.5．(2011年高考山东卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 解析：选A.∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3b a 2＋b2＝2，∴5b 2＝4a 2.① 又∵x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)， ∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1. 二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．解析：设右焦点为F (4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15，即M (3，±15)．由两点间距离公式得|MF |＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4.答案：47．线段AB 的长度为10，它的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动，则AB 中点P 的轨迹方程是__________．解析：设A 、B 的坐标分别为(a,0)、(0，b )，∵|AB |＝10，∴a 2＋b 2＝10，a 2＋b 2＝100.设P 的坐标为(x ，y )，由中点公式，得x ＝a 2，y ＝b 2，∴a ＝2x ，b ＝2y . 把a ＝2x ，b ＝2y 代入a 2＋b 2＝100，整理得x 2＋y 2＝25.即P 点的轨迹方程是x 2＋y 2＝25.答案：x 2＋y 2＝258．已知抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点F 恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，且两曲线的公共点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为__________．解析：由题意F (－p 2，0)， 设椭圆的右焦点为M ，椭圆与抛物线的一个交点为A ，则|AF |＝p ，|FM |＝p ，∴|AM |＝2p .∴椭圆长半轴长a ＝|AF |＋|AM |2＝2＋12p ，椭圆的半焦距c ＝p 2.∴椭圆的离心率e ＝c a＝12＋1＝2－1. 答案：2－1 三、解答题 9．已知，抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32，6)，求抛物线与双曲线方程． 解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4c ·x ， ∵抛物线过点(32，6)， ∴6＝4c ·32. ∴c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(32，6)， ∴94a 2－6b2＝1. 又a 2＋b 2＝c 2＝1，∴94a 2－61－a 2＝1， ∴a 2＝14或a 2＝9(舍)． ∴b 2＝34， 故双曲线方程为4x 2－4y 23＝1. 10．(2011年高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程． 解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以(a －c )2＋b 2＝2c .整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0， 得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧ x 1＝0，y 1＝－3c ，或⎩⎨⎧ x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )， 所以|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫85c 2＋⎝⎛⎭⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c . 圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2. 因为d 2＋⎝⎛⎭⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16. 整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2. 所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1. 11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且与椭圆x 2＋y 22＝1有相同的离心率，斜率为k 的直线l 经过点M (0,1)，与椭圆C 交于不同的两点A 、B.(1)求椭圆C 的标准方程； (2)当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时，求k 的取值范围． 解：(1)∵椭圆C 的焦距为4，∴c ＝2.又∵椭圆x 2＋y 22＝1的离心率为22， ∴椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2a ＝22， ∴a ＝22，b ＝2，∴椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 28＋y 24＝1消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0. ∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2. 由(1)知椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2,0)，∵右焦点F 在圆的内部，∴AF →·BF →<0，∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2<0.即x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1<0.∴(1＋k 2)x 1x 2＋(k －2)(x 1＋x 2)＋5＝(1＋k 2)·－61＋2k 2＋(k －2)·－4k 1＋2k 2＋5＝8k －11＋2k 2<0. ∴k <18. 经检验，当k <18时，直线l 与椭圆C 相交，1∴直线l的斜率k的取值范围为(－∞，8)．。
2012年高考试题理科数学(北京卷)——含答案及解析 免费
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、 选择题共8小题。
每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1.已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A∩B=A. （﹣∞，﹣1）B. （﹣1，﹣23）C.（﹣23,3） D. (3,+∞) 【考点】集合【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系。
在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
2.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A . 4πB . 22π- C. 6π D. 44π- 【考点】概率【难度】容易【点评】本题考查几何概率的计算方法。
在高二数学（理）强化提高班，第三章《概率》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。
3.设a ，b ∈R .“a =O ”是“复数a +b i 是纯虚数”的A .充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【考点】复数的计算【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
4.执行如图所示的程序框图，输出S值为A. 2B. 4C. 8D. 16【考点】算法初步【难度】中等【点评】本题考查几何概率的计算方法。
在高二数学（理）强化提高班上学期，第一章《算法初步》有详细讲解，其中第02讲有完全相似的题目。
