2019-2020学年人教A版浙江省杭州市学军中学高二(上)期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷一、选择题1．经过点A（1，3），斜率为2的直线方程是（）A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y+1＝0 C．2x+y﹣1＝0 D．2x﹣y+1＝0 2．椭圆的焦距是（）A．B．C．1 D．23．已知直线m，n和平面α，β，γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A．m⊂α，n⊂β，m∥n B．m⊥α，m⊥βC．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥βD．α⊥γ，β⊥γ4．圆x2+y2﹣2x＝0和x2+y2+4y＝0的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切5．已知a、b是异面直线，P是a、b外的一点，则下列结论中正确的是（）A．过P有且只有一条直线与a、b都垂直B．过P有且只有一条直线与a、b都平行C．过P有且只有一个平面与a、b都垂直D．过P有且只有一个平面与a、b都平行6．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，若以A，B为焦点的双曲线的渐近线经过点C，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0] B．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞]C．[﹣，] D．[﹣，0]8．正四面体ABCD，CD在平面α内，点E是线段AC的中点，在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与平面α所成角不可能是（）A．0 B．C．D．9．已知两点，到直线l的距离均等于a，且这样的直线可作4条，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．0＜a＜1 C．0＜a≤1 D．0＜a＜210．如图，正四面体ABCD中，P、Q、R在棱AB、AD、AC上，且AQ＝QD，＝＝，分别记二面角A﹣PQ﹣R，A﹣PR﹣Q，A﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A．β＜γ＜αB．γ＜β＜αC．α＞γ＞βD．α＞β＞γ二、填空题11．若圆x2+y2+2ax+y﹣1＝0的圆心在直线y＝x上，则a的值是，半径为．12．若直线l1：x+my+6＝0与l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0互相平行，则m的值为，它们之间的距离为．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，外接球的表面积为．14．已知双曲线与椭圆共焦点，则m的值为，设F为双曲线C的一个焦点，P是C上任意一点，则|PF|的取值范围是．15．异面直线a，b所成角为，过空间一点O的直线l与直线a，b所成角均为θ，若这样的直线l有且只有两条，则θ的取值范围为．16．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在鳖臑P ﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP＝AC＝1，过点A分别作AE⊥PB于点E，AF⊥PC 于点F，连结EF，当△AEF的面积最大时，tan∠BPC＝．17．已知椭圆上的三点A，B，C，斜率为负数的直线BC与y轴交于M，若原点O是△ABC的重心，且△BMA与△CMO的面积之比为，则直线BC的斜率为．三、解答题18．已知x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．（1）求xy的最大值；（2）求的最小值．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点，E为BC的中点．（1）求证：BG∥平面PDE；（2）求证：AD⊥PB；（3）在棱PC上是否存在一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由．20．如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，2）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2，直线l与圆C相交于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．（1）求圆C的方程；（2）求直线OM的斜率k的取值范围．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB＝BC＝BD＝，CD＝2AB＝2，∠PAD＝120°．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，），点P在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求△PCD面积的最大值．