Knight不确定下带通胀的最优消费和投资模型研究_费为银

第29卷第6期2012年12月工程数学学报CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICSVol.29No.6Dec.2012文章编号:1005-3085(2012)06-0799-08Knight不确定下带通胀的最优消费和投资模型研究∗费为银,李淑娟(安徽工程大学金融工程系，安徽芜湖241000)摘要:本文研究了投资者在Knight不确定下并带有通胀的最优消费和投资决策，其中区别含糊与含糊态度．首先，利用倒向随机微分方程理论，对Knight不确定投资者的α-maxmin期望效用进行了刻画．其次，利用动态规划原理，建立了最优消费和投资策略所满足的HJB方程，并给出了由三基金组成的修正的共同基金定理．最后，在定常相对风险厌恶(CRRA)效用的特殊情形下，获得了投资者最优消费和投资策略的显式解，并分析了含糊和通胀等因素对最优消费和投资决策的影响．关键词:Knight不确定；通胀；α-maxmin期望效用；倒向随机微分方程；最优消费和投资分类号:AMS(2000)90C39;60H30中图分类号:O211.63;F224.11文献标识码:A1引言最优消费和投资策略问题一直是金融数学的基本问题之一，受到国内外研究者关注[1]．由Knight[2]可知，投资者在不确定环境下决策时，面临两种不确定，第一种被称作风险，第二种被称作Knight不确定或含糊(ambiguity)．在经济分析中，投资者对风险的态度可用von Neumann-Morgenstern效用函数加以刻画．很多情况下认为Knight不确定是不同于风险的．Ellsberg悖论[3]告诉我们，含糊与风险具有显著的差异．在标准模型中，含糊常常被忽略的．然而，在含糊环境下，Chen和Epstein[4]描述了多先验效用的连续时间跨期形式，并对风险溢价(risk premium)和含糊溢价(ambiguity premium)提供了解释．Fei[5]表明，具有含糊信息的先验集描绘了决策者的信仰(beliefs)，并根据最小期望效用进行投资决策．更一般地，在Fei[6]中，根据最大最小期望效用的加权平均，即α-maxmin期望效用(传统主观期望效用的推广情形)，研究了最优投资组合选择．夏登峰等[7,8]分别讨论了变折现率下带含糊厌恶和预期的最优投资以及带含糊厌恶的股东价值最大化问题．本文在Knight不确定或含糊的环境下，研究消费篮子价格完全可观察时投资者的最优消费和投资策略．本文模型的关键点是：区别含糊(刻画决策者的主观信仰)与含糊态度(ambiguity attitude,刻画决策者的不确定态度)．事实上，近年来在许多发达国家出现了“小股票市场”，小公司股票被交易是为了给这些潜力大、高风险的新公司提供风险资本．另一方面，实证也表明有时候投资者表现为过度保守投资行为，于是就有了小股票之谜(small stock puzzle)和股权溢价之谜(equity premium puzzle)．这两个谜突出了标准经济理论与经验规律的矛盾．通过乐观和悲观的程度可以解释它们．这就表明区别含糊和含糊态度是适当的．我们的模型与Bensoussan等[9]模型的主要区别是：刻画了α-maxmin期望效用(即α-MEU)，这有助于在区别含糊和含糊态度的情况下解决带有通胀收稿日期:2011-02-09.作者简介:费为银(1963年9月生)，男，博士，教授.研究方向：金融数学、金融工程与随机控制.∗基金项目:国家自然科学基金(71171003)；安徽省自然科学基金(090416225)；安徽省高校自然科学基金(KJ2010 A037).800工程数学学报第29卷的最优消费和投资组合问题，使模型更具一般性，并在理论上得到了不同于传统两基金定理的修正的共同基金定理．2金融市场框架设(Ω,F ,P )是一个带有Wiener 过程w I (t )和w (t )的概率空间，w I (t )是标量值，而w (t )是d 维的向量．w I (t )构建通胀的随机状态，w (t )构建风险金融资产中的不确定性源．因为通胀与金融市场是相关的，所以w I (t )与w (t )相关．F t =σ{w I (s ),w (s );s ≤t }表示除了可能的初始条件外所有过程都适应的基本信息流．