从“蚂蚁爬行问题”看数学教学本质——对一类中考题的理性思考

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基于问题实验猜想探究的数学实验教学设计——以“蚂蚁怎样爬行

2020年1月10日理科考试研究•数学版• 31 -的，这个推理过程不是可逆的，也就是说我们不能随便利用不等式进行加法和乘法运算，由此推出m 的取值范围显然岀现了误差.找到这道题的症结所在,我们不妨严格按照条件进行推理，可以先利用求根公式求出也和色，即坷= 2 - m - y/m 2 —16 1 - m + m 2 - 16----------2-----------形=---------j -2-m - y/n 2 -16 r2 > '根据条件可得,2-m+ y/m 2 - 16“----------2-----------■ m 2 -16 >0.(\/m 2 - 16 < -2-m,m < -4 或 m>4.■m > - 5 ,解得‘ m < -4,,m < -4 或 m >4.所以m 的取值范围为-5<m< -4.3总结提升到此,这道题得到一个正确的解决，同学们通过对这道题的反复研究明白了其中的算理，但我们还可以像波利亚那样再想一想,这道题是否还存在其他更好的解决方法.显然,这道题还可以利用函数图象进行解决:我们可以将这个一元二次方程的两个解看成是二次函数和图象的两个交点.设y =/+ (m -2)% + (5-m).由题意可知二次函数图象与尤轴交点中，一个交点的横坐标大于2,另一个交点的横坐标大于3.由图可知，即当x =2时,y>0；x=3时,y <0.r4 +2(zn -2) + (5- m) >0,即19 +3(m -2) + (5-m) <0., 「m > — 5 ,解得 ”[m < -4.所以m 的取值范围为-5 <zn < -4.利用二次函数图象解题,显得更加直观，简洁明了.我们还可以对这个问题进行改编，举一反三，以检测学生对该题是否掌握理解.改编若关于％方程x 2 + (m-2)x + (5-m) =0 的两个根都大于2 ,则m 的取值范围是多少？到此为止，这道由判别式“玩忽职守”引发的问题，得到了比较圆满的解决，我们也藉由小问题得到了大收获.(收稿日期：2019-10 -07)基于问题卖验猜想採老的数学卖验教学设计以“蚂蚁怎样爬行路线最短”为例陆祥雪(泰州中学附属初级中学江苏泰州225300)摘要：本文以课题“蚂蚁怎样爬行路线最短”为例，谈一种“基于问题、实验、猜想、探究”的探索型数学实验的教学设计.关键词：数学实验；最短路线；教学设计初中数学实验是通过动手、动脑做数学的一种学行的一种以人人参与的实际操作为特征的数学验证习活动，是学生运用有关工具,在数学思维参与下进或探究，是帮助学生直观地理解数学知识，感悟数学作者简介：陆祥雪(1965 -),男，江苏泰州人，本科，中学高级教师，研究方向：初中数学教学.•32•理科考试研究•数学版2020年1月10日思想和积累基本活动经验的辅助课程，是初中阶段国家数学课程的一种补充.初中数学实验的类型，概括起来有三种基本类型，即验证型、理解型、探索型.验证型实验,可以帮助学生通过实验检测、验证已得结论或猜想的正确性，从而更直观地获得对数学知识的理解;理解型实验，是以学生理解数学概念、定理等数学知识为目的的数学实验;探索型实验，是以探索未知结论为目的的数学实验•探索型数学实验更能培养学生的抽象、推理、模型等数学核心素养，且与物理、化学、生物等科学实验获取经验事实和检验科学假说、理论真理性的目的具有相似性，从而与物理、化学、生物等实验科学能够融通，所以数学实验教学中更应重视探索型数学实验的教学.探索型数学实验教学如何设计？本文以课题“蚂蚁怎样爬行路线最短”为例,谈谈基于问题、实验、猜想、探究的数学探索型实验教学.1教学过程设计1.1问题呈现解法质疑问题1如图1,圆柱的底面直径为6厘米，高为10厘米,蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米(结果保留一位小数)？解答1圆柱的侧面展开图如图2,则蚂蚁爬行的最短路程是线段AB的长.由题意可得"C=10厘米,BC=3f厘米.由勾股定理，得AB=7102+(3tt)2-13.74厘米解答2蚂蚁沿图1中的折线A^C^B爬行最短，最短路程为10+6=16厘米.解答3(1)圆柱的侧面展开图如图2,则蚂蚁爬行的最短路程是线段AB的长.由题意可得,4C=10厘米,BC=3tt厘米.由勾股定理，得M=/102+(3tt)2«13.74厘米(2)蚂蚁沿图1中的折线爬行路程为10+6=16厘米.综合(1)(2)可知，蚂蚁爬行的最短路程是13.74厘米.由学生的解答，教师引导学生提出问题:是否存在沿图1中折线A^C^B爬行路程最短的情况呢?怎样来说明这个问题？尽管在数学的研究中，数学实验不是一种主流方法，因为数学真理的确定性依赖于论证.但从教育的角度看，把数学实验作为一种教学方法引入课堂，它却有独特的教育功能和价值.众所周知，科学研究从观察、实验开始，通过抽象思维、推理论证而获得结论.这里“实验”的目的在于观察实际现象、得到具体数据•而抽象思维、推理论证则是为了分析不同现象的内在联系，认识数据中蕴含的规律性，从而获得科学发现，实现发明创造.对这个问题,如果通过让学生“做”具体的实验，相当于让学生经历一个“科学研究”的过程，对学生智力的发展、创造能力的培养、科学方法的形成都有很大的帮助.同时能极大地激发学生的兴趣，引起学生的好奇心，调动学生的学习热情，使学生以一种积极的态度投入实验、探究活动中.积极的情感体验是激发灵感的强大动力,可以促使学生创造性思维的产生.1.2操作实验提出猜想实验器材底面直径为6厘米，高为10厘米的圆柱、橡皮筋、细线、直尺，将它们组合成如图3所示的实验用的工具.调节圆柱高'度的橡皮筋_________丿底面圆直径为6cm,高为10cmI的圆隹图3实验步骤1利用工具进行实验,通过改变圆柱的高度，测量两种爬行路线的路程长度(借助细线来反映爬行的路线)，填写实验记录表.表1圆柱高度沿图IA t C t B中爬行沿图2A+爬行路线长度6(厘米)a与6的大小关系(厘米)路线长度a(厘米)81412.1a>b4.510.510.6a>b3910.1a<b289.6a<b2020年1月10日理科考试研究•数学版•33•实验步骤2观察实验结果，提出问题.问题2蚂蚁在圆柱表面爬行，怎样爬行路程最短,在圆柱底面圆半径不变的情况下与圆柱的高度有关？它们之间的关系是什么呢？设计意图圆柱的大小涉及2个变量，一个是底面圆的直径，另一个是圆柱的高，考虑到实验的可操作性,决定改变圆柱的高度，这个可以通过实验工具中的橡皮筋位置的改变来达到.学生通过实际的操作、测量动手能力得到锻炼，同时也学到了用表格整理实验数据的方法.1.3探究问题形成结论设圆柱的半径为r,圆柱的高为人,可得下列结论：当h+2r>a//?2+(TTr)2时，可得/i>*4作.即当力>吁纬时，按图2中A-B爬行时,其爬行路程最短；_____________2_4(2)当/z+2r=\/h2+(TTr)2时，可得人=一厂.2即当力二可殳厂时,两种爬行方式的路程相等；2_4(3)当h+2r<丿胪+(寸)2时，可得h<lL^r即当h<7L^r时，按图1中的折线爬行路程最短.设计意图通过对实验结果的观察，提岀问题是将实验结果上升到理性层面，培养学生数学抽象的核心素养.通过数学推理具体说明在圆柱底面圆半径不变的情况下，圆柱的高的变化，影响蚂蚁沿最短路线爬行的方式选择.实现由感性认识到理性认识的飞跃，使学生体会到对事物的认识不仅仅是停留在实验结果的直观感知上，而是要深究问题的本质，培养学生对问题的探究意识，体会数学证明的必要性，培养学生科学研究的态度.在解决问题的过程中，培养学生用符号语言来表达推理的过程的数学表达方式，培养学生用模型思想来解决实际问题.1.4反思变式拓展延伸问题3如果是圆柱的高不变，圆柱底面圆半径改变，结论会怎样呢？设计意图把问题进行变化，改变变量,引导学生思考•一是问题的研究更加完整;二是将学生的课堂学习由课堂延伸到课外.2几点思考2.1数学实验教学的意义数学实验给学生的数学学习带来的影响是全方位的.从认知方面看主要是给学生的学习方式带来实质性变化.学生通过实物实验，经历测量,记录数据，整理、分析数据，提出问题，猜想结论，推理、验证结论等一系列过程，而这一系列流程也是科学实验的一般流程.很明显，学生在实验中，要动手、要动脑，手脑并用,要调动多种感觉器官参与数学认知活动，而非被动的接受知识.从非认知方面看，数学实验能极大地激发学生的兴趣，引起学生的好奇心，调动学生的学习热情，积极的情感体验是激发灵感的强大动力，可以促使学生创造性思维的产生.2.2探索性数学实验的内容实验内容的选择可以来自课本，也可来自课本以外的材料,但数学实验内容的取材要小，目标指向明确，问题的结论清楚，这样易于学生操作，耗时有限，实验结果易得.文中的材料来自于学生的课外习题，实验目的明确，就是要通过实验发现问题:“在什么情况下，蚂蚁爬行的路程会最短”，最终借助所学的数学知识解决问题.中学数学中许多内容都与数学实验有内在的联系，如具体到一般的问题、代数问题的几何解释和几何图形变换问题、通过计算数据发现规律的问题等.内容选取要利于促进学生思维发展，有利学生数学综合能力的培养及数学核心素养的培养•在这个课例中，从具体的数据观察到抽象出“在底面圆半径不变的情况下,蚂蚁爬行的最短路程与圆柱的高有关的结论”，然后通过符号化进行表达，通过建立方程、不等式模型解决问题，在解决的过程中，学生的分类思想、运算能力都得到了培养.2.3探索性数学实验的实施在进行初中数学实验课程设计时,要明确实验的目标，让实验设计合理,符合学生的认知规律和实验潜质.数学实验实施时，遵循可行性原则、多样性原则.如动手操作的方式、演绎推理的方式等，也可以设计借助计算机来进行实验.本课例若选择借助计选择实验工具问题操作_____归纳___1新知1情境探索结论1磨1图4•34•理科考试研究•数学版2020年1月10日算来实验，就难于实现实验的目的，借助实物动手操作，学生易亲历亲为，因此，在实验设计时，应根据实验内容采用适当方法，在设计时需要从实验目的、实验工具、实验类型以及指向何种核心知识、能力等方面通盘考虑，具体的实施过程，要体现问题、实验、猜想、探究•流程图(如图4)可作为参考.参考文献：[1]章建跃.数学实验的育人价值[J].中国数学教育, 2016(07):16-19+23.[2]董林伟，赵维坤.初中数学实验的课程开发与实施[J].江苏教育研究,2017(S1)：33-36.(收稿日期：2019-09-11)基于例题教学推进复习课知识构建的卖践与思考缪凌颖(福安市第三中学福建福安355002)摘要：本文通过对初三一轮复习课的知识构建方式进行实践研究，得出以下结论:知识的构建不应与例题教学隔离，而是应结合学生学情去设计高价值的例题，通过对例题的深入挖掘不断唤醒学生原有的知识与方法，结合适当交流扩大参与面与受益面，使学生在知识的自主构建中发展核心素养.关键词：例题教学；知识构建；复习布鲁纳的认知——结构学习理论认为，教学的目的在于理解学科的基本结构学生认知的结构化对学习迁移和创造力的发展有重要作用•而学生知识结构化的主要途径之一就是积极参与复习课堂的知识构建活动,将点状零散的新知按照一定的逻辑顺序搭建到自身的认知结构中•尽管教师们都认同知识构建的重要性，但在实际教学中依然偏爱如下的复习模式:知识纲要回顾——例题教学呈现一变式训练归纳•这种知识先导型模式在课堂实践中往往易造成重解题轻知识的现象，导致学生知识构建效果大打折扣，影响复习效果.能否让例题教学先行呢？如何开展例题教学才能有效地推进知识构建呢？下面笔者结合自身实践谈几种依托例题教学，推进学生自主构建知识的做法.1开展教材变式性例题教学，让学生在渐进思考中构建知识教材中的例习题是数学核心知识的具体表现，具有广泛的代表性和生长性，因此教师在例题教学时要深入挖掘教材例习题的功能，同时基于复习课知识的广度、深度等因素的考虑，对其进行适当的变式延伸，从学生最近发展区着手，灵活利用课堂生成，通过不断地挖掘问题本质引导学生将例题解决过程中所蕴含的知识与方法逐步呈现,推进知识的合理构建.案例1(人教版七年级下册第84页第2题改编)平面直角坐标系复习的例题教学已知点P的横、纵坐标都是整数且该点到原点的距离为5,请你尝试在的平面直角坐标系中标出所有可能的点P.教学片断生1：我发现了四个这样的点，分别是(5,0), (-5,0),(0,5),(0,-5).师:很好,思维很活跃.(追问1)第一象限内是否也存在这样的点P?若有，请你写出它们的坐标.生2：有，我描出了两个点,分别是(3,4),(4,3).师：(追问2)为什么是这两个点呢？生2:借助勾股定理构造直角三角形,刚好是一组勾股数3,4,5.师:非常好的一个补充，相信学生1对如何找点有了更全面的认识.师：(追问3)现在让我们再进一步，不描点，你能直接写出其他象限中点P的坐标吗？生3：能，可以借助点的对称来找.师:说说你的想法.生3：将(3,4),(4,3)分别关于％轴、y轴和原点对称可以得到(3,-4),(4,-3),(-3,4),(-4,3), (-3,-4),(-4,-3).作者简介：缪凌颖(1988-),男，福建宁德人，本科，中学一级教师，研究方向：初中数学研究.。

