24.1.3_弧、弦、圆心角_同步测控优化训练(含答案)

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24.1.3弧、弦、圆心角限时练

磁县朝阳学校初三数学限时测试卷命题人：颜廷光供题人：赵国华张朝树付爱芳颜廷光赵振明初三数学限时测试卷第 1页初三数学限时测试卷第 2页B O 24.1.3弧、弦、圆心角质限时练班级姓名小组 1、如果两个圆心角相等，那么（）A ．这两个圆心角所对的弦相等;B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D ．以上说法都不对 2、在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（） A ．AB ︵=2CD ︵B ．AB ︵>CD ︵C ．AB ︵AB <2CD ︵D ．不能确定 3、如图1，⊙O 中，如果AB ︵=2CD ︵，那么（）．A ．AB=2ACB ．AB=AC C ．AB<2ACD ．AB>2AC(1) (2)4、交通工具上的轮子都是做成圆的，这是运用了圆的性质中的_________．5、一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．6、如图2，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．7.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________.8.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________. 9.如图24-1-3-2，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.(1)求证：AC=DB ；(2)如果AB=6 cm ，CD=4 cm ，求圆环的面积.10、如图，∠AOB=90°，C 、D 是AB 三等分点，AB 分别交OC 、 OD 于点E 、F ，求证：AE=BF=CD ．11.如图24-1-3-9，已知在⊙O 中，AD 是⊙O 的直径，BC 是弦，AD ⊥BC ，E 为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论)12.如图24-1-3-10，AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上一点，AB=10 cm ，OP=5 cm ，PA=4 cm ，求⊙O 的半径.13.⊙O 的直径为50 cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40 cm ，CD=48 cm ，求弦AB和CD之间的 14.距离.。

(人教版数学)初中9年级上册-同步练习-24.1.3 弧、弦、圆心角-九年级数学人教版(上)(解析版

第二十四章圆24.1.3弧、弦、圆心角一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，已知AB是O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°，那么∠AOE=A．40°B．60°C．80°D．120°【答案】B2．将一个圆分割成四个大小相同的扇形，则每个扇形的圆心角是（）度．A．45 B．60C．90 D．120【答案】C【解析】∵圆心处构成一个周角,∴圆心角为360°,∵将圆分割成四个大小相同的扇形,∴每个扇形的圆心角是90°,故选C.【名师点睛】本题考查了扇形和圆心角的定义，解题的关键是掌握一个圆的圆心角为360°.3．已知AB与A′B′分别是O与O′的两条弦,AB=A′B′,那么∠AOB与∠A′O′B′的大小关系是A．∠AOB=∠A′O′B′ B．∠AOB>∠A′O′B′C．∠AOB<∠A′O′B′ D．不能确定【答案】D【解析】由弦相等推弦所对的圆心角相等,必须保证在同圆或等圆中.此题没有限制,所以不能确定∠AOB 和∠A′O′B′的大小关系.4．下列图形中表示的角是圆心角的是A ．AB ．BC ．CD ．D【答案】A【解析】根据圆心角的定义:顶点在圆心的角是圆心角可知,B,C,D 项图形中的顶点都不在圆心上,所以它们都不是圆心角.故选A. 5．如果两个圆心角相等，那么 A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对【答案】D6．在同圆中，下列四个命题:(1)圆心角是顶点在圆心的角；(2)两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；(3)两条弦相等，它们所对的弧也相等；(4)等弧所对的圆心角相等.其中真命题有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】圆心角是顶点在圆心的角，所以①正确，为真命题；在同圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦也相等，所以②正确，为真命题；在同圆中，两条弦相等，所对的劣弧也相等，所以③错误，为假命题；等弧所对的圆心角相等，所以④正确，为真命题．故选B ．7．如图，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有 ①AB CD =；②BD AC =；③AC ＝BD ；④∠BOD ＝∠AO C ．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是弧BC的中点，则∠ACD= ________．【答案】125°【解析】连接OD，∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，∴∠BOC=140°，∠ACO=（180°-40°）÷2=70°，∵D是弧BC的中点，∴∠COD=70°，∴∠OCD=（180°-70°）÷2=55°，∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，故答案为125°．9．在半径为R的⊙O中，有一条弦等于半径，则弦所对的圆心角为 ________．【答案】60°【解析】如图，AB=OA=OB，所以△ABC为等边三角形，所以∠AOB=60°．故答案为60°．10．弦AB将⊙O分成度数之比为1：5的两段弧，则∠AOB= _________°.【答案】60三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．如图,AB,CD,EF都是O的直径,且∠1=∠2=∠3,求证:AC=EB=DF.【解析】在O中,∵∠1=∠2=∠3,又∵AB,CD,EF都是O的直径,∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴DF=AC=EB,∴AC=EB=DF.。

2020年人教版九年级数学上册24.1.3《弧、弦、圆心角》同步练习学生版

别交 BC，CD 于点 E，M，下列结论：①DM=CM；② AE=AD．其中正确的结论有（填序号）．
；③⊙O 的直径为 2；④
23．如图，在⊙O 中，AB=DC，∠AOB=50°，则∠COD= ．
24．如图，已知 AB、CD 是⊙O 中的两条直径，且∠AOC=50°，过点 A 作 AE∥CD 交⊙O 于点 E，则的度数为．
B．BE=CD
C．AC=BD
D．BE=AD
12．如图，圆心角∠AOB=25°，将 AB 旋转 n°得到 CD，则∠COD 等于（）
A．25°
B．25°+n°
C．50°
D．50°+n°
13．如图，⊙O 的半径为 1，动点 P 从点 A 处沿圆周以每秒 45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第 1 秒点 P 位于如图所示的位置，第 2 秒中 P 点位于点 C 的位置，……，则第 2018 秒点 P 所在位置的坐标为（）
下列结论：①OE=OF；②AC=CD=DB；③CD∥AB；④ = ，其中正确的有（）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
二．填空题
16．如图，AB，CD 是⊙O 的直径，弦 CE∥AB，弧 CE 的度数为 40°，∠AOC 的度
数．
17．⊙O 的半径为 5，弦 AB 与弦 CD 相等，且 AB⊥CD 于 H，若 OH=3 ，则线段 BH 长为． 18．如图，C 为弧 AB 的中点，CN⊥OB 于 N，CD⊥OA 于 M，CD=4cm，则 CN= cm．
A．40°
B．45°
C．55°
D．80°
4．如图，BC 为半圆 O 的直径，A、D 为半圆上的两点，若 A 为半圆弧 ADC=（）

新人教数学 9年级上：同步测控优化训练(24.1.3 弧、弦、圆心角)