Y 0(t )表示无风险资产，Y (t )表示风险资产价格的d 维随机过程，X (t )表示投资者的财富，B (t )表示消费篮子价格过程．设L (t )=ln B (t )表示对数篮子价格．无风险资产的价格满足d Y 0(t )=r (t )Y 0(t )d t,Y 0(0)=Y 0,其中Y 0>0是给定的常数，r (t )是确定性的名义无风险利率．风险资产价格满足d Y i (t )=Y i (t ) αi (t )d t +d j =1σij (t )d w j (t ) ,Y i (0)=Y i ,i =1,2,···,d,其中Y i >0是给定的常数，αi (t )和σij (t )分别表示确定性有界的预期回报率和波动率函数．波动率矩阵σ(t )=(σij (t ))1≤i ≤d,1≤j ≤d 对于任一时刻t 都是可逆的．消费篮子价格的动力学可表示为d B (t )=B (t ) I d t +ζd w I (t ) ,B (0)=B 0,其中B 0表示初始条件，I 与ζ是常数，向量ρ=(ρ1,ρ2,···,ρd ) 表示w I (t )和w (t )的相关性系数，其中E d w i (t )d w I (t ) =ρi d t,i =1,2,···,d.而实数I 表示预期即期通胀率，ζ是通胀波动率．因为消费篮子价格通常是上升的，所以I >0；且当消费篮子完全可观察时，B 0是已知的．于是由Itˆo 公式可得d L (t )= I −12ζ2 d t +ζd w I (t ),L (0)=ln B 0.时刻t 的财富定义为X (t )= f (t )Y 0(t )+ (t )Y (t )，其中 f (t )和 (t )分别表示投资者拥有无风险资产与风险资产的数量．注意 =( 1, 2,···, d )和Y =(Y 1,Y 2,···,Y d ) 是d 维向量．假设自融资条件成立，则有d X (t )= f (t )d Y 0(t )+ (t )d Y (t )−c (t )d t,其中c (t )是瞬时名义消费率．通过解线性系统αi (t )−r (t )=dj =1σij (t )θj (t ),i =1,2,···,d,可得市场风险价格θ=(θ1,θ2,···,θd ) ．于是有d X (t )=r (t )X (t )d t +X (t )π(t )σ(t ) d w (t )+θ(t )d t −c (t )d t,(1)其中π=(π1,π2,···,πd )表示风险资产占总财富的比例，即 i Y i (t )=πi (t )X (t ),i =1,2,···,d ．第6期费为银，李淑娟：Knight 不确定下带通胀的最优消费和投资模型研究8013区别含糊和含糊态度的α-MEU我们考虑从t 时刻开始满足L (t )=L 和X (t )=x 的最优消费和投资问题．类似Chen 和Epstein [4]以及Fei [5]的假设，定义先验集，然后通过倒向随机微分方程理论[10]，刻画区别含糊和含糊态度的α-MEU ．经济代理人投资在时间区间[0,T ]上．在Knight 不确定或含糊环境下，我们的目标是描述代理人来自于消费和终端财富的效用函数．以C 表示消费过程集，对任一消费过程c ∈C ，满足T 0c (t )d t <∞,a .s ..以Π表示投资组合过程集，对任一投资过程π∈Π，满足T 0 π(t ) 2<∞,a .s ..Chen 和Epstein [4]给出了随机微分效用的一般形式，代理人使用一个概率测度集．现定义密度生成元γ=(γt )为R d -值，对应γ的过程Z γt 是一个P -鞅，其中Z γ(t )=exp −12 t 0 γ(s ) 2d s − t 0γ(s )·d w (t ) .因此，生成的概率测度Q γ在(Ω,F )上等价于P ，其中d Q γd P=Z γ,0≤t ≤T.(2)记所有密度生成元集为Θ．如果Θ= (γt ):sup {|γi t |:0≤t ≤T }≤κi ,i =1,2,···,d ,则称Θ为κ-无知(κ-ignorance ，见文献[4])，κ可以理解为含糊厌恶程度．相应的先验集为P ={Q γ:γ∈Θ,Q γ由(2)式给定}．容易知道对于任何R d -值过程 ，存在(¯γt ( t )),(γt ( t ))∈Θ，使得¯γt ( t )· t =max γ∈Θγt · t ,γt ( t )· t =min γ∈Θγt · t .当投资者具有先验集P 时，方程(1)随着P 中不同先验的取值而有不同的表现形式．