例谈蚂蚁爬行路线问题

例谈“蚂蚁爬行路线”问题杭州文澜中学章燕《数学课程标准》中提出数学探究活动已成为贯穿整个初中数学的重要课程。

而数学变式教学能帮助学生养成类比推理的思维能力，利用“变式教学”和“变式训练”，通过对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考，可以展示数学知识发生、发展以及应用的过程，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，使所有知识点融汇贯通，促进学生更快地理解知识的本质、深层次挖掘知识要点。

“蚂蚁爬行路线”问题是一类重要的几何方案设计题，它经常出现在学生的练习和测试中，所以在初三复习课时有目的地系统的对这一类问题归类复习。

一、正方体如图，已知立方体的棱长为1cm,一只蚂蚁从点A沿立方体表面爬到点C，试求它爬行的最短距离是多少？A分析：只要将1平面和3平面展开，根据两点之间线段最短，可知从A到B的最短路程就是线段AB .,则从A点到C点的最短路程长就是线段ACA5cmA4cm二、长方体如图，已知长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm,3cm，一只蚂蚁从点A沿长方体表面爬到点C，试求它爬行的最短距离是多少？分析：将长方体表面展开后，有如下三种情况：3cm4cm5cm3cm5cm4cm（1）（2）（3）图（1）中AC===图（2）中AC==图（3）中AC===显然图（2）所示的线段AC。

三、圆锥1、一圆锥地面半径r=10cm，母线长为30cm，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥侧面爬行一周所走的最短路径是多少？解：把圆锥的侧面沿母线SA 展开，则蚂蚁从A 点出发沿圆锥侧面爬行一周所走的最短路程就是线段AA ’的长10'36036012030AA 'SA r ASA l ∠=⨯=⨯=∴==线段 2、一圆锥地面半径r=10cm ，母线长为30cm ，一只蚂蚁从A 点出发沿圆锥侧面绕行到母线的中点B ，则它爬行的最短路径是多少？解：过点B 作BC ⊥SA 交AS 的延长线于点C 。

