【高中数学】人教A版必修四课后提升试题：(十八) Word版含解析

合集下载

人教版高中数学必修4课后习题答案详解

第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念练习（P77）1、略.2、AB ，BA . 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB =， 2.5CD =，3EF =，22GH =4、（1）它们的终点相同；（2）它们的终点不同. 习题 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE 相等的向量有：,AF FC ；与EF 相等的向量有：,BD DA ；与FD 相等的向量有：,CE EB .4、与a 相等的向量有：,,CO QP SR ；与b 相等的向量有：,PM DO ；与c 相等的向量有：,,DC RQ ST5、33AD =. 6、（1）×；（2）√；（3）√；（4）×. 习题 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM 同向的共有6对，与AM 反向的也有6对；与AD同向的共有3对，与AD 反向的也有6对；模的向量共有4对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA ；（2）CB .4、（1）c ；（2）f ；（3）f ；（4）g . 练习（P87）1、图略.2、DB ，CA ，AC ，AD ，BA .3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =，27BC AB =-.说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC 与AB 反向.3、（1）2b a =；（2）74b a =-；（3）12b a =-；（4）89b a =.4、（1）共线；（2）共线.5、（1）32a b -；（2）111123a b -+；（3）2ya . 6、图略.习题 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ；（2）向东走5 km；（3）向东北走km ；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km. 3、解：如右图所示：AB 表示船速，AD 表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则AC 表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =，2AD =，所以228AC AB AD =+==因为tan4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°. 4、（1）0；（2）AB ；（3）BA ；（4）0；（5）0；（6）CB ；（7）0.5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略；（2）当a b ⊥时，a b a b +=-9、（1）22a b --；（2）102210a b c -+；（3）132a b +；（4）2()x y b -.10、14a b e +=，124a b e e -=-+，1232310a b e e -=-+. 11、如图所示，OC a =-，OD b =-，DC b a =-，BC a b =--.12、14AE b =，BC b a =-，1()4DE b a =-，34DB a =， 34EC b =，1()8DN b a =-，11()48AN AM a b ==+.13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =；同理，12HG AC =，所以EF HG =.习题 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b 不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-，而13AN AC =，13AM AB =，所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略（2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.（第11题）（第12题）EHGFC AB丙乙（第1题）（第4题(2)）BCD证明：∵AB DC =，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形又AB AD =∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形. 证明：因为OA OB BA -=，OD OC CD -= 而OA OC OB OD +=+所以OA OB OD OC -=- 所以BA CD =，即∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形. 2．3平面向量的基本定理及坐标表示练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=，(7,2)a b -=-；（2）(1,11)a b +=，(7,5)a b -=-；（3）(0,0)a b +=，(4,6)a b -=；（4）(3,4)a b +=，(3,4)a b -=-.2、24(6,8)a b -+=--，43(12,5)a b +=.3、（1）(3,4)AB =，(3,4)BA =--；（2）(9,1)AB =-，(9,1)BA =-；（3）(0,2)AB =，(0,2)BA =-；（4）(5,0)AB =，(5,0)BA =-4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =.所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)；（2）(1,4)；（3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，得32AP PB =-(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩（第4题(3)）（第5题）∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题 A 组（P101）1、（1）(2,1)-；（2）(0,8)；（3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题. 2、123(8,0)F F F ++=3、解法一：(1,2)OA =--，(53,6(1))(2,7)BC =---=而AD BC =，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=. 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++，(53,6(1))(2,7)BC =---=由AD BC =可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =，(2,4)AB =-. 1(1,2)2AC AB ==-，2(4,8)AD AB ==-，1(1,2)2AE AB =-=-. (0,3)OC OA AC =+=，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)OD OA AD =+=-，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-. 6、(4,4)AB =，(8,8)CD =--，2CD AB =-，所以AB 与CD 共线. 7、2(2,4)OA OA '==，所以点A '的坐标为(2,4)；3(3,9)OB OB '==-，所以点B '的坐标为(3,9)-；故(3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=- 习题 B 组（P101）1、(1,2)OA =，(3,3)AB =.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==，所以(4,5)P ；当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=，所以57(,)22P ；当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--，所以(5,4)P --；当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--，(1,1.5)AC =，所以4AB AC =-，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-，(6,8)PR =-，所以4PR PQ =，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--，(1,0.5)EG =--，所以8EF EG =，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=，得2121e e λλ=-. 所以12,e e 是共线向量，与已知12,e e 是平面内的一组基底矛盾, 因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）19OP =（2）对于任意向量12OP xe ye =+，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=. 2、当0a b ⋅<时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略练习（P107）1、2(3)5a =-=，252b =+=35427a b ⋅=-⨯+⨯=-.2、8a b ⋅=，()()7a b a b +-=-，()0a b c ⋅+=，2()49a b +=.3、1a b ⋅=，13a =，74b =，88θ≈︒. 习题 A 组（P108）1、63a b ⋅=-222()225a b a a b b +=+⋅+=-25a b +=- 2、BC 与CA 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-.3、22223a b a a b b +=+⋅+=，22235a b a a b b -=-⋅+=. 4、证法一：设a 与b 的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为θ，所以()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==()cos a b a b λλθ⋅=()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅== 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；（3）当0λ<时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=- 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=∴AB AC ⊥，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=，于是可得6a b ⋅=-，1cos 2a ba bθ⋅==-，所以120θ=︒.8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=，(8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-∴AB DC =，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯= ∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =，则2292x y yx⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.于是35(,55a =或35(55a =--. 11、解：设与a 垂直的单位向量(,)e x y =，则221420x y xy ⎧+=⎨+=⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是5(,55e =-或5(,55e =-. 习题 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥- 证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，33(,)c x y =.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-1212a b x x y y ⋅=+，1313a c x x y y ⋅=+由a b a c ⋅=⋅得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-=而2323(,)b c x x y y -=--，所以()0a b c ⋅-= 再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅由()0a b c ⋅-=得 123123()()0x x x y y y -+-=，即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅2、cos cos cos sin sin OA OB AOB OA OBαβαβ⋅∠==+.3、证明：构造向量(,)u a b =，(,)v c d =.cos ,u v u v u v ⋅=<>，所以,ac bd u v +=<>∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++4、AB AC ⋅的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠，而AM BAC AC∠=所以212AB AC AB AM AB ⋅==5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=证明：∵AB CB CA =-∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+. 由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅= ∴222CA CB AB +=（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+，,DB AB AD =-∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-.∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -= ∴0AC DB ⋅=，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+.∴22()()AB AD AB AD +=-，所以22AC BD =，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可. 2．5平面向量应用举例习题 A 组（P113）1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-由2RA AP =得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y=-+⎧⎨=-⎩代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =. 2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =.2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+（2）因为1()2AE a b =+所以23AO AE =，因此,,A O E 三点共线，而且2AOOE =同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO COOE OF OD===3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-；（2）v 在A v 方向上的投影为135A Av v v ⋅=. 4、解：设1F ，2F 的合力为F ，F 与1F 的夹角为θ，则31F =+，30θ=︒； 331F =+，3F 与1F 的夹角为150°.习题 B 组（P113）1、解：设0v 在水平方向的速度大小为x v ，竖直方向的速度的大小为y v ，则0cos x v v θ=，0sin y v v θ=.设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩为重力加速度所以，最大高度为220sin 2v gθ，最大投掷距离为20sin 2v gθ.2、解：设1v 与2v 的夹角为θ，合速度为v ，2v 与v 的夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v vvθθα==，0.5sin 20sin v d αθ==. ∴120sin d v θ=. 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,1)-ODFEABC（第2题）（第4题）解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--. (2,22)AB =-.将AB 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP ，于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==-（2）32y x=-解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()2()2x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=-第二章复习参考题A 组（P118）1、（1）√；（2）√；（3）×；（4）×.2、（1）D ；（2）B ；（3）D ；（4）C ；（5）D ；（6）B .3、1()2AB a b =-，1()2AD a b =+4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+2233AD a b =+，1133BC a b =+1133EF a b =--，1233FA DC a b ==-1233CD a b =-+，2133AB a b =-CE a b =-+5、（1）(8,8)AB =-，82AB =；（2）(2,16)OC =-，(8,8)OD =-；（3）33OA OB ⋅=.（第4题）6、AB 与CD 共线.证明：因为(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =. 所以AB 与CD 共线. 7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=，所以(2)n m m -⊥.12、1λ=-. 13、13a b +=，1a b -=. 14、519cos ,cos 820θβ==第二章复习参考题B 组（P119）1、（1）A ；（2）D ；（3）B ；（4）C ；（5）C ；（6）C ；（7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-.222()2a b a b a b a b+=+=++⋅，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅.因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，于是22a b a b a b +=+=-. 再证a b a b a b +=-⇒⊥.由于222a b a a b b +=+⋅+，222a b a a b b -=-⋅+ 由a b a b +=-可得0a b ⋅=，于是a b ⊥所以a b a b a b +=-⇔⊥. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明：先证a b c d =⇒⊥22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=- 又a b =，所以0c d ⋅=，所以c d ⊥ 再证c d a b ⊥⇒=.由c d ⊥得0c d ⋅=，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=所以a b = 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所（第3题）（第6题）示】4、12AD AB BC CD a b =++=+，1142AE a b =+而34EF a =，14EM a =，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=5、证明：如图所示，12OD OP OP =+，由于1230OP OP OP ++=，所以3OP OD =-，1OD = 所以11OD OP PD == 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，222MN AB b a ==-. 7、（18=（千米／时），沿与水流方向成60°的方向前进；（2）实际前进速度大小为沿与水流方向成90︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅，所以()0OB OA OC ⋅-=，所以0OB CA ⋅= 同理，0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=，所以点O 是ABC ∆的垂心. 9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=；（2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=；（4）d =P 2（第5题）第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=.cos(2)cos2cos sin2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得4sin 5α==；所以34cos()cos cos sin sin ()44455πππααα-=+=-+=3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得8cos 17θ===-；所以8115cos()cos cos sin sin 33317217πππθθθ-=+=-⨯+=. 