24.1.3 弧、弦、圆心角5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.以下说法中 ,正确的选项是( )思路解析：根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等 ,圆心角相等 ,所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件 ,所以也不对；弦相等所对的圆心角相等缺少等圆或同圆的条件 ,弦所对的弧也不一定是同弧 ,所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的. 答案：B24-1-3 -1 ,同心圆中 ,大圆的弦AB 交小圆于C 、D ,AB =4 ,CD =2 ,AB 的弦心距等于1 ,那么两个同心圆的半径之比为( )图24-1-3 -1∶2 B.5∶2 C.5∶2∶4 思路解析：作OE ⊥CD 于E ,那么CE =DE =1 ,AE =BE =2 ,OE =1. 在Rt △ODE 中 ,OD =2211+ =2.在Rt △OEB 中 ,OB =22OE BE + =14+ =5.∴OB ∶OD =5∶2.答案：C⊙O 中 ,弦AB =2R ,弦CD =R ,假设两弦的弦心距分别为OE 、OF ,那么OE ∶OF 等于( ) ∶∶2 C.2∶ 思路解析：∵AB 为直径 ,∴OE =0. ∴OE ∶OF =0. 答案：D10分钟训练(强化类训练,可用于课中)∶3两局部 ,那么弦所对的圆心角为_____________. 思路解析：41×360° =90° ,∴弦所对的圆心角为90°. 答案：90°2.弦心距是弦的一半时 ,弦与直径的比是____________ ,弦所对的圆心角是____________. 思路解析：如图 ,OD ⊥AB ,OD =DB =AD. 设OD =x ,那么AD =DB =x.在Rt △ODB 中 ,∵OD =DB ,OD ⊥AB,∴∠DOB =45°.∴∠AOB =2∠DOB =90° , OB =22222=+++x x DB OD x. ∴AB ∶BC =1∶2 =2∶2.∴弦与直径的比为2∶2 ,弦所对的圆心角为90°.答案：2∶2 90°24-1-3 -2 ,以点O 为公共圆心的两个同心圆 ,大圆的弦AB 交小圆于C 、D.图24-1-3 -2(1)求证：AC =DB ；(2)如果AB =6 cm ,CD =4 cm ,求圆环的面积. 思路分析：求圆环的面积不用求出OA 、OC ,应用等量代换的方法.事实上 ,OA 、OC 的长也求不出来.(1 )证明：作OE ⊥AB 于E ,∴EA =EB ,EC =ED.∴EA －EC =EB －ED ,即AC =BD. (2 )解：连结OA 、OC.∵AB =6 cm ,CD =4 cm ,∴AE =21AB =3 cm.CE =21CD =2 cm. ∴S 环 =π·OA 2－π·OC 2=π (OA 2－OC 2) =π［ (AE 2＋OE 2)－ (CE 2＋OE 2)］=π (AE 2－CE 2 ) =π (32－22 ) =5π ( cm 2).4.(经典回放)如图24-1-3 -3所示 ,AB 是⊙O 的弦(非直径) ,C 、D 是AB 上的两点 ,并且AC =BD.求证：OC =OD.图24-1-3 -3思路分析：根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1) ,分别连结OA 、OB.∵OA =OB ,∴∠A =∠B. 又∵AC =BD ,∴△AOC ≌△BOD.∴OC =OD.(1) (2) 证法二：如图(2) ,过点O 作OE ⊥AB 于E , ∴AE =BE.∵AC =BD ,∴CE =DE.∴OC =OD.24-1-3 -4 ,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ,AE =6 cm ,EB =2 cm ,∠CEA =30° ,求CD 的长.图24-1-3 -4思路分析：如何利用∠CEA =30°是解题的关键 ,假设作弦心距OF ,构造直角三角形 ,问题就容易解决.解：过O 作OF ⊥CD 于F ,连结CO. ∵AE =6 cm ,EB =2 cm ,∴AB =8 cm.∴OA =21AB =4 (cm ) ,OE =AE －AO =2 (cm ). 在Rt △OEF 中 , ∵∠CEA =30° ,∴OF =21OE =1 (cm ). 在Rt △CFO 中 ,OF =1 cm ,OC =OA =4(cm) ,∴CF =22OF OC =15(cm). 又∵OF ⊥CD , ∴DF =CF.∴CD =2CF =215 ( cm ).24-1-3 -5 ,AB 是⊙O 的直径 ,CD 是弦 ,AE ⊥CD ,垂足为E ,BF ⊥CD ,垂足为F ,我们知道EC 和DF 相等.假设直线EF 平移到与直径AB 相交于P(P 不与A 、B 重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF ∥AB 时,情况又怎样?图24-1-3 -5适当添加辅助线.解：当EF 交AB 于P 时,过O 作OM ⊥CD 于M,那么CM =DM.通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM =MF,∴EC =DF. 当EF ∥AB 时,同理作OM ⊥CD 于M,可证四边形AEFB 为矩形. 所以EF =AB.且EM =MF,又由垂径定理有CM =MD,∴EC =DF. 快乐时光数到100再说某冬日,上课了,伊万老师靠教室壁炉站着,对学生们说: "说话前要多考虑,至|少要数到50下才说,重要的话要数到100下.〞学生们争先恐后地数起来,最|后不约而同地爆发出: "99、100,老师的衣服着火了!〞30分钟训练(稳固类训练,可用于课后)24-1-3 -6所示 ,AB 、CD 是⊙O 的两条直径 ,弦BE =BD ,那么弧AC 与弧BE 是否相等 ?为什么 ?图24-1-3 -6思路分析：欲求两弧相等 ,结合图形 ,可考虑运用 "圆心角、弧、弦、弦心距〞四量之间的 "等对等〞关系 ,可先求弧AC 与弧BE 所对的弦相等 ,也可利用 "等量代换〞的思想 ,先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等.解：弧AC =弧BE.原因如下：法一：连结AC ,∵AB、CD是直径,∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.又∵BE＝BD ,∴AC＝BE.∴弧AC =弧BE.法二：∵AB、CD是直径,∴∠AOC＝∠BOD.∴弧AC =弧BD.∵BE＝BD ,∴弧BE =弧BD.∴弧AC =弧BE.24-1-3 -7所示,AB是⊙O的弦,C、D为弦AB上两点,且OC =OD ,延长OC、OD ,分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE =弧BF.图24-1-3 -7思路分析：欲求弧相等,结合图形,可先求弧所对的圆心角相等,即求∠AOE＝∠BOF.证明：∵OC＝OD ,∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB ,∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B ,即∠AOC＝∠BOD ,即∠AOE＝∠BOF.∴弧AE =弧BF.24-1-3 -8 ,AB、CD、EF都是⊙O的直径,且∠1 =∠2 =∠3 ,弦AC、EB、DF是否相等?为什么?图24-1-3 -8思路分析：应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.解：在⊙O中,∵∠1 =∠2 =∠3 ,又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径,∴∠FOD =∠AOC =∠BOE.∴弧DF =弧AC =弧BE.∴AC =EB =DF.4.为美化校园,学校准备在一块圆形空地上建花坛,现征集设计方案,要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限) ,并且使整个图案成对称图形,请你画出你的设计方案图(至|少两种).思路解析：设计的根本思路是等分圆心角,或等分圆周,取得轴(或中|心)对称的对应点,适当画圆或连线,设计出一些适合要求的图案.答案：根据题意画出如下方案供选用,如图,此题答案不唯一,只要符合条件即可.24-1-3 -9 ,在⊙O中,AD是⊙O的直径,BC是弦,AD⊥BC ,E为垂足,由这些条件你能推出哪些结论?(要求：不添加辅助线,不添加字母,不写推理过程,只写出6条以上的结论)图24-1-3 -9思路解析：因AD⊥模拟题,是一个开放性试题,开放到可以不写步骤,但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广,因为写出六个结论考生需要证明六个题.此题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.答案：(1 )BE =CE；(2 )弧BD =弧CD；(3 )弧AB =弧AC；(4 )AB =AC；(5 )BD =DC；(6 )∠ABC =∠ACB；(7 )∠DBC =∠DCB；(8 )∠ABD =∠ACD；(9 )AD是BC的中垂线；(10 )△ABD≌△ACD；(11 )O为△ABC的外心等等.24-1-3 -10 ,AB为⊙O的弦,P是AB上一点,AB =10 cm ,OP =5 cm ,PA =4 cm ,求⊙O的半径.图24-1-3 -10思路分析：圆中的有关计算,大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形,再利用勾股定理来解决.解：过O作OC⊥AB于C ,连结OA ,那么AB =2AC =2BC.在Rt△OCA和△OCP中,OC2 =OA2－AC2 ,OC2 =OP2－CP2 ,∴OA2－AC2 =OP2－CP2.∵AB =10 ,PA =4 ,AB =2AC =2BC ,∴CP =AB－PA－BC =1 ,AC =5.∴OA2－52 =52－1.∴OA =7 ,即⊙O的半径为7 cm.7.⊙O 的直径为50 cm ,弦AB ∥CD ,且AB =40 cm ,CD =48 cm ,求弦AB 和CD 之间的距离. 思路分析： (1 )图形的位置关系是几何的一个重要方面 ,应逐步加强位置感的培养. (2 )此题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)解： (1 )当弦AB 和CD 在圆心同侧时 ,如图(1),作OG ⊥AB 于G ,交CD 于E ,连结OB 、OD. ∵AB ∥CD ,OG ⊥AB ,∴OE ⊥CD.∴EG 即为AB 、CD 之间的距离 ∵OE ⊥CD ,OG ⊥AB ,∴BG =21AB =21×40 =20 (cm ) , DE =21CD =21×48 =24 (cm ).在Rt △DEO 中 ,OE =22DE OD - =222425- =7 (cm ). 在Rt △BGO 中 ,OG =22BG OB - =222025- =15 (cm ). ∴EG =OG －OE =15－7 =8 (cm ).(2)(2 )当AB 、CD 在圆心两侧时 ,如图(2) ,同理可以求出OG =15 cm ,OE =7 cm ,∴GE =OG ＋OE =15＋7 =22 (cm ).综上所述 ,弦AB 和CD 间的距离为22 cm 或7 cm.。

九年级上《24.1.3弧、弦、圆心角》同步练习含答案

24.1.3 弧、弦、圆心角同步练习一、选择题1.下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等2.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )图24-1-3-1A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶43.半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF 等于( )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0二、填空题1．如图2,已知O 中,AB BC =,且:3:4AB AMC =,则AOC ∠=______.2．（2008襄樊市）如图3，⊙O 中OA ⊥BC ，∠CDA=25°，则∠AOB 的度数为．3．如图，已知AB,CD 是⊙O 的直径，CE 是弦，且AB ∥CE,∠C=035，则BE 的度数为三、解答题（本题共2小题，每题10分，共20分）4．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半径OA 、OB 的中点且OA ⊥CE 、OB ⊥DE ，求证⌒AE =⌒EF =⌒FB5．如图，在⊙o 中，AB BC CD ==，OB ，ＯＣ分别交ＡＣ，ＢＤ于Ｅ、Ｆ，求证OE OF =9．如图所示，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，作AD ，BC 于E ，F ，•延长BA交⊙O 于G ，求证：GE EF =．参考答案一、选择题1．B 2．C 3. D .二、填空题4．1445.506．035三、解答题（本题共2小题，每题10分，共20分）7．证明：如图，连接OE 、OF ，∵D 是半径、OB 的中点OB ⊥DF ，∴OD=12OF,∴∠OFD=030,即∠FOD=060，同理∠EOA=060,∴∠FOD=∠EOA=∠EOF,∴⌒AE =⌒EF =⌒FB8．证明：如图，∵AB BC CD ==，∴AC BD =,∴AC BD =,∵B,C 是,AC BD ， ∴1,,2BF CE AC OB AC OC BD ==⊥⊥, ∴Rt OBF Rt OCE ≅,∴OE OF =9．证明：连接AF ，则AB=AF ，所以∠ABF=∠AFB ．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，所以∠DAF=∠AFB ，∠GAE=∠ABF ，所以∠GAE=∠EAF ，所以GE EF =．。