考虑任意Q ∈P ,γ为相应的密度生成元．由Girsanov 定理知，满足d w Q (t )=d w (t )+γ(t )d t 的随机过程w Q (t )是Q -布朗运动，于是财富过程(1)式可整理为d X (t )=r (t )X (t )d t +X (t )π(t )σ(t ) d w Q (t )+ θ(t )−γ(t ) d t −c (t )d t.以c e −L 表示实际消费，X e −L 表示实际财富，其中c 是用于消费的金额，X 是财富．u 1(·)与u 2(·)分别表示实际消费与实际财富的效用函数．假设u 1(·)与u 2(·)是二阶可导、严格递增的凹函数，且有u i (0)=∞,u i (∞)=0,i =1,2．有关消费效用和终端财富效用的刻画可见文802工程数学学报第29卷献[1]的第3.6节．于是，区别含糊和含糊态度的α-MEU 可表示如下(这是投资者的目标函数)J t =J c (·),π(·);x,L,t=αmin Q ∈P ET t e −β(s −t )u 1 c (s )e −L (s ) d s+e −β(T −t )u 2 X (T )e −L (T ) L (t )=L,X (t )=x+(1−α)max Q ∈P ET t e −β(s −t )u 1 c (s )e −L (s ) d s+e −β(T −t )u 2 X (T )e −L (T )L (t )=L,X (t )=x ,(3)其中min 项表明投资者是悲观的，而max 项表明投资者是乐观的．参数α∈[0,1]，反映投资者对含糊的态度．尤其，α=1表示投资者极度悲观，α=0表示投资者极度乐观．以下令¯γt =¯γt (σt ),γt =γt (¯σt )．现提供假设(H)：对于任意c ∈C ,π∈Π，都有ET 0u 21 c (t )e −L (t ) d t<∞,E u 22X (T )e −L (T ) <∞.令d w I (t )=(d w I (t )−ρd w (t ))/ 1− ρ 2，类似Fei [6]，有下面的命题．命题1设(H)成立．固定c ∈C ,π∈Π，那么：(i)存在唯一过程(¯J t ,¯σt ,¯σI t )和(J t ,σt ,σI t )，分别满足倒向随机微分方程d ¯J t = −u 1 c (t )e −L (t ) +β¯J t +γt·¯σt d t +¯σt ·d w (t )+¯σI t d w I (t ),¯JT =u 2 X (T )e −L (T ) ,(4)d J t = −u 1 c (t )e −L (t ) +βJ t +¯γt ·σt d t +σt ·d w (t )+σI t d w I (t ),J T=u 2 X (T )e −L (T ) .(5)(ii)(¯J t )=(J Q γt )是(4)的解；(J t )=(J Q ¯γt )是(5)的解．进而，对0≤t ≤T ，则有¯J t =E Q γT t e −β(s −t )u 1 c (s )e −L (s ) d s+e−β(T −t )u 2 X (T )e −L (T ) L (t )=L,X (t )=x ,J t =E Q ¯γT t e −β(s −t )u 1 c (s )e −L (s ) d s+e −β(T −t )u 2 X (T )e −L (T ) L (t )=L,X (t )=x .命题2设(H)成立．固定c ∈C ,π∈Π．假设先验集Θ是κ-无知的，那么：(i)设γκt (σJ t )=γκt = γ1,κt ,γ2,κt ,···,γd,κt ,γi,κt =λi,κt ¯γi,κ(σκt )+(1−λi,κt )γi,κt (¯σκt ),第6期费为银，李淑娟：Knight不确定下带通胀的最优消费和投资模型研究803其中λi,κt=ασi,κtασi,κt+(1−α)¯σi,κt,i=1,2,···,d,在κ-无知下，(¯σκt ,¯σI,κt)和(σκt,σI,κt)分别是(4)和(5)的解．那么由(3)定义的J t满足倒向随机微分方程d J t=−u1c(t)e−L(t)+βJ t+γκt(σJ t)·σJ td t+σJ t·d w(t)+σI t d w I(t),J T=u2X(T)e−L(T).