中考复习之—— 蚂蚁爬行的最短路径问题

蚂蚁爬行的最短路径问题Ⅰ．专题精讲：当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时，通常情况下都会考虑将其展开成一个平面，运用勾股定理计算其最短路程，也就是运用“化曲为平”或“化折为直”的思想来解决问题．Ⅱ．典型例题剖析:一．两点之间，线段最短与勾股定理相结合台阶问题如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是.圆柱(锥)问题1.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离.2.有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为.3.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？通过阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm，则它爬行一圈的路程是多少？（2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？第1题第2题4. 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它爬行的最短路线长是 .5. 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm ，假若点B 有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是 .6. 已知O 为圆锥顶点，OA 、OB 为圆锥的母线，C 为OB 中点，一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A ，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OA 剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）正（长）方体问题1. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .2. 如图，一只小虫沿边长为1的正方体的表面从点A 出发，经过3个面爬到点B ．如果它运动的路径是最短的，则AC 的长为 .3. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .第4题第5题A .B .C .D .第1题第2题第3题14A B A 1B 1D C D 1C 124. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .5. 如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 .变式：如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．6.（1）如图①，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为BC ＝3cm 、AB ＝4cm 、AA 1＝5cm ，盒子的内部顶点C 1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）．假设昆虫甲在顶点C 1处静止不动，请计算A 处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲C 1处的最短路程．并画出其最短路径，简要说明画法．（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为AB ＝BC ＝6cm ，AA 1＝14cm ，如图②，假设昆虫甲从盒内顶点C 1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C 1C 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A 以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？第5题变式题图研究课题：蚂蚁怎样爬最近？研究方法：如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处，要求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长，可将该正方体右侧面展开，由勾股定理得最短路程的长为AC1＝AC2+CC12＝102+52＝55cm．这里，我们将空间两点间最短路程问题转化为平面内两点间距离最短问题．研究实践：（1）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处，蚂蚁需要爬行的最短路程的长为．（2）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（3）如图5，没有上盖的圆柱盒高为10cm，底面圆的周长为32cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处．请求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．。

如何帮助学生理解数学问题的本质——由“蚂蚁怎样爬最近？”谈起

摘要：在实施新课程过程中，要把教材的内容当成一个案例，而不能当成样板，指导学生对具体问题要具体分析，不能生搬硬套，同时帮助学生通过分析和解决问题去理解数学问题的本质。从而达到数学课程标准所要求的： “ 从学生已有的生活经验出发，让学生
亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。 ” 只有长期这样做才能解决在新课程实施过程中遇到的一些问题，也才能提高学生的数学素养，为学生终身
，
①将圆柱侧面展开成一个长方形，连接ＡＢ
ＡＢ＝ＡＣ２＋ＢＣ＝ｒ２十１ＴＩ－２＝ｒ２（ｔ＋）
②如果蚂蚁沿Ａ点爬到Ｃ，然后沿上底面的直径爬到口点，它经过的路程为
ｈ＋２ｒ＝ｒｔ＋２ｒ＝ｒ（ｔ＋２）
ＡＣ＝ｌ２．日Ｃ＝竹ｒ＝３ ×３＝９
点相对的曰点处的食物，沿圆柱爬行的最短路程是多少？（竹取
３）
ＡＢ＝ＡＧ＋Ｂｃ２＝１２＋９＝２２５
ＡＢ＝１５
蚂蚁经过的最短路程路程为１５厘米。难道教材上也存在这种情况：
学习数学打下坚实的基础。
关键词：数学问题；本质；数学素养中图分类号：Ｇ６３３
文献标识码：Ａ来自文章编号：１００５ — ６３５１（２０１３）一０５ — ０１２４— ０２

浅析中考热点——“蚂蚁爬行问题”

图６
通过比较可知．蚂蚁按照图６的路线行
１ｌ璺３
走．爬行的距离最短为２．５
Ｂ．５２
Ａ．Ｖ５
故选Ｂ．
Ｃ．０／＋１、了５
Ｄ．５３
点评：两道都是勾股定理的实际应用问这题。涉及到的数学思想有转化和分类讨论的思
Ｄ１
ｌ
．
／／Ｃ／１
曰Ｃ
？ＢＬ１
图２
蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有
如图的ＡＣ和ＡＣ．，
（）当蚂蚁在木柜表面沿线段Ａ２爬行Ｃ时，其爬行的路径ＡＣ的长为。
Ｃ＝／Ａ＋ＣＣｌＸ（＋）５１、（ＢＢ）Ｃ＝，４４２２＝＋／＋
．
当蚂蚁在木柜表面沿线段ＡＣ爬行时，其爬行的路径ＡＣ的长为ＡｌＸＡ２（Ｂ＋ＩＩ。、４＋５４／Ｂ＋ＢＩＣ＇＝／２（＋）ｃ＝Ｂ）
＝
、．／因为ＡＡ，所以最短路径的长是Ａｃｃ＜ｃ
为、８．／９
例２（０９湖北恩施）图３长方体２０年如，的长为ｌ，５宽为ｌ，０高为２，Ｂ离点ｃ的距０点离为５一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从，
点Ａ爬到点Ｊ，Ｂ需要爬行的最短距离是（）．
ｘ６５＝５／２２
我们熟悉的形式．，，ａｂｃ中至少有一个等于１．也就是说。１６１ｃ１中至少有一个等于零，一，— ，一

对“蚂蚁怎样走最近”的教学思考

探索·解题教学主持人：李闯E-mail:lichuangde520@对“蚂蚁怎样走最近”的教学思考文︳张永平“蚂蚁怎样走最近”是北师大版数学教材八年级上册“勾股定理的应用”这一内容的练习题，其目的是培养学生运用勾股定理解决实际问题的能力，学会把简单的空间图形转化为平面图形来解决。

教材提出了下面的问题（如图1所示）。

图1这个问题求的是蚂蚁沿侧面爬行的最短路程，所以只需要考虑蚂蚁沿前侧面和沿后侧面爬行的最短路程，然后进行比较就能得出答案。

沿AC 剪开展成长方形（如图2），由于两点之间线段最短，所以只要分别计算出A B 与A 1B 的长度再进行比较即得最短路程。

因为A D =A 1D =18÷2=9（cm ），BD =12cm，由勾股定理得AB =A 1B =A D 2+BD 2√=92+122√=15（cm）。

故蚂蚁沿侧面爬行的最短路程是15cm。

图2上面的解题思路学生很容易理解，但也容易形成一个错觉：求蚂蚁爬行的最短路程，就是把立体图形展开成平面图形，再由勾股定理求两点之间线段的长度。

这个结论只适合蚂蚁沿侧面爬行的情况，如果把问题中的侧面改成表面，仍然用上面的解法，就很可能得出错误的答案。

比如，把题中圆柱的高改成2cm，侧面改成表面，其他条件不变，求蚂蚁爬行的最短路程。

通过分析我们可以发现，若蚂蚁沿侧面爬行，则A B =A D 2+BD 2√=92+22√=85√≈9.22（cm）；若蚂蚁沿圆柱的点A →点C →点B 的路径爬行，则A C+BC =2+18π≈2+5.73=7.73（cm）。

显然蚂蚁爬行的最短路程是7.73cm。

根据上面的分析，教学“蚂蚁怎样走最近”时我有下面几点思考。

1.充分利用教材例题渗透分类讨论的数学思想，培养学生思维的全面性。

教师先引导学生思考蚂蚁沿侧面爬行的各种路径，掌握教材中解决问题的方法，然后提出蚂蚁沿表面爬行的问题让学生思考并解答，最后总结：要求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程，只要分别计算出沿圆柱侧面爬行和沿圆柱的点A →点C →点B 爬行的路径长度再比较即可。

专题20 蚂蚁爬行模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(解析版)

