人教版八年级数学下册安徽省六安市裕安中学17.1勾股定理(练习)2

初中数学试卷
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1．根据如图，利用面积法证明勾股定理．
2．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=10，以AB为边向左边作一个等边△ABD，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）求DF的长．
3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上的中点，过D点作DE⊥DF，交AB 于E，交BC为F，
（1）求证：BE=CF；
（2）若AE=4，FC=3，求EF的长．
4．已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2，AD=2AC，DC=2BC．
（1）求证：△ACD为直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
5．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE 的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则求∠BE′C的度数．（提示：连接EE′）
6.如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A，C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，M是BC的中点，P(0，m)是线段OC上一动点(C点除外)，直线PM交AB的延长线于点D.
(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)；
(2)当△APD是以AP为腰的等腰三角形时，求m的值；
7．平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」=|x|+|y|．（其中的“+”是四则运算中的加法）
（1）求点A（﹣1，3），B（+2，﹣2）的勾股值「A」、「B」；
（2）求满足条件「N」=3的所有点N围成的图形的面积．
答案
1.证明：在△ADE和△EBC中，
，
∴△ADE≌△EBC（SAS），
∴∠AED=∠CBE，
∵∠CBE+∠BEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠AEB=90°，
∴梯形的面积=（a+b）（a+b）=2×ab+c2，
整理得a2+b2=c2．
2.解；（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，即∠AFE=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）∵△ABD是等边三角形，AB=10，
∴∠ADB=60°，AD=AB=10，
∵DE⊥AB，
∴AE=AB=5，
∴DE===5；∵△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=AE=5，
∴DF=DE﹣EF=5﹣5．
3.解：（1）连接BD．
∵D是AC中点，
∴∠ABD=∠CBD=45°，BD=AD=CD，BD⊥AC ∵∠EDB+∠FDB=90°，∠FDB+∠CDF=90°，∴∠EDB=∠CDF，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（ASA），
∴BE=CF；
（2）∵AB=BC，BE=CF=3，
∴AE=BF=4
在RT△BEF中，EF==5
4.（1）证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，AB=2，
∴AC=2AB=4（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．在Rt△ABC中，∵∠B=90°
∴BC2+AB2=AC2（勾股定理）
得．
∵AD=2AC，DC=2BC，
∴AD=8，．
∴AC2+CD2=16+48=64，AD2=64
∴AD2=AC2+CD2．
因此，△ACD为直角三角形，∠ACD=90°（勾股定理逆定理）．
（2）解：∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，
∴=．
5.解：连接EE′，如图，
∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBE′，
∴BE=BE′=2，AE=CE′=1，∠EBE′=90°，
∴△BEE′为等腰直角三角形，
∴EE′=BE=2，∠BE′E=45°，
在△CEE′中，CE=3，CE′=1，EE′=2，
∵12+（2）2=32，
∴CE′2+EE′2=CE2，
∴△CEE′为直角三角形，
∴∠EE′C=90°，
∴∠BE′C=∠BE′E +∠CE′E=135°．
6. 解：(1)先证△DBM ≌△PCM ，从中可得BD ＝PC ＝2－m ，则AD ＝2－m ＋2＝4－m ，∴点D 的坐
标为(－2，4－m ) (2)分两种情况：①当AP ＝AD 时，AP 2＝AD 2，∴22＋m 2＝(4－m )2，解得m ＝32；
②当AP ＝PD 时，过点P 作PH ⊥AD 于点H ，∴AH ＝12AD ，∵AH ＝OP ，∴OP ＝12AD ，∴m ＝12(4－m )，
∴m ＝43，综上可得，m 的值为32或43
7. 解：（1）∵A （﹣1，3），B （
+2，﹣2）， ∴「A 」=|﹣1|+|3|=4，「B 」=|+2|+|﹣2|=+2+2﹣=4；
（2）设N 点的坐标为（x ，y ），
∵「N 」=3，
∴|x|+|y|=3，
∴x+y=3，﹣x ﹣y=3，x ﹣y=3，﹣x+y=3，
∴y=﹣x+3，y=﹣x ﹣3，y=x ﹣3，y=x+3，
如图：所有点N 围成的图形的面积=3=18．。