2012年高考理科数学大纲卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共16页）数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）理科数学(必修＋选修Ⅱ)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至4页.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项：1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效．．．．．．．．．. 3.第Ⅰ卷共12小题,每小题5分,共60分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.一、选择题1.复数-13i1i=＋＋( )A .2i ＋B .2i －C .2i 1＋D .2i 1－ 2.已知集合{1,3,}A m =,{1,}B m =,A B A =,则m =( )A .0或3B .0或3C .1或3D .1或33.椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为 ( )A .2211612x y +=B .221128x y +=C .22184x y +=D .221124x y += 4.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,2AB =,122CC =,E 为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A .2B .3C .2D .15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,55a =,515S =,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为( ) A .100101B .99101C .99100D .1011006.ABC △中,AB 边的高为CD ,若CB =a ,CA =b ,0=a b ,1=|a |,2=|b |,则AD =( )A .1133－a bB .2233－a bC .3355－a b D .4455－a b7.已知α为第二象限角,3sin cos 3αα+=,则cos2α=( ) A .53-B .59-C .59D .538.已知F 1、F 2为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点P 在C 上,122PF PF =,则 12cos F PF ∠=( ) A .14B .35C .34D .459.已知ln πx =,5log 2y =,12e z -=,则( )A .x y z <<B .z x y <<C .z y x <<D .y z x << 10.已知函数33y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点,则c =( ) A .-2或2B .-9或3C .-1或1D .-3或111.将字母a ,a ,b ,b ,c ,c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名 ______ 准考证号 ___同,则不同的排列方法共有( ) A .12种B .18种C .24种D .36种12.正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,37AE BF ==.动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为( ) A .16B .14C .12D .102012年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）理科数学(必修＋选修Ⅱ)第Ⅱ卷注意事项：1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答,在试．．题．卷上作答无效．．．．．．. 3.第Ⅱ卷共10小题,共90分.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上. （注意：在试．．题．卷上作答无效．．．．．．） 13.若x 、y 满足约束条件1030330x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥，≤，≥，则3z x y =-的最小值为 .14.当函数sin 3cos (02π)y x x x =-<≤取得最大值时,x = .15.若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21x 的系数 为 .16.三菱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等,o 1160BAA CAA ∠=∠=,则异面直 线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 .三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,已知()cos cos 1,2A C B a c -+==, 求C .18.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,PA ⊥ 底面ABCD ,22AC =,2PA =,E 是PC 上的一点,2PE EC =.（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ；（Ⅱ）设二面角A PB C --为90,求PD 与平面 PBC 所成角的大小.19.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 乒乓球比赛规则规定：一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.（Ⅰ）求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ的期望. 20.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()cos f x ax x =+,[0,π]x ∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()1sin f x x +≤,求a 的取值范围.21.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）数学试卷 第5页（共16页）数学试卷 第6页（共16页）已知抛物线2:(1)C y x =+与圆()2221:1()(0)2M x y r r -+-=>有一个公共点A ,且在A 处两曲线的切线为同一直线l .（Ⅰ）求r ； （Ⅱ）设,m n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线,m n 、的交点为D ,求D 到l 的距离.22.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 函数2()23f x x x =--,定义数列{}n x 如下：12x =,1n x +是过两点P （4,5）、(,())n n n Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标. （Ⅰ）证明：123n n x x +<<≤； （Ⅱ）求数列{}n x 的通项公式.2012年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）理科数学(必修＋选修Ⅱ)答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】C【解析】13i (13i)(1i)24i12i 1i (1i)(1i)2-+-+-+===+++- 故选答案C ．【提示】把13i1i-++的分子分母都乘以分母的共轭复数，得(13i)(1i)(1i)(1i)-+-+-，由此利用复数的代数形式的乘除运算，能求出结果 【考点】复数 2.【答案】B 【解析】AB A =，B A ⊆，{1,3,}A m =，{1,}B m =，m A ∈，故m m =或3m =，解得0m =，或3m =，或1m =，又根据集合元素的互异性1m ≠，所以0m =或3m =． 故选答案B ．【提示】由题设条件中本题可先由条件AB A =得出B A ⊆，由此判断出参数m 可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项 【考点】集合 3.【答案】C【解析】因为242c c =⇔=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上且22448a a c c=⇔==，所以222844b a c =-=-=． 