超几何分布习题
(完整版)超几何分布典型例题(附答案)
1.20世纪50年代，日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等症状，人们把它称为水俣病．经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞，使鱼类受到污染。
人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒．引起世人对食品安全的关注．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.00ppm．罗非鱼是体型较大，生命周期长的食肉鱼，其体内汞含量比其他鱼偏高．现从一批罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前一位数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：（Ⅰ）若某检查人员从这15条鱼中，随机地抽出3条，求恰有1条鱼汞含量超标的概率；（Ⅱ）以此15条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据．若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求ξ的分布列及Eξ.【分析】①不放回→超几何分布②N=15，汞含量超标的鱼为X，则X服从一个参数为15(N).5(M).3(n)的超几何分布③由频率估计概率/由样本估计总体 2句都等价于将N无限化→不是超几何分布④做n次独立重复实验，每次实验成功的概率都相同→二项分布法2：设3条鱼中汞含量超标的鱼的条数为X.则X服从一个参数为15、5、3的超几何分布∴P(X=1)=（每个概率的求得过程必须有公式和最简结果，再画表格）设“学生持满意态度”为事件A，由题意可知该事件满足古典概型。
∴P(A)=(Ⅱ)由题意可知，服从参数为14、3、4的超几何分布.（右上角为4-k）（1）解:设“扫黑除恶利国利民”的卡片有M张设抽取2张卡片中“扫黑除恶利国利民·”的卡片数为X,则X服从参数为9、M、2的超几何分布。
故由题意可得，即解得M=4则抽奖者获奖的概率为（为防止与第二问雷同,将X改为Y）（2）【分析】甲乙丙三人在抽奖过程中互不影响,各自独立,可看作3次独立重复实验,故为二项分布解:设中奖为事件A(下求中奖的概率)即则X服从参数为3(抽奖的人数)、5/9(中奖概率)的二项分布.补充：数学期望。
专题13 超几何分布(解析版)
专题13 超几何分布例1．有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的数学期望值是( ) A ．nB ．(1)M n N- C ．M n ND ．(1)M n N+ 【解析】解：设抽到的次品数为X ，则有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数X 服从超几何分布即~(X H n ，M ，)N ，∴抽到的次品数的数学期望值nMEX N=故选：C ．例2．有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，有如下几种变量：①X 表示取出的最大号码；②Y 表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数，这四种变量中服从超几何分布的是( ) A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①②③④【解析】解：超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n 次的试验次数，由此可知③④服从超几何分布． 故选：B ．例3．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则(4)P X ==140429．（用数字表示） 【解析】解：由题意467810157658714032121(4)151413121142954321C C P X C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 故答案为：140429例4．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为13． 【解析】解：从10件产品任取3件的取法共有310C ，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法分别为2146C C ，34C ．因此所求的概率21346431013C C C P C +==． 故答案为13．例5．设袋中有8个红球，2个白球，若从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率为815． 【解析】解：从袋中10个球中任取4个球，共有410C 种取法，则其中恰有3个红球的取法为3182C C ．∴从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率3182410815C C P C ==． 故答案为815． 例6．在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是 35． 【解析】解：设抽到次品个数为ξ，则~(3H ξ，2，10) 323105nM E N ξ⨯∴=== 故答案为：35例7．在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求： （1）取出的3个球中红球的个数X 的分布列； （2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．【解析】解：（1）由题意知，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3， 且X 服从参数为10N =，3M =，3n =的超几何分布，因此337310()(0,1,2,3)k kC C P X k k C -===；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分） 所以0337310357(0)12024C C P X C ====，12373106321(1)12040C C P X C ====，2137310217(2)12040C C P X C ====，30373101(3)120C C P X C ===；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）所以X 的分布列为：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A ，“恰好取出1个红球和2个黑球” 为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ，⋯⋯⋯⋯⋯（7分） 由于事件1A ，2A ，3A 彼此互斥，且123A A A A =++，而123413103()20C C P A C ==，27()(2)40P A P X ===， 31()(3)120P A P X ===，⋯⋯⋯⋯（10分） 所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为： 1233711()()()()20401203P A P A P A P A =++=++=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分） 答：取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为13．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）例8．某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）他能通过初试的概率．【解析】解：（1）设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X ，且0X =、1、2、3，X 服从超几何分布， 分布列如下：即（2）要答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况， 这两种情况是互斥的，根据上一问的计算可以得到 112(2)(2)(3)263P X P X P X ==+==+= 例9．某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X 表示其中男生的人数，（1）请列出X 的分布列；（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率． 【解析】解：（1）依题意得，随机变量X 服从超几何分布， 随机变量X 表示其中男生的人数，X 可能取的值为0，1，2，3，4．464410(),0,1,2,3,4k kC C P X k k C -===． ∴所以X 的分布列为：（2）由分布列可知至少选3名男生， 即8119(3)(3)(4)211442P X P X P X ==+==+=． 例10．某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为0.2P =．若从该批产品中任意抽取3件，（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；（2）求取出的3件产品中次品的件数X 的概率分布列与期望．【解析】解：设该批产品中次品有x 件，由已知0.210x=， 2x ∴=⋯（2分）（1）设取出的3件产品中次品的件数为X ，3件产品中恰好有一件次品的概率为12283107(1)15C C P X C ===⋯（4分）（2）X 可能为0，1，2∴383107(0)15C P X C ===7(1)15P X ==21283101(2)15C C P X C ===⋯（10分）X ∴的分布为：则77130121515155EX =⨯+⨯+⨯=⋯（13分） 例11．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？【解析】解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X 服从超几何分布(5H ，2，50)．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的箱或只有1箱不合格，所以被接收的概率为(1)P X ，即051455_2_48_2_48243(1)_50_50245C C C C P X C C =+=． 答：该批产品被接收的概率是243245． 例12．甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记下国徽面朝上的次数为m ；乙用一枚硬币掷2次，记下国徽面朝上的次数为n ． （1）算国徽面朝上不同次数的概率并填入下表：（2）现规定：若m n >，则甲胜；若n m ，则乙胜．你认为这种规定合理吗？为什么？ 【解析】解：（1）根据相互独立事件概率乘法公式得：（2）这种规定是合理的．这是因为甲获胜，则m n>当3m=时，2n=，1，0，其概率为11111 () 84248⨯++=当2m=时，1n=，0，其概率为3119() 82432⨯+=；当1m=时，0n=，其概率为313 8432⨯=；∴甲获胜的概率为1931 832322 ++=若乙获胜，则m n当2n=时，2m=，1，0，其概率为13317() 488832⨯++=；当1n=时，1m=，0，其概率为1318() 28832⨯+=；当0n=时，0m=，其概率为111 4832⨯=；∴乙获胜的概率为7811 3232322 ++=甲和乙获胜的概率相等，即获胜机会相等，所以这种规定是合理的．例13．某热水瓶胆生产的6件产品中，有4件正品，2件次品，正品和次品在外观上没有区别，从这6件产品中任意抽检2件，计算（1）2件都是正品的概率（2）至少有一件次品的概率．【解析】解：从6件产品中，抽取2件的概率有266515 21C⨯==⨯种（1）其中两件都是正品的基本事件有：246C=种故2件都是正品的概率62155 P==（2）由于“抽检的2件产品中有次品”与“2件都是正品”为对立事件故抽检的2件产品中至少有一件次品的概率23155P =-= 即至少有一件次品的概率35．例14．已知10件不同的产品中共有3件次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有3件次品为止． （1）求恰好在第5次测试时3件次品全部被测出的概率；（2）记恰好在第k 次测试时3件次品全部被测出的概率为()f k ，求()f k 的最大值和最小值．【解析】解：（1）若恰好在第5次测试时3件次品全部被测出，则第5次取出第3件次品，前4次中有2次是次品，2次是正品；则有124374A C A 种情况，从10件产品中顺序取出5件，有510A 种情况，则第5次测试时3件次品全部被测出的概率124374510120A C A P A ==， （2）根据题意，分析可得k 的范围是39k ，当36k 时，若恰好在第k 次测试时3件次品全部被测出，则第k 次取出第3件次品，前1k -次中有2次是次品，3k -次是正品；而从10件产品中顺序取出k 件，有10kA 种情况，则1312371101()(32)240k k k kA C A f k k k A ---==-+， 则f （3）1120=，f （4）140=，f （5）120=，f （6）112=； 当7k =时，即恰好在第7次测试时3件次品全部被测出，有两种情况，一是第7次取出第3件次品，前6次中有2次是次品，4次是正品；二是前7次没有取出次品，此时也可以测出三件次品，则146737677102(7)15A C A A f A +==； 当8k =时，即恰好在第8次测试时3件次品全部被测出，有两种情况，一是第8次取出第3件次品，前7次中有2次是次品，5次是正品；二是前7次恰有一次次品，第8次取出为合格品，则1571173777378107(8)30A C A A C A f A +==； 当9k =时，即恰好在第9次测试时3件次品全部被测出，此时f （9）1f =-（3）f -（4）f -（5）f -（6）f -（7）f -（8）715= 故1()(3)120min f k f ==，7()(9)15max f k f ==．例15．在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有(25,3)n n n ≠个，其余的球为红球．（Ⅰ）若5n =，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；（Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是415，求红球的个数； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望E ξ． 【解析】解：（Ⅰ）设“从袋中任取1个球是红球”为事件A ，则1()5P A =． 所以，22331412(2)()55125P C ==． 答：三次取球中恰有2个红球的概率为12125．⋯（4分） （Ⅱ）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B ，则222372106(1)(7)(6)4()9015n n C C C n n n n P B C -+++-+--===， 整理得：27120n n -+=，解得3n =（舍)或4n =． 所以，红球的个数为3个．⋯（8分）（Ⅲ）ξ的取值为2，3，4，5，6，且242102(2)15C P C ξ===，11432104(3)15C C P C ξ===，1123432101(4)3C C C P C ξ+===，11332101(5)5C C P C ξ===，232101(6)15C P C ξ===．所以ξ的分布列为所以，241111923456151535155E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．⋯（13分）。
考点36 超几何分布与二项分布(练习)(解析版)
考点36 超几何分布与二项分布【题组一 超几何分布】1．某市调硏机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50名市民，他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：（1）若所抽调的50名市民中，收入在[35,45)的有15名，求a ，b ，c 的值，并完成频率分布直方图．（2）若从收入（单位：百元）在[55,65)的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，选中的2人中恰有X 人赞成“楼市限购令”，求X 的分布列与数学期望．（3）从月收入频率分布表的6组市民中分别随机抽取3名市民，恰有一组的3名市民都不赞成“楼市限购令”，根据表格数据，判断这3名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果． 【答案】（1）0.2,0.3,10a b c ===，频率分布直方图见解析；（2）分布列见解析，()45E X =；（3）来自[)65,75的可能性最大．【解析】（1）由频率分布表得：0.10.20.10.11a b +++++=，即0.5a b +=． 收入在[)35,45的有15名，150.350b ∴==，0.2a ∴=，0.25010c ∴=⨯=，则频率分布直方图如下：（2）收入在[)55,65中赞成人数为2，不赞成人数为3， X ∴可能取值为0,1,2，则()23253010C P X C ===；()113225315C C P X C ===；()22251210C P X C ===， X ∴的分布列为：()4012105105E X ∴=⨯+⨯+⨯=． （3）来自[)65,75的可能性更大．2．某大学数学学院拟从往年的智慧队和理想队中选拔4名大学生组成志愿者招募宣传队.往年的智慧对和理想队的构成数据如下表所示，现要求选出的4名大学生中两队中的大学生都要有.（1）求选出的4名大学生仅有1名女生的概率；（2）记选出的4名大学生中女生的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.【答案】(1)2968;(2)见解析. 【解析】（1）选出的4人中智慧队和理想队的都要有，所以选法种数是：12223144444416361668C C C C C C ++=++=（种）选出的4名大学生仅有1名女生的选法有：从智慧队中选取1女生的选法共有12213232369C C C C +=+=（种）从理想队中选取1女生的选法共有103112121223223223212620C C C C C C C C C ++=++=（种）或者用排除法：1335129C C -=（种）所以，选出的4名大学生仅有1名女生的概率为920296868+= （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3则()221323233250686868C C C C P X ++====， ()2112132323253620291686868C C C C C C P X ++++====， ()225313101292686868C C P X -⨯-====， ()15536868C P X ===， 所以随机变量X 的分布列为5292951023012368686868682EX =⨯+⨯+⨯+⨯==. 3．