构造全等三角形解竞赛题[1]

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全等三角形难题(含规范标准答案解析)

全等三角形难题(含答案)1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中 AD=DE∠BDE=∠ADC BD=DC∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=22. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。

连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形ADBC∴AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。

∵ ∠ABC=∠AED 。

∴ ∠ABE=∠AEB 。

∴ AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC∠FDE ＝∠GDC （对顶角）BA CDF2 1 E∴△EFD≌△CGDEF＝CG∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又 EF＝CG∴EF＝AC5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

八年级数学竞赛题：全等三角形

八年级数学竞赛题：全等三角形同一底片冲印出的照片，同一生产流水线的产品等，生活中常常见到全等图形由全等图形和由全等图形拼成的美丽图案．全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工具，是解决有关线段、角等问题的一个出发点，线段相等、线段和差倍分关系、角相等、两直线位置关系的证明常转化为证明三角形全等．学好全等三角形应注意如下几个方面：1．深刻理解“全等”的含义；2．熟悉组成全等三角形的基本图形，并能在复杂的图形中发现分解出这些基本图形；3．恰当选择判定三角形全等的方法；4．掌握证明三角形全等的几个要领．例1 如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF．∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC=∠C；②DF=CF；③BC=DE+DF；④∠BFD=∠CAF．其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）．例2 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB>AD，下列结论正确的是（）．A．AB-AD>CB-CD B．AB-AD=CB-CDC．AB-AD<CB-CD D．AB-AD与CB-CD的大小关系不确定例3 如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个，正确的命题（要求写出已知、求证及证明过程）例4 一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．（1）求证：AB⊥ED（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．例5 如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC-∠CF A=∠α．（1）若直线CD经过么BCA的内部，且E、F在直线CD上，请解决下面两个问题：①如图①，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE________CF；EF_______ BE AF-（填“>”、“<”、“=”）；②如图②，若0°<∠BCA<180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件____________，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．（2）如图③，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF、BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．1．如图，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=_____________．2．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数为____________．3．如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△O A’B’，使点B恰好落在边A’B’上．已知AB=4cm，BB’=1cm，则A’B的长是__________cm．4．如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△CAN ≌△ABM；④CD=DB．其中正确的结论是__________（把你认为所有正确结论的序号都填上）．5．如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠A与∠DEC互补，若BC=11cm，则△DEC周长为（）．A．10cm B．11cm C．12cm D．13cm6．如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）．A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD、CE交于点H，已知EH =EB=3，AE=4，则CH的长是（）．A．1 B．2 C．3 D．48．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足，则结论：①AD=BF；②CF=CD③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE．其中正确结论的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．49．复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP，”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP．之后，他将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中其他条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．10．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，O为对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE=OF．（1）图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来；（2）求证：∠MAE=∠NCF．11．在△ABC中，∠ACB= 90°，AC=BC，直线MN经过C点，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．12．如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，若AB=5，AC=3，则AD的取值范围是___________．13．如图，将△ABC绕着C点按顺时针方向旋转20，B点落在B ’点位置，A点落在A ’点位置，若AC⊥A’B ’，则∠BAC=______________．14．一分为二如图是一张等边三角形网格纸片，现要沿着一条经过点A的格线把它剪成两张形状、大小相同的纸片．（1）请你在图上画出一种裁剪方案；（2）不同的裁剪方案共有_________种（若两种裁剪方法所得的纸片能够重合，则只算作一种方案）．15．在△ABC中，高AD和BE交予H点，且BH=AC，则∠ABC=_____________．16．如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G．下列结论：①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=12BF，④AE=BG．其中正确的是（）．A．①②B．①③C．①②③D．①②③④17．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于（）．A．DC B．BC C．A B D．AE+AC18．下面三个判断：（1）存在这样的三角形，它有两条角平分线互相垂直；（2）存在这样的三角形，它的三条高的比是1：2：3；（3）存在这样的三角形，其中一边上的中线不小于其他两边和的一半．其中正确的判断有（）A．0个B．1个C．2个D．3个19．如图，AD是△ABC的中线．E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，则（）．A．BE+CF>EF．B．BE+CF=EFC．BE+CF<EF D．BE+CF与EF的大小关系不确定20．如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E．求证：AB=AC+BD．21．如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积．22．如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，∠AFB=51°，求∠DFE的度数．23．下列四个判断：（1）有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；（2）有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；（3）三角形6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等；（4）一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等．上述判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例．24．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A-∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°<α<60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°<β<180°，其他条件不变，如图③．你认为（1）中的结论还成立吗?若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．。

(完整版)全等三角形竞赛试题(含答案),推荐文档

全等三角形提高练习1.如图所示，△AB C≌△ADE ，BC 的延长线过点E ，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF 的度数。

2.如图，△AOB 中，∠B=30°，将△AOB 绕点O 顺时针旋转52°，得到△A′OB′，边A′B′与边OB 交于点C （A′不在OB 上），则∠A′CO 的度数为多少？3.如图所示，在△ABC 中，∠A=90°，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C 的度数是多少？4.如图所示，把△ABC 绕点C 顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC 于点D ，若∠A′DC=90°，则∠A=5.已知，如图所示，AB=AC ，A D⊥BC 于D ，且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm ，则AD 是多少？6.如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B 、C 作过点A 的垂线BC 、CE ，垂足分别为D 、E ，若BD=3，CE=2，则DE=7.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E 、F ，连接EF ，交AD 于G ，AD 与EF垂直吗？证明你的结论。

8.如图所示，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，D E⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，△ABC 的面积是28cm 2,AB=20cm ，AC=8cm ，求DE 的长。

AB'CAB9.已知，如图：AB=AE ，∠B=∠E，∠BAC=∠EAD，∠CAF=∠DAF，求证：AF⊥CD10.如图，AD=BD ，A D⊥BC 于D ，BE⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点H ，则BH 与AC 相等吗？为什么？11.如图所示，已知，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC ，FD=CD ，求证：B E⊥AC12.△DAC、△EBC 均是等边三角形，AF 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，求证：（1）AE=BD（2）CM=CN（3）△CMN 为等边三角形（4）MN∥BC13.如图所示，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③BH 平分∠AHD；④∠AHC=60°；⑤△BFGA ．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个14.已知：BD 、CE 是△ABC 的高，点F 在BD 上，BF=AC ，点G 在CE 的延长线上，CG=AB ，求证：A G⊥AF15.如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG 求证：（1）AD=AG（2）AD 与AG 的位置关系如何CBBA AAB B17．如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，且∠DAE=∠FAE求证：AF=AD-CF18．如图所示，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是CB 延长线上一点，∠ADB=60°，E 是AD 上一点，且DE=DB ，求证：AC=BE+BC19．如图所示，已知在△AEC 中，∠E=90°，AD 平分∠EAC，DF⊥AC，垂足为F ，DB=DC ，求证：BE=CF20．已知如图：AB=DE ，直线AE 、BD 相交于C ，∠B+∠D=180°，AF∥DE，交BD 于F ，求证：CF=CD21．如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD⊥OA 于D ，PE⊥OB 于E ，F 是OC 上一点，连接DF和EF ，求证：DF=EF22．已知：如图，BF⊥AC 于点F ，CE⊥AB 于点E ，且BD=CD ，求证：（1（2）点D 在∠A 的平分线上23．如图，已知AB∥CD，O 是∠ACD 与∠BAC 的平分线的交点，OE⊥AC于E ，且OE=2，则AB 与CD 之间的距离是多少？24．如图，过线段AB 的两个端点作射线AM 、BN ，使AM∥BN，按下列要求画图并回答：画∠MAB、∠NBA 的平分线交于E （1）∠AEB 是什么角？DBC（2）过点E 作一直线交AM 于D ，交BN 于C ，观察线段DE 、CE ，你有何发现？（3）无论DC 的两端点在AM 、BN 如何移动，只要DC 经过点E ，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD 谁成立？并说明理由。

八年级奥数全等三角形试题及答案

【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。

奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更⾼、更强。

国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。

下⾯是为⼤家带来的⼋年级奥数全等三⾓形试题及答案，欢迎⼤家阅读。

1．如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE的度数是（）A. 62°B. 31°C. 28°D. 25° 2．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，测得BC=9，BE=3，则△BDE的周长是 ( )A. 6B. 9C. 12D. 15 3．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A. 30°B. 40°C. 20°D. 35° 4．如图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（）A. 4B. 5C. 6D. ⽆法确定 5．如图，在和中，，若添加条件后使得≌，则在下列条件中，不能添加的是（）．A. ，B. ，C. ，D. ， 6．如图，某同学把⼀块三⾓形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配⼀块完全⼀样的玻璃，那么最省事的办法是（）A. 带①去B. 带②去C. 带③去D. 带①和②去 7．如图，在四边形ABCD中，M、N分别是CD、BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC，已知∠MAN = 74°，∠DBC = 41°，则∠ADC的度数为（）．A. 49°B. 47°C. 45°D. 43° 8．如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75° 9．如图，AD是△ABC中∠BAC的⾓平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是． 10．如图，已知OC平分∠AOB，CD//OB，若OD=3cm，则CD=___________cm. 11．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的⾼，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的⾯积等于_____． 12．如图，△ABC≌△DEF，已知∠A＝50°，∠B＝60°，则∠F＝____度. 13．如图，△ABC中，BA=BC，∠ABC=40°，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点O，E在BC边上，F在AC边上，将∠A沿直线EF翻折，使点A与点O恰好重合，则∠OEF的度数是_____． 14．如图，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE．若∠A=40°，则∠FDE=__________°． 15．如图，点C、D在BE上，BC=DE，∠1=∠2，要使得△ABD≌△AEC，还需要添加⼀个边或⾓的条件，你添加的条件是__________． 16．如图，直线l上有三个正⽅形a，b，c，若a，c的边长分别为5和12，则b的⾯积为_________________. 17．如图，在 ABC中，∠ABC=45°，AD,BE是 ABC的⾼，AD,BE相交于点F.求证：BF=AC． 18．⑴已知：如图1，等腰直⾓三⾓形ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的外⾓平分线，交CB边的延长线于点D．求证：BD=AB+AC ⑵对于任意三⾓形ABC，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的外⾓平分线，交CB边的延长线于点D，如图2，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系并加以证明．图1 图2 19．如图，校园有两条路OA、OB，在交叉⼝附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这⾥安装⼀盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌⼀样远，并且到两条路的距离也⼀样远，请你⽤尺规作出灯柱的位置点P。