4、解：由23sin ,(,)32πααπ=-∈，得cos α==又由33cos ,(,2)42πββπ=∈，得sin β==所以32cos()cos cos sin sin ((()43βαβαβα-=+=⨯+⨯-=. 练习（P131）1、（1；（2）（3（4）2 2、解：由3cos ,(,)52πθθπ=-∈，得4sin 5θ==；所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=. 3、解：由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得5cos 13θ===-；所以5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=. 4、解：tan tan 314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-⋅.5、（1）1；（2）12；（3）1；（4）；（5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-；（6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+；（2）原式=1cos )2(sin cos cos sin )2sin()2666x x x x x πππ+=+=+；（3）原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-；（4）原式=12(cos )cos sin sin )cos()2333x x x x x πππ=-=+.7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-=所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角，于是4cos 5β===-.因此55534sin()sin cos cos sin ()(()(44455πππβββ+=+=-+-=. 练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<<又由4cos 85α=-，得3sin 85α=-，3sin385tan 484cos 85ααα-===- 所以3424sinsin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-=2222437cos cos(2)cos sin ()()48885525αααα=⨯=-=---=2232tan23162484tan tan(2)3482771tan 1()84αααα⨯=⨯===⨯=-- 2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--=3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得sin α=，所以sintan (2)cos ααα==-= 4、解：由1tan 23α=，得22tan 11tan 3αα=-. 所以2tan 6tan 10αα+-=，所以tan 3α=-5、（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=；（2）22cos sin cos 88πππ-==；（3）原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒；（4）原式=cos45︒=. 习题 A 组（P137）1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-；（2）333sin()sin cos cos sin 1cos 0sin cos 222πππαααααα-=-=-⨯-⨯=-；（3）cos()cos cos sin sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=-⨯+⨯=-；（4）sin()sin cos cos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解：由3cos ,05ααπ=<<，得4sin 5α==，所以431cos()cos cos sin sin 666552πππααα-=+=⨯=.3、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由33cos ,(,)42πββπ=-∈，得sin β===，所以32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=.4、解：由1cos 7α=，α是锐角，得sin α=== 因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈，又因为11cos()14αβ+=-，所以sin()αβ+===所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++1111()1472=-⨯= 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒又由3sin(30)5α︒+=，得4cos(30)5α︒+=-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒431552=-+⨯=6、（1）；（2）（3）2-7、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由3cos 4β=-，β是第三象限角，得sin β==.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-32()(43=--⨯=sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-23()((34=⨯--⨯=8、解：∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角∴0,02A B ππ<<<<，124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时，sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+5312433()013513565=⨯+-⨯=-< A B π+>，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B ==∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--1235416()13513565-⨯-⨯=- 9、解：由3sin ,(,)52πθθπ=∈，得4cos 5θ==-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯. 31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαββαβαβαβαβ+--=+--=++⋅-3511358-==-+⨯12、解：∵::2:3:6BD DC AD =∴11tan ,tan 32BD DC AD AD αβ====∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯ 又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒（第12题）13、（1）)6x π+；（23sin()3x π-；（3）2sin()26x π+；（47sin()12x π-；（5）2；（6）12；（7）sin()αγ+；（8）cos()αγ--；（9）（10）tan()βα-.14、解：由sin 0.8,(0,)2παα=∈，得cos 0.6α===∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯= 2222cos2cos sin 0.60.80.28ααα=-=-=- 15、解：由cos 270ϕϕ=︒<<︒，得sin ϕ===∴sin 22sin cos 2((ϕϕϕ==⨯⨯=22221cos2cossin ((3ϕϕϕ=-=-=- sin 2tan 2(3)cos 23ϕϕϕ==-=-16、解：设5sin sin 13B C ==，且090B ︒<<︒，所以12cos 13B =. ∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B =︒-===⨯⨯=2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B B B B =︒-=-=--=--=-sin 120169120tan ()cos 169119119A A A ==⨯-=-17、解：22122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯===--，13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯. 18、解：1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=，即1cos 3α= 又3(,2)2παπ∈，所以sinα== ∴1sin 22sin cos 2(ααα==⨯⨯=222217cos2cos sin ()(39ααα=-=-=-∴7cos(2)cos2cos sin 2sin (4449πππααα+=-=-=19、（1）1sin2α+；（2）cos2θ；（3）1sin 44x ；（4）tan2θ.习题 B 组（P138） 1、略. 2、解：∵tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x p x +++=，即210x px p +++=的两个实根∴tan tan A B p +=-，tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<，所以34C π=. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=（证明略）本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin (30)cos sin(30)cos 4αααα-︒++-︒=223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4αααα-︒++︒+-︒+︒=223sin cos sin cos 4αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PA PP =，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++ 即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．2简单的三角恒等变换练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x =. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈，最大值为12；（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Z ππππ++∈，最大值为3；（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈，最大值为2.习题 A 组（ P143） 1、（1）略；（2）提示：左式通分后分子分母同乘以2；（3）略；（4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ；（5）略；（6）提示：用22cos θ代替1cos2θ+；（7）提示：用22sin θ代替1cos2θ-，用22cos θ代替1cos2θ+；（8）略.2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1sin cos cos sin 3αβαβ-=……②（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ= 注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===---- 1tan tan1142tan()1431tan tan 1()142πθπθπθ+-++===-⋅--⨯ ∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈.习题 B 组（P143） 1、略.2、由于762790+⨯=，所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=，得cos7︒=3、设存在锐角,αβ使223παβ+=，所以23απβ+=，tan()2αβ+又tantan 22αβ=，又因为tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ++=-，所以tantan tan()(1tan tan )3222αααβββ+=+-=由此可解得tan 1β=， 4πβ=，所以6πα=.经检验6πα=，4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM βαααβ∠=-+=+.在Rt OMA ∆中，cos cos 22OM OA βααβ--==. 在1Rt OM M ∆中，11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=11sin sin cos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=.于是有 1(cos cos )cos cos222αβαβαβ+-+=， 1(sin sin )sin cos222αβαβαβ+-+= 5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+231sin 24α=-，此时有1()14f α≤≤；由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11()12k f α-≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34cos ,sin 55ϕϕ==所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5；（2）)y x ϕ+，其中cos ϕϕ==所以，y ；第三章复习参考题A 组（P146）（第4题）1、1665. 提示：()βαβα=+- 2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形；（2；（3）2；（4）提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式4sin(3010)4sin 20︒-︒==︒；（2）原式=sin10sin 40(sin 40cos10︒︒=︒ =2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒；（3）原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒=︒ =sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒；（4）原式=sin50(1sin50︒⋅= 2cos50sin100sin501cos10cos10︒︒=︒⋅==︒︒6、（1）95；（2）2425；（3）. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-；（4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边（2）左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边（第12（2）题）（4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A -+--+=++-++ 2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边 9、（1）1sin 21cos2sin 2cos222)24y x x x x x π=+++=++++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈（222，最小值为22.10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4f x x x x x x x x x x π=+--=-=+（1）最小正周期是π；（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38x π=时，()f x 的最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π=+=-+=-+（1）最小正周期是π21；（2）()f x 在[,]22ππ-上的图象如右图：12、()3sin cos 2sin()6f x x x a x a π=++=++.（1）由21a +=得1a =-；（2）2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤.13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=，2sin h AB α=，1cos hAC α=所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2πα<<当22πα=，即4πα=时，ABC S ∆的最小值为12h h .第三章复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=， αh 1h 2l 2l 1BDE AC（第13题）13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=，7cos225α=-，sin(2)sin 2cos cos2sin 44450πππααα-=-=. 解法二：由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24sin 225α=，所以249cos 2625α=. 又由1sin cos 5αα-=，得sin()4πα-=.因为[0,]απ∈，所以3[,]444πππα-∈-.而当[,0]44ππα-∈-时，sin()04πα-≤；当3[,]444πππα-∈时，sin()4πα->所以(0,)44ππα-∈，即(,)42ππα∈所以2(,)2παπ∈，7cos225α=-.sin(2)4πα-=2、把1cos cos 2αβ+=两边分别平方得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=把1sin sin 3αβ+=两边分别平方得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=把所得两式相加，得1322(cos cos sin sin )36αβαβ++=，即1322cos()36αβ+-=，所以59cos()72αβ-=-3、由sin()sin 3παα++= 可得3sin 2αα=4sin()65πα+=-. 又02πα-<<，所以366πππα-<+<，于是3cos()65πα+=.所以cos cos[()]66ππαα=+-4、22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (cos sin )sin 1tan cos sin 1cos x x x x x x x x x x x x x x +++==---1tan sin 2sin 2tan()1tan 4x x x x x π+==+-由177124x ππ<<得5234x πππ<+<，又3cos()45x π+=，所以4sin()45x π+=-，4tan()43x π+=-所以cos cos[()]cos()cos sin()sin 444444x x x x ππππππ=+-=+++=，sin 10x =-，7sin 22sin cos 25x x x ==, 所以2sin 22sin 281tan 75x x x +=--， 5、把已知代入222sin cos (sin cos )2sin cos 1θθθθθθ+=+-=，得22(2sin )2sin 1αβ-=.变形得2(1cos2)(1cos2)1αβ---=，2cos2cos2αβ=，224cos 24cos 2αβ= 本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含θ的三角函数.考虑sin cos θθ+，sin cos θθ这两者又有什么关系及得上解法. 5、6两题上述解法称为消去法6、()21cos22sin(2)16f x x x m x m π=+++=+++.由 [0,]2x π∈ 得72[,]666x πππ+∈，于是有216m ++=. 解得3m =.()2sin(2)4()6f x x x R π=++∈的最小值为242-+=，此时x 的取值集合由322()62x k k Z πππ+=+∈，求得为2()3x k k Z ππ=+∈7、设AP x =，AQ y =，BCP α∠=，DCQ β∠=，则tan 1x α=-，tan 1y β=- 于是2()tan()()x y x y xyαβ-++=+-又APQ ∆的周长为2，即2x y +，变形可得2()2xy x y =+- 于是2()tan()1()[2()2]x y x y x y αβ-++==+-+-.又02παβ<+<，所以4παβ+=，()24PCQ ππαβ∠=-+=.8、（1）由221sin cos 5sin cos 1ββββ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，可得225sin 5sin 120ββ--=解得4sin 5β=或3sin 5β=-（由(0,)βπ∈，舍去）所以13cos sin 55ββ=-=-，于是4tan 3β=-（2）根据所给条件，可求得仅由sin ,cos ,tan βββ表示的三角函数式的值，例如，sin()3πβ+，cos22β+，sin cos 2tan βββ-，sin cos 3sin 2cos ββββ-+，等等.。