专题20 蚂蚁爬行模型蚂蚁爬行模型的概述：蚂蚁在某几何体的一个顶点，爬行到另外一个相对的顶点去吃食物，求所走的最短路径是多少。

蚂蚁爬行模型的实质：两点之间，线段最短。

模型一：蚂蚁沿着长方体表面爬行，从点A 到点B 的最短距离：解题方法：在长方体问题中，我们需要将长方体展开，然后利用两点之间线段最短画图求解。

如果长方体的长、宽、高各不相同，一般分三种情况讨论。

模型二：蚂蚁沿着圆柱表面爬行，求最短距离：解题方法：在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形分类讨论示意图展开图最短距离爬行半圈最短距离=（Πr ）2+h 2爬行一圈最短距离=（2Πr ）2+h 2模型三（蚂蚁吃蜂蜜问题）：求蚂蚁从点A 沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到点B 蜂蜜处的最短距离。

示意图展开图作法最短距离点A’为点A 关于圆柱上沿的对称点，若点A’与点B 的垂直距离为h ，则问题转化为将军饮马问题求解AB=（Πr ）2+h 2模型四：蚂蚁爬楼梯问题模型五：蚂蚁爬圆锥问题【培优过关练】1．（2022秋·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为的正三角形，母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是（）．A．B．4C．D．6【答案】C【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．【详解】解：圆锥主视图是边长为的正三角形，圆锥的底面周长是，则，，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．如图，在圆锥侧面展开图中，，度．在圆锥侧面展开图中．故小猫经过的最短距离是．故选：C．【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．2．（2022春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，点是棱长为的正方体的一个顶点，点是一条棱的中点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中两点间的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】连接，根据和勾股定理可得出两点间的距离．【详解】解：如图，在中，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，得出正方体上两点间的距离为直角三角形的斜边是解题关键．3．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，圆锥的底面半径，母线，为底面直径，为底面圆周上一点，，为上一点，，现在有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程是（）A．B．C．D．【分析】首先得到弧的长，然后求得弧所对的圆心角的度数，从而得到直角三角形，利用勾股定理求得的长即可．【详解】解：如图：∵，∴设弧所对的圆心角的度数为n，∴，解得，∴，∴．故选：D．【点睛】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．解题的关键是理解并掌握圆锥的弧长等于底面周长．4．（2022春·九年级课时练习）如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC 上有一点D，且，．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（）cm．A．14B．12C．10D．8【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长12cm，求出AB的值，由BC=10cm，DC=2cm，求出DB的值，再在Rt△ABD 中，根据勾股定理求出AD 的长，即可得答案．【详解】解：圆柱侧面展开图如下图所示，∵圆柱的底面周长为12cm，∴AB =6cm，∵BC=10cm，DC=2cm，∴DB=8，在Rt△ABD 中，( cm )，即蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短距离是10cm，故选： C ．【点睛】此题主要考查了圆柱的平面展开图，以及勾股定理的应用，解题的关键是画出圆柱的侧面展开图．5．（2022·山东淄博·统考二模）如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的点，沿圆柱侧面爬到与相对的上底面的点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（）A．B．C．D．10【分析】要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理来求．【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，BC＝6，AC为底面半圆弧长，AC＝2π，所以AB＝．故选：B．【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．6．（2022·山东东营·统考二模）如图一个圆柱，底圆周长10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行（）cm ．A．9B．14C．D．【答案】C【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】解：将圆柱展开，侧面为矩形，如图所示：∵底面⊙O的周长为10cm，∴AC=5cm，∵高BC=4cm，∴AB==cm．【点睛】此题考查了圆柱的平面展开---最短路径问题，将圆柱展成矩形，求对角线的长即为最短路径．7．（2022春·九年级课时练习）已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A 出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，连接AB，根据展开所得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长求得扇形的圆心角，进而解三角形即可求解．【详解】解：根据题意，将该圆锥展开如下图所示的扇形，则线段AB就是蚂蚁爬行的最短距离．∵点B是母线PA的中点，，∴，∵圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长，又∵圆锥底面半径为1，∴扇形的弧长=圆锥底面周长，即，扇形的半径=圆锥的母线=PA=4，由弧长公式可得：∴扇形的圆心角，在Rt△APB中，由勾股定理可得：，所以蚂蚁爬行的最短路程为，故选：C．【点睛】.本题考查平面展开--最短路径问题、圆的周长计算公式、弧长计算公式，勾股定理等知识，解题的关键是“化曲为直”，将立体图形转化为平面图形．8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．cm B．13cm C．cm D．cm【答案】B【分析】将容器侧面展开，作A点关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短即可知A′B的长度即为最短距离．利用勾股定理求出A′B即可．【详解】如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D＝5cm，A′E=AE=3，BD＝12﹣3+A′E＝12cm，∴A′B＝＝＝13cm．故选：B．【点睛】本题考查立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键．9．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】将长方体侧表面剪开与前面、上面、后面侧面分别形成一个长方形，分别利用勾股定理计算出AB 的距离即可解答.【详解】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：因为长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，所以BD=CD+BC=10+5=15，AD=20在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：此时BD=CD+BC=20+5=25,所以同理与后面侧面所在构成一个长方形，如图3，可求因为所以选B.【点睛】本题考查的是两点之间线段最短和勾股定理，本题关键是将长方体侧面展开，利用两点之间线段最短解答.10．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B 出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．B．C．D．2【答案】A【分析】将圆锥的侧面展开，设顶点为，连接，．线段与的交点为，线段是最短路程．【详解】解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形，则线段为所求的最短路程．设．，即．为弧中点，，，，最短路线长为．故选：A．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，扇形的面积和特殊值的三角函数等问题，解题时注意把立体图形转化为平面图形．11．（2021春·广东肇庆·八年级统考期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为和和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．【详解】解：如图，将台阶展开，因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2＋BC2＝225，所以AB＝15，所以蚂蚁爬行的最短线路为15．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用并能得出平面展开图是解题的关键．12．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，一只蚂蚁沿着边长为的正方体表面从点出发，经过个面爬到点，如果它运动的路径是最短的，则的长为____．【答案】【分析】将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时最短，根据，由相似比可得，求出的长，利用勾股定理求出的长即可．【详解】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短，，，，，即，即，，在中，根据勾股定理得：，故答案为：．【点睛】此题考查了平面展开图—最短路径问题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，求出的长是解本题的关键．13．（2022春·广东茂名·九年级统考期末）如图，圆柱形玻璃容器高12cm，底面周长为24cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______cm．【答案】15【分析】根据题意得到圆柱体的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解；【详解】解：圆柱体玻璃杯展开图如下，作；∵底面周长为24cm，∴∵，∴cm，∴cm，故答案为：15．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意正确得到圆柱体的展开图是解题的关键．14．（2022秋·山东临沂·九年级统考期末）如图，已知长方体的长为5cm，宽为4cm，高为3cm．一只蚂蚁如果沿长方体的表面A点爬到C点，那么这只蚂蚁需要走的最短路程为___________．【答案】cm【分析】根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵长方体的长为5cm，宽为4cm，∴AB＝4cm，BC＝5cm，∴AC＝＝＝（cm），故答案为：cm．【点睛】本题主要考查了平面展开﹣最短路线问题，利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键，而两点之间线段最短是解题的依据．