2020年初中数学竞赛专题全等三角形(含答案)

2020年初中数学竞赛专题全等三角形（含答案）1. 如图，ABC △为边长是1的等边三角形，BDC △为顶角()BDC ∠是120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ，连结MN ，形成一个AMN △．求AMN △的周长．解析：延长AC 到E ，使CE BM =，连结DE ．易知在BMD △与CED △中有BD DC =，90MBD ECD ∠=∠=︒，BM CE =，从而MBD ECD △△≌．所以MD DE =，MDB EDC ∠=∠．于是在DMN △与DEN △中有DN DN =，MD DE =，60MDN MDB CDN EDC CDN EDN ∠=︒=∠+∠=∠+∠=∠．从而MDN EDN △△≌，故NE MN =．所以AM MN AN AM NE AN AM NC CE AN AM MB NC AN ++=++=+++=+++=2AB AC +=．2. ABC △为等腰直角三角形，90C ∠=︒，点M 、N 分别为边AC 和BC 的中点，点D 在射线BM 上，且2BD BM =，点E 在射线NA 上，且2NE NA =，求证：BD DE ⊥．3. 已知等腰直角三角形ABC ，BC 是斜边．B ∠的角平分线交AC 于D ，过C 作CE 与BD 垂直且交BD 延长线于E ，求证：2BD CE =．AMN BC D EEADFMB N C解析：如图，延长CE 、BA ，设交于F ．则FBE ACF ∠=∠，AB AC =，得ABD ACF △△≌，CF BD =．又BE CF ⊥，BE 平分FBC ∠，故BE 平分CF ，E 为CF 中点，所以2CE FC BD ==．4. 在ABC △中，已知60A ∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，P 、Q 为ABC △形外两点，使PE AB ⊥，2AB PE =，QF AC ⊥，2AC QF =，若1GP =，求PQ 的长．5. 在梯形ABCD 的底边AD 上有一点E ，若ABE △、BCE △、CDE △的周长相等，求BC AD．6. ABC △内，60BAC ∠=︒，40ACB ∠=︒，P 、Q 分别在边BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是BAC ∠、ABC∠的角平分线．求证：BQ AQ AB BP +=+． FAEDB CAB CG QP EF B CE DAA'。

初中数学竞赛全等三角形(含答案)

全等三角形你见过两片完全相同的树叶吗？你见过两个完全相同的事物吗？也许你从未意识到这世界上还有完全相同。

在这里我们将引导你的思路，给你解题技巧：完全相同--全等三角形。

三解形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。

三角形全等的判定和性质是证明有关三角形问题的基础，必须熟练掌握。

判定两个三角形全等的方法有：SAS，ASA，AAS，SSS。

全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角及其它对应元素相等。

例1：如图2-7-1，△ABC和△DCE均是等边三角形，B、C、E三点共线，AE交CD于G，BD交AC于F。

求证：① AE=BD;② CF=CG.思路① 证明△ACE≌△BCD。

证明① ∵ △ABC和△DCE都是等边三角形，∴ CB=CA， CD=CE，∠BCA=∠ECD=，∴∠BCD=∠ACE=，∴△BCD≌△ACE，∴ AE=BD。

思路② 证明△FCD≌△GCE。

证明② 由△BCD≌△DCE都是等边三角形可知∴ CD=CE，∠BCA=∠ECD=∴∠ACD=-∠BCA-∠ECD=∴△FCD≌△GCE，∴ CF=CG说明：证明两条线段相等的重要方法之一就是证明它们所在的两个三角形全等。

例2：如图2-7-2，在正方形ABCD中，M是AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE。

求证：MD=MN。

思路：取AD的中点P，连结PM，证明△DMP≌△MNB。

证明：取AD的中点P，连结PM，则有DP=MB。

∵DM⊥MN，∴∠DMA+∠BMN=，又由正方形ABCD 知∠A=，∴∠DMA+∠MDA=，∴∠BMN=∠MDA又∵BN平分∠CBE，∴∠MBN=又由P、M分别为AD、AB的中点，ABCD是正方形，得△PAM是等腰直角三角形，故∠DPM=。

∴∠DPM=∠MBN，∴△DPM≌△MBN，∴ DM=MN。

说明：本题中DM和MN所在的三角形不全等，这时就要考虑作出它们所在的新三角形，证明这两个新三角形全等。

初中数学经典几何模型05-手拉手模型构造全等三角形(含答案)

初中数学经典几何模型专题05 手拉手模型构造全等三角形【专题说明】两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。

【知识总结】【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等图1 图2图3 图4二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；图1图2图3图41、如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：△DAB≌△DCE;DA∥EC.2、已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连结AE,BD交于点O,AE与DC交于点0，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.3、已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？4、如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.若AB=√2，AG=1，则EB=________________.5、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点，点G、E分别在线段AD、AB上，若将正方形AEFG 绕点A按顺时针方向旋转，连接DG,在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等？并说明理由。

6、已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上，连接BD,BE.以下四个结论:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠BDC=45°；④BE2=2(AD2+AB2)其中结论正确的个数是_______【基础训练】1、已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）.以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.如图1，当点D在边BC上时，求证：△ABD≌△ACE;直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需要证明）；如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程.2、如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点.若DE=13，BD=12，求线段AB的长.3、如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD,△BCE均为等边三角形，连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q，连接PQ,BM.下面结论：△ABE≌△DBC;∠DMA=60°；△BPQ为等边三角形；MB平分∠AMC.其中正确的有____________4、如图1，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M,连接CM.求证：BE=AD;用含α的式子表示∠AMB的度数；当α=90°时，取AD、BE的中点分别为点P、Q，连接CP,CQ,PQ,如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明.【巩固提升】1、已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD 的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．2、如图，△ABC中AB＝AC＝5，tan∠ACB＝，点D为边BC上的一动点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转得AE，使∠DAE＝∠BAC，DE与AB交于点F，连接BE．（1）求BC的长；（2）求证∠ABE＝∠ABC；（3）当FB＝FE时，求CD的长．3、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．（1）求证：△BCD≌△ACE；（2）如图2，连接ED，若CD＝2，AE＝1，求AB的长；（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CF⊥EB．4、如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，点F为线段AD的中点，连接CF．（1）如图1，当D点在BC上时，试判断线段BE、CF的关系，并证明你的结论；（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转一个锐角，其他条件不变时，请探究BE、CF的关系并直接写出结论．5、如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转a角（0°＜a＜180°），得到△AB′C′（如图2），连接DB'，EC'．（1）探究DB'与EC'的数量关系，并结合图2给予证明；（2）填空：①当旋转角α的度数为时，则DB'∥AE；②在旋转过程中，当点B'，D，E在一条直线上，且AD＝时，此时EC′的长为．6、如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM与射线OA相交于M点，CN与直线BO相交于N点．把∠MCN绕着点C旋转．（1）如图1，当点N在射线OB上时，求证：OC＝OM+ON；（2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是（直接写出结论，不必证明）专题05 手拉手模型构造全等三角形答案【专题说明】两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。