人教版九年级数学上典中点课后作业24.1.3弧、弦、圆心角(A)(含答案)

24.1.3 弧、弦、圆心角课后作业：方案（A）一、教材题目：P89-P90 T3、T4、T13,∠C=75°.求∠A的度数.1．如图，⊙O中，AB AC与的长度，并证明你的结论.2．如图，AD=BC,比较AB CD3.如图，A,B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是的中点.求证：四边形OACB 是菱形.二、补充题目：部分题目来源于《典中点》4．如图所示，点A，B，C，D均在⊙O上，且∠AOB＝∠COD，连接AC，BD，有下列结论：①AB ＝CD ；②∠AOC ＝∠BOD ；③AC ︵＝BC ︵；④△AOC ≌△BOD .其中正确的结论是________(写序号即可)．5. 如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，若点P 是直径AB 上的一动点，则PD ＋PC 的最小值为________．6．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵，∠COD ＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD .7．如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交AD ，BC 于点E ， F ，延长BA 交⊙A 于点G . (1)求证：GE ︵＝EF ︵；(2)若BF ︵的度数为50°，求∠C 的度数．8．(1)如图，在⊙O 中，∠AOB ＝90°，且C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 分别交 OC ，OD 于点E ，F .求证：AE ＝BF ＝CD .[第16(1)题](2)在(1)题中，如果∠AOB ＝120°，其他条件不变，如图所示，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由．[第16(2)题]答案一、教材1．解：AB ︵＝AC ︵⇒AB ＝AC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫∠B ＝∠C ∠C ＝75°⇒∠A ＝180°－2×75°＝30°.点拨：等弧所对的弦相等，所对的圆周角也相等．2．解：AB ︵＝CD ︵.证明：AD ＝BC ⇒AD ︵＝BC ︵⇒AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵⇒CD ︵＝AB ︵.点拨：在⊙O 中，由AD ＝BC ，得AD ︵＝BC ︵，进而可知AB ︵＝CD ︵. 3．证明：连接OC .⎭⎪⎬⎪⎫∠AOB ＝120°C 为AB ︵的中点⇒⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧∠AOC ＝60°∠BOC ＝60°OA ＝OC ＝OB ⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫OA ＝OC ＝AC OB ＝OC ＝BC ⇒AO ＝OB ＝BC ＝AC ⇒四边形OACB 是菱形．点拨：四条边都相等的四边形是菱形．二、典中点4. ①②④ 点拨：由∠AOB ＝∠COD 可得 ∠AOC ＝∠BOD ，而OA ＝OC ＝OB ＝OD ，故可得①②④均正确，与弧AC 一定相等的是弧BD ，故③错误． 5．10 点拨：作点C 关于AB 的对称点C ′，连接OC ，OD ，OC ′，BC ′，∵ BC ＝CD ＝DA ，∴∠AOD ＝∠COD ＝∠BOC ＝60°.∵C 与C ′关于AB 对称，∴BC ′＝BC .∴∠BOC ′＝60°.∴D ，O ，C ′在同一条直线上．∴ DC ′＝AB ＝10，即PD ＋PC 的最小值为10，此时P 与O 重合． 6．(1)解：△AOC 是等边三角形．理由如下：∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°. 又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形． (2)证明：∵∠BOD ＝180°－∠AOC －∠COD ，∴∠BOD ＝180°－60°－60°＝60°，又∵OB ＝OD ，∴△OBD 为等边三角形， ∴∠D ＝60°，∴∠D ＝∠COD ，∴OC ∥BD .解题策略：本题利用了转化思想，通过利用在同圆中等弧所对的圆心角相等，求得角的度数，然后通过∠BOD 实现了角之间的转化，从而使问题得以解决．7．(1)证明：连接AF ，则AB ＝AF ，∴∠ABF ＝∠AFB .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EAF ＝∠AFB ，∠GAE ＝∠ABF ，∴∠GAE ＝∠EAF ，∴GE ︵＝ EF ︵.(2)解：∵BF ︵的度数为50°，∴∠BAF ＝50°.∴∠ABF ＝∠AFB ＝65°.又 ∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝180°－∠ABF ＝115°.解题策略：在同圆中，圆心角、弧、弦之间的关系是证弧相等、角相等、线段相等的依据，一般在分析时，哪一组量与所证问题最贴近，就应构造这一组量，再证明相等． 8．(1)证明：连接AC ， BD .∵C ，D 是AB ︵的三等分点， ∴AC ︵＝CD ︵＝BD ︵， ∴AC ＝CD ＝BD .∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝30°. ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝45°. ∴∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°. ∵OA ＝OC ，∠AOC ＝30°，∴∠ACE ＝12×(180°－30°)＝75°＝∠AEC .∴AE ＝AC .同理可得BF ＝BD . ∴AE ＝BF ＝CD . (2)解：成立．证明略．。

24.1.3_弧、弦、圆心角

证明：∵ OE⊥AB OF ⊥CD
A E B
∵ AB﹦CD ∵ OA﹦OC
∴ AE﹦CF ∴ RT△AOE≌RT △COF
C
O
·
F
D
∴ OE﹦OF 弦心距：圆心到弦的距离，例如OE,OF
五、例题
例1 如图，在⊙O中， AB = 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC
AC
,∠ACB=60°,
A
证明：
∵ AB =
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
AC
B
O
∴ AB=AC．又∠ACB=60°， ∴ AB=BC=CA.
·
C
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
六、练习
如图，AB是⊙O 的直径，BC = CD ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．解：
E D
= DE
∵
C
BC = CD
= DE
BOC=COD=DOE=35
B
A
O
·
AOE 180 3 35
75
七、能力拓展
1、如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦， ⌒ ⌒
AD=BC, 求证AB=CD
C B O D A
2、如图，AB为⊙O的直径，OC为⊙O的 ⌒ ⌒ 半径，弦AD∥OC,求证： BC=CD
B C D O
A
B
1、三个元素：
圆心角、弦、弧
α
Oα A1 B1
A
2、三个相等关系：
(1) 圆心角相等 (2) 弧相等
人教版九年级上册
马尚一中
初四数学教研组
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? 圆是中心对称图形，
·
它的对称中心是圆心.

24.1.3弧,弦,圆心角(教案)

-弧和弦的分类：区分优弧、劣弧、半圆，以及直径和弦，让学生能够准确识别和运用。
举例：讲解圆心角与所对弧的关系时，可通过实际操作或动画演示，让学生直观地观察到当圆心角变化时，所对弧的长度也随之变化，强化这一重点知识。
2.教学难点
-弧、弦、圆心角的定义理解：学生对这些几何概念的理解可能存在困难，需要通过具体实例和直观演示来加深理解。
此外，学生在解决与弧、弦、圆心角相关的问题时，往往容易忽视圆心角与所对弧的关系。这说明我在讲解这个重点时，可能没有让学生充分理解和消化。为了帮助学生更好地掌握这个关系，我计划在接下来的课程中，设计更多具有针对性的练习题，并适时给予指导和反馈。
在课堂总结环节，我发现部分学生对今天的知识点仍然存在疑问。这提示我在今后的教学中，要更加重视课堂总结，及时解答学生的疑问，确保他们能够扎实掌握所学知识。
-圆心角与所对弧关系的应用：学生在运用这一性质解决实际问题时可能会感到困惑，需要通过大量练习和案例分析来提高应用能力。
-弧和弦的分类判定：学生在判断优弧、劣弧、半圆和弦时可能会混淆，需要通过对比分析和具体练习来突破。
举例：针对教学难点，教师可以通过以下方式帮助学生突破：
-设计互动环节，让学生动手操作圆规和直尺，在纸上画出不同类型的弧和弦，通过直观感受加深对概念的理解。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆心角与所对弧的关系以及弧和弦的分类这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与弧、弦、圆心角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用圆规和直尺画出不同类型的弧和弦，演示圆心角与所对弧的关系。