某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，A B 、两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将A 队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家B 队的平均分比A 队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”．（1）根据茎叶图中的数据，求出A 队第六位选手的成绩；（2）主持人从A 队所有选手成绩中随机抽2个，求至少有一个为“晋级”的概率；（3）主持人从A B 、两队所有选手成绩分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ，求ξ的分布列．【答案】（1）20；（2）35；（3）答案见解析. 【解析】（1）B 队选手的平均分为111221252736226+++++=，设A 队第6位选手的成绩为x ， 则911132431186x+++++=，得20x（2）A 队中成绩不少于21分的有2个，从中抽取2个至少有一个为“晋级”的对立事件为两人都没有“晋级”，则概率2426135C P C -== （3）ξ的可能取值有0，1，2，3，4，()2242226660225C C P C C ξ===()1122112424422266561225C C C C C C P C C ξ+=== ()111122222442224422661012225C C C C C C C C P C C ξ++=== ()1111122422442266563225C C C C C C P C C ξ+=== ()1224226664225C C P C C ξ===∴ξ的分布列为【题组二 二项分布】1．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为34，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.（1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；（2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为Y ，求Y 的分布列及数学期望和方差.【答案】（1）甲通过自主招生初试的可能性更大.（2）见解析，()15E Y =，75()4D Y =. 【解析】（1）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，在这8个试题中甲能答对6个，∴甲通过自主招生初试的概率314626144881114C C C P C C =+= 参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试.在这8个试题中乙能答对每个试题的概率为34， ∴乙通过自主招生初试的概率43324313189()444256P C ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 1118914256>，∴甲通过自主招生初试的可能性更大. （2）根据题意，乙答对题的个数X 的可能取值为0，1，2，3，4.~X B 34,4⎛⎫ ⎪⎝⎭()4431()0,1,2,3,444k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且5Y X =∴Y 的概率分布列为：()554154E Y np ∴==⨯⨯= ()25(1)254444D Y np p =-=⨯⨯⨯=.2．2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的9COVID -病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.（1）求一个接种周期内出现抗体次数K 的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X 元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y 元.本着节约成本的原则，选择哪种实验方案. 【答案】（1）分布列见解析；（2）①825元；②选择方案二.【解析】（1）由题意可知，随机变量K 服从二项分布13,2KB ⎛⎫⎪⎝⎭， 故()331122kkk P K k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（0,1,2,3k =）则X 的分布列为（2）①设一个接种周期的接种费用为ξ元，则ξ可能的取值为200，300，因为()12004P ξ==，()33004P ξ==，所以()1320030027544E ξ=⨯+⨯=. 所以三个接种周期的平均花费为()()33275825E X E ξ==⨯=. ②随机变量Y 可能的取值为300，600，900，设事件A 为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由（1）知，()311882P A =+=. 所以()()13002P Y P A ===， ()()()160014P Y P A P A ==-⨯=⎡⎤⎣⎦， ()()()19001114P Y P A P A ==-⨯-⨯=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以()111300600900525244E Y =⨯+⨯+⨯= 因为()()E X E Y >. 所以选择方案二.3．某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于3次称为“优秀小组”.小明与小亮同一小组，小明、小亮投篮投进的概率分别为12,p p .（1）若123p =，212p =，则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率；（2）若1243p p +=则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为16次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时12,p p 的值.【答案】（1）49（2）理论上至少要进行27轮游戏.2123p p == 【解析】（1）由题可知,所以可能的情况有①小明投中1次,小亮投中2次；②小明投中2次,小亮投中1次；③小明投中2次,小亮投中2次.故所求概率12212222222221112211221143322332233229P C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为()()()122221222222211222122221221212121()()1()()23()()P C p p C p C p C p p C p C p p p p p p p =-+-+=+-因为1243p p +=,所以22121283()()3P p p p p =- 因为101p ≤≤,201p ≤≤,1243p p +=,所以1113p ≤≤,2113p ≤≤,又21212429p p p p +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭所以121499p p <≤,令12t p p =,以1499t <≤,则()2833P h t t t ==-+ 当49t =时,max 1627P =,他们小组在n 轮游戏中获“优秀小组”次数ξ满足()~,B n p ξ由max ()16np =,则27n =,所以理论上至少要进行27轮游戏.此时1243p p +=,1249p p =,2123p p == 4．2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID -9病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.（1）求一个接种周期内出现抗体次数k 的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X 元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y 元.比较随机变量X 和Y 的数学期望的大小.【答案】（1）分布列答案见解析.（2）()()E X E Y >【解析】（1）由题意可知，随机变量k 服从二项分布13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故3311()(0,1,2,3)22k kk P k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则k 的分布列为（2）①设一个接种周期的接种费用为ξ元，则ξ可能的取值为200，300，因为1(200)4P ξ==，3(300)4P ξ==， 所以13()20030027544E ξ=⨯+⨯=. 所以三个接种周期的平均花费为()3()3275825E X E ξ==⨯=.②随机变量Y 可能的取值为300，600，900，设事件A 为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由（1）知，311()882P A =+=.所以1(300)()2P Y P A ===， 1(600)[1()]()4P Y P A P A ==-⨯=， 1(900)[1()][1()]14P Y P A P A ==-⨯-⨯=， 所以111()300600900525244E Y =⨯+⨯+⨯=. 所以()()E X E Y >.【题组三 超几何分布与二项分布综合运用】1．全国中小学生的体质健康调研最新数据表明我国小学生近视眼发病率为22.78%，初中生为55.22%，高中生为70.34%．影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素，主要原因是环境因素．学生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间很容易引起近视．除了学习，学生平时爱看电视、上网玩电子游戏、不喜欢参加户外体育活动，都是造成近视情况日益严重的原因．为了解情况，现从某地区随机抽取16名学生，调查人员用对数视力表检查得到这16名学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），如图：（1）写出这组数据的众数和中位数；（2）若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”．①从这16名学生中随机选取3名，求至少有2名学生是“好视力”的概率；②以这16名学生中是“好视力”的频率代替该地区学生中是“好视力”的概率．若从该地区学生（人数较多）中任选3名，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）众数为4.6和4.7，中位数为4.75（2）①19140②见解析，3()4E X =【解析】（1）由题意知众数为4.6和4.7，中位数为4.7 4.8 4.752+=． （2）①设事件i A ，表示“所选3名学生中有i 名是‘好视力’”(0,1,2,3)i =，设事件A 表示“至少有2名学生是好视力”．则()()213112423331616()C C C P A P A P A C C =+=+19140=②因为这16名学生中是“好视力”的频率为14，所以该地区学生中是“好视力”的概率为14．由于该地区学生人数较多，故X 近似服从二项分布13,4B ⎛⎫⎪⎝⎭．3327(0)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 2131327(1)4464P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 223139(2)4464P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 311(3)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为X 的数学期望为13()344E X =⨯=．。
高一数学超几何分布试题
高一数学超几何分布试题1.电子手表厂生产某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P（1≤X≤2013）等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先求出P（X=0），即第0次首次测到正品，即全是次品的概率，从而可得结论．解：由题意，P（X=0）=∴P（1≤X≤2013）=1﹣P（X=0）=故选B．点评：本题考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，考查学生的计算能力，属于中档题．2. 100件产品，其中有30件次品，每次取出1件检验放回，连检两次，恰一次为次品的概率为（）A．0.42B．0.3C．0.7D．0.21【答案】A【解析】设恰一次为次品为事件A，根据100件产品，其中有30件次品，每次取出1件检验放回，连检两次，可求基本事件的个数，从而可求恰一次为次品的概率．解：由题意，设恰有一次取出次品为事件A，则P（A）===0.42故选A．点评：本题考查的重点是概率知识的运用，解题的关键是确定基本事件的个数，应注意每次取出1件检验放回，属于基础题．3.（2010•上海模拟）在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是．【答案】【解析】设抽到次品个数为ξ，则ξ～H（3，2，10），利用公式Eξ=，即可求得抽到次品个数的数学期望的值．解：设抽到次品个数为ξ，则ξ～H（3，2，10）∴Eξ=故答案为：点评：本题考查离散型随机变量的数学期望，解题的关键是确定抽到次品个数服从超几何分布，从而利用相应的期望公式求解．4.设袋中有8个红球，2个白球，若从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率为．【答案】【解析】从袋中10个球中任取4个球，共有种取法，则其中恰有3个红球的取法为．利用古典概型的概率计算公式即可得出．解：从袋中10个球中任取4个球，共有种取法，则其中恰有3个红球的取法为．∴从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率P==．故答案为．点评：本题考查了古典概型的概率计算公式、组合数的计算公式，属于基础题．5.已知10件不同的产品中共有3件次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有3件次品为止．（1）求恰好在第5次测试时3件次品全部被测出的概率；（2）记恰好在第k次测试时3件次品全部被测出的概率为f（k），求f（k）的最大值和最小值．【答案】（1）（2）故，．【解析】（1）根据题意，若恰好在第5次测试时3件次品全部被测出，则第5次取出第3件次品，前4次中有2次是次品，2次是正品；有排列、组合数公式可得其情况数目，易得从10件产品中顺序取出5件的情况数目，由等可能事件的概率，计算可得答案；（2）根据题意，分析可得k的范围是3≤k≤9，进而分3≤k≤6、7≤k≤9时讨论，由等可能事件计算可得f（k），比较大小可得答案．解：（1）若恰好在第5次测试时3件次品全部被测出，则第5次取出第3件次品，前4次中有2次是次品，2次是正品；则有A31C72A44种情况，从10件产品中顺序取出5件，有A105种情况，则第5次测试时3件次品全部被测出的概率，（2）根据题意，分析可得k的范围是3≤k≤9，当3≤k≤6时，若恰好在第k次测试时3件次品全部被测出，则第k次取出第3件次品，前k﹣1次中有2次是次品，k﹣3次是正品；而从10件产品中顺序取出k件，有A10k种情况，则，则f（3）=，f（4）=，f（5）=，f（6）=；当k=7时，即恰好在第7次测试时3件次品全部被测出，有两种情况，一是第7次取出第3件次品，前6次中有2次是次品，4次是正品；二是前7次没有取出次品，此时也可以测出三件次品，则；当k=8时，即恰好在第7次测试时3件次品全部被测出，有两种情况，一是第8次取出第3件次品，前7次中有2次是次品，5次是正品；二是前7次恰有一次次品，第8次取出为合格品，则；当k=9时，即恰好在第9次测试时3件次品全部被测出，有两种情况，一是第9次取出第3件次品，前8次中有2次是次品，6次是正品；二是前8次取出1次次品，第9次取出第2件次品，．故，．点评：本题考查概率的计算，注意（2）中，当7≤k≤9时，计算f（k）时，需要分2种情况讨论．6.甲有一个箱子，里面放有x个红球，y个白球（x，y≥0，且x+y=4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子任取2个球，乙从箱子里在取1个球，若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜．（1）试问甲如何安排箱子里两种颜色的个数，才能使自己获胜的概率最大？（2）在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的数学期望．【答案】（1）当红球与白球各2个时甲获胜的概率最大（2）【解析】（1）根据甲从箱子任取2个球，乙从箱子里在取1个球，若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜，可得甲获胜的概率，再利用基本不等式，可得x，y的值；（2）由题意知取出的3个球中红球个数ξ的取值为1，2，3，4，分别求出其发生的概率，进而求出次数ξ的数学期望解：（1）由题意，；∴，当且仅当x=y=2时“=”成立所以当红球与白球各2个时甲获胜的概率最大（2）取出的3个球中红球个数ξ=0，1，2，3，所以点评：本题以摸球为素材，考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的期望，考查基本不等式的运用，解题的关键是理解题意，搞清变量的所有取值．7.某热水瓶胆生产的6件产品中，有4件正品，2件次品，正品和次品在外观上没有区别，从这6件产品中任意抽检2件，计算（1）2件都是正品的概率（2）至少有一件次品的概率．【答案】（1）P=（2）2种，我们计算出满足条【解析】（1）从这6件产品中任意抽检2件的基本事件总个数共有C6件2件都是正品的基本事件个数，代入古典概型计算公式，即可得到2件都是正品的概率；（2）根据（1）的结论，我们根据抽取的产品有都是正品和有次品为对立事件，根据对立事件概率减法公式，即可得到至少有一件次品的概率．2=种解：从6件产品中，抽取2件的概率有C62=6种（1）其中两件都是正品的基本事件有：C4故2件都是正品的概率P=（2）由于“抽检的2件产品中有次品”与“2件都是正品”为对立事件故抽检的2件产品中至少有一件次品的概率P=1﹣=即至少有一件次品的概率．点评：本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中根据（1）与（2）中的两个事件是对立事件，结合对立事件概率减法公式，是解答本题的关键．8.袋子A和袋子B均装有红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率是P．（1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率；（2）若A、B两个袋子中的总球数之比为1：2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率为，求P的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由于每次从A中摸一个红球的概率是，摸不到红球的概率为，根据独立重复试验的概率公式可得摸5次恰好有3次摸到红球的概率，运算求得结果．