（完整word版）全等三角形培优竞赛讲义（一）

（完整word版）全等三角形培优竞赛讲义（一）全等三角形培优竞赛讲义（一）知识点全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOEC B A4321FDOE CB A【解析】 BE CD BC +=，理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ，利用SAS 证得BEO ?≌BFO ?，∴12∠=∠，∵60A ∠=?，∴1901202BOC A ∠=+∠=，∴120DOE ∠=，∴180A DOE ∠+∠=，∴180AEO ADO ∠+∠=，∴13180∠+∠=，∵24180∠+∠=，∴12∠=∠，∴34∠=∠，利用AAS 证得CDO ?≌CFO ?，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．【例2】如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=?，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?N E B M A DGNEB M A D【解析】猜测DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =又∵120ADM DMA +∠=∠，120DMA NMB +=∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠，∴DGM MBN ??≌，∴DM MN =．【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？N CDE B M A NCDEB M A【解析】猜测DM MN =.在AD 上截取AG AM =，∴DG MB =，∴45AGM =∠∴135DGM MBN ==?∠∠，∴ADM NMB =∠∠，∴DGM MBN ??≌，∴DM MN =．【例3】已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .FE DCBAM F EDCB A【解析】延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM .∵AB =AD ，AD ⊥CD ，AB ⊥BM ，BM =DF ∴△ABM ≌△ADF ∴∠AFD =∠AMB ，∠DAF =∠BAM ∵AB ∥CD∴∠AFD =∠BAF =∠EAF +∠BAE =∠BAE +∠BAM =∠EAM ∴∠AMB =∠EAM∴AE =EM =BE +BM =BE +DF .【例4】以ABC ?的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ?、ACE ?，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．FACDEOOEDCA【解析】因为ABD ?、ACE ?是等边三角形，所以AB AD =，AE AC =，CAE ∠=60BAD ∠=，则BAE DAC ∠=∠，所以BAE DAC ??≌，则有ABE ADC ∠=∠，AEB ACD ∠=∠，BE DC =．在DC 上截取DF BO =，连结AF ，容易证得ADF ABO ??≌，ACF AEO ??≌．进而由AF AO =．得AFO AOF ∠=∠；由AOE AFO ∠=∠可得AOF ∠=AOE ∠，即OA 平分DOE ∠．【例5】 (北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ?是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120?的等腰三角形，以D 为顶点作一个60?的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ?的周长．NM DCBAEABC DM N【解析】如图所示，延长AC 到E 使CE BM =.在BDM ?与CDE ?中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=，BM CE =，所以BDM CDE ??≌，故MD ED =.因为120BDC ∠=，60MDN ∠=，所以60BDM NDC ∠+∠=. 又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠=.在MND ?与END ?中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠=，DM DE =，所以MND END ??≌，则NE MN =，所以AMN ?的周长为2.【例6】五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDECE DB AABDEFC【解析】延长DE 至F ，使得EF =BC ，连接AC .∵∠ABC +∠AED =180°，∠AEF +∠AED =180° ∴∠ABC =∠AEF∵AB =AE ，BC =EF ∴△ABC ≌△AEF ∴EF =BC ，AC =AF∵BC +DE =CD ∴CD =DE +EF =DF ∴△ADC ≌△ADF ∴∠ADC =∠ADF 即AD 平分∠CDE .板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC ?中，60BAC ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【解析】如图所示，延长AB 至E 使BE BD =，连接ED 、EC .由AC AB BD =+知AE AC =，而60BAC ∠=，则AEC ?为等边三角形.注意到EAD CAD ∠=∠，AD AD =，AE AC =，故AED ACD ??≌. 从而有DE DC =，DEC DCE ∠=∠，故2BED BDE DCE DEC DEC ∠=∠=∠+∠=∠.所以20DEC DCE ∠=∠=，602080ABC BEC BCE ∠=∠+∠=+=.【另解】在AC 上取点E ，使得AE AB =，则由题意可知CE BD =. 在ABD ?和AED ?中，AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =，则ABD AED ??≌，从而BD DE =，进而有DE CE =，ECD EDC ∠=∠，AED ECD EDC ∠=∠+∠=2ECD ∠. 注意到ABD AED ∠=∠，则：1318012022ABC ACB ABC ABC ABC BAC ∠+∠=∠+∠=∠=-∠=，故80ABC ∠=?.【点评】由已知条件可以想到将折线ABD “拉直”成AE ，利用角平分线AD 可以构造全等三角形.同样地，将AC 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法. 【例8】在等腰ABC ?中，AB AC =，顶角20A ∠=?，在边AB 上取点D ，使AD BC =，求BDC ∠.【解析】以AC 为边向ABC ?外作正ACE ?，连接DE .在ABC ?和EAD ?中，AD BC =，AB EA =，2060EAD BAC CAE ∠=∠+∠=+=80ABC =∠，则ABC EAD ??≌.由此可得ED EA EC ==，所以EDC ?是等腰三角形. 由于20AED BAC ∠=∠=，则602040CED AEC AED ∠=∠-∠=-=，从而70DCE ∠=，706010DCA DCE ACE ∠=∠-∠=-=，则201030BDC DAC DCA ∠=∠+∠=+=.E D C BAED C B AD C BADC B A E DCBA【另解1】以AD 为边在ABC ?外作等边三角形ADE ?，连接EC .在ACB ?和CAE ?中，6020CAE ACB ??∠=+=∠，AE AD CB ==，AC CA =，因此ACB CAE ??≌，从而CAB ACE ∠=∠，CE AB AC ==.在CAD ?和CED ?中，AD ED =，CE CA =，CD CD =，故CAD CED ??≌，从而ACD ECD ∠=∠，2CAB ACE ACD ∠=∠=∠，故10ACD ?∠=，因此30BDC ?∠=.【另解2】如图所示，以BC 为边向ABC ?内部作等边BCN ?，连接NA 、ND .在CDA ?和ANC ?中，CN BC AD ==，20CAD ∠=， ACN ACB BCN ∠=∠-∠=806020-=，故CAD ACN ∠=∠，而AC CA =，进而有CDA ANC ??≌. 则10ACD CAN ∠=∠=，故30BDC DAC DCA ∠=∠+∠=.【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系.【例9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在ABC ?中，AC BC =，20C ∠=?，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=?，60ABM ∠=?，求NMB ∠.【解析】过M 作AB 的平行线交BC 于K ，连接KA 交MB 于P .连接PN ，易知APB ?、MKP ?均为正三角形.因为50BAN ∠=?，AC BC =，20C ∠=?，所以50ANB ∠=?，BN AB BP ==，80BPN BNP ∠=∠=?，则40PKN ∠=?，180608040KPN ∠=?-?-?=?，故PN KN =.从而MPN MKN ??≌.进而有PMN KMN ∠=∠，1302NMB KMP ∠=∠=?.【另解】如图所示，在AC 上取点D ，使得20ABD ∠=?，由20C ∠=?、AC BC =可知80BAC ∠=?. 而20ABD ∠=?，故80ADB ∠=?，BA BD =. 在ABN ?中，50BAN ?∠=，80AB N ∠=?，故50ANB ∠=?，从而BA BN =，进而可得BN BD =. 而802060DBN ABC ABD ∠=∠-∠=?-?=?，所以BDN ?为等边三角形.在ABM ?中，180180806040AMB ABM BAM ∠=?-∠-∠=?-?-?=?，804040DBM ADB AMB ∠=∠-∠=?-?=?，故DMB DBM ∠=∠，从而DM DB =.我们已经得到DM DN DB ==，故D 是BMN ?的外心，从而1 302NMB NDB ∠=∠=?.【点评】本题是一道平面几何名题，加拿大滑铁卢大学的几何大师Ross Honsberger 将其喻为“平面几何中的一颗明珠”.本题的大多数解法不是纯几何的，即使利用三角函数也不是那么容易.E DCB AND CB APA BCM NK NMC B AD N M C B A【例10】在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ?∠=，76ADB ?∠=，28BDC ?∠=，求DBC ∠的度数.【解析】如图所示，延长BD 至E ，使DE DC =，由已知可得：180********ADE ADB ∠=-∠=-=，7628104ADC ADB BDC ∠=∠+∠=+=，故ADE ADC ∠=∠.又因为AD AD =，DE DC =，故ADE ADC ??≌，因此AE AC =，E ACD ∠=∠，EAD CAD ∠=∠.又因为AB AC =，故AE AB =，ABC ACB ∠=∠. 而已知60ABD ?∠=，所以ABE ?为等边三角形.于是60ACD E EAB ∠=∠=∠=?，故18016CAD ADC ACD ∠=?-∠-∠=?，则28CAB EAB CAD EAD ∠=∠-∠-∠=?，从而1(180)762ABC CAB ∠=?-∠=?，所以16DBC ABC ABD ∠=∠-∠=?.【例11】 (日本算术奥林匹克试题) 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ?∠=，36CAB ?∠=，48ABD ?∠=，24DBC ?∠=，求ACD ∠的度数.【解析】仔细观察，发现已知角的度数都是12?的倍数，这使我们想到构造60?角，从而利用正三角形.在四边形ABCD 外取一点P ，使12PAD ?∠=且AP AC =，连接PB 、PD .在ADP ?和ADC ?中，12PAD CAD ?∠=∠=，AP AC =，AD AD =，故ADP ADC ??≌. 从而APD ACD ∠=∠.在ABC ?中，36CAB ∠=?，72ABC ∠=?，故72ACB ?∠=，AC AB =，从而AP AB =.而12123660PAB PAD DAC CAB ∠=∠+∠+∠=?+?+?=?，故PAB ?是正三角形，60APB ?∠=，PA PB =.在DAB ?中，123648DAB DAC CAB DBA ???∠=∠+∠=+==∠，故DA DB =.在PDA ?和PDB ?中，PA PB =，PD PD =，DA DB =，故PDAPDB ??≌，从而1302APD BPD APB ?∠=∠=∠=，则30ACD ?∠=.C DB ADC BA E C DB A PDC B A【例12】 (河南省数学竞赛试题) 在正ABC ?内取一点D ，使DA DB =，在ABC ?外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【解析】如图所示，连接DC .因为AD BD =，AC BC =，CD CD =，则ADC BDC ??≌，故30BCD ∠=.而DBE DBC ∠=∠，BE AB BC ==，BD BD =，因此BDE BDC ??≌，故30BED BCD ∠=∠=.【例13】 (北京市数学竞赛试题) 如图所示，在ABC ?中，44BAC BCA ?∠=∠=，M 为ABC内一点，使得30MCA ?∠=，16MAC ?∠=，求BMC ∠的度数.【解析】在ABC ?中，由44BAC BCA ?∠=∠=可得AB AC =，92ABC ?∠=.如图所示，作BD AC ⊥于D 点，延长CM 交BD 于O 点，连接OA ，则有30OAC MCA ?∠=∠=，443014BAO BAC OAC ∠=∠-∠=-=，301614OAM OAC MAC ∠=∠-∠=-=，所以BAO MAO ∠=∠.又因为90903060AOD OAD COD ∠=-∠=-==∠，所以120AOM AOB ∠=?=∠.120BOM ∠=? 而AO AO =，因此ABO AMO ??≌，故OB OM =.由于120BOM ?∠=，则180302BOMOMB OBM ?-∠∠=∠==?，故180150BMC OMB ??∠=-∠=.DECB ADE C B AO D M CB MC A B。

第1章+专题3+构造全等三角形.pptx-【初中必刷题】

【证明】如图，延长，并交于平分，，， .在和中，
， . ，，，， .在和
中，，，．
类型3 作垂线构造全等三角形
4.【2022安徽芜湖弋江区期末，中】如图，已知和，连结 , , 分别交 , 于点 , ,连结 , 平分 , , .求证：．
【证明】如图，作于，于，则平分 , , ，， , , , , , .又 , ,即 .又 , , , .
类型4 作相等线段构造全等三角形
5.【2022福建福州仓山区期中，难】如图（1），在中，是上一点，，点在线段上，连结，设，．
图（1）
图（2）
（1）若，平分，求和之间的数量关系；
【解】设平分， .又，，是等腰三角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.又，，，，，， .
（2）如图（2），若点在线段的延长线上，且，求证：．
【证明】作且点在直线上，如图所示，则是等腰三角形， . ，，，，
关键点拨延长至，使，由证明，得出，在中，由三角形的三边关系求出的取值范围，即可得出的取值范围
9.【2022浙江台州期中，中】
图（1）
（1）如图（1），已知在中，为中线，求证：．
图（1）
【证明】延长至点，使，连结，如图（1），则 . 在中，为中线， .在与中，
8.【2023浙江丽水期中，中】如图，在中，，，则边上的中线的取值范围是_ ___________.
【解析】
延长至，使，连结，如图所示. 是边上的中线， .在和中，， .在中，由三角形的三边关系得，，即， .故答案为 .