高中数学第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(1)课时提升作业2 新人教A版必修4-新人教

三角函数的诱导公式(一)一、选择题(每小题3分，共18分)1.计算sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是( )A. B. C. D.【解析】选A.原式=sin230°+sin245°-2sin30°+cos245°=+-1+=.2.(2014·某某高一检测)sin的值是( )A. B.- C. D.-【解析】选A.sin=sin=sin=.3.已知sin(π+θ)<0，cos(θ-π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )A.sinθ<0，cosθ>0B.sinθ>0，cosθ<0C.sinθ>0，cosθ>0D.sinθ<0，cosθ<0【解析】选B.sin(π+θ)=-sinθ<0，所以sinθ>0；cos(θ-π)=-cosθ>0，所以cosθ<0，应选B.4.cos(k∈Z)的值为( )A.±B.C.-D.±【解析】选A.当k=2n(n∈Z)时，原式=cos=；当k=2n+1(n∈Z)时，原式=cos=-cos=-.5.(2014·某某高一检测)已知sin(π+α)=，且α是第四象限角，那么cos(α-2π)的值是( )A. B.- C.± D.【解析】选A.sin(π+α)=-sinα=，所以sinα=-；cos(α-2π)=cosα==.【变式训练】已知cos(π+α)=-，则tan(α-9π)=.【解析】cos(π+α)=-cosα=-，cosα=，所以tanα=±，tan(α-9π)=-tan(9π-α)=-tan(π-α)=tanα=±.答案：±6.已知tan=，则tan= ( )A. B.- C. D.-【解题指南】解答本题时注意+=π.【解析】选B.因为tan=tan=-tan，所以tan=-.二、填空题(每小题4分，共12分)7.化简sin(-α)cos(π+α)tan(2π+α)=.【解析】原式=(-sinα)(-cosα)tanα=sinαcosα=sin2α.答案：sin2α8.若cos(π-x)=，x∈(-π，π)，则x的值为.【解析】因为cos(π-x)=，所以cosx=-.因为x∈(-π，π)，所以x=±.答案：±9.若tan(5π+α)=m，则的值为.【解析】由tan(5π+α)=m，得tanα=m.原式===.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)10.已知sin(α+π)=，且sinαcosα<0，求的值.【解析】因为sin(α+π)=，所以sinα=-，又因为sinαcosα<0，所以cosα>0，cosα==，所以tanα=-.所以原式===-.11.证明：=. 【证明】左边==-=，右边===，左边=右边，所以原等式成立.一、选择题(每小题4分，共16分)1.化简的结果为( )A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.±(cos2-sin2)【解析】选C.===|sin2-cos2|.因为2弧度在第二象限，所以sin2>0>cos2，所以原式=sin2-cos2.2.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z).若f(2009)=5，则f(2015)等于( )A.4B.3C.-5D.5【解析】选D.因为f(2009)=asin(2009π+α)+bcos(2009π+β)=-asinα-bcosβ=5，所以asinα+bcosβ=-5，所以f(2015)=asin(2015π+α)+bcos(2015π+β)=-asinα-bcosβ=-(asinα+bcosβ)=5.3.已知a=tan，b=cos，c=sin，则a，b，c的大小关系是( )A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b【解析】选B.a=-tan=-，b=cos=cos=，c=sin=-sin=-，所以b>a>c.4.已知角α的终边上一点P(3a，4a)，a<0，则cos(540°-α)的值为( )A.-B.C.D.-【解析】选B.cosα===-，cos(540°-α)=cos(180°-α)=-cosα=.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2014·某某高一检测)已知sin(125°-α)=，则sin(55°+α)的值为.【解析】因为(125°-α)+(55°+α)=180°，所以sin(55°+α)=sin[180°-(125°-α)]=sin(125°-α)=.答案：6.若cos100°=k，则tan80°的值为.【解析】cos80°=-cos100°=-k.于是sin80°==，从而tan80°=-.答案：-三、解答题(每小题12分，共24分)7.已知cos(α-75°)=-，且α为第四象限角，求sin(105°+α)的值.【解析】因为cos(α-75°)=-<0，且α为第四象限角，所以α-75°是第三象限角.所以sin(α-75°)=-=-=-.所以sin(105°+α)=sin[180°+(α-75°)]=-sin(α-75°)=. 【变式训练】化简：.【解析】=====-1.8.求证：=-1，k∈Z. 【证明】当k是偶数，即k=2n(n∈Z)时，左边===-1；当k是奇数，即k=2n+1(n∈Z)时，左边===-1. 所以原式成立.。

数学人教A版必修4 1.4.2第2课时训练案知能提升作业 Word版含解析

[.基础达标]．函数＝在下列哪个区间上是减函数( )．[，]．[－，]．[，π]．[，] 解析：选.若函数＝递减，应有π≤≤π＋π，∈，即π≤≤＋π，∈，令＝可得≤≤.．＝－的值域是( )．[]．[－]．[－]．[－]解析：选＝(\\(，≤≤，－≤＜，))因此函数的值域为[－]．故选.．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )．＝．＝．＝．＝解析：选＝＝，周期＝π，不符合题意；＝＝－，周期＝π，在上是增函数，不符合题意；＝＝，周期＝π，在上是减函数，符合题意；＝＝－，＝π，不符合题意．．函数()＝－＋的最小值和最大值分别是( )．－，．－．－，．－，解析：选()＝－＋＝＋－＝－.∵－≤≤，∴当＝－时，()＝－，当＝时，()＝.故选.．若函数＝与函数＝(＋φ)在区间[，]上的单调性相同，则φ的一个值是( )解析：选.由函数＝在区间[，]上单调递减，将φ代入函数＝(＋φ)验证可得φ＝.．函数＝在＝时，取最大值．解析：当函数取最大值时，－＝π(∈)，＝π＋(∈)．答案：π＋(∈)．已知函数()＝(＋)，∈[，]，则()的值域是．解析：∈[，]，＋∈[，π]．(＋)∈[，]，则(＋)∈[，]．答案：[，]．将°，°，°按从小到大排列为．解析：°<，°＝°＝°>，°＝°>且°>°，所以°<°<°.答案：°< °< °．求函数＝的最大值和最小值．解：因为(\\(－()≥，,－≤≤.))所以≤－≤.所以当＝－时，＝；当＝时，＝.．求下列函数的单调递增区间：()＝＋(－)；()＝.解：()＝＋(－)＝－(－)．令＝－，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是＝的单调递减区间，即＋π≤－≤＋π(∈)，亦即＋π≤≤＋π(∈)，故函数＝＋(－)的单调递增区间是[＋π，＋π](∈)．()由>，得－＋π<<＋π，∈.∵<，∴函数＝的单调递增区间即为＝，∈(－＋π，＋π)(∈)的递减区间，∴π≤<＋π，∈.故函数＝的单调递增区间为[π，＋π)(∈)．[.能力提升]．对于函数＝(<<π)，下列结论正确的是( )．有最大值而无最小值．有最小值而无最大值．有最大值且有最小值．既无最大值也无最小值解析：选.∵＝＝＋，又∈(，π)，∴∈(]．∴∈[，＋∞)，故选.．已知函数()＝π，如果存在实数，，使∈时，()≤()≤()恒成立，则－的最小值为( )．π．π．π．π解析：选.∵()＝π，∴其周期＝π，又存在实数，，使∈时，()≤()≤()恒成立⇔－π≤()≤π恒成立，∴－的最小值为＝π.．()＝ω(＜ω＜)在区间上的最大值是，则ω＝.解析：因为≤≤，所以≤ω≤ω＜.因为()在上是增函数，所以＝，即＝，所以ω＝，所以ω＝.答案：．(·温州质检)设函数()＝＋.()若＞，求()的单调递增区间；()当∈时，()的值域为[]，求，的值．解：()由于＞，令π－≤＋≤π＋，∈，得π－≤≤π＋，∈.所以()的单调递增区间是，∈.()当∈时，≤＋≤，则≤≤，由()的值域为[]知，(\\(＞，＋＝，,()＋＝))⇔(\\(＝，＝－))或(\\(＜，＋＝，,()＋＝))⇔(\\(＝－，＝.))综上得：(\\(＝，＝－))或(\\(＝－，＝.))．已知函数()＝.()求定义域和值域；()判断奇偶性；()判断周期性；()写出单调区间．解：()由≠得定义域{≠π，∈}，又＜≤，所以值域为{≥}．()由()知，定义域关于原点对称，又(－)＝(－)＝＝()，。

高中数学人教A版必修四课下能力提升(十八) Word版含解析

课下能力提升(十八)[学业水平达标练]题组向量的坐标表示．已知＝(－，)，则下面说法正确的是()．点的坐标是(－，)．点的坐标是(－，)．当是原点时，点的坐标是(－，)．当是原点时，点的坐标是(－，)()．(－，) ．(，－)．(，) ．(－，－)．若(，－)，(，)，(，)，则题组平面向量的坐标运算．设平面向量＝(，)，＝(－，)，则－＝()．(，) ．(，)．(，) ．(，)．若向量＝(－，)与向量＝(，＋)相等，则()．＝，＝．＝，＝．＝，＝－．＝，＝－．已知(－，)，(，)，为坐标原点，点在∠内，＝，且∠＝.设(λ∈)，则λ＝．题组向量共线的坐标表示．已知(，－)，(，)，则与―→平行且方向相反的向量是()．(，) ．(－，－)．(－，) ．(－，－)．已知(－，)，(，－)，若(，)在直线上，则＝．．平面内给定三个向量＝(，)，＝(－，)，＝(，)，回答下列问题：()求＋－；()求满足＝＋的实数，；()若(＋)∥(－)，求实数.[能力提升综合练]．已知(，)，(，)，直线＝与线段交于，且，则实数等于()．．．设向量＝(，－)，＝(－，)，＝(－，－)，若表示向量，－，(－)，的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为()．(，) ．(－，)．(，－) ．(－，－)．已知向量＝(，)，＝(，)，＝＋(∈)，＝－，如果∥，那么()．＝且与同向．＝且与反向．＝－且与同向．＝－且与反向．已知向量＝(，)，＝(－，)，若＋与－共线，则等于()．－．－．．已知(，－)，(－，)，在直线上，且.则点的坐标为．．已知点(，)，(，)，(，)，且，试问：()为何值时，在轴上？在轴上？在第二象限？()四边形可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的值；若不可能，请说明理由．．如图所示，已知△中，(，)，(，)，(，)，与相交于点，求点的坐标．答案[学业水平达标练].解析：选由任一向量的坐标的定义可知：当点是原点时，点的坐标是(－，)．.。