（2）设A中有m个球，根据A、B两个袋子中的球数之比为1：2，则B中有2m个球．将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，得到方程，即可求得概率．解：（1）每次从A中摸一个红球的概率是，摸不到红球的概率为，根据独立重复试验的概率公式，故共摸5次，恰好有3次摸到红球的概率为：P==10×=．（2）设A中有m个球，A、B两个袋子中的球数之比为1：2，则B中有2m个球，∵将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，∴=，解得p=．点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，属于中档题．9.某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数，（1）请列出X的分布列；（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．【答案】（1）（2）【解析】（1）本题是一个超几何分步，用X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．（2）选出的4人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有4人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果．解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．．∴所以X的分布列为：（2）由分布列可知至少选3名男生，即P（X≥3）=P（X=3）+P（X=4）=+=．点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．10.某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）他能通过初试的概率．【答案】（1）（2）【解析】（1）设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X，且X=0、1、2、3，X服从超几何分布，根据超几何分步的概率公式写出概率和分布列．（2）要答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况，即答对两道和答对三道，这两种情况是互斥的，根据上一问的计算可以得到．解：（1）设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X，且X=0、1、2、3，X服从超几何分布，分布列如下：X0123即（2）要答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况，这两种情况是互斥的，根据上一问的计算可以得到点评：本题考查超几何分布，本题解题的关键是看出变量符合超几何分布，这样可以利用公式直接写出结果．。
【高中数学】新人教A版高二7.4.2 超几何分布(练习题)
新人教A版高二7.4.2 超几何分布(2465)1.有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于（）A.35B.815C.1415D.12.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的,3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X=4)的值为（）A.1220B.2755C.2125D.272203.已知在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，5个红球，现分别从两个袋中任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中为C81C51+C41C61C121C111的是（）A.P(X=0)B.P(X⩽2)C.P(X=1)D.P(X=2)4.一批产品共有50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽取2件，其中出现次品的概率是（）A.44245B.949C.46245D.472455.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是（）A.都不是一等品B.恰有一件一等品C.至少有一件一等品D.至多有一件一等品6.一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个，其中白球4个，从中任取2个，则概率为C261C41+C42C302的事件是（）A.没有白球B.至少有1个白球C.至少有1个红球D.至多有1个白球7.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用X表示所选3人中女生的人数，则E(X)=（）A.0B.1C.2D.38.某班级有男生32人，女生20人，现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育委员.男生当选的人数记为X，则X的数学期望为（）A.1613B.2013C.3213D.40139.在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，则该考生考试合格的概率为．10.在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品.从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数X的数学期望是.11.从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，把随机X12.有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字之和为X，则D(X)=.13.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.(1)若厂家库房中的每件产品的合格率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格品的概率；(2)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收，求该商家可能检验出不合格产品的件数Y的分布列及数学期望E(Y)，并求该商家拒收这批产品的概率.14.某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的(1)从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意2名均不属于同一学院的概率；(2)从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.15. 李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．则李明入选的概率为．16.中国国际智能产业博览会(简称“智博会”)每年在重庆市举办，每年参加服务的志愿者分“嘉宾”“法医”等若干小组.2018年底，来自重庆大学、西南大学、重庆医科大学、西南政法大学的500名学生在重庆科技馆多功能厅参加了志愿者培训，如图是四所大学参加培训人数的不完整条形统计图，现用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽出50人作为2019年中国国际智博会服务的志愿者.(1)若“嘉宾”小组需要2名志愿者，求这2人分别来自不同大学的概率(结果用分数表示)；(2)若“法医”小组的3名志愿者只能从重庆医科大学或西南政法大学抽出，用X表示抽出的志愿者中来自重庆医科大学的人数，求X的分布列.参考答案1.【答案】:A【解析】:当X=0时，P(X=0)=C72C102，当X=1时，P(X=1)=C71C31C102；当X=2时，P(X=2)=C32C102，所以E(X)=0×C72C102+1×C71C31C102＋2×C32C102=7×3+2×3C102=35.故选A.2.【答案】:D【解析】:因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数为X，X=4即旧球增加1个，所以取出的3个球中必有1个新球，2个旧球，所以P(X=4)=C91C32C123=27220，故选 D.3.【答案】:C【解析】:C81C51表示在甲袋内取1个白球，乙袋内取1个红球的取法数；C4l C61表示在甲袋内取1个红球，乙袋内取1个白球的取法数.所以C81C51+C41C61表示分别从两个袋中任意取出1个球，取出的球中有1个白球的取法数，故选 C.4.【答案】:D【解析】:方法一：任意抽取的2件产品中次品数X服从超几何分布，其中P(X=1)=C51C451C502=949，P(X=2)=C52C45C502=2245，因此出现次品的概率P=P(X=1)+P(X=2)=47245.方法二：任意抽取的2件产品中次品数X服从超几何分布，其中P(X=0)=C50C452C502，故所求概率P=1−P(X=0)=1−C50C452C502=47245.5.【答案】:D【解析】:P（都不是一等品）=C22C52=110，P（恰有一件一等品）=C31C21C52=610=35，P（至少有一件一等品）=1−110=910，P（至多有一件一等品）=1−C32C52=710.6.【答案】:B【解析】:C261C41+C42C302=C261C41C302+C42C302表示任取的2个球中只有1个白球或2个都是白球的概率，故选 B.7.【答案】:B【解析】:由题意，X的可能取值为0,1,2，则P(X=0)=C43C63=15,P(X=1)=C42C21C63=35,P(X=2)=C41C22C63=15，所以E(X)=15×0+1×35+2×15=1.故选B.8.【答案】:C【解析】:由题意知，随机变量X的可能取值是0，1，2，3，4，且P(X=0)=C320·C204C524=C204C524，P(X=1)=C321·C203C524，P(X=2)=C322·C202C524，P(X=3)=C323·C201C524，P(X=4)=C324·C200C524=C324C524.所以E(X)=0×C204C524+1×C321·C203C524+2×C322·C202C524+3×C323·C201C524+4×C324C524=1C524(32×20×19×3+32×31×19×10+32×31×30×10+32×31×29×5)=3213.故选 C.9.【答案】:1415【解析】:设该考生选取的3道题中，考生能答对的试题数为X，则X可以取1,2,3.P(X=1)=C81·C22C103=115，P(X=2)=C82·C21C103=715，P(X=3)=C83·C20C103=715.该考生考试合格的概率为P(X⩾2)=P(X=2)＋P(X=3)=715＋715=1415.10.【答案】:910【解析】:由题知X服从超几何分布，所以P(X=k)=C3k C73−kC103，k=0,1,2,3，X所以E(X)=0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120=910.11.【答案】:0.6；0.3【解析】:X服从超几何分布，则P(X=0)=C22C52=110=0.1,P(X=1)=C31C21C52=610=0.6,P(X=2)=C32C52=310=0.3.12.【答案】:3.36【解析】:由题意得，随机变量X的可能取值为6,9,12.P(X=6)=C83C103=715，P(X=9)=C82×C21C103=715，P(X=12)=C81×C22C103=115，则E(X)=6×715+9×715+12×115=11715=7.8，D(X)=715×(6−7.8)2+715×(9−7.8)2+115×(12−7.8)2=3.36.13(1)【答案】设X为取出合格品的件数，则X～B(4,0.8)，故P(X⩾1)=1−P(X=0)=1−C40×0.80×0.24=0.9984.(2)【答案】不合格产品的件数Y的可能取值为0,1,2，则Y服从超几何分布，且P(Y=0)=C30C172C202=6895，P(Y=1)=C31C171C202=51190，P(Y=2)=C32C170C202=3190.所以Y的分布列为所以E(Y)=0×6895＋1×51190＋2×3190=310， 且商家拒收这批产品的概率P =P(Y =1)＋P(Y =2)=51190＋3190=2795.14(1)【答案】从20名学生中随机选出3名有C 203种选法，选出3人中任意2人均不属于同一学院的选法有C 41C 61C ＋14C 41C 61C ＋16C 41C 41C ＋16C 61C 41C 61=480，所以所求概率P =480C 203=819.(2)【答案】X 的可能取值为0,1,2,3.P(X =0)=C 163C 203=2857，P(X =1)=C 162C 41C 203=819,P(X =2)=C 161C 42C 203=895，P(X =3)=C 43C 203=1285.E(X)=2857×0＋819×1＋895×2＋1285×3=35.15.【答案】:23【解析】:设所选3道题中李明能答对的题数为X ，则X 服从超几何分布，且P(X =k)=C 6k C 43−kC 103(k =0,1,2,3)，故所求概率为P(X ⩾2)=P(X =2)＋P(X =3) =C 62C 41C 103＋C 63C 4C 103=23.16(1)【答案】由题易知抽出的50名志愿者中来自重庆大学、西南大学、西南政法大学的人数分别为15,20,5，则50名志愿中来自重庆医科大学的人数为50−(15+20+5)=10，则重庆大学、西南大学、重庆医科大学、西南政法大学的志愿者人数分别为15，20，10，5.所以所求概率P=1−C152+C202+C102+C52C502=57.(2)【答案】X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=C53C153=291，P(X=1)=C52C101C153=2091,P(X=2)=C51C102C153=4591,P(X=3)=C103C153=2491，X。
课时作业2：7.4.2 超几何分布
7.4.2 超几何分布一、选择题1.一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X 表示取出的最大号码； ②X 表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X 表示取出的4个球的总得分； ④X 表示取出的黑球个数.这四种变量中服从超几何分布的是( ) A.①② B.③④ C.①②④D.①②③④2.某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为( )A.C 615A 615B.C 310C 35C 615 C.C 410C 25C 615D.C 410A 25A 6153.一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 222C 226的是( )A.P (0<X ≤2)B.P (X ≤1)C.P (X ＝1)D.P (X ＝2)4.设袋中有80个球，其中40个红球，40个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中任取两球，则所取的两球同色的概率为( )A.3979 B.180 C.12D.41815.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于C 47C 68C 1015的是( )A.P (X ＝2)B.P (X ≤2)C.P (X ＝4)D.P (X ≤4)二、填空题6.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X 表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P (X ＝1)＝________.7.某导游团由外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有2人会说日语的概率为________.8.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________.(结果用最简分数表示)三、解答题9.某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学.(1)求X的分布列；(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率.10.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字.求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的概率分布；(3)计算介于20分到40分之间的概率.参考答案1.【解析】由超几何分布的概念知③④符合，故选B.【答案】B2.【解析】组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为C 410C 25C 615.【答案】C3.【解析】结合题意，当X ＝1时，P (X ＝1)＝C 122C 14C 226，当X ＝0时，P (X ＝0)＝C 222C 226，故P (X ≤1)＝C 122C 14＋C 222C 226【答案】B4.【解析】由题意知所求概率为P ＝C 240＋C 240C 280＝3979.【答案】A5.【解析】15个村庄中，7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，C 47C 68表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便，6个交通方便的村庄，故P (X ＝4)＝C 47C 68C 1015.【答案】C6.【解析】X ＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P (X＝1)＝C 13C 12C 25＝35.【答案】357.【解析】有两人会说日语的概率为C 26C 24C 410＝37.【答案】378.【解析】从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，则P (A )＝C 127C 13C 230＋C 23C 230＝28145.【答案】281459.解：(1)X 的可能取值为0,1,2,3.根据公式P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }算出其相应的概率.即X 的分布列为(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为P ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝1556＋1528＝4556.10.解：(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23.(2)由题意，X 所有可能的取值为2,3,4,5.P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130；P (X ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215； P (X ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310；P (X ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815. 所以随机变量X 的概率分布为(3)一次取球得分介于20分到40分之间的事件记为C ，P (C )＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝215＋310＝1330.。