参考答案一、选择题1．经过点A（1，3），斜率为2的直线方程是（）A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y+1＝0 C．2x+y﹣1＝0 D．2x﹣y+1＝0 【分析】直接代入点斜式方程即可．解：由点斜式直接带入：y﹣3＝2（x﹣1），即2x﹣y+1＝0，故选：D．2．椭圆的焦距是（）A．B．C．1 D．2【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得a、b的值，计算可得c的值，进而由焦距定义计算可得答案．解：根据题意，椭圆的标准方程为：，则a2＝5，b2＝4，则c＝＝1，则其焦距2c＝2；故选：D．3．已知直线m，n和平面α，β，γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A．m⊂α，n⊂β，m∥n B．m⊥α，m⊥βC．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥βD．α⊥γ，β⊥γ【分析】利用平面平行的判定定理，对四个选项分别进行判断，能够得到正确答案．解：由直线m和n，若m⊂α，n⊂β，n∥m，则α与β相交或平行，故A不正确；若m⊥α，m⊥β，则垂直于同一条直线的两个平面互相平行，即α∥β，故B正确；若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故C不正确；若α⊥γ，β⊥γ，则由平面与平面平行的判定知，故D不正确．故选：B．4．圆x2+y2﹣2x＝0和x2+y2+4y＝0的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．解：把圆x2+y2﹣2x＝0与圆x2+y2+4y＝0分别化为标准方程得：（x﹣1）2+y2＝1，x2+（y+2）2＝4，故圆心坐标分别为（1，0）和（0，﹣2），半径分别为R＝2和r＝1，∵圆心之间的距离d＝，R+r＝3，R﹣r＝1，∴R﹣r＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故选：C．5．已知a、b是异面直线，P是a、b外的一点，则下列结论中正确的是（）A．过P有且只有一条直线与a、b都垂直B．过P有且只有一条直线与a、b都平行C．过P有且只有一个平面与a、b都垂直D．过P有且只有一个平面与a、b都平行【分析】对于A，取直线a上任意一点，作b的平行线c，则a，c确定平面，利用过一点作已知平面的垂线，有且只有一条，可得结论；对于B，若P与a或b确定的平面，与b或a平行，此时与a、b都平行的直线不存在；对于C，根据a、b是异面直线，可得过P不存在平面与a、b都垂直；对于D，若P与a或b确定的平面，与b或a平行，此时与a、b都平行的平面不存在．解：对于A，取直线a上任意一点，作b的平行线c，则a，c确定平面，过P作平面的垂线有且只有一条，所以过P有且只有一条直线与a、b都垂直，故A正确；对于B，若P与a或b确定的平面，与b或a平行，此时与a、b都平行的直线不存在，故B不正确；对于C，∵a、b是异面直线，∴过P不存在平面与a、b都垂直，故C不正确；对于D，若P与a或b确定的平面，与b或a平行，此时与a、b都平行的平面不存在，故D不正确；故选：A．6．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，若以A，B为焦点的双曲线的渐近线经过点C，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设AB＝BC＝2，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，由余弦定理可得OC，cos∠COB，求得tan∠COB，即为渐近线的斜率，由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到．解：设AB＝BC＝2，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，在三角形OBC中，cos B＝﹣，∴OC2＝OB2+BC2﹣2OB•BC•cos B＝1+4﹣2×1×2×（﹣）＝7，∴OC＝，则cos∠COB＝＝，可得sin∠COB＝＝，tan∠COB＝＝，可得双曲线的渐近线的斜率为，不妨设双曲线的方程为﹣＝1（a，b＞0），渐近线方程为y＝±x，可得＝，可得e＝＝＝＝＝．故选：D．7．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0] B．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞]C．[﹣，] D．[﹣，0]【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长等于2，故当弦长大于或等于2时，圆心到直线的距离小于或等于1，解此不等式求出k的取值范围．解：设圆心（3，2）到直线y＝kx+3的距离为d，由弦长公式得，MN＝2≥2，故d≤1，即≤1，化简得 8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，故k的取值范围是[﹣，0]．故选：A．8．正四面体ABCD，CD在平面α内，点E是线段AC的中点，在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与平面α所成角不可能是（）A．