故选答案C ．【提示】确定椭圆的焦点在x 轴上，根据焦距为4，一条准线为4x =-，求出几何量，即可求得椭圆的方程【考点】椭圆的标准方程和简单几何性质． 4.【答案】D【解析】因为底面的边长为2，高为22，且连接AC ，BD ，得到交点为O ，连接EO ，1EOAC ，则点1C 到平面BED 的距离等于C 到平面BED 的距离，过点C 作CH OE ⊥，则CH 即为所求，在三角形OCE 中，利用等面积法，可得1CH = 故选答案D ．【提示】先利用线面平行的判定定理证明直线1C A BDE ∥平面，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可 【考点】线面距离． 5.【答案】A【解析】由n S ，55a =，515S =可得：1114515415152na d a a n d a d +=⎧=⎧⎪⇔⇒=⎨⎨⨯=+=⎩⎪⎩，()1111111n n a a n n n n +==-++10011111110011223100101101101S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【提示】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求1a ，d ，进而可求n a ， 代入可得()1111111n n a a n n n n +==-++，裂项可求和 【考点】等差数列6.【答案】D【解析】由0a b =可得90ACB ︒∠=，故5AB =，用等面积法求得255CD =，所以455AD =，故()44445555AD AB CB CA a b ==-=-，故选答案D ．【提示】由题意可得，CA CB ⊥，CD AB ⊥，由射影定理可得，2AC AD AB =可求AD ，进而可求ADAB，从而可求AD 与AB 的关系，进而可求 【考点】向量 7.【答案】A【解析】3sin cos 3αα+=，两边平方可得121sin2sin233αα+=⇒=-，（步骤1）α是第二象限角，因此s i nα>，cos 0α<，2215cos sin (cos sin )133αααα-=--=-+=-，225cos2cos sin (cos sin )(cos sin )3ααααααα∴=-=+-=-．（步骤2） 【提示】由α为第二象限角，可知sin 0α>，cos 0α<，从而可求得15cos sin 3αα-=-，利用cos2(cos sin )(cos sin )ααααα∴=+-可求得cos2α 【考点】三角函数 8.【答案】C【解析】由题意可知，2a b ==，2c =，(步骤1)设12PF x =，2PF x =，则12222PF PF x a -===，故142PF =，222PF =，124F F =，(步骤2)利用余弦定理可得22222212121122(42)(22)43||24222242P P F PF F F PF F F PF P =+-+-==⨯⨯．(步骤3)【提示】根据双曲线的定义，结合122||PF PF =，利用余弦定理，即可求12cos F PF ∠的值【考点】双曲线 9.【答案】D【解析】ln π>lne=1，551log 2log 52<=，12111e 2e 4z ==>=，故选答案D ． 【提示】利用ln π>lne=1，510log 22<<，1211e 2z ->=>，即可得到答案【考点】对数函数 10.【答案】A【解析】因为三次函数的图像与x 轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求．而2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+，当1x =±时取得极值由()0f x =或(1)0f -=可得20c -=或20c +=，即2c =±．【提示】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数33y x x c -=+的图像与x 轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c 的值【考点】函数图像的判断，利用导数求函数的极值． 11.【答案】A【解析】利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有3种，再填写右上角的数为2种，在填写第二行第一列的数有2种，一共有32212⨯⨯=．【提示】由题意，可按分步原理计数，对列的情况进行讨论比更简洁 【考点】排列，组合的应用． 12.【答案】B【解析】结合已知中的点E ，F 的位置，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可．【提示】通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可数学试卷 第9页（共16页）数学试卷 第10页（共16页）【考点】反射原理，三角形相似．第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】1-【解析】利用不等式组，做出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点(3,0)时，目标函数最大，当目标函数过点(0,1)时最小为1-．【提示】做出不等式组表示的平面区域，由3z x y =-可得3y x z =-，则z -表示直线30x y z --=在y 轴上的截距，截距越大z 越小，结合图形可求【考点】二元线性规划求目标函数的最值． 14.【答案】5π6【解析】由πsin 3cos 2sin 3y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，（步骤1）由ππ5π02π333x x ≤<⇔-≤-<可知π22sin 23x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，（步骤2）当且仅当π3π32x -=即11π6x =时取得最小值，ππ32x -=时即5π6x =取得最大值 【提示】利用辅助角公式将sin 3cos y x x =-化为π2sin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(02π)x ≤<，即可求得sin 3cos y x x =-，(02π)x ≤<取得最大值时x 的值 【考点】三角函数的定义域，值域，两角差的正弦 15.【答案】56【解析】根据已知条件可知26C C 268nnn =⇔=+=，（步骤1）所以81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为8218C r rr T x -+=，令8225r r -=-⇔=所以所求系数为58C 56=．（步骤2）【提示】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n 的值，根据通项可求满足条件的系数【考点】二项式定理． 16.【答案】66【解析】设该三棱柱的边长为1，依题意有11AB AB AA =+，11BC AC AA AB =+-，则22221111()222cos603AB AB AA AB AB AA AA ︒=+=++=+=2222211111()2222BC AC AA AB AC AA AB AC AA AC AB AA AB =+-=+++--=而1111()()AB BC AB AA AC AA AB =++-11111AB AC AB AA AB AB AA AC AA AA AA AB =+-++-11111112222=+-++-= 11111116cos ,623AB BC AB BC AB BC ∴===⨯【提示】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值即可【考点】异面直线所成的角，向量的数量积运算． 三、解答题 17.【答案】π6C =【解析】由ππ()A B C B A C ++=⇔=-+，（步骤1） 由正弦定理及2a c =可得sin 2sin A C =所以cos()cos cos()cos[π()]cos()cos()A C B A C A C A C A C -+=-+-+=--+cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C A C A C =+-+=（步骤2）故由cos()cos 1A C B -+=与sin 2sin A C = 可得22sin sin 14sin 1A C C =⇒=（步骤3） 而C 为三角形的内角且2a c c =>，故π02C <<，所以1sin 2C =，故π6C =．