15．（2022·山东临沂·校考二模）如图，圆柱底面半径为4厘米，高厘米，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为__________．【答案】30π厘米【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为4，∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×4=8π；又∵圆柱高为18π，∴小长方形的一条边长是18π÷3=6π；根据勾股定理求得AC=CD=DB==10π；∴AC+CD+DB=30π．故答案为：30π厘米．【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．16．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是_____.【答案】61【详解】解: 如图①:AM2=AB2+BM2=16+(5+2)2=65;如图②:AM2=AC2+CM2=92+4=85;如图③:AM2=52+(4+2)2=61.∴蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是:61.故答案为:61.17．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示的长方体的长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米．若一只蚂蚁从点出发沿着长方体的表面爬行到棱的中点处．则蚂蚁需爬行的最短路程是_______________厘米．【答案】【分析】先把长方体展开，分类讨论，分别根据勾股定理求出AM的长比较即可．【详解】解：长方体部分展开如图所示，连接AM，则线段AM的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，根据已知数据可得，AN=4cm，MN=4cm，AM=，如图，如图，最短距离为故答案为：．【点睛】此题考查了几何体的展开图的应用，以及线段的性质：两点之间，线段最短，解决立体几何两点间的最短距离时，通常把立体图形展开成平面图形，转化成平面图形两点间的距离问题来求解．18．（2022春·陕西西安·九年级校考期中）如图，有一个圆柱形食品盒，它的高为10cm，底面圆周长为24cm，如果在盒外AD的中点P处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为2cm/s，它想吃到点B处（点A、B正好相对）的食物，那么它至少需要爬行_____s．【答案】【分析】按不同的展开方式，分类讨论：第一种情况：蚂蚁沿着圆柱体的侧面直接到达B点，利用勾股定理即可求解；第二种情况：蚂蚁由P点直接到达A点，再由A点经过底面圆直达B点，此时爬行的距离为AP 加上底面圆的直径；最后比较两种方式所用的时间即可求解．【详解】分两种情况讨论：第一种情况，蚂蚁沿着圆柱体的侧面直接到达B点，此时：将圆柱体的侧面展开，连接PB，即PB为最短路径，如图，根据题意有：AD=10，AB为底面圆周长的一半，即AB=24÷2=12，∵P点为AD中点，∴AP=5，在Rt△APB中，（cm），∵蚂蚁的速度为2cm/s，∴蚂蚁需要的时间为：13÷2=6.5（s），即此时蚂蚁需要6.5s；第二种情况：蚂蚁由P点直接到达A点，再由A点经过底面圆直达B点，连接AB，可知AB为底面圆的直径，圆柱体展开如图，∵底面圆的周长为24，∴底面圆的直径AB=，∵AP=5，∴此时蚂蚁行走的距离为AP+AB=+5（cm），∴此时蚂蚁需要的时间为：（s），∵，∴蚂蚁需要的最短时间为：s，故答案为：．【点睛】本题考查了圆柱体中的最短路径问题，解答此题的关键是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”．解答此题时，注意分类讨论．19．（2023秋·广东佛山·八年级佛山市高明区沧江中学校考期末）如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短距离为_____．【答案】13m##13米【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：如图所示，台阶平面展开图为长方形，，，则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：，即，，故答案为：m．【点睛】本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．20．（2022秋·河北邢台·九年级金华中学校考期末）一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点出发，沿表面爬到的中点，请你求出这条线路的最短路径．【答案】【分析】根据三视图可知这个几何体是圆柱，画出侧面展开图，然后根据勾股定理即可求解．【详解】解：根据三视图可知这个几何体是圆柱，侧面展开图如图，∵底面直径为，∴，∵，∴，在中，，即这条线路的最短路径为．【点睛】本题考查了三视图，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．21．（2022秋·九年级单元测试）如图，是一块长、宽、高分别是，和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？【答案】【分析】将长方体展开成平面图形，分三种情况，利用勾股定理进行求解，确定最短路径即可．【详解】解：如图1，当爬的长方体的长是，宽是3时，．如图2，当爬的长方体的长是，宽是4时，．如图3，爬的长方体的长是，宽是6时，．，它需要爬行的最短路径是．【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键是将长方体展开成平面图形，利用勾股定理求出最短路径．22．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？(1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？(2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？【答案】(1)50cm(2)300cm【分析】（1）将圆柱展开，可知底面圆周长，即为的长，圆柱的高即为的长，求出的长即为葛藤绕树的最短路程．（2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高．【详解】（1）解：如图，树干的周长即底面圆的周长为30cmcm葛藤升高40cmcm由勾股定理得cm所以，葛藤爬行的路程是50cm（2）解：树干的周长即底面圆的周长为40cmcm葛藤绕一圈爬行50cmcm由勾股定理得绕行1圈的高度爬行10圈到达树顶树干高cm所以，树干高为300cm【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开图和勾股定理，解题关键是要弄清底面圆的周长即为矩形的边的长．23．（2022秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为的正方形，高为；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）.(1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度；(2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答）【答案】(1)图见详解，(2)图见详解，【分析】（1）从底面点开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是60和10，再根据勾股定理求出斜边长即可；（2）求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】（1）解：如图，将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求的彩带长，，，，答：彩带的长度是；（2）解：当上面的面与前面的面展成一个平面时，如图，此时；当右边的面与前面的面展成一个平面时，如图，此时；当上面的面与左边的面展成一个平面时，如图，此时；由上可知小刚所需要的彩带最短是．【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出平面图形是解此题的关键，利用了数形结合思想．24．（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如．(1) ，，的取值范围是；(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，）【答案】(1)(2)20.7【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；（2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答．【详解】（1）解：如图1，，则，∴，如图2，，作于D，则，∴，∴，∴；∵，∴，∴．故答案为：．（2）解：∵圆锥的底面直径，∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为，设扇形的圆心角为，则，解得，∵，∴蚂蚁爬行的最短路径长为．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键．25．（2022·江苏·九年级专题练习）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．【答案】（1）作图如图所示；（2）①h +l；②见解析．【分析】（1）根据两点之间线段最短，即可得到最短路径；连接OA，AC，可以利用弧长与母线长求出∠AOC，进而证明出△OAC是等边三角形，利用三角函数即可求解；（2）①由于圆锥底面圆周上的任意一点到圆锥顶点的距离都等于母线长，因此只要蚂蚁从点A爬到圆锥底面圆周上的路径最短即可，因此顺着圆柱侧面的高爬行，所以得出最短路径长即为圆柱的高h加上圆锥的母线长l；②如图，根据已知条件，设出线段GC的长后，即可用它分别表示出OE、BE、GE、AF，进一步可以表示出BG、GA，根据B、G、A三点共线，在Rt△ABH中利用勾股定理建立方程即可求出GC的长，最后依次代入前面线段表达式中即可求出最短路径长．【详解】解：（1）如图所示，线段AB即为蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径；设∠AOC=n°，∵圆锥的母线长为，的长为，∴，∴；连接OA、CA，∵，∴是等边三角形，∵B为母线的中点，∴，∴．（2）①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径为：先沿着过A点且垂直于地面的直线爬到圆柱的上底面圆周上，再沿圆锥母线爬到顶点O上，因此，最短路径长为h+l②蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如下图所示，线段AB即为其最短路径（G点为蚂蚁在圆柱上底面圆周上经过的点，图中两个C点为图形展开前图中的C点）；求最短路径的长的思路如下：如图，连接OG，并过G点作GF⊥AD，垂足为F，由题可知，，GF=h，OB=b，由的长为a，得展开后的线段AD=a，设线段GC的长为x，则的弧长也为x，由母线长为l，可求出∠COG，作BE⊥OG，垂足为E，因为OB=b，可由三角函数求出OE和BE，从而得到GE，利用勾股定理表示出BG，接着由FD=CG=x，得到AF=a-x，利用勾股定理可以求出AG，将AF+BE即得到AH，将EG+GF即得到HB，因为两点之间线段最短，∴A、G、B三点共线，利用勾股定理可以得到：,进而得到关于x的方程，即可解出x，将x的值回代到BG和AG中，求出它们的和即可得到最短路径的长．【点睛】本题考查的是曲面上的最短路径问题，涉及到圆锥和圆柱以及它们的组合体上的最短路径问题，解题过程涉及到“两点之间、线段最短”以及勾股定理和三角函数等知识，本题为开放性试题，答案形式不唯一，对学生的空间想象能力以及图形的感知力要求较高，蕴含了数形结合等思想方法．26．（2022秋·浙江·九年级专题练习）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个。