八年级数学全等三角形竞赛题

八年级数学10月16（001-005）P —001如图，如图，在平面直角坐标系中，点A 和点B 的坐标分别是A （0，a ），B （b ，0），且a 、b 满足330a b -++=.（1）求点A 、点B 的坐标；（2）点C 是第三象限内一点，以BC 为直角边作等腰直角△BCD ，∠BCD=90º，过点A 和点D 分别作直线CO 的垂线，垂足分别是点E 、F.试问线段AE 、DF 、CO 之间是否存在某种确定的数量关系？为什么？P —002 如图，在平面直角坐标系中，点A 、点C 分别在y 轴的正半轴和负半轴上，点B 在x 轴正半轴上，∠ABC=90º.点E 在BC 延长线上，过点E 作ED ∥AB ，交y 轴于点D ，交x 轴于点F ，DO –AO=2CO. （1）求证：AB=DE ；（2）若AB=2BC ，求证：EF=EC ；（3）在（2）的条件下，若点B 的坐标是（2，0），求点E 的坐标.P —003如图，已知△ABC 是等边三角形，点D 和点E 分别是BC 和AC 上一点，AE=CD ，BE 、AD 交于点F ，BG ⊥AD 于点G.（1）求证：BF=2FG ；（2）连接CF ，若CF ⊥BF,请问线段AF 和FG 有何数量关系？为什么？P —004 在△ABC 和△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=α,CD 、BE 交于点O ，连接OA.x y O E D C B A F FE y x O D CB A G A BCDE F（1）如图1，求∠AOE 的大小；（2）当△ABC 绕点A 旋转至如图2所示位置时，∠AOE= .P —005如图，在平面直角坐标系中，点A 和点B 的坐标分别是A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足444a b b =-+--.点C 在x 轴正半轴上，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，交OB 于点D ，∠CAE=15º. （1）求证：OD=OC ；（2）试探求线段BE 、CE 和CD 之间的数量关系，并说明理由；（3）试比较AD+CD 与AB 大小关系，并说明理由.E DO C BAy x O E D C B A O E D CB A。

构造全等三角形解竞赛题-

构造全等三角形解竞赛题一、已知角平分线，利用轴对称构造全等三角形。

例1 在四边形ABCD 中，对角线AB BAD AC ，平分∠＞AD ，下列结论中正确的是（）.A ．AD AB -＞CD CB - B ． AD AB -＝CD CB -C ．AD AB -＜CD CB - D ． AD AB -与CD CB -的大小关系不确定解：因为，平分BAD AC ∠以AC 为对称轴作△ACD 的对称图形△ACE ，则AD AB -=AE AB -＞.CD CB CE CB -=-故选A.二、已知中线，利用中心对称构造全等三角形。

例2 设G 为△ABC 的重心，且,10,8,6===CG BG AG 则△ABC 的面积为（）。

解：如图，以BC 的中点D 为中心，将点G 旋转180°至E ，则四边形BGCE 是平行四边形.在△BEG 中，,6,8,10===EG BG BE 所以△BEG 是直角三角形，因此.722=⋅==∆∆BG AD S S ABD ABCDB C例1图例2图例3图三、已知等边三角形，旋转60°构造全等三角形。

例3 已知P 是等边△ABC 内的一点，BPC PC PB PA ∠===则,3,4,5的度数为（）.解：绕着点B 将△ABP 顺时针旋转60°，则△ABP ≌△CBE ，△BPE 为等边三角形。

在△PCE 中，,5,4,3===CE PE PC 所以△PCE 是直角三角形，因此.150︒=∠BPC四、已知正方形，旋转90°构造全等三角形。

例4 已知P 是正方形ABCD 内的一点，PA ∶PB ∶PC=1∶2∶3，APB ∠则的度数为（）.解：绕着点B 将△ABP 顺时针旋转90°，则△ABP ≌△CBE ，△BPE 为等腰直角三角形。

在△PCE 中，设,,22,3a CE a PE a PC ===所以△PCE 是直角三角形，因此.135︒=∠=∠APB BECAD CEF例4图例5图五、已知特殊角度，构造全等三角形。