（步骤4）【提示】由cos()cos cos()cos()1A C B A C A C -+=--+=，可得2sin sin 1A C =，由2a c =及正弦定理可得sin 2sin A C =，联立可求C【考点】正弦定理，两角和与差的余弦，诱导公式．18.【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）π6【解析】设ACBD O =，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A -，(2,0,0)C ，(2,0,2)P -，设(0,,0)B a -，(0,,0)D a ，(,,)E x y z ．（Ⅰ）证明：由2PE EC =得22,0,33E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，（步骤1） 所以()22,0,2PC =-，22,,33BE a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(0,2,0)BD a =，所以22(22,0,2),,033PC BE a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，(22,0,2)(0,2,0)0PC BD a =-=．所以PC BE ⊥，PC BD ⊥，所以PC ⊥平面BED ；（步骤2）（Ⅱ）设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，又(0,0,2)AP =，(2,,0)AB a =-，由0n AP =，=0n AB 得21,,0n a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，（步骤3） 设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，又(2,,0)B C a =，(22,0,2)CP =-，由0m B C =0m C P =，得21,,2m a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 由于二面角A PB C --为90︒，所以0m n =，解得2a =．所以(2,2,2)PD =-，平面PBC 的法向量为(1,1,2)m =-，（步骤4）所以PD 与平面PBC 所成角的正弦值为12PD mPD m =，所以PD 与平面PBC 所成角为π6．（步骤5）【提示】（Ⅰ）先由已知建立空间直角坐标系，设(2,,0)D b ，从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC BE ⊥，PC DE ⊥，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（Ⅱ）先求平面PAB 的法向量，再求平面PBC 的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b 的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角 【考点】线面垂直的判定，线面的夹角，空间直角坐标系，空间向量． 19.【答案】（Ⅰ）0.352（Ⅱ）0.40820.352+30.096=1.4E ξ=+⨯⨯【解析】记i A 为事件“第i 次发球，甲胜”，1,2,3i =，则()()()1230.6,0.6,0.4P A P A P A ===． （Ⅰ）事件“开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为123123123A A A A A A A A A ++，由互斥事件有一个发生的概率加法公式得：123123123()P A A A A A A A A A ++0.60.40.60.40.60.60.40.40.4=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 0.352=即开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为0.352（步骤1） （Ⅱ）由题意0,1,2,3,4ξ=．()()12300.60.60.40.144P P A A A ξ===⨯⨯=；123123123(1)()0.40.60.40.60.40.40.60.60.60.408P P A A A A A A A A A ξ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(2)0.352P ξ==；123(3)()0.40.40.60.096P P A A A ξ===⨯⨯=；（步骤2）所以0.40820.352+30.096=1.4E ξ=+⨯⨯（步骤3）【提示】（Ⅰ）记i A 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，0i =，1，2；A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则01B A A A A =+，根据()()()1230.6,0.6,0.4P A P A P A ===，即可求得结论；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3，计算相应的概率，即可求得ξ的期望。
2012高考二轮总复习数学试题(理)
山东省泰安市2012届高三第一次模拟考试数 学 试 题（理）2012.03一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若a 、b 为实数，则“1<ab ”是“ba 10<<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】b a 10<<，所以⎪⎩⎪⎨⎧<>>100ab b a ，所以“1<ab ” 是“b a 10<<”的必要而不充分条件，选B.2.已知i 是虚数单位，则i i+-221等于 A.i -B.iC.i 5354- D.i -54 【答案】A 【解析】i ii i i i i i -=-=-+--=+-55)2)(2()2)(21(221，选A. 3.过点A （2，3）且垂直于直线052=-+y x 的直线方程为 A.042=+-y x B.072=-+y x C.032=+-y xD.052=+-y x【答案】A【解析】法一：设所求直线方程为02=+-C y x ,将点A 代入得，062=+-C ,所以4=C ,所以直线方程为042=+-y x ，选A.法二：直线052=-+y x 的斜率为2-，设所求直线的斜率为k ，则21=k ，代入点斜式方程得直线方程为)2(213-=-x y ，整理得042=+-y x ，选A. 4.设{}{}R x y y Q R x x y y P x∈==∈+-==,2,,12，则 A.Q P ⊆B.P Q ⊆C.Q P C R ⊆D.P C Q R ⊆【答案】C【解析】{}{}1,12≤=∈+-==y y R x x y y P ，{}{}0,2>=∈==y y R x y y Q x，所以}1{>=y y P C R ，所以Q P C R ⊆，选C.5.b ac +=≠=,0，且⊥，则向量与的夹角为 A.30° B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】因为a c ⊥，所以0)(=∙+=∙0=∙+.所以=∙，所以向量与的夹角的余弦值21cos -===θ，所以0120=θ，选C.6.函数x xy cos 1⋅=在坐标原点附近的图象可能是【答案】A【解析】函数为奇函数，所以B 不正确，，定义域中没有0≠x ，所以D 不正确，当20π<<x 时，函数值为正，所以C 不正确，答案选A.7.设偶函数()x f 满足()()042≥-=x x x f ，则不等式()2-x f ＞0的解集为 A.{x x ＜2-或x ＞}4 B.{x x ＜0或x ＞}4C.{x x ＜0或x ＞}6D.{x x ＜2-或x ＞}2【答案】B【解析】当2≥x 时，()0824)2(22>-=--=-x x x f ，解得4>x ，此时不等式的解为4>x ，当2<x 时，()04)2(2)2(2>-=--=-=-x x x f x f ，所以0<x ，此时不等式的解为0<x ，综上，不等式的解集为}40{><x x x 或，选B. 8.下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程x y53ˆ-=，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归方程a x b yˆˆˆ+=必过(),； ④在一个22⨯列联表中，由计算得K 2=13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系；其中错误．．