2017-2018学年高中数学人教A版必修四课下能力提升：(二)含解析

课下能力提升(二) [学业水平达标练]题组1 弧度的概念1．下列叙述中正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 2．与角－π6终边相同的角是( )A.5π6B.π3C.11π6D.2π33．角－2912π的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限题组2 角度与弧度的换算 4．下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15° 5．把角－690°化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为________． 6．已知角α＝2 010°.(1)将α改写成θ＋2k π(k ∈Z ，0≤θ＜2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角； (3)在区间[0，5π)上找出与α终边相同的角．题组3 扇形的弧长公式和面积公式的应用7．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对的弧长为( ) A.403π B.203π C.2003D.4003π 8．若扇形的面积为3π8，半径为1，则扇形的圆心角为( )A.3π2B.3π4C.3π8D.3π169．一个扇形的面积为1，周长为4，则圆心角的弧度数为________．10.如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积．[能力提升综合练]1．角α的终边落在区间⎝⎛⎭⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A.1sin 0.5B ．sin 0.5C ．2sin 0.5D ．tan 0.53．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3C. 3 D ．2 4．集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q ＝( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π}5．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为________．6．若角α的终边与8π5角的终边相同，则在[0，2π]上，终边与α4角的终边相同的角是________．7．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.8．如图所示，已知一长为3dm ，宽为1 dm 的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A 走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积．答案[学业水平达标练]1. 解析：选D 由弧度的定义知，选项D 正确．2. 解析：选C 与角－π6终边相同的角的集合为{α|α＝－π6＋2k π，k ∈Z }，当k ＝1时，α＝－π6＋2π＝11π6，故选C.3. 解析：选D －2912π＝－4π＋1912π，1912π的终边位于第四象限，故选D.4. 解析：选C 对于A ，60°＝60×π180＝π3；对于B ，－10π3＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.5. 解析：法一：－690°＝－⎝⎛⎭⎫690×π180＝－236π.∵－236π＝－4π＋π6，∴－690°＝－4π＋π6.法二：－690°＝－2×360°＋30°，则－690°＝－4π＋π6.答案：－4π＋π66. 解析：(1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6.又π<7π6<3π2，角α与角7π6的终边相同，故α是第三象限角．(2)与α终边相同的角可以写为β＝7π6＋2k π(k ∈Z )．又－5π≤β＜0，∴k ＝－3，－2，－1.当k ＝－3时，β＝－29π6；当k ＝－2时，β＝－17π6；当k＝－1时，β＝－5π6.(3)与α终边相同的角可以写为γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )．又0≤γ＜5π，∴k ＝0，1.当k ＝0时，γ＝7π6；当k ＝1时，γ＝19π6.7. 解析：选A 240°＝240180π＝43π，∴弧长l ＝43π×10＝403π，选A.8. 解析：选B S 扇形＝12lR ＝12(αR )·R ＝12αR 2，由题中条件可知S 扇形＝3π8，R ＝1，从而α＝2S 扇形R 2＝3π41＝3π4，故选B.9. 解析：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12l ·R .联立⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝4，12l ·R ＝1.解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2.答案：210. 解：∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π，∴AB ︵的长为4π.∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，有S △OAB ＝12×AB ×OD (D 为AB 中点)＝12×2×6cos 30°×3＝9 3. ∴S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3. ∴弓形ACB 的面积为12π－9 3.[能力提升综合练]1. 解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π2的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．2. 解析：选A 连接圆心与弦的中点，则弦心距、弦长的一半、半径构成一个直角三角形．弦长的一半为1，弦所对的圆心角也为1，所以圆的半径为1sin 0.5，所以该圆心角所对的弧长为1×1sin 0.5＝1sin 0.5，故选A.3. 解析：选C 如图，设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝3RR＝ 3.4. 解析：选B 如图，在k ≥1或k ≤－2时，[2k π，(2k ＋1)π]∩[－4，4]为空集，分别取k ＝－1，0，于是A ∩B ＝{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}．5. 解析：A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，所以A ＝π5，B ＝π3，C ＝7π15.答案：π5，π3，7π156. 解析：由题意，得α＝8π5＋2k π，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )．令k ＝0，1，2，3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.答案：2π5，9π10，7π5，19π107. 解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14π9，∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π.∵α与14π9角终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ，解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.8. 解：AA 1︵所在的圆半径是2 dm ，圆心角为π2；A 1A 2︵所在的圆半径是1 dm ，圆心角为π2；A 2A 3所在的圆半径是3dm ，圆心角为π3，所以点A 走过的路径长是三段圆弧之和，即2×π2＋1×π2＋3×π3＝（9＋23）π6(dm)．三段圆弧所在扇形的总面积是12×π×2＋12×π2×1＋12×3π3×3＝7π4(dm 2)．。

【人教A版】高中数学必修1-5教材课后习题答案全套完整WORD版

人教A版高中数学必修1-5教材课后习题答案目录必修1第一章课后习题解答 (1)必修1第二章课后习题解答 (33)必修1第三章课后习题解答 (44)必修2第一章课后习题解答 (51)必修2第二章课后习题解答 (56)必修2第三章课后习题解答 (62)必修2第四章课后习题解答 (78)必修3第一章课后习题解答 (97)必修3第二章课后习题解答 (110)必修3第三章课后习题解答 (120)必修4第一章课后习题解答 (125)必修4第二章课后习题解答 (147)必修4第三章课后习题解答 (162)必修5第一章课后习题解答 (177)必修5第二章课后习题解答 (188)必修5第三章课后习题解答 (201)新课程标准人教A 版高中数学必修1第一章课后习题解答1.1集合【P5】1.1.1集合的含义与表示【练习】1.用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国_____A ，美国_____A ，印度____A ，英国____A ；（2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ；（3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C .解答：1.（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲.（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===. （3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-. （4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉. 2.试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（4）不等式453x -<的解集. 解答：2.解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程的所有实数根组成的集合为；（2）因为小于的素数为，所以由小于的所有素数组成的集合为；（3）由，得，290x -={3,3}-82,3,5,78{2,3,5,7}326y x y x =+⎧⎨=-+⎩14x y =⎧⎨=⎩即一次函数与的图象的交点为，所以一次函数与的图象的交点组成的集合为；（4）由，得，所以不等式的解集为．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页） 1．写出集合的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得；取一个元素，得；取两个元素，得；取三个元素，得，即集合的所有子集为．2．用适当的符号填空：（1）______；（2）______；（3）______；（4）______；（5）______；（6）______． 2．（1）是集合中的一个元素；（2）；（3）方程无实数根，；（4）（或）是自然数集合的子集，也是真子集；（5）（或）；（6）方程两根为． 3．判断下列两个集合之间的关系：（1），；3y x =+26y x =-+(1,4)3y x =+26y x =-+{(1,4)}453x -<2x <453x -<{|2}x x <{,,}a b c ∅{},{},{}a b c {,},{,},{,}a b a c b c {,,}a b c {,,}a b c ,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅a {,,}a b c 02{|0}x x =∅2{|10}x R x ∈+={0,1}N {0}2{|}x x x ={2,1}2{|320}x x x -+={,,}a a b c ∈a {,,}a b c 20{|0}x x ∈=2{|0}{0}x x ==2{|10}x R x ∅=∈+=210x +=2{|10}x R x ∈+==∅{0,1}N {0,1}N ⊆{0,1}N {0}2{|}x x x =2{0}{|}x x x ⊆=2{|}{0,1}x x x ==2{2,1}{|320}x x x =-+=2320x x -+=121,2x x =={1,2,4}A ={|8}B x x =是的约数（2），；（3），．3．解：（1）因为，所以；（2）当时，；当时，，即是的真子集，；（3）因为与的最小公倍数是，所以． 1．1．3集合的基本运算练习（第11页） 1．设，求． 1．解：，．2．设，求． 2．解：方程的两根为，方程的两根为，得，即．3．已知，，求． 3．解：，．4．已知全集，，求． 4．解：显然，，{|3,}A x x k k N ==∈{|6,}B x x z z N ==∈{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,{|20,}B x x m m N +==∈{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数AB 2k z =36k z =21k z =+363k z =+B A BA 41020AB ={3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==,A B A B {3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B =={3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==22{|450},{|1}A x x x B x x =--===,A B A B 2450x x --=121,5x x =-=210x -=121,1x x =-={1,5},{1,1}A B =-=-{1},{1,1,5}A B A B =-=-{|}A x x =是等腰三角形{|}B x x =是直角三角形,A B A B {|}A B x x =是等腰直角三角形{|}A B x x =是等腰三角形或直角三角形{1,2,3,4,5,6,7}U ={2,4,5},{1,3,5,7}A B ==(),()()U U U A B A B {2,4,6}UB ={1,3,6,7}UA =则，．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组 1．用符号“”或“”填空：（1）_______；（2）______；（3）_______；（4_______；（5；（6）_______．1．（1）是有理数；（2）是个自然数；（3）是个无理数，不是有理数；（4是实数；（5）是个整数；（6）是个自然数．2．已知，用 “”或“” 符号填空：（1）_______；（2）_______；（3）_______． 2．（1）；（2）；（3）．当时，；当时，； 3．用列举法表示下列给定的集合：（1）大于且小于的整数；（2）；（3）．3．解：（1）大于且小于的整数为，即为所求；（2）方程的两个实根为，即为所求；（3）由不等式，得，且，即为所求．4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数的函数值组成的集合；(){2,4}U A B =()(){6}U U A B =∈∉237Q 23N πQ R Z 2N 237Q ∈23723N ∈239=Q π∉πR Z 3=2N ∈25={|31,}A x x k k Z ==-∈∈∉5A 7A 10-A 5A ∈7A ∉10A -∈2k =315k -=3k =-3110k -=-16{|(1)(2)0}A x x x =-+={|3213}B x Z x =∈-<-≤162,3,4,5{2,3,4,5}(1)(2)0x x -+=122,1x x =-={2,1}-3213x -<-≤12x -<≤x Z ∈{0,1,2}24y x =-（2）反比例函数的自变量的值组成的集合；（3）不等式的解集．4．解：（1）显然有，得，即，得二次函数的函数值组成的集合为；（2）显然有，得反比例函数的自变量的值组成的集合为；（3）由不等式，得，即不等式的解集为．5．选用适当的符号填空：（1）已知集合，则有：_______； _______；_______； _______；（2）已知集合，则有： _______； _______； _______； _______；（3）_______；_______．5．（1）；；；；，即；（2）；；； =；；（3）；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形． 6．设集合，求．2y x =342x x ≥-20x ≥244x -≥-4y ≥-24y x =-{|4}y y ≥-0x ≠2y x ={|0}x x ≠342x x ≥-45x ≥342x x ≥-4{|}5x x ≥{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥4-B 3-A {2}B B A 2{|10}A x x =-=1A {1}-A ∅A {1,1}-A {|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形{|}x x 是等腰三角形{|}x x 是等边三角形4B -∉3A -∉{2}B BA 2333x x x -<⇒>-{|3},{|2}A x xB x x =>-=≥1A ∈{1}-A ∅A {1,1}-A 2{|10}{1,1}A x x =-==-{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-,A B A B6．解：，即，得，则，．7．设集合，，求，，，．7．解：，则，，而，，则，．8．学校里开运动会，设，，，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）；（2）．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为．（1）；（2）．9．设，，，，求，，．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，即，．3782x x -≥-3x ≥{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥{|2}A B x x =≥{|34}A B x x =≤<{|9}A x x =是小于的正整数{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==A B AC ()A B C ()A B C {|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数{1,2,3}A B ={3,4,5,6}A C ={1,2,3,4,5,6}B C ={3}B C =(){1,2,3,4,5,6}A B C =(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C ={|}A x x =是参加一百米跑的同学{|}B x x =是参加二百米跑的同学{|}C x x =是参加四百米跑的同学AB AC ()A B C =∅{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学{|}S x x =是平行四边形或梯形{|}A x x =是平行四边形{|}B x x =是菱形{|}C x x =是矩形B C A B S A {|}B C x x =是正方形{|}AB x x =是邻边不相等的平行四边形{|}SA x x =是梯形10．已知集合，求，，，．10．解：，，，，得，，，．B 组 1．已知集合，集合满足，则集合有个．1．集合满足，则，即集合是集合的子集，得个子集．2．在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，集合表示什么？集合之间有什么关系？ 2．解：集合表示两条直线的交点的集合，即，点显然在直线上，得．3．设集合，，求．3．解：显然有集合，当时，集合，则；当时，集合，则；当时，集合，则；{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<()R A B ()R A B ()R A B()R A B {|210}A B x x =<<{|37}A B x x =≤<{|3,7}RA x x x =<≥或{|2,10}RB x x x =≤≥或(){|2,10}RA B x x x =≤≥或(){|3,7}RA B x x x =<≥或(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或(){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或{1,2}A =B {1,2}A B =B 4B A B A =B A ⊆B A 4{(,)|}C x y y x ==y x =21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭,C D 21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭21,45x y x y -=+=21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭(1,1)D y x =DC {|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈{|(4)(1)0}B x x x =--=,A B A B {|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==3a ={3}A ={1,3,4},A B A B ==∅1a ={1,3}A ={1,3,4},{1}A B A B ==4a ={3,4}A ={1,3,4},{4}A B A B ==当，且，且时，集合，则．4．已知全集，，试求集合． 4．解：显然，由，得，即，而，得，而，即．第一章集合与函数概念 1．2函数及其表示 1．2．1函数的概念练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）；（2）．1．解：（1）要使原式有意义，则，即，得该函数的定义域为；（2）要使原式有意义，则，即，得该函数的定义域为．2．已知函数，（1）求的值；（2）求的值．2．解：（1）由，得，同理得，1a ≠3a ≠4a ≠{3,}A a ={1,3,4,},A B a A B ==∅{|010}U A B x N x ==∈≤≤(){1,3,5,7}U A B =B {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =U A B =UB A⊆()U UA B B=(){1,3,5,7}U A B ={1,3,5,7}UB =()UU B B ={0,2,4,6,8.9,10}B =1()47f x x =+()1f x =470x +≠74x ≠-7{|}4x x ≠-1030x x -≥⎧⎨+≥⎩31x -≤≤{|31}x x -≤≤2()32f x x x =+(2),(2),(2)(2)f f f f -+-(),(),()()f a f a f a f a -+-2()32f x x x =+2(2)322218f =⨯+⨯=2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=则，即；（2）由，得，同理得，则，即． 3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度与时间关系的函数和二次函数；（2）和．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间；（2）不相等，因为定义域不同，． 1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为，面积为，把表示为的函数．1．解：显然矩形的另一边长为，，且，即． 2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．(2)(2)18826f f +-=+=(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=2()32f x x x =+22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=h t 21305h t t =-21305y x x =-()1f x =0()g x x =0t >0()(0)g x x x =≠25cm xcm 2ycm y x 2250x cm -222502500y x x x x =-=-050x <<22500(050)y x x x =-<<2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．3．画出函数的图象．3．解：，图象如下所示．，从到的映射4．设正弦”，与中元素相对应是“求中的元素是什么？与中的元素相对应的的中元素是什么？4．解：因为，所以与中元素相对应的中的元素是；因为，所以与中的元素相对应的中元素是． 1．2函数及其表示习题1．2（第23页）1．求下列函数的定义域：|2|y x =-2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩{|},{0,1}A x x B ==是锐角A B A 60B B 22A 3sin 602=A 60B 322sin 452=B 22A 45离开家的距离时间（A ）离开家的距离时间（B ）离开家的距离时间（C ）离开家的距离时间（D ）（1）；（2）；（3）；（4）． 1．解：（1）要使原式有意义，则，即，得该函数的定义域为；（2），即该函数的定义域为；（3）要使原式有意义，则，即且，得该函数的定义域为；（4）要使原式有意义，则，即且，得该函数的定义域为． 2．下列哪一组中的函数与相等？（1）；（2）；（3）． 2．解：（1）的定义域为，而的定义域为，即两函数的定义域不同，得函数与不相等；（2）的定义域为，而的定义域为，即两函数的定义域不同，得函数与不相等；（3）对于任何实数，都有，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数与相等．3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．3()4x f x x =-()f x=26()32f x x x =-+()1f x x =-40x -≠4x ≠{|4}x x ≠x R ∈()f x =R 2320x x -+≠1x ≠2x ≠{|12}x x x ≠≠且4010x x -≥⎧⎨-≠⎩4x ≤1x ≠{|41}x x x ≤≠且()f x ()g x 2()1,()1x f x x g x x =-=-24(),()f x x g x ==2(),()f x x g x ==()1f x x =-R 2()1x g x x =-{|0}x x ≠()f x ()g x 2()f x x =R 4()g x ={|0}x x ≥()f x ()g x 2x =()f x ()g x（1）；（2）；（3）；（4）．3．解：（1）定义域是，值域是；（2）定义域是，值域是；（3）3y x =8y x =45y x =-+267y x x =-+(,)-∞+∞(,)-∞+∞(,0)(0,)-∞+∞(,0)(0,)-∞+∞定义域是，值域是；（4）定义域是，值域是．4．已知函数，求，，，． 4．解：因为，所以，即；同理，，即；，即；，即． 5．已知函数，（1）点在的图象上吗？（2）当时，求的值；（3）当时，求的值．(,)-∞+∞(,)-∞+∞(,)-∞+∞[2,)-+∞2()352f x x x =-+(2)f -()f a -(3)f a +()(3)f a f +2()352f x x x =-+2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+(2)852f -=+22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++2()352f a a a -=++22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++2(3)31314f a a a +=++22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+2()(3)3516f a f a a +=-+2()6x f x x +=-(3,14)()f x 4x =()f x ()2f x =x5．解：（1）当时，，即点不在的图象上；（2）当时，，即当时，求的值为；（3），得，即．6．若，且，求的值． 6．解：由，得是方程的两个实数根，即，得，即，得，即的值为．7．画出下列函数的图象：（1）；（2）．7．图象如下：3x =325(3)14363f +==-≠-(3,14)()f x 4x =42(4)346f +==--4x =()f x 3-2()26x f x x +==-22(6)x x +=-14x =2()f x x bx c =++(1)0,(3)0f f ==(1)f -(1)0,(3)0f f ==1,320x bx c ++=13,13b c +=-⨯=4,3b c =-=2()43f x x x =-+2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=(1)f -80,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩()31,{1,2,3}G n n n =+∈。