部编数学九年级上册24.1.3弧、弦、圆心角(解析版)2023实验培优含答案

2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）24.1.3 弧、弦、圆心角【题型1】利用弧、弦、圆心角求解1．（2022·山东·德州市第五中学九年级开学考试）下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等【答案】C【解析】【分析】利用圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、如图，四边形ABCD，AB∥CD，∠A=∠C，∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，又∵∠A=∠C，∴∠C+∠D=180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；D、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质等知识，难度不大．【变式1-1】2．（2022·陕西·西安工业大学附中三模）如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°【答案】C【解析】【分析】过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，由于DE＝FG＝MN，所以弦的弦心距也相等，所以OB 、OC 是角平分线，根据∠A ＝50°，先求出180130ABC ACB A Ð+Ð=°-Ð=°，再求出，进而可求出∠BOC ．【详解】解：过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，∵DE ＝FG ＝MN ，∴OP ＝OK ＝OQ ，∴OB 、OC 平分∠ABC 和∠ACB ，12OBC ABC \Ð=Ð，12OCB ACB Ð=Ð，∵∠A ＝50°，∴180130ABC ACB A Ð+Ð=°-Ð=°，∴1122OBC OCB ABC ACB Ð+Ð=Ð+Ð()12ABC ACB =Ð+Ð65=°，∴∠BOC ＝()180OBC OCB °-Ð+Ð18065=-°115=°故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂径定理，角平分线的判定，三角形内角和，角平分线的定义，解题关键是构造出辅助线——弦心距．【题型2】利用弧、弦、圆心角的关系求证1．（2022·上海静安·二模）如图，已知半圆直径2AB =，点C 、D 三等分半圆弧，那么CBD V 的面积为________．【解析】【分析】连接OC ，OD ，过点O 作OE ⊥CD ，垂足为点E ，点C 、D 三等分半圆弧，可知COD △是等边三角形，从而可以证得CD ∥AB ，所以COD △和CBD V 的面积相等，利用30°所对的直角三角形的性质和勾股定理，即可求得面积．【详解】解：连接OC ，OD ，过点O 作OE ⊥CD ，垂足为点E ，如图，∵点C 、D 三等分半圆弧，∴∠COD =∠BOD =60°，∵OC =OD ，∴COD △是等边三角形，∴∠CDO =60°，∴∠CDO =∠BOD ，∴CD ∥AB ，∴CBD COD S S =△△，∵OE ⊥CD ，∴∠COE =12∠COD =30°，∴1111112222222CE OC AB ==´=´´=，在Rt COE △中，OE ==∴1111222222CBD COD S S CD OE CE OE ==×=´´=´´=△△．【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、30°所对的直角三角形的性质和勾股定理．【变式2-1】2．（2022·山东烟台·九年级期末）如图，AB ，CD 是⊙O 的直径，弦BE CD ∥．»BC ，»AD ，»DE有什么关系？为什么？【答案】»»»BC AD DE==，见解析【解析】【分析】连接OE ，根据对顶角相等，可得∠BOC =∠AOD ，根据平行线的性质，可得∠BOC =∠B ，∠DOE =∠E ，根据等腰三角形的性质∠BOC =∠DOE ，即可得出»»»BC AD DE==，即可得出答案．【详解】解：»»»BC AD DE==．理由：连接OE ，∵∠BOC ＝∠AOD ，∴»»=．BC AD∥，∵BE CD∴∠BOC＝∠B，∠DOE＝∠E．∵OB＝OE，∴∠B＝∠E，∴∠BOC＝∠DOE，∴»»BC DE=．∴»»»==．BC AD DE【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦三者的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦三者的关系进行求解是解决本题的关键．【题型3】圆心角的概念1．（2021·全国·九年级课时练习）下图中是圆心角的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB, 称为弧AB所对的圆心角进行判断.【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意；B 、不是圆心角，故不符合题意；C 、是圆心角，故符合题意；D 、不是圆心角，故不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键．【变式3-1】2．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，AB 是O e 的弦，50A Ð=°，则AOB Ð=________．【答案】80°【解析】【分析】根据同圆中半径相等，可得OA OB =，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得结果．【详解】解：∵OA OB =，∴A B Ð=Ð，又50A Ð=°，∴180218025080AOB A Ð=°-Ð=°-´°=°，故答案为：80°．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，根据等边对等角得出A B Ð=Ð是解题的关键．【题型4】求圆弧的度数1．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB ，CD 是O e 的弦，延长AB ，CD 相交于点P ．已知30P Ð=°，80AOC Ð=°，则»BD的度数是（）A ．30°B ．25°C ．20°D ．10°【答案】C【解析】【分析】如图，连接OB ，OD ，AC ，先求解100OAC OCA Ð+Ð=°，再求解50PAO PCO Ð+Ð=°，从而可得260BOA COD Ð+Ð=°，再利用周角的含义可得3608026020BOD Ð=°-°-°=°，从而可得答案．【详解】解：如图，连接OB ，OD ，AC ，∵80AOC Ð=°，∴100OAC OCA Ð+Ð=°，∵30P Ð=°，∴50PAO PCO Ð+Ð=°，∵OA OB =，OC OD =，∴OBA OAB Ð=Ð，OCD ODC Ð=Ð，∴50OBA ODC Ð+Ð=°，∴260BOA COD Ð+Ð=°，∴3608026020BOD Ð=°-°-°=°．∴»BD的度数20°．故选：C ．【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．【变式4-1】2．（2021·江苏·淮安市洪泽实验中学九年级期中）如图，在扇形OAB 中，110AOB Ð=°，将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在弧AB 上的点D 处，折痕交OA 于点C ，则弧AD 的度数为____________．【答案】50°##50度【解析】【分析】连接OD ，先根据折叠的性质、等边三角形的判定与性质可得60BOD Ð=°，再根据角的和差可得50AOD Ð=°，由此即可得．【详解】解：如图，连接OD ，则OB OD =，由折叠的性质得：OB BD =，OD OB BD \==，BOD \V 是等边三角形，60BOD \Ð=°，110AOB Ð=°Q ，50AOB BO AOD D \Ð=Ð=-Ð°，则弧AD的度数为50°，故答案为：50°．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、圆弧的度数，熟练掌握折叠的性质是解题关键．一．选择题1．（2020·上海民办建平远翔学校九年级阶段练习）下列关于圆的说法中，错误的是（）A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧B．如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线D．拱形不一定是弓形【答案】B【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A、B进行判断；根据过圆心的直线都为圆的对称轴可对C进行判断；根据拱形与弓形的定义对D进行判断．【详解】解：A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧，所以A选项不符合题意；B．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等，所以B选项符合题意；C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线，所以C选项不符合题意；D．拱形加上跨度为弓形，所以D选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了轴对称．2．（2022·湖北十堰·九年级期末）如图，在⊙O 中，弦AB 与直径CD 垂直，垂足为E ，则下列结论中错误的是（）A ．AE =BEB ．CE =DEC ．AC =BCD ．AD =BD【答案】B【解析】【分析】回顾一下垂径定理的内容，根据定理得出AE=BE ，弧AD=弧BD ，弧AC=弧BC ，即可得出选项．【详解】∵CD ⊥AB ，CD 为直径，∴AE=BE ，弧AD=弧BD ，弧AC=弧BC ，CE ＞DE ，AD=BD,AC=BC,故选:B ．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，解此题的关键是能正确理解定理的内容，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的每一条弧．3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，,AB CD 是O e 的直径，»»AE BD=，若32AOE °Ð=，则COE Ð的度数是（）A ．32°B ．60°C ．68°D ．64°【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件和圆心角、弧、弦的关系，可知32BOD AOE °Ð=Ð=，然后根据对顶角相等即可求解．【详解】»»AE BD=Q ，32BOD AOE °\Ð=Ð=．BOD AOC Ð=ÐQ ，32AOC \Ð=°，323264COE °°°\Ð=+=，故选：D ．【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系、对顶角相等，较简单，掌握基本概念是解题关键．4．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民中学九年级期中）如图，已知在O e 中，BC 是直径，AB DC =，则下列结论不一定成立的是（）A ．OA OB AB ==B ．AOB CODÐ=ÐC ．»»AB DC=D ．O 到AB 、CD 的距离相等【答案】A【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．【详解】在O e 中，弦AB =弦DC ，则其所对圆心角相等，即AOB COD Ð=Ð，所对优弧和劣弧分别相等，所以有»»AB DC=，故B 项和C 项结论正确，∵AB DC =，AO =DO =BO =CO∴ABO DCO △≌△（SSS ）可得出点O 到弦AB ，DC 的距离相等，故D 项结论正确；而由题意不能推出AB OA =，故A 项结论错误．故选：A【点睛】此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆心角、弧、弦之间的关系．5．（2021·全国·九年级课时练习）在O e 中，AB ，CD 为两条弦，下列说法：①若AB CD =，则»»AB CD =；②若»»AB CD =，则2AB CD =；③若2AB CD =，则弧AB=2弧CD ；④若2AOB COD Ð=Ð，则2AB CD =.其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系解答即可.【详解】①若AB CD =，则»»AB CD =，正确；②若»»AB CD =，则AB CD =，故不正确；③由2AB CD =不能得到弧AB=2弧CD ，故不正确；④若2AOB COD Ð=Ð，则2AB CD =，错误.