周振荣版拓扑学第5章分离公理 课后答案

第五章分离性练习题November26,2012

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练习0.1.证明X 是正规空间⇔X 的任意闭子集A 以及A 的任意邻域U ，存在A 的邻域V ，使得¯V

⊆U ．Proof.必要性：不妨设U 是A 的开邻域，则U c 是X 的闭集，且有U c ∩A =∅．这样，U c ,A 就是X 中两个不相交的闭集．根据正规性条件，分别存在A 和U c 的开邻域U 和V 使得U ∩V =∅，即U ⊆V c ，所以U ⊆V c =V c ．另一方面，因U c ⊆V ，我们有V c ⊆U,所以，U ⊆U ．

充分性：设A,B 是两个不交闭集．令U =B c ，则U 是A 的邻域．由假设条件可知存在A 的邻域V 使得¯V ⊆U ．令U = ¯V c ，则U 是B 的邻域，再根据假设条件可知存在B 的邻域W ，使得¯W

⊆U ．于是¯V ∩¯W ⊆¯V ∩U =∅．

练习0.2.证明拓扑空间X 为正则空间的充要条件是X 的任意闭集A 以及任意x /∈A ，存在x 的开邻域U 以及A 的开邻域V ，使得¯U

∩¯V =∅．Proof.必要性．设X 为正则空间．∀x ∈A c ，则存在x 的开邻域V 以及A 的开邻域U 使U ∩V =∅．另一方面，存在x 的邻域W ，使¯W ⊆V ．由于U ⊆V c ，有¯U ⊆V c =V c ，因此¯W ∩¯U ⊆V ∩V c =∅．充分性．显然．

练习0.3.证明拓扑空间X 为正规空间的充要条件是X 的任意两个不相交的闭集A 和B ，分别存在开邻域U 以及V ，使得¯U

∩¯V =∅．Proof.充分性显然．下证必要性．

由正规性，存在A,B 的邻域U,V 使U ∩V =∅．另一方面，存在A 的邻域U 使U ⊆U ．同理，存在B 的邻域V 使V ⊆V ．则U ∩V =∅．

练习0.4.证明拓扑空间X 为T 1空间当且仅当∀x ∈X ，单点集{x }是x 的所有开邻域之交．

Proof.充分性．设{x }= V x ∈U x V x ．任取y ∈X ，y =x ，则存在V x ∈U x 使y /

∈V x ．同理，有x 的邻域不含y ，所以X 为T 1空间．

必要性．设X 为T 1空间．∀y ∈X,y =x ．则存在V x ∈U x 使y /∈V x ，所以y /∈ V x ∈U x V x ．故{x }= V x ∈U x V x ．练习0.5.证明拓扑空间X 为T 2空间的充要条件是X ×X 的对角线∆={(x,x )|x ∈X }为闭集．

Proof.必要性．设X 为T 2空间．∀(x,y )∈∆c ，则y =x ．所以存在邻域U x ,U y 使U x ∩U y =∅．因此U x ×U y ∈∆c ，故∆c 是开集，从而∆是闭集．

充分性．设∆是闭集，则∆c 是开集．∀x,y ∈X,x =y ，则(x,y )∈∆c ．于是存在积空间的基开集U x ×U y 使(x,y )∈U x ×U y ⊆∆c ，即U x ∩U y =∅，从而X 是T

2空间．

练习0.6.设A 是T 1空间X 的任意子集，则A 的导集是闭集．

2 Proof.证法一．设x∈A ，则对任意的U∈O x，有U∩(A \{x})=∅．取y∈U∩(A \{x})，则U∈O y，y=x，且y∈A ．因X是T1的，所以存在V∈O y，使得x/∈V．因此有

U∩(A\{x})=(U\{x})∩A

⊇((V∩U)\{x})∩A

=(V∩U)∩A

⊇V∩U∩(A\{y})=∅

这说明x∈A ，A ⊆A ，从而A是闭集．

证法二．由杨忠道定理，只需证明单点集的导集是闭集．对任意的x∈X，由于{x} ⊆{x}={x}，所以{x} =∅是闭集．

练习0.7.设f,g:X→Y是连续映射，Y是Hausdorff空间，证明（1）集合E={x∈X|f(x)=g(x)}是X的闭子集；

（2）如果A是X的稠密子集且f|A=g|A，则f=g．

Proof.（1）证法一：设x∈E c，则f(x)=g(x)，于是存在G∈N f(x)以及W∈N g(x)使得G∩W=∅．因f,g连续，故存在U,V∈N x使得f(U)⊆G，g(V)⊆W．又U∩V∈N x，且对任意的z∈U∩V，有f(z)=g(z)，即U∩V⊆E c，从而E c是X的开集，即E为闭集．

证法二：设(x d)d∈D是E中的网，x∈lim x d．因为对任意的d∈D，x d∈E，故f(x d)=g(x d)．由于f,g都连续，所以f(x),g(x)∈lim f(x d)=lim g(x d)．由于Y是Hausdorff空间，根据极限的唯一性可知f(x)=g(x)．于是lim x d⊆E，E是闭集．

（2）因f|A=g|A，故A⊆E，而X=¯A⊆¯E=E，于是X=E，即对任意的x∈X，有f(x)=g(x)，即f=g．

练习0.8.证明Urysohn引理的充分性：如果拓扑空间的任意两个不交闭集可用一个连续函数分离，则该拓扑空间是正规的．

Proof.设A,B是X的两个不交闭集，则存在连续函数f:X→[0,1]，使得f|A= 0，f|B=1。令U=f−1([0,1/2))，V=f−1((1/2,1])，则U,V分别是A,B的邻域，并且U∩V=∅，所以X是正规的。

练习0.9.证明多于一点的连通T3.5空间的开子集是不可数子集．

Proof.设G是T3.5空间X的非空开集，x∈G．

（1）如果G=X，则存在y∈X，且x=y．于是存在连续函数f:X→[0,1]使f(x)=0，f(y)=1．由X的连通性可知f(X)=[0,1]，所以X不可数．（2）如果G=X，则G c=∅．而G c是X的闭集，故存在连续映射g:X→[0,1]使g(x)=0，g|G c=1．因X连通，所以有g(X)=[0,1]．又

g(X)=g(G)∪g(G c)=g(G)∪{1},

所以[0,1)⊆g(G)，即g(G)不可数，从而G不可数．

练习0.10.证明分离性质是拓扑性质．