高中数学第四章数列 4.3.1 第1课时等比数列的概念及通项公式课后提升训练(含解析)新人教A

第四章数列4.3 等比数列 4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式课后篇巩固提升基础达标练1.等比数列{a n }中,a 1a 2=2,a 2a 4=16,则公比q 等于 ()A.2B.3C.√84D.2√43{a n }中,a 1a 2=2,a 2a 4=16,∴a 2·a4a 1·a 2=q 3=8,则公比q=2,故选A .2.(多选)(2020某某某某一中高一月考)设{a n }为等比数列,给出四个数列:①{2a n };②{a n 2};③{2a n };④{log 2|a n |},其中一定为等比数列的是() A.①B.②C.③D.④{a n }的公比为q ,则2a n2a n -1=a na n -1=q ,故{2a n }是等比数列; a n 2a n -12=(a n a n -1)2=q 2, 故{a n 2}是等比数列;取等比数列a n =(-1)n ,则{2a n }的前三项为12,2,12,不成等比数列;此时log 2|a n |=0,{log 2|a n |}不成等比数列.故选AB .3.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项的和为15,且a 5=3a 3+4a 1,则a 3=() A.16B.8C.4D.2a 1,公比为q ,由已知得,a 1q 4=3a 1q 2+4a 1,因为a 1>0且q>0,则可得q=2,又因为a 1(1+q+q 2+q 3)=15,即可解得a 1=1,则a 3=a 1q 2=4.4.已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列,则a 2=() A.-4B.-6C.-8D.-10a 4=a 1+6,a 3=a 1+4,a 1,a 3,a 4成等比数列,∴a 32=a 1·a 4,即(a 1+4)2=a 1·(a 1+6),解得a 1=-8,∴a 2=a 1+2=-6.故选B .5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n =2a n+1,则S n =() A .2n-1B .(32)n -1C .(23)n -1D .12n -1S n =2a n+1,得S n =2(S n+1-S n ),即2S n+1=3S n ,S n+1Sn=32.又S 1=a 1=1,所以S n =(32)n -1,故选B .6.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为.6个数所成等比数列的公比为q ,则5=160q 5,∴q 5=132,∴q=12.∴这4个数依次为80,40,20,10.7.在数列{a n }中,已知a 1=3,且对任意正整数n 都有2a n+1-a n =0,则a n =.2a n+1-a n =0,得a n+1a n=12,所以数列{a n }是等比数列,公比为12.因为a 1=3,所以a n =3·(12)n -1.3·(12)n -18.在等比数列{a n }中,若a 1=18,q=2,则a 4与a 8的等比中项是.,得a 6=a 1q 5=18×25=4,而a 4与a 8的等比中项是±a 6,故a 4与a 8的等比中项是±4.49.已知数列{a n }是等差数列,且a 2=3,a 4+3a 5=56.若log 2b n =a n . (1)求证:数列{b n }是等比数列; (2)求数列{b n }的通项公式.log 2b n =a n ,得b n =2a n .因为数列{a n }是等差数列,不妨设公差为d ,则bnb n -1=2a n 2a n -1=2a n -a n -1=2d (n ≥2),2d 是与n 无关的常数,所以数列{b n }是等比数列.,得{a 1+d =3,a 1+3d +3(a 1+4d )=56,解得{S 1=-1,d =4,于是b 1=2-1=12,公比q=2d =24=16,所以数列{b n }的通项公式b n =12·16n-1.10.已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a n +1. (1)证明:数列{a n +1}是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式.a n+1=2a n +1,∴a n+1+1=2(a n +1).由a 1=1,知a 1+1≠0,从而a n +1≠0.∴a n+1+1a n +1=2(n ∈N *). ∴数列{a n +1}是等比数列.(1)知{a n +1}是以a 1+1=2为首项,2为公比的等比数列.∴a n +1=2·2n-1=2n .即a n =2n -1.能力提升练1.若a ,b ,c 成等差数列,而a+1,b ,c 和a ,b ,c+2都分别成等比数列,则b 的值为() A.16B.15C.14D.12,得{2b =a +c ,b 2=(a +1)c ,b 2=a (c +2),解得{a =8,b =12,c =16.2.在等比数列{a n }中,a 1=1,公比|q|≠1.若a m =a 1a 2a 3a 4a 5,则m 等于() A.9B.10C.11D.12a m =a 1a 2a 3a 4a 5=q ·q 2·q 3·q 4=q 10=1×q 10,∴m=11.3.(多选)(2019某某滕州第一中学新校高二月考)已知数列{a n },{b n }是等比数列,那么下列一定是等比数列的是 ()A.{k ·a n }B.{1a n}C.{a n +b n }D.{a n ·b n },可设等比数列{a n }的公比为q 1(q 1≠0),则a n =a 1·q 1n -1,等比数列{b n }的公比为q 2(q 2≠0),则b n =b 1·q 2n -1,对于A,当k=0时,{k ·a n }显然不是等比数列,故A 错误;对于B,1an=1a 1q 1n -1=1a 1·(1q 1)n -1,∴数列{1a n}是一个以1a 1为首项,1q 1为公比的等比数列,故B 正确;对于C,举出反例,当a n =1,b n =-1时,数列{a n +b n }不是等比数列,故C 错误; 对于D,a n ·b n =a 1·b 1(q 1·q 2)n-1,∴数列{a n ·b n }是一个以a 1b 1为首项,q 1q 2为公比的等比数列,故D 正确.故选BD .4.已知-7,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列,-4,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数列,则a 2-a1b 2=.,得a 2-a 1=-1-(-7)3=2,b 22=(-4)×(-1)=4.又b 2是等比数列中的第3项,所以b 2与第1项同号,即b 2=-2,所以a 2-a 1b 2=2-2=-1.15.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q=.,得a n =a n+1+a n+2,所以a n =a n q+a n q 2.因为a n >0,所以q 2+q-1=0, 解得q=-1+√52(q =-1-√52舍去).6.若数列a 1,a 2a 1,a 3a 2,…,an a n -1,…是首项为1,公比为-√2的等比数列,则a 5=.,得aS a n -1=(-√2)n-1(n ≥2),所以a2a 1=-√2,a3a 2=(-√2)2,a4a 3=(-√2)3,a5a 4=(-√2)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得a5a 1=(-√2)1+2+3+4=32.又a 1=1,所以a 5=32.7.已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1,a n 2-(2a n+1-1)a n -2a n+1=0.(1)求a 2,a 3;(2)求{a n }的通项公式.由题意可得a 2=12,a 3=14.(2)由a n 2-(2a n+1-1)a n -2a n+1=0,得2a n+1(a n +1)=a n (a n +1).因为{a n }的各项都为正数,所以a n+1a n=12.故{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,因此a n =12n -1,n ∈N*.8.已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n +1, (1)求证{a n }是等比数列,并求出其通项公式; (2)设b n =a n+1+2a n ,求证:数列{b n }是等比数列.∵S n =2a n +1,∴S n+1=2a n+1+1,S n+1-S n =a n+1=(2a n+1+1)-(2a n +1)=2a n+1-2a n ,∴a n+1=2a n .由已知及上式可知a n ≠0. ∴由a n+1a n=2知{a n }是等比数列. 由a 1=S 1=2a 1+1,得a 1=-1,∴a n =-2n-1.(2)由(1)知,a n=-2n-1,∴b n=a n+1+2a n=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.b S+1 b n =-4×2n-4×2n-1=2.∴数列{b n}是等比数列.素养培优练已知数列{},其中=2n+3n,数列{+1-p}为等比数列,求常数p.{+1-p}为等比数列,所以(+1-p)2=(-p-1)(+2-p+1),将=2n+3n代入上式得,[2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)]·[2n+3n-p(2n-1+3n-1)],整理得16(2-p)(3-p)·2n·3n=0,解得p=2或p=3.。