(完整版)超几何分布典型例题(附答案)
,将X改为Y）
2）【分析】甲乙丙三人在抽奖过程中互不影响,各自独立,可看作3次独立重复实验,故为二项分布
:设中奖为事件A(下求中奖的概率)
即
X服从参数为3(抽奖的人数)、5/9(中奖概率)的二项分布.
.20世纪50年代，日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等症状，人们把它称为水俣病．经调
使鱼类受到污染。人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒． 引
《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.00ppm．
15条作样
15条鱼中，随机地抽出3条，求恰有1条鱼汞含量超标的概率；
2：设3条鱼中汞含量超标的鱼的条数为X.则X服从一个参数为15、5、3的超几何分布
P(X=1)=
A，由题意可知该事件满足古典概型。
P(A)=
Ⅱ)由题意可知，服从参数为14、3、4的超几何分布.
4-k）
1） 解:设“扫黑除恶利国利民”的卡片有M张
2张卡片中“扫黑除恶利国利民·”的卡片数为X,则X服从参数为9、M、2的超几何分布。
15条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据．若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的
ξ的分布列及EξΒιβλιοθήκη ②N=15，汞含量超标的鱼为X，则X服从一个参数为15(N).5(M).3(n)的超几何分布
③由频率估计概率/由样本估计总体 2句都等价于将N无限化→不是超几何分布
④做n次独立重复实验，每次实验成功的概率都相同→二项分布
人教版高中数学选择性必修第三册-7.4.2超几何分布-A组基础-同步训练(含解析)
人教版高中数学选择性必修第三册7.4.2超几何分布A组基础同步训练（原卷版）一、选择题1．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为()A．N＝15，M＝7，n＝10B．N＝15，M＝10，n＝7C．N＝22，M＝10，n＝7D．N＝22，M＝7，n＝102．（2021·石家庄市正中实验中学高二月考）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则()2P X<等于（）A．715B．815C．1315D．14153．（2021·安徽省蚌埠第三中学高二月考）校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二（1）班的候选人的人数，则()E X=（）A．34B．89C．38D．454．（2021·黑龙江实验中学高二月考）在中国共产党建党100年之际，我校团委决定举办“鉴史知来"读书活动，经过选拔，共10人的作品被选为优秀作品，其中高一年级5人，高二年级5人，现采取抽签方式决定作品播出顺序，则高二年级5名同学的作品在前7顺位全部被播放完的概率为（）A．112B．13C．12D．345．（多选题）（2021·江苏高二）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（）A．X表示取出的最大号码B．X表示取出的最小号码C．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分D．X表示取出的黑球个数6．（多选题）（2021·山东淄博市高二期末）在一个袋中装有质地大小一样的6黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（）A．3(2)7P X==B．随机变量X服从二项分布C．随机变量X服从超几何分布D．8 ()5 E X=二、填空题7．（2021·江苏省海头高级中学高二月考）一批产品共50件，有5件次品，其余均为合格品．从这批产品中任意抽取2件，出现次品的概率为________．8．（2021·山东淄博市高二期末）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期的概率为________．(结果用最简分数表示)9．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高二）一袋中有除颜色不同其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个，有黄球的概率是______，若ξ表示取到黄球球的个数，则()Eξ=______. 10．（2021·全国高二专题练习）10名同学中有a名女生,若从中抽取2个人作为学生代表,恰好抽取1名女生的概率为1645,则a=________.三、解答题11．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围是[0,10]，分别有五个级别：T∈[0,2)为畅通；T∈[2,4)为基本畅通；T∈[4,6)为轻度拥堵；T∈[6,8)为中度拥堵；T∈[8,10]为严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图所示：(1)这20个路段中轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列．12．（2021·全国高二课时练）第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系､促进人口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生(走读生及半走读生)按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为7:2，住校生中男生占47，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集体户户主进行人口普查登记.（1）应从住校的男生､女生中各抽取多少人？（2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训①求这3人中既有男生又有女生的概率；②用X表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量X的分布列与数学期望.人教版高中数学选择性必修第三册7.4.2超几何分布A 组基础同步训练（解析版）一、选择题1．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X 表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X 服从超几何分布，其参数为()A ．N ＝15，M ＝7，n ＝10B ．N ＝15，M ＝10，n ＝7C ．N ＝22，M ＝10，n ＝7D ．N ＝22，M ＝7，n ＝10【答案】A【详解】根据超几何分布概率模型知选A.2．（2021·石家庄市正中实验中学高二月考）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则()2P X <等于（）A ．715B ．815C ．1315D ．1415【答案】D【详解】()()()112377221010142==1+=0=15C C C P X P X P X C C <+=，故选：D 3．（2021·安徽省蚌埠第三中学高二月考）校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X 表示选到高二（1）班的候选人的人数，则()E X =（）A ．34B ．89C ．38D ．45【答案】D【详解】超几何分布列如下()2621015045C P X C ===,()()112440662210102461,24545C C C C P X P X C C ======X012P15452445645244564()12455E X =⨯+⨯=．4．（2021·黑龙江实验中学高二月考）在中国共产党建党100年之际，我校团委决定举办“鉴史知来"读书活动，经过选拔，共10人的作品被选为优秀作品，其中高一年级5人，高二年级5人，现采取抽签方式决定作品播出顺序，则高二年级5名同学的作品在前7顺位全部被播放完的概率为（）A ．112B ．13C ．12D ．34【答案】A【详解】由题意知：若X 表示抽到高二年级同学的作品数，则服从(,,)XH n M N ，可类比：在含有5件次品的10件商品中取7次，恰好将5件次品全部取出的概率，即7,5,10n M N ===，∴5752510557710101(5)12C C C P X C C --⋅====.故选：A.5．（多选题）（2021·江苏高二）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（）A ．X 表示取出的最大号码B ．X 表示取出的最小号码C ．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X 表示取出的4个球的总得分D ．X 表示取出的黑球个数【答案】CD【详解】AB 不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，即AB 错；CD 选项符合超几何分布的定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，即CD 正确；故选：CD.6．（多选题）（2021·山东淄博市高二期末）在一个袋中装有质地大小一样的6黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X ，则下列结论正确的是（）A ．3(2)7P X ==B ．随机变量X 服从二项分布C ．随机变量X 服从超几何分布D ．8()5E X =【答案】ACD【详解】由题意知随机变量X 服从超几何分布，故B 错误，C 正确；随机变量X 的所有可能为0，1，2，3，4，46410C 1(0)C 14P X ===，1346410C C 8(1)C 21P X ===，2246410C C 3(2)C 7P X ===，3146410C C (3)C P X ==435=，44410C 1(4)C 210P X ===，故18341812341421()73521050E X ´+´+´+´+´==，故A ，D 正确．故选：ACD ．二、填空题7．（2021·江苏省海头高级中学高二月考）一批产品共50件，有5件次品，其余均为合格品．从这批产品中任意抽取2件，出现次品的概率为________．【答案】47245【详解】设抽取的2件产品中次品的件数为X ，则P (X ＝k )＝C k 5C 2－k 45C 250(k ＝0,1,2)．所以P (X >0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 145C 250＋C 25C 250＝47245.8．（2021·山东淄博市高二期末）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期的概率为________．(结果用最简分数表示)【答案】28145【详解】从这30瓶饮料中任取2瓶．设至少取到1瓶已过保质期为事件A ，则P (A )＝C 127C 13C 230＋C 23C 230＝28145.9．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高二）一袋中有除颜色不同其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个，有黄球的概率是______，若ξ表示取到黄球球的个数，则()E ξ=______.【答案】910;65【详解】一袋中有除颜色不同其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个，基本事件总数n ＝35C ＝10，其中有黄球包含的基本事件个数m ＝21122323C C C C +＝9．∴有黄球的概率是p ＝mn ＝910．ξ表示取到黄球的个数，则ξ的所有可能取值为0，1，2，P （ξ＝0）＝3335C C ＝110，P （ξ＝1）＝122335C C C ＝610，P （ξ＝2）＝212335C C C ＝310，∴E （ξ）＝0×16312101010+⨯+⨯＝65．10．（2021·全国高二专题练习）10名同学中有a 名女生,若从中抽取2个人作为学生代表,恰好抽取1名女生的概率为1645,则a=________.【答案】2或8【详解】根据题意,得1645= 10- 11 102,解得a=2或a=8.三、解答题11．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T ，其范围是[0,10]，分别有五个级别：T ∈[0,2)为畅通；T ∈[2,4)为基本畅通；T ∈[4,6)为轻度拥堵；T ∈[6,8)为中度拥堵；T ∈[8,10]为严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图所示：(1)这20个路段中轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X 表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X 的分布列．【详解】(1)轻度拥堵的路段个数是(0.1＋0.2)×1×20＝6；中度拥堵的路段个数是(0.3＋0.2)×1×20＝10.(2)X 的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 010C 310C 320＝219，P (X ＝1)＝C 110C 210C 320＝1538，P (X ＝2)＝C 210C 110C 320＝1538，P (X ＝3)＝C 310C 010C 320＝219.所以X 的分布列为X 0123P2191538153821912．（2021·全国高二课时练）第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系､促进人口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生(走读生及半走读生)按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为7:2，住校生中男生占47，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集体户户主进行人口普查登记.（1）应从住校的男生､女生中各抽取多少人？（2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训①求这3人中既有男生又有女生的概率；②用X 表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量X 的分布列与数学期望.【答案】（1）男生､女生就分别抽取4人，3人；（2）①67；②分布列答案见解析，数学期望：97.【详解】（1）由已知住校生中男生占47，则女生占37，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此男生､女生就分别抽取4人，3人.（2）①设事件A 为“抽取的3名户主中既有男生，又有女生”，设事件B 为“抽取的3名户主中男生有1人，女生有2人”；事件C 为“抽取的3名户主中男生有2人，女生有1人”，则A =B ∪C ，且B 与C 互斥，124337()C C P B C ==1235，214337()C C P C C ==1835，故()()()P A P B P C =+=67，所以，事件A 发生的概率为67.②随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，33437()(0,1,2,3)k kC C P x k k C -===.随机变量X 的分布列为X 0123P43518351235135随机变量X 的数学期望4181219()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.。
(完整版)超几何分布典型例题(附答案)
1.20世纪50年代，日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等症状，人们把它称为水俣病．经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞，使鱼类受到污染。
人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒．引起世人对食品安全的关注．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.00ppm．罗非鱼是体型较大，生命周期长的食肉鱼，其体内汞含量比其他鱼偏高．现从一批罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前一位数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：（Ⅰ）若某检查人员从这15条鱼中，随机地抽出3条，求恰有1条鱼汞含量超标的概率；（Ⅱ）以此15条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据．若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求ξ的分布列及Eξ.【分析】①不放回→超几何分布②N=15，汞含量超标的鱼为X，则X服从一个参数为15(N).5(M).3(n)的超几何分布③由频率估计概率/由样本估计总体 2句都等价于将N无限化→不是超几何分布④做n次独立重复实验，每次实验成功的概率都相同→二项分布法2：设3条鱼中汞含量超标的鱼的条数为X.则X服从一个参数为15、5、3的超几何分布∴P(X=1)=（每个概率的求得过程必须有公式和最简结果，再画表格）设“学生持满意态度”为事件A，由题意可知该事件满足古典概型。
∴P(A)=(Ⅱ)由题意可知，服从参数为14、3、4的超几何分布.（右上角为4-k）（1）解:设“扫黑除恶利国利民”的卡片有M张设抽取2张卡片中“扫黑除恶利国利民·”的卡片数为X,则X服从参数为9、M、2的超几何分布。
故由题意可得，即解得M=4则抽奖者获奖的概率为（为防止与第二问雷同,将X改为Y）（2）【分析】甲乙丙三人在抽奖过程中互不影响,各自独立,可看作3次独立重复实验,故为二项分布解:设中奖为事件A(下求中奖的概率)即则X服从参数为3(抽奖的人数)、5/9(中奖概率)的二项分布.补充：数学期望。
课时作业12：2.1.3 超几何分布
