大工13秋复变函数与积分变换辅导资料

复变函数与积分变换辅导资料一
主 题：准备知识（一）
学习时间：2013年9月30日－10月6日
内 容：
这周我们将学习函数的导数与微分。

求函数的导数的方法是研究复变函数与积分变换的基础，尤其是研究解析函数与共形映射的基础。

其学习要求及需要掌握的重点内容如下：
一、导数
（一）导数的定义
定义：设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，若
x y x x x f x f x x x ∆∆=--→∆→000lim )()(lim 0
存在，则称函数)(x f 在点0x 处可导，并称此极限为)(x f y =在点0x 的导数。

记作：0x x y ='；)(0x f '；0x x dx dy
=；0)(x x dx x df =
（二）函数的求导法则
1、函数的和、差、积、商的求导法则
(1)若)()()(x v x u x f βα+=，则)(')(')('x v x u x f βα+=(βα,为常数)
(2)若)()()(x v x u x f ⋅=，则)(')()()(')('x v x u x v x u x f +=
推广：u c cu '=')(
''')'(uvw w uv vw u uvw ++=
(3)若)()()(x v x u x f =，0)(≠x v ，2
)]([)()()()()(x v x v x u x v x u x f '-'=' 2、初等函数的导数
现将我们已求出的基本初等函数的导数列表如下，作为基本求导公式。

（1）0)(='c
（2）αααα()(1-='x x 为任意实数）
（3）a a a x x ln )(='
（4）x
x e e =')(
（5）a x x a ln 1)(log =
' （6）x
x 1)(ln =' （7）x x cos )(sin ='
（8）x x sin )(cos -='
（9）x x 2sec )(tan ='
（10）x x 2csc )(cot -='
（11）x x x tan sec )(sec ='
（12）x x x cot csc )(csc -='
（13）211
)(arcsin x
x -=' （14）211
)(arccos x x --=
' （15）211)(arctan x
x +=' （16）211)cot (x
x arc +-=' 例：设x y sin ln =，求y ' 解：)(sin sin 1'=
'x x y x x
cos sin 1=x cot = 二、微分
（一）微分的定义 定义：设函数)(x f y =在x 处可导，则增量)()(x f x x f y -∆+≈∆的线性主部x x f ∆')(称为)(x f 在x 处的微分，记作dy 或)(x df ，即x x f dy ∆'=)(。

注1：规定x dx ∆=，所以)(x f y =的微分记作x x f dy ∆'=)(，所以
)(x f dx
dy '=，因此，导数也叫做微商。

2：由定义知)(x f y =在x 处可微必可导，可导也必可微。

3：当||x ∆很小时，有dy y ≈∆。

所以可用微分作近似计算
x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(（||x ∆很小）
（二）基本初等函数的微分公式与微分运算法则
1、基本微分公式（注意与求导公式的区别）
2、函数和、差、积、商的微分法则（注意与求导法则的区别）
3、复合函数微分法（微分形式的不变性）
设)(u f y =及)(x u ϕ=都可导,则复合函数)]([x f y ϕ=的微分为
dx x u f dx y dy x )()(ϕ''='=
于是由du dx x =')(ϕ,所以复合函数)]([x f y ϕ=的微分公式也可以写成
du u f dy )('=或du y dy u
'= 由此可见,无论u 是自变量还是另一个变量的可微函数,微分形式du u f dy )('=保持不变。

这一性质称为微分形式不变性。

例：设函数x x y cos 3=，求dy
解：x x x x x x x x y sin cos 3)(cos cos )(3233-='+'='
三、高阶导数
（一）高阶导数的概念
若函数)(x f y =的导函数)(x f '在0x 点可导，就称)(x f '在点0x 的导数为函数)(x f y =在点0x 处的二阶导数，记为)(0x f ''，即)()()(lim 0000
x f x x x f x f x x ''=-'-'→，此时，也称函数)(x f y =在点0x 处二阶可导。

注1：若)(x f y =在区间I 上的每一点都二次可导，则称)(x f 在区间I 上二次可导，并称I x x f ∈''),(为)(x f 在I 上的二阶导函数，简称二阶导数；
2：由二阶导数)(x f ''可定义三阶导数)(x f '''，由三阶导数)(x f '''可定义四阶导数)()4(x f ，一般地，可由1-n 阶导数)()1(x f n -定义n 阶导数)()(x f n 。

因此，求高阶导数是一个逐次向上求导的过程，无须其它新方法，只用前面的求导就可以了。

（请记住方法）
（二）高阶导数的运算法则
1、)
()()]()([)()()(x v x u x v x u n n n ±=±
2、)()()(n n u C u C =（C 为常数）
3、v u v u v u uv v u v u uv ''+''+''='''+'='2)(,)(
v u v u v u v u uv '''+'''+'''+'''='''33)(……
)
()()()2()1()()(!
)1()1(!2)1()(n k k n n n n n v u v u k k n n n v u n n v u n v u v u +++--++''-+'+=--- （莱布尼兹公式）
例：设函数x e y 2=，则='')0(y
答案：4 解题思路：4,4)2(20222=''∴='=''='=x x x x y e e y e y ，
四、偏导数
对于二元函数),(y x f z =，如果只有自变量x 变化，而自变量y 固定，这时它就是x 的一元函数，这函数对x 的导数，就称为二元函数),(y x f z =对于x 的偏导数。

定义：设函数),(y x f z =在点),(00y x 的邻域内有定义，固定0y y =，当x 有增量x ∆时，函数的偏增量与x ∆之比，当0→∆x 时极限存在，即
称这极限值为),(y x f z =在),(00y x 处对x 的偏导数，记作),(00y x f x ，),(00y x x
z ∂∂，),(00y x z x 或),(00y x x
f ∂∂。

同样),(y x f z =在),(00y x 对y 的偏导数为
记作),(00y x f y ，),(00y x y z ∂∂，),(00y x z y 或),(00y x y
f ∂∂。

偏导数求法：),(y x f 对x 求导时，y 看作常数；对y 求导时，x 看作常数。

（要求掌握求导方法）
例、设22y x z +=则x y x x
x z 2)(22=+∂∂=∂∂
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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