故选A.【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形的性质.6．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，MN 为⊙O 的弦，∠N=52°，则∠MON 的度数为（）A ．38°B ．52°C ．76°D ．104°【答案】C【解析】【分析】根据半径相等得到OM=ON ，则∠M=∠N=52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON 的度数．【详解】∵OM=ON ，∴∠M=∠N=52°，∴∠MON=180°-2×52°=76°．故选C ．【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．二、填空题7．（2019·全国·九年级课时练习）弦AB 把⊙O 分成两条弧，它们的度数的比是4：5，则这两条弧的度数分别为__________．【答案】160°，200°【解析】【分析】根据“同圆或等圆中，弧的度数等于弧所对的圆心角的度数”，再结合弦AB 把⊙O 分成度数比为4:5的两条弧，而整个圆周的度数为360°，即可解答.【详解】∵弦AB 把⊙O 分成度数比为4:5的两条弧，整个圆周的度数为360°，∴劣弧的度数为360°×454+=160°，优弧的度数为360°-160°=200°.即这两条弧的度数分别为160°,200°.故答案为160°，200°.【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握弧的度数的定义.8．（2021·北京·九年级期中）如图，在O e 中，点C 是»AB 的中点，50A Ð=°，则BOC Ð等于________．【答案】40°【解析】【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB ，根据等腰三角形性质得出∠BOC ＝12∠AOB ，代入求出即可．【详解】解：∵OA OB =，∴50OAB OBA Ð=Ð=°∴180280BOA A Ð=°-Ð=°，∵点C 是»AB 的中点，即»»2AC BC =，∴11804022BOC BOA Ð=Ð=´°=°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．9．（2021·贵州·凯里一中九年级期中）如图，在⊙O 中， ¶AB =¶CD，则下列结论中：①AB =CD ；②AC =BD ；③∠AOC =∠BOD ；④¶AC =¶BD，正确的是______填序号．【答案】①②③④【解析】【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．【详解】解：∵在⊙O 中，¶AB =¶CD，∴AB =CD ，故①正确；∵BC为公共弧，∴¶AC=¶BD，故④正确；∴AC=BD，故②正确；∴∠AOC=∠BOD，故③正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．10．（2021·黑龙江双鸭山·九年级期中）一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，那么管内污水深度为__________米．【答案】0.8或0.2.【解析】【分析】构造垂径定理，分两种情形求得弦心距，从而得到水深.【详解】如图所示，作AB的垂直平分线，垂足为E，根据题意，得AO=0.5，AE=0.4，根据勾股定理，得，∴水深ED=OD-OE=0.5-03=0.2（米）或水深ED=OD+OE=0.5+03=0.8（米），∴水深为0.2米或0.8米.故答案为：0.2米或0.8.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解答时，构造垂径定理，活用分类思想是解题的关键. 11．（2021·浙江杭州·九年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则»BD的度数为____________．【答案】50°【解析】【分析】连接CD，如图，先根据三角形内角和计算出∠B＝65°，再根据等腰三角形的性质由CB＝CD得到∠B＝∠BDC ＝65°，然后再利用三角形内角和计算出∠BCD＝50°，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解．【详解】解：连接CD，如图，∵∠C＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝90°−25°＝65°，∵CB＝CD，∴∠B＝∠BDC＝65°，∴∠BCD＝180°−65°−65°＝50°，∴»BD的度数为50°．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；圆心角的度数等于它所对的弧的度数．12．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，在⊙O中，若»»»==，则AC与2CD的大小关系是：AB BC CDAC__2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【答案】<【解析】【分析】如图，连接AB、BC，根据题意知，AB＝BC＝CD，又由三角形三边关系得到AB+BC＞AC得到：AC＜2CD．【详解】解：如图，连接AB、BC，∵»»»AB BCCD ==∴AB ＝BC ＝CD ，在△ABC 中，AB +BC ＞AC ．∴AC ＜2CD ．故答案是：＜．【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是利用三角形三边关系得到AB +BC ＞AC ．三、解答题13．（2021·福建·厦门一中九年级期中）已知：如图所示，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，且»»AC BD=，125AOB Ð=°，求COD Ð的度数．【答案】125COD Ð=°．【解析】【分析】由题意易知»»AB CD =，然后根据弧与圆心角的关系可直接进行求解．【详解】解：∵A ，B ，C ，D 是O e 上的点，»»AC BD=，∴»»»»AC BCBD BC +=+，即»»AB CD =，∴AOB COD Ð=Ð，∵125AOB Ð=°，∴125COD Ð=°．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键．14．（2021·吉林吉林·九年级期中）如图，⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB ＝CD ，连接AD ，BC ．求证：»»AD BC=．【答案】证明见详解【解析】【分析】由AB CD =知»»AB CD =，得到¼¼¼¼AD AC BC AC +=+，即可得出»»AD BC =．【详解】解：AB CD =Q ，\»»AB CD =，即¼¼¼¼AD AC BC AC +=+，\»»AD BC=．【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等是解题关键．15．（2022·安徽·定远县育才学校九年级期中）如图，在V ABC 中，∠C ＝90°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ．（1）若∠A ＝25°，求»DE的度数；（2）若BC ＝9，AC ＝12，求BD 的长．【答案】（1）40°；（2）545【解析】【分析】（1）连接CD ，先利用互余计算出9065B A Ð=°-Ð=°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出DCE Ð的度数，从而得到»DE的度数；（2）作CH BD ^，根据垂径定理得到BH DH =，再利用勾股定理计算出15AB =，接着利用面积法计算出365CH =，然后利用勾股定理计算出BH ，从而得到BD 的长．【详解】解：（1）如图，连接CD ，90ACB Ð=°Q ，∠A ＝25°，9065B A \Ð=°-Ð=°，CB CD =Q ，65CDB B \Ð=Ð=°，180250BCD B \Ð=°-Ð=°，40DCE ACB BCD \Ð=Ð-Ð=°，\»DE 的度数为40°；（2）如图，作CH BD ^，则BH DH =，∵∠C ＝90°，BC ＝9，AC ＝12，∴在Rt ACB △中，15AB ==，Q 1122ACB S CH AB BC AC =×=×△，91236155CH ´\==，在Rt BCH △中，275BH ==，5425BD BH \==．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，垂径定理以及勾股定理的应用，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理以及勾股定理是解决本题的关键．16．（2021·重庆江津·九年级阶段练习）如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，且AB ⊥CD ，垂足为G ，点E 在劣弧»AB 上，连接CE ．（1）求证：CE 平分∠AEB ；（2）连接BC ，若BC //AE ，求证：BC =BE ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可得»»AC BC=，从而得到 AEC BEC Ð=Ð，即可求证；（2）根据BC AE ∥，可得到AEC BCE Ð=Ð，再由AEC BEC Ð=Ð，即可求证．【详解】（1）证明：CD AB ^Q ，CD 是直径，»»AC BC\=． AEC BEC \Ð=Ð，CE \平分AEB Ð；（2）解：如图，∵BC AE P ，∴AEC BCE Ð=Ð．又∵AEC BEC Ð=Ð，BCE BEC \Ð=ÐBE BC \=．【点睛】本题主要考查了垂径定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．17．（2021·浙江·杭州市天杭实验学校九年级期中）如图，AD 、BC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝CD ，求证：AD ＝BC ．【答案】证明见解析．【解析】【分析】根据AB =CD ，得出»»AB CD =，进而得出»»AD BC=，即可解答．【详解】证明：∵AB ，CD 是⊙O 的两条弦，且AB =CD ，∴»»AB CD =,∴»»»»AB BDCD BD -=-，∴»»AD BC=，∴AD =BC ．【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是利用三者的关系解答．18．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在O e 中，AB ，CD 是两条弦，OE AB ^，OF CD ^，垂足分别为E ，F ．（1）如果AOB COD Ð=Ð，那么OE 与OF 相等吗？说明理由；（2）如果OE OF =，那么AB 与CD 相等吗？AOB Ð与COD Ð相等吗？»AB 与»CD呢？【答案】（1）相等，见解析；（2）AB CD =，AOB COD Ð=Ð，»»AB CD =，见解析【解析】【分析】（1）求出∠OEB ＝∠OFD ＝90°，∠EOB ＝∠FOD ，证△EOB ≌△FOD ，即可推出OE ＝OF ．（2）证AOE COF △≌△，推出AE CF =，根据垂径定理求出AB ＝CD ，根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．【详解】解：（1）解：OE ＝OF ，理由是：∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∴∠OEB ＝∠OFD ＝90°，∠EOB ＝12∠AOB ，∠FOD ＝12∠COD ，∵∠AOB ＝∠COD ，∴∠EOB ＝∠FOD ，∵在△EOB 和△FOD 中，OEB OFD EOB FODOB OD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△EOB ≌△FOD （AAS ），∴OE ＝OF ．；（2）AB CD =，AOB COD Ð=Ð，»»AB CD =．理由：∵OE AB ^，OF CD ^，∴90AEO CFO Ð=Ð=°，又∵OE OF =，OA OC =，∴Rt Rt (HL)AOE COF V V ≌，∴AE CF =，∵OA OB =，OC OD =，OE AB ^，OF CD ^，∴12AE AB =，12CF CD =，∴AB CD =，∴AOB COD Ð=Ð，»»AB CD =．【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．。