的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 本题可以参考独立性检验临界值表【解析】①③④正确，②回归方程x y53ˆ-=，当变量x 增加一个单位时，y 平均减少5个单位，所以错误，所以错误的个数有1个，答案选B.9.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，CC 1与面BDA 1所成角的余弦值是 A.32 B.33 C.32 D . 36 【答案】D【解析】10.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A.3B.—6C.10D.15-【答案】C【解析】第一次循环为：2,1,1=-==i S i ，第二次循环为：3,341,2==+-==i S i ，第三次循环为：4,693,3=-=-==i S i ，第四次循环为：5,10166,4==+-==i S i ，第五次循环条件不成立，输出10=S ,答案选C.11.已知(){}1,1,≤≤=Ωy x y x ，A 是曲线2x y =与21x y =围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 A.31 B.41 C.81 D.121 【答案】D【解析】本题为几何概率.区域Ω的面积为422=⨯.区域A 的面积为313132)3132()(1032310221=-=-=-⎰x x dx x x ，所以点P 落入区域A 的概率为121431==P ，选D.12.函数()(a x y a 13l o g -+=＞0，且)1≠a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上（其中m ，n ＞0），则nm 21+的最小值等于 A.16B.12C.9D. 8【答案】D【解析】令13=+x ，得2-=x ，此时1-=y ，所以图象过定点A )1,2(--,点A 在直线01=++ny mx ,所以12=+--n m ，即12=+n m .8424442)(21=+≥++=++n m m n n m n m ）（，当且仅当nmm n 4=，即m n 2=时取等号，此时21,41==n m ，选D.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置.13.431⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中常数为 .【答案】4-【解析】二项展开式为k kk k k k k k kkk x C x x C xx C T )1()1()1()(412431244341-=-=-=----+，所以当04-12=k ，即3=k 时，为常数项，所以常数项为4-.14.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为 .【答案】12【解析】由三视图可知，这是一个底面为矩形，两侧面和底面垂直的四棱锥，底面矩形长4宽为3，四棱锥的高为3，所以四棱锥的体积为1234331=⨯⨯⨯，答案为12.15.函数()()ϕω+=x A x f sin （ϕω,,A 为常数，A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则⎪⎭⎫⎝⎛6πf 的值是 ▲.【答案】26 【解析】由图象可知2=A ，431274πππ=-=T ，所以ϖππ2==T ,2=ϖ,所以()()ϕ+=x x f 2si n 2，2-67sin 21272sin 2127=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕπϕππf ，所以16sin =⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ，所以3πϕ=，所以()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 2πx x f ，2623232sin 2362sin 2)6(=⨯=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=ππππf . 16.F 1、F 2为双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点，A 、B 分别为双曲线的左、右顶点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且满足∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为 .【答案】【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧=+=222c y x x ab y ，解得⎩⎨⎧==b y a x ，即交点M 的坐标),(b a ，连结MB ，则AB MB ⊥,即ABM ∆为直角三角形，由∠MAB=30°得33230tan 0===a b AB MB ，即2234,332a b a b ==，所以2222237,34a c a a c ==-，所以321,372==e e ，所以双曲线的离心率321=e .三、解答题：本大题共6个小题满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，满足.13,542==a a 数列{}n b 的前n 项和是T n ，且.3=+n n b T （1）求数列{}n a 及数列{}n b 的通项公式； （II ）若n n n b a c ⋅=，试比较n c 与1+n c 的大小. 【答案】18.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足.cos cos cos 2B c C b B a += （I ）求角B 的大小；（II ）求函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+=62cos 4sin 22ππA A A f 的最大值及取得最大值时的A 值. 【答案】19.（本小题满分12分）在三棱锥P —ABC 中，PB ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB=PB=2，BC=23，E 、F 、G 分别为PC 、AC 、PA 的中点.（I ）求证：平面BCG ⊥平面PAC ；（II ）在线段AC 上是否存在一点N ，使PN ⊥BE ？证明你的结论.【答案】20.（本小题满分12分）为缓解某路段交通压力，计划将该路段实施“交通银行”.在该路段随机抽查了50人，了解公众对“该路段限行”的态度，将调查情况进行整理，制成下表：（I ）作出被调查人员年龄的频率分布直方图；（II ）若从年龄在[)[)35,25,25,15的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“交通银行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望. 【答案】21.（本小题满分12分）已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）与抛物线x y 42=有共同的焦点F ，且两曲线在第一象限的交点为M ，满足.35=MF （I ）求椭圆的方程；（II ）过点P （0，1）的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，满足25-=⋅，求直线l 的方程. 【答案】22.（本小题满分14分）已知函数()().ln 122x a x a x x f ++-=（I ）当2=a 时，求曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程； （II ）求函数()x f 的单调区间；（III ）若对任意()2,3--∈a 及[]3,1∈x 时，恒有()x f ma -＜1成立，求实数m 的取值范围.【答案】。