全等三角形奥数竞赛题

全等三角形奥数竞赛题一．填空题（共1小题）1．如图，三角形ABC中，BD平分ABC∠，AD垂直于BD，三角形BCD的面积为45，三角形ADC的面积为20，则三角形ABD的面积等于．二．解答题（共19小题）2．如图所示．ABC∠=∠．=．求证：BCH ABC ∆的高AD与BE相交于H，且BH AC3．已知：如图，A，F，C，D四点在同一直线上，AF CD=．求AB DE，且AB DE=，//证：CBF FEC∠=∠．4．如图，B E∆全等吗？为什么？∠=∠，AB EF=，BD EC=，那么ABC∆与FED5．如图，ABC∠的∆是等边三角形，D、E分别是BC、AC上的点，CD AE=．求APB 度数．6．如图：在ABC ∆中，B ∠，C ∠相邻的外角的平分线交于点D ．求证：点D 在A ∠的平分线上．7．已知ABC ∆中，::3:4:2A B C ∠∠∠=，AD 、BE 是角平分线．求证：AB BD AE BE +=+．8．如图所示，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，AE 平分BAC ∠交BC 于E ，交CD 于F ，//FG AB 交BC 于G ．试判断CE ，CF ，GB 的数量关系，并说明理由．9．如图，BN 是ABC ∠的平分线，P 在BN 上，D 、E 分别在AB 、BC 上，180BDP BEP ∠+∠=︒，且BDP ∠、BEP ∠都不是直角．求证：PD PE =．10．如图，ABC ∆中，60B ∠=︒，BAC ∠，ACB ∠的平分线AD ，CE 交于点O ，说明AE CD AC +=的理由．11．如图，在ABC ∆中，BD CD =，AG 平分DAC ∠，BF AG ⊥，垂足为H ，与AD 交于E ，与AC 交于F ，过点C 的直线CM 交AD 的延长线于M ，且EBD MCD ∠=∠，AC AM =．求证：12DE CF =．12．如图，BE 、CF 是ABC ∆的高，它们相交于点O ，点P 在BE 上，Q 在CF 的延长线上且BP AC =，CQ AB =，（1）求证：ABP QCA ∆≅∆．（2）AP 和AQ 的位置关系如何，请给予证明．13．已知ABC ∆与△A B C '''中，AC A C =''，BC B C =''，110BAC B A C ∠=∠'''=︒（1）试证明ABC ∆≅△A B C '''．（2）若将条件改为AC A C =''，BC B C =''，70BAC B A C ∠=∠'''=︒，结论是否成立？为什么？14．在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交BC 于D ．（1）如图1，MDN ∠的两边分别与AB 、AC 相交于M 、N 两点，过D 作DF AC ⊥于F ，DM DN =，证明：2AM AN AF +=；（2）如图2，若90C ∠=︒，60BAC ∠=︒，9AC =，120MDN ∠=︒，//ND AB ，求四边形AMDN 的周长．15．如图，点D是ABC∠=︒∆三条角平分线的交点，68ABC（1）求证：124ADC∠=︒；（2）若AB BD AC∠的度数．+=，求ACB16．已知如图，在ABC∠=︒，AD、CE是ABC∆的角平分线，并且它们交于点O，B∆中，60（1）求：AOC∠的度数；（2）求证：AC AE CD=+．17．如图，在梯形ABCD中，//AD BC，E为CD的中点，AD BC AB+=．则：（1）AE、BE分别平分DAB∠、ABC∠吗？为什么？（2）AE BE⊥吗？为什么？18．如图ABC==．=，AD DE BE=，BC CD∆中，点D在AC上，E在AB上，且AB AC（1）求证BCE DCE∠的度数．∆≅∆；（2）求EDC19．如图，BD、CE分别是ABC=，∆的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP AC 点Q在CE上，CQ AB=．求证：（1）AP AQ=；（2）AP AQ⊥．20．（1）如图1，ABC∆也是等边三角形．连∆为等边三角形，点P是BC上任意一点，APF接CF，求PCF∠的度数；（2）如图2，四边形ABCD为正方形，点P是BC上任意一点，四边形APFM也是正方形．连接CF，求PCF∠的度数；（3）如图3，五边形ABCDE为正五边形，点P是BC上任意一点，五边形APFMN也是正五边形．连接CF，直接写出PCF∠的度数；（4）对于正n边形ABCDEF⋯，在相同条件下，PCF∠的度数为（用含n的式子表示）．参考答案一．填空题（共1小题）1．如图，三角形ABC 中，BD 平分ABC ∠，AD 垂直于BD ，三角形BCD 的面积为45，三角形ADC 的面积为20，则三角形ABD 的面积等于25．解：延长AD 交BC 于E ，如图所示：BD 平分ABC ∠，AD 垂直于BD ，ABD EBD ∴∠=∠，90ADB EDB ∠=∠=︒，在ABD ∆和EBD ∆中，ABD EBD BD BD ADB EDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABD EBD ASA ∴∆≅∆，AD ED ∴=，ABD ∴∆的面积EBD =∆的面积，CDE ∆的面积ACD =∆的面积20=，ABD ∴∆的面积EBD =∆的面积BCD =∆的面积CDE -∆的面积452025=-=．故答案为：25．二．解答题（共19小题）2．如图所示．ABC ∆的高AD 与BE 相交于H ，且BH AC =．求证：BCH ABC ∠=∠．【解答】证明：ABC ∆ 的高AD 与BE 相交于H ，90ADB AEB ∴∠=∠=︒，90DBH DHB ∠=︒-∠，90HAE AHE ∠=︒-∠，DHB AHE ∠=∠ ，DBH HAE ∴∠=∠，BH AC = ，ADC BDH ∴∆≅∆，AD BD ∴=，CD HD =，45BCH ABD ∴∠=∠=︒．3．已知：如图，A ，F ，C ，D 四点在同一直线上，AF CD =，//AB DE ，且AB DE =．求证：CBF FEC ∠=∠．【解答】证明：AF CD = ，AF FC CD FC ∴+=+即AC DF =．//AB DE ，A D ∴∠=∠．AB DE = ，∴在ABC ∆和DEF ∆中AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．()ABC DEF SAS ∴∆≅∆．BC EF ∴=，ACB DFE ∠=∠．在BCF ∆和EFC ∆中BC EF ACB DFE FC FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCF EFC SAS ∴∆≅∆．CBF FEC ∴∠=∠．4．如图，B E ∠=∠，AB EF =，BD EC =，那么ABC ∆与FED ∆全等吗？为什么？解：ABC FED ∆≅∆，理由是：BD EC = ，BD CD CE CD ∴-=-，BC DE ∴=，在ABC ∆和FED ∆中，AB EF B E BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABC FED SAS ∴∆≅∆．5．如图，ABC ∆是等边三角形，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，CD AE =．求APB ∠的度数．解：CD AE = ，AC AB =，60ACD BAE ∠=∠=︒，()ADC BEA SAS ∴∆≅∆CAD ABE ∴∠=∠，6060120APB CAD AEB ABE EBC ACB ABC ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒．6．如图：在ABC ∆中，B ∠，C ∠相邻的外角的平分线交于点D ．求证：点D 在A ∠的平分线上．解：过D 作DE BC ⊥于E ，DF AB ⊥，交AB 延长线于F ，作DG AC ⊥，交AC 延长线于G ，BD 是CBF ∠的角平分线，DE BC ⊥，DF AB ⊥，DE DF ∴=，同理可得DE DG =，DF DG ∴=，又DF AB ⊥ ，DG AC ⊥，∴点D 在BAC ∠的角平分线上．7．已知ABC ∆中，::3:4:2A B C ∠∠∠=，AD 、BE 是角平分线．求证：AB BD AE BE +=+．【解答】证明：延长AB 到F ，使BF BD =，连DF ，F BDF ∴∠=∠，::3:4:2A B C ∠∠∠= ，80ABC ∴∠=︒，40ACB ∠=︒，40F ∴∠=︒，F ACB ∠=∠，AD 是平分线，BAD CAD ∴∠=∠，在ADF ∆和ADC ∆中，AD AD DAF DAC F C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，ADF ADC ∴∆≅∆，AF AC ∴=，BE 是角平分线，1402CBE ABC ∴∠=∠=︒EBD C ∴∠=∠，BE EC ∴=，BE AE EC AE AC AF AB BF AB BD ∴+=+===+=+．AB BD AE BE ∴+=+．8．如图所示，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，AE 平分BAC ∠交BC 于E ，交CD 于F ，//FG AB 交BC 于G ．试判断CE ，CF ，GB的数量关系，并说明理由．解：CE CF GB ==．理由如下：（1）90ACB ∠=︒ ，90BAC ABC ∴∠+∠=︒．CD AB ⊥ ，90ACD CAD ∴∠+∠=︒．ACD ABC ∴∠=∠．AE 平分BAC ∠，BAE CAE ∴∠=∠．CEF BAE ABC ∠=∠+∠ ，CFE CAE ACD ∠=∠+∠，CEF CFE ∴∠=∠．CE CF ∴=（等角对等边）．（2）如图，过E 作EH AB ⊥于H ，AE 平分BAC ∠，EH AB ⊥，EC AC ⊥，EH EC ∴=（角平分线上的点到角两边的距离相等）．EH CF ∴=．//FG AB ，CGF EBH ∴∠=∠．CD AB ⊥ ，EH AB ⊥，90CFG EHB ∴∠=∠=︒．在Rt CFG ∆和Rt EHB ∆中CGF EBHCFG EHB CF EH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，Rt CFG Rt EHB(AAS)∴∆≅∆．CG EB ∴=．CE GB ∴=．CE CF GB ∴==．9．如图，BN 是ABC ∠的平分线，P 在BN 上，D 、E 分别在AB 、BC 上，180BDP BEP ∠+∠=︒，且BDP ∠、BEP ∠都不是直角．求证：PD PE =．【解答】证明：过P 作PM AB ⊥于点M ，PN BC ⊥于N 点，由角平分线性质，得PM PN=180BDP BEP ∠+∠=︒ ，180BDP PDM ∠+∠=︒，PDM PEN ∴∠=∠，在Rt DPM ∆和Rt EPN ∆中90PMD PNE PDM PEN PM PN∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，Rt DPM Rt EPN(AAS)∴∆≅∆PD PE ∴=．10．如图，ABC ∆中，60B ∠=︒，BAC ∠，ACB ∠的平分线AD ，CE 交于点O ，说明AE CD AC +=的理由．【解答】证明：在AC 上取AF AE =，连接OF，则()AEO AFO SAS ∆≅∆，AOE AOF ∴∠=∠；AD 、CE 分别平分BAC ∠、ACB ∠，1(180)602ECA DAC B ∴∠+∠=︒-∠=︒，则180120AOC ECA DAC ∠=︒-∠-∠=︒；120AOC DOE ∴∠=∠=︒，60AOE COD AOF ∠=∠=∠=︒，（对顶角相等）则60COF ∠=︒，COD COF ∴∠=∠，又FCO DCO ∠=∠ ，CO CO =，()FOC DOC ASA ∴∆≅∆，DC FC ∴=，AC AF FC =+ ，AC AE CD ∴=+．11．如图，在ABC ∆中，BD CD =，AG 平分DAC ∠，BF AG ⊥，垂足为H ，与AD 交于E ，与AC 交于F ，过点C 的直线CM 交AD 的延长线于M ，且EBD MCD ∠=∠，AC AM =．求证：12DE CF =．【解答】证明：BED ∆ 和CMD ∆中EBD MCD BD DC EDB MDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BED CMD ∴∆≅∆，12ED MD EM ∴==，又AG 平分DAC ∠，DAG CAG ∴∠=∠，BF AG ⊥ ，90AHE AHF ∴∠=∠=︒，在AEH ∆和AFH ∆中EAH FAH AH AH AHE AHF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AEH AFH ∴∆≅∆，AE AF ∴=，又AC AM = ，AC AF AM AE ∴-=-，EM CF ∴=，12DE CF ∴=．12．如图，BE 、CF 是ABC ∆的高，它们相交于点O ，点P 在BE 上，Q 在CF 的延长线上且BP AC =，CQ AB =，（1）求证：ABP QCA ∆≅∆．（2）AP 和AQ的位置关系如何，请给予证明．【解答】证明：（1）BE 、CF 是ABC ∆的高，即90AEB ∠=︒，90AFC ∠=︒，90ABP BAE ∴∠+∠=︒，90ACQ BAE ∠+∠=︒，ABE ACQ ∴∠=∠，在ABP ∆与QCA ∆中，BP AC ABE ACQ CQ AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABP QCA ∴∆≅∆．（2）PA AQ ⊥．证明：由ABP QCA ∆≅∆得BAP Q ∠=∠，90Q BAQ ∠+∠=︒ ，90BAP BAQ ∴∠+∠=︒，即90PAQ ∠=︒，PA AQ ∴⊥．13．已知ABC ∆与△A B C '''中，AC A C =''，BC B C =''，110BAC B A C ∠=∠'''=︒（1）试证明ABC ∆≅△A B C '''．（2）若将条件改为AC A C =''，BC B C =''，70BAC B A C ∠=∠'''=︒，结论是否成立？为什么？【解答】证明：（1）如图1，作CD BA ⊥于D ，C D A B ''''⊥．110BAC B A C '''∠=∠=︒ ，70CAD C A D '''∴∠=∠=︒，ADC ∴∆≅△()A D C AAS '''，CD C D ''∴=．在Rt BDC ∆与Rt △B D C '''中，BC B C ''=，CD C D ''=．Rt BDC Rt ∴∆≅△()B D C HL '''，B B '∴∠=∠．∴在ABC ∆与△A B C '''中，BAC B A C B B BC B C '''∠=∠⎧⎪'∠=∠⎨⎪''=⎩ABC ∴∆≅△()A B C AAS '''．（2）若将条件改为AC A C ''=，BC B C ''=，70BAC B A C '''∠=∠=︒，结论不一定成立，如图2所示，ABC ∆与△A B C '''中AC A C ''=，BC B C ''=，70BAC B A C '''∠=∠=︒，但ABC ∆与△A B C '''显然不全等．14．在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交BC 于D ．（1）如图1，MDN ∠的两边分别与AB 、AC 相交于M 、N 两点，过D 作DF AC ⊥于F ，DM DN =，证明：2AM AN AF +=；（2）如图2，若90C ∠=︒，60BAC ∠=︒，9AC =，120MDN ∠=︒，//ND AB ，求四边形AMDN 的周长．【解答】证明：（1）过点D 作DG AB ⊥于G ，如图1，AD 平分BAC ∠，DF AC ⊥，DF DG ∴=，在Rt DFN ∆和Rt DGM ∆中，DF DG DN DM=⎧⎨=⎩Rt DFN Rt DGM(HL)∴∆≅∆，MG NF∴=又AG AF = ，2AM AN AG MG AN AF NF AN AF ∴+=++=++=；（2）过点D 作DE AB ⊥于E ，如图2，在四边形ACDE 中，360609090120EDC ∠=︒-︒-︒-︒=︒，120EDN MDE ∴∠+∠=︒，又120EDN NDC ∠+∠=︒，MDE NDC ∴∠=∠，AD 平分BAC ∠，DE DC ∴=，在MDE ∆和NDC ∆中，DEM DCN DE DC MDE NDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()MDE NDC ASA ∴∆≅∆，DM DN ∴=，//ND AB ，30NDC B ∴∠=∠=︒，60DNC ∠=︒，1801203030MDB ∴∠=︒-︒-︒=︒，MDB ∴∆为等腰三角形，MB MD ∴=，90ADM ∴∠=︒，2AM DM ∴=，在Rt ABC ∆中，30B ∠=︒，218AB AC ∴==，2123AM AB ==，163BM AB DM ===，同理：6AN DN DM ===，∴四边形AMDN 的周长为1266630+++=．15．如图，点D 是ABC ∆三条角平分线的交点，68ABC ∠=︒（1）求证：124ADC ∠=︒；（2）若AB BD AC +=，求ACB ∠的度数．解：（1）证明：68ABC ∠=︒ ，18068112BAC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，AD ，CD 是角平分线，1()562DAC ACD BAC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒，180()18056124ADC DAC ACD ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．（2）解：在AC 上截取AE AB =，连接DE，AC AB BD =+ ，EC BD ∴=，在ABD ∆和AED ∆中，AB AE DAC BAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD AED ∴∆≅∆，BD ED ∴=，DE EC ∴=，EDC ECD ∴∠=∠，1342ACB EDC ECD AED ABD ABC ∴∠=∠+∠=∠=∠=∠=︒．16．已知如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 、CE 是ABC ∆的角平分线，并且它们交于点O ，（1）求：AOC ∠的度数；（2）求证：AC AE CD =+．【解答】（1）解：60B ∠=︒ ，18060120BAC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，AD 、CE 是ABC ∆的角平分线，11()1206022OAC OCA BAC ACB ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，在AOC ∆中，180()18060120AOC OAC OCA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒；（2）证明：如图，在AC 上截取AF AE =，AD 是ABC ∆的角平分线，OAE OAF ∴∠=∠，在AOE ∆和AOF ∆中，AE AF OAE OAF AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOE AOF SAS ∴∆≅∆，AOF AOE ∴∠=∠，180********AOE AOC ∠=︒-∠=︒-︒=︒ ，60AOF ∴∠=︒，1206060COF AOC AOF ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ，60COD AOE ∠=∠=︒，COD COF ∴∠=∠，CE 是ABC ∆的平分线，OCD OCF ∴∠=∠，在COD ∆和COF ∆中，COD COF CO CO OCD OCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()COD COF ASA ∴∆≅∆，CF CD ∴=，AC AF CF =+ ，AC AE CD ∴=+．17．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，E 为CD 的中点，AD BC AB +=．则：（1）AE 、BE 分别平分DAB ∠、ABC ∠吗？为什么？（2）AE BE ⊥吗？为什么？【解答】（1）解：AE 、BE 分别平分DAB ∠、ABC ∠．理由：延长AE 、BC 交于点F ．//AD BF ，D ECF ∴∠=∠，在ADE ∆和FCE ∆中，D ECF DE EC AED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，ADE FCE ∴∆≅∆，AD CF ∴=，DAE F ∠=∠，AE EF =，AD BC AB += ，BC CF BC AD BF AB ∴+=+==，AB BF = ，AE EF =，BE ∴平分ABF ∠，BAF BFA DAE ∠=∠=∠，EA ∴平分DAB ∠．（2）结论：BE AE ⊥．证明：由（1）可知：BA BF =，AE EF =，BE AF ∴⊥（三线合一），即BE AE ⊥．18．如图ABC ∆中，点D 在AC 上，E 在AB 上，且AB AC =，BC CD =，AD DE BE ==．（1）求证BCE DCE ∆≅∆；（2）求EDC ∠的度数．【解答】（1）证明：在BCE ∆和DCE ∆中DE BE CE CE BC CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩()BCE DCE SSS ∴∆≅∆．（2）解：AD DE = ，A AED ∴∠=∠；2EDC A AED A ∴∠=∠+∠=∠，设A x ∠=，根据题意得，5180x =︒，解得36x =︒272EDC A ∴∠=∠=︒．19．如图，BD、CE分别是ABC∆的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP AC=，点Q在CE上，CQ AB=．求证：（1）AP AQ=；（2）AP AQ⊥．【解答】证明：（1）BD AC⊥，CE AB⊥（已知），90BEC BDC∴∠=∠=︒，90ABD BAC∴∠+∠=︒，90ACE BAC∠+∠=︒（直角三角形两个锐角互余），ABD ACE∴∠=∠（等角的余角相等），在ABP∆和QCA∆中，BP AC ABD ACE CQ AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABP QCA SAS∴∆≅∆，AP AQ∴=（全等三角形对应边相等）．（2）由（1）可得CAQ P∠=∠（全等三角形对应角相等），BD AC⊥（已知），即90P CAP∠+∠=︒（直角三角形两锐角互余），90CAQ CAP∴∠+∠=︒（等量代换），即90QAP∠=︒，AP AQ∴⊥（垂直定义）．20．（1）如图1，ABC∆为等边三角形，点P是BC上任意一点，APF∆也是等边三角形．连接CF，求PCF∠的度数；（2）如图2，四边形ABCD为正方形，点P是BC上任意一点，四边形APFM也是正方形．连接CF，求PCF∠的度数；（3）如图3，五边形ABCDE为正五边形，点P是BC上任意一点，五边形APFMN也是正五边形．连接CF，直接写出PCF∠的度数；（4）对于正n边形ABCDEF⋯，在相同条件下，PCF∠的度数为90(2)90nn︒⨯-︒+（用含n的式子表示）．解：（1）证明：ABC ∆ 和APF ∆都是等边三角形，AB AC ∴=，AP AF =，60BAC PAF ∠=∠=︒，BAC PAC PAF PAC ∴∠-∠=∠-∠，BAP CAQF ∴∠=∠，在ABP ∆和ACQ ∆中，AB AC BAP CAF AP AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABP ACF SAS ∴∆≅∆，60ACF B ∴∠=∠=︒，6060120PCF ∴∠=︒+︒=︒；（2）如图2，在AB 上取BQ BP =，连接QP ，45BQB ∠=︒，90BAP APB ∠+∠=︒ ，90CPF APB ∠+∠=︒，BAP CPF ∴∠=∠，四边形APFM 也是正方形，AP PF ∴=，四边形ABCD 为正方形，AB BC ∴=，AQ PC ∴=，在AQP ∆和PCF ∆中，AQ PC QAP CPF AP PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AQP PCF SAS ∴∆≅∆，45CFP CPF QAP QPA ∴∠+∠=∠+∠=︒，18045135PCF ∴∠=︒-︒=︒，（3）如图3，在AB 上取BQ BP =，连接QP，五边形ABCDE 为正五边形，108B ∴∠=︒，在AQP ∆和PCF ∆中，AQ PC QAP CPF AP PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AQP PCF SAS ∴∆≅∆，36CFP CPF QAP QPA ∴∠+∠=∠+∠=︒，18036144PCF ∴∠=︒-︒=︒，（4）同理可得()AQP PCF SAS ∆≅∆，(2)180[180]2n CFP CPF QAP QPA n -⋅︒∴∠+∠=∠+∠=︒-÷，(2)18090(2)180[180]290n n PCF n n -⋅︒︒⨯-∴∠=︒-︒-÷=︒+．故答案为：90(2)90n n ︒⨯-︒+．。