24.1.3_弧、弦和圆心角

圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距.在同圆或
等圆中,相等的圆心角所对的弦的弦心距相等.
例题讲解
例1.如图,在⊙O中,AB=AC ,∠ACB=60° A (1)求证: ∠AOB=∠BOC=∠AOC
⌒ ⌒ 证明：∵ AB=AC ∴AB=AC, △ABC是等腰三角形．
⌒ ⌒
O B C
又∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
⌒ ⌒ ⌒ BC=CD=DE ,∠COD=35°, 1.如图,AB是⊙O的直径，
基础训练
求∠AOE的度数． ⌒ ⌒ ⌒ 解： ∵ BC=CD=DE
E D C A
BOC=COD=DOE=35
AOE 180 3 35
B
想一想
下面的说法正确吗?为什么?
如图,因为 AOB AOB 根据圆心角、弧、弦的关系定理可知： ⌒ ⌒ AB AB
A
O
B
同圆或等圆
A
B
试一试
如图,AB、CD是⊙O的两条弦。
(1)如果AB=CD,那么
⌒ 那么 (2)如果⌒ AB=CD,
，那么，。
，
。
E A
B
O
D F
重合.
⌒ ⌒ 因此，AB与A′B′重合，AB与A′B′重合． ⌒ ⌒ = AB A ' B '. A′B′ AB
定理
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，相等，所对那么它们所对的圆心角_____ 的弦________ 相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，相等，所对那么他们所对的圆心角______ 相等的弧_________ ．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．

2019-2020年人教版九年级数学上册24.1.3：弧、弦、圆心角同步练习(含答案)

九年级数学上册24.1.3 弧、弦、圆心角基础闯关全练1．下面四个图中的角，为圆心角的是( )A.B.C.D.2．如图24-1-3 -1，△ABC的各顶点都在⊙O上，D、E、F分别是△ABC三边的中点，若，则四边形AEDF的形状是( )A．菱形B．正方形C．矩形D．等腰梯形3．（2019江苏泰州高港月考）如图24-1-3-2，AB是⊙O的直径，，∠COD=32°，则∠AEO的度数为_________.4．如图24-1-3-3所示，AB是⊙O的直径，，∠COD= 60°．请判断△AOC的形状，并说明理由.能力提升全练1．如图24-1-3 -4所示，在⊙O中，，则在①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④中，正确的个数是( )A.1B.2C.3D.42．（2019江苏徐州睢宁月考）如图24-1-3-5所示，AB是⊙O直径，直线CM是AO的垂直平分线，直线DN是OB的垂直平分线，则下列结论正确的是( )A.B.C.D.三年模拟全练一、选择题1．（2019江苏泰州泰兴月考，10，★☆☆）如图24 -1-3 -6．已知∠AOB=∠COD，下列结论不一定成立的是( )A．AB= CDB．C．△AOB≌△CODD．△AOB、△COD都是等边三角形二、解答题2．（2019浙江丽水期中，19，★☆☆）如图24 -1-3 -7，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC=NC.五年中考全练一、填空题1．（2018贵州毕节中考，19，★★☆）如图24-1-3 -8，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为_______.二、解答题2．（2018黑龙江牡丹江中考，22，★★☆）如图24-1-3-9，在⊙O中，，AD⊥OC 于D．求证：AB= 2AD.核心素养全练1．如图24-1-3 -10，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是( )A.B.C.D．不能确定2．如图24-1-3 -11，AB是⊙O的直径，AB= 10，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC= CD= DA，若点P是直径AB上的一动点，则PD+PC的最小值为____．九年级数学上册24.1.3 弧、弦、圆心角基础闯关全练1.D 圆心角的顶点必须在圆心上，∴选项A、B、C均不正确，故选D．2.A ∵D、E、F是三边的中点，∴DE∥AC，DF//AB，∴四边形AEDF是平行四边形．∵，AB =AC ，易知AE=AB ，AF=AC ，∴AE =AF ，∴四边形AEDF 是菱形．故选A ．3.答案48°解析 ∵， ∠COD= 32°，∴∠BOC=∠EOD=∠COD= 32°，∴∠AOE= 180°-∠EOD-∠COD-∠BOC= 84°.又∵ OA=OE ，∴∠AEO=∠OAE ，∴∠AEO=×( 180°-84°)= 48°.4．解析 △AOC 是等边三角形，理由如下：∵，∴∠AOC= ∠COD ，又∠COD=60°，∴∠AOC=60°.∵OA=DC ，∴△AOC 是等边三角形.能力提升全练1．D ∵在⊙O 中．．即，∴AB=CD ，，∴AC=BD ， ∠AOC= ∠BOD ，∴①②③④都正确．2.A 如图，连接AC ，OC ，OD ，BD ，∵直线CM 是AO 的垂直平分线，直线DN 是OB 的垂直平分线，∴AC=OC ，BD=OD.∵OC= OD= OA= OB ，∴△AOC ，△BOD 是等边三角形，∴∠AOC=∠BOD= 60º.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠COD=60°，∴，故选A ．三年模拟全练一、选择题1.D ∵∠AOB=∠COD ，∴AB= CD ，，∵OA= OB= OC=OD ．∴△AOB ≌△COD ，∴选项212121A、B、C成立．故选D．二、解答题2．证明∵点C是的中点，∴，∴∠AOC= ∠BOC.又∵OA =OB，M、N分别是OA、OB的中点，∴OM=ON．在△MOC和△NOC中，∴△MOC≌△NOC( SAS)，∴MC= NC.五年中考全练一、填空题1．答案30°解析如图，连接OC．∵AB是直径，，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°．∵OA= OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A=60°，又CE⊥OA，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=90°-60°=30°.二、解答题2．证明如图，延长AD交⊙O于点E，∵OC⊥AD，∴=2，AE=2AD.∵，∴，∴AB=AE，∴AB=2AD.核心素养全练1．A 如图，连接OC ，BC ，过O 作OE ⊥AC 于D 交⊙O 于E ，∴AD= CD ，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD =BC ．∵把半圆沿弦AC 折叠，恰好经过点O ，∴OD=OE ．∴BC =OE= OC= OA ，∴，故选A ．2．答案 10解析如图，作点C 关于直线AB 的对称点C ’，连接OC ，OD ，OC ’，BC ’，∵BC= CD= DA ，∴∠AOD=∠COD=∠BOC= 60°.∵C 与C ’关于AB 对称，∴BC ’=BC.∴∠BOC ’= 60°.∴D 、O 、C ’在同一条直线上，∴DC ’=AB= 10，即PD+PC 的最小值为10，此时P 与O 重合．2121。

九年级数学人教版(上册)24.1.3 弧、弦、圆心角

易错点对弧、弦、圆心角的关系理解有误致错 9．如图，在⊙O 中，A︵C＝2A︵B，试判断 AC 与 2AB 的大小关系，并说明理由．解：∵在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等， ∴当A︵C＝2A︵B时，AC＝2AB.
以上解答是否正确？若不正确，请改正．
解：不正确，2AB＞AC.
理由：连接 BC， ∵A︵C＝2A︵B， ∴A︵B＝B︵C. ∴AB＝BC. ∵在△ABC 中，AB＋BC＞AC，
∴△OAD 是等边三角形． ∴OA＝AD. 同理可证△OBD 是等边三角形． ∴OB＝BD. ∴AD＝BD＝OA＝OB. ∴四边形 OADB 是菱形．
13．如图，MN 是⊙O 的直径，点 A 是半圆上一个三等分点，点 B 是A︵N的中点，点 B′是点 B 关于 MN 的对称点，⊙O 的半径为 1，则 AB′的长为 2 ．
第二十四章圆
24.1 圆的有关性质 24.1.3 弧、弦、圆心角
知识点 1 圆心角的概念及其计算 1．下图中∠ACB 是圆心角的是( B )
2．如图，已知 AB 为⊙O 的直径，点 D 为半圆周上的一点，且 A︵D所对圆心角的度数是B︵D所对圆心角度数的 2 倍，则圆心角∠BOD ＝ 60° ．
33
E，OD⊥AC，垂足为 F，AC＝BD，则弦 BD 的长为 2 ．
12．如图，在⊙O 中，A︵B＝A︵C，∠ACB＝60°.
(1)求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 证明：∵A︵B＝A︵C， ∴AB＝AC. 又∵∠ACB＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． ∴AB＝BC＝AC. ∴∠AOB＝∠AOC＝∠BOC.
(2)若 D 是A︵B的中点，求证：四边形 OADB 是菱形．证明：∵∠AOB＋∠AOC＋∠BOC＝360°， ∴∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝120°. 连接 OD，交 AB 于点 M. ∵D 是A︵B的中点， ∴A︵D＝B︵D.