2012北京高考数学(理)压轴题含答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数 学 理（北京卷）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）1.若集合}02|{},3121|{≤-=≤+≤-=xx x B x x A ,则B A = ( ) A.}01|{<≤-x x B.}10|{≤<x x C.}20|{≤≤x x D.}10|{≤≤x x 2.若等比数列{}n a 满足n n n a a 161=⋅+，则公比为A ．2B ．4C ．8D ．163.设集合A ＝{0,2,4}，B ＝{1,3,5}，分别从A 、B 中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其中能被5整除的数共有( )A ．24个B ．48个C ．64个D ．116个4.在极坐标系中，点)3,2(π到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )A ． 3 B.942π+ C.912π+D.25.执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是A ．8B ．5C ．3D ．26.若0,0>>b a ，且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则b a ⋅的最大值等于 A ．2B ．3C ．6D ．97. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。
假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：300()2t M t M -=，其中M 0为t=0时铯137的含量。
已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克8.对实数a 和b ，定义运算“⊗”：b a ⊗＝⎩⎨⎧>-≤-1,1,b a b b a a ，设函数R x x x x x f ∈-⊗-=),()2()(22，若函数c x f y -=)(的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪)43,1(-B ．(－∞，－2]∪)23,1(-C.),41()41,1(+∞-D.)43,1(-⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9. 5i 1－2i＝ . 10.已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．11.设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为 ，该双曲线的离心率是 .12.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如下图)．根据频率分布直方图推测，推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．13.如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的中点，则BC = ．14.设E ={(x ,y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2}、F ={(x ,y )|x ≤10,y ≥2,y ≤x -4}是直角坐标平面上的两个点集，则集合G =()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++F y x E y x y y x x 22112121,,,2,2所组成的图形面积是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）已知向量(3sin,1)4x m =，2(cos ,cos )44x xn =，()f x m n = (I )若()1f x =，求cos()3x π+值；(II )在ABC ∆中，角A B C 、、对边分别是a b c 、、，且满足1cos 2a C cb +=，求函数()f B 取值范围.16．（本小题满分13分）如图5，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，,E F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A DC B --． （I ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （II ）求二面角E DF C --的余弦值；（III ）在线段BC 上是否存在一点P ，使A P D E ⊥？如果存在，求出BCBP的值；如果不存在，请说明理由。
2012年高考理科数学 选择 题 专题 训练 题目 附参考答案 (1-8套) 大纲版 课改版
凭祥高中2012届选择题特训专题1姓名 班别 得分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
请把答案涂在答题卡指定的位置上。
1．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1,(1)z z i z =++⋅则=（ ）A ．3i -B ．3i +C ．13i +D ．3 2．函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（ ） A ．211(0)x y e x -=-> B ．211(0)x y e x -=+>C ．211()x y e x R -=-∈ D ．211()x y e x R -=+∈ 3．“0a >”是“||0a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，则10S 的值为（ ） A ．110- B ．90- C ．90 D ．1105．已知角α的终边过点(8,6sin30)P m --︒，且4cos 5α=-，则m 的值为（ ）A ．12-B ．C ．12D 6．平面α⊥平面β，,A B αβ∈∈，AB 与两平面,αβ所成的角分别为4π和6π，过,A B 分别作两平面交线的垂线，垂足为'',A B ，则'':AB A B ＝（ ） A ． 4:3 B ． 3:2 C ． 2:1 D ． 3:17．某班选派6人参加两项公益活动，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有（ ）A ．50种B ．70种C ．35种D ．55种8．若曲线12y x-=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．89 . ()f x R 是上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则(7.5)f =( )A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-10．椭圆2212516x y +=的左右焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆周长为π，,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则12y y -值为（ ）A ．3 B ．53 C ．103 D ．20311．已知球O 为棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为（ ）A．6 B．3 C ．6π D ．3π 12．若在直线l 上存在不同的三个点C B A ，，，使得关于实数x 的方程20x OA xOB BC ++= 有解（点O不在l 上），则此方程的解集为（ ） A ．{1}- B ．{0} C．⎪⎪⎩⎭ D ．{}1,0-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2012大纲全国卷高考数学(理)试题及答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。
考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
第I卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题1、复数131ii-++=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A＝{1.3. ，B＝{1，m} ,A B＝A, 则m=A 0B 0或3C 1D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A 2BCD 1（5）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100（6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B ） (C) (D)（7）已知α为第二象限角，sin α＋sin β，则cos2α=(A) -3 （B ）-9 (C) 9 (D)3（8）已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45（9）已知x=ln π，y=log 52，12z=e ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x (10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝ （A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73。