全等三角形竞赛题选讲

八上前两章竞赛题选讲姓名________ 得分________一、填空题1、如图，AB=2，BC=AE=6，CE=CF=7，BF=8，则四边形ABDE 与∆CDF 面积的比值为_______2、如图，在∆ABC 中，AD 为边BC 上的中线，若AB=5，AC=3，则AD 的取值范围为__________3、已知∆ABC 是等腰三角形，由顶点A 所引BC 边的高线恰等于BC 边长的一半，则∠BAC=_______4、如图，在∆ABC 中，AB=AC ，∠BAD=30 ，且AE=AD ，则∠CDE=________5、如图，在正∆ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、CA 上，使得CD=AE ，AD 与BE 交于点P ，BQ ⊥AD 于Q ，则PB QP=______6、如图，设正三角形ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是边BC 上的任意一点，则PA+PM 的最小值为________*7、如图，在四边形ABCD 中，∠ACB=∠BAD=105 ，∠ABC=∠ADC=45 ，若AB=2，则CD=______*8、如图，在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 是线段AD 上一点，且AE=21BC ，BE 的延长线交AC 于F. 若AF=EF ，则∠ADB 的度数为_________二、解答题9、如图，在∆ABC 中，∠ABC=60 ，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB求证：AC=AE+CD10、如图，在A B C ∆中，已知90A ∠=，AB=AC ，D 为AC 中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F 第1题第2题第4题第5题第6题第7题第8题第9题求证：A D B C D F∠=∠11、如图，在锐角∆ABC 的边上分别作等腰Rt ∆ABP 和等腰Rt ∆AQC ，其中∠APB 和∠AQC 都是直角，点M是BC 中点，连PM 、QM 、PQ求证：∆PMQ 为等腰直角三角形12、如图，∆ABC 中，∠B=60 ，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AE=BD ，连CE 、DE ，若CE=DE 求证：∆ABC 是等边三角形13、如图，在∆ABC 中，∠BAC=90 ，AB=AC ，BE 平分∠ABC ，与AC 交于D ，CE ⊥BE ，连AE 求∠AEB 的度数14、如图，已知∠BAD=∠DAC=9 ，AD ⊥AE ，且AB+AC=BE ，求∠B 的度数A B D E C。