九年级数学人教版(上册)24.1.3弧、弦、圆心角

OF相等吗？为什么？
解：OE=OF. 理由如下：
A
E
B
OE AB,OF CD,
O·
D
AE 1 AB,CF 1 CD.
2
2
F C
又 AB＝CD , AE＝CF.
又 OA＝OC, RtAOE≌RtCOF.
OE OF.
侵权必究
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
侵权必究
当堂练习
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对
的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
CB
②A⌒B=C⌒D ③AB=CD
D
O
A
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新课导入
练一练
下列说法中，正确的是( C)
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．在同圆中，圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等，所对的圆心角相等
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弦所对应的圆心角相等弦所对应的优弧相等弦所对应的劣弧相等
侵权必究
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要点归纳
二、弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
侵权必究
新课导入
关系结构图
圆心角相等
弦相等
侵权必究
当堂练习
( (
( (
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC
求证:AB＝CD.
证明：连接AO,BO,CO,DO.
∵AD=BC
AOD BOC.
C B
O.
D A
AOD+BOD=BOC+BOD.

24.1.3_弧,弦,圆心角

D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弧有什么关系？弦、弧有什么关系？ A
B
o
C
如果：如果： ∠AOB=∠ COD ∠
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弧有什么关系？弦、弧有什么关系？ A
B
o
C
如果：如果： ∠AOB=∠ COD ∠
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弧有什么关系？弦、弧有什么关系？ A
同样，还可以得到：同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等圆心角_____，所对的弦________ ________；圆心角_____，所对的弦________； _____ 相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的相等相等圆心角______ 所对的弧_________ ______， _________．圆心角______，所对的弧_________．同圆或等圆中，同圆或等圆中，两个圆心角、两个圆心角、两条弧、条弧、两条弦中有一组量相等，有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
D
已知:如图∠ 已知如图∠AOB=∠ COD, 如图 ∠ 求证: AB=CD， ⌒ = CD。， AB ⌒
A B
证明:∵OA=OC ，OB=OD，证明: ， ∠AOB=∠COD,
当点A与点重合时，与点C重合时 ∴ 当点与点重合时，点B与点也重合。与点D也重合与点也重合。 ∴
B
= 75
o
∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心把圆心角等分成份角是1º.同时整个圆也被分成了360份同时整个圆也被分成了360 角是同时整个圆也被分成了360份.

24.1.3弧、弦、圆心角

湖城学校杨贤
B
一 . 圆心角的概念
A
O C
我们把顶点在圆心的我们把顶点在圆心的顶点角叫做圆心角圆心角. 角叫做圆心角. ∠AOB ∠COD ∠BOD
D
∠AOC
二、
探究
A′ B B′ B′
A′ B
如图，将圆心角∠ 绕圆心O旋转到的位置，如图，将圆心角∠AOB绕圆心旋转到∠A’OB’的位置，绕圆心旋转到∠ 的位置你能发现哪些等量关系？为什么？你能发现哪些等量关系？为什么？
D D
●
B
O
B
●
O
┏ A′ D′ B′ 如由条件: 如由条件: ③AB=A′B′
可推出
O ′ ┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′ ⌒ ⌒ ②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
●
B
抢答题
已知：如图，，是的两条弦，已知：如图，AB，CD是⊙O的两条弦，的两条弦 A OE，OF为AB、CD的弦心距，根据这，为、的弦心距的弦心距，节课所学的定理及推论填空：节课所学的定理及推论填空： (1)如果∠AOB=∠COD，那么如果∠ 如果 ∠ ， OE=OF
D D
●
B
O
B
●
O
●
O′
┏ A′ D′ B′ 由条件: 由条件可推出 ①∠AOB=∠A′O′B′ ∠
┏ A′ D′ B′ ⌒ ⌒ ②AB=A′B′ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′
拓展与深化
驶向胜利的彼岸
在同圆或等圆中,如果轮换下面四组条件: 同圆或等圆中如果轮换下面四组条件: 两个圆心角, 两条弧, 两条弦, 两条弦心距, ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距, 你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由. 你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由. A A

九年级数学上册 24.1.3 弧、弦、圆心角同步训练习题(含答案)

24.1.3 弧、弦、圆心角5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等思路解析：根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，所以也不对；弦相等所对的圆心角相等缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的. 答案：B2.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )图24-1-3-1A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶4 思路解析：作OE ⊥CD 于E ，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.在Rt △ODE 中，OD=2211+=2.在Rt △OEB 中，OB=22OE BE +=14+=5.∴OB ∶OD=5∶2.答案：C3.半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF 等于( ) A.2∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.0 思路解析：∵AB 为直径，∴OE=0. ∴OE ∶OF=0. 答案：D10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________. 思路解析：41×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 答案：90°2.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________. 思路解析：如图，OD ⊥AB ，OD=DB=AD. 设OD=x ，则AD=DB=x.在Rt △ODB 中，∵OD=DB ，OD ⊥AB,∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=22222=+++x x DB OD x. ∴AB ∶BC=1∶2=2∶2.∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 答案：2∶2 90°3.如图24-1-3-2，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.图24-1-3-2(1)求证：AC=DB ；(2)如果AB=6 cm ，CD=4 cm ，求圆环的面积.思路分析：求圆环的面积不用求出OA 、OC ，应用等量代换的方法.事实上，OA 、OC 的长也求不出来. （1）证明：作OE ⊥AB 于E ，∴EA=EB ，EC=ED.∴EA －EC=EB －ED ，即AC=BD. （2）解：连结OA 、OC.∵AB=6 cm ，CD=4 cm ，∴AE=21AB=3 cm.CE=21CD=2 cm. ∴S 环=π·OA 2－π·OC 2=π（OA 2－OC 2）=π［（AE 2＋OE 2）－（CE 2＋OE 2）］=π（AE 2－CE 2）=π（32－22）=5π（ cm 2）. 4.(经典回放)如图24-1-3-3所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图24-1-3-3思路分析：根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1)，分别连结OA 、OB.∵OA=OB ，∴∠A=∠B. 又∵AC=BD ，∴△AOC ≌△B OD.∴OC=OD.(1) (2) 证法二：如图(2)，过点O 作OE ⊥AB 于E ， ∴AE=BE.∵AC=BD ，∴CE=DE.∴OC=OD.5.如图24-1-3-4，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6 cm ，EB=2 cm ，∠CEA=30°，求CD 的长.图24-1-3-4思路分析：如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF ，构造直角三角形，问题就容易解决. 解：过O 作OF ⊥CD 于F ，连结CO. ∵AE=6 cm ，EB=2 cm ，∴AB=8 cm.∴OA=21AB=4（cm ），OE=AE －AO=2（cm ）.在Rt △OEF 中， ∵∠CEA=30°，∴OF=21OE=1（cm ）. 在Rt △CFO 中，OF=1 cm ，OC=OA=4(cm)，∴CF=22OF OC =15(cm). 又∵OF ⊥CD ， ∴DF=CF.∴CD=2CF=215（ cm ）.6.如图24-1-3-5，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E ，BF ⊥CD ，垂足为F ，我们知道EC 和DF 相等.若直线EF 平移到与直径AB 相交于P(P 不与A 、B 重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF ∥AB 时,情况又怎样?图24-1-3-5思路分析：考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可适当添加辅助线. 解：当EF 交AB 于P 时,过O 作OM ⊥CD 于M,则CM=DM.通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,∴EC=DF. 当EF ∥AB 时,同理作OM ⊥CD 于M,可证四边形AEFB 为矩形. 所以EF=AB.且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,∴EC=DF. 快乐时光数到100再说某冬日,上课了,伊万老师靠教室壁炉站着,对学生们说:“说话前要多考虑,至少要数到50下才说,重要的话要数到100下.”学生们争先恐后地数起来,最后不约而同地爆发出:“99、100,老师的衣服着火了!” 30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.如图24-1-3-6所示，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦BE=BD ，则弧AC 与弧BE 是否相等？为什么？图24-1-3-6思路分析：欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC 与弧BE 所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC 以及弧BE 相等.解：弧A C=弧BE. 原因如下：法一：连结AC ，∵AB 、CD 是直径， ∴∠AOC ＝∠BOD.∴AC ＝BD.又∵BE ＝BD ，∴AC ＝BE.∴弧AC=弧BE. 法二：∵AB 、CD 是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴弧AC=弧BD.∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.2.如图24-1-3-7所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O 于点E、F.试证:弧AE=弧BF.图24-1-3-7思路分析：欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.证明：∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.∴弧AE=弧BF.3.如图24-1-3-8，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？图24-1-3-8思路分析：应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.解：在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴弧DF=弧AC=弧BE.∴AC=EB=DF.4.为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限)，并且使整个图案成对称图形，请你画出你的设计方案图(至少两种).思路解析：设计的基本思路是等分圆心角，或等分圆周，取得轴（或中心）对称的对应点，适当画圆或连线，设计出一些适合要求的图案.答案：根据题意画出如下方案供选用，如图,本题答案不唯一，只要符合条件即可.5.如图24-1-3-9，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论)图24-1-3-9思路解析：因AD⊥BC，且AD为直径，所以可以利用垂径定理得到一些结论，同时可证得AD垂直平分BC，据此又能得到许多结论.本题是2000年新疆建设兵团的模拟题，是一个开放性试题，开放到可以不写步骤，但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广，因为写出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.答案：（1）BE=CE；（2）弧BD=弧CD；（3）弧AB=弧AC；（4）AB=AC；（5）BD=DC；（6）∠ABC=∠ACB；（7）∠DBC=∠DCB；（8）∠ABD=∠ACD；（9）AD是BC的中垂线；（10）△ABD≌△ACD；（11）O为△ABC的外心等等.6.如图24-1-3-10，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径.图24-1-3-10思路分析：圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.解：过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.在Rt△OC A和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，∴OA2－AC2=OP2－CP2.∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC，∴CP=AB－PA－BC=1，AC=5.∴OA2－52=52－1.∴OA=7，即⊙O的半径为7 cm.7.⊙O的直径为50 cm，弦AB∥CD，且AB=40 cm，CD=48 cm，求弦AB和CD之间的距离.思路分析：（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)解：（1）当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图(1),作OG ⊥AB 于G ，交CD 于E ，连结OB 、OD. ∵AB ∥CD ，OG ⊥AB ，∴OE ⊥CD.∴EG 即为AB 、CD 之间的距离 ∵OE ⊥CD ，OG ⊥AB ，∴BG=21AB=21×40=20（cm ）， DE=21CD=21×48=24（cm ）.在Rt △DEO 中，OE=22DE OD -=222425-=7（cm ）. 在Rt △BGO 中，OG=22BG OB -=222025-=15（cm ）. ∴EG=OG －OE=15－7=8（cm ）.(2)（2）当AB 、CD 在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm ，OE=7 c m ，∴GE=OG ＋OE=15＋7=22（cm ）.综上所述，弦AB 和CD 间的距离为22 cm 或7 cm.。