0 B．C．D．【分析】由正四面体ABCD，可得所有棱长都相等．①点E是线段AC的中点，BE⊥AC．在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与平面α所成角不可能是．利用反证法可以证明．②在该四面体绕CD旋转的过程中，当BE∥α时，可得直线BE与平面α所成角为0．③如图所示的正四面体B﹣ABC．作BO⊥平面ACD，垂足为O．设直线BE与平面ACD所成的角为θ，可得cosθ＝．于是可得在该四面体绕CD旋转的过程中，可得直线BE 与平面α所成角为，．解：由正四面体ABCD，可得所有棱长都相等．①∵点E是线段AC的中点，∴BE⊥AC．在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与平面α所成角不可能是．反证法：若直线BE与平面α所成角是，则BE⊥平面α．则在某一过程必有BE⊥CD．事实上，在该四面体绕CD旋转的过程中，BE与CD是不可能垂直的，因此假设错位，于是直线BE与平面α所成角不可能是90°．②在该四面体绕CD旋转的过程中，当BE∥α时，可得直线BE与平面α所成角为0．③如图所示的正四面体B﹣ABC．作BO⊥平面ACD，垂足为O．则E，O，D三点在同一条直线上．设直线BE与平面ACD所成的角为θ，可得cosθ＝．∴θ＞．于是可得在该四面体绕CD旋转的过程中，可得直线BE与平面α所成角为，．综上可得：直线BE与平面α所成角不可能是．故选：D．9．已知两点，到直线l的距离均等于a，且这样的直线可作4条，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．0＜a＜1 C．0＜a≤1 D．0＜a＜2【分析】（1）由题意做出简图，分别讨论A，B在同一侧和两侧两种情况，只需a小于A，B两点距离的一半，再由两点间的距离公式即可求出a的取值范围．解：由题意如图所示：因为若A，B在直线的同一侧，可做两条直线，所以若有这样的直线又4条，则当A，B两点分别在直线的两侧时，还应该有两条，所以2a小于A，B的距离，因为|AB|＝＝2，所以0＜2a＜2，所以：0＜a＜1，故选：B．10．如图，正四面体ABCD中，P、Q、R在棱AB、AD、AC上，且AQ＝QD，＝＝，分别记二面角A﹣PQ﹣R，A﹣PR﹣Q，A﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A．β＜γ＜αB．γ＜β＜αC．α＞γ＞βD．α＞β＞γ【分析】由四面体为正四面体，结合AQ＝QD，＝＝，通过图形直观分析得答案．解：观察可知，α＞β＞γ，α为钝角，β，γ均为锐角，β平缓一点，γ陡急一点，∴，则α＞β＞γ，故选：D．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．若圆x2+y2+2ax+y﹣1＝0的圆心在直线y＝x上，则a的值是，半径为．【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程的形式，求出圆的圆心以及半径，又由圆的圆心在直线y＝x上，即可得a的值，据此可得答案．解：根据题意，圆的一般方程为x2+y2+2ax+y﹣1＝0，则其标准方程为（x+a）2+（y+）2＝a2+：其圆心为（﹣a，﹣），半径r＝，若其圆心在直线y＝x上，则有﹣a＝﹣，即a＝，其半径r＝＝；故答案为：，12．若直线l1：x+my+6＝0与l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0互相平行，则m的值为﹣1 ，它们之间的距离为．【分析】由m（m﹣2）﹣3＝0，解得m．经过验证可得m．利用平行线之间的距离公式即可得出它们之间的距离．解：由m（m﹣2）﹣3＝0，解得m＝3或﹣1．经过验证：m＝3时两条直线平行舍去．∴m＝﹣1．直线l1：x+my+6＝0与l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0分别化为：x﹣y+6＝0，x﹣y+＝0．∴它们之间的距离＝＝．故答案为：﹣1，．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为24 ，外接球的表面积为41π．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积，求出外接球的半径，即可求解外接球的表面积．解：由题意可知几何体是三棱柱，如图：是长方体的一半，所以几何体的体积为：＝24；几何体的外接球，就是长方体的外接球，外接球的半径为：＝．外接球的表面积为：＝41π．故答案为：24；41π．14．已知双曲线与椭圆共焦点，则m的值为 3 ，设F为双曲线C的一个焦点，P是C上任意一点，则|PF|的取值范围是[1，+∞）．【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，再由双曲线中的隐含条件列式求得m值；求出|PF|的最小值，可得|PF|的取值范围．解：由椭圆，得c＝，则其焦点坐标为（0，±2），∴双曲线的焦点坐标为（0，±2），∴1+m＝4，得m＝3；不妨设F为双曲线的上焦点F（0，2），则当P为双曲线的上顶点时，|PF|最小为1．∴|PF|的取值范围是[1，+∞）．故答案为：3；[1，+∞）．15．