(ii)假设λi t∈[0,1]，对于任意的t∈[0,T],i=1,2,···,d,γκ=(γκt)0≤t≤T，那么Qγκ∈P，使得对0≤t≤T，则有J t=E QγκTt e−β(s−t)u1c(s)e−L(s)d s+e−β(T−t)u2X(T)e−L(T)L(t)=L,X(t)=x.4投资者效用的最大化以及最优策略以A(x,t)表示所有满足X(t)=x,L(t)=L的容许策略(c,π)集，使得E QT0e−βs u−1c(s)e−L(s)d s+e−βT u−2X(T)e−L(T)<∞,∀Q∈P,¯σκt(c,π)=σκt(c,π)>0,(t,ω)∈[0,T]×Ω,a.e..对于α∈[0,1]，具有α-maxmin期望效用的Knight不确定代理人的值函数定义为V(x,L,t)=sup(c,π)∈A(x,t)Jc(·),π(·);x,L,t.对于(c,π)∈A(x,t)，命题2的条件成立．此时可知，存在γκt=(2α−1)κ，使得Jc(·),π(·);x,L,t=EκTte−β(s−t)u1c(s)e−L(s)d s+e−β(T−t)u2X(T)e−L(T)L(t)=L,X(t)=x,其中Eκ=E Qγκ．于是类似Bensoussan等[9]的处理，我们可用HJB方程解值函数和最优策略．容易推出，在消费篮子价格完全可观察的情形下，HJB方程为∂V ∂t −βV+r(t)x∂V∂x+I−12ζ2∂V∂L+12ζ2∂2V∂L2+maxcu1(c e−L)−c∂V∂x+maxπxπσ(t)θ(t)−(2α−1)κ∂V∂x+ρζ∂2V∂L∂x+12x2πa(t)π∂2V∂x2=0,(6)带有终端条件V(x,L,T)=u2(x e−L)，其中a(t)=σ(t)σ(t) 对任意t是可逆的．解(6)中消费策略问题是一个凹优化问题．因此，一阶条件也是充分的，即e−L u 1(c e−L)= V x(x,L,t)，于是得最优反馈消费策略为c∗(x,L,t)=e L l1e L V x(x,L,t),(7)804工程数学学报第29卷其中l1(·)是u 1的反函数．获得(6)中最优投资策略π的问题是一个二次最大化问题．假设市场是完备的，则最优投资组合策略为π∗(x,L,t)=−(σ(t) )−1xV xx(x,L,t)θ(t)−(2α−1)κV x(x,L,t)+ρζV Lx(x,L,t).(8)下面给出经典的共同基金定理的修正形式．定理1(三基金定理)在消费篮子价格完全可观察的情形下，考虑通胀，下列结论成立：1)最优投资组合在无风险基金F1与两风险基金之间分配，其中两风险基金仅由风险资产组成：F2(t)=σ(t)−1θ(t)−(2α−1)κ,F3(t)=σ(t)−1ρ,这里F k(t)表示t时刻风险资产的第k个投资组合权重，k=2,3；2)时刻t财富投资于基金F k(t)的最优比例µk(t),k=1,2,3，为µ2(t)=−V x(X,L,t)X(t)V xx(X,L,t),µ3(t)=−ζV Lx(X,L,t)X(t)V xx(X,L,t),µ1(t)=1−µ2(t)−µ3(t).证明由(8)式可知π∗(x,L,t)=−(σ(t) )−1X(t)V xx(X,L,t)θ(t)−(2α−1)κV x(x,L,t)+ρζV Lx(x,L,t)=−V x(X,L,t)X(t)V xx(X,L,t)σ(t)−1θ(t)−(2α−1)κ−ζV Lx(X,L,t)X(t)V xx(X,L,t)σ(t)−1ρ=µ2(t)F2(t)+µ3(t)F3(t).此时，µk(t)可被认为是基金F k(t)中的财富比例，k=2,3．证毕本文考虑一个区别含糊和含糊态度的最优消费和投资组合问题．通过倒向随机微分方程方法，在新概率测度下，将投资者的α-maxmin期望效用转化为标准的期望效用．利用动态规划和鞅方法，通过求解HJB方程获得最优消费和投资策略，并在理论上得到了修正的共同基金定理：在消费篮子价格完全可观察的情形下，最优投资组合由三基金组成(经典问题仅需要两基金)，第一基金是无风险资产，第二基金是成长型最优投资组合基金，第三基金产生于通胀不确定性和市场风险相互关系之中；而且在考虑通胀和含糊后，明确给出了最优投资组合在三基金之间的分配以及财富投资于三基金的最优比例．由(8)，HJB方程(6)式可写为V t−βV+r(t)xV x+I−12ζ2V L+12ζ2V LL+u1l1(e L V x)−e L l1(e L V x)V x−12|(θ(t)−(2α−1)κ)V x+ρζV Lx|2V xx=0,(9)带有终端条件V(x,L,T)=u2(x e−L)．