2017-2018学年高中数学人教A版必修四课下能力提升：(十八) Word版含解析(数学试卷新课标人教版)

课下能力提升(十八) [学业水平达标练]题组1 向量的坐标表示1．已知＝(－2，4)，则下面说法正确的是( ) A ．A 点的坐标是(－2，4) B ．B 点的坐标是(－2，4)C ．当B 是原点时，A 点的坐标是(－2，4)D ．当A 是原点时，B 点的坐标是(－2，4)( )A ．(－2，3)B ．(2，－3)C ．(2，3)D ．(－2，－3)3．若A (2，－1)，B (4，2)，C (1，5)，则题组2 平面向量的坐标运算4．设平面向量a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)，则a －2b ＝( ) A ．(6，3) B ．(7，3) C ．(2，1) D ．(7，2)5．若向量a ＝(x －2，3)与向量b ＝(1，y ＋2)相等，则( ) A ．x ＝1，y ＝3 B ．x ＝3，y ＝1 C ．x ＝1，y ＝－5 D ．x ＝5，y ＝－16．已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4.设 (λ∈R )，则λ＝________．题组3 向量共线的坐标表示8．已知A (2，－1)，B (3，1)，则与AB ―→平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2，1) B ．(－6，－3) C ．(－1，2) D ．(－4，－8)9．已知A (－1，4)，B (x ，－2)，若C (3，3)在直线AB 上，则x ＝________．11．平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，回答下列问题：(1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[能力提升综合练]1．已知A (7，1)，B (1，4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且，则实数a 等于( )A ．2B ．1 C.45D.532．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a ，4b －2c ，2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2，6)B ．(－2，6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)3．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向4．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn 等于( )A ．－12B.12C ．－2D ．26．已知P 1(2，－1)，P 2(－1，3)，P 在直线P 1P 2上，且.则P 点的坐标为________． 7．已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)，且，试问： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的t 值；若不可能，请说明理由．8．如图所示，已知△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)， AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．答案[学业水平达标练]1. 解析：选D 由任一向量的坐标的定义可知：当A 点是原点时，B 点的坐标是(－2，4)．2.3. 解析：∵A (2，－1)，B (4，2)，C (1，5)，＝(2，3)＋(－6，6)＝(－4，9)．答案：(－4，9)4. 解析：选B ∵a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)，∴a －2b ＝(3，5)－2(－2，1)＝(3，5)－(－4，2)＝(7，3)．5. 解析：选B 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝1，3＝y ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.6. 解析：过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π4知，|OE |＝|CE |＝2，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23.答案：237.∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3，6)＝(1，2)，(－1－x 2，2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1，2)．则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2，⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴C ，D 的坐标分别为(0，4)和(－2，0)，因此＝(－2，－4)．8. 解析：选D ＝(1，2)，向量(2，1)、(－6，－3)、(－1，2)与(1，2)不平行；(－4，－8)与(1，2)平行且方向相反．9. 解析：＝(x ＋1，－6)，＝(4，－1)， ∵∥，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23. 答案：2310. 证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，所以(x 1＋1，y 1)＝⎝⎛⎭⎫23，23，故E ⎝⎛⎭⎫－13，23；所以(x 2－3，y 2＋1)＝⎝⎛⎭⎫－23，1，故F ⎝⎛⎭⎫73，0. 所以＝⎝⎛⎭⎫83，－23. 又因为4×⎝⎛⎭⎫－23－83×(－1)＝0，11. 解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3，2)＋(－1，2)－2(4，1) ＝(9，6)＋(－1，2)－(8，2) ＝(9－1－8，6＋2－2)＝(0，6)． (2)∵a ＝m b ＋n c ，∴(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)＝(－m ＋4n ，2m ＋n )． ∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89.(3)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，又a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)，∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.[能力提升综合练]1. 解析：选A 设C (x 0，y 0)，则y 0＝12ax 0，∴＝⎝⎛⎭⎫x 0－7，12ax 0－1，＝⎝⎛⎭⎫1－x 0，4－12ax 0， ∵，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0－7＝2（1－x 0），12ax 0－1＝2⎝⎛⎭⎫4－12ax 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，a ＝2. 2. 解析：选D ∵四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，∴d ＝－6a －4b ＋4c ＝－6(1，－3)－4(－2，4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．3. 解析：选D ∵a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，若k ＝1，则c ＝a ＋b ＝(1，1)，d ＝a －b ＝(1，－1)，显然c 与d 不平行，排除A 、B.若k ＝－1，则c ＝－a ＋b ＝(－1，1)，d ＝a －b ＝－(－1，1)，即c ∥d 且c 与d 反向．4. 解析：选A 由向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，得m a ＋n b ＝(2m －n ，3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.5.∴x (－y ＋2)－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0. 答案：0 6.∴(x －2，y ＋1)＝23(－1－x ，3－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋23×（－1）1＋23，y ＝－1＋23×31＋23，即⎩⎨⎧x ＝45，y ＝35.故P 点坐标为⎝⎛⎭⎫45，35.∴(x －2，y ＋1)＝－23(－1－x ，3－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－23×（－1）1－23，y ＝－1－23×31－23，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－9.故P 点坐标为(8，－9)．综上可得，P 点坐标为⎝⎛⎭⎫45，35或(8，－9)．答案：⎝⎛⎭⎫45，35或(8，－9)7. 解：由题可知＝(1，2)，＝(3，3)，＝(1，2)＋t (3，3)＝(1＋3t ，2＋3t )． (1)若P 在x 轴上，则有2＋3t ＝0，t ＝－23；若P 在y 轴上，则有1＋3t ＝0， t ＝－13；若P 在第二象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，解得－23＜t ＜－13.(2)＝(－1－3t ，－2－3t )＋(4，5)＝(3－3t ，3－3t )．若四边形OABP 是平行四边形，则有即⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，方程组显然无解．∴四边形OABP 不可能是平行四边形．8.∴74x －4⎝⎛⎭⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.②联立①②，解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫127，2.。

高中数学人教A版必修四课下能力提升：(一) Word版含解析

课下能力提升(一)[学业水平达标练]题组1 终边相同的角及区域角的表示1．与－457°角的终边相同的角的集合是( )A ．{α|α＝457°＋k ·360°，k ∈Z }B ．{α|α＝97°＋k ·360°，k ∈Z }C ．{α|α＝263°＋k ·360°，k ∈Z }D ．{α|α＝－263°＋k ·360°，k ∈Z }2．终边在直线y ＝－x 上的所有角的集合是( )A ．{α|α＝k ·360°＋135°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·360°－45°，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·180°＋225°，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z }3．与角－1 560°终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．4．已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.5．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤α＜ 720°的元素α写出来：①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式－180°≤α＜ 180°的元素α写出来．题组2 象限角的判断6．－1 120°角所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．下列叙述正确的是( )A ．三角形的内角必是第一、二象限角B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．第四象限角一定是负角D ．钝角比第三象限角小8．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角题组3 nα或αn所在象限的判定9．已知角2α的终边在x轴上方，那么α是()A．第一象限角B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角D．第一或第四象限角[能力提升综合练]1．已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝()A．{α|α为锐角}B．{α|α小于90°}C．{α|α为第一象限角}D．以上都不对2．终边在第二象限的角的集合可以表示为()A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}3．若集合M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z}，则() A．M＝N B．M NC．M N D．M∩N＝∅4．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为()A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z5．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．6．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________．7．写出终边在如下列各图所示阴影部分内的角的集合．8．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．答案[学业水平达标练]1.解析：选C由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}．2.解析：选D因为直线过原点，它有两个部分，一部分出现在第二象限，一部分出现在第四象限，所以排除A、B.又C项中的角出现在第一、三象限，故选D.3.解析：－1 560°＝(－5)×360°＋240°，而240°＝360°－120°，故最小正角为240°，而最大负角为－120°.答案：240°－120°4.解析：∵α与120°角终边相同，故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.又－990°<α<－630°，∴－990°<k·360°＋120°<－630°，即－1 110°<k·360°<－750°.当k＝－3时，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.答案：－960°5.解：(1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－300°，60°，420°；②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－21°，339°，699°.(2)终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α为：－60°，120°.6.解析：选D由题意，得－1 120°＝－4×360°＋320°，而320°在第四象限，所以－1 120°角也在第四象限．7.解析：选B90°的角是三角形的内角，它不是第一、二象限角，故A错；280°的角是第四象限角，它是正角，故C 错；－100°的角是第三象限角，它比钝角小，故D 错．8. 解析：选B ∵α是第四象限角，∴k ·360°－90°<α<k ·360°.∴k ·360°＋90°<180°＋α<k ·360°＋180°.∴180°＋α在第二象限，故选B.9. 解析：选C 由条件知k ·360°<2α<k ·360°＋180°，(k ∈Z )，∴k ·180°<α<k ·180°＋90°(k ∈Z )，当k 为偶数时，α在第一象限，当k 为奇数时，α在第三象限．[能力提升综合练]1. 解析：选D 小于90°的角包括锐角及所有负角，第一象限角指终边落在第一象限的角，所以A ∩B 是指锐角及第一象限的所有负角的集合，故选D.2. 解析：选D 终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k ·360°<α<180°＋k · 360°，k ∈Z }，而选项D 是从顺时针方向来看的，故选项D 正确．3. 解析：选C M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝ 90°＋k ·45°，k ∈Z }＝{x |x ＝(k ＋2)·45°，k ∈Z }．∵k ∈Z ，∴k ＋2∈Z ，且2k ＋1为奇数，∴M N .4. 解析：选B 法一：特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.法二：直接法：∵角α与角β的终边关于y 轴对称，∴β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z ，即α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .5. 解析：将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×360°12×60＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×360°60＝60°，所转成的角度是－60°. 答案：－5 －606. 解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k ·360°＋α，k ∈Z .得 4α＝k ·360°，当k＝3时，α＝270°.答案：270°7.解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．8.解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.。