2.1.3 超几何分布1．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )A.C 480C 610C 10100B.C 680C 410C 10100 C.C 480C 620C 10100D.C 680C 420C 10100答案 D解析 记取出的10个球中红球个数为X ，则X 服从超几何分布，即P (X ＝6)＝C 680C 420C 10100，故选D.2．一个盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用(用完即为旧的)，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( ) A.1220 B.2755 C.27220 D.2125 答案 C解析 由题意知，取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.3．已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C 47×C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 C解析 X 服从超几何分布，基本事件总数为C 1015，所求事件数为C X 7C 10－X8，∴P (X ＝4)＝C 47×C 68C 1015.4．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________． 考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 45解析 设所选女生数为随机变量X ，则X 服从超几何分布，所以P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24C 36＝45.5．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X 的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X 的分布列．解 (1)X 的分布列为X 0 1 P3747(2)∵P (X ＝0)＝C 23C 27＝17，∴X 的分布列为X 0 1 P1767超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N ，M 和n 就可以根据公式：P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN求出X 取不同值k 时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M ，N ，n ，k 的含义.一、选择题1．下列随机事件中的随机变量X 服从超几何分布的是( ) A ．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB ．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为XC ．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD ．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X 是首次摸出黑球时的总次数考点 超几何分布 题点 超几何分布的概念 答案 B解析 由超几何分布的定义可知B 正确．2．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，则出现二级品的概率为( ) A.C 35C 350 B.C 15＋C 25＋C 35C 350C ．1－C 345C 350D.C 15C 25＋C 25C 145C 350考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求概率 答案 C解析 出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品的概率为C 345C 350，故答案为1－C 345C 350.3．一个盒子里装有大小、材质均相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则等于C 14C 122＋C 222C 226的是( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ≥1)D ．P (X ≥2)答案 B解析 由条件知，随机变量X 服从参数为N ＝26，M ＝4，n ＝2的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0,1,2，且P (X ＝k )＝C k 4C 2－k 22C 226(k ＝0,1,2)，∴P (X ＝0)＝C 04C 222C 226，P (X ＝1)＝C 14C 122C 226，P (X＝2)＝C 24C 022C 226，∴P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 222＋C 14C 122C 226.4．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为( ) A.310 B.130 C.13 D.23 考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列 答案 C解析 P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 24C 16C 310＋C 34C 310＝13. 5．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为( ) A.2845 B.1145 C.1745 D.1645 答案 D解析 记取出的次品件数为X ，则X 服从超几何分布．由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P (X ＝1)＝C 12C 18C 210＝1645.6．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是310的事件为( )A ．恰有1个是坏的B ．4个全是好的C ．恰有2个是好的D ．至多有2个是坏的考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 C解析 设“X ＝k ”表示“取出的螺丝钉恰有k 个是好的”，则P (X ＝k )＝C k 7C 4－k 3C 410(k ＝1,2,3,4)．所以P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310，P (X ＝3)＝12，P (X ＝4)＝16，故选C.7．若X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则事件{X ＝k }中含有的基本事件个数为( )A ．C k M C n －kN B ．C k M C n －kN －M C ．C k M C n －k M －ND ．C n －k M C k M －N考点 超几何分布 题点 超几何分布的概念 答案 B解析 事件{X ＝k }表示从含M 件次品的N 件产品中，任取n 件产品，其中恰有k 件次品，则必有n －k 件正品，因此事件{X ＝k }中含有C k M C n －kN －M 个基本事件．二、填空题8．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示) 考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率答案 C 13C 397＋C 497C 4100解析 二级品不多于1台，即一级品有3台或4台．9．某手机经销商在已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X 为选取的年龄低于30岁的人数，则P (X ＝1)＝________. 考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案1538解析 易知P (X ＝1)＝C 15C 115C 220＝1538.10．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，则P (X ＝2)＝________.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求概率 答案512解析 设10个球中有白球m 个， 则C 210－mC 210＝1－79，解得m ＝5.所以P (X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512.三、解答题11．在15人的数学兴趣小组中，有5名三好学生，现从中任意选出8人参加“希望杯”数学竞赛，求一定有三好学生参加的概率．解 设X 为选出的8人中三好学生的人数，则X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，且X 服从参数为N ＝15，M ＝5，n ＝8的超几何分布． 由于P (X ＝0)＝C 810C 815＝1143，因此，一定有三好学生参加的概率为 P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝142143≈0.993.故一定有三好学生参加的概率约为0.993.12．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中的2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量X 的分布列； (2)他能及格的概率． 考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列 解 (1)X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，C 3106所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P1303101216(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝12＋16＝23.13．为了迎接即将到来的某商界大会，大会组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者做接待工作，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)．若身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm 以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X 的分布列． 考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列解 (1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以选中的“高个子”有12×16＝2(人)，“非高个子”有18×16＝3(人)．用事件A 表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一个‘高个子’被选中”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710.因此，至少有一人是“高个子”的概率是710.(2)依题意，得X 的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (X ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855，P (X ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255，C 31255因此，X 的分布列为四、探究与拓展14．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110.(2)依题意得，X 1的分布列为X 2的分布列为15.某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8)，其中女校友6人，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现从中随机选出2名校友代表，若选出的是一男一女，则为“最佳组合”．(1)若随机选出2名校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)若n ＝12，被选出的2名校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列．解 (1)由题意得C 1n －6C 16C 2n ≥12，解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16. (2)ξ的可能取值为0,1,2，且 P (ξ＝0)＝C 26C 212＝522，P (ξ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (ξ＝2)＝C 26C 212＝522，所以ξ的分布列为。
第9练超几何分布、二项分布和正态分布(精练)(原卷版)
第9练 超几何分布、二项分布和正态分布【题型解读】【题型一 超几何分布】1.（华师大二附中高三练习）为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（1）班-（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下：（x 轴表示对应的班号，y 轴表示对应的优秀人数）(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；(2)若从以上统计的高一（4）班的10名学生中抽出2人，设X 表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X 的分布列及其数学期望；(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“1k ξ=”表示第k 班抽到的这名同学身体素质优秀，“0k ξ=”表示第k 班抽到的这名同学身体素质不是优秀()1,2,,8k =⋅⋅⋅．写出方差()()()()1234,,,D D D D ξξξξ的大小关系（不必写出证明过程）．2. 为发展业务，某调研组对A ，B 两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内(),0n n n ∈>N 个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为415. (1)求n 的值；(2)若一次抽取4个城市，①假设抽取出的小城市的个数为X ，求X 的可能值及相应的概率； ②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.3. （贵州省思南中学高三月考）为庆祝2021年中国共产党成立100周年，某校高二年级举行“党史知识你我答”活动，共有10个班，每班选5名选手参加了预赛，预赛满分为150分，现预赛成绩全部介于90分到140分之间.将成绩结果按如下方式分成五组：第一组[)90,100，第二组[)100,110，…，第五组[]130,140.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求参赛学生在这次活动中成绩良好的人数；（2）若从第一､五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.4．（全国高三课时练习）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）年份2015201620172018201920202021新能源汽车销量占比 1.5%2%3%5%8%9%20%(1)从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；(2)从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望．【题型二二项分布】1.（四川模拟）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 10 55 合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X .附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，()2P k χ>0.05 0.01 k3.8416.6352.（武昌模拟）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是23，那么在本次运动会上：（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及期望．3．（石家庄模拟）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占12，通过电视收看的约占13，其他为未收看者：(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；(2)从被调查对象中随机选取3人，用X表示通过电视收看的人数，求X的分布列和期望．4. （临沂二模）某种植户对一块地上的n（*n∈N）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的，且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则概率均为12需要补种.（1）当n取何值时，有3个坑要补种的概率最大？最大概率为多少？n=时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列.（2）当4【题型三正态分布】1.（唐山二模）每年4月15口为全民国家安全教育日，某地教育部门组织大学生“国家安全”知识竞赛．已N，知当地只有甲、乙两所大学，且两校学生人数相等，甲大学学生的竞赛成绩X服从正态分布(60,100)N．乙大学学生的竞赛成绩Y服从正态分布(70,100)(1)从甲大学中随机抽取5名学生，每名学生的竞赛成绩相互独立，设其中竞赛成绩在[50,70]内的学生人数为T，求T的数学期望；(2)从两所大学所有学生中随机抽取1人，求该学生竞赛成绩在[60,70]内的概率；(3)记这次竞赛所有大学生的成绩为随机变量Z ，并用正态分布()200,N μσ来近似描述Z 的分布，根据（2）中的结果，求参数0μ和0σ的值．（0σ的值精确到0.1）附：若随机变量()2~,X N μσ，则(||)0.6826P X μσ-≤=，(||0.44)0.3413P X μσ-≤=．2.（山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）2021年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人，2020年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长(单位：小时)，并绘制如图所示的频率分布直方图．(1)估计这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组数据区间的中间值代表)；(2)由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若()2,XN μσ，令X Y μσ-=，则(0,1)YN ，且()a P X a P Y μσ-⎛⎫≤=≤ ⎪⎝⎭．