三角形全等20个经典试题

三角形全等20个经典试题试题一：已知△ABC和△DEF，若∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，证明△ABC≌△DEF。

解答：由于∠A=∠D，∠B=∠E，且AB=DE，根据三角形全等的定义，可以得出△ABC≌△DEF。

证毕。

试题二：已知△ABC和△DEF，若AC=DF，∠A=∠D=90°，∠B=∠E，证明△ABC≌△DEF。

解答：由于∠A=∠D=90°，∠B=∠E，且AC=DF，根据三角形全等的定义，可以得出△ABC≌△DEF。

证毕。

试题三：已知△ABC和△DEF，若BC=EF，∠B=∠E=90°，∠C=∠F，证明△ABC≌△DEF。

解答：由于∠B=∠E=90°，∠C=∠F，且BC=EF，根据三角形全等的定义，可以得出△ABC≌△DEF。

证毕。

试题四：已知△ABC和△DEF，若AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E=90°，证明△ABC≌△DEF。

的定义，可以得出△ABC≌△DEF。

证毕。

试题五：已知△ABC和△DEF，若BC=EF，∠B=∠E，∠C=∠F=90°，证明△ABC≌△DEF。

解答：由于∠B=∠E，∠C=∠F=90°，且BC=EF，根据三角形全等的定义，可以得出△ABC≌△DEF。

证毕。

试题六：已知△ABC和△DEF，若AB=FD，∠A=∠D=90°，∠C=∠F，证明△ABC≌△DEF。

解答：由于∠A=∠D=90°，∠C=∠F，且AB=FD，根据三角形全等的定义，可以得出△ABC≌△DEF。

证毕。

试题七：已知△ABC和△DEF，若BC=EF，∠B=∠E=90°，∠C=∠F，证明△ABC≌△DEF。

解答：由于∠B=∠E=90°，∠C=∠F，且BC=EF，根据三角形全等的定义，可以得出△ABC≌△DEF。

证毕。

试题八：已知△ABC和△DEF，若AB=FD，∠A=∠D，∠B=∠E=90°，证明△ABC≌△DEF。

构造全等三角形解竞赛题

构造全等三角形解竞赛题
洪方日;朱立明
【期刊名称】《数学大世界：初三数学辅导版》
【年(卷),期】2004(000)009
【摘要】利用三角形全等证明线段相等、角相等是初中学生最熟悉、最基本的方法．而有些竞赛题的图形中，没有已知的三角形全等，而是要利用已知和图形所提供的信息，构造一个三角形与原有的某个三角形全等，或构造两个三角形全等，从而使原来不明显的线段(或角)关系凸现出来．现举例说明．
【总页数】2页(P34-35)
【作者】洪方日;朱立明
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
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专题05 用截长补短法构造全等三角形(解析版)