2017-2018学年高中数学人教A版必修四课下能力提升：(八) Word版含解析

课下能力提升(八) [学业水平达标练]题组1 用“五点法”作简图1．用“五点法”作y ＝sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π2，2π B ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π32．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的大致图象是( )3．函数y ＝sin|x |的图象是( )4．用“五点法”作出函数y ＝1＋2sin x ，x ∈[0，2π]的图象．题组2 利用正、余弦函数的图象解不等式 5．不等式cos x ＜0，x ∈[0，2π]的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B.⎣⎡⎦⎤π2，3π2 C.⎝⎛⎭⎫0，π2 D.⎝⎛⎭⎫π2，2π6．函数y ＝2cos x －2的定义域是________．7．求函数y ＝sin x －12＋cos x 的定义域．题组3 正、余弦曲线与其他曲线的交点问题8．y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝32交点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．39．方程cos x ＝lg x 的实根的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．无数 10．判断方程sin x ＝x10的根的个数．[能力提升综合练]1．对余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下描述：①向左向右无限延伸；②与y ＝sin x 的图象形状完全一样，只是位置不同；③与x 轴有无数多个交点；④关于y 轴对称．其中正确的描述有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内 ( ) A ．没有根 B ．有且只有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根3．函数y ＝cos x |sin x ||cos x |⎝⎛⎭⎫0≤x ＜3π2且x ≠π2的图象是( )4．在(0，2π)上使cos x ＞sin x 成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，2πB.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C.⎝⎛⎭⎫π4，5π4D.⎝⎛⎭⎫－3π4，π45．在(0，2π)内使sin x ＞|cos x |的x 的取值范围是________．6．函数y ＝2cos x ，x ∈[0，2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．7．用五点作图法作出函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π3的图象．8．方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个实数根，求a 的取值范围．答案[学业水平达标练]1. 解析：选B 分别令2x ＝0，π2，π，3π2，2π，可得x ＝0，π4，π2，3π4，π.2. 答案：D3. 解析：选B y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，sin （－x ），x ＜0.作出y ＝sin|x |的简图知选B.4. 解：列表：在直角坐标系中描出五点(0，1)，⎝⎛⎭2，3，(π，1)⎝⎛⎭3π2，－1，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y ＝1＋2sin x ，x ∈[0，2π]的图象．5. 解析：选A 由y ＝cos x 的图象知，在[0，2π]内使cos x ＜0的x 的范围是⎝⎛⎭⎫π2，3π2.6. 解析：要使函数有意义，只需2cos x －2≥0，即cos x ≥22.由余弦函数图象知(如图)．所求定义域为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .答案：⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z7. 解：由⎩⎪⎨⎪⎧sin x －12≥0，cos x ≥0，得⎩⎨⎧π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z ，2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z .∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，即函数y ＝sin x －12＋cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋π2(k ∈Z )．8. 解析：选C 画出y ＝32与y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象，由图象可得有2个交点．9. 解析：选C 如图所示，作出函数y ＝cos x 和y ＝lg x 的图象．两曲线有3个交点，故方程有3个实根．10. 解：因为当x ＝3π时，y ＝x 10＝3π10＜1；当x ＝4π时，y ＝x 10＝4π10＞1.所以直线y ＝x10在y 轴右侧与曲线y ＝sin x 有且只有3个交点(如图所示)，又由对称性可知，在y 轴左侧也有3个交点，加上原点(0，0)，一共有7个交点．所以方程sin x ＝x10有7个根．[能力提升综合练]1. 解析：选D 由余弦函数的图象知①②③④均正确．2. 解析：选C 在同一坐标系内画出函数y ＝|x |与y ＝cos x 的图象，易得两个图象在第一、二象限各有一个交点，故原方程有两个根，选C.3. 解析：选C y ＝⎩⎨⎧sin x ，0≤x ＜π2或π≤x ＜32π，－sin x ，π2＜x ＜π，结合选项知C 正确．4. 解析：选A 以第一、三象限角平分线为分界线，终边在下方的角满足cos x ＞sin x . ∵x ∈(0，2π)，∴cos x ＞sin x 的x 的范围不能用一个区间表示，必须是两个区间的并集．5. 解析：三角函数线法，由题意知sin x ＞0，即x ∈(0，π)，由三角函数线知满足sin x ＞|cos x |的角x 在如图所示的阴影部分内，所以不等式的解集为⎝⎛⎭⎫π4，3π4.答案：⎝⎛⎭⎫π4，3π46. 解析：如图所示，将余弦函数的图象在x 轴下方的部分补到x 轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.答案：4π7. 解：按五个关键点列表：8. 解：首先作出y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象，然后再作出y ＝1－a 2的图象，如果y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π与y ＝1－a 2的图象有两个交点，方程sin x ＝1－a 2，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π就有两个实数根．设y 1＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，y 2＝1－a 2. y 1＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象如图．由图象可知，当32≤1－a2＜1，即－1＜a ≤1－3时，y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象与y ＝1－a 2的图象有两个交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个实根．。

人教A版高中数学必修四新人教课后强化训练含详解模块综合能力检测题

模块综合能力检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(09·全国Ⅰ文)已知tan α＝4，tan β＝3，则tan (α＋β)＝( ) A.711 B ．－711 C.713 D ．－713 [答案] B[解析] ∵tan β＝3，tan α＝4，∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝4＋31－4×3＝－711.2．(09 广东文)函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] A[解析] 因为y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 为奇函数，T ＝2π2＝π，所以选A . 3．(09·山东文)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1－sin (2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x[答案] A4．(09·浙江文)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A ．(79，73)B ．(－73，－79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)[答案] D[解析] 设c ＝(m ，n )，∵c ＋a ＝(m ＋1，n ＋2)，a ＋b ＝(3，－1)， ∴由(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )得：⎩⎪⎨⎪⎧－3(m ＋1)－2(n ＋2)＝03m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73.故选D.5．函数y ＝cos x ·|tan x |⎝⎛⎭⎫－π2<x <π2的大致图象是( )[答案] C[解析] ∵y ＝cos x ·|tan x |＝⎩⎨⎧－sin x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <0sin x ⎝⎛⎭⎫0≤x <π2，故选C.6．在△ABC 中，sin A ＝35，cos B ＝513，则cos C 的值为( )A ．－5665B ．－1665C.1665D.5665 [答案] C[解析] ∵cos B ＝513，∴sin B ＝1213，∵sin B >sin A ，A 、B 为△ABC 的内角， ∴B >A ，∴A 为锐角， ∵sin A ＝35，cos A ＝45，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－45×513＋35×1213＝1665.7．已知a ＝(1,3)，b ＝(2＋λ，1)，且a 与b 成锐角，则实数λ的取值范围是( ) A ．λ>－5 B ．λ>－5且λ≠－53C ．λ<－5D ．λ<1且λ≠－53[答案] B[解析] ∵a 与b 夹角为锐角，∴a ·b ＝2＋λ＋3>0，∴λ>－5，当a 与b 同向时，存在正数k ，使b ＝k a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋λ＝k 1＝3k，∴⎩⎨⎧k ＝13λ＝－53，因此λ>－5且λ≠－53.8．(09·陕西理)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2 [答案] A[解析] ∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－13，∴原式＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝19＋11－23＝103，故选A.9．若sin 4θ＋cos 4θ＝1，则sin θ＋cos θ的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 [答案] D[解析] 解法一：由sin 4θ＋cos 4θ＝1知⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝0cos θ＝±1或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝±1cos θ＝0， ∴sin θ＋cos θ＝±1.解法二：∵sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝1， ∴sin 2θcos 2θ＝0，∴sin θcos θ＝0， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1， ∴sin θ＋cos θ＝±1.10．a 与b 的夹角为120°，|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a ＝( ) A ．3 B ．9 C ．12 D ．13 [答案] D[解析] a ·b ＝2×5×cos120°＝－5， ∴(2a －b )·a ＝2|a |2－a ·b ＝8－(－5)＝13.11．设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A 、B 、D 三点共线，则k 的值为( )A ．－94B ．－49C ．－38D ．不存在 [答案] A[解析] BD →＝BC →＋CD →＝(－k e 1－e 2)＋(3e 1－2k e 2) ＝(3－k )e 1－(1＋2k )e 2， ∵A 、B 、D 共线，∴AB →∥BD →， ∴3－k 3＝－1－2k 2，∴k ＝－94. 12．(09·宁夏、海南理)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，且P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心外心垂心B ．重心外心内心C ．外心重心垂心D ．外心重心内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心) [答案] C[解析] ∵O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|， ∴O 是△ABC 外接圆的圆心，由NA →＋NB →＋NC →＝0，得N 是△ABC 的重心；由P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →得 PB →·(P A →－PC →)＝PB →·CA →＝0，∴PB ⊥CA ，同理可证PC ⊥AB ，P A ⊥BC ， ∴P 为△ABC 的垂心．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________． [答案] 1－ 2[解析] y ＝2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∵x ∈R ，∴y min ＝1－ 2.14．在▱ABCD 中，M 、N 分别是DC 、BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，用c 、d 表示AB →＝________. [答案] 43d －23c[解析] d ＝AB →＋BN →＝AB →＋12AD →① c ＝AD →＋DM →＝AD →＋12AB →②解①②组成的方程组得AD →＝43c －23d ，AB →＝43d －23c .15．已知点P (sin α＋cos α，tan α)在第二象限，则角α的取值范围是________． [答案] 2k π－π4<α<2k π或2k π＋π2<α<2k π＋3π4k ∈Z[解析] ∵点P 在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α>0tan α<0，如图可知，α的取值范围是2k π－π4<α<2k π或2k π＋π2<α<2k π＋3π4k ∈Z .16．如图所示，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.[答案] c ＋a －b[解析] OD →＝OC →＋CD →＝OC →＋BA →＝OC →＋(OA →－OB →)＝c ＋a －b .三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(09·湖南文)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．[解析] (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5. 从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2，或θ＝3π4.18．(本题满分12分)(09·重庆文)设函数f (x )＝(sin ωx ＋cos ωx )2＋2cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到，求y ＝g (x )的单调增区间．[解析] (1)f (x )＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2 ＝2sin(2ωx ＋π4)＋2，依题意得2π2ω＝2π3，故ω＝32.(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋2，依题意得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π2＋π4＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －5π4＋2，由2k π－π2≤3x －5π4≤2k π＋π2 (k ∈Z )解得23k π＋π4≤x ≤23k π＋7π12(k ∈Z )，故g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤23k π＋π4，23k π＋7π12 (k ∈Z )． 19．(本题满分12分)(09·陕西文)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，求f (x )的最值． [解析] (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2，由T ＝π得ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－2 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1， ∴4π3＋φ＝2k π－π2即φ＝2k π－11π6，k ∈Z ，又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴k ＝1，∴φ＝π6， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π3， ∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.20．(本题满分12分)(北京通州市09～10高一期末)已知向量a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝sin(ωx,0)，且ω>0，设函数f (x )＝(a ＋b )·b ＋k ，(1)若f (x )的图象中相邻两条对称轴间距离不小于π2，求ω的取值范围；(2)若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈－π6，π6时，f (x )的最大值为2，求k 的值．[解析] ∵a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝(sin ωx,0)， ∴a ＋b ＝(3cos ωx ＋sin ωx ，sin ωx )．∴f (x )＝(a ＋b )·b ＋k ＝3sin ωx cos ωx ＋sin 2ωx ＋k ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＋k ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋12＋k . (1)由题意可得：T 2＝2π2×2ω≥π2.∴ω≤1，又ω>0， ∴ω的取值范围是0<ω≤1. (2)∵T ＝π，∴ω＝1. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12＋k ∵－π6≤x ≤π6，∴－π2≤2x －π6≤π6.∴当2x －π6＝π6，即x ＝π6时，f (x )取得最大值f ⎝⎛⎭⎫π6＝2. ∴sin π6＋12＋k ＝2.∴k ＝1.21．(本题满分12分)(09·江苏文)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β) (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .[解析] (1)∵a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)， c ＝(cos β，－4sin β)∵a 与b －2c 垂直，∴a ·(b －2c )＝a ·b －2a ·c ＝4cos αsin β＋4sin αcos β－2(4cos αcos β－4sin αsin β) ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，∴tan(α＋β)＝2. (2)∵b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)∴|b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2β－32cos βsin β＋16sin 2β＝17－30sin βcos β＝17－15sin2β，当sin2β＝－1时，最大值为32， ∴|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β 即4cos α·4cos β－sin αsin β＝0，∴a ∥b .22．(本题满分14分)(09·福建文)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．[解析] 解法一：(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0得cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0，即cos ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0. 又|φ|<π2，∴φ＝π4；(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4. 依题意，T 2＝π3.又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. 函数f (x )的图象向左平移m 个单位后，所得图象对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤3(x ＋m )＋π4， g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )．从而，最小正实数m ＝π12.解法二：(1)同解法一． (2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4. 依题意，T 2＝π3.又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. 函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所得图象对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤3(x ＋m )＋π4. g (x )是偶函数当且仅当g (－x )＝g (x )对x ∈R 恒成立，亦即sin ⎝⎛⎭⎫－3x ＋3m ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋3m ＋π4对x ∈R 恒成立． ∴sin(－3x )cos ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4＋cos(－3x )sin ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4 ＝sin3x cos ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4＋cos3x sin ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4，即2sin3x cos ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4＝0对x ∈R 恒成立． ∴cos ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4＝0，故3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴m ＝k π3＋π12(k ∈Z )，从而，最小正实数m ＝π12.。