(i)利用直方图得到的正态分布，求(10)P X ≤；(ii)从该地随机抽取20名志愿者，记Z 表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求(1)P Z ≥(结果精确到0.001)，以及Z 的数学期望(结果精确到0.01)．1.64 1.2816.4 4.05，200.59870.000035≈，200.72910.0018≈，200.78230.0074≈.若(0,1)YN ，则(0.25)0.5987P Y ≤≈，(0.61)0.7291P Y ≤≈，(0.78)0.7823P Y ≤≈.3．（高三课时练习）绿水青山就是金山银山，生态环境日益受大家重视．2021年广州市某公司为了动员职工积极参加植树造林，在3月12日植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每位植树者植树每满15棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满25棵获得一次乙箱内摸奖机会．每箱内各有10个球（这些球除颜色外全相同），甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a 个红球、b 个黄球、5个黑球（*,a b N ∈），乙箱内有4个红球和6个黄球．每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金．（1）经统计，每人的植树棵数X 服从正态分布()20,25N ，现有100位植树者，请估计植树的棵数X 在区间()15,25内的人数（结果四舍五入取整数）；（2）某人植树50棵，有两种摸奖方法：方法一：三次甲箱内摸奖机会；方法二：两次乙箱内摸奖机会；请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大？ 附参考数据：若()2,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈．4.（广东高三模拟）中国人民解放军装甲兵学院（前身蚌埠坦克学院），建校至今为我国培养了一大批优秀的军事人才.在今年新入学的学生中，为了加强爱校教育，现在从全体新入学的学生中随机的抽取了100人，对他们进行校史问卷测试，得分在45~95之间，分为[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数X 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为新人学的学生校史问卷测试分数X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数X ，2σ近似为样本方差2s . （i ）求()47.279.9P X <<；（ii ）在某间寝室有6人，求这6个人中至少有1人校史问卷测试分数在90.8分以上的概率. 参考数据：若()2,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，11910.9≈，60.95440.76≈，50.97720.89≈，60.97720.87≈.【题型四 特殊分布的综合应用】1（山东·高密三中高三阶段练习）某药厂研制了治疗一种疾病的新药，该药的治愈率为85%.现用此药给10位病人治疗，记被治愈的人数为X .(1)若6X =，从这10人中随机选3人进行用药体验访谈，求被选中的治愈人数Y 的分布列和数学期望； (2)当k 为何值时，概率()P X k =最大？并说明理由.2．（常州市新桥高级中学高三模拟）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试．经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们“向量数量积”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如下表：甲校乙校使用AI作业不使用AI作业使用AI作业不使用AI作业基本掌握32285030没有掌握8141226用样本频率估计概率，并假设每位学生是否掌据“向量数量积”知识点相互独立．(1)从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率；(2)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，以ξ表示这2人中使用AI作业的人数，求ξ的分布列和数学期望；(3)从甲校高一学生中抽取一名使用“Al作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“1X=”表示该使用=”表示该使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X0=”表示该不使用“AI作业”积”，用“1Y=”表示该不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“Y0的学生没有掌握“向量数量积”．直接写出方差DX和DY的大小关系．（结论不要求证明）。
超几何分布习题
2、一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽的1件次品的概率是AA B 0.78 C D 5、从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中任取2张，则两数之和是奇数的概率是________________.951.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望． （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且23241()2C P A C ==，24262()5C P B C ==．故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P A B P A P B ==⨯=··．（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且21132422464()15C C C P C C C ==··，123422461()5C C PD C C ==·． 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=．（Ⅲ）解：ξ可能的取值为0123，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得1(0)5P ξ==，7(1)15P ξ==，13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==． ξ的分布列为ξ的数学期望012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．2某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品． Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率． 解(1.) 0,1,2,3ξ= 所以ξ的分布列为ξ的数学期望E(ξ)=0123 1.250505050⨯+⨯+⨯+⨯= (2)P(2ξ≥)=15217(2)(3)505050P P ξξ=+==+=本题主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率,难度对于民族地区学生较大3.袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用ε表示取出的3个小球上的最大数字，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量ε的概率分布和数学期望； (3)计分介于20分到40分之间的概率.解：（I ）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则311152223102()3C C C C P A C ⋅⋅⋅== 解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A ”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B 是互斥事件，因为1215283101()3C C C P B C ⋅⋅==，所以12()1()133P A P B =-=-=.（II ）由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5. 所以随机变量ε的概率分布为因此ε的数学期望为2345301510153E ε=⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C ，则4.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为31，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：（Ⅰ）随机变量ξ的分布列； （Ⅱ）随机变量ξ的期望.解：（1）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5。
高中试卷-7.4.2超几何分布 -B提高练(含答案)
7.4.2超几何分布 ---B 提高练一、选择题1． 12人的兴趣小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛．若随机变量X 表示参加竞赛的“三好学生”的人数，则C 35C 37C 612为( )A ．P (X ＝6)B ．P (X ＝5)C ．P (X ＝3)D ．P (X ＝7)【答案】C【详解】由题意可知随机变量X 服从参数为N ＝12，M ＝5，n ＝6的超几何分布．由公式P (X ＝k )＝C kM C n －k N －M C nN ，易知C 35C 37C 612表示的是X ＝3的取值概率．2．（2021·全国高二单元测）纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集了如下9枚纹样微章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹微章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（）．A ．34B ．3742C ．2137D ．542【答案】B【详解】从9枚纹样微章中选择3枚，所有可能事件的数量为39C ，满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为35C ，因为“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”，所以3539543371198742C P C ´´=-=-=´´，故选：B.3．（2021·贵州高二期末）甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X ，则()E X =( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】B【解析】由已知得0123X =，，，．336333661020C C P X C C ===（）， 12265333669120C C C P X C C ===（），31164333669220C C C P X C C ===（）， 336333661320C C P X C C ===（）19910123 1.520202020E x \=´+´+´+´=． 故选B ．4.（2021·全国高二专题练）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是（ ）A ．至少有1个深度贫困村B ．有1个或2个深度贫困村C ．有2个或3个深度贫困村D ．恰有2个深度贫困村【答案】B【详解】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，X 服从超几何分布，故()33437k k C C P X k C -==，所以()3043374035C C P X C ===，()21433718135C C P X C ===，()12433712235C C P X C ===，()0343371335C C P X C ===，()()6127P X P X =+==.故选：B 5．（2021·广东中山一中高二月考）甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X ，则()E X =( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】B【解析】由已知得0123X =，，，．336333661020C C P X C C ===（）， 12265333669120C C C P X C C ===（）， 31164333669220C C C P X C C ===（） 336333661320C C P X C C ===（），19910123 1.520202020E x \=´+´+´+´=． 6．（多选题）（2021·山东菏泽市高二期末）一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（）A ．取出的最大号码X 服从超几何分布B ．取出的黑球个数Y 服从超几何分布C ．取出2个白球的概率为114D ．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为114【答案】BD【详解】解：一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，对于A ，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n 次的试验次数，由此可知取出的最大号码X 不服从超几何分布，故A 错误；对于B ，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n 次的试验次数，由此可知取出的黑球个数Y 服从超几何分布，故B 正确；对于C ，取出2个白球的概率为226441037C C p C ==，故C 错误；对于D ，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，\总得分最大的概率为46410114C P C ==，故D 正确．故选：BD ．二、填空题7．（2021·湖北黄冈市·高二期末）数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格。
9道题分清超几何分布和二项分布(含答案)
9道题分清超几何分布和二项分布（含答案）一．解答题（共9小题）1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．2．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．(3．随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动，学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”，不少于16千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽取抽查人36名教职工，其每天的走步情况统计如下：步数[0，4000）[4000，16000）[16000，+∞]人数618-12现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人，从选出的6人中随机抽取2人进行调查．（1）求这两人健步走状况一致的概率；（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长%．下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过500万元的城市个数，求Y的分布列及期望和方差．？5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量（g）[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]10 12 8 4数量~6（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望．6．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：~ 经常进行网络购物偶尔或从不进行网络购物合计男性50501006040100/女性合计11090200*（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）&k0[7．手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：步数性别（0，2500）[2500，5000）[5000，7500）[7500，10000）[10000，+∞）…男02472女1（3731（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关积极型<消极型总计男女/总计附：．P（K2≥k0）)k0—8．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数!女性录用比例A26916762%402460% /B401230%2026231%C$1775732%1845932%D44）59%382258%263267%E32…67%16936%总计53326450%·467（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）9．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”…（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．文科生理科生合计获奖5]不获奖合计<200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）'k-9道题分清超几何分布和二项分布参考答案与试题解析…一．解答题（共9小题）1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．【分析】（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X的概率分布，计算数学期望值．【解答】解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为：；……（4分）（2）因为每人可被录用的概率为，所以，，，；故随机变量X的概率分布表为：@X0123 P(…………（8分）所以，X的数学期望为．……（10分）【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是基础题．2．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．!