从“蚂蚁爬行问题”看数学教学本质

从“蚂蚁爬行问题”看数学教学本质作者：胡兴余来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2008年第01期近年来在各地中考试题中经常出现有关蚂蚁从几何体的某点出发,沿几何体表面爬行到几何体的另一点,求蚂蚁爬行的最短路径问题．这是一类十分有趣的问题，具有一定的探究性，立意新颖，是一种考查学生空间想象能力和数学转化能力及分类讨论思想的好题．探究此类问题需要学生具备较强的空间想象能力和数学素养，其解决问题的基本思路是“化折为平”，把立体几何问题转化为平面几何问题来思考．需要指出的是,这里折平面展开有多种方式，也就是说蚂蚁从A点爬到B点有多种路线，只有通过动手操作、理性思考、分类比较才能确定其最短路程．但学生在解决这类问题时出错率较高,甚至在教师发表的文章中也时有发生, 如文1，文2．图1题目1：如图1，是一个长方体盒子，它的长是70cm，宽和高都是50cm，在A点处有一只蚂蚁，它想吃到B点处的食物，那么它爬行的最短路程是多少？（见文1）为了说明问题现将原文例2的分析过程摘录如下：原解：如图2，从A点爬到B点的路线有很多，通过分析研究、计算、比较，其最短路线还是如图2的长方体的侧面展开图中线段AB的长度：“蚂蚁爬行问题”是一类十分有趣的问题，具有一定的探究性，是一类考查学生空间想象能力和数学转化能力及分类讨论思想的好题．探究此类问题需要学生具备较强的空间想象能力和数学素养，其解决问题的基本思路是“化折为平”，把立体几何问题转化为平面几何问题来思考．需要指出的是,这里折平面展开有多种方式，也就是说蚂蚁从A点爬到B点有多种路线，只有通过动手操作、理性思考、分类比较才能确定其最短路程．所以遇到此类问题时，一定要通过分析、比较、讨论所有可能路线的长度后才能得出结果，不能武断地下结论．本类问题的解答出现错误，究其原因是缺乏分类意识，没有对长方体的展开方式进行合理分类或是分类不够彻底所致．值得指出的是，近年来不论是高考还是中考，关于考查分类讨论思想的试题，不但题量增多，而且问题更为隐蔽，难度也更大，本类问题就是如此，这里展开图的不确定性是引起分类讨论的直接原因，另外棱长的变化也是一个不确定的因素．如题目2将长方体的宽改为10cm时，则按图2的方式展开蚂蚁爬行的路径最短．总之，在空间与平面的转换过程中，需对操作方式进行合理分类．此类问题源于教材，又高于教材，在新教材中“蚂蚁怎样走最近”的篇幅并不多，但蕴含的数学知识、数学思想和方法却很多，值得我们去深入思考，理解和把握蚂蚁爬行问题背后的数学本质，并在教学中得到启示．1引导学生动手操作，形成想象发展学生空间观念是新课程的重要目标之一．为此，新教材安排了大量的操作实践活动，如要求学生制作相应的空间图形，对空间图形进行展开与折叠、切裁等活动，旨在以学生活动经验为基础，初步体验二维和三维空间的相互转换关系，逐步发展空间的观念．与新课程同步，中考也发生了较大变化，出现了一些理念新、内容丰富、操作性强、让人耳目一新的试题．如本题的蚂蚁爬行问题，较为抽象，看似一个难以解决的路径问题，但只要我们在教学中本着“动手实践、自主探索、合作交流”的理念，放手让学生尝试动手操作，发挥想象，最终会发现此类问题的解决方法，使学生在操作中学会探究，在比较中寻求结论，培养学生的空间想象力．此题操作性很强，具有丰富的想象空间．平时运用这种素材教学时，要引导学生动手操作，关键是在操作中形成想象，进行理性分析，把操作背后的数学本质揭示出来，运用轴对称思想分析出折叠线，从而画出图形．2突出数学思想方法，学会分类讨论数学作为一种文化素养是通过长期的数学活动积淀下来的最本质的东西，而数学思想方法是具体的数学知识的灵魂，是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识的形成、发展和应用过程中．如本题蚂蚁爬行的解决问题过程中，充分体现了化归思想，分类思想及数形结合的思想．随着新课程的实施和中考改革的深入，中考试题从知识立意转化为能力立意，对初中数学中一些常用的数学思想方法进行了多方位、多层次的考查，特别是对常用的分类讨论思想的考查，都有所侧重，教学中应予以重视．在实际教学中，找出问题中不确定因素是把握分类讨论思想的切入点和突破口．代数问题中的不确定因素，如有些含有参数的式子、方程或不等式，其中参数的取值范围是引起分类讨论的直接原因．又如有些运算法则、定理本身是有条件的，条件之外的情形应归类加以讨论，如等比定理，成立的条件为b+d+…+n≠0,据我所知，初中生在学习公式、法则、定理时往往记住前半句，结果运用起来往往出错．解题中缺乏这种由条件引起的分类意识，也是出错率较高的主要原因．数学建模是运用数学知识和数学思想方法解决实际问题的过程，是数学学习的一种新的方式，有利于促进学生的思维发展．新课标十分强调，教师应该结合具体内容，采用以“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”为主线进行有效地教学，注重知识的形成和应用过程，让学生在自主探索、亲身实践、合作交流的氛围中认识数学、掌握方法、获取知识．面对实际问题时，能够从数学的角度尝试运用所学知识和方法去寻求解决问题的策略，学会数学地思维，将实际问题抽象为数学问题．如本题蚂蚁爬行问题的解决过程中所用到的知识都是最基本的，但它所采用的方法却蕴涵了重要的数学建模思想，更需要仔细品味．在建模时，首先通过动手操作，将空间图形转换为平面图形，即可把蚂蚁在空间几何体上爬行的实际问题抽象为平面内“两点之间线段最短”的数学问题，并可直观判断实际问题中的抽象及特点和它们之间的联系，从而能够快速、准确地建立“勾股定理”的数学模型，使问题获得解决．而这一数学模型的建立过程，为学生提供了一种数学思维模式，能有效地解决蚂蚁在各种几何体上爬行的最短路径问题．参考资料1漫谈“蚂蚁爬行的最短路程”, 中学数学研究,2005（5）2把握中考热点，关注方案设计题, 中学数学教育（初中版）,2005（5）“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。