2012年高考数学(理科)试题(全国2卷word文档含答案)
2012高考理科数学全国2卷试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）与第Ⅱ卷（非选择题）两局部，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
考试完毕，务必将试卷与答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题（1）复数131i i-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i +（D ）12i -（2）已知集合{A =，{1,}B m =，A B A =，则m = （A ）0（B ）0或3 （C ）1或（D ）1或3（3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的间隔 为（A ）2 （B）（C）（D ）1（5）已知等差数列{}n a 的前n 项与为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项与为 （A ）100101 （B ）99101 （C ）99100（D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ⋅=，||1a =，||2b =，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b -（7）已知α为第二象限角，sin cos 3αα+=，则cos2α=（A ）3-（B ）9- （C ）9（D （8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34（D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x <<（D ）y z x << （10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1（D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不一样，每列的字母也互不一样，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种（D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。
2012高考数学名师定位专题训练03 数列 理 (学生版).pdf
2012版高考数学 3-2-1精品系列专题03 数列 理 （学生版） 【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布 2012考纲解读 考纲原文 （1）数列的概念和简单表示法 ①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）. ②了解数列是自变量为正整数的一类函数. （2）等差数列、等比数列 ① 理解等差数列、等比数列的概念. ② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式. ③ 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. ④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 近几年考点分布数列是高中代数的重要内容之一，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与中学数学其他部分知识如：函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系，又有自己鲜明的特征，因此它是历年高考考查的重点、热点和难点，在高考中占有极其重要的地位.试题往往综合性强、难度大，承载着考查学生数学思维能力和分析、建模、解决问题的能力以及函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想.通过对2012年高考试题的研究，本专题在高考试题中占有较大比重，分值约占总分的12%，大多为一道选择题或填空题，一道解答题.试题注重基础，着重考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式、数学归纳法及应用问题，选择题和填空题，突出“小、巧、活”的特点.而解答题大多为中等以上难度的试题或难度大的压轴题. 【考点pk】名师考点透析 考点一 等差、等比数列的概念与性质 例1：已知为等比数列，且（1）若，求；（2）设数列的前项和为，求. 【名师点睛】：在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
考点二 求数列的通项与求和 例3. 已知数列满足（1）求 （（2）设求证：； 3）求数列的通项公式。
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专题针对训练
一、选择题
1．(2011年高考福建卷)∫10(e x ＋2x )d x 等于( )
A ．1
B ．e －1
C ．e
D ．e ＋1
解析：选C.∫10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e.
2．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－1,0)∪(2，＋∞)
C ．(2，＋∞)
D ．(－1,0)
解析：选C.由题意知x ＞0，且f ′(x )＝2x －2－4x
， 即f ′(x )＝2x 2－2x －4x
＞0， ∴x 2－x －2＞0，
解得x ＜－1或x ＞2.
又∵x ＞0，∴x ＞2.
3．函数f (x )的导函数为f ′(x )，若(x ＋1)·f ′(x )>0，则下列结论中正确的是( )
A ．x ＝－1一定是函数f (x )的极大值点
B ．x ＝－1一定是函数f (x )的极小值点
C ．x ＝－1不是函数f (x )的极值点
D ．x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点
解析：选D.由题意，得x >－1，f ′(x )>0或x <－1，f ′(x )<0，但函数f (x )在x ＝－1处未必连续，即x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点，故选D.
4．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12
在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12
C ．－22 D.22
解析：选B.y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－(cos x －sin x )sin x (sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2
， 故y ′⎪⎪
x ＝π4＝12
， ∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12
. 5．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )
A.103
B ．4 C.163 D ．6 解析：选C.由⎩⎨⎧
y ＝x y ＝x －2
，得其交点坐标为()4，2. 因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为 ⎠⎛04[]x －()x －2d x ＝⎠⎛04
()x －x ＋2d x
＝⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2＋2x |40＝23×8－12×16＋2×4＝163
. 二、填空题
6．函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间[0，π2
]上的单调递减区间是________． 解析：f ′(x )＝1－2sin x ，
令f ′(x )≤0，即1－2sin x ≤0，
所以sin x ≥12
. 又∵x ∈[0，π2]，所以π6≤x ≤π2
， 即函数f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6，π2.