高中数学人教A版必修四课下能力提升(五)含解析

3
6
6
＝
＝
sin 130°＋ cos2130°
sin 130°＋|cos 130°|
sin 130°－cos 130° ＝1.
sin 130°－cos 130°
tan2α－sin2α
tan2α－tan2αcos2α
9. 证明：法一：∵右边＝
＝
（tan α－sin α）tan αsin α （tan α－sin α）tan αsin α
1 ∴tan α＜0，∴tan α＝－ .
4
2sin α 3cos α
1
－ cos α cosα
2tan α－3
－2 × －3 4
7
(2)原式＝ 4sin
α
＝
＝
9cos α 4tan α－9
＝. 1 20
－ cos α cos α
－4 × －9 4
5 5. 解析：选 A 由 sin4θ＋cos4θ＝，得
5
55
( )5 2 4 1 4 3
cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝
－＝－＝－ .故选 B.
5
555 5
cos α 2sin α
2.
解析：选
B ∵α
为第三象限角，∴原式＝－cos
＋ α －sin
α＝－3.
( ) ( ) 1
sin x cos x
1
sin x
3. 解析：选 A tan x＋ sin2x＝＋ sin2x＝
(1)
＋
的值；
1 1－tan θ
1－ tan
θ
(2)m 的值；
(3)方程的两根及 θ 的值．
答案

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

课下能力提升(十八) [学业水平达标练]
题组1 向量的坐标表示 1．已知
＝(－2，4)，则下面说法正确的是( )
A ．A 点的坐标是(－2，4)
B ．B 点的坐标是(－2，4)
C ．当B 是原点时，A 点的坐标是(－2，4)
D ．当A 是原点时，B 点的坐标是(－2，4)
( )
A ．(－2，3)
B ．(2，－3)
C ．(2，3)
D ．(－2，－3)
3．若A (2，－1)，B (4，2)，C (1，5)，则
题组2 平面向量的坐标运算
4．设平面向量a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)，则a －2b ＝( ) A ．(6，3) B ．(7，3) C ．(2，1) D ．(7，2)
5．若向量a ＝(x －2，3)与向量b ＝(1，y ＋2)相等，则( ) A ．x ＝1，y ＝3 B ．x ＝3，y ＝1 C ．x ＝1，y ＝－5 D ．x ＝5，y ＝－1
6．已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4
.设 (λ∈R )，则λ＝________．
题组3 向量共线的坐标表示
8．已知A (2，－1)，B (3，1)，则与AB ―→平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2，1) B ．(－6，－3) C ．(－1，2) D ．(－4，－8)
9．已知A (－1，4)，B (x ，－2)，若C (3，3)在直线AB 上，则x ＝________．
11．平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，回答下列问题： (1)求3a ＋b －2c ；
(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .
[能力提升综合练]
1．已知A (7，1)，B (1，4)，直线y ＝1
2ax 与线段AB 交于C ，且
，则实数a
等于( )
A ．2
B ．1 C.45D.5
3
2．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a ，4b －2c ，2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )
A ．(2，6)
B ．(－2，6)
C ．(2，－6)
D ．(－2，－6)
3．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向
4．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m
n 等于( )
A ．－12B.1
2
C ．－2
D ．2
6．已知P 1(2，－1)，P 2(－1，3)，P 在直线P 1P 2上，且.则P 点的坐标
为________．
7．已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)，且
，试问：
(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？
(2)四边形OABP 可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的t 值；若不可能，请说明理由．
8．如图所示，已知△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，
AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．
答案 [学业水平达标练]
1. 解析：选D 由任一向量的坐标的定义可知：当A 点是原点时，B 点的坐标是(－2，4)．
2.
3. 解析：∵A (2，－1)，B (4，2)，C (1，5)，
＝(2，3)＋(－6，6)＝(－4，9)．答案：(－4，9)
4. 解析：选B ∵a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)，
∴a －2b ＝(3，5)－2(－2，1)＝(3，5)－(－4，2)＝(7，3)．
5. 解析：选B 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝1，3＝y ＋2，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝3，y ＝1.
6. 解析：过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π
4
知，|OE |＝|CE |＝2，
所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23
.
答案：23
7.
∴(x 1＋1，y 1－2)＝1
3(3，6)＝(1，2)，
(－1－x 2，2－y 2)＝－1
3
(－3，－6)＝(1，2)．
则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2，⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，
2－y 2＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，
y 2
＝0.
∴C ，D 的坐标分别为(0，4)和(－2，0)，因此
＝(－2，－4)．
8. 解析：选D
＝(1，2)，向量(2，1)、(－6，－3)、(－1，2)与(1，2)不平行；(－
4，－8)与(1，2)平行且方向相反．
9. 解析：＝(x ＋1，－6)，
＝(4，－1)，
∵
∥
，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.
答案：23
10. 证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，
所以(x 1＋1，y 1)＝⎝⎛⎭⎫23，23，故E ⎝⎛⎭
⎫－13，2
3；
所以(x 2－3，y 2＋1)＝⎝⎛⎭⎫－2
3，1，故F ⎝⎛⎭⎫
73，0.
所以
＝⎝⎛⎭⎫83
，－23. 又因为4×⎝⎛⎭⎫－23－8
3
×(－1)＝0，
11. 解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3，2)＋(－1，2)－2(4，1) ＝(9，6)＋(－1，2)－(8，2) ＝(9－1－8，6＋2－2)＝(0，6)． (2)∵a ＝m b ＋n c ，
∴(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)＝(－m ＋4n ，2m ＋n )． ∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝8
9.
(3)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，
又a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)， ∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－16
13
.
[能力提升综合练]
1. 解析：选A 设C (x 0，y 0)，则y 0＝1
2ax 0，
∴
＝⎝⎛⎭
⎫x 0－7，1
2ax 0－1，＝⎝
⎛⎭⎫1－x 0，4－1
2ax 0，
∵
，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0－7＝2（1－x 0），12ax 0
－1＝2⎝⎛⎭⎫4－12ax 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，
a ＝2. 2. 解析：选D ∵四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a ＋(4
b －2
c )＋2(a －c )＋
d ＝0，∴d ＝－6a －4b ＋4c ＝－6(1，－3)－4(－2，4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．
3. 解析：选D ∵a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，若k ＝1，则c ＝a ＋b ＝(1，1)，d ＝a －b ＝(1，－1)，显然c 与d 不平行，排除A 、B.若k ＝－1，则c ＝－a ＋b ＝(－1，1)，d ＝a －b ＝－(－1，1)，即c ∥d 且c 与d 反向．
4. 解析：选A 由向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，得m a ＋n b ＝(2m －n ，3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1
，所以m n ＝－1
2.
5.
∴x (－y ＋2)－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0. 答案：0
6.
∴(x －2，y ＋1)＝2
3
(－1－x ，3－y )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2
3×（－1）1＋23
，
y ＝－1＋2
3×31＋23
，即⎩⎨⎧x ＝45
，y ＝3
5.
故P 点坐标为⎝⎛⎭⎫
45，35.
∴(x －2，y ＋1)＝－2
3
(－1－x ，3－y )，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2－2
3×（－1）1－23，
y ＝－1－23
×3
1－23
，
即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，
y ＝－9.
故P 点坐标为(8，－9)．
综上可得，P 点坐标为⎝⎛⎭⎫
45，35或(8，－9)．答案：⎝⎛⎭⎫45，35或(8，－9) 7. 解：由题可知
＝(1，2)，
＝(3，3)，
＝(1，2)＋t (3，3)＝(1＋3t ，2＋3t )．
(1)若P 在x 轴上，则有2＋3t ＝0，t ＝－2
3；
若P 在y 轴上，则有1＋3t ＝0， t ＝－13
；
若P 在第二象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，
解得－23＜t ＜－1
3.
(2)＝(－1－3t ，－2－3t )＋(4，5)＝(3－3t ，3－3t )．
若四边形OABP 是平行四边形，则有
即⎩
⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，
3－3t ＝2，方程组显然无解． ∴四边形OABP 不可能是平行四边形．
8.
∴7
4x －4⎝⎛⎭⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.②
联立①②，解得x ＝12
7，y ＝2，
故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫
127，2.。