初一蚂蚁爬树问题教案设计

初一蚂蚁爬树问题教案设计引言：初一是学生学习生物的重要阶段，而生物中的昆虫是一个重要的学习内容。

蚂蚁是生活中常见的昆虫，而蚂蚁爬树问题是一个常见的生物问题。

本教案将以初一蚂蚁爬树问题为例，设计一套教学方案，帮助学生理解蚂蚁的生活习性和行为特点，培养学生的观察力和思维能力。

一、教学目标1. 知识目标：学生能够了解蚂蚁的生活习性和行为特点，掌握蚂蚁爬树问题的解题方法。

2. 能力目标：培养学生的观察力和思维能力，提高学生的逻辑思维和问题解决能力。

3. 情感目标：培养学生对生物的兴趣，激发学生对科学探究的热情。

二、教学重点和难点1. 重点：蚂蚁的生活习性和行为特点，蚂蚁爬树问题的解题方法。

2. 难点：培养学生的观察力和思维能力，引导学生进行问题的分析和解决。

三、教学内容1. 蚂蚁的生活习性和行为特点a. 蚂蚁的社会性：蚂蚁生活在一个由女王、工蚁和雄蚁组成的社会中，每个蚂蚁都有自己的任务和责任。

b. 蚂蚁的觅食行为：蚂蚁通过觅食来获取食物，它们会在寻找食物的过程中留下一种化学物质，以便其他蚂蚁跟随它们的足迹找到食物。

2. 蚂蚁爬树问题的解题方法a. 分析问题：给定一颗树，树干上有一只蚂蚁，蚂蚁每次可以沿树干向上爬3米，也可以向下滑2米，问蚂蚁爬到树顶需要多少次。

b. 解题思路：通过观察和分析，学生可以发现蚂蚁每次向上爬3米，向下滑2米，相当于每次向上爬1米。

因此，蚂蚁爬到树顶需要爬的总高度除以每次爬升的高度即可得到次数。

四、教学过程1. 导入：通过展示蚂蚁的图片或视频，引导学生讨论蚂蚁的生活习性和行为特点。

2. 学习：介绍蚂蚁的生活习性和行为特点，引导学生观察蚂蚁的行为，并进行讨论和总结。

3. 活动：提出蚂蚁爬树问题，让学生进行思考和讨论，引导学生分析问题并找出解题方法。

4. 练习：让学生进行蚂蚁爬树问题的练习，检查学生的解题方法和答案。

5. 总结：总结本节课的内容，强调蚂蚁的生活习性和行为特点，以及蚂蚁爬树问题的解题方法。

初一蚂蚁爬树问题解答教案

初一蚂蚁爬树问题解答教案蚂蚁是一种非常有趣的昆虫，它们小巧灵活，能够在各种环境中生存和繁衍。

而蚂蚁爬树这一现象更是让人们感到惊奇，特别是在初一数学课上，老师提出了一个关于蚂蚁爬树的问题，让同学们思考和解答。

今天，我们就来一起学习一下初一蚂蚁爬树问题的解答教案。

问题描述：假设有一棵高为10米的树，树干的高度为5米，蚂蚁从树干底部开始爬，每天白天爬2米，晚上滑下1米，问蚂蚁需要多少天才能爬到树梢？解答教案：1. 确定问题类型这是一个典型的数学问题，涉及到蚂蚁在树上的爬升过程，需要通过数学方法进行计算。

2. 分析问题首先，我们需要明确蚂蚁的爬升规律，白天爬升2米，晚上滑下1米，即每天净爬升1米。

树的高度为10米，树干高度为5米，因此蚂蚁需要爬升的高度为10-5=5米。

3. 制定解题计划为了更好地解答这个问题，我们可以采取逐步逼近的方法，计算蚂蚁每天的净爬升高度，直到达到目标高度。

4. 解题过程第一天：蚂蚁白天爬升2米，晚上滑下1米，净爬升高度为1米，剩余4米。

第二天：蚂蚁白天爬升2米，晚上滑下1米，净爬升高度为1米，剩余3米。

第三天：蚂蚁白天爬升2米，晚上滑下1米，净爬升高度为1米，剩余2米。

第四天：蚂蚁白天爬升2米，晚上滑下1米，净爬升高度为1米，剩余1米。

第五天：蚂蚁白天爬升2米，晚上滑下1米，净爬升高度为1米，达到目标高度。

5. 结论蚂蚁需要5天才能爬到树梢。

通过以上解答教案，我们可以清晰地了解蚂蚁爬树问题的解题思路和方法。

这个问题不仅考验了学生的数学计算能力，也锻炼了他们的逻辑思维和分析能力。

希望同学们能够在今后的学习中，多多运用数学知识解决生活中的问题，提高自己的数学素养。

二年级下册数学蚂蚁爬树

二年级下册数学蚂蚁爬树摘要：1.题目背景和意义2.题目分析和解法3.题目的启示和应用正文：一、题目背景和意义《二年级下册数学蚂蚁爬树》是一道在我国小学二年级下册数学教材中出现的经典问题。

这个问题以蚂蚁爬树为情境，通过生动有趣的故事引导孩子们学习数学知识，旨在培养孩子们解决实际问题的能力，提高他们的逻辑思维和数学应用水平。

二、题目分析和解法这道题目描述了一只蚂蚁从树的底部开始爬，每次爬行时，它都有两个选择：向上爬1 个单位长度或者向上爬2 个单位长度。

经过一段时间，蚂蚁终于到达了树的顶部。

问题要求我们计算蚂蚁爬到树顶的不同方法数。

为了解决这个问题，我们可以使用动态规划的方法。

首先，我们需要确定一个变量，用来表示蚂蚁到达某一高度的方法数。

然后，我们可以根据蚂蚁在当前高度的爬行方式，分别计算出它向上爬1 个单位长度和向上爬2 个单位长度的方法数，最后将这两个方法数相加，就可以得到蚂蚁到达树顶的方法数。

具体解法如下：1.初始化一个长度为树的高度的数组，用来存储蚂蚁到达每一高度的方法数。

2.将数组的第一个元素设为1，表示蚂蚁只有一种方法到达树顶。

3.遍历数组，对于每个元素，分别计算它向上爬1 个单位长度和向上爬2 个单位长度的方法数，然后将这两个方法数相加，更新数组的对应元素。

4.最后，数组的最后一个元素就是蚂蚁爬到树顶的不同方法数。

三、题目的启示和应用《二年级下册数学蚂蚁爬树》这个问题不仅帮助学生巩固了加法和乘法知识，还让他们在解决实际问题的过程中锻炼了逻辑思维能力。

同时，这个问题也启示我们在日常生活中，遇到问题时要善于运用逻辑思维，通过分析和归纳找出问题的解决方法。

此外，这个问题的解法也可以推广到其他类似的问题中，例如计算从某一起点到某一终点的不同路径数等。

七年级下册数学知识点蚂蚁

七年级下册数学知识点蚂蚁七年级下册数学知识点——蚂蚁蚂蚁，在自然界中是一种小型昆虫，但在数学中，蚂蚁也是一种重要的概念。

在七年级下册的数学学习中，我们需要学习和掌握一些和蚂蚁有关的知识点。

一、蚂蚁爬杆问题蚂蚁爬杆问题是指，在一根长度为l的杆子上，有两只蚂蚁在爬行，它们的爬行速度相同，但方向相反。

当两只蚂蚁相遇时，它们会掉头往反方向爬。

我们假设两只蚂蚁在相遇时不停顿，而是立即掉头。

那么问题来了：两只蚂蚁分别从杆子的两端出发，它们一开始的位置随机，速度相同。

求出当两只蚂蚁相遇时，它们离杆子两端的距离是多少？这个问题可以通过数学思维和逻辑推断来解决，对于初学者来说可能比较困难，但是只要耐心理解，就可以掌握其中的奥妙。

二、蚂蚁爬墙问题蚂蚁爬墙问题也是一个比较有趣的问题。

假设在一个正方形的房间里有一只蚂蚁和一堵墙，墙的宽度和蚂蚁的身长相同。

蚂蚁从房间的一角出发，沿着房间的边爬行，当它爬到墙的边缘时，它会沿着墙的边缘前进。

那么问题来了：当蚂蚁爬到房间的对角时，它需要爬多长的路程？这个问题需要我们用到初中数学的几何知识，通过观察和思考，我们可以推导出蚂蚁需要爬的路程的大小。

三、蚂蚁走迷宫问题蚂蚁走迷宫问题是一个比较复杂的问题，在学习过程中需要有足够的耐心和热情。

假设一只蚂蚁在一个迷宫中，它需要走到迷宫的出口。

迷宫中的每个方格都有一个数字，表示从该方格出发能够走多远。

蚂蚁每次只能向上、下、左、右四个方向行走，而且不能走到已经走过的方格上。

那么问题来了：蚂蚁走到迷宫出口，需要走的最短路线是什么？这个问题需要我们用到初中解析几何和算法知识，需要进行反复的试验和调整才能得到正确的答案。

总之，蚂蚁在数学中的应用非常广泛，需要我们掌握和应用不同的知识点和技巧，才能解决各种不同的问题。

在学习过程中，我们需要认真思考，勤于实践，才能取得更好的成绩和表现。

初中数学蚂蚁爬树模型教案

初中数学蚂蚁爬树模型教案一、教学目标。

1. 了解蚂蚁爬树问题的背景和实际应用。

2. 掌握蚂蚁爬树问题的数学建模方法。

3. 能够运用数学知识解决蚂蚁爬树问题。

二、教学重点和难点。

1. 重点，蚂蚁爬树问题的数学建模方法。

2. 难点，如何运用数学知识解决蚂蚁爬树问题。

三、教学内容。

1. 蚂蚁爬树问题的背景介绍。

蚂蚁爬树问题是一个经典的数学问题，它源自于生活中的一个有趣现象，当一只蚂蚁在树干上爬行时，它会选择怎样的路径才能最快到达树梢？这个问题看似简单，实际上涉及到了数学中的最短路径问题，是一个很好的数学建模题目。