专题05 用截长补短法构造全等三角形参考与答案【例1】（2020秋•富县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC，求证：AB﹣AC ＞BD﹣CD．【答案】略【解答】证明：如图，在AB上截取AE＝AC，连接DE，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD＝∠EAD．【典例分析】【直击考点】在△ADC和△ADE中，∴△ADC≌△ADE（SAS）．∴DC＝DE．∵在△BDE中，BE＞BD﹣ED，∵AB﹣AE＝BE，∴AB﹣AC＞BD﹣CD．【变式1】（2020秋•顺庆区校级期中）如图：锐角△ABC中，∠C＝2∠B，AD是高，求证：AC+CD＝BD．【答案】略【解答】解：甲：截长法，如图1，在DB上截取DE＝DC，连AE，∵DE＝DC，AD⊥BC，∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠C，且∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠B，且∠AEC＝∠B+∠BAE，∴∠B＝∠BAE，∴AE＝BE＝AC，∴BD＝BE+DE＝AC+CD【变式2】如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，AB＝AC+CD．试判断∠B与∠C之间的关系．【答案】∠C＞∠B【解答】解：（1）在AB上截取AE＝AC，连接DE，如图1，在△ADE与△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠AED＝∠C，ED＝CD，∵AB＝AC+CD，∴AB＝AE+BE＝AC+CD＝AC+ED，∴BE＝ED，∴∠AED＝2∠B，∴∠AEC＝2∠B，∴∠C＞∠B；【例2】（2017秋•大兴区期末）已知：如图，在△ABC中，D是BA延长线上一点，AE 是∠DAC的平分线，P是AE上的一点（点P不与点A重合），连接PB，PC．通过观察，测量，猜想PB+PC与AB+AC之间的大小关系，并加以证明．【答案】PB+PC＞AB+AC．【解答】解：PB+PC＞AB+AC，理由如下：在BA的延长线上截取AF＝AC，连接PF，在△F AP和△CAP中，，∴△F AP≌△CAP（SAS），∴FP＝CP．在△FPB中，FP+BP＞F A+AB，即PB+PC＞AB+AC．【变式1】（2020秋•肥西县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠CAB．（1）如图1，若ACB＝90°，求证：AB＝AC+CD；（2）如图2，若AB＝AC+BD，求∠ACB的度数；（3）如图3，若∠ACB＝100°，求证：AB＝AD+CD．【答案】(1)略（2）∠ACB＝108°（3）略【解答】证明：（1）如图1中，作DH⊥AB于H．在△ADC与△ADH中，，∴△ADC≌△ADH（ASA），∴AC＝AH，DC＝DH，∵CA＝CB，∠C＝90°，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠HDB＝∠B＝45°，∴HD＝HB，∴BH＝CD，∴AB＝AH+BH＝AC+CD；（2）设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°﹣α，在AB上截取AK＝AC，连接DK，∵AB＝AC+BD，∴BK＝BD，∵AD是角平分线，∴在△CAD和△KAD中，，∴△CAD≌△KAD（SAS），∴∠ACD＝∠AKD＝α，∴∠BKD＝180°﹣α，∵BK＝BD，∴∠BDK＝180°﹣α，在△BDK中，180°﹣α+180°﹣α+90°﹣α＝180°，∴α＝108°，∴∠ACB＝108°；（3）如图2，在AB上截取AH＝AD，连接DH，∵∠ACB＝100°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，∵AD是角平分线，∴∠HAD＝∠CAD＝20°，∴∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，连接DK，由（1）得，△CAD≌△KAD，∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，∴∠DKH＝80°＝∠DHK，∴DK＝DH＝CD，∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝40°，∴DH＝BH，∴BH＝CD，∵AB＝AH+BH，∴AB＝AD+CD．【例3】16．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【答案】（1）AM+BN＝MN；（2）AM+BN＝MN；（3）BN﹣AM＝MN【解答】（1）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠EBD＝90°，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，∵∠MDN＝∠ADC＝60°，∴∠ADM＝∠NDC，∴∠BDE＝∠NDC，∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（2）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠DBE＝90°，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠MDN＝∠BDC，∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE，∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，∵∠CDM＝∠NDB∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（3）BN﹣AM＝MN，证明：在CB截取BE＝AM，连接DE，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠ADN＝∠ADN，∴∠MDA＝∠CDN，∵∠B＝∠CAD＝90°，∴∠B＝∠DAM＝90°，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE，∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，∴∠MDN＝∠EDN，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM，∴BN﹣AM＝MN．【变式1】（2012•昌平区模拟）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD；（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【答案】（1）EF＝BE+FD；（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立（3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG＝AF，∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．又∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．（3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD【变式2】（2021春•北碚区校级期末）如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA＝ED．（1）如图1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求证：EC平分∠BCD；（2）如图2，∠A与∠D互补，∠DEA＝2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CD＝AB＝4．求点E到BC的距离．【答案】（1）略（2）点E到BC的距离为3【解答】（1）证明：延长CD到T，使得DT＝BA，连接ET．∵∠CDE＝120°，∴∠EDT＝180°﹣120°＝60°，∵∠A＝60°，∴∠A＝∠EDT，在△EAB和△EDT中，，∴△EAB≌△EDT（SAS），∴EB＝ET，∴CB＝CD+BA＝CD+DT＝CT，在△ECB和△ECT中，，∴△ECB≌△ECT（SSS），∴∠ECB＝∠ECD．（2）解：延长CD到Q，使得∠QED＝∠AEB，过点E作EH⊥BC于H．∵∠A+∠CDE＝180°，∠CDE+∠EDQ＝180°，∴∠A＝∠EDQ，在△AEB和△DEQ中，，∴△AEB≌△DEQ（ASA），∴EB＝EQ，∵∠AED＝2∠BEC，∴∠AEB+∠CED＝∠BEC，∴∠CED+∠DEQ＝∠BEC，∴∠CEB＝∠CEQ，在△CEB和△CEQ中，，∴△ECB≌△ECQ（SAS），∵S五边形ABCDE＝S四边形EBCQ＝2S△EBC＝30，∴S△EBC＝15，∵CD＝AB＝4，∴AB＝6，CD＝4，∴BC＝CD+QD＝CD+AB＝10，∴×10×EH＝15，∴EH＝3，∴点E到BC的距离为3．【例4】（2019秋•西岗区期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题．（1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题；（2）如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．【答案】（1）略（2）BE＝DC+CE【解答】（1）证明：方法一：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△BAD和△EAD中∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，∵∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴BD＝EC，∴AC＝AB+BD；（2）DC、CE、BE之间的数量关系是BE＝DC+CE，证明：在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴2∠DAE＝180°﹣∠AED，∵∠DAE+∠B＝90°，∴2∠DAE+2∠B＝180°，∴∠AED＝2∠B＝∠C，∵∠BED＝∠CDE+∠DAE，∴∠AEB＝∠CDE，在△AEF和△EDC中∴△AEF≌△EDC（SAS），∴EC＝AF∠AFE＝∠C＝2∠B，∵∠AFE＝∠B+∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF，∴BF＝AF，∴BF＝CE，∴BE＝DC+CE．【变式1】（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠C．求证：AB+BD＝AC．”李老师给出了如下简要分析：要证AB+BD＝AC，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC上截取AE＝AB，连接DE，只要证BD＝即可，这就将证明线段和差问题为证明线段相等问题，只要证出△≌△，得出∠B＝∠AED及BD＝，再证出∠＝，进而得出ED＝EC，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD平分∠BAC，将△ABD沿直线AD 对折，使点B落在AC边上的点E处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB至点F，使BF＝BD．只要证AF＝AC即可，此时先证∠＝∠C，再证出△≌△，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【答案】（1）EC，转化，ABD，AED，DE，EDC，∠C（2）F，AFD，ACD【解答】解：方法一、在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图2：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∵∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴AB+BD＝AE+CE＝AC，故答案为：EC，转化，ABD，AED，DE，EDC，∠C；方法二、如图3，延长AB至点F，使BF＝BD，∴∠F＝∠BDF，∴∠ABD＝∠F+∠BDF＝2∠F，∵∠ABD＝2∠C，∴∠F＝∠C，在△AFD和△ACD中，，∴△AFD≌△ACD（AAS），∴AC＝AF，∴AC＝AB+BF＝AB+BD，故答案为F，AFD，ACD．【跟踪训练】1．已知，如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，求证：AD+BC＝AB．【答案】略【解答】证法一：在AB上截取AF＝AD，连接EF，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠F AE，由AF＝AD，∠DAE＝∠F AE，AE＝AE，可得△ADE≌△AFE（SAS），∴∠DEA＝∠FEA，∵AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，∴∠EAB+∠EBA＝（∠DAB+∠CBA）＝×180°＝90°，∠CBE＝∠FBE，∴∠AEB＝90°，∴∠AED+∠BEC＝90°，∠AEF+∠BFE＝90°，∴∠BEC＝∠BEF，由∠BEC＝∠BEF，BE＝BE，∠CBE＝∠FBE，可得△BFE≌△BCE，∴BF＝BC，∴AB＝AF+BF＝AD+BC；2.（2020秋•綦江区期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F，连接DE．（1）若AC＝BC＝7，求DE的长；（2）求证：BE+CD＝BC．【答案】（1）DE＝（2）略【解答】解：（1）∵AC＝BC，∠A＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB，又∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴D、E分别是AC、AB的中点，∴AD＝AC，AE＝AB，∴AD＝AE，∴△ADE为等边三角形，∴DE＝AE＝；（2）证明：在BC上截取BH＝BE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵BF＝BF∴△EBF≌△HBF（SAS），∴∠EFB＝∠HFB＝60°．∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABD＝∠CBD，∠ACE＝∠BCE，∴∠CBD+∠BCE＝60°，∴∠BFE＝60°，∴∠CFB＝120°，∴∠CFH＝60°，∴∠CFH＝∠CFD＝60°，∵CF＝CF，∴△CDF≌△CHF（ASA）．∴CD＝CH，∵CH+BH＝BC，∴BE+CD＝BC．3．（2019秋•四川期中）我们知道，利用三角形全等可以证明两条线段相等．但是我们会碰到这样的“和差”问题：“如图①，AD为△ABC的高，∠ABC＝2∠C，证明：CD＝AB+BD”．我们可以用“截长、补短”的方法将这类问题转化为证明两条线段相等的问题：在CD上截取DE＝BD，连接AE．（1）请补写完这个证明：（2）运用上述方法证明：如图②，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C，证明：BD＝AC﹣AB．【答案】（1）略（2）略【解答】（1）证明：在CD上截取DE＝BD，连接AE，∵AD⊥BC，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∵∠B＝2∠C，∠AEB＝∠C+∠EAC，∴∠C＝∠EAC，∴EC＝AE＝AB，∴CD＝CE+DE＝AB+BD．（2）证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，在△BAD和△EAD中∴△BAD≌△EAD，∴DE＝BD，∠B＝∠AED，∵∠B＝2∠C，∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝EC＝DB，∵AC﹣AE＝EC，EC＝BD，AE＝AB，∴BD＝AC﹣AB．4．（2020春•南岸区期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．【答案】（1）略（2）EF＝FC+BE【解答】解：（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，∴∠DBE＝∠DCF＝90°，在△BDE和△CDF中，∵∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴DE＝DF；（2）EF＝FC+BE，理由：过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（ASA），∴DE＝DG，BE＝CG．∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠BDE+∠CDF＝60°．∴∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝60°，∴∠EDF＝∠GDF．在△EDF和△GDF中，，∴△EDF≌△GDF（SAS）．∴EF＝GF，∴EF＝FC+CG＝FC+BE．5．（2020秋•增城区期末）如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，4），A（4，4），过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点（1）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE．（2）如图（2），且∠ECF＝45°，S△ECF＝6，求S△BEF的值．【答案】（1）略（2）∴S的值为4△BEF【解答】解：（1）证明：∵AB⊥x轴，AC⊥y轴∴∠ABO＝∠ACO＝90°∵∠BOC＝90°∴∠A＝360°﹣∠ABO﹣∠ACO﹣∠BOC＝90°∴∠A＝∠BOC∵C（0，4），A（4，4）∴OC＝AC＝AB＝4∵OF+BE＝AB，AB＝AE+BE∴OF＝AE在△COF和△CAE中∴△COF≌△CAE（SAS）∴CF＝CE．（2）将△ACE绕点C顺时针旋转90°，则FG＝AE+OF，CG＝CE，∠ACE＝∠GCO∵∠ECF＝45°，∴∠ACE+∠FCO＝∠ACO﹣∠ECF＝90°﹣45°＝45°∴∠GCF＝∠GCO+∠FCO＝∠ACE+∠FCO＝45°∴∠GCF＝∠ECF在△GCF和△ECF中∴△GCF≌△ECF（SAS）∵S△ECF＝6∴S△GCF＝6∴S△ECA+S△OCF＝6∵由（1）知四边形OBAC为边长为4的正方形∴S四边形OBAC＝4×4＝16∴S△BEF＝S四边形OBAC﹣S△ECF﹣S△ECA﹣S△OCF＝16﹣6﹣6＝4 ∴S△BEF的值为4．。

构造全等三角形证明竞赛题

构造全等三角形证明竞赛题江西安义人全等三角形是能够完全重合的两个三角形，它们的对应边相等，对应角相等。

对于某些竞赛题，考虑构造全等三角形并利用这两个相等，可使其解答巧妙、迅捷。

一、与线段相等有关的竞赛题例１（成都市初二数学竞赛题）如图１，△ABC 的两条高BD 、CE 相交于点P ，且PD ＝PE 。

求证：AC ＝AB 。

简证：连AP 。

因为∠PDA ＝∠PEA ＝90°，PD ＝PE ，PA ＝PA ，所以Rt △PDA ≌Rt △PEA （HL ）。

所以AD ＝AE 。

因为∠１＝90°－∠CAB ＝∠２，所以Rt △ACE ≌Rt △ABD （AAS ）。

所以AC ＝AB 。

BB AA FE图１图２例２（天津市初二数学竞赛题）如图２，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠A 的平分线AD 交BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AD 于点E 。

求证：BE ＝12AD 。

简证：延长BE 、AC 交于点F 。

因为∠１＝∠２，AE ＝AE ，∠AEB ＝∠AEF ＝90°，所以△AEB ≌△AEF （ASA ）。

所以BE ＝FE ＝12BF 。

因为∠３＝90°－∠F ＝∠２，BC ＝AC, 所以Rt △BCF ≌Rt △ACD （ASA ）。

所以BF ＝AD ，BE ＝12AD 。

二、与角相等有关的竞赛题例３（赣州市初三数学竞赛题）如图３，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BD 是中线，CE ⊥BD 于点E ，交AB 于点F 。

求证：∠ADF ＝∠CDE 。

简证：过点A 作AG ⊥AC 交CF 的延长线于点G 。

因为∠１＝90°－∠３＝∠２，AC ＝BC ，所以Rt △CAG ≌Rt △BCD （ASA ）。

所以AG ＝CD ＝AD ，∠G ＝∠CDE 。

因为∠４＝45°＝∠５，AF ＝AF,所以△ADF ≌△AGF （SAS ）。