（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P （A）=1﹣P．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P（A）=1﹣P =1﹣=．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k ）=，>P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．X的分布列为：X0123P&【点评】本题考查了对立与互相独立事件概率计算公式、超几何分布列与数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动，学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”，不少于16千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽取抽查人36名教职工，其每天的走步情况统计如下：;步数[0，4000）[4000，16000）[16000，+∞]人数61812:现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人，从选出的6人中随机抽取2人进行调查．（1）求这两人健步走状况一致的概率；（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．【分析】（1）记事件A，这2人健步走状况一致，利用互斥事件概率计算公式能求出这两人健步走状况一致的概率．（2）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）记事件A，这2人健步走状况一致，则．（2）X的可能取值为0，1，2，)所以，所以X的分布列为X 0 1 2P&所以．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查互斥事件概率计算公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长%．下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过500万元的城市个数，求Y的分布列及期望和方差．，【分析】（1）根据频率分布直方图，能求出产值小于500万元的城市个数．（2）由Y的所有可能取值为0，1，2．分别滶出相应的概率，由此能求出Y的分布列及期望和方差．【解答】解：（1）根据频率分布直方图可知，产值小于500万元的城市个数为：[（+）×5]×40=14．（2）Y的所有可能取值为0，1，2．，，．?∴Y的分布列为：Y012P，期望为：，方差为：．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布、期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量（g）[5，15）#[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]数量 6 10 12【84（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X ，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）估算妹纸生蚝的质量为，由此能估计这批生蚝的数量．（2）任意挑选一只，质量在[5，25）间的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为：，|所以购进500kg，生蚝的数量为500000÷≈17554（只）．（2）由表中数据知，任意挑选一只，质量在[5，25）间的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，则，，∴X的分布列为：X 0—12 3 4P:∴．【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络购物-合计偶尔或从不进行网络购物男性5050100100女性60}40合计11090200（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；/（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）`k0【分析】（1）由列联表数据求出K 2≈＜，从而不能在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关．（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有3人，偶尔或从不进行网购的有2人，由此能求出从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率．、（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是，由于该市市民数量很大，故可以认为X～B（10，），由此能求出X的期望和方差．【解答】解：（1）由列联表数据计算K2=≈＜，∴不能在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关．（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有5×=3人，偶尔或从不进行网购的有5×=2人，故从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率是p=+=．（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是，^由于该市市民数量很大，故可以认为X～B（10，），∴E（X）=，D（X）==．【点评】本题考查独立性检验及应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7．手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：步数性别—（0，2500）[2500，5000）[5000，7500）[7500，10000）[10000，+∞）男02~472女1373&1（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关积极型消极型总计男}女总计》附：．P（K2≥k0）《k0【分析】（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为．X可能取值分别为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅱ）完成2×2列联表求出k 2的观测值k0≈＜．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．*【解答】解：（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为．X可能取值分别为0，1，2，3，∴，，，，∴X的分布列为X 0[231P·则．（Ⅱ）完成2×2列联表如下：积极型消极型总计男9—156女41115总计13—3017k2的观测值=．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位.男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A269、16762%402460%B4012}30%2026231%C1775732%，1845932%D442659%38.2258%E3267%32：67%总计53326450%46716936%$（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）【分析】（I）根据录用总人数与应聘总人数的比值得出概率；（II）根据超几何分布列的概率公式得出分布列和数学期望；（III）去掉一个岗位后计算剩余4个岗位的男女总录用比例得出结论．【解答】解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为533+467=1000，被该企业录用的人数为264+169=433，?所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2．因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，所以；；．所以X 的分布列为：X01]2P．（Ⅲ）取掉A岗位后，男性的总录用比例为≈%，女性的总录用比例为≈%，故去掉A岗位后，男、女总录用比例接近．'∴这四种岗位是：B、C、D、E．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，离散型随机变量的分布列，属于中档题．9．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．文科生理科生合计获奖5不获奖合计200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）k【分析】（1）列出表格根据公式计算出K2，参考表格即可得出结论．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．即可得出．【解答】解：（1）文科生理科生合计获奖53540不获奖45115160合计50150200k==≈＞，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．P（X=k）=×（）k（1﹣）3﹣k（k=0，1，2，3），X0123PE（X）=3×=．【点评】本题考查了独立性检验原理、二项分布列的概率计算公式与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册6.4.2超几何分布(带答案)
4．2 超几何分布必备知识基础练知识点一 超几何分布的概念1.下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．(1)抛掷三枚骰子，所得向上的点数是6的骰子的个数记为X ，求X 的分布列；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X ，求X 的分布列；(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X ，求X 的分布列；(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X ，求X 的分布列；(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X ，求X 的分布列．知识点二 超几何分布的概率2.已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率等于C 47 ·C 68C 1015的是( )A ．P(X ＝2)B ．P(X≤2)C ．P(X ＝4)D ．P(X≤4)3．某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列．知识点三 超几何分布与二项分布间的关系4.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为质量超过505克的产品数量，求X 的分布列，并求其均值；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y 为质量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．关键能力综合练一、选择题1．30件产品中，有15件一等品，10件二等品，5件三等品，现随机地抽取5件，下列不服从超几何分布的是( )A ．抽取的5件产品中的一等品数B ．抽取的5件产品中的二等品数C ．抽取的5件产品中的三等品数D ．30件产品中的三等品数 2．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为( )A ．C 34 C 248 C 552B ．C 348 C 24 C 552C ．1－C 148 C 44 C 552D ．C 34 C 248 ＋C 44 C 148 C 5523．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P(X ＝4)＝( )A ．1220B ．2755C ．2125D ．272204．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是( ) A ．至少有1个深度贫困村 B ．有1个或2个深度贫困村 C ．有2个或3个深度贫困村 D ．恰有2个深度贫困村5．[探究题]两位同学一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从所有面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率为170.”则根据这位负责人的话可以推断出参加面试的总人数为( )A ．21B ．35C ．42D ．70 二、填空题6．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为____________(用式子表示).7．从3个男生和n 个女生中，任选3人参加比赛，若3人中至少有1个女生的概率为3435，则n ＝________．8．[双空题]为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，则事件A 发生的概率是________；设X 为选出的4人中种子选手的人数，则随机变量X 均值EX ＝________．三、解答题 9．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从10张中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的期望．学科素养升级练1.[多选题]口袋中有n 个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，若取到红球，则继续取球，且取出的红球不放回；若取到白球，则停止取球．记取球的次数为X ，若P(X ＝2)＝730，则下列结论正确的是( ) A ．n ＝7 B ．P(X ＝3)＝7120C ．EX ＝118D ．DX ＝122．[学科素养——数学运算与逻辑推理]教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．(1)求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率； (2)求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．4．2 超几何分布必备知识基础练1．解析：(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题． (3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X 表示抽取n 件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)中没有给出不合格产品数，无法计算X 的分布列，所以不属于超几何分布问题．2．解析：由题意得，变量X 服从超几何分布，基本事件总数为C 1015 ，所求事件数为C X7 C10－X 8，∴P (X ＝4)＝C 47 ·C 68C 1015.故选C.答案：C3．解析：(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．代表队中的学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33 C 34C 36 C 36＝1100. 因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100 ＝99100 .(2)根据题意，知X 的所有的可能取值为1，2，3. P (X ＝1)＝C 13 C 33 C 46 ＝15 ，P (X ＝2)＝C 23 C 23 C 46 ＝35 ，P (X ＝3)＝C 33 C 13 C 46 ＝15 .所以X 的分布列为4.解析：(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).(2)质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X 的取值为0，1，2，X 服从超几何分布．P (X ＝0)＝C 228 C 240 ＝63130 ，P (X ＝1)＝C 112 C 128 C 240 ＝2865 ，P (X ＝2)＝C 212 C 240 ＝11130 ，∴X 的分布列为∴X 的均值为方法一：EX ＝0×63130 ＋1×2865 ＋2×11130 ＝35 .方法二：EX ＝2×1240 ＝35.(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240＝310. 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y 的可能取值为0，1，2，且Y ～B (2，310)，P (Y ＝k )＝C k 2 ×(310 )k ×(1－310)2－k ，k ＝0，1，2， ∴P (Y ＝0)＝C 02 ×(710 )2＝49100，P (Y ＝1)＝C 12 ×310 ×710 ＝2150， P (Y ＝2)＝C 22 ×(310)2＝9100. ∴Y 的分布列为关键能力综合练1．解析：选项A ，B ，C 中的产品数都是变量，且满足超几何分布的形式和特点；而选项D 中的三等品数是常数，不是变量．答案：D2．解析：设X 为抽出的5张扑克牌中含A 的张数，则P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34 C 248 C 552 ＋C 44 C 148C 552. 答案：D3．解析：因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数为X ＝4，即旧球增加1个，所以取出的3个球中必有1个新球，2个旧球，所以P (X ＝4)＝C 19 C 23 C 312 ＝27220 .故选D.答案：D4．解析：用X 表示选到的3个村中深度贫困村的个数，则X 服从参数N ＝7，M ＝3，n ＝3的超几何分布，所以P (X ＝k )＝C k 3 C 3－k 4 C 37 (k ＝0，1，2，3)，则P (X ＝0)＝C 03 C 34 C 37 ＝435 ，P (X ＝1)＝C 13 C 24 C 37 ＝1835 ，P (X ＝2)＝C 23 C 14 C 37 ＝1235 ，P (X ＝3)＝C 33 C 04 C 37 ＝135.所以P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝67 ，即有1个或2个深度贫困村的概率为67.答案：B5．解析：设共有n (n ∈N ＋，n ≥3)个人参加面试，则从n 个人中招聘3人的结果共有C 3n种，其中两位同学同时被招进的结果有C 22 C 1n －2 种，所以两位同学同时被招进的概率为P ＝C 22 C 1n －2 C 3n ＝170，解得n ＝21. 答案：A6．解析：二级品不多于1台，即一级品有3台或4台，故所求概率为C 13 C 397 ＋C 497 C 4100 . 