答案：⎣⎡⎦⎤π6，π2
7．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是________．
解析：y ′＝e x ＋a ，问题转化为“方程e x ＋a ＝0有大于零的实数根”，由方程解得x ＝ln(－
a )(a <0)，由题意得ln(－a )>0，即a <－1.
答案：a <－1
8．已知函数f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝________；函数f (x )图象在点(0，f (0))处的切线方程为________．
解析：依题意得f ′(x )＝1·e x ＋x ·e x ＝(1＋x )e x ；f ′(0)＝(1＋0)e 0＝1，f (0)＝0·e 0＝0，因此函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程是y －0＝x －0，即y ＝x .
答案：(1＋x )e x y ＝x
三、解答题
9．设a >0，函数f (x )＝12
x 2－(a ＋1)x ＋a ln x . (1)若曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为－1，求a 的值；
(2)当0<a <1时，求函数f (x )的极值点．
解：(1)由已知得x >0，
f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x
. 因为曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为－1，
所以f ′(2)＝－1.
即2－(a ＋1)＋a 2
＝－1，所以a ＝4. (2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x
＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －1)(x －a )x
， 因0<a <1，
当x ∈(0，a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；
当x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；
当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，
函数f (x )单调递增．
此时x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点．
10．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ln x (x >0，实数a ，b 为常数)．
(1)若a ＝1，b ＝－1，求函数f (x )的极值；
(2)若a ＋b ＝－2，且b <1，讨论函数f (x )的单调性．
解：(1)函数f (x )＝x 2＋x －ln x ，
则f ′(x )＝2x ＋1－1x
， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1(舍去)，x 2＝12
. 当0<x <12
时，f ′(x )<0，函数单调递减；
当x >12
时，f ′(x )>0，函数单调递增； ∴f (x )在x ＝12处取得极小值34
＋ln 2. (2)由于a ＋b ＝－2，则a ＝－2－b ，
从而f (x )＝x 2－(2＋b )x ＋b ln x ，则
f ′(x )＝2x －(2＋b )＋b x ＝(2x －b )(x －1)x
， 令f ′(x )＝0，得x 1＝b 2
，x 2＝1. ①当b 2
≤0，即b ≤0时，函数f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)； ②当0<b <1，即0<b <2时，列表如下： 所以，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎭⎫0，b 2，(1，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭
⎫b 2，1. 11．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋c (c >0)，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图所示，f (x )＝ln x
－h (x )．
(1)求函数f (x )在x ＝1处的切线斜率；
(2)若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12
，m ＋14上是单调函数，求实数m 的取值范围； (3)若函数y ＝2x －ln x (x ∈[1,4])的图象总在函数y ＝f (x )的图象的上方，求c 的取值范围． 解：(1)由题知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图象为直线，且过A (2，－1)、B (0,3)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b ＝－1b ＝3，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－1
b ＝3. ∴h (x )＝－x 2＋3x ＋
c .
∴f (x )＝ln x －(－x 2＋3x ＋c )＝x 2－3x －c ＋ln x .
∴f ′(x )＝2x －3＋1x
， ∴f ′(1)＝2－3＋11
＝0， 所以函数f (x )在x ＝1处的切线斜率为0.
(2)由题意可知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知，f ′(x )＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)x
. 令f ′(x )＝0，得x ＝12
或x ＝1.
∴f (x )的单调递增区间为⎝⎭
⎫0，12，(1，＋∞)． f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，1.
要使函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12
，m ＋14上是单调函数， 则⎩⎨⎧ 12<m ＋1
4m ＋14≤1，解得14<m ≤34
. 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤14，34.
(3)由题意可知，2x －ln x >x 2－3x －c ＋ln x 在x ∈[1,4]上恒成立，
即当x ∈[1,4]时，c >x 2－5x ＋2ln x 恒成立
设g (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，x ∈[1,4]，则c >g (x )max . 易知g ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x ＝(2x －1)(x －2)x
. 令g ′(x )＝0得，x ＝12
或x ＝2. 当x ∈(1,2)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减；当x ∈(2,4)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增．
而g (1)＝12－5×1＋2ln 1＝－4，g (4)＝42－5×4＋2ln 4＝－4＋4ln 2，
显然g (1)<g (4)，故函数g (x )在[1,4]上的最大值为g (4)＝－4＋4ln 2，故c >－4＋4ln 2. ∴c 的取值范围为(－4＋4ln 2，＋∞)．。