例1以下考虑CRRA效用特殊情形下的显式解．设定常相对风险厌恶(CRRA)效用u i(y)=y1−φ/(1−φ),i=1,2,第6期费为银，李淑娟：Knight不确定下带通胀的最优消费和投资模型研究805其中相对风险厌恶系数φ>0,φ=1．注意到，若φ∈(0,1)，则y1−φ递增；若φ>1，则y1−φ递减．由CRRA效用得u1(y)=y−φ,l1(λ)=λ−1/φ，于是(9)可写为V t−βV+r(t)xV x+I−12ζ2V L+12ζ2V LL+φ1−φ(e L V x)φ−1φ−12|(θ(t)−(2α−1)κ)V x+ρζV Lx|2V xx=0,(10)其中V(x,L,T)=u2(x e−L)=11−φ(x e−L)1−φ.方程(10)的解为V(x,L,t)=11−φ(x e−L)1−φg(t),其中g(t)是以下常微分方程的解g +g(1−φ)r(t)−I+12ζ2−β+12ζ2(1−φ)2+121−φφθ(t)−(2α−1)κ−ρζ(1−φ)2+φgφ−1φ=0,带有终端条件g(T)=1．由(7)和(8)得最优消费和投资策略为c∗(x,L,t)=xg(t)1/φ,π∗(x,L,t) =1φσ(t)−1θ(t)−(2α−1)κ−ρζ(1−φ).(11)由(11)式可知：投资者越富有，消费率就越高；市场风险价格越高，投资者在风险资产上的投资越多．当α∈[0,12)时，即投资者比较乐观，则投资者会随着不确定的程度(κ)增加而增大风险资产的投资比例，反之，当α∈(12,1]时，即投资者比较悲观，则投资者会随着不确定的程度增加而减小风险资产的投资比例．当φ∈(0,1)时，此时投资者为高风险容忍投资者，如果通胀的不确定性与股票市场的不确定是正相关(ρ>0)，那么随着通胀波动性(ζ)加大，投资者将减少在风险资产上投资；反之，随着通胀波动性降低，投资者将加大在风险资产上投资．当φ>1时，此时投资者为低风险容忍投资者，如果通胀的不确定性与股票市场的不确定是正相关(ρ>0)，那么随着通胀波动性加大，投资者将增加在风险资产上投资；反之，随着通胀波动性降低，投资者将减少在风险资产上投资．总之，在区别含糊和含糊态度的框架下，本文处理了最优消费和投资决策问题，对Bensoussan等[9]的现有模型进行了推广，更加符合市场实际，具有一定的理论意义和应用价值．基于Knight不确定环境，关于消费篮子价格不完全可观察情形下投资者的最优消费和投资策略问题有待进一步研究．致谢：感谢审稿人仔细阅读手稿并提出了宝贵的修改意见！参考文献：[1]Karatzas I,Shreve S E.Methods of Mathematical Finance[M].New York:Springer,1998[2]Knight F H.Risk,Uncertainty and Profit[M].Boston:Houghton Mifflin,1921[3]Ellsberg D.Risk,ambiguity and the savage axioms[J].Quarterly Journal of Economics,1961,75(4):643-699806工程数学学报第29卷[4]Chen Z,Epstein L G.Ambiguity,risk and asset returns in continuous time[J].Econometrica,2002,70(4):1403-1443[5]Fei W Y.Optimal consumption and portfolio choice with ambiguity and anticipation[J].Information Sci-ences,2007,117(23):5178-5190[6]Fei W Y.Optimal portfolio choice based onα-MEU under ambiguity[J].Stochastic Models,2009,25(3):455-482[7]夏登峰，等.变折现率下带含糊厌恶与预期的最优投资研究[J].应用概率统计，2010,26(3):270-276Xia D F,et al.On study of optimal investment with ambiguity and anticipation underfluctuated discounting rate[J].Chinese Journal of Applied Probability and Statistics,2010,26(3):270-276[8]夏登峰，费为银，梁勇.