2413_弧、弦、圆心角_同步测控优化训练(含答案).docx

24. 1.3弧、弦、圆心角一、课前预习（5分钟训练）1 •下列说法中，正确的是（）A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等2. 如图24-1-3-1,同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C 、D,已知AB=4, CD=2, AB 的弦心距等于1,那么两个同心圆的半径之比为（）3. 半径为R 的©0中,弦AB=2R,弦CD=R,若两弦的弦心距分别为0E 、0F,则0E ： OF 等于（）A.2 : 1B.3 : 2C.2 : 3D.0二、课中强化（10分钟训练）1•一条弦把圆分成1 : 3两部分，则弦所对的圆心角为 _____________ .2. ________________________________________ 弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是 _______________________________________________ ,弦所对的圆心角是 ______________ .答案：V2 : 2 90°3. 如图24-1-3-2,已知以点0为公共圆心的两个同心圆，人圆的弦AB 交小圆于C 、D.（1）求证：AC=DB ；（2）如果AB=6 cm, CD=4 cm,求圆环的面积.A.3 : 2B.V5 : 2C.V5 : V2D.5 : 4图 24-1-3-1B图 24-1-3-24. 如图24-1-3-3所示，AB 是OO 的弦（非直径），C 、D 是AB ±的两点，并一几AC=BD.求证：OOOD.5. 如图 24-1-3-4, 00 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E,已知 AE=6 cm, EB=2 cm, ZCEA=30°,求CD 的长.6. 如图24-1-3-5, AB 是＜30的直径，CD 是弦，AE±CD,垂足为E, BF 丄CD,垂足为F,我们知道EC 和DF 相等.若直线EF 平移到与直径AB 相交于P （P 不与A 、B 重合），在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么？当EF 〃AB 时,情况又怎样？图24-1-3-5B三、课后巩固（30分钟训练）1.如图24-1-3-6所示，AB、CD是OO的两条直径，弦BE=BD,则弧AC与弧BE是否相等?为什么？图24-1-3-62.如图24・1・3・7所示，AB是OO的弦，C、D为弦AB上两点，且OOOD,延长OC、OD,分别交OO于点E、F.试证:弧AE二弧BF.3.如图24-1-3-8, AB、CD、EF 都是OO 的直径，且Z1=Z2=Z3,弦AC、EB、DF 是否相等？为什么？图24-1-3-84.为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成（圆和三角形个数不限）,并且使整个图案成对称图形.，请你画出你的设计方案图（至少两种）.5.如图24-1-3-9,已知在OO中，AD是＜30的直径，BC是弦，AD丄BC, E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？（要求：不添加辅助线，不添加字母，不耳推理过程，只耳出6条以上的结论）图24-1-3-9 6.如图24-1-3-10, AB 为00 的弦,P 是AB ±一点,AB=10 cm, OP=5 cm, PAM cm,求OO的半径.图24-1-3-107.00的直径为50 cm,弦AB〃CD,且AB=40 cm, CD=48 cm,求弦AB和CD之间的距离.参考答案一、课前预习（5分钟训练）1. 下列说法中，正确的是（）A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等思路解析：根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等閲或同関的条件，所以也不对；弦相等所对的閲心角相等缺少等闘或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的. 答案：B2. 如图24-1-3-1,同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C 、D,已知AB=4, CD=2,距等于1,那么两个同心圆的半径Z 比为（）思路解析:作 0E 丄CD 于 E,则 CE=DE=1, AE=BE=2, OE=1.在 RtAODE 中，在 RtAOEB 中，OB=jBE2 +0。

24.1.3-弧、弦、圆心角-同步测控优化训练(包含答案)

垂径定理、弧、弦、圆心角、圆周角一、选择题1.下列说法中，正确的是( ) A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等2.，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( ) A.3∶2 B.5∶2 C.5∶2 D.5∶43.半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF 等于( ) A.2∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.0二、课中强化(10分钟训练)1.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________.2.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.3.如图24-1-3-2，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D.(1)求证：AC=DB；(2)如果AB=6 cm，CD=4 cm，求圆环的面积.图24-1-3-2 4.如图24-1-3-3所示，AB是⊙O的弦(非直径)，C、D是AB上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图24-1-3-3 5.如图24-1-3-4，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6 cm，EB=2 cm，∠CEA=30°，求CD的长.6.如图24-1-3-5，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF∥AB时,情况又怎样?1.如图24-1-3-6所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？2.如图24-1-3-7所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧BF.3.如图24-1-3-8，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？5.如图24-1-3-9，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论)7.⊙O的直径为50 cm，弦AB∥CD，且AB=40 cm，CD=48 cm，求弦AB和CD之间的距离.C A P O DCE O A D B2. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。

24.1.3 弧、弦、圆心角同步练习(含答案)

24.1.3 弧、弦、圆心角同步练习题号一1 二2 三3 四4 五5 六6 七7 八8 得分任何学习不可可能重复一次就可以掌握，必须经过多次重复、多方面、多个角度的反复训练才能取得跟多的收获，我们设计的试卷主要就是从这点出发，所以从你下载这张试卷开始，就与知识接近了一步。

一、选择题1．下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③ 相等的圆心角所对的弧相等．④在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么弦也相等。

其中真命题的是（） A ．①② B ． ②④C ． ①②④D ． ①②③2．在o 中，2AB CD =，那么（）A ． 2AB CD = B ．2AB CD >C ．2AB CD < D ．AB 与CD 的大小关系不定。

3．（山东滨州）如图1所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个OEDCBA图1 图2 图3 二、填空题 4．如图2,已知O 中,AB BC =,且:3:4AB AMC =,则AOC ∠=______.5．（2008襄樊市）如图3，⊙O 中OA ⊥BC ，∠CDA=25°，则∠AOB 的度数为． 6．如图，已知AB,CD 是⊙O 的直径，CE 是弦，且AB ∥CE,∠C=035，则BE 的度数为三、解答题（本题共2小题，每题10分，共20分）7．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半径OA 、OB 的中点且OA ⊥CE 、OB ⊥DE ，求证⌒AE =⌒EF =⌒FB8．如图，在⊙o 中，AB BC CD ==，OB ，ＯＣ分别交ＡＣ，ＢＤ于Ｅ、Ｆ，求证OE OF =9．如图所示，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，作AD ，BC 于E ，F ，•延长BA交⊙O 于G ，求证：GE EF =．参考答案一、选择题1．A 2．C 3. D . 二、填空题 4．144 5.50 6．035三、解答题（本题共2小题，每题10分，共20分） 7．证明：如图，连接OE 、OF ，∵D 是半径、OB 的中点OB ⊥DF ， ∴OD=12OF,∴∠OFD=030,即∠FOD=060，同理∠EOA=060, ∴∠FOD=∠EOA=∠EOF, ∴⌒AE =⌒EF =⌒FB8．证明：如图，∵AB BC CD ==，∴AC BD =, ∴AC BD =,∵B,C 是,AC BD ，∴1,,2BF CE AC OB AC OC BD ==⊥⊥, ∴Rt OBF Rt OCE ≅,∴OE OF =9．证明：连接AF ，则AB=AF ，所以∠ABF=∠AFB ．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，所以∠DAF=∠AFB ，∠GAE=∠ABF ，所以∠GAE=∠EAF ，所以GE EF =．可以编辑的试卷（可以删除）。