2020年高二上学期数学期中考试试卷

2020 年高二上学期数学期中考试试卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 4 题；共 8 分)
1. （2 分） (2016 高二下·洞口期末) 若平面向量 、 满足| |= ，则 与 的夹角是（ ）
，| |=2，（ ﹣ ）⊥
A. π
B.
C.
D.
2. （2 分） 在
中，“
A . 充分非必要条件
B . 必要非充分条件
C . 充分必要条件
D . 既非充分也非必要条件
”是“
”的
（）
3. （2 分） (2016 高二下·市北期中) 设 x，y 满足约束条件 ＞0）的最大值为 12，则 + 的最小值为（ ）
A.4
B. C.1
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，若目标函数 z=ax+by（a＞0，b

D.2 4. （2 分） (2018 高二上·嘉兴期中) 于 ，则 的最小值是（ ） A.1
B.
C.
是边长为 2 的等边三角形， 是边 上的动点，
D.
二、 填空题 (共 12 题；共 12 分)
5. （1 分） (2018 高一下·瓦房店期末) 与向量
垂直的单位向量为________．
6. （1 分） (2019 高二上·上海期中) 若矩阵
，
，则
________.
7. （1 分） 当 a＞0，b＞0 且 a+b=2 时，行列式 8. （1 分） (2018 高二上·扬州期中) 直线
的值的最大值是________ ． 的倾斜角为________．
9. （1 分） 已知矩阵 A=
． 若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 a1= ， 属于特征值 1 的一
个特征向量为 a2=
， 矩阵 A=________ ．
10. （1 分） (2019 高一下·宿迁期末) 线 的值为________
的方程为
，若
，则实数
11. （1 分） (2017 高一上·长春期末) 已知圆 C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，点 A（0，﹣1），B（0，1），设 P 是圆 C 上的动点，令 d=|PA|2+|PB|2 ， 则 d 的取值范围是________．
12. （1 分） 圆心为（1，1）且与直线 x﹣y=4 相切的圆的方程是________
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13. （1 分） (2018 高二上·东台月考) 已知实数 ， 满足
则
的最小值为________．
14. （1 分） (2018 高一下·重庆期末) 已知圆 上总存在点 ，它关于直线 的对称点在 轴上，则
，直线 的取值范围是________．
，如果圆
15. （1 分） (2018 高二下·磁县期末) 若直线 l：
相交于 B，被圆
截得的弦长为 4，则
与 x 轴相交于点 A，与 y 轴 为坐标原点 的最小值为________．
16. （1 分） (2017·山东) 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线
=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为 F
的抛物线 x2=2py（p＞0）交于 A，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
三、 解答题 (共 5 题；共 65 分)
17. （10 分） (2018·河北模拟) 在矩形
中，
，
一个三等分点，点 ，使得平面
是线段
上的一个动点，且
平面
.
，点 是线段 .如图，将
上靠近点 的
沿
折起至
（1） 当
时，求证：
；
（2） 是否存在 ，使得 请说明理由.
与平面
所成的角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，
18. （10 分） 已知| |=4，| |=8， 与 夹角是 120°．
（1）求 的值及| + |的值；
（2）当 k 为何值时，( +2 ) (k - )？
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19. （15 分） (2017 高一下·龙海期中) 设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 且 acosC﹣ =b．
（1） 求角 A 的大小；
（2） 若 a=1，求△ABC 的周长的取值范围．
20. （15 分） (2019 高二上·上海期中) 如图，已知直线
射线 的一个法向量为
，点 为坐标原点，
、 上的动点，直线 和 之间的距离为 2，
于点
和直线 ， ，
， ，点 、 分别是直线 于点 ；
（1） 若
，求
的值；
（2） 若
，求
的最大值；
（3） 若
，
，求
的最小值.
21. （15 分） (2017·潍坊模拟) 已知抛物线 C 顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线 C 上一点 Q（a，2）到焦 点的距离为 3，线段 AB 的两端点 A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）在抛物线 C 上．
（1） 求抛物线 C 的方程；
（2）
若 y 轴上存在一点 M（0，m）（m＞0），使线段 AB 经过点 M 时，以 AB 为直径的圆经过原点，求 m 的值；
（3）
在抛物线 C 上存在点 D（x3，y3），满足 x3＜x1＜x2，若△ABD 是以角 A 为直角的等腰直角三角形，求△ABD 面
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积的最小值．
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一、 单选题 (共 4 题；共 8 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、
二、 填空题 (共 12 题；共 12 分)
5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、
参考答案
14-1、
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