异面直线a，b所成角为，过空间一点O的直线l与直线a，b所成角均为θ，若这样的直线l有且只有两条，则θ的取值范围为（，）．【分析】由最小角定理可得：θ的取值范围为，得解．解：由最小角定理可得：异面直线a，b所成角为，过空间一点O的直线l与直线a，b所成角均为θ，若这样的直线l有且只有两条，则θ的取值范围为：＜θ，故答案为：（，）．16．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在鳖臑P ﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP＝AC＝1，过点A分别作AE⊥PB于点E，AF⊥PC 于点F，连结EF，当△AEF的面积最大时，tan∠BPC＝．【分析】由已知可证AE⊥平面PBC，PC⊥平面AEF，可得△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝，从而S△AEF＝AE•EF≤（AE2+EF2）＝（AF）2＝，当且仅当AE ＝EF时，取“＝”，解得当AE＝EF＝时，△AEF的面积最大，即可求得tan∠BPC的值解：显然BC⊥平面PAB，则BC⊥AE，又PB⊥AE，则AE⊥平面PBC，于是AE⊥EF，且AE⊥PC，结合条件AF⊥PC得PC⊥平面AEF，所以△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝，而S△AEF＝AE•EF≤（AE2+EF2）＝（AF）2＝，当且仅当AE＝EF时，取“＝”，所以，当AE＝EF＝时，△AEF的面积最大，此时tan∠BPC＝＝＝，17．已知椭圆上的三点A，B，C，斜率为负数的直线BC与y轴交于M，若原点O是△ABC的重心，且△BMA与△CMO的面积之比为，则直线BC的斜率为．【分析】设B（x1，y1），C（x2，y2）A（x3，y3），M（0，m），直线BC的方程为y＝kx+m．由原点O是△ABC的重心，得△BMA与△CMO的高之比为3，结合△BMA与△CMO的面积之比为，得2BM＝MC．可得2x1+x2＝0，联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系得到36k2m2＝1﹣m2+4k2，利用重心坐标公式求得A的坐标，代入椭圆方程即可求解直线BC的斜率．解：设B（x1，y1），C（x2，y2）A（x3，y3），M（0，m），直线BC的方程为y＝kx+m．∵原点O是△ABC的重心，∴△BMA与△CMO的高之比为3，又△BMA与△CMO的面积之比为，则2BM＝MC．即2＝，得2x1+x2＝0，…①联立，得（4k2+1）x2+8mkx+4m2﹣4＝0．则x1+x2＝，x1x2＝，…②由①②整理可得：36k2m2＝1﹣m2+4k2，…③∵原点O是△ABC的重心，∴，y3＝﹣（y2+y1）＝﹣[k（x1+x2）+2m]＝﹣．∵，∴（）2+4（）2＝4，即1+4k2＝4m2，…④．由③④可得k2＝，∵k＜0．∴k＝﹣．故答案为：．三、解答题：5小题，共74分18．已知x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．（1）求xy的最大值；（2）求的最小值．【分析】（1）由x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．利用基本本不等式的性质即可得出xy的最大值；（2）由x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．可得＝（2x+5y）•（）＝（7++），利用基本本不等式的性质即可得出．解：（1）∵x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．∴20≥2，化为：xy≤10，当且仅当2x＝5y＝10时取等号．∴xy的最大值为10．（2）∵x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．∴＝（2x+5y）•（）＝（7++）≥（7+2）＝（7+2），当且仅当y＝x，2x+5y＝20取等号．∴的最小值为：（7+2）．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点，E为BC的中点．（1）求证：BG∥平面PDE；（2）求证：AD⊥PB；（3）在棱PC上是否存在一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由．【分析】（1）连接DE、PE，证明四边形BEDG是平行四边形，得出BG∥ED，即可证明BG∥平面PDE；（2）连接PG，证明PG⊥AD，再证BG⊥AD，得出AD⊥平面PGB，即可证明AD⊥PB；（3）F为PC边的中点时，平面DEF⊥平面ABCD，再证明即可．