2. 蚂蚁爬树问题的数学建模。

首先，我们需要了解蚂蚁爬树问题的基本情况，假设树干长度为L，蚂蚁的爬行速度为v，树干上的摩擦系数为μ。

我们可以将蚂蚁爬树问题建模为一个最优化问题，即蚂蚁在树干上爬行的路径应该是怎样的才能使它到达树梢的时间最短。

3. 蚂蚁爬树问题的数学分析。

在数学分析中，我们可以将蚂蚁的爬行路径分为两部分，沿着树干爬行和爬到树梢的垂直爬行。

对于沿着树干爬行部分，我们可以运用微积分中的最优化方法，求出蚂蚁在树干上爬行的最短路径。

对于爬到树梢的垂直爬行部分，我们可以利用几何知识，求出蚂蚁爬到树梢所需的时间。

4. 蚂蚁爬树问题的数学解决。

通过数学分析，我们可以得出蚂蚁在树干上爬行的最短路径，以及蚂蚁爬到树梢所需的时间。

进而，我们可以得出蚂蚁爬树问题的数学解决方法，蚂蚁在树干上爬行的最短路径应该是一条螺旋线，而蚂蚁爬到树梢所需的时间可以表示为一个函数。

通过数学计算，我们可以求出这个函数的最小值，从而得出蚂蚁爬树问题的最优解。

四、教学过程。

1. 导入新知识。

通过介绍蚂蚁爬树问题的背景，引起学生的兴趣，激发他们学习的欲望。

2. 讲解数学建模方法。

详细讲解蚂蚁爬树问题的数学建模方法，包括建立数学模型、分析问题、求解最优解等步骤。

3. 案例分析。

通过一个具体的案例，演示蚂蚁爬树问题的数学分析和解决过程，让学生更好地理解数学建模方法。

兰顿蚂蚁的数学含义

《兰顿蚂蚁的数学含义》
同学们，今天咱们来聊聊兰顿蚂蚁。

你们知道吗？兰顿蚂蚁可神奇啦！它虽然小小的，但是里面藏着好多数学的秘密呢。

比如说，兰顿蚂蚁在一个方格世界里行动。

它根据所在格子的颜色来决定往哪儿走。

这就好像是一个有趣的游戏规则。

想象一下，蚂蚁就像一个勇敢的探险家，在这个方格世界里不断前进。

它的行动轨迹有时候很有规律，有时候又让人摸不着头脑。

这其实就是数学中的一种有趣现象。

《兰顿蚂蚁的数学含义》
同学们，咱们接着说兰顿蚂蚁。

兰顿蚂蚁的行为看似简单，但是仔细研究，会发现很多有意思的地方。

比如说，经过一段时间后，它的行动会形成一些特别的图案。

就好像是蚂蚁用它的脚步在方格纸上画画。

这些图案可不是随便出现的，里面蕴含着数学的规律。

就像我们做数学题，找到规律就能轻松解决。

兰顿蚂蚁的世界，就是一个充满数学惊喜的小天地。

《兰顿蚂蚁的数学含义》
同学们，咱们再来讲讲兰顿蚂蚁。

兰顿蚂蚁的数学含义还能让我们想到很多生活中的事情。

比如排队的时候，大家按照一定的规则移动。

这和兰顿蚂蚁根据格子颜色行动有点像。

兰顿蚂蚁的故事告诉我们，数学就在我们身边，哪怕是一只小小的蚂蚁，也能带来大大的数学思考。

同学们，让我们一起多观察，多思考，发现更多数学的乐趣吧！。

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关键处、 “ 点上进行引导，学生准确地把握、疑让深刻地领会学习的重点和难点．．在学生认识 ② 的困惑处进行引导，引领学生走出“ 山穷水尽 ”的
无奈，入 “ 暗花明 ”的佳境．．在学生探索进柳 ③ 的迷惘处进行引导，学生能进行更广泛、深人为更
ＡＢ一￣０／＋（０７）５＋０。一ｌ０ｃ３（ｍ）．
到Ｂ点有多种路线，有通过动手操作、性思只理
考、类比较才能确定其最短路程．分但学生在解决这类问题时出错率较高，至在教师发表的文章甚
函数慨念的本质，避免了抽象语言带来的理解又
上的困难．
荷兰数学家弗莱登塔尔说过：好数学唯一学正确的方法是引导学生实行再创造．谓再创造何我想不外乎是教师在教学中引领学生浓缩地经历当初人们探究这些知识的历程．个数学问题是一
爬行的最短路程是多少？
（文１见）图１
为了说明问题现将原文例２的分析过程摘录
如，多，过分析研究、通计算、比较，最短路线还是如其图２的长方体的侧面展开图中线段ＡＢ的长度：
类一画图一计算一比较，是解决此类问题的一
范．
Ｙ，于ｚ的每一个值，对・Ｙ都有唯一的值与之对应．
学生对于这句话往往理解不深甚至不理解．Ｃ老
在教学中教师究竟怎样把握０导的契机，｝促进教学的有效性？纳起来我认为 ① ．在知识的归
颖，是一种考查学生空间想象能力和数学转化能
力及分类讨论思想的好题．究此类问题需要学探生具备较强的空问想象能力和数学素养，解决其问题的基本思路是 “ 折为平 ” 把立体几何问题化，转化为平面几何问题来思考．要指出的是，需这里折平面展开有多种方式，就是说蚂蚁从Ａ点爬也
结论是怎样归纳和整理出来的等等．师如何引教
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／
Ｂ
／／／／／／／／Ｊ
（）以长方体的左３
侧面为基本面展开，
７０
如图８，
怎样提出来的，个数学观念是怎样形成的，个一一
的探索奠定现实意义的可能， “ 构有效课堂 ’ 和所有先进的理念一样，建 ’ ，只
有当精神物化于实际的行动，能凸显其强大的才
生命力。如何建构有效课堂？没计策略也肯定不止以上提到的三点，人仅是做了… 点有益的尝试本和有效的思考．
中也时有发生，如文ｌ文２，．
念打下坚实的基础，函数概念学习的第一阶段．是函数的概念比较抽象，函数概念的理解不对可能一次到位，有一个逐步深入的过程．如ｚ和例
导才能对学生的思维起到有效的提升作用？到做 “ 引在上升点，导在要害处，得时间恰当，得分点拨寸合理．上述课例中的Ｃ老师为我们做了一个示 ”
师通过举例，函数的解析式和图像两种不同的从
表达形式上引导学生进行辨析和理解．老师对Ｃ学生的引导是有效的．别是运用 “ 器图”形象特机地介绍函数的概念，既可以帮助学生直观地了解
蚁爬行的最短路径的长是￣８ｃ本题的正确答／５ｍ，
案应选（）而不是（）Ｃ，Ｂ．
ＡＢ — Ｊ（０＋５）＋７。一１￣１９≈ ５０。００／４
１２ｃ）２（ｍ
从以上解题分析过程看出：作一想象一分操
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从“ 蚁行问题 ”看数学教学本质蚂爬
— —
对一类中考题的理性思考
（江省衢州市教育局教研室３４０）胡兴余浙２０２
近年来在各地中考试题中经常出现有关蚂蚁从几何体的某点出发，几何体表面爬行到几何沿体的另一点，求蚂蚁爬行的最短路径问题．是一这类十分有趣的问题，有一定的探究性，意新具立
一
、３＋（＋４。＝／。６）／
￣ｉ（ｍ）．／两ｃ综上，以看出蚂可图８
图２
图３
辨析：事实上，我们以长方体的上底面为基本面展开，两条途径可供选择，了上述情况外，有除
还有另一种展开方式，如图３．