答案：C 13 C 397 ＋C 497 C 41007．解析：由题意得，参赛的3人中没有女生的概率为C 33 C 0n C 3n ＋3 ＝1－3435 ＝135 ，解得n ＝4.答案：48．解析：由已知得P (A )＝C 22 C 23 ＋C 23 C 23 C 48 ＝635 ，∴事件A 发生的概率为635 .随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.P (X ＝k )＝C k5 C 4－k3C 48(k ＝1，2，3，4).∴随机变量X 的分布列为EX ＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.答案：635 529．解析：(1)P ＝1－C 26 C 210 ＝1－1545 ＝23 ，即该顾客中奖的概率为23.(2)X 的所有可能值为：0，10，20，50，60， 且P (X ＝0)＝C 26 C 210 ＝13 ，P (X ＝10)＝C 13 C 16 C 210 ＝25 ，P (X ＝20)＝C 23 C 210 ＝115 ，P (X ＝50)＝C 11 C 16 C 210 ＝215 ，P (X ＝60)＝C 11 C 13 C 210 ＝115 .故X 的分布列为：EX ＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16(元).学科素养升级练1．解析：由P (X ＝2)＝730 ，得C 1n C 13 C 1n ＋3 C 1n ＋2 ＝730 ， 即3n （n ＋3）（n ＋2） ＝730，整理得90n ＝7(n ＋2)(n ＋3)，即7n 2－55n ＋42＝0.解得n ＝7或n ＝67(舍去).X 的可能取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 17 C 110 ＝710 ，P (X ＝2)＝C 13 C 17 C 110 C 19 ＝730 ，P (X ＝3)＝C 13 C 12 C 17 C 110 C 19 C 18 ＝7120 ，P (X ＝4)＝C 13 C 12 C 11 C 17 C 110 C 19 C 18 C 17 ＝1120 ，所以EX ＝1×710 ＋2×730 ＋3×7120 ＋4×1120 ＝118 ，DX ＝(1－118 )2×710＋(2－118 )2×730 ＋(3－118 )2×7120 ＋(4－118 )2×1120 ＝77192.故选ABC. 答案：ABC2．解析：(1)5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取的概率为25 ，则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率为P ＝C 13 25 ×(35 )2＝54125.(2)第二次抽取到的没有支教经验的教师人数最有可能是1人．理由如下：设ω表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，ω可能的取值有0，1，2， 则P (ω＝0)＝C 22 C 25 ＝110 ，P (ω＝1)＝C 12 C 13 C 25 ＝35 ，P (ω＝2)＝C 23 C 25 ＝310，设ξ表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，则ξ可能的取值为0，1，2，第二次抽到的无支教经验的教师人数对应的概率，是在第一次抽取结果的基础上得到的，是条件概率，则有P (ξ＝0)＝C 22 C 25 ·C 22 C 25 ＋C 12 C 13 C 25 ·C 23 C 25 ＋C 23 C 25 ·C 24 C 25 ＝37100 ；P (ξ＝1)＝C 22 C 25 ·C 12 C 13 C 25 ＋C 12 C 13 C 25 ·C 12 C 13 C 25 ＋C 23 C 25 ·C 14 C 11 C 25 ＝54100； P (ξ＝2)＝C 22 C 25 ·C 23 C 25 ＋C 12 C 13 C 25 ·C 22 C 25 ＋C 23 C 25 ·0＝9100 .因为P (ξ＝1)>P (ξ＝0)>P (ξ＝2)，故第二次抽取到的没有支教经验的教师人数最有可能是1人.。
《超几何分布 》练习
超几何分布一、单选题1．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（）A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为XB．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为XC．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X2．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的正品数的数学期望值是（）A．MnN⋅B．N MnN-C．()1MnN-⋅D．()1N MnN--⋅3．某党支部有10名党员，7男3女，为迎接建党100周年，从中选取2人做汇报演出，若X 表示选中的女党员数，则()2P X<=（）.A．715B．815C．1415D．14．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（）A．N＝15，M＝7，n＝10B．N＝15，M＝10，n＝7C．N＝22，M＝10，n＝7D．N＝22，M＝7，n＝105．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（）A．11317250C CCB．20347350C CCC．1233250C CCD．1120347347250C C C CC+6．在10个排球中有6个正品，4个次品，从中随机抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（）A．542B．435C．1942D．8217．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（）A．2(1)5P X==B．随机变量X服从二项分布C．随机变量X服从几何分布D．()83E X=8．《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23二、多选题 9．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X 为其中白球的个数，随机变量Y 为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z 为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）A ．97(|6|1)105P Z -≤=B ．()()E X E Y >C ．()()D X D Y = D ．()285E Z = 10．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出()16,N*n n n ≤≤∈个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到红球的个数为Y ，则随着()16,N*n n n ≤≤∈的增加，下列说法正确的是（ ）A ．()E Y 增加B ．()E Y 减小C ．()D Y 增加 D ．()D Y 减小 三、填空题11．一个口袋中装有7个球，其中有5个红球，2个白球抽到红球得2分，抽到白球得3分．现从中任意取出3个球，则取出3个球的得分Y 的均值()E Y 为___________．12．从由1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的六位数中任取5个不同的数,其中满足1,3都不与5相邻的六位偶数的个数为随机变量X,则P(X=2)=_____.(结果用式子表示即可)四、解答题13．某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答1道相关问题，根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级有5名选手，现从每个班级的5名选手中随机抽取3人回答这道问题．已知甲班的5人中只有3人可以正确回答这道题目，乙班的5人能正确回答这道题目的概率均为35，甲、乙两个班每个人对问题的回答都是相互独立的．(1)求甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道题目的概率；(2)设甲班被抽取的选手中能正确回答题目的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好．14．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应．某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为X，求X的分布列及数学期望()E X15．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10 30 40 20(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考．方案1：不分类卖出，售价为20元/kg；方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下．等级标准果优质果精品果礼品果售价（元/16 18 22 24kg）从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望．16．某班4名女生和3名男生站在一排.(1)求4名女生相邻的站法种数；E X(2)在这7人中随机抽取3人，记其中女生的人数为X，求随机变量X的分布列和期望()?的值.。
高中试卷-专题7.4 二项分布与超几何分布(含答案)
专题7.4 二项分布与超几何分布姓名： 班级：重点二项分布与超几何分布的特征难点二项分布与超几何分布的计算一、超几何分布例1-1．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为（ ）。
A 、41004901C C -B 、4100390110490010C C C C C ⋅+⋅C 、4100110C CD 、4100390110C C C ⋅【答案】D【解析】由超几何分布概率公式可知，所求概率为4100110390C C C ⋅，故选D 。
例1-2．有8名学生，其中有5名男生。
从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X ，则其数学期望为=)(X E （ ）。
A 、2B 、5.2C 、3D 、5.3【答案】B【解析】随机变量X 的所有可能取值为1、2、3、4，141)1(483315=⋅==C C C X P 、73)2(482325=⋅==C C C X P 、73)3(481335=⋅==C C C X P 、141)4(48345=⋅==C C C X P ，X 的分布列为：X1234P1417373141∴2514137337321411)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，故选B 。
例1-3．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X 表示取到的次品数，则==)2(X P 。
【答案】103【解析】X 满足超几何分布，∴103)2(4102723=⋅==C C C X P 。
例1-4．一个盒子装有10个红、白两色同一型号的乒乓球，已知红色乒乓球有3个，若从盒子里随机取出3个乒乓球，则其中含有红色乒乓球个数的数学期望 。
【答案】109【解析】由题设知含有红色乒乓球个数ξ的可能取值是0、1、2、3，247)0(3103703=⋅==ξC C C P ，4021)1(3102713=⋅==ξC C C P ，407)2(3101723=⋅==ξC C C P ，1201)3(310733=⋅==ξC C C P ，109120134072402112470)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 。
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2、一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽的1件次品的概率是A
A B 0.78 C D 5、从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中任
取2张，则两数之和是奇数的概率是________________.9
5
1.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．
（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ．由于事件A B ，相互独
立，且23241()2C P A C ==，2
4262
()5
C P B C ==．
故取出的4个球均为黑球的概率为
121
()()()255
P A B P A P B ==⨯=··．
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，
且21132422464()15C C C P C C C ==··，12
3422
461
()5
C C P
D C C ==·． 故取出的
4个球中恰有1
个红球的概率为
417
()()()15515
P C D P C P D +=+=+=．
（Ⅲ）解：ξ可能的取值为0123，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得1
(0)5
P ξ==，
7
(1)15
P ξ==，
13224611
(3)30
C P C C ξ===
·．
从而
3(2)1(0)(1)(3)10
P P P P ξξξξ==-=-=-==
． ξ的分布列为
ξ的数学期望012351510306
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．
2某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品． Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及
ξ的数学期望；
Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率． 解(1.) 0,1,2,3ξ=
22
342255189
P( 0)=10050C C C C ξ=•==
21112
3324
42222
5555C 24P( 1 )=C 50C C C C C C C ξ=•+•=g 11122
324422222555515
(2)50C C C C C P C C C C ξ==•+•=
g
12
4222552
(3)50
C C P C C ξ==•=
所以ξ的分布列为
ξ的数学期望E(ξ)=0123 1.250505050
⨯+⨯+⨯+⨯=
(2)P(2ξ≥)=15217
(2)(3)505050
P P ξξ=+==+=
本题主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率,难度对于民族地区学生较大
3.袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用ε表示取出的3个小球上的最大数字，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量ε的概率分布和数学期望； (3)计分介于20分到40分之间的概率.
解：（I ）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，
则3111
52223
102
()3
C C C C P A C ⋅⋅⋅== 解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A ”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件
A 和事件
B 是互斥事件，因为121
5283
101
()3
C C C P B C ⋅⋅==，所以12
()1()133
P A P B =-=-=.
（II ）由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5.
211222223101(2);30C C C C P C ξ⋅+⋅===211242423
102
(3);15C C C C P C ξ⋅+⋅=== 211262623103(4);10C C C C P C ξ⋅+⋅===2112
82823
108
(5);15
C C C C P C ξ⋅+⋅=== 所以随机变量ε的概率分布为
因此ε的数学期望为2345301510153
E ε=⨯
+⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C ，则
2313
()("3""4")("3")("4")151030
P C P P P εεεε=====+==
+=或
4.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层
下电梯的概率均为3
1
，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人
数.求：
（Ⅰ）随机变量ξ的分布列； （Ⅱ）随机变量ξ的期望.
解：（1）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5。
由等可能性事件的概率公式得
145555
233
2555545552232
80(0). (1).32433243
228040
(2). (3)3243324321011
(4) (5)32433243
C P P C C P P C P P ξξξξξξ⋅=====⋅⋅======⋅======
从而，ξ的分布列为
（II ）由（I ）得ξ的期望为
32808040101012345243243243243243243
4055 2433
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==
5.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ，并求该商家拒收这批产品的概率.
解：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”
为事件A
用对立事件A 来算，有()()
4110.20.9984P A P A =-=-= （Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2
()217220136
0190
C P C ξ===
，
()1131722051
1190
C C P C ξ===
，
()232203
2190C P C ξ===
1365133
01219019019010
E ξ=⨯
+⨯+⨯= 记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率
()13627
1119095
P P B =-=-=
所以商家拒收这批产品的概率为27
95。