带含糊厌恶的股东价值最大化[J].中国科学技术大学学报，2010,40(9):920-924Xia D F,Fei W Y,Liang Y.Maximization of shareholders’value with ambiguity[J].Journal of University of Science and Technology of China,2010,40(9):920-924[9]Bensoussan A,Keppo J,Sethi S P.Optimal consumption and portfolio decisions with partially observedreal prices[J].Mathematical Finance,2009,19(2):215-236[10]Karoui El N,Peng S,Quenez M C.Backward stochastic differential equations infinance[J].MathematicalFinance,1997,7(1):1-71Study on Optimal Consumption and Portfolio with Inflation underKnightian UncertaintyFEI Wei-yin,LI Shu-juan(Department of Financial Engineering,Anhui Polytechnic University,Wuhu,Anhui241000)Abstract:This paper studies the optimal consumption and portfolio choice problem of an investor who differentiates ambiguity and ambiguity attitude under the Knightian uncertainty(or ambiguity) and inflation.First,through the technique of backward stochastic differential equation(BSDE),an investor’sα-maxmin expected utility is characterized.Next,by using the dynamic programming prin-ciple,the HJB equation of optimal policies is derived,which deduces the modified mutual fund theorem consisting of three funds.Finally,in the special case of the constant relative risk-aversion utility,we derive the explicit expression of the optimal policy,and analyze the influence of ambiguity and inflation on optimal consumption and portfolio policies.Keywords:Knightian uncertainty;inflation;α-maxmin expected utility;BSDE;optimal consumption and portfolioReceived:09Feb2011.Accepted:13Sep2011.Foundation item:The National Natural Science Foundation of China(71171003);the Natural Sci-ence Foundation of Anhui Province(090416225);the Natural Science Foundation of Universities of Anhui Province(KJ2010A037).。