【解答】（1）证明：连接DE、PE，则DG∥BE，且DG＝BE，所以四边形BEDG是平行四边形，所以BG∥ED，又BG⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，所以BG∥平面PDE；（2）证明：连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD边的中点，所以PG⊥AD；又AG＝AB，∠BAD＝60°，所以BG＝AB，所以∠BGA＝90°，即BG⊥AD；又PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，PG∩BG＝G，所以AD⊥平面PGB，又PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB；（3）解：当F为PC边的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF，在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB，因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG，又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G，所以PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD．20．如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，2）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2，直线l与圆C相交于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．（1）求圆C的方程；（2）求直线OM的斜率k的取值范围．【分析】（1）依题意，容易求得半径r＝4，圆心坐标为（﹣4，2），由此得到方程；（2）依题意，只需求出点N（或M）在劣弧PQ上运动时的直线ON（或OM）斜率，结合图象得解．解：（1）因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，2），所以圆心在直线y＝2上，设圆C与x轴交于P，Q点，又因为被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2，所以可得∠PCQ＝，所以r＝4，圆心C的坐标：（﹣4，2），所以圆C的方程：（x+4）2+（y﹣2）2＝16；（2）依题意，只需求出点N（或M）在劣弧PQ上运动时的直线ON（或OM）斜率，设其直线方程为y＝tx（t＞0），此时有，解得；若点M在劣弧PQ上，则直线OM的斜率k＝t，于是；若点N在劣弧上，则直线OM的斜率，于是；又当k＝0时，点N为（0，2）也满足条件；综上所述，所求直线OM的斜率k的取值范围为．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB＝BC＝BD＝，CD＝2AB＝2，∠PAD＝120°．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．【分析】（I）取CD的中点E，连接BE．可证四边形ABED是矩形，故而AB⊥AD，结合AB⊥PD得出AB⊥平面PAD，又AB∥CD得出CD⊥平面PAD，于是平面PAD⊥平面PCD；（II）以A为原点建立坐标系，求出和平面PBC的法向量，则直线PD与平面PBC 所成的角的正弦值为|cos＜，＞|．【解答】证明：（I）取CD的中点E，连接BE．∵BC＝BD，E为CD中点，∴BE⊥CD，又∵AB∥CD，AB＝CD＝DE，∴四边形ABED是矩形，∴AB⊥AD，又AB⊥PA，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD．∵AB∥CD，∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．∴平面PAD⊥平面PCD．（II）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，以平面ABCD过点A的垂线为z轴建立空间直角坐标角系A﹣xyz，如图所示：∵PB＝BD＝，AB＝，AB⊥PA，AB⊥AD，∴PA＝AD＝2．∴P（0，﹣1，），D（0，2，0），B（，0，0），C（2，2，0），∴＝（0，3，﹣），＝（﹣，﹣1，），＝（，2，0）．设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，∴，取x＝，得＝（，﹣1，），∴cos＜，＞＝＝＝﹣．∴直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为．22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，），点P在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求△PCD面积的最大值．【分析】（1）利用椭圆的离心率求得，将（，）代入椭圆方程，即可求得a 和b的值．（2）设P（m，n），m＞0，n＞0，且.可得S＝＝＝﹣＝．设P处的切线为：x﹣2y+t＝0，t＜0．由⇒8y2﹣4ty+t2﹣4＝0，△＝﹣16t2+128＝0⇒t＝﹣2时．S△PCD取得最大值，解：（1）由已知得，⇒，点（，）代入+＝1可得．代入点（，）解得b2＝1，∴椭圆C的标准方程：．（2）可得A（﹣2，0），B（0，1）．设P（m，n），m＞0，n＞0，且.PA：，PB：，可得C（0，），D（）．由可得x＝．S＝＝＝﹣＝．设P处的切线为：x﹣2y+t＝0，t＜0．⇒8y2﹣4ty+t2﹣4＝0，△＝﹣16t2+128＝0⇒t＝﹣2．此时，方程组的解即点P（，﹣）时，S△PCD取得最大值，最大值为﹣1．。